Date post: | 02-Jan-2016 |
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1
PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA
Mapa Conceptual
Pre-procesamiento y examinación de Técnicas para la programación de Problemas Enteros
Mixtos
1). Técnicas básicas
En la parte de técnicas básicas se contempla el método de ramificación y acotación. Se presentan
varias técnicas que modifican una representación dada de un problema entero mixto. Cuando el
conjunto de soluciones factibles del problema lineal relajado es reducido, pero el conjunto de
soluciones factibles de un problema entero mixto no son afectadas. Esto puede reducir la
integralidad, es decir, la diferencia entre los valores de la función objetivo del problema lineal
relajado y el problema entero.
En el trabajo se dan las condiciones para que un problema no tenga solución, es decir, el
conjunto solución sea infactible, para identificar las redundancias y como mejorar los límites de
las acotaciones.
Posteriormente, en el artículo se examinan las técnicas básicas para fijar variables, mejorar
acotaciones y mejorar coeficientes.
2). Extensiones de las Técnicas básicas
En la segunda parte del artículo se trabaja sobre los mismos puntos que en las técnicas básicas:
Identificación de infactibilidad,
identificación de redundancias,
mejoramiento de las cotas,
fijación de variables y
mejoramiento de coeficientes,
pero bajo condiciones particulares con lo cual se pueden aplicar nuevas técnicas que mejoran el
método de solución.
1). Técnicas básicas para los
problemas de programación
entera mixta
2). Extensiones de las
técnicas básicas para los
problemas de programación
de entera mixta
Técnicas para la programación de
problemas enteros mixtos
Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González
2
EJERCICIOS
1).- Un estudio de cine planea producir 5 películas durante los próximos 3 años. Defina las
variables itx , donde el subíndice i se refiere a la película en particular ( 5,4,3,2,1i ) y el
subíndice t se refiere al año ( 3,2,1t ). Las variables itx son enteras binarias que valen 1 si
la i-ésima película se produce en el año t, y cero si no se produce. Modele las restricciones
de cada inciso, considerando que son independientes.
a).- No puede producir más que una película en el primer año.
b).- La película 2 no puede producirse antes que la película 3; sin embargo, pueden
producirse en el mismo año
c).- Debe producirse al menos una película cada año.
d).- La película 4 debe producirse a más tardar el año 2.
e).- La película 1 y 5 no pueden producirse en el mismo año.
2).- Problema 12.3-5
Una línea aérea piensa comprar Jets de pasajeros grandes, medianos y chicos. El precio de
compra será de $67 millones por cada avión grande, $50 millones por cada avión mediano y $35
millones por cada avión chico. El consejo directivo ha autorizado un compromiso máximo de
$1,500 millones para estas compras. Sin importar qué aviones se compren, se espera que las
distancias de viajes aéreos sean lo suficientemente grandes como para que los aviones se utilicen,
en esencia, a su capacidad máxima. Se estima que la ganancia neta anual (después de restar los
costos de recuperación de capital) será $4.2 millones para un avión grande, $3 millones para uno
mediano y $2.3 millones para un avión chico.
Se piensa que la compañía podrá disponer de suficientes pilotos entrenados para operar 30
aviones nuevos. Si sólo se compraran aviones chicos, las instalaciones de mantenimiento podrían
manejar 40 aviones, pero cada avión mediano equivale a 311 aviones chicos y cada avión grande
equivale a 321 aviones chicos, en términos de la utilización de las instalaciones de mantenimiento.
La gerencia desea saber cuántos aviones comprar a fin de maximizar la ganancia.
3).- Una compañía distribuidora desea minimizar el costo de transportar los bienes desde sus
almacenes A, B, C hasta los centros de venta al menudeo 1,2,3, . Los costos del transporte de
una unidad desde el almacén hasta el minorista aparecen en la siguiente tabla.
ALMACEN M1 M2 M3 COSTOS FIJOS
A 15 32 21 5000
B 9 7 6 750
C 11 18 5 600
DEMANDA 200 150 175
Los costos fijos de operación de cada almacén son 5000 para A 750 para B y 600 para C y por lo
menos 2 de ellos deben de estar abiertos a la vez. Podemos suponer que los almacenes tienen una
capacidad de almacenamiento ilimitada, formule y resuelva una PLE para decidir que almacenes
deberán abrirse y la cantidad de bienes que conviene enviar desde cada almacén a cada minorista
4).- El gerente de una empresa está tratando de decidir cuáles proyectos financiar para el próximo
año. Recibió 8 propuestas (A, B, C, D, E, F, G y H) que se muestran en la tabla de abajo.
Investigación de Operaciones
3
Después de un estudio minucioso, hizo un cálculo estimado del valor de cada proyecto en una
escala de 0 a 100. El gerente desea encontrar una combinación de proyectos que tenga el
valor total más alto. Sin embargo, existen varias limitaciones. Cuenta con un presupuesto de
320,000 um; debe aceptar o descartar un proyecto (no hay inversión parcial); a lo más debe
invertir en uno de los proyectos G o H; finalmente si el proyecto A no recibe recursos,
entonces el proyecto D tampoco debe recibir recursos. Obtenga la mejor combinación de
proyectos.
Proyecto Costo en miles de um Valor
A 80 40
B 15 10
C 120 80
D 65 50
E 20 20
F 10 5
G 60 80
H 100 100
5).- Una ciudad considera la relocalización de sus subestaciones de policías para hacer frente al
crimen organizado. Los lugares bajo consideración y las áreas que cubrirían se describen a
continuación. Determine el número mínimo de subestaciones que cubren los servicios de
vigilancia de toda la ciudad.
Lugares potenciales para
ubicación de subestaciones
Áreas de la ciudad
que cubren
A 1, 5, 7
B 1, 2, 7
C 1, 3
D 2, 4, 5
E 3, 4
F 4, 5, 6
G 1, 6, 7
6).- Problema de asignación
Los cinco mejores nadadores y sus mejores tiempos (en segundos) en cada estilo son los
siguientes:
Tipo de Nado Carlos Cristina David Antonio José
Dorso
Pecho
Mariposa
Libre
37.7
43.4
33.3
29.2
32.9
33.1
28.5
26.4
33.8
42.2
38.9
29.6
37.0
34.7
30.4
28.5
35.4
41.8
33.6
31.1
El entrenador quiere determinar cómo asignar cuatro nadadores a los cuatro tipos de nado para
minimizar la suma de los mejores tiempos correspondientes.
Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González
4
7).- Problema de asignación de personal
El administrador de un centro comercial, que debe atender las 24 horas, tiene el problema de
minimizar recursos en la nomina de los trabajadores. En la tabla de abajo a la izquierda se
muestra los periodos de 4 horas y la cantidad de personal necesario para atender. El problema
conociste en que los empleados son sindicalizados y por cuestiones de contrato con el sindicato
sus periodos de trabajo son de 8 horas, según el escalonamiento mostrado en la tabla de abajo a la
derecha.
Periodo Personal
necesario Turno
Inicio de
turno
Fin de
turno
9 pm a 1 am 13 1 9 pm 5 am
1 am a 5 am 1 2 1 am 9 am
5 am a 9 am 7 3 5 am 1 pm
9 am a 1 pm 6 4 9 am 5 pm
1 pm a 5 pm 6 5 1 pm 9 pm
5 pm a 9 pm 17 6 5 pm 1 am
Total 50
8).- A una compañía se le presentan 5 posibilidades de inversión, cuyos gastos y rendimientos en
miles de u.m. son:
Inversión 1 2 3 4 5
Gastos 8 4 6 3 9
Rendimientos 32 21 24 15 16
El capital total disponible para invertir es de $25,000 u.m. Además se debe cumplir que si
la cartera de inversiones de la compañía incluye la inversión 2, deberá seleccionar también la
inversión 4. Por otro lado, las inversiones 2 y 3 son mutuamente excluyentes. Plantee un modelo
que maximice los rendimientos.
9).- En una delegación del D.F. dividida en 5 colonias se quieren construir dos estaciones de
bomberos, para esto se han estudiado los lugares posibles en cada colonia en donde es factible
realizar la construcción de las estaciones. Una de las condiciones es que se puede construir
una sola estación de bomberos por colonia. Otra condición se refiere a que cada estación de
bomberos pueda responder a todos los llamados que reciba de cualquiera de las 5 colonias. El
objetivo es minimizar el promedio global de los tiempos de respuesta a los incendios por las
dos estaciones. La siguiente tabla da el tiempo promedio de respuesta (en minutos) a un
incendio desde cada lugar factible de la colonia en donde es posible construir la estación. El
último renglón proporciona el pronóstico del número promedio de incendios diarios que
ocurrirán en cada uno de los sectores.
Estación asignada
localizada en la
colonia
Tiempos de respuesta
incendios en la colonia
1 2 3 4 5
1 5 12 30 20 15
2 20 4 15 10 25
3 15 20 6 15 12
4 25 15 25 4 10
Investigación de Operaciones
5
5 10 25 15 12 5
Frecuencia de
emergencias (por día) 2 1 3 1 3
Formule un modelo completo de PEB para el problema.
10).- Problema de distribución
Una empresa debe repartir las cantidades de materiales entre seis clientes (A, B, …, F), ver tabla
de abajo. Por otro lado, existen cinco camiones que pueden utilizarse para hacer estas entregas.
Con el uso de divisiones, un camión puede entregar una mezcla de cargas hasta llenar su
capacidad. Sin embargo, la orden de un cliente no puede distribuirse en distintos camiones. Los
camiones disponibles y sus capacidades se muestran en la tabla de la derecha.
Cliente Cantidad en
toneladas Camión
Cantidad en
toneladas
A 0.25 1 1
B 0.50 2 2
C 1.50 3 1
D 0.50 4 2
E 0.75 5 1.5
F 1.00
Los costos asociados con cada camión que hagan la entrega al cliente se muestran en la siguiente
tabla
Camión Cliente
A B C D E F
1 17 19 21 20 20 21
2 15 18 20 18 19 23
3 18 19 22 22 21 22
4 15 16 19 18 18 20
5 16 15 20 22 19 20
Además de estos costos, existe un cargo fijo de 10 um en los camiones 1, 3 y 5 y, de 15um en los
camiones 2 y 4. Se incurre en estos costos si el camión se usa. Finalmente, existe la restricción
de que en el mismo camión no pueden entregarse los pedidos a los clientes A y B. Minimice los
costos de transportación para la distribución de los materiales.
11).- Problema de distribución
Una empresa opera dos cadenas de restaurantes (I y II) mediante franquicias en una ciudad
determinada. De acuerdo con los términos del contrato, con cualquier franquicia del tipo I, los
demás restaurantes tienen derechos exclusivos en un radio de 2 kilómetros a la redonda. Esto
significa que cualquier sitio seleccionado para las franquicias I debe quedar, por lo menos, a 4
kilómetros de distancia. Existe un acuerdo similar en los contratos para las franquicias II, pero los
derechos exclusivos están garantizados dentro de 2.5 kilómetros; es decir que los restaurantes de
Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González
6
la franquicia II deben quedar por lo menos a 5 kilómetros de distancia. Con respecto a las dos
cadenas no existen restricciones. La tabla siguiente muestra las distancia entre los sitios
potenciales para los restaurantes en kilómetros.
Distancias entre los sitios potenciales para los restaurantes en km
a
de 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0 3.7 2.2 3.2 6.4 7.3 8.6 8.8 13 10.2
2 3.7 0 2.6 5.7 3.3 6.6 9.6 10.3 13.1 7.5
3 2.2 2.6 0 3.2 4.5 5.3 7.4 7.7 11.4 8.2
4 3.2 5.7 3.2 0 7.5 5.7 5.6 5.7 10.4 10.3
5 6.4 3.3 4.5 7.5 0 5.2 9.4 10.1 11.5 4.4
6 7.3 6.6 5.3 5.7 5.2 0 4.8 5.6 6.6 5.5
7 8.6 9.6 7.4 5.6 9.4 4.8 0 1.2 5.2 10.2
8 8.8 10.3 7.7 5.7 10.1 5.6 1.2 0 5.9 11.4
9 13 13.1 11.4 10.4 11.5 6.6 5.2 5.9 0 10.2
10 10.2 7.5 8.2 10.3 4.4 5.5 10.2 11.4 10.2 0
Cada uno de los 10 sitios potenciales puede constituirse como tipo I o II, pero no ambos. Se desea
maximizar el rendimiento neto de la empresa. Las utilidades netas por franquicia son 1500,
1400, 2000, 3500, 2200, 2700, 2100, 2300, 2600, 2000, 2100, 2300, 2400, 2500, 2600, 2300,
3000, 3100, 3000 y 2500 respectivamente.
12).- Problema de planeación de la producción
En una línea de producción se fabrican dos productos, A y B, cuyos datos se muestran en la tabla
de abajo a la izquierda. El tiempo total disponible (para la producción y la puesta en marcha)
cada semana es de 80 horas. La empresa no tiene inventario de producto alguno al principio de la
semana 1, y no se permite que lo tenga al final de la semana 4. El costo de almacenar una unidad
de una semana a la siguiente es de 4um por producto. Una unidad de demanda no satisfecha
cuesta 10um para el producto A y 15um para el producto B. Los datos sobre la demanda aparecen
en la tabla de abajo a la derecha
Datos sobre los productos Datos de la demanda
Concepto Producto
Semana Producto
A B A B
Tiempo de arranque 5 horas 10 horas 1 80 15
Tiempo de producción por unidad 0.5 horas 0.75horas 2 100 20
Costo de arranque 200um 400um 3 75 50
Costo de producción por unidad 10um 15um 4 80 30
Precio de venta 20um 30um
La línea se cierra cada fin de semana para realizar operaciones de limpieza. Por lo tanto, si un
producto es fabricado en una semana, tendrá que pagarse el costo y tiempo de arranque del
Investigación de Operaciones
7
equipo. Sólo un tipo de producto puede fabricarse durante la semana. No puede haber producción
durante el tiempo en que se pone en marcha la línea. El objetivo consiste en maximizar las
utilidades obtenidas durante estas cuatro semanas, considerando que no se pueden fabricar en la
misma semana (al mismo tiempo) los dos productos en la línea (programación entera mixta).
13).- Los gobernantes de una ciudad pusieron en licitación la construcción de su nuevo salón de
actos, que constan de cinco partes. F-cimientos, S-estructura, P-plomería, E-eléctrica e I-
interior. El contratante del gobierno especificó que las licitaciones pueden hacerse por partes
o combinaciones de partes del trabajo y que se permitirían múltiples licitaciones. Hay cinco
contratistas del área, considerados confiables, en dicha ciudad 1, 2, 3, 4 y 5, y cuyos datos
aparecen en la tabla de abajo.
Contratista Número de
licitación
Partes del trabajo en
licitación
Monto de la licitación
en miles de um
1
1 Sólo F 700
2 F + S 3,800
3 F + S + P 4,500
2
1 P + E 1,100
2 P + E + I 1,900
3 Todo el trabajo 5,800
3
1 Sólo P 700
2 Sólo E 600
3 Sólo I 1,000
4 P + E 1,200
4
1 S + P 3,600
2 S + P + E 4,100
3 F + S + P + E 4,600
5
1 Sólo F 900
2 Sólo S 3,200
3 Sólo P 800
4 Sólo E 500
5 Sólo I 1,200
Además el contratista 5 especificó que daría un descuento de 10% de la parte de su propuesta, si
recibía el contrato para realizar cuatro o más de las partes del trabajo. Los gobernantes de la
ciudad tiene la tarea de asignar los contratos de manera que los costos se minimicen. Pero quieren
que la formulación sea lo suficientemente general como para que se mantenga con diferentes
precios de la propuesta. Por otro lado, los contratistas 1 y 2 han puesto otra restricción adicional
de que ambos no pueden aceptar estar juntos.
14).- Problema de expansión de capacidad
Una compañía de servicio eléctrico está planeando ampliar su capacidad de generación durante
los próximos cinco años. La capacidad actual es de 800 megawatts (mw), pero de acuerdo con
sus propios pronósticos de demanda, va a requerir la capacidad adicional que se muestra en la
tabla de abajo a la izquierda. La compañía de servicio eléctrico podrá aumentar su capacidad de
generación con la instalación de unidades generadoras de 10, 50 o 100mw. El costo de
Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González
8
instalación de un generador depende de su tamaño y del año en que entre en servicio. Los datos
se muestran en la tabla de abajo a la derecha.
Año Capacidad
mínima mw Capacidad del
generador
mw
Año
1 880 1 2 3 4 5
2 960 10 300 250 208 173 145
3 1050 50 670 558 465 387 322
4 1160 100 950 791 659 549 458
5 1280
Una vez que el generador entra en servicio, su capacidad está disponible para satisfacer la
demanda en los años subsiguientes. Minimice el costo de poner en servicio generadores,
satisfaciendo al mismo tiempo los requisitos de capacidad mínima. Sugerencia: defina variables
para las cantidades respectivas de generadores de 10, 50 y 100 mw puestos en servicio para cada
año y otras variables para las capacidades iniciales totales por año (note que al inicio la variable
introducida vale 800mw), cuando los generadores definidos previamente hayan entrado en
servicio.
15).- 12.3.1 La división de investigación y desarrollo de una compañía ha venido desarrollando
cuatro líneas posibles de nuevos productos. La administración debe ahora tomar una decisión
sobre cuáles de estos cuatro productos producir y a que niveles. Ha pedido al departamento de
IO que formule un modelo de programación matemática para encontrar la mezcla de
productos más redituable.
La puesta en marcha de la producción de cualquier producto se asocia a un costo sustancial,
proporcionado en el primer renglón de la tabla. El objetivo de l administración es encontrar la
mezcla de productos que maximice la ganancia total (ingreso neto total menos costos fijos).
PRODUCTO
1 2 3 4
COSTO FIJO $ 50,000 $ 40,000 $ 70,000 $ 60,000
INGRESO MARGINAL $ 70 $ 60 $ 90 $ 80
Defina las variables de decisión continuas x1, x2, x3 y x4 como los niveles de producción de los
productos 1, 2, 3 y 4. Por políticas de la empresa, la gerencia ha impuesto las siguientes
restricciones sobre estas variables:
1. A lo mas dos de estos productos deben producirse
2. Cualquiera de los productos 3 o 4 se puede producir solo si se produce el producto 1 o el 2
3. O bien 5x1+3x2+6x3+4x4 <=6000 o 4x1+6x2+3x3+5x4 <=6000
a) Introduzca variables binarias auxiliares para formular un modelo de PEM para este
problema
b) Use la computadora para resolver este modelo
Investigación de Operaciones
9
16).- 12.1.3 Una empresa de bienes raíces, Peterson & Johnson, analiza cinco proyectos de
desarrollo posibles. La siguiente tabla muestra las ganancias a largo plazo estimadas (valor
presente neto) que generaría cada proyecto y la inversión requerida para emprenderlo, en
millones de dólares
PROYECTO DE DESARROLLO
1 2 3 4 5
GANANCIA ESTIMADA 1 1.8 1.6 0.08 1.4
CAPITAL REQUERIDO 6 12 10 4 8
Los propietarios de la empresa, Dave Peterson y Ron Johnson, reunieron $20 millones de capital
de inversión para estos proyectos. Ellos quieren elegir la combinación de proyectos que
maximice la ganancia total estimada a largo plazo (valor presente neto) sin invertir más de $20
millones.
a. Formule un modelo de PEB para este problema
b. Muestre el modelo en una hoja de cálculo de Excel
c. Use la computadora para resolver este modelo
17).- Se encuentra en desarrollo una nueva comunidad planeada y una de las decisiones que se
deben tomar es el sitio en donde conviene localizar las dos estaciones de bomberos que se le
asignaron. Para propósitos de planeación, se dividió esta comunidad en cinco sectores, con
una sola estación de bomberos en un sector dado. Cada estación debe responder a todos los
llamados que reciba de los sectores en la que se localiza y a la de otros que se le asignen.
Entonces, las decisiones son: 1) los sectores que deben tener una estación de bomberos y 2) la
asignación de cada uno de los otros sectores a una de las estaciones. El objetivo es minimizar
el promedio global de los tiempos de respuesta a los incendios.
La siguiente tabla da el tiempo de respuesta promedio (en minutos) a un incendio en cada
sector (las columnas) si el servicio se presta desde una estación en un sector dado (los
renglones). El último renglón proporciona el pronóstico de número promedio de incendios
diarios que ocurrirá en cada uno de los sectores.
Tiempo de respuesta
Estación asignada
localizada en el sector
Incendios en el sector
1 2 3 4 5
1 5 12 30 20 15
2 20 4 15 10 25
3 15 20 6 15 12
4 25 15 25 4 10
5 10 25 15 12 5
Frecuencia
de emergencias
2 1 3 1 3
Formule un modelo completo de PEB para este problema. Identifique cualquier restricción
que corresponda alternativas mutuamente excluyentes o a decisiones contingentes.
18).- Reconsidere el problema anterior y suponga que ahora el costo (en miles de dólares) de
asignar una estación de bomberos en un sector es 200 para el sector 1, 250 para el sector, 400
Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González
10
para el sector 3, 300 para el sector 4, y 500 para el sector 5. Suponga además que sea
cambiado el objetivo a:
Determine qué sector debe tener una estación con el fin de minimizar el costo total de las
estaciones al mismo tiempo que asegurar que cada sector tenga al menos una estación lo
suficientemente cerca para o responder a un incendio en no más de 15 minutos (en
promedio). Observe que al contrario del problema original, el número total de estaciones de
bomberos no es fijo. Lo que es más, si un sector sin estación tiene más de una estación a 15
minutos o menos, ya no es necesario asignar este sector a solo una de las estaciones.
Formule un modelo de PEB pura con 5 variables binarias, para este problema y resuelva.
19).- Suponga que un estado manda R personas a la cámara de diputados. Existen D municipios
en el estado ( RD ) y la legislatura estatal quiere agrupar estos municipios en R distritos
electorales, cada uno de los cuales elegirá un diputado. La población total del estado es P y la
legislatura desea formar distritos cuya población se aproxime a RPp / . Suponga que el
comité legislativo correspondiente que estudia el problema a generado una larga lista de N
candidatos a ser distritos ( RN ). Cada uno de estos candidatos contiene municipios
contiguos y una población total ),...,2,1( Njp j que es aceptable cercana a .p Defina
ppc jj . Cada municipio ),...,2,1( Dii está incluido al menos con un candidato a ser
distrito y casi en todos los casos está incluido con un gran número de candidatos (con el fin
de proporcionar muchas maneras factibles de seleccionar un conjunto de R candidatos que
incluyan a cada municipio exactamente una vez). Defina
no si0
candidato elcon incluye se municipio el si1 jiaij
Dados los valores de las jc y las ija , el objetivo es seleccionar R de estos N posibles
distritos. tales que cada municipio esté contenido en un solo distrito y que la más grande de
las jc asociadas sea lo más pequeña posible. Formule un modelo de PEB para este problema
20).- Una profesora estadounidense pasará un periodo sabático corto en la University of
leeland. Ella quiere llevar en su viaje en avión todos los artículos necesarios. Después de
reunir su material profesional se dio cuenta de que las reglas de línea aérea sobre el espacio y
el peso de las maletas registradas limitarán severamente la cantidad de ropa que puede
empacar (piensa llevar un abrigo caliente y. al llegar Islandia, comprará un suéter grueso). La
ropa que quiere empacar incluye 3 faldas, 3 pantalones, 4 blusas y 3 vestidos. La profesora
quiere maximizar el número de combinaciones que podrá usar en Islandia (incluyendo el
vestido especial que se pondrá para el viaje). Cada vestido constituye una combinación. Otras
combinaciones consisten en una blusa y una falda o un pantalón. Sin embargo, algunos de
ellos juntos no se ven bien y no califican como combinación.
En la siguiente tabla se marcaron con una x aquellos que forman una combinación.
Blusa Suéter de
Islandia 1 2 3 4
Falda
1 x x x
2 x x
3 x x x x
Investigación de Operaciones
11
Pantalón
1 x x
2 x x x x
3 x x x
En la siguiente tabla se muestra el peso (en gramos) y el volumen (en centímetros cúbicos)
de cada pieza de ropa.
Peso Volumen
Falda
1 600 5000
2 450 3500
3 700 3000
Pantalón
1 600 3500
2 550 6000
3 500 4000
Blusa
1 350 4000
2 300 3500
3 300 3000
4 450 5000
Vestido
1 600 6000
2 700 5000
3 800 4000
Total permitido 4000 32000
Formule un modelo de PEB para elegir las piezas de ropa que debe llevar. (Sugerencia:
después de usar variables de decisión binarias para representar las piezas individuales debe
introducir variables binarias auxiliares para representar las combinaciones del caso. Después
utilice las restricciones y la función objetivo para asegurar que estas variables auxiliares
tienen los valores correctos, dados los valores de las variables de decisión.)
21).- Una línea aérea piensa comprar jets de pasajeros de tamaño grande, mediano y chico. El
precio de compra será de $33.5 millones por cada avión grande, $ 25 millones por uno
mediano, $ 17.5 millones por cada uno chico. El consejo directivo a autorizado un
compromiso máximo de $ 750 millones para estas compras. Sin importar que aviones se
compren, se espera que las distancias de viajes aéreos sean lo suficientemente grandes como
para que los aviones se utilicen, en esencia, a su capacidad máxima.
Se estima que la ganancia neta anual (después de restaurar los costos ó de recuperación de
capital) será de $ 2.1 millones para un avión grande, $ 1.5 millones si se trata de un avión
mediano, $ 1.15 millones por cada avión chico.
Se piensa que la compañía podrá disponer de suficientes pilotos entrenados como para
operar 30 aviones nuevos. Si sólo se compran aviones chicos, las instalaciones de
mantenimiento podrán manejar 40 aviones, pero cada avión mediano equivale a 3
11 aviones
chicos y cada avión grande equivale a 3
21 aviones chicos, en términos de la utilización de las
instalaciones de mantenimiento.
Esta información se obtuvo mediante un análisis preliminar del problema. Más adelante se
llevará a cabo un estudio más detallado. No obstante, si se toman estos datos como una
primera aproximación, la gerencia desea saber cuántos aviones de cada tipo se debe comprar
con el fin de maximizar la ganancia.
a) Formule un modelo de PE para este problema.
Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González
12
b) Utilice la representación binaria de las variables para reformular el modelo de PE del
inicio a) como un modelo de PEB.
Investigación de Operaciones
13
22).- Caso 12.2 ASIGNACIÓN DE ARTE
Se había vuelto un sueño convertido en realidad para Ash Briggs, un artista tenaz que vivía en el
área de la bahía de San Francisco. Había hecho un recorrido a la miscelánea de la esquina un
viernes para comprar algo de leche y, por un impulso, también había comprado un billete de
lotería de California. Una semana después, era multimillonario.
Ash no quiso despilfarrar sus ganancias en artículos materialistas triviales. En su lugar,
quiso usar su dinero para apoyar su verdadera pasión: el arte. Ash conocía demasiado bien las
dificultades de reconocimiento como artista en esta sociedad tecnológica postindustrial donde es
rara la apreciación artística y el apoyo financiero todavía más raro. Por ello decidió usar el
dinero para financiar una exhibición de artistas modernos incipientes en el museo de arte
moderno de San Francisco.
Ash se acercó a los directores del museo con su idea y éstos se entusiasmaron de inmediato
después que les informó que financiaría la exhibición completa aparte de donar $1 millón al
museo. Celeste McKenzie, una directora del museo, fue asignada para trabajar con Ash en la
planeación de la exhibición. La exhibición estaba planeada para abrirse en un año a partir del día
en que Ash se reunió con los directores y las piezas de exhibición permanecerían por dos meses
de exhibición.
Ash comenzó el proyecto peinando la comunidad de arte moderno en busca de artistas y
obras potenciales. Presentó a Celeste una lista (ver página siguiente) de artistas, sus obras y el
precio de exhibir cada una (el precio de exposición incluye el costo de pagarle a los artistas por
prestar la obra al museo, transportarla a San Francisco, construir el exhibidor para la pieza,
asegurarla mientras está en exhibición y transportarla de regreso a su origen).
Ash tiene ciertos requisitos para la exhibición. Cree que la mayoría de los estadounidenses
carecen de conocimientos adecuados de arte y estilos artísticos y quiere exhibir para educarlos.
Ash quiere que los visitantes se percaten del collage como una forma artística, pero cree que
requieren de poco talento. Por ello decide incluir uno sólo. Adicionalmente, Ash quiere que los
espectadores comparen las líneas delicadas en una escultura tridimensional de malla de alambre
con líneas delicadas en un dibujo bidimensional generado en una computadora. Por ello, quiere
desplegada al menos una escultura de malla de alambre, si se exhibe un dibujo generado en
computadora. De manera alternativa, quiere al menos un dibujo generado en computadora si se
despliega una escultura de malla de alambre. Más aún, Ash quiere exponer a los espectadores a
todos los estilos de pintura, pero quiere limitar el número de pinturas desplegadas para lograr un
equilibrio en la exhibición entre pinturas y otras formas de arte. Por ello decide incluir al menos
una pintura fotorrealista, al menos una pintura cubista y al menos una pintura expresionista, al
menos una acuarela y al menos un óleo. Al mismo tiempo, quiere que el número de pinturas no
sea mayor al doble de otras formas artísticas.
Ash quiere todas sus pinturas particulares sean incluidas en la exhibición puesto que la está
patrocinando y porque celebran el área de la bahía de San Francisco, sede de la exhibición.
Ash tiene sesgos a favor y en contra de algunos artistas. Mantiene actualmente un tórrido
romance con Candy Tate y quiere que se exhiban sus dos pinturas. Ash cuenta a David Lyman y
Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González
14
a Rick Rawls como sus mejores amigos y no quiere hacer favoritismo entre estos dos artistas.
Por ello decide exhibir el mayor número de piezas de David Lyman y de Rick Rawls y exhibir al
menos una pieza de cada uno de ellos. Aunque Ziggy Lite es muy popular en círculos artísticos,
Ash cree que Ziggy hace una burla del arte. Ash por consiguiente aceptará sólo una obra de
Ziggy, para la exposición, si se tiene y ninguna más.
Celeste también tiene su propia agenda para la exposición. Como directora del museo está
interesada en representar a una población de artistas diversa, atractiva para un auditorio amplio y
crear una exhibición políticamente correcta. Para promover el feminismo decide incluir al menos
una pieza de una artista mujer por cada dos piezas incluidas de artistas hombres. Para promover
el ambientalismo, decide incluir ya sea una o las dos obras “Tierra envejecida” y ‘Recursos
desperdiciados”. Para fomentar los derechos de los americanos indígenas, decide incluir al
menos una pieza de Bear Canton. Para fomentar la ciencia decide incluir al menos una de las
siguientes piezas: “Reina el caos”, “Quién tiene el control”, “Más allá” y “Pioneros”.
Celeste también comprende que el espacio del museo es limitado. Este sólo cuenta con
suficiente espacio de piso para cuatro esculturas y suficiente espacio de pared para 20 pinturas,
collages y dibujos.
Por último, Celeste decide que si se incluye “Narcisismo”, también debe exhibirse
“Reflexión”, puesto que la reflexión también sugiere narcisismo.
Por favor explore en forma independiente las siguientes preguntas, salvo cuando se indique
lo contrario
a) Ash decide asignar $4 millones para financiar la exposición. Dadas las piezas disponibles
y los requisitos específicos de Ash y Celeste, formule y resuelva un problema de
programación entera binaria para maximizar el número de piezas desplegadas en la
exhibición sin exceder del presupuesto. ¿Cuántas piezas se exhiben? ¿Qué piezas se
exhiben?
b) Para asegurar que la exhibición atraiga la atención del público, Celeste decide que debe
incluir al menos 20 piezas. Formule resuelva un problema de programación entera binaria
para minimizar el costo de la exhibición y al mismo tiempo exponer al menos 20 piezas y
cumplir los requisitos impuestos por Ash y Celeste. ¿Cuánto cuesta la exhibición? ¿Qué
piezas se exhiben?
c) Un patrono influyente del trabajo de Rita Losky, quien encabeza el consejo de
administración del museo, se entera de Celeste requiere al menos 20 piezas para la
exhibición. Ofrece pagar la cantidad mínima requerida además de los $4 millones de Ash
para asegurar que se exhiban exactamente 20 piezas la exposición y que se muestren todas
las piezas de Rita. ¿Cuánto tiene que pagar el patrono? ¿Qué piezas se exhiben?
Investigación de Operaciones
15
Artista Pieza Descripción de la pieza Precio
Colin Zweibell
CZ
(1) “Perfección” Escultura de malla de alambre de un cuerpo humano $300 000
(2) “Carga” Escultura de malla de alambre de una mula 250 000
(3) “El gran igualador” Escultura de malla de alambre de un rifle 125 000
Rita Losky
RL
(1)“Reina el caos” Una serie de dibujos generados por computadora 400 000
(2) “Quién tiene el
control”
Un dibujo generado por computadora entremezclado con líneas
de código de computadora 500 000
(3) “Domesticación Dibujo de pluma y tinta de una casa 400 000
(4) “Inocencia” Dibujo de pluma y tinta de un niño 550 000
Norm Marson
NM
(1) “Tierra envejecida” Escultura de basura que cubre un gran globo 700 000
(2) “Recursos
desperdiciados” Collage de varios materiales de empaque 575 000
Candy Tate
CT
(1) “Serenidad” Pintura de acuarela toda en azul 200 000
(2) “Calma antes de la
tormenta”
Pintura con un fondo de acuarela en azul y un cetro de acuarela
negra 225 000
Robert Bayer
RB
(1) “Vacío” Óleo todo en negro 150 000
(2) “Sol” Óleo todo en amarillo 150 000
David Lyman
DL
(1) “Ventana de la
tienda” Pintura fotorrealista de una ventana de exhibición de una joyería 850 000
(2) “Harley” Pintura fotorrealista de una motocicleta Harley-Davidson 750 000
Angie Oldman
AO
(1)“Consumismo” Collage de anuncios de revistas 400 000
(2) “Reflexión” Un espejo (considerado una escultura) 175 000
(3) “Victoria troyana Escultura de madera de un condón 450 000
Rick Rawls
RR
(1) “Rick” Autorretrato fotorrealista (pintura) 500 000
(2) “Rick II” Autorretrato cubista (pintura) 500 000
(3) “Rick III” Autorretrato expresionista (pintura) 500 000
Bill Reynolds
BR
(1) “Más allá” Óleo de ciencia ficción que describe la colonización de Marte 650 000
(2) “Pioneros” Óleo de tres astronautas a bordo del trasbordador espacial 650 000
Bear Canton
BC
(1) “Sabiduría” Dibujo a pluma y tinta de un cacique indio 250 000
(2) “Poderes superiores” Dibujo a pluma y tinta de una danza de ha lluvia tradicional
indígena americana 350 000
(3) “Tierra viviente” Óleo del Gran Cañón 450 000
Helen Row
HR
(1) “Estudio de un
violín” Pintura cubista de un violín 400 000
(2) “Estudio de un
frutero” Pintura cubista de un frutero 400 000
Ziggy Lite
ZL
(1) “Mi tocayo” Collage de caricaturas de Ziggy 300 000
(2) “Narcisismo” Collage de fotografías de Ziggy Lite 300 000
Ash Briggs
AB
(1) “Todo cuanto brilla” Pintura en acuarela del Golden Gate Bridge 50 000*
(2) “La roca” Pintura en acuarela de Alcatraz 50 000
(3) “Camino curvo” Pintura en acuarela de Lombard Street 50 000
(4) “Sueños vueltos
realidad” Pintura en acuarela del museo de arte moderno de San Francisco 50 000
* Ash no requiere compensación personal y el costo de transportar sus piezas al museo desde su casa
en San Francisco es mínimo. Por ello, el costo de exhibir sus piezas incluye el costo de construir el exhibidor y asegurar las piezas.
Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González
16
Optimización de la planeación de admisión de
pacientes en un hospital
Objetivos
En el trabajo se buscará la forma de optimizar la carga de pacientes y utilización de los recursos
de un hospital para el caso concreto de la especialidad en ortopedia.
I. Introducción En el presente trabajo se muestra la solución de un problema de programación entera en donde se
quiere optimizar la planeación de la admisión de pacientes a un hospital, para tal efecto se tiene
que los pacientes pueden ingresar en un hospital de tres maneras:
como un enfermo ambulatorio
como un paciente de urgencia y
como un derecho habiente.
Por otro lado, pueden distinguirse las admisiones de un derecho-habiente en dos tipos:
programado y no programado.
En general la planeación de las admisiones de los pacientes a un hospital es demasiado
complicada, simplemente en el caso de los derecho-habientes se da una lista de espera o se da una
cita para una fecha de admisión, pero aún con ellos pueden ocurrir, admisiones de urgencias con
pacientes de gravedad que se admiten inmediatamente, como consecuencia de una decisión
médica dada por un especialista. Condiciones que complican considerablemente la programación
en la admisión de los pacientes, razón por la cual en este trabajo nosotros nos concentraremos
sólo en las admisiones programadas del derecho habiente.
La planeación de admisiones decide el número de pacientes aceptados para una especialidad
cada día. Dentro de una especialidad pueden distinguirse diferentes categorías de pacientes
dependiendo de los recursos. Los tipos de recursos requerido para una admisión puede
involucrar, entre otras:
camas,
la capacidad de la sala de operación (en caso de una especialidad quirúrgica),
la capacidad de enfermeras y
las camas de cuidado intensivo (IC).
Otros recursos involucrados podrían considerar secciones de diagnóstico (por ejemplo, el
laboratorio de radiología), pero éstos no serán considerados en el trabajo.
Por consiguiente, la mezcla de admisiones es una decisión importante para el hospital con la
cual se puede manejar la carga de trabajo de la llegada de los derecho-habientes.
Investigación de Operaciones
17
La manera actual de tratar este problema está basada en la experiencia preferida del
proyectista que en un procedimiento formal. A menudo el único enfoque es la capacidad de la
sala de operaciones, porque es importante que este recurso este usado a su máxima capacidad. La
planeación de admisión está sujeta a la planeación de la sala de operaciones, cuando los otros
recursos involucrados no son considerados. No hay ninguna herramienta actualmente, disponible
para evaluar el perfil de admisión del paciente en sus consecuencias para los recursos
combinados involucrados.
En este trabajo nosotros consideramos el problema de la planificación siguiente:
¿Cómo puede generar un hospital un perfil de admisión de un paciente para una
especialidad?
La próxima sección describe el modelo de la programación lineal entera que se ha
desarrollado para este problema de la planificación. La sección penúltima discutirá la aplicación
de este modelo para la ortopedia en un hospital piloto. La sección final refleja en nuestra
contribución a este problema de la planificación, formulando conclusiones y recomendaciones
para la investigación futura.
II. Factores relevantes del modelo Nosotros en esta sección traducimos el problema de la planificación en un modelo matemático en
la forma de un programa lineal entero (ILP). Enseguida nosotros describiremos varios factores
que son pertinentes al problema de la planificación y el modelo matemático que formularemos.
Los siguientes factores son fundamentales en el problema de la planificación programada de
admisión de pacientes a un hospital:
1. Periodo de planeación. Éste es el periodo de tiempo completo (típicamente varios meses
o un año) encima de que la admisión de pacientes tiene que ser planeada.
2. Categorías de los pacientes. Hay normalmente una variedad amplia de pacientes
semejante que necesitan ser categorizados - aparte de una agrupación médica - para
propósitos de planeación para hacer el problema de la planificación más manejable. Los
pacientes están en este trabajo categorizados según su carga de trabajo para los recursos.
Los pacientes en la misma categoría tienen una longitud similar de estancia y requieren en
promedio la misma cantidad de enfermería y el tiempo en la sala de operaciones.
3. Recursos. Los recursos considerados son camas, camas de IC, salas de operación y
personal de enfermeras. Éstos son los recursos más importantes que son influenciados
directamente por la llegada de los derecho-habientes.
4. Capacidad disponible de los recursos. La cama y IC la capacidad de cama están en el
número total de camas disponible a la especialidad en las alas y unidad de IC,
respectivamente. La capacidad de la salas de operaciones es el tiempo operación total
disponible por día. La carga de trabajo de las enfermeras es moderado en términos de un
sistema del punto que permite diferenciar los requisitos de enfermeras por paciente en la
fase de la admisión; puede traducirse la capacidad de la enfermera en términos de
jornadas equivalentes completas en el número de puntos que están disponible por día.
Típicamente, la disponibilidad de recursos varía encima del periodo de la planificación, y
las capacidades se asignarán en un cíclico (por ejemplo, semanalmente).
Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González
18
5. Planeación del ciclo. Puesto que las capacidades se asignan cíclicamente, es natural
también considerar modelos de admisión cíclicos. En una mano, la longitud del ciclo no
debe ser demasiado corta, porque entonces los pacientes con una ocurrencia de admisión
baja no pueden ser incluidos por el ciclo de admisión. Por otro lado, a lo largo de
longitud del ciclo produce un problema de la planificación que es computacionalmente
demasiado grande. En la práctica, la longitud del ciclo (es decir la frecuencia en la que
las sesiones son organizadas) típicamente varía de una semana a cuatro semanas.
6. Perfil de admisión. El perfil de admisión describe el flujo de pacientes, es decir el
número y mezcla de pacientes que se admitieron en cada día dentro del ciclo de la
planificación.
7. El paciente designado a hospitalizarse. El número designado de pacientes que deben
admitirse dentro del ciclo de la planificación. Por supuesto, este número puede deducirse
fácilmente del número designado de los pacientes para el periodo de la planificación.
8. Designación de los recursos utilizados. Ésta es la utilización deseada (o proporción de
ocupación) de los recursos en cada día de la planeación cíclica.
9. Restricciones en perfiles de admisión. Un perfil de admisión que comprende que la
hospitalización designada y utilización del recurso todavía pueden ser inaceptables para la
especialidad por varios razones. Estas razones incluyen:
la especialidad puede querer arreglar el número de pacientes de una categoría específica
admitiendo en un día específico por el ciclo de admisión.
el número de pacientes de una cierta combinación de categorías que pueden ser
alimentadas en un sólo día está limitado.
Estas opciones se tratarán como restricciones adicionales para los perfiles de admisión.
Esto completa la descripción de los factores pertinentes. Claramente, la variable de
decisión importante es el perfil de admisión.
III. Modelo matemático En esta subsección nosotros traducimos el problema de la planificación en un modelo
matemático. Sea T denota la longitud (en días) de la planeación cíclica, y M denota el número de
categorías de pacientes. Los pacientes se categorizan según su carga de trabajo para los recursos.
Para describir la carga de trabajos de pacientes de la categoría i, Mi ,,1 , nosotros
introducimos las variables siguientes:
ib el número de días que un paciente de la categoría i se queda en el hospital y hay
necesidades de cama;
ip el número de días del pre-operatorio para un paciente de categoría i;
ic el número de días que un paciente de la categoría i necesita una cama de IC;
io el tiempo del funcionamiento (en minutos) para un paciente de la categoría i;
Investigación de Operaciones
19
itn la carga de trabajo de la enfermera (en puntos) para un paciente de la categoría i en el
día t de su estancia en el hospital, donde t corre de 1 a ib .
En cada día de su estancia en el hospital las necesidades de un paciente es una enfermera de
cama en el ala. Aquí nosotros asumimos que una enfermera de cama también es reservada
mientras el paciente está en la unidad de IC. Típicamente, la carga de trabajo de la enfermera es
alta en el día de funcionamiento, después disminuye gradualmente. Las variables de la carga de
trabajo se ilustran en la Tabla 1. Finalmente, la hospitalización designado de categoría del
paciente i durante la planificación cíclica es denotado a través de THRi.
Tabla 1 Número de admisiones por categoría en sem 12 y promedio semanal
Categorías de pacientes Mix de pacientes sem 12 Mix de pacientes promedio
1 14 13
2 2 1
3 0 1
4 1 2
5 0 1
6 0 1
7 1 2
8 3 1
9 2 2
10 1 1
11 2 1
Totales 26 26
Es conveniente numerar los recursos y las salas de operación, enfermeras, camas y camas
de IC, de 1 a 4. Para el recurso r, r = 1,... 4, nosotros introducimos las cantidades siguientes:
rtC la capacidad disponible de recurso r en día t de la planeación cíclica;
rtU la utilización designado de recurso r en día t de la planeación cíclica.
Las variables de decisión importantes en el problema de la planificación son el número y
mezcla de pacientes admitidas en cada día de la planeación cíclica. Si itX denota el número de
pacientes de categoría i admitido en el día t de la planeación cíclica. Claramente, itX es un
entero no-negativo. Así,
,2,1,0itX , Mi ,,1 , Tt ,,1 ,
y ellos deben satisfacer la hospitalización del paciente designado, es decir:
Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González
20
i
T
t
it THRX 1
, Mi ,,1 .
Nosotros queremos ahora encontrar los valores para itX , con los cuales la desviación
absoluta de la realización designada de los recursos sea minimizada. Para este problema nosotros
introducimos las variables auxiliares rtkV las cuales satisfacen:
0rtkV , 4,3,2,1r , Tt ,,1 , 2,1k
Formulando las restricciones lineales, forzando éstas a ser iguales a la desviación absoluta
de las realizaciones y objetivos utilizados. Debajo de nosotros primero explicamos esto para el
recurso 1, es decir la sala de operación. Desde los pacientes de categoría i son operados después
de ser ip días en el hospital, la utilización de la sala de operación en día t es igual a:
M
i
piti iXo
1
.
Aquí nosotros adoptamos la convención de que el subíndice t en itX debe leerse módulo T
(para que, ej. 11 iiT XX ). Entonces, si nosotros requerimos que:
)2(,,1,
)1(,,1,
211
1
111
1
TtVUXo
TtVUXo
tt
M
i
piti
tt
M
i
piti
i
i
y minimizamos la suma:
T
t
tt VV1
2111 )( ,
entonces se verifica que el mínimo se realiza para:
0,max
0,max
1
121
1
1
11
M
i
pititt
t
M
i
pitit
i
i
XoUV
UXoV
De hecho, para que 2111 tt VV sean iguales a la desviación absoluta de la realización
utilización de la sala designada de operación en el día t de la planeación cíclica.
Para los otros recursos nosotros formulamos las restricciones similares a las ecuaciones (1)
y (2). Es decir, para la enfermera, enfermera de cama y de IC nosotros obtenemos lo siguiente:
Investigación de Operaciones
21
,,,1,
,,,1,
,,,1,
,,,1,
,,,1,
,,,1,
244
1 1
1
144
1 1
1
233
1 1
1
133
1 1
1
222
1 1
1
122
1 1
1
TtVUX
TtVUX
TtVUX
TtVUX
TtVUXn
TtVUXn
tt
M
i
c
d
dpit
tt
M
i
c
d
dpit
tt
M
i
b
d
dit
tt
M
i
b
d
dit
tt
M
i
b
d
ditid
tt
M
i
b
d
ditid
i
i
i
i
i
i
i
i
La utilización comprendida de los recursos puede, por supuesto, no exceder la capacidad
disponible. Así,
rtrtrt CVU 1 , 4,3,2,1r , Tt ,,1 .
Entonces, minimizando la desviación absoluta de la realización y objetivos utilizados de los
recursos sobre la minimización de la suma:
4
1 1
2111 )(r
T
t
ttr VVw .
En esta suma, la desviación absoluta de la utilización de los recursos r es el peso con coeficiente
rw definida como:
T
t
rt
rr
U
aw
1
.
en donde ra es el mismo número no-negativo. Los coeficientes rw son introducidos (i) para hacer la
suma menos dimensional (es decir, independiente de las unidades usadas) y (ii) para controlar la
importancia relativa de los recursos (por medio de ra ).
Finalmente, nosotros tenemos que tener en cuenta las restricciones en perfiles de admisión
mencionadas en la sección anterior. La primera restricción es justamente el medio que nosotros
arreglamos con las variables itX a los valores prescritos. Para la segunda restricción nosotros
introducimos B que indica el número del máximo de pacientes de las categorías Si eso puede
una enfermera o un sólo día, donde S es un subconjunto de {1,...,M}. Entonces, la segunda
restricción se transforma a:
Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González
22
BXSi
b
d
dit
i
1
1 , Tt ,,1 .
Resumiendo, nuestro problema de planeación puede formularse como el siguiente ILP:
4
1 1
2111 )(minr
T
t
ttr VVw .
Sujeta a:
,,,1,,1,,2,1,0
,,,14,,1,0,
,,,14,,1
,,,1,
,,,1,
,,,1,
,,,1,
,,,1,
,,1,
21
,1
1
1
244
1 1
1244
133
1 1
1233
122
1 1
1222
111
1
211
1
TtMiX
TtrVV
TtrCVU
TtBX
TtVUXVU
TtVUXVU
TtVUXnVU
TtVUXoVU
MiTHRX
it
rtrt
rtrtrt
Si
b
d
dit
tt
M
i
c
d
dpittt
tt
M
i
b
d
dittt
tt
M
i
b
d
ditidtt
tt
M
i
pititt
i
T
t
it
i
i
i
i
i
i
(4)
IV. Aplicación El modelo anterior se aplica en forma reducida a la especialidad de ortopedia en un conjunto de
hospitales generales. En un trabajo separado se ilustra el proceso de aplicar al modelo para este
problema de la planificación y el contexto directivo. Aquí, se ilustrará el funcionamiento
correcto del modelo, y finalmente se discuten los resultados de la aplicación del modelo a la
ortopedia. En esta sección la entrada del modelo se discutirá y se usarán datos de ortopedia en un
hospital general mediano con 450 camas y cuatro cirujanos ortopédicos.
La llegada del paciente y hospitalización. Para el estudio se usan los datos de 1998 en
donde se admitieron aproximadamente 760 derecho-habientes y 700 día-casos. De los cuales
aproximadamente se admitieron 20 por ciento de los derecho-habientes como emergencias. Los
días-casos siempre son admisiones electivas. La longitud media de estancia de los derecho
habientes (día-casos exclusivos) fue 12.4 días. En total 11 categorías de pacientes son
distinguidas en el flujo de la ortopedia; estas categorías eran significantes para las admisiones que
planean en la sección y los cirujanos ortopédicos, pero también tienen requisitos de los diferentes
recursos.
Investigación de Operaciones
23
Basados en las admisiones reales por semana, se usara el flujo de la semana 12 en 1998
como un modelo del flujo representativo, pero también usa un flujo promedio, basado en el
rendimiento anual. La Tabla II proporciona información sobre el número de admisiones por la
categoría de pacientes en la semana de la muestra y el promedio semanal.
Categorías de pacientes Mix de pacientes sem 12 Mix de Pacientes promedio
1 14 13
2 2 1
3 0 1
4 1 2
5 0 1
6 0 1
7 1 2 Tabla II.
8 3 1 Número de admisiones
9 2 2 por categoría de pacientes
10 1 1 pacientes en la muestra
11 2 1 semana y promedio por semana
Total 26 26
Demanda requerida. Las categorías de pacientes pueden caracterizarse en varios rasgos,
como longitud de estancia, la carga de trabajo de las enfermeras, día y duración de la operación, y
uso de IC-camas. Estos rasgos se dan en Tabla III. El perfil de carga de trabajo de las
enfermeras se expresa en el número de días con carga de trabajo de Z hospitalizaciones (cinco
puntos), número de días con carga de trabajo de M hospitalizaciones (dos puntos) y número de
días con carga de trabajo de L (1 punto). Por ejemplo, se expresarían las cargas de trabajo en la
Tabla III como L2Z2M2L3. Los puntos de la carga de trabajo se refieren a la cantidad de trabajo
de la enfermera hecho para una categoría de paciente, basado por ejemplo en el Sistema de San
Joaquín. Día de funcionamiento = 1 implica que el paciente se opera en el día de admisión. Se
cuentan días de IC del día de funcionamiento como punto de la referencia.
Tabla III. Características de pacientes por categoría
Categorías
de pacientes
Tiempo de
estancia
(días)
Carga de
trabajo en
enfermería
Día de
operación
Duración de
la operación
(minutos)
Días de
cuidados
intensivos
1 1 L1 1 20 0
2 1 M1 1 30 0
3 2 M1L1 1 38 0
4 3 M2L1 1 40 0
5 4 M2L2 1 50 0
6 5 M3L2 1 46 0
7 9 Z4M4L1 2 77 0
8 14 Z6M6L2 2 70 0
9 18 Z6M8L4 2 80 0
10 24 Z24 2 120 1
11 29 Z29 2 92 0
Recursos disponibles. La ortopedia tiene 28 camas asignadas en su área, incluso las camas
para la corta-estancia y día-cirugía. Los cuatro cirujanos ortopédicos tienen cada día sesiones en
Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González
24
la sala de operaciones, en total seis horas al día. Hay aproximadamente 12 enfermeras con
equivalentes jornadas completa disponible para el ala, pero alimentando capacidad se expresa en
términos de puntos de la lactancia. El miércoles una IC-cama es reservada para las admisiones
electivas de categoría 10. Tabla IV resumen los recursos disponibles para la ortopedia.
Como uno puede ver, la disponibilidad de recursos es menos durante el fin de semana. En
dicho tiempo no hay capacidad de la sala de operaciones disponible y ninguna IC-cama.
Tabla IV. Disponibilidad de productos para ortopedia
Día de la
semana
Quirófano
(minutos)
Enfermería
(ptos) Camas
Camas de cuidados
intensivos
LUNES 360 80 28 0
MARTES 360 80 28 0
MIERCOLES 360 80 28 1
JUEVES 360 80 28 0
VIERNES 360 80 28 0
SABADO 0 70 20 0
DOMINGO 0 70 20 0
Factores de carga de capacidad e importancia del recurso. Los recursos diferentes cada
uno tienen un nivel de ocupación designado que define el nivel de ocupación que refleja un carga
de trabajo realista. Esto puede ser diferente durante el fin de semana. La Tabla V contiene
información sobre el nivel de ocupación designado para cada tipo de recurso.
Tabla V. Niveles de ocupación objetivo por tipo de recurso
Número de
día
Quirofano
(%)
Enfermeria
(%)
Camas
(%)
Camas de cuidados
intensivos (%)
1 85 95 90 0
2 85 95 90 0
3 85 95 90 100
4 85 95 90 0
5 85 95 90 0
6 0 95 80 0
7 0 95 80 0
Los datos antedichos exigen describir el sistema de la producción de la especialidad. La
entrada extra requerida para el modelo matemático es la función de peso para la optimización, e
información sobre restricciones impuestas en la planificación del problema.
Investigación de Operaciones
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La Tabla VI da los pesos ra que reflejaban la importancia relativa de los diferentes
recursos involucrados, según los participantes en el hospital. El rango de peso usado es lo
siguiente: 0 = ignore, 1 = no importante, 2 = escasamente importante, 3 = la importancia
elemento, 4 = importante, 5 = muy importante.
Tabla VI. Pesos (importancia) relativos por tipo de recurso
Tipo de recurso Importancia
Quirófano 5
Enfermería 3
Camas 4
Camas CI 5
Como uno puede ver y puede usar la sala de operaciones de la IC-cama es considerado aquí
como muy importante, etc. Una alternativa, el acercamiento más objetivo habría sido hacer los
pesos dependientes en datos históricos, por ejemplo en la frecuencia de recursos para actuar como
cuello de botella.
Restricciones. En realidad muchas restricciones pueden jugar un papel que lo hará difícil de
comprender un perfil de admisión factible. Nosotros ilustraremos este rasgo del modelo con dos
ejemplos de restricciones en el caso de ortopedia. La mezcla Paciente primero restricción que
juega un papel en el problema de la planificación es esa optimización de la categoría 6 pacientes
que tienen una longitud de estancia de cinco días y necesitan ser admitido el lunes para tenerlos
descargó antes del fin de semana. Además, el número de categorías se limitan a un paciente a seis
pacientes un día de lunes a viernes para evitar una concentración de pacientes de la cirugía en un
día.
V. Análisis de sensibilidad
Aquí se contienen los resultados producidos por el modelo, en donde se ilustra la conducta del
modelo al usar la función de pesos para la importancia relativa de los diferentes recursos. Los
resultados proporcionan evidencia que el modelo hace lo que de hecho debe hacer.
Nosotros empezaremos con la escena actual para la función de pesos proporcionada en
Tabla VI, y usamos el medio semanal de pacientes en Tabla II. Los otros parámetros son fijos
según las escenas en la situación actual descrita antes. Claramente, estamos buscando un perfil de
admisión semanal. El rendimiento del modelo para la escena actual se muestra en Tabla VII y
Tabla VIII (perfil de admisión). Los números entre el paréntesis indican los pesos relativos
usados.
Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González
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Tabla VII. Resultados
QUIROFANO (5) ENFERMERIA(3) CAMAS (4) CAMAS DE CUIDADOS
INTENSIVOS (5)
Día OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL
1 306 293 76 76 25 25 0 0
2 306 272 76 77 25 25 0 0
3 306 200 76 76 25 22 1 1
4 306 90 76 76 25 23 0 0
5 306 245 76 75 25 25 0 0
6 0 0 66 64 16 16 0 0
7 0 0 66 65 16 16 0 0
Tabla VIII. Resultados de perfil de admisión
Día
número 1 2 3 4 5 6 7
1 4 3 0 1 5 0 0
2 0 0 0 0 1 0 0
3 0 0 0 0 1 0 0
4 1 1 0 0 0 0 0
5 1 0 0 0 0 0 0
6 1 0 0 0 0 0 0
7 0 0 0 1 0 0 1
8 0 0 1 0 0 0 0
9 1 1 0 0 0 0 0
10 0 1 0 0 0 0 0
11 1 0 0 0 0 0 0
Como puede verse de la Tabla VII y puede utilizar la sala de operaciones muestra la menor
22,4 actuación debido a una encima de-capacidad que se hace disponible a la ortopedia. El uso
de camas sigue bastante bien la línea designada y la carga de trabajo de la lactancia y el IC-uso
están según las líneas designado. La cuenta de la solución 1 en la función objetiva dada por (3),
es 1.561. Esta cuenta cuantifica la calidad de la solución, y por consiguiente, puede usarse para
comparar soluciones diferentes.
El perfil de admisión semanal sugerido por el modelo se muestra en Tabla VIII. Como
puede verse de la Tabla VIII, las restricciones con respecto a las categorías pacientes 1 y 6 se ha
repartido propiamente. También, la categoría que 10 pacientes se admite el martes para estar en
necesidad de una IC-cama el miércoles.
Suponga que se reducen los recursos de la sala de operaciones para encontrar un mejor
encaje entre la demanda para y suministro de recursos. La Tabla IX muestras los resultados en
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caso de que se reduzcan los recursos de la sala de operaciones disponible a la ortopedia a 260
minutos un día. Teniendo en cuenta el nivel de ocupación designado de 85%, la capacidad
designada se vuelve 221 minutos entonces. La Tabla IX muestras que la capacidad de la sala de
operaciones es suficiente para manejar la demanda, y las líneas de ocupación siguen bastante bien
a las líneas designadas. La cuenta de la función objetiva de esta solución es 0.530. Esto muestra
que las desviaciones de las líneas designadas en Tabla IX son menores que las desviaciones en
Tabla VII.
Tabla IX. Resultados con cambio en quirófano
QUIROFANO (5) ENFERMERIA(3) CAMAS (4) CAMAS DE CUIDADOS
INTENSIVOS (5)
Día OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL
1 221 243 76 76 25 25 0 0
2 221 220 76 77 25 25 0 0
3 221 200 76 76 25 22 1 1
4 221 227 76 76 25 23 0 0
5 221 210 76 75 25 25 0 0
6 0 0 66 64 16 16 0 0
7 0 0 66 65 16 16 0 0
Suponga que ahora se cambia la función de peso dando a la capacidad de la sala de
operaciones un peso del máximo de 5 y los otros recursos un peso mínimo de 1. La Tabla X
muestra los resultados de este cambio en el parámetro que pone la función de peso. Como puede
verse de la Tabla X, la capacidad de la sala de operaciones ha mejorado (suma más pequeña de
diferencias) y el uso de camas y carga de trabajo han empeorado ligeramente; el uso de las IC-
camas está inalterado. Aunque los cambios son pequeños comparé los resultados en la Tabla IX,
la dirección de los cambios sigue la escena de los pesos.
Tabla X. Resultados con importancia máxima en quirófano
QUIROFANO (5) ENFERMERIA(1) CAMAS (1) CAMAS DE CUIDADOS
INTENSIVOS (1)
Día OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL
1 221 206 76 69 25 21 0 0
2 221 222 76 76 25 25 0 0
3 221 220 76 79 25 24 1 1
4 221 232 76 80 25 24 0 0
5 221 220 76 78 25 25 0 0
6 0 0 66 65 16 16 0 0
7 0 0 66 62 16 17 0 0
Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González
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VI. Resultados Enfocando en la contribución del modelo matemático al problema de la planificación de
ortopedia, se ilustra esto con rendimiento del modelo para las situaciones siguientes:
¿Qué si nosotros usamos el programa de semana 12, la semana de la muestra, en
combinación de la mezcla Paciente con las escenas originales?
¿Cuál es una disponibilidad adecuada de recursos por el medio programa de la
semana?
Primeramente se ha evaluado la viabilidad del programa de la semana 12 (vea Tabla II). El
número total de pacientes es igual que para el medio programa de la semana pero hay una
substitución hacia categorías de pacientes que requieren más recursos (categorías 8 y 11).
Usando al modelo para este flujo de resultados de los pacientes en ningún perfil de admisión
factible se encontraron dentro de las restricciones definidas para el problema de la planificación.
Observando la Tabla VII, uno puede concluir que el programa de semana 12, aunque el número
de pacientes es adecuado, tiene una mezcla de pacientes que no encajan dentro de las
restricciones de capacidad para la ortopedia. Probablemente, los cirujanos ortopédicos han
considerado sólo la capacidad de la sala de operación, al decidir el programa de la semana, y no
la cama.
¿Suponga ahora que usamos el medio programa de la semana como en la Tabla II, entonces
cuántos recursos se necesitarán para encajar la demanda de recursos adecuadamente?.
Reduciendo la capacidad de la cama durante la semana a 27 camas, nosotros llegamos a los
resultados mostrados en Tabla XI.
Tabla XI. Resultados con reubicación de recursos
QUIROFANO (5) ENFERMERIA(3) CAMAS (4) CAMAS DE CUIDADOS
INTENSIVOS (5)
Dia OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL
1 221 216 76 77 24 24 0 0
2 221 227 76 75 24 23 0 0
3 221 220 76 77 24 24 1 1
4 221 217 76 79 24 24 0 0
5 221 220 76 74 24 24 0 0
6 0 0 66 66 16 17 0 0
7 0 0 66 61 16 16 0 0
Hay respuestas diferentes claramente, posible a la pregunta puesta adelante acerca de la
cantidad de recursos que encajarían adecuadamente a la demanda requerida para el medio
programa de la semana, pero la solución presentó muestra resultados buenos. La función objetiva
produce una cuenta de 0.206. Éste es mejor resultado comparado con la Tabla IX con una
función objetivo de 0.530.
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Ahora considerando un cambio de nivel durante el fin de semana. Suponga que
aumentamos la capacidad de la sala de operación al principio de la semana, disminuimos la
capacidad de la sala de operación al final de la semana, y también hacemos algunos cambios a los
recursos de la cama disponible al final de la semana. Como se muestra en la Tabla XII.
Tabla XII. Resultados con variación en reubicación de capacidad por día
QUIROFANO (5) ENFERMERIA(3) CAMAS (4) CAMAS DE CUIDADOS
INTENSIVOS (5)
Dia OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL
1 238 238 76 73 24 23 0 0
2 238 235 76 77 24 25 0 0
3 222 217 76 76 24 23 1 1
4 204 200 76 77 22 22 0 0
5 204 210 76 73 22 22 0 0
6 0 0 66 66 18 19 0 0
7 0 0 66 67 18 18 0 0
Como puede verse de la Tabla XII, asignando recursos de la sala de operaciones y recursos
de la cama al principio de la semana pero aumentando el número de camas disponible durante el
fin de semana, parece que se consigue un mejor encaje entre la demanda y suministro. La cuenta
de la función objetiva es 0.235 y muestra, sin embargo, que esta solución es ligeramente más
pequeña que la obtenida en la Tabla XI. Cuando ambas cuentas son iguale que casi uno podría
decir que ambas soluciones están produciendo una actuación similar. La cantidad de recursos
usados en Tabla que XII son similares a los de la Tabla XI. La cantidad capacidad de la sala de
operaciones es casi el mismo, la capacidad de la enfermería es mejor y el número de camas en
uso muestra un ligero aumento.
VII. Conclusiones Basado en los resultados descritos en la sección anterior, nosotros podemos concluir que el
modelo puede generar un perfil de admisión bueno por la categoría. Con un perfil de admisión
bueno nosotros queremos decir un perfil que produce una desviación pequeña entre los
comprendidos y la utilización del recurso designado, mientras la capacidad disponible total de los
recursos diferentes no se excede, la llegada de pacientes designados y las restricciones dadas no
se violan. Nosotros también demostramos que el modelo puede ser acostumbrado a poner a
punto el nivel de disponibilidad de recursos a la demanda.
Una limitación sería del trabajo es que excluye el flujo de emergencia. Modelo con esta
limitación es, por consiguiente, más a favor para una especialidad con un porcentaje bajo de
emergencias (ortopedia) que para una especialidad con un porcentaje alto de emergencia (cirugía
general).