Problemas de Mezclas

Prof. Melba Rodriguez

1

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE MEZCLAS

Considrese un tanque que tiene un volumen inicial V0 de solucin (una mezcla de soluto y solvente). Hay un flujo tanto de entrada como de salida y se quiere calcular la cantidad de soluto x(t) que hay en el tanque en cualquier instante de tiempo t, en funcin de la cantidad inicial de soluto x0 al tiempo de iniciar el proceso de mezclado.

Supngase que la solucin que se inyecta al tanque tiene una concentracin de C1

gramos de soluto por litro, y fluye al mismo con una tasa de Q1 litros por segundo, en tanto que la sustancia contenida en el tanque se mantiene bien mezclada por agitacin y fluye hacia fuera de este a una tasa de Q2 litros por segundo.

Sea x(t) la cantidad de soluto en el tanque en un instante de tiempo t. La cantidad de

soluto que fluye hacia el tanque durante t segundos es (Q1 C1 t) gramos. La cantidad de soluto que fluye hacia fuera del tanque durante el mismo intervalo de tiempo, depende de la concentracin de soluto C2(t) en el tanque al instante t.

OBSERVACIN: Es importante que quede claro que la cantidad de soluto en el tanque, una vez iniciado el proceso, va a variar en la medida en que transcurre el tiempo; es decir, la concentracin de sal en el tanque es una funcin del tiempo.

C2 (t) = Concentracin de salida (vara en funcin de t) Q1 = razn de salida

Vo = Volumen Inicial C0 = Concentracin inicial x0 = Cantidad inicial de soluto

C1 = Concentracin de entrada Q1 = razn de entrada


2

Si la tasa de entrada de lquido al tanque es igual a la tasa de salida de lquido del

tanque (Q1 = Q2) entonces el volumen en cualquier instante de tiempo t es el mismo, es decir, el volumen se mantiene constante (V(t) = V0 , con V0 volumen inicial). Si la tasa de entrada de lquido al tanque es mayor a la tasa de salida de lquido del tanque (Q1 > Q2) entonces el volumen en cualquier instante de tiempo t es mayor que el volumen inicial V0 (V(t) > V0). Si la tasa de entrada de lquido al tanque es menor a la tasa de salida de lquido del tanque (Q1 < Q2) entonces el volumen en cualquier instante de tiempo t es menor que el volumen inicial V0 (V(t) < V0).

Por otra parte, la variacin de la cantidad de soluto en un instante t, es igual a la diferencia entre la cantidad de lquido que fluye hacia el tanque (Q1 C1 t) y la cantidad de lquido que fluye fuera del tanque (Q2 C2 t):

x = ( gramos que ingresan) - (gramos que salen) = (Q1 C1 t) - (Q2 C2 t) = (Q1 C1 - Q2 C2) t

ya que t 0, dividiendo entre t

t

x = (Q1 C1 - Q2 C2)

calculando el lmite de cuando t 0

)CQCQ(t

xlim 2211

0t

=

(1)

Por la definicin de derivada,

dt

dx

t

xlim

0t=

(2)

Comparando las ecuaciones (1) y (2)

dt

dx = Q1 C1 - Q2 C2 (3)

donde Q1, C1 y Q2 son constantes

La concentracin de soluto en el tanque en cualquier instante de tiempo t,

viene dada por la ecuacin: C2 (t) = )t(V

)t(x, donde x(t) es la cantidad de soluto en

cualquier instante de tiempo t y V(t) denota volumen de lquido en el tanque en cualquier instante de tiempo t.

El volumen de lquido en el tanque, en cualquier instante de tiempo t, viene dado por la ecuacin V(t) = V0 + (Q1 Q2) t


3

Sustituyendo en la ecuacin (3) C2(t) = )t(V

)t(x =

t)QQ(V

)t(x

210 +

dt

dx = Q1 C1 + Q2

+ t)QQ(V

)t(x

210

ecuacin sta, que puede escribirse

dt

dx +

t)QQ(V

Q

210

2

+ x(t) = Q1 C1

La ecuacin diferencial asociada a problemas de mezclas es la ecuacin diferencial lineal

dt

dx +

t)QQ(V

Q

210

2

+ x(t) = Q1 C1

Al resolver esta ecuacin, sujeta a la condicin x(0) = x0 , se obtendr la ley de variacin de la cantidad de soluto x(t) en un instante de tiempo t

UNIDADES Y NOTACIONES

Elemento Notacin Unidades

Volumen V(t) lt gal pies3 cm3

Soluto x(t) gr-kg lb lb gr-kg

Tiempo t min min min min

Caudal de Entrada Caudal de Salida

Q1 Q2

lt/min gal/min pies3/min cm3/min

Concentracin de Entrada Concentracin de Salida

C1 C2 (t)

gr/min lb/min lb/min gr/min kg/min kg/min


4

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

A PROBLEMAS DE MEZCLAS

1. Un tanque contiene originalmente 100 galones de agua fresca. Se vierte dentro del tanque, agua que contiene libra de sal por galn a una velocidad de 2 gal/min y se permite que salga la mezcla con la misma rapidez. Despus de 10 min se para el proceso y se vierte agua fresca dentro del tanque a la velocidad de 2 gal/min, dejando salir la mezcla a la misma velocidad. Encontrar la cantidad de sal en el tanque al final de los 20 min. SOLUCIN: El problema debe resolverse en dos partes. Para el tiempo t0 = 0 min la cantidad inicial de lquido en el tanque es V0 = 100 gal; como lo que contiene el tanque es agua, la concentracin inicial es C0 = 0 lb/gal. Ya que, x0 = C0 V0 = 0, entonces la cantidad inicial de sal en el tanque para el tiempo t0 = 0 min es x0 = 0 lb. Como a los 10 min de iniciado el proceso de mezclado este se detiene, debe entonces determinarse la concentracin de sal en el tanque para t = 10 min La ecuacin diferencial asociada a los problemas de mezcla es

( ) 11210

2 CQxtQQV

Q

dt

dx=

++ (1)

Sustituyendo los datos en la ecuacin (1)

( )

=

++

2

12x

t22100

2

dt

dx

simplificando

1x50

1

dt

dx=+

despejando dt

dx

x50

11

dt

dx= (2)

Ya que la diferencial de la cantidad x de sal es dx =

dt

dx dt, sustituyendo

dt

dx dada

por la ecuacin (2)

dx =

x

50

11 dt (3)

C1 = lb/gal V0 = 100 gal Q1 =2 gal/min C0 = 0 lb/gal x0 = 0 lb Q2 = 2 gal/min


5

La ecuacin (3) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las

variables se multiplica la ecuacin (3) por el factor

x

50

11

1 =

x50

50

x50

50

dx = dt

integrando

x5050 dx = dt (4)

Ambas integrales son inmediatas

x5050 dx = x50 150 dx = x50ln50 + C1

dt = t + C2 sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (4)

x50ln50 = t + C (5)

Para determinar el valor de la constante C de integracin, se utiliza la condicin inicial, t0 = 0 min, x0 = 0 lb; estos valores se sustituyen en la ecuacin (5), obtenindose C = 50ln50 . El valor obtenido para C se sustituye en la ecuacin (5)

x50ln50 = t 50ln50

multiplicando por

50

1agrupando los logaritmos a un solo lado de la igualdad

x50ln 50ln = 50

t

aplicando propiedades de logaritmo

50

x50ln

=

50

t

aplicando e

50

x50 = 50

te

multiplicando por 50

50 x = 50 50t

e

despejando x

x = 50 50 50t

e

sacando factor comn 50


6

x (t) =

50

te150 (6)

La ecuacin (6) representa la ley de variacin de la cantidad de sal en el tanque, para el intervalo de tiempo 0 < t < 10 De aqu que, la cantidad de sal en el tanque a los 10 min, se obtiene sustituyendo t =10 min en la ecuacin (5)

x(10) =

50

10e150 =

5

1e150 = 50 ( 1 - 0,82) = 9

Por lo tanto, la cantidad de sal en el tanque al cabo de 10 min es x(10) = 9 lb. Justo a los 10 min se para el proceso de mezclado. A partir de ese momento se comienza un nuevo proceso de mezclado, por lo tanto, las condiciones iniciales del problema cambian.

Ahora, se vierte al tanque agua fresca, es decir la concentracin del lquido que se

inyecta al tanque es C1 = 0 lb/gal y se inyecta a una razn Q1 = 2 gal/min. Como se deja salir a l a misma razn, Q2 = 2 gal/min, el volumen de lquido en el tanque no vara, V0 = 100 gal y la cantidad de sal que hay en este momento en el tanque, es la cantidad de sal que se obtuvo para el tiempo t = 10 min en el primer proceso de mezclado; as x0 = 9 lb. Este nuevo proceso se muestra en la siguiente figura Sustituyendo los datos en la ecuacin (1)

( )

0xt22100

2

dt

dx=

++

simplificando

0x50

1

dt

dx=+

despejando dt

dx

x50

1

dt

dx= (7)

Ya que la diferencial de la cantidad x de

sal es dx =

dt

dx dt, sustituyendo

dt

dx dada por la ecuacin (7)

dx = x50

1 dt (8)


variables, se multiplica la ecuacin (8) por el factor x

1

C1 = 0 lb/gal V0 = 100 gal Q1 =2 gal/min C0 = 9/100 lb/gal x0 = 9 lb Q2 = 2 gal/min


7

x

1 dx =

50

1 dt

integrando

x1 dx = dt501 (9)


x1 dx = ln l x l + C3 dt = t + C4

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (9)

ln l x l = 50

t + K (10)

Para determinar el valor de la constante K de integracin, se utiliza la condicin que para el tiempo en que se inicia el nuevo proceso de mezclado t = 0 min, la cantidad de sal en el tanque es x = 9 lb. Sustituyendo en la ecuacin (10) resulta K = ln 9. Este valor de K, se sustituye en la ecuacin (10)

ln l x l = 50

t + ln 9

agrupando los logaritmos a un solo lado de la igualdad

ln l x l ln 9 =50

t


9

xln =

50

t

aplicando e

50t

e9

x =

despejando x

x (t) = 9 50t

e

(11)

La ecuacin (11) representa la ley de variacin de la cantidad de sal en el tanque una vez reiniciado el proceso (luego de haberse detenido a los primeros 10 min). Para determinar la cantidad de sal en el tanque al final de los 20 min, como ya haban transcurrido 10 min de la primera parte del proceso entonces para completar los 20 minutos, transcurren 10 minutos ms. Por lo tanto, sustituyendo t = 10 min en la ecuacin (11)

x(10) = 9 51

e

= 7,37

Por lo tanto, la cantidad de sal en el tanque al final de los 20 min es de 7,37 lb


8

C1 = 1 lb/gal Vt = 500 gal

Q1 = 3 gal/min V0 = 200 gal x0 = 100 lb Q2 = 2 gal/min

2. Un tanque con capacidad de 500 galones contiene inicialmente 200 galones de agua con 100 lb de sal en solucin. Se inyecta al tanque agua que cuya concentracin de sal es de 1 lb/gal, a razn de 3 gal/min. La mezcla debidamente agitada y homogeneizada sale del tanque a razn de 2 gal/min. a) Encuentre la cantidad de sal y la concentracin de sal en el tanque para cualquier tiempo b) Determine la concentracin de sal en el instante justo en que la solucin alcanza el volumen total del tanque SOLUCIN: a) El volumen total del tanque es Vt = 500 gal; sin embargo, antes de iniciar el proceso de mezclado, el tanque no est totalmente lleno, el volumen inicial de liquido en el tanque es V0 = 200 gal y hay disueltos x0 = 100 lb de sal. El lquido que se inyecta al tanque tiene una concentracin C1 = 1 lb/gal, y se inyecta a razn de Q1 = 3 gal /min. La mezcla debidamente agitada y homogeneizada sale del tanque a razn de Q2 = 2 gal /min La ecuacin diferencial asociada a los problemas de mezcla es

( ) 11210

2 CQxtQQV

Q

dt

dx=

++ (1)


3xt200

2

dt

dx=

++ (2)

La ecuacin (3) es una ecuacin diferencial lineal, de la forma x(t) + F(t)x =G(t). Para

resolverla debe determinarse un factor integrante (t) = dt)t(F

e

(t) = ( )2t200ln2dt

t200

2

t200ee +== ++

Multiplicando la ecuacin (2) por el factor integrante (t) = ( )2t200 +

( )2t200 + 2)t200(3x)t200(2dt

dx+=++

despejando dt

dx


9

dt

dx =

2

2

)t200(

x)t200(2)t200(3

+

++ (3)


dt

dx dt, sustituyendo

dt

dx dada

por la ecuacin (3)

dx =

+

++2

2

)t200(

x)t200(2)t200(3 dt

multiplicando por ( )2t200 + y reordenando los trminos de la ecucain ( 200 + t )2 dx + 2 ( 200 + t ) x dt = 3 ( 200 + t )2 dt (4)

Puesto que

( 200 + t )2 dx + 2 ( 200 + t ) x dt = d ( )[ ]xt200 2+ sustituyendo en la ecuacin (4)

d ( )[ ]xt200 2+ = 3 ( 200 + t )2 dt integrando

( )[ ] + xt200d 2 = + dt)t200(3 2 (5)


( )[ ] + xt200d 2 = ( 200 + t )2 x + k1 + dt)t200(3 2 = ( 200 + t )3 + k2

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (5) ( 200 + t )2 x = ( 200 + t )3 + k (6)

Para determinar el valor de la constante de integracin k, se utiliza la condicin inicial para el tiempo t = 0 min, la cantidad de sal en el tanque es x = 100 lb. Sustituyendo estos valores en la ecuacin (6)

(200)2 100 = (200)3 + k despejando k

k = (200)2 100 (200)3 = (200)2 (100 200) = 100 (200)2

este valor de k se sustituye en la ecuacin (6)

( )2t200 + x = ( )3t200 + 100 (200)2

multiplicando por ( ) 2t200 +

x(t) = ( 200 + t ) 100

2

t200

200

+ (7)

La ecuacin (7) representa la ley de variacin de la cantidad de sal en el tanque en funcin del tiempo.


10

Para determinar la ley de variacin de la concentracin de sal en el tanque en cualquier instante t, se debe recordar que la concentracin en cualquier instante t se obtiene como el cociente entre la cantidad de sal en cualquier instante t y el volumen en cualquier instante t

C(t) = )t(V

)t(x (8)

donde V(t) = V0 + ( Q1 Q2 ) t = 200 + t (9) sustituyendo las ecuaciones (7) y (9) en la ecuacin (8)

C(t) = t200

t200

200100)t200(

2

+

++

= 1 ( )

3

2

)t200(

200100

+ = 1

( )3

6

)t200(

104

+ (10)

La ecuacin (10) representa la ley de variacin de la concentracin de sal en el tanque en cualquier instante t b) Puesto que la razn de salida Q2 es inferior a la razn de entrada Q1, el volumen de lquido en el tanque va a aumentar

Q2 < Q1 Vo aumenta

El volumen de lquido en el tanque, en cualquier instante t del proceso, se obtiene por medio de la ecuacin V(t) = V0 + (Q1 Q2) t (11)

As, para determinar el tiempo que demora en alcanzarse el volumen total de lquido en el tanque, se sustituyen los datos en la ecuacin (11) 500 = 200 + ( 3 2 ) t despejando t t = 300 min = 5 h es decir, que exactamente a las 5 horas, se alcanza el volumen total de lquido en el tanque.

Para determinar la cantidad de sal y la concentracin justo en el instante que el tanque llega a su volumen mximo, se sustituye en las ecuaciones (7) y (10) el tiempo t = 300 min (que es cuando alcanza el volumen total)

x(300) = ( 200 + 300 ) 100

2

300200

200

+= 500 100

2

5

2

= 500 100

25

4 = 484

C(300) = 1 ( )

3

6

)500200(

104

+ = 1

( )( )6

6

10343

104 = 1

343

4 =

343

339 = 0,98

Luego, al cabo de 5 horas la cantidad de sal en el tanque es 484 lb y la concentracin es 0,98 lb/gal


11

3. Un tanque contiene 450 lt de lquido en el que se disuelven 30 gr de sal: Una salmuera que contiene 3 gr/lt se bombea al tanque con una intensidad de 6 lt/min, la solucin adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con una intensidad de 8 lt/min. Encuentre el nmero de gramos de sal y la concentracin de sal, que hay en el tanque en un instante cualquiera SOLUCIN: El volumen inicial de lquido en el tanque es V0 = 450 lt y la cantidad inicial de sal en el tanque es x0 = 30 gr. La salmuera que se bombea al tanque tiene una concentracin C1 = 3 gr/lt y se bombea a una razn Q1 = 6 lt/min. La solucin, debidamente agitada y homogeneizada, se extrae del tanque a razn Q2 = 8 lt/min La ecuacin diferencial asociada a los problemas de mezcla es

( ) 11210

2 CQxtQQV

Q

dt

dx=

++ (1)


( )

18xt86450

8

dt

dx=

++

simplificando

18xt225

4

dt

dx=

+

despejando dt

dx

dt

dx = x

t225

418

(2)


dt

dx dt, sustituyendo

dt

dx dada

por la ecuacin (2)

dx =

x

t225

418 dt

reordenando la ecuacin

dx + xt225

4

dt = 18 dt (3)

C1 = 3 gr/lt V0 = 450 lt

Q1 = 6 lt/min x0 = 30 gr

Q2 = 8 lt/min


12

La ecuacin (3) es una ecuacin diferencial lineal de la forma x + F(t) x = G(t), donde

F(t) = xt225

4

, G(t) = 18. Para resolver la ecuacin (3) debe determinarse un factor

integrante = dt)t(F

e

= dt)t(Fe = dtt2254

e = t225ln4

e

= ( ) 4t225 Multiplicando la ecuacin (3) por el factor integrante

( ) 4t225 dx + 4 ( ) 5t225 x dt = 18 ( ) 4t225 dt (4) Puesto que

( ) 4t225 dx + 4 ( ) 5t225 x dt = d ( )[ ]xt225 4 sustituyendo en la ecuacin (4)

d ( )[ ]xt225 4 = 18 ( ) 4t225 dt integrando

( )[ ]xt225d 4 = 18 dt)t225( 4 (5)


( )[ ]xt225d 4 = ( ) 4t225 x + k1

dt)t225( 4 = 3 )t225(3

+ k2


( ) 4t225 x = ( ) 3t2256 + k (6)

Para determinar el valor de la constante k de integracin se utiliza la condicin inicial x(0) = 30, esto es, t0 = 0 min y x0 = 30 gr se sustituyen en la ecuacin (6)

( ) 4225 30 = ( ) 32256 + k despejando k

k = ( ) 4225 30 3)225(6 = ( ) 4225 ( 30 - )225(6 ) = ( ) 4225 ( 30 - 1350) k = ( ) 4225 1320

este valor obtenido para k se sustituye en la ecuacin (6)

( ) 4t225 x = ( ) 3t2256 ( ) 4225 1320

multiplicando por ( )4t225


13

x(t) = ( )t2256 - 1320 4

225

t225

(7)

La ecuacin (7) representa la ley de variacin de la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante t. Para determinar la concentracin de sal en el tanque en un instante t cualquiera, se debe recordar que la concentracin C(t) es el cociente entre la cantidad de sal y el volumen de lquido en el tanque, en un instante t cualquiera, es decir

C(t) = )t(V

)t(x (8)

donde V(t) = V0 + ( Q1 Q2 ) t = 450 2t = 2 ( 225 t ) (9) sustituyendo las ecuaciones (7) y (9) en la ecuacin (8)

C(t) = ( )t2252

1320)t225(64

225

t225

= ( )( )4

3

225

t2256903

C(t) = ( )( )4

3

225

t2256903

(10)

La ecuacin (10) representa la ley de variacin de la concentracin de sal en el tanque en cualquier instante t. 7. Un tanque cuyo volumen es de 4000 lt est inicialmente lleno hasta la mitad de su capacidad, con una solucin en la que hay disueltos 100 kg de sal. Se bombea agua pura al tanque a razn de Q lt/min y la mezcla, que se mantiene homognea mediante agitacin, se extrae a razn de 3 lt/min. Si se sabe que al cabo de 3 horas y 20 min hay 800 lt ms de solucin en el tanque, determine a) El caudal de entrada Q b) Cantidad de sal en el tanque al cabo de 4 horas c) Tiempo que debe transcurrir para que queden en el tanque la mitad de la sal inicial d) Cantidad de sal y concentracin de sal al momento justo de comenzar a desbordarse SOLUCIN: a) La cantidad inicial de lquido en el tanque es la mitad de su capacidad total, por lo tanto, el volumen inicial de lquido es V0 = 2000 lt y la cantidad inicial de sal disuelta en los 2000 lt de solucin es x0 = 100 kg Al tanque fluye agua pura, por lo que la concentracin de entrada es C1 = 0 kg/lt y lo hace a una razn de entrada Q1 = Q lt/min. La mezcla debidamente agitada y homogeneizada se deja salir del tanque a una razn Q2 = 2 lt/min.


14

La ecuacin diferencial asociada a los problemas de mezcla es

( ) 11210

2 CQxtQQV

Q

dt

dx=

++ (1)

Observe que el caudal de entrada Q1 se desconoce. Este se determinara por medio de la ecuacin del volumen en cualquier instante t V(t) = V0 + ( Q1 Q2) t (2) De acuerdo con el enunciado, luego de 3 horas y 20 min, hay 800 lt ms de lquido en en el tanque. Es decir, para el tiempo t = 200 min el volumen de lquido es V(200) = 2800 lt; sustituyendo estos valores en la ecuacin (2)

V (200) = 2000 + ( Q1 3) 200 resolviendo

=

200

20002800 Q1 3

despejando Q1 Q1 = 7 lt/min

b) Para obtener la cantidad de sal en el tanque al cabo de 4 horas debe determinarse la ley de variacin de la cantidad de sal en el tanque, en cualquier instante t. Para ello, se sustituyen todos los datos en la ecuacin (1)

( )0x

t372000

3

dt

dx=

++

simplificando

0xt42000

3

dt

dx=

++

despejando dt

dx

dt

dx = x

t42000

3

+ (3)

Ya que, la diferencial de la cantidad x de sal es dx = dtdt

dx

, sustituyendo

dt

dx dada

por la ecuacin (3)

dx = dtxt42000

3

+ (4)


variables se multiplica la ecuacin (4) por el factor x

1

C1 = 0 Kg/lt Vt = 4000lt Q1 = Q lt/min V0 = 1000 lt x0 = 100 kg Q2 = 3 lt/min


15

x

1 dx =

t42000

3

+ dt

integrando

dxx1 = dtt420003 + (5)


dxx1 = ln l x l+ k1 dt

t42000

3 + = dtt42000443 + = t42000ln43 + + k2 sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (5)

ln l x l = t42000ln4

3+ + k (6)

Para determinar el valor de la constante k de integracin se utiliza la condicin inicial x(0) = 100, esto es, t = 0 min y x = 100 gr se sustituyen en la ecuacin (6)

ln l 100 l = 2000ln4

3 + k

despejando k

ln 100 + 2000ln4

3= k

por propiedades de logaritmo

k = ln ( )

43

2000100

Sustituyendo el valor obtenido para k en la ecuacin (6)

ln l x l = t42000ln4

3+ + ln ( )

43

2000100


ln l x l =

+

43

t500

500100ln

aplicando e

x(t) = 4

3

t500

500100

+

(7)

La ecuacin (7) representa la ley de variacin de al cantidad de sal en el tanque en cualquier instante t. La cantidad de sal, luego de 4 horas se obtiene sustituyendo t = 240 min en la ecuacin (7)


16

x(240) =4

3

t500

500100

+

= 4

34

3

37

25100

740

500100

=

= 74,52

Luego la cantidad de sal en el tanque, transcurridas 4 horas, es 74,52 kg

b) Ahora debe determinarse el tiempo que ha transcurrido para que en el tanque queden 50 kg de sal. Para ello se sustituye x = 50 en la ecuacin (7) y se busca el valor de t

50 = 4

3

t500

500100

+

Multiplicando por

100

1 y elevando a la 4/3

+

=

t500

500

2

1 34

Multiplicando por )t500(2

1 34

+

500 + t = 3

4

2

1500

despejando t

t = 500)2(500 34

= ( )

12500 3

4

Luego, debern transcurrie t = 760 min = 12 horas 40 min. Para que queden en el tanque 50 kg de sal

c) A fin de establecer la cantidad de sal y la concentracin de sal en el tanque, justo al

momento de desbordarse, debe determinarse el tiempo t para el cual el tanque comienza a desbordarse. Es decir, debe determinarse el tiempo tm para el cual el volumen de lquido en el tanque es exactamente el volumen total V(tm) = Vt = 4000 lt

Recuerde que el volumen de lquido en el tanque en cualquier instante t esta dado por

la ecuacin

V (t) = V0 + ( Q1 - Q2 ) t As, para el tiempo tm

V(tm) = V0 + ( Q1 - Q2 ) tm sustituyendo los datos

4000 = 2000 + 4 tm Despejando tm

tm = 500 min = 8h 20 min

Una vez determinado el tiempo justo en que se alcanza el volumen total de lquido en el tanque, t = 500 min, este se sustituye en la ecuacin (7)


17

x(t) = 4

3

500500

500100

+

=

43

)2(

100 = 59,46

Por lo tanto, la cantidad de sal en el tanque justo al momento de desbordarse ( t = 500min) es 59,46 kg La concentracin de sal en el tanque en cualquier instante t es igual al cociente entre la cantidad de sal y el volumen de sal en cualquier instante t

C(t) = t42000

t500

500100

)t(V

)t(x

43

+

+

= =t500

t500

50025

43

+

+

= ( )

( ) 474

3

t500

50025

+

sustituyendo t = 500 min

C(500) = ( )

( ) 474

3

500500

50025

+ =

( )

( ) 4747

43

500)2(

50025 =

( ) 47

47

)2(20

1

500)2(

25= = 0, 0148

Por lo tanto, la concentracin de sal en tanque justo al momento de desbordarse ( t = 500 min) es 0, 0148 kg/lt 9. Un tanque de 400 galones contiene la cuarta parte de su capacidad de salmuera , con una concentracin de sal de 5 kg/gal. Se inyecta salmuera al tanque con concentracin de 1 kg/gal y a razn de 5 gal/min. La salmuera, debidamente agitada y homogeneizada en el tanque, fluye a razn de Q gal /min. Si se sabe que al cabo de dos horas y media el tanque alcanza su mxima capacidad, determine a) El caudal de salida Q

b) La cantidad de sal cuando alcanza su mxima capacidad SOLUCIN: a) El tanque tiene una capacidad total Vt = 400 gal, pero solo esta lleno hasta un cuarto de su capacidad, es decir . el volumen inicial de lquido en el tanque es V0 = 100 gal. La concentracin de sal en estos 100 gal de lquido es C0 = 5 kg/gal. Puesto que la cantidad inicial de sal en el tanque est dada por

x0 = C0 V0 x0 = 5 (100) = 500 es decir, la cantidad inicial de sal en el tanque es x0 = 500 kg Al tanque se inyecta una salmuera de concentracin C1 = 1 kg/gal a una razn Q1 = 5 gal/min y la mezcla debidamente agitada y homogeneizada se extrae a razn de Q2 = Q gal/min; adems al cabo de dos horas y media, esto es 150 min, el volumen es V(150) = 400. Para determinar el valor de Q se utiliza la ecuacin del volumen en cualquier instante t : V(t) = V0 + ( Q1 Q2 ) t. Sustituyendo en la ecuacin del volumen V(150) = 400, V0 = 100, Q1 = 5 y t = 150

400 = 100 + (5 Q) 150 despejando Q


18

Q = 3150

1004005 =

De aqu que, el caudal de salida es Q2 = 3 gal/min La ecuacin diferencial asociada a los problemas de mezcla es

( ) 11210

2 CQxtQQV

Q

dt

dx=

++ (1)


( )

5xt35100

3

dt

dx=

++

Simplificando

5xt2100

3

dt

dx=

++ (2)

La ecuacin (2) es una ecuacin diferencial lineal de la forma x(t) + F(t) x = G(t),

donde t2100

3)t(F

+= y G(t) = 5. Debe buscarse un factor integrante (t) = dt)t(Fe

(t) = + dtt21003

e = + dtt2100223

e = t2100ln

23

e+

= (100 + 2t )3/2

Despejando dt

dx de la ecuacin (2)

xt2100

35

dt

dx

+= (3)


dt

dx dt, sustituyendo

dt

dx dada

por la ecuacin (3)

dx =

+ x

t2100

35 dt

equivalentemente

dx + xt2100

3

+ dt = 5 dt (4)

Multiplicando la ecuacin (4) por el factor integrante (t) = (100 + 2t )3/2

(100 + 2t )3/2

dx + 3 (100 + 2t)1/2 dt = 5 (100 + 2t )3/2 dt (5)

Puesto que

(100 + 2t )3/2

dx + 3 (100 + 2t)1/2 dt = d [ ]x) 2t (100 3/2+

C1 = 1 kg/gal Vt = 400 gal Q1 = 5 gal/min V0 = 100 gal C0 = 5 kg/gal x0 = 500 kg Q2 = 3 gal/min


19

sustituyendo en la ecuacin (5)

d [ ]x) 2t (100 3/2+ = 5 (100 + 2t )3/2 dt integrando

( )[ ] + xt2100d 2/3 = 5 ( ) + dtt2100 2/3 (6) Ambas integrales son inmediatas

( )[ ] + xt2100d 2/3 = (100 + 2t)3/2 x + k1 ( ) + dtt2100 2/3 = 2/5)t2100(51 + + k2


(100 + 2t)3/2

x = 2/5)t2100( + + k (7)

Para obtener el valor de k se utiliza la condicin x(0) = 500, es decir, se sustituye t = 0 min y x = 500 kg en la ecuacin (7)

(100)3/2

500 = (100)5/2

+ k

despejando k

k = (100)3/2

500 - (100)5/2 = (100)3/2 (500 100) = 400 (100)3/2

este valor de k se sustituye en la ecuacin (7)

(100 + 2t)3/2

x = 2/5)t2100( + + 400 (100)3/2

multiplicando por ( ) 2/3t2100 +

x(t) = (100 + 2t) + 400

2/3

t2100

100

+

(8)

La ecuacin (8) representa la ley de variacin de la cantidad de sal en el tanque en un instante t cualquiera. Para determinar la cantidad de sal presenta en el tanque cuando este alcanza su volumen total, bastara con sustituir en la ecuacin (8), el tiempo que demora en alcanzar la capacidad total, esto es t = 150 min se sustituye en la ecuacin (8)

x(150) = (100 + 300) + 400

2/3

300100

100

+

= 400 + 400

2/3

4

1

= 400 +

8

400 =

8

3600 = 450

Por lo tanto la cantidad de sal presente en el tanque, cuando alcanza su mxima capacidad es 450 kg 11. Se bombea cerveza con un contenido de 6% de alcohol por galn, a un tanque que inicialmente contiene 400 gal de cerveza con 3% por galn de alcohol. La cerveza se


20

bombea hacia el interior con una rapidez de 3 gal/min en tanto que el lquido mezclado se extrae con una rapidez de 4 gal/min. a) Obtenga el nmero de galones de alcohol que hay en el tanque en un instante cualquiera b) Cul es el porcentaje de alcohol en el tanque luego de 60 min? c) Cunto demorar el tanque en vaciarse? SOLUCIN: a) El volumen inicial de cerveza en el tanque es V0 = 400 gal y la concentracin inicial de alcohol es C0 = 3 % alch / gal, esto es C0 = 0,03; L la concentracin de cerveza que entra al tanque es C1 = 6% alch/gal esto es, C1 = 0,06; la razn de entrada es Q1 = 3 gal /min. Lal cerveza una vez mezclada y homogeneizada, sale del tanque con una razn de salida Q2 =4 gal/min La cantidad inicial de alcohol en el tanque es x0 = V0 C0 = 400 (0,03) = 12 lb

La ecuacin diferencial asociada a los problemas de mezcla es

( ) 11210

2 CQxQQV

Q

dt

dx=

++ (1)


50

9x

t400

4

dt

dx=

+ (2)

La ecuacin (2) es una ecuacin diferencial lineal de la forma x +F(t) x = G(t), donde

F(t) =t400

4

y G(t) =

50

9. Para resolver la ecuacin (2) debe determinarse un factor

integrante (t) =

( ) dttFe

(t) =

( ) dttFe =

dtt4004e =

dtt400 14e =

t400ln4e

= ( ) 4t400

Despejando dt

dx de la ecuacin (2)

xt400

4

50

9

dt

dx

= (3)

C1 = 6% alch/gal V0 = 400 gal Q1 = 3 gal/min C0 =3% alch/gal Q2 = 4 gal/min


21

puesto que, la diferencial de la cantidad x de cerveza es dx = dtdt

dx

, sustituyendo

dt

dx

dada por la ecuacin (3)

dx = dtxt400

4

50

9

reordenando los trminos de la ecuacin

dt50

9dtx

t400

4dx =

+ (4)

Multiplicando la ecuacin (4) por el factor integrante (t) = ( ) 4t400

( ) 4t400 dx + ( ) 4t400 dtxt400

4

= ( ) 4t400 dt

50

9

simplificando

( )4

t400 dx + 4 ( ) 5t400 x dt =

50

9 ( ) 4t400 dt (5)

Puesto que

( ) 4t400 dx + 4 ( ) 5t400 x dt = ( )[ ]xt400d 4 sustituyendo en la ecuacin (5)

( )[ ]xt400d 4 = 50

9 ( ) 4t400 dt integrando

( )[ ] xt400d 4 = 509 ( ) 4t400 dt (6)


( )[ ] xt400d 4 = ( ) xt400 4 + k1 509 ( ) 4t400 dt = 509 ( ) dtt400 4 = 509 ( )

3

t4003

= ( ) 3t40050

3 + k2


( ) xt4004 = ( ) 3t400

50

3 + k (7)

Para determinar el valor de la constante k de integracin debe utilizarse al condicin inicial: para el tiempo t = 0 min, x = 12 gal; estos valores se sustituyen en la ecuacin (7)

( ) 12400 4 = ( ) 340050

3 + k

despejando k


22

k = ( ) 12400 4 ( ) 340050

3 = 3 ( ) 3400

50

1

400

4 = 3 ( ) 3400

50

1

100

1

de aqu que

k =( )

100

40033

este valor que se obtuvo para k, se sustituye en la ecuacin (7)

( ) xt400 4 = ( ) 3t40050

3 ( )

100

40033

multiplicando por ( ) 4t400

x(t) = ( ) 3t40050

3 ( )4t400 ( )100

40033

( )4t400 simplificando

x(t) = ( )t40050

3

100

)400(3

4

400

t400

esto es

x(t) = ( )t40050

3 12

4

400

t400

(8)

La ecuacin (8) representa la ley de variacin de la cantidad galones de alcohol en el tanque en un instante t cualquiera. b) Para poder establecer cul es el porcentaje de alcohol que hay en el tanque despus de 60 min de iniciado el proceso, deber determinarse la concentracin de alcohol al cabo de 60 min.

Primero se busca la cantidad de alcohol en el tanque luego de 60 min. Para ello se sustituye t = 60 min en la ecuacin (8)

x(60) = ( )6040050

3 12

4

400

60400

= ( )340

50

312

4

400

340

= 5

10212

4

20

17

= 20,4 6,264 = 14,136

La concentracin de alcohol a los 60 min esta dada por

C(60) = )60(V

)60(x (9)

Ya que el volumen de cerveza en cualquier instante t esta dado por la ecuacin

V(t) = V0 + ( Q1 Q2 ) t entonces V(60) = 400 + (3 4) 60 = 400 60 = 340 gal (10)

Sustituyendo x(60) = 14,136 y V(60) = 340 en la ecuacin (8)


23

C(60) = )60(V

)60(x =

340

136,14 = 0,0416

De aqu se tiene que, la concentracin de alcohol en el tanque es 0,0416, es decir, el porcentaje de alcohol en el tanque al cabo de 60 min es 4,16% c) Para saber cuanto demorar el tanque en vaciarse, lo que se debe es determinar el tiempo t para el cual el volumen de lquido en el tanque V(t) es igual a cero, es decir,

V(t) = V0 + ( Q1 Q2) t = 400 t = 0 t = 400 min

Por lo tanto, deber transcurrir un tiempo t = 400 min = 6horas y 40 min para que el tanque se vace.


24

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE MEZCLAS

1. Un tanque de 150 galones est lleno en sus dos terceras partes con una solucin que contiene 50 lb de sal disuelta. Entra salmuera cuya concentracin es de 25 libras por galn a razn de 4 galones por minuto. Si mediante agitacin la mezcla se mantiene uniforme y se extrae a razn de 3 galones por minuto a) Cul es la ley de variacin de la cantidad de sal en el tanque en funcin del tiempo? b) Qu cantidad de sal y que concentracin de sal contendr el tanque en el instante en que se comienza a desbordar?

R: a) x(t) = 25 (100+t) 2450 3

t100

100

+

b) x(50) = 3024,074 lb ; C(50) = 20,16 lb/gal

2. Un tanque con 2400 lt de capacidad est lleno en un 80% con una solucin salina de concentracin 0,05 kg/lt. Se inyecta una solucin a razn de Q lt/min, de concentracin 0,08 kg/lt; la mezcla debidamente agitada y homogeneizada se extrae a razn de 10 lt/min. Si se sabe que al cabo de 8 horas el tanque comienza a desbordarse. Determine: a) El caudal Q b) La ley de variacin de la cantidad de sal en funcin del tiempo c) La cantidad de sal y la concentracin al cabo de 6 horas

R: a) Q = 11 lt/min b) x(t) = 10

t1920

1920

5

288)t1920(

25

2

+

+ c) x(360) = 172 kg

C(360) = 0,075 kg/lt 3. Un tanque contiene 200 lt de una solucin salina de concentracin 0,08 kg/lt. Se inyecta al mismo una corriente salina a razn de Q lt/min, de concentracin 4 kg/lt y la mezcla ya homognea es extrada a razn de 6 lt/min. Si se descarga completamente en 3 horas y 20 min, determine: a) El caudal Q b) Ley de variacin de la cantidad de sal en cualquier instante t c) Ley de variacin de la concentracin en cualquier instante t.

R: a) Q = 5 lt/min b) x(t) = 4 (200 t) 784 6

200

t200

c) C(t) = 4

5

200

t200

25

98

4. Una corriente salina de concentracin C kg/lt entra a un depsito que contiene 10 kg de sal disueltos en 180 lt de agua, con una rapidez de 6 lt/min. Si la mezcla agitada y homogeneizada se extrae del depsito a razn de 8 lt/min y a los 10 min del proceso de mezclado, hay 8,6243 kg de sal presentes en el depsito, determine: a) La concentracin C b) Ley de variacin de la cantidad de sal en cualquier instante t c) Cantidad de sal y concentracin al cabo 30 min de iniciado el proceso.

R: a) C = 0,05 kg/lt b) x(t) = ( )4

90

t90t90

10

1

+ c) x(30) = 6,1975 kg

C(30) = 0,0516 Kg


25

5. Entra agua pura a un tanque a razn de 12 lt/min y la mezcla sale a razn de 8 lt/min . Si inicialmente hay disueltos 30 kg de soluto en 400 lt de agua, determine: a) Ley de variacin de la concentracin en funcin del tiempo b) Cantidad de soluto y concentracin en el tanque transcurrida 1 hora y media c) Tiempo que debe transcurrir para que queden en el tanque 10 kg de soluto.

R: a) x(t) = 2

5

)t100(

10.3

+ b) x(90) = 8,31 kg ; C(90) = 0,0109 kg/lt c) 1 h 13 min 12 seg

6. Un depsito de 400 lt est lleno en un 75% de su capacidad con una solucin de concentracin 0,08 kg/lt. Se inicia el proceso de mezclado inyectando una corriente de concentracin 0,05 kg/lt a razn de 8 lt/min y simultneamente se extrae a razn de Q lt/min. Si se sabe que el tanque se desbordara a la hora y cuarenta minutos de iniciado el proceso, determine: a) El caudal Q b) Ley de variacin de la cantidad de sal y de la concentracin en un instante t cualquiera c) Cantidad de sal y concentracin de sal en el tanque luego de 70 min

R: a) Q = 7 lt/min b) x(t) = 7

t300

3009)t300(

20

1

+

++ ; C(t) = 8

t300

300

100

3

20

1

+

+

c) x(70) = 20,573 kg ; C(70) = 0,055 kg/lt 7. Una corriente salina de concentracin C kg/lt entra a un depsito, con una rapidez de 8 lt/min. El depsito contiene inicialmente 900 lt de una salmuera en la que hay disueltos 50 kg de sal,. Si la mezcle debidamente homogeneizada se extrae a razn de 12 lt/min y a los 10 min del proceso hay 49,2312 kg de sal en el depsito, determine; a) La concentracin C b) Ley de variacin de la cantidad de sal y de la concentracin en cualquier instante t c) Cantidad de sal y concentracin al cabo de 20 min

R: a) C = 0,075 g/lt b) x(t) = 3

225

t225

2

35)t225(

10

3

; C(t) =

2

225

t225

360

7

40

3

c) x(20) = 48,2642 kg C(20) = 0,0588 kg/lt 8. Un tanque de 400 galones de capacidad contiene inicialmente 100 galones de una salmuera en la que hay disueltos 50 lb de sal. Entra salmuera con una concentracin de 1 lb/gal al tanque a razn de 5 gal /min y la salmuera debidamente mezclada en el tanque es extrada a razn de 3 gal/min. Determine a) La cantidad de sal y la concentracin de sal en cualquier instante t b) Cantidad de sal y concentracin en el instante en que el tanque se llena completamente.

R: a) x(t) = (100 + 2t) 2

3

4

)t2100(

10.5

+

; C(t) = 1

25

4

)t2100(

10.5

+

b) x(150) = 393,75 lb

C(150) = 0,98 lb/gal 9. Un depsito de 250 lt est lleno con una solucin de concentracin 0,2 kg/lt. Se inicia un proceso de mezclado inyectando una corriente concentrada de 0,8 kg/lt a razn de 5 lt/min y simultneamente se descarga la mezcla bien homognea a razn de Q lt/min. Si transcurridos 50 min de iniciado el proceso slo quedan 100 lt de solucin en el depsito. Determine:


26

a) El caudal Q b) Ley de variacin de la cantidad de sal y de la concentracin en cualquier instante t c) Cantidad de sal y concentracin al cabo de 30 min.

R: a) Q = 8 lt/min b) x(t) = 38

250

t3250150)t3250(

5

4

; C(t) =

35

250

t3250

5

3

5

4

c) x(30) = 105,62 kg ; C(30) = 0,31 kg/lt 10. Un depsito est lleno con 1000 lt de agua pura. Se inyecta al mismo una corriente salina de concentracin 1 kg/lt a razn de 6 lt/min. La mezcla debidamente agitada y homogeneizada es extrda a razn de Q lt/min. Si se sabe que la cabo de 2 horas y media el tanque se vaca 300lt, determine: a) El caudal Q b) Ley de variacin de la cantidad de sal y de la concentracin en cualquier instante t c) Cantidad de sal y concentracin al cabo de 3 horas y 20 min

R: a) Q = 8 lt/min b) x(t) = 2 (500 + t) 1000 4

500

t500

; C(t) = 1

3

500

t500

c) x(200) = 587,04 kg ; C(200) = 0,784 kg/lt

Date post:	03-Mar-2016
Category:	Documents
Upload:	dwight-turner
View:	230 times
Download:	5 times

Problemas de Mezclas

Documents