Date post: | 23-Feb-2018 |
Category: |
Documents |
Upload: | cesa-augusto-canal-mora |
View: | 227 times |
Download: | 0 times |
of 24
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
1/24
PROPIEDADES DE LOS LADOS Y ANGULOS EN UN TRIANGULO
1Un ladode un tringuloes menor que la suma de los otros
dosy mayorque su diferencia .
a < b + c
a > b c
2La sumade los ngulos interiores de un tringulo es igual a180.
A + B + C 180!
" El valor de un ngulo e#terior de un tringulo es igual a la
sumade los dos interiores no adyacentes .
$ = A + B
$ = 180! % C
&En un tr inguloa mayor lado se opone mayor ngulo .
' S i un tr ingulo t iene dos lados iguales ,sus ngulos o(uestos tambin son iguales .
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
2/24
TALLER SOBRE TRIANGULOS Y CONGRUENCIA
EJERCICIOS PROPUESTOSOBRE TRINGULOS
1. Resuelva justificando todos los
pasos:
1. Si b =20 cm.; c =10 cm.; d = ?
2. ?;70 == Si
3. Si f =13cm.; d =20 cm. a = ?
4. ?40 == ACBSi
5. Si d =2c; b = ?
6. ?2 == Si
7. ?.;402 === dcmfSi
2. ncuent!a la medida del te!ce! "n#ulo inte!io! de un t!i"n#ulo$ si la medida de
los ot!os dos son:a% &'( ) 4'( b% 22( ) 135( c% a( ) 2a(
3. *ete!mina el valo! de + si los "n#ulos inte!io!es de un t!i"n#ulo son +$ 2+ ) 3+.
4. n un t!i"n#ulo is,sceles$ el "n#ulo e+te!io! del v-!tice mide '0. /u"nto
miden los "n#ulos inte!io!es de la base?
5. l "n#ulo de un t!i"n#ulo cualuie!a mide 52; si el "n#ulo est!es veces ma)o! ue el "n#ulo . /u"nto mide el "n#ulo ?
6. n un t!i"n#ulo !ect"n#ulo los "n#ulos a#udos est"n en la !a,n de 5:4./u"nto miden estos "n#ulos?
7. n un t!i"n#ulo is,sceles$ un "n#ulo basal tiene 1$5 m"s ue el "n#ulo delv-!tice. alcula los "n#ulos inte!io!es del t!i"n#ulo.
8. 6os "n#ulos inte!io!es de un t!i"n#ulo est"n en la !a,n 3:4:5. /u"nto midenestos "n#ulos?
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
3/24
9. n un t!i"n#ulo cualuie!a$ el "n#ulo tiene 15 m"s ue el "n#ulo ) -ste 12 m"s ue el "n#ulo . *ete!mina el valo! de los "n#ulose+te!io!es de este t!i"n#ulo.
10.n un t!i"n#ulo is,sceles$ la suma de uno de los "n#ulos e+te!io!es de la basecon el "n#ulo e+te!io! del v-!tice es 2437. alcula la medida del "n#ulo inte!io!del v-!tice.
11.n un t!i"n#ulo un "n#ulo mide 4' ) el se#undo tiene 1' m"s ue el te!ce!o.alcula la medida de los "n#ulos inte!io!es del t!i"n#ulo.
12.l "n#ulo de un t!i"n#ulo cualuie!a mide 5&. Si los "n#ulos ) est"n en la !a,n 3:2$ /cu"l es el valo! del "n#ulo ?
13.n un t!i"n#ulo !ect"n#ulo$ uno de los "n#ulos a#udos tiene 20 m"s ue elot!o. /u"nto miden los "n#ulos a#udos?
14.n un t!i"n#ulo cualuie!a$ un "n#ulo inte!io! tiene 20 m"s ue ot!o$ pe!o 35menos ue el te!ce!o. /u"nto miden los "n#ulos inte!io!es de este t!i"n#ulo?
15.n un t!i"n#ulo cualuie!a los "n#ulos e+te!io!es est"n en !a,n de 2:3:4./u"nto miden los "n#ulos inte!io!es de este t!i"n#ulo?
16.n un t!i"n#ulo uno de los "n#ulos es el 508 de uno de los ot!os dos ) el 33193 8 del te!ce!o. *ete!mina la medida del "n#ulo meno! de este t!i"n#ulo.
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CONGRUENCIA DE TRINGULOS
EJEMPLO 1Si BD AC $ 1=2; demost!emos ue *
*
De!"#$%&'()* *=*=0 definici,n depe!pendicula!idad%.
BD = BD lado com
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
4/24
De!"#$%&'()* *==0 definici,n de %; AB = AB lado com
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
5/24
S!+,&'()* 1804030 =++ I Suma de "n#ulos inte!io!es en un t!i"n#ulo%
es el ot!o "n#ulo
1104030180 ==
251815
)(VIIII
1811015
)(VIIIV
1101540
)(VI
253018
)(
1102540
)(
LLL
LAL
ALAIII
LALVII
ALAIIII
IVVIIVII
VIIIII
6e) t!ansitiva%
Si VII
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
6/24
3030
1515
2525
110110
==
==
==
==
B
b
c
A
Si VIIII
18011030 =++
Suma de "n#ulos
inte!io!es en un
t!i"n#ulo%40=
3030
110110
==
==
B
A VIIVI 66%
VII IIIIII 6e) t!ansitiva%
EJEMPLO 5
-'(#e"'"* NRPRPQQM ===Te"'"* MNP es is,sceles
S!+,&'()* PRPQ = >ip,tesis%
1 is,sceles
32 =
32 = Suplementos de
"n#ulos i#uales%
RNMQ = >ip,tesis%; 32 66% NM = lementos
co!!espondientes en t!i"n#ulos con#!uentes e.c. s . .s %%; MNP
is,sceles.
EJEMPLO 6-'(#e"'"* ACAB = ; A es t!isecadoTe"'"* AEAD =
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
7/24
S!+,&'()* 21 = po! t!isecaci,n%
ACAB = >ip,tesis%
3 s,sceles
21 =
21 = suplementos de "n#ulos
i#uales%.
21 6%
AEAD = lementosco!!espondientes en t!i"n#ulos con#!uentes%.
EJEMPLO 7
*e acue!do con la fi#u!a$
donde AE ) CD son altu!as delt!i"n#ulo BAC $ ) CEAD = .*emost!emos ue CFAF =
S!+,&'()*
9021 == *efinici,n de altu!a%.
ECAD = dado%
21 = opuestos po! v-!tice%
21 6%
CFAF = lementos
co!!espondientes en t!i"n#ulos con#!uentes
EJEMPLO 8n la fi#u!a BCAC= )
ECDC= . *emost!emos ue
DBAE =
S!+,&'()* ECDC = dado%
CC = "n#ulo com
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
8/24
EJEMPLO 9
n la fi#u!a$ BCAC =
)CEDCDE = . *emost!emos
ue DBAE =
S!+,&'()* 21 = dado% 1 is,sceles
CEDC = CC = "n#ulo com
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
9/24
EJEMPLO 10
-'(#e"'":AEbiseca a BD ; BDDE ; BDAB Te"'"* AE =
S!+,&'()*9021 == definici,n de pe!pendicula!idad%
BCDC = AE biseca a BD %
21
= opuestos po! el v-!tice%
21 6%
EA = lementos co!!espondientes en
t!i"n#ulos con#!uentes%.
EJEMPLO 11
-'(#e"'"*PQ bisect!i; MNPQ
Te"'"* NM =
S!+,&'()*21
= PQ bisect!i%
21 = pe!pendicula!idad%PQPQ = lado com
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
10/24
EJEMPLO 12
-'(#e"'"* 1 = 2; CE biseca BF
Te"'"* =
S!+,&'()*21 = >ip,tesis%
21 = suplementos de
"n#ulos i#uales%
21 = opuestos po! el v-!tice%
DFBD = CE biseca a BF %
21 6%
EC = lementos co!!espondientes
en t!i"n#ulos con#!uentes%.
/E+ "%'! )! %% %$% %&,,+%$&,%)#! " e)#$e% % +!" e"
T%)#! %" !"ee %$% ".C,%)#! " !)e" !$e&e) % +!" e"
T%)#! %" &!)"',e %$% "/.
Te!$'% P$!+e%" Re",e+#!" "!$e T$'%),+!"@ublicado el26/12/2009po! p!ofbaptista
https://profbaptista.wordpress.com/2009/12/26/teoria-y-problemas-resueltos-sobre-triangulos/https://profbaptista.wordpress.com/2009/12/26/teoria-y-problemas-resueltos-sobre-triangulos/https://profbaptista.wordpress.com/2009/12/26/teoria-y-problemas-resueltos-sobre-triangulos/https://profbaptista.wordpress.com/author/profbaptista/https://profbaptista.wordpress.com/2009/12/26/teoria-y-problemas-resueltos-sobre-triangulos/https://profbaptista.wordpress.com/2009/12/26/teoria-y-problemas-resueltos-sobre-triangulos/https://profbaptista.wordpress.com/author/profbaptista/7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
11/24
1. De un tringulo sabemos que: a = 6 m, B = 45 y C = 105. Calcula los
restantes elementos.
esoluci!n "e un triangulo conocien"o "os la"os y el angulo
com#ren"i"o
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
12/24
$. De un tringulo sabemos que: a = 10 m, b = % m y C = &0. Calcula los
restantes elementos.
esol'er un tringulo conocien"o "os la"os y un ngulo o#uesto
sen B ( 1. )o *ay soluci!n
sen B = 1 +ringulo rectngulo
sen B 1. -na o "os soluciones
&. u#ongamos que tenemos a, b y / al a#licar el teorema "e los senos
#ue"e suce"er:
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
13/24
1. sen B > 1. No hay solucin.
esol'er un tringulo conocien"o los tres la"os
5. esuel'e el tringulo "e "atos: a = 15 m, b = $$ m y c = 1% m.
Clculo "e la altura "e un #unto "e #ie inaccesible
6. e i2a en el #lano *ori3ontal "os #untos / y C, y se mi"e la "istancia
que los se#ara: b= 500 m.
e mi"en con el teo"olito los ngulos / y C. /= %$ 1 y C= 60 &$.
+ambi7n se mi"e el ngulo 8/B = 6$ 5
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
14/24
Clculo "e la "istancia entre "os #untos, uno "e los cuales es
inaccesible
%. Se fija en el plano horizontal dos puntos A y C, y se mide la distancia que los
separa !" #$$ m.Se miden con el teodolito los %n&ulos A y C. A" '1( #)* y C" +( +-*.
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
15/24
Clculo "e la "istancia entre "os #untos inaccesibles
. e i2a en el #lano *ori3ontal "os #untos C y D, y se mi"e la "istanciaque los se#ara: b= 450 m.
e mi"en con el teo"olito los ngulos C y D. C= 6 11 y D= 0 40.
+ambi7n se mi"en los ngulos BCD = &$ &6 y /DC = 4& 5$.
9. +riangulos ectangulos
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
16/24
-n tringulo rectngulotiene un ngulo recto y "os agu"os.
ipotenusa
a *i#otenusaes el la"o o#uestoal ngulo recto, y es lado mayor del
tri%n&ulo
Catetos
os catetosson los la"os o#uestosa los ngulos agu"os, y son los lados
menoresdel tri%n&ulo.
/rea de un tri%n&ulo rect%n&ulo
;l rea "e un tringulo rectnguloes i&ual al #ro"ucto "e los catetos
#arti"o #or $.
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
17/24
0eoremas
el cateto;n to"o tringulo rectngulo un cateto esmedia proporcional entre la
*i#otenusa y su #royecci!n sobre ella.
e la altura;n un tringulo rectngulo, la altura relati'a a la *i#otenusa es me"ia
#ro#orcional entre los $ segmentos que "i'i"en a 7sta.
e 2it%&oras
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
18/24
;n un tringulo rectngulo, el cua"ra"o "e la *i#otenusa es igual a la
suma "e los cua"ra"os "e los catetos.
De#en"ien"o "e los elementos que cono3camos, nos encontramos con
cuatro ti#os "e resoluci!n "e tringulos rectngulos:
1. Se conocen la hipotenusa y un cateto
#. Se conocen los dos catetos
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
19/24
-.Se conocen la hipotenusa y un %n&ulo a&udo
. Se conocen un cateto y un %n&ulo a&udo
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
20/24
3jercicios
De un tringulo rectngulo /BC, se conocen a = 415 m y b = $0 m.
esol'er el tringulo.
sen B = $0 0.%&1 = &06. &1 m
De un tringulo rectngulo /BC, se conocen b = && m y c = $1 m.
esol'er el tringulo.
tg B = &&
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
21/24
De un tringulo rectngulo /BC, se conocen b = 5.$ m y B = &%.
esol'er el tringulo
C = 90 &% = 5&
a = b 1.&$%0 = 6. 9 m
?roblemas #ro#uestos "e +riangulos rectangulos:
1. ;n un +ringulo ectngulo un cateto mi"e 1$ cm y el ngulo agu"o
o#uesto a "ic*o cateto mi"e &0o. @Cual es la longitu" "e su 8i#otenusaA
e"on"ea tu res#uesta a un "ecimal.
/ 1$ cm
B 6 cm
C 10.4 cm
D )o esta la res#uesta
$. a base "e un tringulo is!sceles mi"e 0 cm y los la"os iguales 100
cm. Calcula la me"i"a "e sus ngulos iguales. e"on"ea a un "ecimal tu
res#uesta.
/ 5&.1o
B $&.6o
C 66.4o
D &6.9o
&. i sabemos que en un tringulo rectngulo sus catetos mi"en 15 cm y1$ cm. 8allar la me"i"a "e los ngulos agu"os. e"on"ea a un "ecimal
tu res#uesta.
/ 5oy &$o
B 5&.1oy &6.9o
C 51.&oy &.%o
D )o esta la res#uesta
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
22/24
4. Calcular el la"o "e un #entgono regular inscrito en una
circunerencia "e ra"io cm. e"on"ea a un "ecimal tu res#uesta.
/ 1$.9 cm
B 4.% cm
C cmD 9.4 cm
5. Calcula la altura "e una torre, si situn"onos a 5 m "e su #ie 'emos la
#arte ms alta ba2o un ngulo "e %5. e"on"ea a un "ecimal tu
res#uesta.
/ 1.% m
B 1.& m
C 5.$ m
D 19.& m
6. /n"r7s mi"e 1%5 cm y su sombra 105 cm. @u7 ngulo orman en ese
instante los rayos "e sol con la *ori3ontalA e"on"ea a un "ecimal tu
res#uesta.
/ &1o
B 59o
C 5&.1o
D &6.9o
%. Calcula la altura "e una casa si sabemos que en el momento que el sol
se encuentra a una altura "e 55 con res#ecto a la #arte su#erior "e lacasa este #royecta una sombra "e m. e"on"ea a un "ecimal tu
res#uesta.
/ 11.4 m
B 5.6 m
C 6.1 m
D .% m
. -n #oste "e 6 m "e altura es alcan3a"o #or un rayo #arti7n"olo a una
altura *E "el suelo. a #arte su#erior se "es#loma que"an"o uni"a a la
#arte inerior orman"o un ngulo "e 60 con ella @Cunto mi"e la
#arte rota ms larga "el #osteA e"on"ea a un "ecimal tu res#uesta.
/ 6 m
B $ m
C 4 m
D &.$ m
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
23/24
9. ;l 'iento tro3a un rbol, la #unta se a#oya en el suelo, en un #unto
situa"o a 10 m "el #ie, orman"o un ngulo "e &0 con el #lano
*ori3ontal. @Cul era la altura "el rbolA. e"on"ea a un "ecimal tu
res#uesta.
/ 1%.& mB 5.% m
C $5. m
D 14.$ m
10. Des"e una altura "e $500 m un #iloto obser'a la lu3 "e un
aero#uerto ba2o un ngulo "e "e#resi!n "e 40. Determina la "istancia
*ori3ontal entre el a'i!n y el aero#uerto. e"on"ea a un "ecimal tu
res#uesta.
/ $09%.% m
B $9%9.4 m
C &9.& m
D &$6&.5 m
11. Calcula el rea "e un tringulo equiltero cuyos la"os mi"en 1$ cm.
e"on"ea a un "ecimal tu res#uesta.
/ 6$.4 cm$
B 144 cm$
C %$ cm$
D 1$4. cm$
1$. Calcula el rea "el octgono regular "e cm "e la"o. e"on"ea a un
"ecimal tu res#uesta.
/ &09 cm$
B $56 cm $
C 51$ cm $
D 106 cm $
1&. e sabe que un aro tiene una altura sobre el ni'el "el mar "e 145 m.
Des"e un barco en el mar se 'e el aro ba2o un ngulo "e 15. @/ qu7
"istancia se encuentra el barco "e la costaA e"on"ea a un "ecimal tu
res#uesta.
/ 541.1 m
B &.9 m
C 560.$ m
D 150.1 m
7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo
24/24
14. Dos amigos 'an a subir una montaFa "e la que "esconocen la altura.
/ la sali"a "el #ueblo *an me"i"o el ngulo "e ele'aci!n y obtu'ieron
que era "e &0. 8an a'an3a"o &00 m *acia la montaFa y *an 'uelto a
me"ir y a*ora es "e 45. Calcula la altura "e la montaFa. e"on"ea a
un "ecimal tu res#uesta./ 450.5 m
B 409. m
C &9.5 m
D )o esta la res#uesta
Cla4e de 5espuesta
1.B#.C-.C . +.A '.B 6.A).C7.A1$.B 11.A #.A
1-.A 1.B