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Problemas de selectividad. Geometría afín-euclídea
14.01.- Sean las rectas r ≡
z
y
x
1
1
y s ≡ 2
1
12
1
zyx.
a) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s. b) Calcula la distancia entre r y s. 14.02.- Considera la ecuación del plano π ≡ 2x + y – z + 2 = 0 y la recta r de ecuación
3
6
2
5
zy
x.
a) Determina la posición relativa de π y r. b) Halla la ecuación general del plano que contiene a r y es perpendicular a π. c) Halla las ecuaciones paramétricas del plano paralelo a π que contiene a r. 14.03.- Considera la recta r que pasa por los puntos A ( 1, 0, -1) y B ( -1, 0, 1). a) Halla la ecuación de la recta s paralela a r que pasa por C ( -2, 3, 2). b) Calcula la distancia de r a s.
14.04.- Sea la recta r definida por
12
32
zyx
zyx
a) Determina la ecuación general del plano que contiene a r y pasa por el origen de coordenadas.
b) Halla las ecuaciones paramétricas del plano que corta perpendicularmente a r en el punto ( 1, 1, 0).
14.05.- Considera los vectores )0,1,(),1,0,1(),3,1,1( wvu .
a) Calcula los valores de λ que hacen que u y v sean ortogonales.
b) Calcula los valores de λ que hacen que u , v y w sean linealmente independientes.
c) Para λ = 1 escribe el vector )2,0,3(r como combinación lineal de u , v
y w .
14.06.- Sea r la recta dada por 3
11
2
2
zy
x y sea s la recta dada por
063
03
zy
yx
a) Estudia la posición relativa de r y s. b) Halla la ecuación general del plano que contiene a r y es paralelo a s.
14.07.- Considera los vectores )32,2,1(),2,1,0(),0,1,1( wvu . Halle
los valores de α en cada uno de los siguientes casos.
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a) u , v y w están en el mismo plano.
b) w es perpendicular a u y a v .
c) El volumen del tetraedro que tiene por aristas los vectores u , v , w es 6
1.
14.08.- Considera el punto P ( 2, -2, 0) y la recta r dada por
01
02
zy
zx.
a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y es perpendicular a r. b) Calcula la distancia de P a r. 14.09.- Sean A ( -3, 4, 0), B ( 3, 6, 3) y C ( -1, 2, 1) los vértices de un triángulo. a) Halla la ecuación del plano π que contiene al triángulo.
b) Halla la ecuación de la recta perpendicular a π que pasa por el origen de coordenadas.
c) Calcula el área del triángulo ABC.
14.10.- Considera el punto A ( 8, -1, 3) y la recta r dada por 3
12
2
1
zy
x.
a) Calcula la ecuación del plano que pasa por A y es perpendicular a r. b) Halla el punto simétrico de A respecto de r.
14.11.- Considera los puntos A ( 1, 1, 2) y B ( 1, -1, -2) y la recta r dada por
1
21
z
ty
tx
a) Halla la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por A y por B.
b) Halla el punto de la recta r que está a la misma distancia de A y de B.
14.12.- Sea r la recta que pasa por los puntos A ( 1, 0, -1) y B ( 2, -1, 3). a) Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta r.
b) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y pasa por el origen de coordenadas.
13.01.- Sea r la recta que pasa por el punto ( 1, 0, 0) y tiene como vector de dirección
( a, 2a, 1) y sea s la recta dada por
0
22
zax
yx
a) Calcula los valores de a para los que r y s son paralelas. b) Calcula, para a = 1, la distancia entre r y s.
13.02.- Considera los puntos P( 2, 3, 1) y Q( 0, 1, 1).
a) Halla la ecuación del plano π respecto al cual P y Q son simétricos. b) Calcula la distancia de P a π.
13.03.- Calcula la distancia entre las rectas
zyxr y 321 zyxs
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13.04.- Considera las rectas
zyxr
1
2
y
xs y
1
3
21
z
y
x
t
Halla la recta que corta a r y a s y es paralela a t.
13.05.- Determina el punto de la recta 123
1
z
yxr que equidista de los planos
0231 zyx y
z
y
x
1
34
2
13.06.- Considera los puntos A( 0, 5, 3), B(-1, 4, 3), C( 1, 2, 1) y D( 2, 3, 1). a) Comprueba que los cuatro puntos son coplanarios y que ABCD es un
rectángulo. b) Calcula el área de dicho rectángulo.
13.07.- Considera el plano π de ecuación 0632 zyx .
a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π con los ejes coordenados.
b) Calcula el volumen del tetraedro determinado por el plano π y los planos coordenados.
13.08.- Considera los puntos A( 1, 0, 2), B( -1, 3, 1), C( 2, 1, 2) y D( 1, 0, 4).
a) Halla la ecuación del plano que contiene a A, B y C. b) Halla el simétrico de D respecto del plano x – y – 5z + 9 = 0.
13.09.- Considera los puntos A( 1, 2, 1), B( -1, 0, 2) y C( 3, 2, 0) y el plano π
determinado por ellos. a) Halla la ecuación de la recta r que está contenida en π y tal que A y B
son simétricos respecto de r. b) Calcula la distancia de A a r.
13.10.- Considera las rectas r y s dadas por
z
y
x
r 53
32
y
05
01
z
yxs
a) Determina la posición relativa de r y s. b) Calcula la distancia entre r y s.
13.11.- Del paralelogramo ABCD se conocen los vértices A(-1, 0, 3), B( 2, -1, 1) y
C( 3, 2, -3). a) Halla la ecuación del plano que contiene al paralelogramo. b) Halla la ecuación de la recta que contiene a la diagonal AC del
paralelogramo.
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c) Calcula las coordenadas del vértice D. 13.12.- Considera los puntos A( 1, 2, 3) y B(-1, 0, 4).
a) Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales.
b) Halla la ecuación del plano que pasa por A y es perpendicular al segmento AB.
12.01.- El punto M( 1, -1, 0) es el centro de un paralelogramo y dos vértices
consecutivos del mismo son A( 2, 1, -1) y B( 0, -2, 3). a) Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo. b) Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho
paralelogramo. 12.02.- Calcula de manera razonada la distancia del eje OX a la recta r de ecuaciones
032
432
zyx
yx
12.03.- Dadas las rectas 4
8
4
9
6
3
zyxr y
2
8
2
9
3
3
zyxs .
a) Determina la posición relativa de las rectas r y s. b) Calcula la distancia entre r y s. 12.04.- Los puntos A( 1, 1, 5) y B( 1, 1, 2) son vértices consecutivos de un rectángulo
ABCD. El vértice C, consecutivo a B, está en la recta 2
1
2
6
zyx .
Determina los vértices C y D. 12.05.- Se consideran los vectores )k,,(w),,,(v),,,k(u 1121211
, donde k
es un número real. a) Determina los valores de k para los que wyv,u
son linealmente
dependientes. b) Determina los valores de k para los que wvyvu
son ortogonales.
c) Para k = -1, determina aquellos vectores que son ortogonales a wyv
y
tienen módulo 1.
12.06.- Encuentra los puntos de la recta 32
2
4
1
z
yxr cuya distancia al
plano 122 zyx vale cuatro unidades.
12.07.- De un paralelogramo ABCD conocemos tres vértices consecutivos: A( 2, -1, 0),
B( -2, 1, 0) y C( 0, 1, 2). a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es
perpendicular al plano que lo contiene. b) Halla el área de dicho paralelogramo. c) Calcula el vértice D.
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12.08.- Sean r y s las rectas dadas por
26
1
1
1
3
6 zyxs
zx
zyxr
a) Determina el punto de intersección de ambas rectas. b) Calcula la ecuación general del plano que las contiene. 12.09.- Sean los puntos A( 0, 0, 1), B( 1, 0, -1), C(0, 1, -2) y D( 1, 2, 0). a) Halla la ecuación del plano π determinado por los puntos A, B y C. b) Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios. c) Calcula la distancia do punto D al plano π. 12.10.- Halla el punto simétrico de P( 2, 1, -5) respecto a la recta r definida por
02
0
yx
zx
12.11.- Determina el punto P de la recta 3
4
3
5
2
3
zyxr que equidista del
origen de coordenadas y del punto A( 3, 2, 1).
12.12.- Considera el punto P( 1, 0, 2) y la recta r dada por
082
042
zy
yx.
a) Calcula la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r. b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r. 11.01.- Dados los puntos A ( 1, 0, 0), B ( 0, 0, 1) y P ( 1, -1, 1) y la recta r definida
por
0
02
z
yx.
a) Halla los puntos de la recta r cuya distancia al punto P es de 3 unidades. b) Calcula el área del triángulo ABP.
11.02.- Dados el punto P ( 1, 1, -1) y la recta r de ecuaciones
0
1
zy
zx
a) Halla la ecuación del plano que contiene a r y pasa por P. b) Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación y + z = 0, que
es perpendicular a r y pasa por P. 11.03.- considera los puntos A (-1, k, 3), B ( k+1, 0, 2), C ( 1, 2, 0) y D ( 2, 0, 1).
a) ¿Existe algún valor de k para el que los vectores CDyBCAB ,, sean
linealmente dependientes? b) Calcula los valores de k para los que los puntos A, B, C y D forman un
tetraedro de volumen 1.
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11.04.- Dados el plano π de ecuación x + 2y – z = 0 y la recta r de ecuaciones
134
53
zyx
yx.
a) Halla el punto de intersección del plano π y la recta r. b) Halla el punto simétrico del punto Q ( 1,-2, 3) respecto del plano π.
11.05.- Sea el punto P( 2, 3,-1) y la recta r dada por las ecuaciones
z
y
x
2
1
.
a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por P. b) Calcula la distancia del punto P a la recta r y determina el punto simétrico
de P respecto a r. 11.06.- Considera los planos π1 y π2 dados respectivamente por las ecuaciones
( x, y, z) = (-2, 0, 7) + ( 1,-2, 0) + µ ( 0, 1,-1) y 2 x + y – z + 5 = 0
Determina los puntos de la recta r definida por 3
11
zyx que
equidistan de π1 y π2.
11.07.- Dada la recta r definida por 32
1
3
1
z
yx y la recta s definida por
22
1
zy
x
a) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r. b) Halla la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a r.
11.08.- Dada la recta r definida por zyx
1
7
2
7 y la recta s definida por
z
y
x
5
2
.
a) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a ambas. b) Calcula la distancia entre r y s. 11.09.- Considera los puntos A ( 1, 0, 2) y B ( 1, 2,-1).
a) Halla un punto C de la recta de ecuación zyx
23
1 que verifica que el
triángulo de vértices A, B y C tiene un ángulo recto en B. b) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y D donde D es el punto de
corte del plano de ecuación 2 x – y + 3 z = 6 con el eje OX. 11.10.- Considera los planos π1, π2 y π3 dados respectivamente por las ecuaciones
3 x - y + z = 0, x – 2 y + z – 1 = 0, y x + z – 4 = 0 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P ( 3, 1,-1), es paralela al
plano π1 y corta a la recta intersección de los planos π2 y π3.
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11.11.- Determina el punto simétrico del punto A (-3, 1, 6) respecto de la recta r de
ecuaciones 2
1
2
31
zyx .
11.12.- Considera los puntos A ( 1, 0,-1) y B ( 2, 1, 0), y la recta r dada por
2
1
zx
yx
a) Determina la ecuación del plano que es paralelo a r y pasa por A y B. b) Determina si la recta que pasa por los puntos P ( 1, 2, 1) y Q( 3, 4, 1) está
contenida en dicho plano.
10.01.- Considera las rectas r y s de ecuaciones z1y1x y
1zy
1y2x
a) Determina su punto de corte. b) Halla el ángulo que forman r y s. c) Determina la ecuación del plano que contiene a r y s. 10.02.- Los puntos P( 2, 0, 0) y Q( -1, 12, 4) son dos vértices de un triángulo. El
tercer vértice, S pertenece a la recta de ecuación
0y
33z3x4
a) Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que r es perpendicular a la recta que pasa por P y S.
b) Comprueba si el triángulo es rectángulo. 10.03.- Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del
plano 6x + 3y + 2z = 6 con los ejes de coordenadas. 10.04.- Sean los puntos A( 1, 1, 1), B( -1, 2, 0), C( 2, 1, 2) y D( t, -2, 2) a) Determina el valor de t para que A, B, C y D estén en el mismo plano. b) Halla la ecuación de un plano perpendicular al segmento determinado por A
y B que contenga al punto C. 10.05.- Considera los puntos A( 1, 0, 2), B( -1, 2, 4) y la recta r definida por
3
1z1y
2
2x
.
a) Determina la ecuación del plano formado por los puntos que equidistan de A y de B.
b) Halla la ecuación del plano paralelo a r y que contiene los puntos A y B. 10.06.- Considera los puntos A( 1, 1, 1), B( 0, -2, 2), C(-1, 0, 2) y D( 2, -1, 2). a) Calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D. b) Determina la ecuación de la recta que pasa por D y es perpendicular al
plano que contiene a los puntos A, B y C.
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10.07.- Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta r de ecuaciones
019zy2
011y2x y contiene a la recta s definida por
22z
32y
51x
10.08.- Considera los planos π1, π2 y π3 dados respectivamente por las ecuaciones
0zay,1yx y 1aazy)a1(x
a) ¿Cuánto ha de valer a para que no tengan ningún punto en común? b) Para a = 0, determina la posición relativa de los planos.
10.09.- Considera los puntos A( 1, 2, 1) y B( -1, 0, 3). a) Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres
partes iguales. b) Halla la ecuación del plano perpendicular al segmento AB que pasa por A. 10.10.- Considera el plano π definido por 0nzyx2 y la recta r dada por
2
1z
4
y
m
1x
con m ≠ 0.
a) Calcula m y n para que la recta r sea perpendicular al plano π. b) Calcula m y n para que la recta r esté contenida en el plano π. 10.11.- Halla el punto simétrico de P( 1, 1, 1) respecto a la recta r de ecuación
1
1z
3
y
2
1x
10.12.- Sean los puntos A( 2, λ, λ), B( -λ, 2, 0) y C( 0, λ, λ-1). a) ¿Existe algún valor de R para el que los puntos A, B y C estén
alineados? Justifica la respuesta. b) Para λ = 1 halla la ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices
A, B y C. Calcula la distancia del origen de coordenadas a dicho plano. 09.01.- Sean el punto A( 1, -2, 1) y la recta r definida por las ecuaciones
7zyx2
2yx.
a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A. b) Calcula la distancia del punto A a la recta r.
09.02.- Considera la recta r definida por
2zx2
1y y la recta s definida por
45z
3y
34x
. Halla la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.
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09.03.- Considera el punto P( 1, 0, 0), la recta r definida por 2
1z
2
y3x
y la
recta s definida por )0,2,1()0,1,1()z,y,x( .
a) Estudia la posición relativa de r y s. b) Halla la ecuación del plano que, pasando por P, es paralelo a r y s.
09.04.- Sean la recta r
01zyx
03yx y la recta s
03z2x
01y2.
a) Determina la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. b) ¿Existe algún plano que contenga a r y sea perpendicular a s? Razona la
respuesta.
09.05.- Se considera la recta r definida por
2z
1y
1x
y la recta s definida por
1z
1y
x
. Halla la ecuación de la recta perpendicular común a r y a s.
09.06.- Considera la recta r definida por
0zy
2yx y la recta s que pasa por los
puntos A ( 2, 1, 0) y B ( 1, 0, -1). a) Estudia la posición relativa de ambas rectas.
b) Determina un punto C de la recta r tal que los segmentos CA y CB sean perpendiculares.
09.07.- Considera el punto P ( 1, 0, -2) , la recta r definida por
02zy
01y2x y el
plano π de ecuación 01z3yx2 .
a) Halla la ecuación del plano que pasa por P, es paralelo a r y es perpendicular a π.
b) Halla la ecuación de la recta que pasa por P, corta a r y es paralela a π. 09.08.- Considera el plano π de ecuación 7z2y2x3 y la recta r definida por
2
2z
1
1y
2
2x
.
a) Determina la ecuación del plano paralelo a π que contiene a r. b) Halla la ecuación del plano ortogonal a π que contiene a r. 09.09.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A ( 1, 1, -1) , es paralela al
plano de ecuación 1zyx y corta al eje Z.
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09.10.- Sea la recta r definida por
0zx3
0y2x3.
a) Determina la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por P ( 1, 1, 1). b) Halla los puntos de r cuya distancia al origen es de 4 unidades.
09.11.- Sea la recta r definida por
3zx
2yx y la recta s
2zy2
1x.
a) Estudia la posición relativa de r y s. b) Halla la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a r.
09.12.- Sea el punto P ( 2, 3, -1) y la recta r definida por
1z4y2x
1z2yx.
a) Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r. b) Halla el punto de r que está más cerca de P. 08.01.- Los puntos A (-2, 3, 1), B ( 2,-1, 3) y C ( 0, 1,-2) son vértices consecutivos del
paralelogramo ABCD. a) Halla las coordenadas del vértice D. b) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por B y es paralela a la diagonal
AC. c) Halla la ecuación del plano que contiene a dicho paralelogramo.
08.02.- Sea la recta r dada por
mzyx
2zmyx2 y el plano π definido por
1zymx .
a) ¿Existe algún valor de m para el que π y r son paralelos? b) ¿Para qué valor de m está la recta contenida en el plano? c) ¿Cuál es la posición relativa de la recta y el plano cuando m = 0?
08.03.- Sea la recta s dada por
3zy2
1zx.
a) Halla la ecuación del plano π1 que es paralelo a la recta s y que contiene a la recta r, dada por 3z2y1x .
b) Estudia la posición relativa de la recta s y el plano π2, de ecuación 3yx , y deduce la distancia entre ambos.
08.04.- Dados los puntos A ( 1, 1, 0), B ( 1, 1, 2) y C ( 1,-1, 1).
a) Comprueba que no están alineados y calcula el área del triángulo que determinan.
b) Halla la ecuación del plano que contiene al punto A y es perpendicular a la recta determinada por B y C.
08.05.- Dada la recta r definida por 1
2z
3
1y
2
1x
.
a) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r.
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b) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a r. 08.06.- Dados los puntos A ( 2, 1, 1) y B ( 0, 0, 1), halla los puntos C en el eje OX
tales que el área del triángulo de vértices A, B y C es 2.
08.07.- Considera la recta r definida por
3zy3
0x y la recta s definida por
0y
3zx2.
a) Estudia la posición relativa de r y s. b) Halla la ecuación general de un plano que contiene a s y es paralelo a r.
08.08.- Sea la recta r definida por
0yx
1x y sean los planos π1, de ecuación
0zyx , y π2, de ecuación 0zy . Halla la recta contenida en el plano
π1, que es paralela al plano π2 y que corta a la recta r. 08.09.- Se sabe que los planos de ecuaciones 1zby2x , 0zbyx2 ,
1z2y3x3 se cortan en una recta r.
a) Calcula el valor de b, b) Halla unas ecuaciones paramétricas de r.
08.10.- Dados los puntos A ( 2, 1,-1) y B (-2, 3, 1) y la recta r definida por las
ecuaciones
5z2x3
1zyx halla las coordenadas de un punto de la recta r
que equidiste de los puntos A y B. 08.11.- Se considera la recta r definida por )0m(,2zyxm , y la recta s
definida por 2
z1y
4
4x
.
a) Halla el valor de m para el que r y s son perpendiculares. b) Deduce razonadamente si existe algún valor de m para el que r y s son
paralelas. 08.12.- Considera los puntos A ( 2, 0, 1), B (-1, 1, 2), C ( 2, 2, 1) y D ( 3, 1, 0).
a) Calcula la ecuación del plano π que contiene a los puntos B, C y D. b) Halla el punto simétrico de A respecto al plano π.
07.01.- a) Halla los dos puntos que dividen al segmento de extremos A(1, 2, 1) y
B(-1, 0, 3) en tres partes iguales.
b) Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio.
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07.02.- Considera los vectores )0,m2,1(w),1,m,0(v),m,1,1(u .
a) Determina el valor de m para que los vectores wyv,u sean linealmente
dependientes.
b) Para el valor de m obtenido en el apartado anterior, expresa el vector w
como combinación lineal de los vectores vyu .
07.03.- Considera los planos de ecuaciones x – y + z = 0 y x + y – z = 2.
a) Determina la recta que pasa por el punto A (1, 2, 3) y no corta a ninguno de los planos dados.
b) Determina los puntos que equidistan de A (1, 2, 3) y B (2, 1, 0) y pertenecen a la recta de intersección del os planos dados.
07.04.- Considera los puntos A (0, 3,-1) y B (0, 1, 5).
a) Calcula los valores de x sabiendo que el triángulo ABC de vértices A (0, 3, -1), B (0, 1, 5) y C (x, 4, 3) tiene un ángulo recto en C.
b) Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos ( 0, 1, 5) y ( 3, 4, 3) y
es paralelo a la recta definida por las ecuaciones
3yx2
0zyx.
07.05.- Sea r la recta definida por 5
z
4
ky
3
2x
y s la recta definida por
3
3z
2
1y
1
2x
.
a) Halla k sabiendo que las rectas r y s se cortan en un punto. b) Determina la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s.
07.06.- Halla la ecuación de la recta contenida en el plano x + 2y + 3z – 1 = 0 que
corta perpendicularmente a la recta definida por
3z2y
4z2x en el punto de
coordenadas ( 2, 1,-1).
07.07.- Considera la recta r definida por 2
1z
4
y1x
y el plano π de ecuación
0zyx2 . Determina α y β en cada uno de los siguientes casos:
a) La recta r es perpendicular al plano π. b) La recta r está contenida en el plano π. 07.08.- Calcula la distancia del punto P ( 1,-3, 7) a su punto simétrico respecto de la
recta definida por
06zyx
02zyx3.
07.09.- a) Encuentra la ecuación de la recta r que pasa por el origen de coordenadas y
es paralela a los planos π1 de ecuación 33zyx y π2 de ecuación
2zyx .
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b) Halla la distancia de la recta r al plano π1.
07.10.- Considera el punto P (1, 0,-2) y la recta r definida por
7z4yx2
5yx2.
a) Determina la recta perpendicular a r que pasa por P. b) Halla la distancia entre el punto P y su simétrico Q respecto a la recta r.
07.11.- Considera el plano π de ecuación 06zy2x2 y el punto P (1, 0,-1).
a) Calcula la recta que pasa por el punto P y es perpendicular al plano π. b) Encuentra el punto simétrico de P respecto del plano π.
07.12.- Considera el plano π de ecuación 06zy2x2 y la recta r definida
por 2
z
1
1y
2
1x
.
a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π con los ejes de coordenadas.
b) Calcula, razonadamente, la distancia de la recta r al plano π.
06.01.- Sea r la recta de ecuación
t4z
t21y
tax
y s la recta de ecuación
3
z
1
2y
2
1x
.
a) Calcula el valor de a sabiendo que las rectas r y s se cortan. b) Calcula el punto de corte. 06.02.- Halla un punto A de la recta r de ecuación zyx y un punto B de la
recta de ecuación 2
1z
1
yx
de forma que la distancia entre A y B sea
mínima.
06.03.- Determina los puntos de la recta r de ecuaciones
2
3z1y
0x
que
equidistan del plano π de ecuación 1zx y del plano π’ de ecuación 3zy .
06.04.- Considera los puntos A( 1, 0, -2) y B( -2, 3, 1). a) Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales. b) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C, donde C es un punto de la
recta de ecuación z1yx . ¿Depende el resultado de la elección concreta
del punto C? 06.05.- Considera el plano π de ecuación 02zyx2 y la recta r de
ecuación m
6zy
2
5x
.
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a) Halla la posición relativa de r y π según los valores del parámetro m. b) Para m = -3, halla el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al
plano π. c) Para m = -3, halla el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano π.
06.06.- Considera el punto P( 3, 2, 0) y la recta r de ecuaciones
01z2x
03zyx.
a) Halla la ecuación del plano que contiene al punto P y a la recta r. b) Determina las coordenadas del punto Q simétrico de P respecto de la recta
r.
06.07.- Sea r la recta de ecuación 4
z
1
2y
2
5x
y s la recta dada por
2z3y2x
2zy2x3.
a) Determina la posición relativa de ambas rectas. b) Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta
s.
06.08.- Considera la recta de ecuaciones
0z3y2x
1zyx.
a) Determina la ecuación del plano que contiene a la recta r y no corta al eje OZ.
b) Calcula la proyección ortogonal del punto A( 1, 2, 1) sobre la recta r. 06.09.- Considera los puntos A( 2, 1, 2) y B( 0, 4, 1) y la recta de ecuación
2
3z2yx
.
a) Determina un punto C de la recta que equidiste de los puntos A y B. b) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C. 06.10.- Halla la ecuación de un plano que sea paralelo al plano π de ecuación
1zyx y que forme con los ejes de coordenadas un triángulo de área
318 .
06.11.- Sea la recta r de ecuación 1
3z
3
2y
1
1x
y el plano π de ecuación
01zyx . Calcula el área del triángulo ABC, siendo A el punto de
corte de la recta r y el plano π, B el punto ( 2, 1, 2) de la recta r y C la proyección ortogonal del punto B sobre el plano π.
06.12.- Halla las ecuaciones paramétricas de una recta sabiendo que corta a la recta r
de ecuación zyx , es paralela al plano π 4zy2x3 y pasa por el
punto A( 1, 2, -1)
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1.- Sean los planos 02zy2xy05zyx2 21 .
a) Calcula las coordenadas del punto P sabiendo que está en el plano π1 y que su proyección ortogonal sobre el plano π2 es el punto ( 1, 0, -3).
b) Calcula el punto simétrico de P respecto al plano π2.
2.- Calcula el punto de la recta de ecuaciones 3
1z
2
2y1x
más
cercano al punto A = ( 1, -1, 1). 3.- Halla el punto del plano de ecuación x – z = 3 que está más cerca del punto
P = ( 3, 1, 4) así como la distancia entre el punto P y el plano dado.
4.- a) Calcula un punto R de la recta s dada por
07zy3x
05yxs que
equidiste de los puntos P = ( 1, 0, -1) y Q = ( 2, 1, 1) . b) Calcula el área del triángulo determinado por P, Q y R.
5.- Prueba que todos los planos de la familia A : ( 3 + )x + ( 3 - )y + (5 - 2)z = contienen una misma recta y halla unas ecuaciones paramétricas de dicha recta.
6.- Considera el plano 3mzyx y la recta 2
2z1yxr
.
a) Halla m para que r y π sean paralelos. b) Halla m para que r y π sean perpendiculares. c) ¿Existe algún valor de m para que la recta r esté contenida en el plano π?
7.- Se sabe que las rectas
2z2x6
3zyxsy
tbz
t1y
t1x
r están
contenidas en un mismo plano. a) Calcula b. b) Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s. 8.- Los puntos A = ( 3, 3, 5) y B = ( 3, 3, 2) son vértices consecutivos de un
rectángulo ABCD. El vértice C consecutivo de B está en la recta de ecuaciones
2
1z
1
6yx
.Determina los vértices C y D.
9.- Considera el punto A( 0, 3, -1), el plano 0z3y2x2 y la recta
2
3zy3xr
.
a) Determina la ecuación del plano que pasa por A y contiene a r. b) Determina la ecuación de la recta que pasa por A, es paralela a π y corta a
r. 10.- Sean A( -3, 4, 0), B( 3, 6, 3) y C (-1, 2, 1) los vértices de un triángulo.
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a) Halla la ecuación del plano π que contiene al triángulo. b) Halla la ecuación de la recta que es perpendicular a π y pasa por el origen de
coordenadas. c) Calcula el área del triángulo ABC. 11.- Considera los puntos A = ( 2, -1, -2) y B = ( -1, -1, 2). a) Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres segmentos
iguales.
b) Encuentra un punto C sobre la recta de ecuaciones 2
1z
1
1y
1
1xr
de forma que el triángulo ABC sea rectángulo en C. 12.- Un punto M se mueve en el espacio tridimensional de manera que en un
instante de tiempo t se encuentra en el punto ( 1+t, 3+t, 6+2t). a) ¿Es esa trayectoria una línea recta? Si es así, escribe sus ecuaciones de dos
formas distintas. b) Halla el instante de tiempo en el que el punto está en el plano dado por la
ecuación: x – 2y + z – 7 = 0.
c) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a la trayectoria de M y pasa por el punto ( 1, 1, 0).
13.- Calcula, describiendo el método empleado, las ecuaciones de una recta que pasa
por el origen de coordenadas y es paralela a la recta en que se cortan los planos:
1 : x – y + 2z + 1 = 0 2 : x + 3y – z + 2 = 0.
14.- Sean las rectas 1
mz
2
y
3
1xr
y
2
1z
m
y
2
xs
.
a) ¿Para qué valor de m están r y s contenidas en el mismo plano? b) Si m=1, halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A( 1, 1, 2) y corta
a r y a s.
15.- Calcula la distancia entre las rectas
02yx3
01y3x2sy
75z
21y
6x
r
.
16.- a) Define el concepto de producto escalar de vectores del espacio y enuncia tres de sus propiedades.
b) Encuentra un vector w cuya primera componente sea 2 y que sea
perpendicular a los vectores u = ( 1, -1, 3) y v = ( 0, 1, -2).
17.- Considera el plano y la recta r dados por:
ax + 2y – 4z + b = 0 1
3z
4
1y
4
3xr
a) Halla los valores de a y b para los que r está contenida en . b) ¿Existen valores de a y b para los que la recta es perpendicular al plano?
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18.- Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P = ( 1, 0, 2) y corta a las
rectas r y s dadas por las ecuaciones: 1
z
1
2y
3
xr
y
0z2y
02y6x2s .
19.- Sea el plano de ecuación 3x – 2y – 6z = 1 y sea r la recta dada en
forma paramétrica por r ( x, y, z) = ( 1, 0, 1) + ( 2, -1, 1). a) ¿Cómo se define la relación de paralelismo entre una recta y un plano? b) Comprueba en este caso concreto si recta y plano son paralelos. c) ¿Cómo se define la relación de perpendicularidad entre una recta y un plano? d) Comprueba en este caso concreto si recta y plano son perpendiculares.
20.- Considera el punto P ( -1, 2, 1)
a) Determina el punto Q del plano -3x + y + z + 5 = 0 de forma que el
vector PQ sea perpendicular al plano .
b) Determina un punto M de la recta r1
10z
1
1y
1
2x
de forma que
el vector MP sea paralelo al plano . c) Calcula el área del triángulo MPQ.
21.- Considera las rectas 3
z1y
2
xsy
01yx
02zxr
.
a) Halla la ecuación del plano π que contiene a s y es paralelo a r. b) Calcula la distancia de la recta r al plano π.
22.- a) ¿Cuál es el punto P de la recta r
1z4y2x
1z2yx que está más cerca del
punto A ( 2, 3, -1)? b) Halla el área del triángulo cuyos vértices son A, P y B ( 1, 0, 0). 23.- Halla el punto Q simétrico del punto P ( 2, 0, 1) respecto a la recta r que
pasa por el punto A ( 0, 3, 2) y es paralela a la recta s de ecuaciones
s
0z
0y2x.
24.- Se sabe que las rectas
02z2x
06y6axsy
02yx
03zyxr
son paralelas. a) Calcula a.
b) Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s.
25.- Se sabe que los puntos A( m, 0, 1), B( 0, 1, 2), C( 1, 2, 3) y D( 7, 2, 1) están en un mismo plano.
a) Halla m y calcula la ecuación de dicho plano. b) ¿Están los puntos B, C y D alineados?
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26.- Un paralelogramo cuyo centro es M ( 3/2, 3, 4) tiene por vértices los puntos
A ( 1, 2, 3) y B ( 3, 2, 5). a) Halla las coordenadas de los otros vértices. b) Halla la ecuación de la recta que pasa por M y es perpendicular al plano
que contiene al paralelogramo. c) Hallar el área del paralelogramo.
27.- Sea el plano que pasa por los puntos ( 1, 0, 0), ( 0, 1, 1) y ( 1, 1, 1). Sea A
el punto ( 1, 2, 3) y sea B el simétrico de A respecto al plano . a) Halla la recta que pasa por A y por el punto medio del segmento AB. b) Halla la recta paralela a la anterior que pasa por el punto ( 2, 2, 2). 28.- Un objeto se mueve en el espacio siguiendo una línea recta cuya dirección viene
dada por el vector v = ( 1, 2, -1).En su movimiento, dicho objeto pasa por el punto A ( 2, 1, 2). a) Calcula los puntos de corte de la trayectoria del objeto con los planos
coordenados. b) Calcula la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es
perpendicular a dicha trayectoria. c) ¿Cuál es el ángulo que forma la trayectoria del objeto con el plano XOY ?
29.- Sean el punto P( 1, 0, -3) y la recta
0zx
01yx2r .
a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y es perpendicular a r. b) Calcula las coordenadas del punto simétrico de P respecto de r.
30.- Para cada número real se considera el plano
0)12(z)31(y)1(x)21(
a) Prueba que todos los planos pasan por una misma recta r. b) Estudia la posición relativa de las rectas r y s, siendo s la recta dada por
la ecuación : 3
2z
1
1y
4
1xs
.
c) Describe un procedimiento para hallar la distancia entre ambas rectas. 31.- Halla el lugar geométrico de todos los puntos desde los cuales se ven los puntos
A ( 5, 3, 4) y B ( 7, 1, 2) bajo un ángulo recto ¿Qué figura es dicho lugar?
32.- Dada la recta 2
z
1
3y
4
1xr
, describe un procedimiento para obtener:
a) Una recta que corte a r. b) Un plano que contenga a r. c) Un plano que sea perpendicular a r. Pon un ejemplo de lo que se pide en cada uno de los casos.
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33.- Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 4, 5, 0), es paralela al
plano cuya ecuación es x + 2y – 3z = 1 y corta a la recta r dada por
1
2z
1
2y
1
1xr
.
34.- Los vectores u ( 2, -1, 0), v ( 1, 0, 4), w ( -1, 3, 2) determinan un paralelepípedo. a) Define el producto mixto de tres vectores y aplícalo razonadamente para el
cálculo del volumen del paralelepípedo que determinan.
b) Halla el volumen del paralelepípedo formado por los vectores u , v y w .
c) Calcula el seno del ángulo que forma el vector u con la cara determinada por
v y w . 35.- Tres planos cuyas ecuaciones son: x – y + 3z = 0, ax + ay – z = 0, 4x + 5y = 0 se cortan en una recta r. a) ¿Cuánto vale a?
b) Halla el punto P de la recta r para el cual se verifica que la recta s que pasa por P y por el punto ( 1, 9, 8) es perpendicular a r.
36.- Estudia, según los valores de , la posición de los planos x + (+ 1) y + z = 0,
x + y + ( + 1) z = 0,
( + 1) x + y + z = 0.
37.- Determina todos los puntos que equidistan de los planos 1 y 2 dados por
1 3x – 4y – 1 = 0, 2 4x – 4y – 2z = 0 ¿Qué figura representan?
38.- Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r
02zyx2
01z3y2x y es
perpendicular al plano x + 2y – 4z = 1. 39.- Determina la ecuación del plano que pasa por P( 1, 0, 2), es paralelo a la recta
determinada por r: 3z3
2y
2
1x
y es perpendicular al plano
2x – y + z = 0. 40.- a) Define lo que son vectores linealmente independientes en el espacio.
b) Prueba que los vectores u ( 2, -1, 0) y v ( 1, 0, 1) son linealmente independientes.
c) Halla el valor de t para el cual el vector w ( 8, -5, t) depende linealmente de
u y v . 41.- a) Para los diferentes valores del parámetro a estudia la posición relativa de los
planos dados por 1 : x + y + z = a - 1
2 : 2x + y + az = a
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3 : x + ay + z = 1 b) Si a = -1 ¿en qué punto se cortan? 42.- Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A ( 1, 1, 2) y es paralelo a las
rectas r y s dadas por: 2
1z
1
y
1
2xr
y
1z3yx
2zyx2s
43.- a) Halla el punto C que es la proyección ortogonal del punto B ( 2, 1, 1)
sobre el plano de ecuación 2x + y – 2z = -6. b) Halla un punto A que esté sobre el eje OX y tal que el área del triángulo
ABC valga 6. ¿Cuántas soluciones existen? 44.- a) Determina la ecuación del plano que contiene al punto P ( 2, 0, 1) y a la recta
de ecuaciones 3
2z
1
3y
2
1x
.
b) Calcula el ángulo que forman el plano calculado en el apartado anterior y la
recta s de ecuaciones 1
1z
2
2y
3
x
.
45.- Calcula, de manera razonada, un plano que sea paralelo al plano de ecuación
x + y + z = 1 y determine con los ejes coordenados un triángulo cuya área sea
18 2u3 .
46.- Considera el tetraedro formado formado por el origen de coordenadas y los tres
puntos en que el plano : 2x + 3y + 6z – 6 = 0 corta a los ejes coordenados. a) Describe un procedimiento para hallar el volumen del tetraedro y calcula
efectivamente su valor. b) Calcula razonadamente las coordenadas del punto simétrico al origen de
coordenadas respecto al plano . 47.- Considera los puntos P ( 1, 1, 1) y Q ( -1, -1, 2). a) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos que se encuentran a igual
distancia del punto P que del punto Q. b) Halla la ecuación del plano que corta perpendicularmente y en su punto
medio al segmento que une los puntos P y Q.
48.- Sean los vectores )1,3,2(v),1,1,2(v),0,1,0(v 321 .
a) ¿Son los vectores 321 vyv,v linealmente dependientes?
b) Para qué valores de a el vector ( 4, a+3, -2) puede expresarse como
combinación lineal de los vectores 321 vyv,v ?
c) Calcula un vector unitario y perpendicular a 21 vyv .
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49.- Considera el punto P( 2, 0, 1) y la recta
2z
6y2xr .
a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y a la recta r. b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r.
50.- Considera el punto P (2, 1, 3) y la recta de ecuaciones
01z
05yxr .
a) Halla la ecuación de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente a r. b) Determina dos puntos A y B de la recta r de forma que el triángulo PAB
sea equilátero. 51.- Considera los puntos A ( 0, 0, 0) y B ( 2, 2, 2). a) Halla la ecuación del plano que contiene a todos los puntos C que forman
con A y B un triángulo equilátero. b) Indica qué lugar geométrico forman los puntos C descritos en el apartado anterior expresando los elementos que lo determinan.
52.- Considera el punto P ( 1, 0, -1) y la recta r de ecuaciones
01z
0yxr .
a) Hallar la distancia del punto P a la recta r. b) Determina el plano que pasa por el punto P y contiene a la recta r. 53.- Dados los vectores u
= ( 2, 1, 0) y v
= ( -1, 0, 1), halla un vector unitario w
que sea coplanario con u
y v
y ortogonal a v
.
54.- Calcula la ecuación del plano cuyo punto más próximo al origen es ( 1, 2, 3).
Haz lo mismo para el punto ( -1/2, -1, -3/2). Existe alguna relación entre los dos planos que has determinado? Explica lo que ocurre si se hace lo mismo para un punto de la forma ( t, 2t, 3t) siendo t un número real cualquiera. Justifica todas las respuestas.
55.- a) ¿Qué relación debe existir entre a y b para que los vectores :
1u ( a, -3, 1), 2u (3, b, 5), 3u ( 1, -4, 3) sean linealmente
independientes?
b) Determina, si es posible, un vector no nulo que sea perpendicular a 1u y
2u y, además, paralelo a 3u .
56.- Considera los planos dados por las ecuaciones x + y + z = 8 ax + 2y + bz = 4 ax + by + az = 4 a) Describe su posición relativa según los valores de a y b. b) Halla su intersección en el caso a=1 y b=2. 57.- a) Halla el área del triángulo equilátero que tiene un vértice en el punto A ( 1, 3,
-1) y un lado sobre la recta r dada por r : x - 1 = -y + 2 = -z.
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b) Halla las coordenadas de los otros dos vértices del triángulo del apartado anterior.
58.- Considera las rectas
02zx2
03yxr y
03z2x
01y2s .
a) Determina, si es posible, un plano paralelo a la recta s que contenga a r. b) Halla, si es posible, un plano perpendicular a la recta s que contenga a r. 59.- Considera los planos dados por las ecuaciones (a + 1) x + y + z = a2 + 3a x + (a + 1) y + z = a3 + 3a2 x + y + (a + 1) z = a4 + 3a3
a) Describe su posición relativa según los valores del parámetro a. b) Halla su intersección en el caso a=-3.
60.- Sea B el punto simétrico de A ( 2, 0, 1) respecto al punto ( 1, -1, 1) y C el
punto de intersección del plano de ecuación 3x – 5y – z – 10 = 0 con el eje OY. Determina un triángulo equilátero de manera que dos de sus vértices sean B y C y calcula el área de dicho triángulo.
61.- Sea el plano definido por la ecuación x + 2y + 2z – 3 = 0. Determina, de
forma razonada, a) la proyección del punto P ( 1, 0, -3) sobre el plano , y
b) La posición del plano y la recta )z1(32y1
7xr
62.- a) Determina los valores de a para que los vectores (-2, a, -1), ( 5, 0, 6) y ( 3, -
2, 4) sean linealmente independientes y, si es posible, expresa ( 2, 2, 2) como combinación lineal de (-2, 6, -1), ( 5, 0, 6) y ( 3, -2, 4).
b) Los extremos de un lado de un rectángulo son ( 1, 1, -3) y ( -1, 0, 0). Los otros vértices están en una recta que pasa por el punto ( 4, 3, -5). Halla las coordenadas de estos dos últimos vértices.
63.- Dadas las rectas r y s definidas por
012zyax
013zxr y
0)1a(azy
01axs ¿existe algún valor de a para el que las rectas son
coplanarias y perpendiculares? Razona la respuesta. 64.- Se consideran los puntos A ( 2, 0, 2) y B ( 0, 0, -1). ¿Cuántos triángulos
equiláteros se pueden construir de manera que dos de sus vértices sean A y B? Justifica la respuesta y calcula algún ejemplo concreto.
65.- Considera los planos de ecuaciones
1 : ax – y +2z = 1 2 : x + 3y – z = -( a + 1) 3 : 3x + ay + z = -a
a) Determina para qué valores de a son perpendiculares 1 y 2 y, en ese caso, halla un vector paralelo a ambos planos. b) Determina para qué valores de a los tres planos contienen una recta común y determina las ecuaciones paramétricas de la misma.
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66.- Dados los puntos A ( 1, 2, 0), B ( 1, 5, a), C( 3, 3, 1) y D ( 2, 4, -3) se pide:
a) Halla los valores de a para los que los cuatro están sobre un mismo plano. b) Con ese valor de a, halla el simétrico del punto B con respecto a la recta que
determinan A y C. 67.- Halla la ecuación del plano que pasa por el punto ( 3, -1, 2) y contiene a la recta
común a los planos cuyas ecuaciones son, respectivamente, x + y + z = 1 ; x + y – z + 3 = 0.
68.- Dados A ( 1, 0, 1), B ( 0, 0, -1) y C ( 3, a, b), se pide: a) Valor de a y b para que los tres puntos estén alineados. b) Encontrar un punto Q ( si existe ) del eje OY tal que el triángulo ABQ
sea rectángulo con ángulo recto en B. c) Si D es el punto D ( 2, 0, -2), prueba que el triángulo ABD es
rectángulo y calcula su área. 69.- Sean los puntos A( 1, 2, 1), B( 2, 3, 1), C( 0, 5, 3) y D( -1, 4, 3). a) Prueba que los cuatro puntos están en el mismo plano. Halla la ecuación de
dicho plano. b) Demuestra que el polígono de vértices ABCD es un rectángulo. c) Calcula el área de dicho rectángulo. 70.- a) Los tres planos cuyas ecuaciones son: x + 2y + az = 1 2x + y + az = 0 3x + 3y – 2z = 1 se cortan en una recta. ¿Cuánto vale a? b) Determina el punto simétrico de P ( 1, 0, 1) respecto de la recta determinada
en el apartado anterior.
71.- Calcula dos vectores u ( 1, u2, u3) y v ( v1, v2, 0) que formen un ángulo de
45º y cuyo producto vectorial sea el vector w ( 1, 1, 0). 72.- Siendo A ( 1, 0, 0), B ( 0, 1, 0), C ( 0, 0, 1) y D ( 0, 0, 0), se pide:
a) Recta que pasa por D y es perpendicular al plano ABC. b) Distancia mínima entre dicha recta y la determinada por AB. c) Volumen del tetraedro.
73.- Las rectas
04zy2x2
02yxr y
06zyx
06yxs contienen los
lados de un cuadrado. a) Calcula el área del cuadrado b) Halla la ecuación del plano que contiene al cuadrado. 74.- Considera los puntos : A (1,0,3), B (3,-1,0), C (0,-1,2) y D (a,b,-1).
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Halla a y b sabiendo que la recta que pasa por A y B corta perpendicularmente a la recta que pasa por C y D.
75.- Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A (1,0,-1), es perpendicular al
plano: x – y + 2z + 1 = 0 y es paralelo a la recta r
0z
0y2x.
76.- Calcula a sabiendo que los planos: ax + y – 7z = -5 y x + 2y + a2z = 8 se
cortan en una recta que pasa por el punto A (0,2,1) pero que no pasa por el punto B (6,-3,2).
77.- Considera los planos : 1 : 2x + 5 = 0 y 2 : 3x + 3y – 4 = 0 a) ¿Qué ángulo determinan ambos planos?. b) Halla el plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a los
dos planos dados.
78.- Sea r la recta de ecuaciones r
0zx3
0y2x3
a) Halla los puntos de r cuya distancia al origen es de 7 unidades. b) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por el punto P (1,2,-1).
79.- Halla las coordenadas del punto simétrico de A (0,-1,1) con respecto a la recta
3
2zy
2
5xr
80.- Halla el punto de la recta 1
3z
2
2yxr
que equidista del punto
A (1,2,1) y del origen de coordenadas. 81.- Considera el plano 2x + y + 2z - 4 = 0.
a) Halla el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano dado con los ejes de coordenadas.
b) Calcula la distancia del origen al plano dado. 82.- Determina todos los puntos del plano 2x - y + 2z - 1 = 0 que equidistan de los
puntos A( 3 , 0 , -2 ) y B( 1 , 2 , 0 ). ¿Qué representan geométricamente?. 83.- Considera los tres planos siguientes:
1 : x + y +z = 1 2 : x - y + z = 2 3 : 3x + y + 3z = 5
¿Se cortan 1 y 2 ?, ¿Hay algún punto que pertenezca a los tres planos?. 84.- Considera los puntos A( 1 , 2 , 3 ), B( 3 , 2 , 1 ) y C( 2 , 0 , 2 ).Halla el
simétrico del origen de coordenadas respecto del plano que contiene a A, B, y C.
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85.- Halla la distancia entre el origen de coordenadas y la recta intersección de los planos de ecuaciones respectivas x + y + 2z - 4 = 0 y 2x - y + z - 2 = 0.
86.- Calcula las coordenadas del punto simétrico de A( 1 , -3 , 7 ) respecto de la recta
dada por las ecuaciones: 2
4z3y1xr
.
87.- Halla las ecuaciones de la recta que se apoya perpendicularmente en las rectas r
y s definidas respectivamente por: 2
1z2y1xr
2
z
3
1y
1
4xs
.
88.- Calcula el volumen de un cubo sabiendo que dos de sus caras están,
respectivamente, en los planos 2x - 2 y + z - 1 = 0 y 2x - 2y + z - 5 = 0.
89.- Halla las coordenadas del punto simétrico del punto P(1, 2 , -2 ) respecto del
plano de ecuación 3x + 2y + z - 7 = 0. 90.- Halla la ecuación del plano cuyo punto más próximo al origen es P( -1 , 2 , 1 ).
91.- Determina los puntos de la recta de ecuaciones 2
2z
3
1y
2
1xr
que
equidistan de los planos de ecuaciones 3x + 4y - 1 = 0 y 4x -3z - 1 = 0.
92.- Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto de intersección de
las rectas de ecuaciones respectivas 2x - y - 4 = 0 y x -2y + 3 = 0 y es tangente a la recta x -y + 3 = 0.Calcula el punto de tangencia.
93.- Calcula la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección del plano
: x + y - z + 6 = 0 con la recta 1z2y3
xs y es paralela a la recta
r
01zy3x4
04yx3
94.- Calcula a sabiendo que los planos ax + y – 7z = -5 y x + 2y +
a2z = 8 se cortan en una recta que pasa por el punto A( 0, 2, 1 ) pero que no pasa por el punto B( 6, -3, 2 ).
95.- Considera los puntos A( 1, -3, 2 ), B( 1, 1, 2 ) y C( 1, 1, -1 ).
a) ¿Pueden ser A, B y C vértices consecutivos de un rectángulo?. Justifica la respuesta.
b) Halla, si es posible, las coordenadas de un punto D para que el paralelogramo ABCD sea un rectángulo.
96.- Considera los puntos A( 1, 1, 1 ) , B( 2, 2, 2 ) , C( 1, 1, 0 ) y D( 1, 0, 0 ).
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a) Halla la ecuación del plano que contiene a los puntos A y B y no corta a la recta determinada por C y D.
b) Halla las ecuaciones de la recta determinada por los puntos medios de los segmentos AB y CD.
97.- Considera los puntos A( 1, -1, 2 ), B( 1, 3, 0 ) y C( 0, 0, 1 ). Halla el simétrico de A respecto de la recta que pasa por B y C.
98.- Sea el plano de ecuación 3x - y + 2z - 4 = 0.
a) Halla la ecuación del plano 1 que es paralelo a y pasa por el punto P( 1, -2, 2 ).
b) Halla la ecuación del plano 2 perpendicular a ambos que contiene a la recta
r
1z4yx2
1zyx
99.- Los puntos A( 1, 0, 2 ) y B( 1, 0, -2 ) son vértices opuestos de un cuadrado.
a) Calcula el área del cuadrado. b) Calcula el plano perpendicular al segmento de extremos A y B que pasa por
el punto medio.
100.- Considera el plano : x – y – 2z = 3 y A( -1, -4, 2 ).
a) Halla la ecuación de la recta perpendicular a que pasa por A.
b) Halla el punto simétrico de A respecto de . 101.- Calcula el área del triángulo de vértices A( 1, 1, 2 ) , B( 1, 0, -1 ) y C( 1, -3, 2 ). 102.- Determina la recta que no corta al plano de ecuación x – y + z = 7 y cuyo punto
más cercano al origen es ( 1, 2, 3 ).
103.- Sabiendo que las rectas
2yx
1zyxr y
azx2
azy2xs se
cortan,determina a y el punto de corte.
104.- Halla el punto de la recta
1zy
1zy3xr que está más cercano al
punto P( 1, -1, 0 ).
105.- Considera la recta r y el plano siguientes :
01azy
0azxr , : 2x – y = b .
a) Determina a y b sabiendo que r está contenida en .
b) Halla la ecuación de un plano que contenga a r y sea perpendicular a .
106.- Considera el plano : x – 2y +1 = 0 y la recta
02azyx
0zy3xr .
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a) Halla el valor de a sabiendo que la recta está contenida en el plano.
b) Calcula el ángulo formado por el plano y la recta
02zyx
0zy3xs .
107.- Considera el plano 07zyx2 y la recta
31z
1y
1x
r .
a) Halla la ecuación del plano perpendicular a π que contenga a la recta r. b) ¿Hay algún plano paralelo a π que contenga a la recta r ? En caso afirmativo,
determina sus ecuaciones. 108.- Se sabe que los puntos A( 1, 0, -1 ) , B( 3, 2, 1 ) y C( -7, 1, 5 ) son vértices
consecutivos de un paralelogramo ABCD. a) Calcula las coordenadas del vértice D. b) Halla el área del paralelogramo.
109.- Los puntos A( 1, 1, 0 ) y B( 2, 2, 1 ) son vértices consecutivos de un rectángulo
ABCD. Además, se sabe que los vértices C y D están contenidos en una recta que pasa por el origen de coordenadas. Halla C y D.
110.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 3, 1, -1 ), es paralela al plano
3x – y + z = 4 y corta a la recta intersección de los planos x + z = 4 y x – 2y + z = 1.
111.- Considera la recta
2y
1zyxr y el plano : x – 2y + z = 0 .
a) Calcula el haz de planos que contienen a la recta r.
b) Halla el plano que contiene a la recta r y corta al plano en una recta paralela al plano z = 0.
112.- Considera el punto P ( -2, 3, 0 ) y la recta
01zy2x2
02zyxr .
a) Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene a la recta r. b) Determina el punto de r más próximo a P.
113.- Considera una recta r y un plano cuyas ecuaciones son, respectivamente
0z
ty
tx
( t R )
z
y
x
( , R ).
a) Estudia la posición relativa de la recta r y el plano . b) Dados los puntos B( 4, 4, 4 ) y C( 0, 0, 0 ), halla un punto A en la recta r de
manera que el triángulo formado por los puntos A, B y C sea rectángulo en B.
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114.- Sabiendo que las rectas zyxr y
z
3y
1x
s ( R ) se cruzan,
halla los puntos A y B, de r y s respectivamente, que están a mínima distancia.
115.- Determina el punto P de la recta 3
z
1
1y
2
1xr
que equidista de los planos
03zyx1 y
6z
y
3x
2 ( , R ).
116.- Se sabe que el plano corta a los ejes positivos de coordenadas en los puntos A, B y C, siendo las longitudes de los segmentos OA, OB y OC de 4 unidades, donde O es el origen de coordenadas.
a) Halla la ecuación del plano . b) Calcula el área del triángulo ABC.
c) Obtén un plano paralelo al plano que diste 4 unidades del origen de coordenadas.
117.- Halla la perpendicular común a las rectas
tz
ty
t1x
r ( t R ) y
0z
22y
x
s
( R ).
118.- Calcula el área del triángulo de vértices A( 0, 0, 1), B( 0, 1, 0) y C, siendo C la
proyección ortogonal del punto ( 1, 1, 1) sobre el plano x + y + z = 1.
119.- Considera el punto A( 0, 1, -1), la recta
4zx2
0zy2xr y el plano
2zy2x . Halla la ecuación de la recta que pasa por A, es paralela a π y
corta a r. 120.- Se sabe que el triángulo ABC es rectángulo en el vértice C, que pertenece a la
recta de intersección de los planos y + z = 1 e y – 3z + 3 = 0 , y que sus otros dos vértices son A( 2, 0, 1) y B( 0, -3, 0). Halla C y el área del triángulo ABC.
121.- Halla la perpendicular común a las rectas:
z
1y
1x
r y
1z
1y
x
s
.
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122.- Considera las rectas
2z
yxr y
3z
1yxs . Halla la ecuación de una
recta que corte a r y s y sea perpendicular al plano z = 0. 123.- Sean los puntos A( 1, 0, -1) y B( 2, -1, 3). a) Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por A y por
B. b) Calcula el área del paralelogramo de vértices consecutivos ABCD sabiendo
que la recta determinada por C y D pasa por el origen de coordenadas.
124.- Halla la distancia entre las rectas
3
2z1y
0x
r y
0y
z11xs .
125.- Considera los puntos P( 6, -1, -10), Q( 0, 2, 2) y R, que es el punto de
intersección del plano 02zyx2 y la recta
1y
01zyxr . Determina λ sabiendo que los puntos P, Q y R están
alineados.