4PROPUESTA DE
ATACALAR CHILE-ARGENTINA
OLIMPIADA INTERNACIONAL
DE MATEMÁTICA
ACOMPAÑAMIENTO A LOS ESTUDIANTES
CERTAMEN INTERNACIONAL
4FASCÍCULO
- 2014 -
Queridoestudiante:
Teinvitamosahacermatemática,aponerenaccióntussaberesyaempleartu
ingenioytucreatividadparabuscarsolucionesasituacionesqueconstituyenverdaderosproblemas.
Sabemosque tenés lacapacidadparaenfrentartealdesa�íoyresolverproblemasmatemáticos.
¡Animate!
Lapropuestaeslasiguiente:
Leécadaproblema
Iniciá la búsqueda de la solución. Si necesitás, consultá tus libros y
apuntes.
Almomentodeconcluirlabúsqueda,reunitecontuscompañerospara
compartirtuprocesoyexplicarcómolopensaste.Podésaprovecharla
instanciaparaanalizarydiscutirlorealizado.
ALGUNOSPROBLEMASPARATRABAJARCONNÚMEROSNATURALES
Noteolvidesderegistrarlosrazonamientos,explicacionesycálculosqueusastepararesolver cada problema. Debajo de cada problema tenés un espacio para hacerlo.Podésusarotrashojas,sinecesitás.
Catalinajuegaconunbolillero
Catalinaencontrounbolilleroenlacajadesusjuguetes.Sololequedanestasbolillas:2,3,4,7y9,queusaparajugarunrato.
Sacaunabolilla,anotaelnumeroylavuelveacolocarenelbolillero.Asılorepitecuatro
vecesmasyformaunnumerodecincocifras.
¿Cuantosnumerosdistintospuedearmar?
01
NuevaclaveparacomprasporInternet
EnunsitiodecomprasenInternetsedanlassiguientesindicaciones
paralaelecciondelaclavedeusuario:
Elegir,primero,dos letrasmayusculas(noseusa laN� ).Esas letras
debenserdistintas.
Seleccionar,luego,cuatronumeros(noseusanel0niel1).Losnumeros
puedenrepetirse.
¿Cuantasclavesdistintaspuedencrearseconesasindicaciones?
02
03
Enlacafetería
Los trillizos Garcıa (Agustın, Bautista y Constantino) van a una
cafeterıa.Allı seofreceestapromocion:uncapuchinofrıo yuna
delicia,por$45.
Hay cuatro variedades de capuchino frıo: frappe, vainilla,
chocolateydulcedeleche.Ladeliciapuedeser:medialunarellena,
alfajordemaicena, galletasdenaranja,magdalenade chocolateo
magdalenadevainilla.
Cada hermano elige un capuchino frıo distinto y una de las delicias incluidas en la
promocion.
Si se quiere averiguar que promocion eligieron los tres hermanos, ¿cuantas
posibilidadesdistintassedebenconsiderar?
04
Unnuevojuegocon�ichasdecolores
Diegoestadisenandounnuevojuego.Paraellodisponede10�ichascircularesde5
cmdediametroydepinturasdecolorazul,rojoyamarillo.Quierepintartodaslas
�ichasdemodoquehayaporlomenosuna�ichadecadaunodelostrescolores,sin
mezclarlos.
¿Decuantasformasdistintaspuedepintartodassus�ichas?
Númerosconcaracterísticasparticulares
Seusanlosdıgitos0,1,2,3,4,6y7paraarmarnumerosmenoresque2014que
tienentodassuscifrasdistintas.¿Cuantosdeesosnumerossonmultiplosde4y
multiplosde3alavez?
05
Enelparquedediversiones
Juan y sus amigos fueron al parque de
diversiones. Cada uno compro un pasaporte
queincluyeelaccesoacincojuegosclasicosya
tresjuegosnovedosos.
Los juegos clasicos son: autos chocadores,
baile de las tazas, barcopirata, laberintodel
terror,samba,sillasvoladoras,trenfantasmay
vueltaalmundo.Porsuparte,sonjuegosnovedosos:boteschocadores,montanarusa
familiar,montanarusatorbellino,palestra,simuladordevueloespacial.
ComoJuanquiererecorrerlamayorcantidaddejuegosposiblesconsuabono,decideir
unasolavezacadauno.¿DecuantasmaneraspuedeelegirJuanlosjuegosalosqueira?
06
ALGUNOSPROBLEMASPARATRABAJARCONFIGURASYCUERPOSGEOMÉTRICOS
Noteolvidesderegistrarlosrazonamientos,explicacionesycálculosqueusaste
pararesolvercadaproblema.Debajodecadaproblematenésunespaciopara
hacerlo.Podésusarotrashojas,sinecesitás.
Unatarjetadecumpleaños
Paradisenarunatarjetadecumpleanos,EmaconstruyeuntrianguloisoscelesABCque
tieneAB=AC,BC=17cmyelanguloBAC=90°.
Luego,construyeunacircunferenciaconcentroenByradioBC.Esacircunferenciacorta
alaprolongaciondelladoBAenelpuntoD,quedandoAentreByD.
Posteriormente, construye una circunferencia con centro en C y radio CB. Esa
circunferenciacortaalaprolongaciondelladoCAenelpuntoE,quedandoAentreCyE.
RemarcaelsegmentoBC,elarcoCD,elsegmentoDEyelarcoEBqueformanelcontorno
delatarjeta.
¿CualeselareadelatarjetaquedisenoEma?
07
Lalongituddelsegmento
EnlahojadepapelestadibujadoeltrianguloABCcuyosladosmiden:AB=13,BC=15y
AC=9.
PorelpuntoAsetrazalarectaSparalelaalladoBC.Luegosetrazalabisectrizdelangulo
ABCquecortaalarectaSenelpuntoEylabisectrizdelanguloACBquecortaaesarectaS
enelpuntoF.
¿CuantomideelsegmentoEFquequedodeterminado?
Untriánguloapartirdeotrosdos
EnlahojadepapelestadibujadoeltrianguloequilateroABCcuyosladosmiden4cm.
Considerando lospuntosAyC, seconstruyeel triangulo rectanguloACD,exterioral
trianguloequilatero,quetieneA=30°yD=90°.
EnelladoBCsemarcaelpuntoE,demaneraqueCAE=15°.SeprolonganlasrectasDCy
AE,quesecortanenF.
¿CualeselareadeltrianguloADF?
08
Unpentágonoapartirdeunhexágono
SeconstruyeunhexagonoregularABCDEFde60cmdeperımetro.Sedeterminaelpunto
mediodelsegmentoAByselollamaM.SetrazaelsegmentoEM.
¿CualeselareayelperımetrodelpentagonoMBCDE?
Conlainformacióndelperímetrodela�igura,sebuscasuárea
EltrianguloisoscelesrectanguloABCtieneloscatetosAByAC.Considerandolospuntos
AyBseconstruyeeltrianguloequilateroABD,exterioraltriangulodado.Luego,setraza
lacircunferenciadecentroByradioABquecortaaCBenelpuntoE.
Sabiendoqueelperımetrodela�iguraformadaporelarcoDEylossegmentosEByBDes
de76,65cm,averiguasuarea.
09
Portarretratosconformade�lor
Paraarmarunportarretratos,Juan,elartesano,dibujaunacircunferenciade14cmde
radio.Luego,trazauncuadradoinscriptoenesacircunferencia.Posteriormente,sobre
cadaladodelcuadradotrazaunasemicircunferenciaexteriorael,cuyocentroeselpunto
mediodeeseladodelcuadrado.Ası,obtieneunportarretratosconformade�lor.
Juancolocaraunacintaenelcontornodeeseportarretratos.¿Cualeslacantidadmınima
decintaquenecesitara?
CortesdelescultorManuel
Manuel,duranteestasemana,trabajasobreunbloquedegranitoconformadeprisma
rectangularde30cmpor30cmpor40cm. Inicialmente,practicauncorteplanoal
bloquequepasapordosaristasopuestasde30cm.
Paracontinuarconsuobra,necesitaconocerlamedidadeladiagonaldelacaraobtenida
alhacerelcorte.
¿Cuantomideesadiagonal?
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Uncortealacajapiramidal
Anatieneunacajaconformadepiramidedebaserectangular.Pararealizaruntrabajode
EducacionArtıstica,Anacortalacajaporunplanoparaleloalabase,alamitaddesu
altura.Asıobtienedoscuerpos,unodeloscualesesunapiramide.
Sielarealateraldelacajaerade800cm,¿cualeselarealateraldelapiramidequeAna
obtuvoconsucorte?
Cortesparaobtenerunapirámide
LaprofesoradeEducacionInicialnecesitaunapiramidedebasecuadradaparatrabajar
con sus estudiantes. Ella construye esa piramide a partir de un cubo de 512 cm de
volumen,siguiendoestospasos:
determinaelcentrodelcubo;
senalalosverticesdeunadelascarasdelcuboylosuneconelcentrodelcubo.
¿Cualeselvolumenyelareatotaldelapiramideobtenida?
2
3
11
Triángulosenuncubo
Con vertices en los centros de las caras de un cubo de 2 cm de arista, se forma un
triangulo.¿Quevalorespuedetomarelperımetrodeestetriangulo?
Ángulosenunacaradeltetraedro
Enlacuspidedeuntetraedroconcurrentresaristasdeiguallongitud.Dosaristasforman
angulos congruentes. ¿Cuantomiden los angulosde la caraopuesta a la cuspidedel
tetraedro?
Elaguasederrama
Unvasocilındricotiene20cmdealturaybasecircularde10cmdediametro.Elvasoesta
llenodeagua.Seinclinaelvaso45ºrespectodelahorizontal.¿Quepartedeltotaldelagua
sederrama?
12
Bibliogra�ía
GobiernodeCordoba.MinisteriodeEducacion.SecretarıadeEducacion.Subsecretarıade
PromociondeIgualdadyCalidadEducativa(2012).DiseñoCurriculardeCicloBásicodela
EducaciónSecundaria.2012-2015.Cordoba,Argentina:Autor
GobiernodeCórdoba
MinisteriodeEducación
SecretaríadeEstadodeEducación
SubsecretaríadeEstadodePromocióndeIgualdadyCalidadEducativa
ÁreadePolíticasPedagógicasyCurriculares
Equipodetrabajo:SandraMolinolo,LauraVelezconlacolaboraciondeAzucenaAmayayEderdPicca.
Lecturaycorreccióndeestilo:JimenaCastillo,BrendaGriotti,SilviaYepes
DiseñoGrá�ico:FabioViale
AUTORIDADES
GobernadordelaProvinciadeCordobaDr.JoséManuelDelaSota
VicegobernadoradelaProvinciadeCordobaCra.AliciaMónicaPregno
MinistrodeEducaciondelaProvinciadeCordobaProf.WalterMarioGrahovac
SecretariadeEstadodeEducacionProf.DeliaMaríaProvinciali
SubsecretariodeEstadodePromociondeIgualdadyCalidadEducativa
Dr.HoracioAdemarFerreyra
DirectoraGeneraldeEducacionInicialyPrimariaProf.EdithGaleraPizzo
DirectorGeneraldeEducacionSecundariaProf.JuanJoséGiménez
DirectorGeneraldeEducacionTecnicayFormacionProfesional
Ing.DomingoAríngoli
DirectorGeneraldeEducacionSuperiorMgter.SantiagoAmadeoLucero
DirectorGeneraldeInstitutosPrivadosdeEnsenanzaProf.HugoZanet
DirectorGeneraldeEducaciondeJovenesyAdultosProf.CarlosBrene
DireccionGeneraldeRegımenesEspeciales
DirectorGeneraldePlaneamiento,InformacionyEvaluacionEducativa
Lic.EnzoRegali
SecretariodeRelacionesInstitucionalesDr.Carlos.A.Sánchez
DirectorGeneraldeProgramasEspecialeseInfraestructuraProf.CarlosPedetta
SubdirectoradeProgramasEspecialesLic.RosanaZárate