En geometría euclidiana, Proyección ortogonal es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son perpendiculares al plano de proyección (o a la recta de proyección), estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.
En el plano, la proyección ortogonal es aquella cuyas líneas proyectantes auxiliares son perpendiculares a la recta de proyección L.
Así, dado un segmento AB, bastará proyectar los puntos "extremos" del segmento –mediante líneas proyectantes auxiliares perpendiculares a L–, para determinar la proyección sobre la recta L.
Una aplicación de proyecciones ortogonales son los teoremas de las relaciones métricas en el triángulo mediante las cuales se puede calcular la dimensión de los lados de un triángulo.
El concepto de proyección ortogonal se generaliza a espacios euclidianos de dimensión arbitraria, inclusive de dimensión infinita. Esta generalización juega un papel importante en muchas ramas de matemática y física.
Casos de proyección ortogonal en el plano
Proyección ortogonal de un punto
La proyección ortogonal de un punto P en una recta L es otro punto A que se obtiene trazando una línea auxiliar perpendicular a L desde el punto A tal que esta línea pase por P. Lógicamente, si el punto P pertenece a la recta L, coinciden: P = A .
Proyección ortogonal de un segmento
Caso general: si el segmento dado AB no es paralelo a la recta L, la proyección ortogonal es un segmento PQ que se obtiene trazando líneas perpendiculares a L desde los puntos extremos de AB. La magnitud de la proyección siempre es menor que la del segmento dado.
Si el segmento PQ y la recta L son paralelos, la proyección será: AB = PQ, que se obtiene de forma análoga.
Si el segmento AB tiene un punto común con la recta L, la proyección se obtiene de modo similar.
Si el segmento AB corta a la recta L, la proyección se obtiene de forma análoga.
PROYECCIONES ORTOGONALESEn geometría euclidiana, Proyección ortogonal es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son perpendiculares al plano de proyección (o a la recta de proyección), estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.
En el plano, la proyección ortogonal es aquella cuyas líneas proyectantes auxiliares son
perpendiculares a la recta de proyección L.
Así, dado un segmento AB, bastará proyectar los puntos "extremos" del segmento –mediante
líneas proyectantes auxiliares perpendiculares a L–, para determinar la proyección sobre la
recta L.
Una aplicación de proyecciones ortogonales son los teoremas de las Relaciones métricas en el triangulo mediante las cuales se puede calcular la dimensión de los lados de un triángulo.
El concepto de proyección ortogonal se generaliza a espacios euclidianos de dimensión arbitraria, inclusive de dimensión infinita. Esta generalización juega un papel importante en muchas ramas de matemática y física.
Casos de proyección ortogonal en el plano
Proyección ortogonal de un punto
La proyección ortogonal de un punto P en una recta L es otro punto A que se obtiene trazando una línea auxiliar perpendicular a L desde el punto A. Lógicamente, si el punto P pertenece a la recta L, coinciden: P = A .
Proyección ortogonal de un segmento
Caso general: si el segmento dado AB no es paralelo la recta L, la proyección ortogonal es segmento PQ que se obtiene trazando líneas perpendiculares a L desde los puntos extremos. La magnitud de la proyección siempre es menor que la del segmento dado.
Si el segmento PQ y la recta L son paralelos, la proyección será: AB = PQ, que se obtiene de forma análoga.
Si el segmento AB tiene un punto común con la recta L, la proyección se obtiene de modo similar.
Si el segmento AB corta a la recta L, la proyección se obtiene de forma análoga.
Proyección gráficaLa proyección gráfica es una técnica de dibujo empleada para representar un objeto
en una superficie. La figura se obtiene utilizando líneas auxiliares proyectantes que,
partiendo de un punto denominado foco, reflejan dicho objeto en un plano, a modo de
sombra.
Los elementos principales de la proyección son –como muestran las figuras– el punto
de vista o foco de proyección (V), el punto que se desea proyectar (A), el punto
proyectado (A'), la línea proyectante (VAA') y el plano sobre el que se proyecta, que
recibe diferentes denominaciones como plano de proyección, plano de cuadro o plano
imagen ( ).
Clasificación general
Proyección Tipo Subtipo
Central o
perspectivaVarios tipos de perspectiva con puntos de fuga
Paralela Ortogona l Isometrica (tres angulos iguales (120º), coef. de
reducción iguales)
Di métrica (dos ángulos iguales, dos coeficientes
distintos)
Trimétrica (tres ángulos y coeficientes distintos)
Oblicua Perspectiva caballera
. proyección isometrica
proyección oblicua
proyección oblicua
proyección de perpestiva con un punto de fuga
Proyección central
Cuando todas las líneas proyectantes pasan por un punto, se habla de proyección
central, cónica o perspectiva, éste es el caso, por ejemplo, de la sombra de un objeto
sobre una superficie cuando es alumbrado por una lámpara (foco puntual).
Es la adoptada en el sistema de representación cónico, o simplemente perspectiva
cónica.
Una variante de este sistema de representación lo constituye la proyección
estereográfica empleada para la representación plana de la superficie de una esfera, y
que se obtiene proyectando todos los puntos de la esfera desde uno de ellos sobre el
plano tangente en el punto diametralmente opuesto, o sobre un plano paralelo a este,
trazado por el centro de la esfera.
Proyección paralela
Cuando las líneas proyectantes son paralelas –como el anterior objeto alumbrado por
la luz del Sol–, se habla de proyección paralela o proyección cilíndrica. Es un caso
particular de proyección central, donde el foco del haz proyectante estaría a distancia
infinita.
[editar]El sistema diédrico
Es el caso del sistema diédrico, en el que además se cumple que las líneas
proyectantes son perpendiculares (ortogonales) al plano de proyección. En este
sistema, a diferencia de los demás, no se obtiene una representación volumétrica del
objeto en perspectiva, sino su alzado, planta y perfil. A partir de dichas vistas, se puede
conseguir una representación tridimensional del objeto en el sistema axonométrico,
cuyas líneas proyectantes pueden ser tanto ortogonales como oblicuas, siendo
la perspectiva caballera.
[editar]El dibujo acotado
Una variante del sistema diédrico,es que, en la práctica, no pueden describirse
adecuadamente con los sistemas anteriormente señalados. Son muy utilizados
en arquitectura, ingeniería, topografía, entre otros
Proyección cónica
Proyección cónica o proyección perspectiva se denomina al sistema de
representación gráfico en donde el haz de rayos proyectantes confluye en un punto (el
ojo del observador), proyectándose la imagen en un plano auxiliar situado entre el
objeto a representar y el punto de vista.
Es el sistema de representación que ayuda a reproducir (normalmente en un plano) las
imágenes del modo más fiel, con un resultado muy similar a como lo percibimos
realmente.
Es el sistema empleado en la perspectiva cónica.
La proyección cónica se utiliza para elaborar dibujos realistas de objetos, mapas de la
Tierra, entre otros.
Proyección paralelaEn la geometría Euclidiana, la Proyección paralela es un sistema de representación
gráfico para trasponer un objeto tridimensional a un dibujo bidimensional en un plano,
llamado plano de proyección. Consiste en proyectar puntos del espacio contra el plano
de proyección mediante haces de rectas siempre paralelas entre sí.
Esta técnica de representación gráfica se utiliza en diseños
de ingeniería y arquitectura ya que su principal ventaja es que mantiene las
proporciones relativas de lo representado y se puede medir sobre él directamente. De
esta manera se puede reconstruir el objeto fácilmente a partir de representaciones
concretas.
Proyección oblicuaEn geometría euclidiana, proyección oblicua es aquella cuyas rectas proyectantes
auxiliares son oblicuas al plano de proyección, estableciéndose una relación entre
todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.
En el plano, la proyección oblicua es aquella cuyas líneas proyectantes auxiliares son
oblicuas a la recta de proyección.
Así, dado un segmento, bastará proyectar los puntos "extremos" del segmento –
mediante líneas proyectantes auxiliares oblicuas, para determinar la proyección sobre
la recta.
Geometría de la perspectiva
Perspectiva cónica.
Auxiliados por la geometria, podemos simular el efecto visual de la perspectiva
proyectando los objetos tridimensionales sobre un plano (bidimensional) utilizando los
métodos de la perspectiva cónica. Recibe este nombre por el hecho de que las líneas
paralelas de proyección parten de un punto (a modo de un cono). Mediante este
procedimiento se pueden obtener imágenes realistas. Sin embargo, la perspectiva
cónica no puede imitar fielmente la visión estereoscópica del ser humano.
[editar]Perspectiva cónica a mano alzada
Estas ayudas para realizar dibujos a mano alzada son de utilidad; pueden ser sencillas
y mecánicas, pero también las hay más complejas.
Medición a ojo con el lápiz
Un método sencillo para calcular y comparar proporciones, sobre todo distancias
verticales y horizontales, consiste en usar un lápiz como regla. Seleccionamos el objeto
que queremos usar como parámetro para nuestro dibujo y luego tomamos un lápiz con
la punta para arriba, sin olvidarnos de sostener el brazo bien estirado. Alineamos la
punta del lápiz con la parte superior del objeto y el dedo con la parte inferior. Esta
medición nos permitirá calcular proporcionalmente los otros objetos. Hemos de estar
seguros de que el lápiz se encuentre en posición totalmente vertical a la hora de medir
profundidades. Para calcular el grado de inclinación o para medir horizontalmente, el
lápiz habrá de estar perpendicular a la línea de visión.
Cálculo de un ángulo
Empezaremos con el lápiz en posición horizontal, y luego lo giraremos hasta que
se encuentre sobre la línea. Así se determinará el ángulo. Trabajar midiendo a ojo
es una técnica muy útil. El diagrama muestra cómo funciona este sistema para
emprender un bodegón de un cubo sobre una mesita.
Si somos diestros, tendremos que mirar por el lado izquierdo del tablero de dibujo,
de modo que la mano que dibuja no interfiera con las líneas de mira, perturbando
la visión. Con el tablero en posición vertical y con un ojo cerrado, moveremos la
cabeza ligeramente hacia la izquierda y hacia la derecha, hasta lograr que el borde
del tablero pueda utilizarse como plomada para determinar el tamaño de cada
parte de los objetos y, luego, marcaremos estos puntos en el borde del tablero.
Esto es particularmente útil para dibujar figuras, pero también puede utilizarse con
buenos resultados para dibujar paisajes o, como en este caso, una naturaleza
muerta. Es un método consagrado, como lo demuestran las marcas en el borde de
muchos dibujos de grandes maestros, lo cual demuestra que dibujaban midiendo a
ojo.
Perspectiva a mano alzada. Boceto de Leonardo da Vinci.
Percibimos los objetos en un plano perpendicular a nuestra línea de visión. Al mirar
de frente, el plano será vertical, como si hubiera un cristal suspendido frente a
nosotros. Sin embargo, cuando dibujamos, el tablero puede estar inclinado, sobre
las rodillas o sobre un caballete, de manera que hemos de mirar hacia abajo y, no
obstante, tendemos a visualizar un plano vertical delante de nuestros ojos. Para
traducir esta imagen vertical a un tablero colocado en cierto ángulo, debemos
ajustar mentalmente las proporciones, cosa ésta que, sin duda, resulta compleja.
Corremos el riesgo de ajustar en exceso, haciendo demasiado grande la parte
inferior de lo que estamos dibujando. Probablemente para un principiante resulte
más sencillo utilizar el tablero vertical, mientras va adquiriendo más práctica y
experiencia.
Existe una excepción natural al uso del tablero vertical, que es cuando se dibuja un
tema horizontal (por ejemplo, una naturaleza muerta o un paisaje). En esos casos,
es mucho más fácil mirar por encima de la parte superior.
[editar]fvbhi
Perspectivas simplificadas
Otro sistema de representación gráfica es el de proyección paralela (similar a la proyección ortográfica). En este caso, las rectas proyectantes no convergen en un punto, sino que son paralelas, por lo que este sistema suele recibir también el nombre de proyección paralela. Este sistema no refleja fielmente la profundidad del espacio ni la distorsión de los ángulos, sin embargo, conociendo la escala de los ejes ortogonales, permite obtener la verdadera magnitud de los objetos dibujados.
[editar]Perspectiva axonométrica
Se pueden dibujar los ejes XYZ desde varias perspectivas, ya que produce un efecto
visual particular en cada caso:
1. Perspectiva isometrica: es una forma de proyección gráfica o, más específicamente, una axonométrica cilíndrica ortogonal. Constituye una representación de un objeto tridimensional en dos dimensiones, en la que los tres ejes de referencia tienen ángulos de 120º, y las dimensiones guardan la misma escala sobre cada uno de ellos. La isometría es una de las formas de proyección utilizadas en dibujo técnico que tiene la ventaja de permitir la representación a escala, y la desventaja de no reflejar la disminución aparente de tamaño -proporcional a la distancia- que percibe el ojo humano.
2. Perspectiva caballera : es un sistema de proyección paralela oblicua en el
que, por convenio, el plano proyectante es horizontal y las secciones
horizontales de los cuerpos representados se proyectan en verdadera
magnitud.
3. Perspectiva militar , es un caso particular de la perspectiva caballera.
4. DIN 5: La perspectiva DIN-5 se corresponde a la UNE 1-031-75 B.
La perspectiva DIN-5 es la norma que recomienda una perspectiva axonométrica
ortogonal dimétrica especifica, que se caracteriza por formar 131º 25' entre los ejes XY
y ZY, y 97º 10' entre XZ. Los coeficientes de reducción sobre los ejes X y Z son 2·(raíz
cuadrada de 2)/3 = 0'943, y en el eje Y es (raíz cuadrada de 2)/3 = 0'471, siendo la
relación entre ellos cx = cz = 2·cy; o bien, ux : uy : uz = 1 : 1/2 : 1.
Debido a que los ángulos son tan fáciles de medir con un transportador, se suelen
dibujar trazando primero el eje Z en vertical y, sobre él, una medida aleatoria (la
unidad), a partir de lo cual se traza un triángulo de lados la unidad y una vez y media la
unidad.
El lado del triángulo formado con la unidad es el eje Y, mientras que el eje X es
perpendicular al lado formado por una vez y media la unidad. A partir de su extremo.
Cómo dibujar los ejes XYZ para DIN 5, paso a paso
1. Medimos una distancia D sobre el eje Z, y denominamos a los extremos A y B.
2. Con un compás, trazamos un arco de radio D desde A.
3. Con un compás, trazamos un arco de radio D*1.5 desde B.
4. En la intersección de los dos arcos, marcamos el punto C.
5. El eje Y se obtiene de unir el punto A con el punto C.
6. Trazamos un arco de radio D desde C.
7. Trazamos un arco de radio D desde B.
8. Unimos la intersección de estos dos arcos con A y obtenemos el eje X.
Proyección isométrica
Una proyección isométrica es un método gráfico de representación,
más específicamente
una axonométrica1 cilíndrica2 ortogonal.3Constituye una
representación visual de un objeto tridimensional en dos dimensiones,
en la que los tres ejes ortogonales principales, al proyectarse,
forman ángulos de 120º, y las dimensiones paralelas a dichos ejes se
miden en una misma escala.
El término isométrico proviene del idioma griego: "igual medida", ya
que la escala de medición es la misma en los tres ejes principales (x,
y, z).
La isometría es una de las formas de proyección utilizadas en dibujo
técnico que tiene la ventaja de permitir la representación a escala, y la
desventaja de no reflejar la disminución aparente de tamaño -
proporcional a la distancia- que percibe el ojo humano.
Visualización
La isometría determina una dirección de visualización en la que la
proyección de los ejes coordenados x, y, z conforman el mismo
ángulo, es decir, 120º entre sí. Los objetos se muestran con una
rotación del punto de vista de 45º en las tres direcciones principales
(x, y, z).
Esta perspectiva puede visualizarse considerando el punto de vista
situado en el vértice superior de una habitación cúbica, mirando hacia
el vértice opuesto. los ejes x e y son las rectas de encuentro de las
paredes con el suelo, y el eje z, el vertical, el encuentro de las
paredes. En el dibujo, los ejes (y sus líneas paralelas), mantienen
120º entre ellos.
En perspectiva isométrica se suele utilizar un coeficiente de reducción
de las dimensiones equivalente a 0,83. El dibujo isométrico puede
realizarse sin reducción, a escala 1:1 o escala natural, y los
segmentos del dibujo paralelos a los ejes, se corresponderán con las
del objeto.
Dentro del conjunto de proyecciones axonométricas o cilíndricas,
existen otros tipos de perspectiva, que difieren por la posición de los
ejes principales, y el uso de diferentes coeficientes de reducción para
compensar las distorsiones visuales.
[editar]Aplicaciones
Las figuras de la izquierda son las vistas en sistema diédrico, mientras que a la derecha se
ve una proyección isométrica con una sección parcial.
[editar]En el diseño y el dibujo técnico
En diseño industrial se representa una pieza desde diferentes puntos
de vista, perpendicular a los ejes coordenados naturales. Una pieza
con movimiento mecánico presenta en general formas con ejes de
simetría o caras planas. Tales ejes, o las aristas de las caras,
permiten definir una proyección ortogonal.
Se puede fácilmente dibujar una perspectiva isométrica de la pieza a
partir de tales vistas, lo que permite mejorar la comprensión de la
forma del objeto.
[editar]En arquitectura
El castillo del Louvre, dibujo isométrico de Viollet-Le-Duc,(1814-1879).
Eugène Viollet-le-Duc utilizó este sistema en muchos dibujos de sus
edificios, evitando acentuar la importancia de unos volúmenes sobre
otros e independizándose del punto de vista del observador.
La perspectiva de este dibujo del castillo no es isométrica, si así lo
fuera, las torres del castillo estarían dibujadas con la misma altura y
diámetro, además las líneas de cumbreras de los tejados serían
paralelas entre si, formando un rombo o romboide dependiendo de la
planta del castillo.
Perspectiva di métricaLa perspectiva dímétrica es una herramienta del dibujo técnico, utilizada
para representar volúmenes, que forma parte a su vez de la Axonometría.
[editar]Ejes del dibujo y escalas
Los tres ejes principales (ortogonales) que se utilizan para el trazado del
dibujo poseen dos ángulos con la misma amplitud y el tercero de amplitud
diferente. Los ángulos más usuales para esta perspectiva son 105° y
150°.
La construcción de la escala gráfica es similar al de la proyección
isométrica, pero que hay que trazar las escalas de los coeficientes de
reducción de los dos ejes horizontales.
Esta perspectiva o proyección es usual para representar piezas más
largas que anchas y altas.
Perspectiva caballeraLa perspectiva caballera es un sistema de representación que utiliza
la proyección paralela oblicua, en el que las dimensiones del plano
proyectante frontal, como las de los elementos paralelos a él, están
en verdadera magnitud.
Perspectiva caballera. La semicircunferencia paralela al plano frontal está en
verdadera magnitud (sin sufrir deformaciones).
En perspectiva caballera, dos dimensiones del volumen a representar
se proyectan en verdadera magnitud (el alto y el ancho) y la tercera
(la profundidad) con un coeficiente de reducción. Las dos
dimensiones sin distorsión angular con sus longitudes a escala son la
anchura y altura (x, z) mientras que la dimensión que refleja la
profundidad (y) se reduce en una proporción determinada. 1:2, 2:3 o
3:4 suelen ser los coeficientes de reducción más habituales.
Los ejes X e Z forman un ángulo de 90º, y el eje Y suele tener 45º (o
135º) respecto ambos.Se adoptan, por convención, ángulos iguales o
múltiplos de 30º y 45º, dejando de lado 90º, 180º, 270º y 360º por
razones obvias.
Se puede dibujar fácilmente un volumen a partir de una vista lateral
o alzado, trazando a partir de cada vértice líneas paralelas a Y, para
reflejar la profundidad del volumen.
Este tipo de proyección es frecuentemente utilizada por su facilidad
de ejecución, aunque el resultado final no da una imagen tan real
como la que se obtendría con una proyección cónica.
En Latinoamérica se llama perspectiva caballera a la que utiliza un
ángulo de 45º del eje Y respecto del eje X y ninguna reducción.
Trazado de la perspectiva caballeraPara el trazado de la perspectiva caballera, empleando una escuadra,
se coloca una regla inclinada a 45º que sirve de referencia para
apoyar la escuadra sobre el lado adecuado según la inclinación de la
recta a trazar. Las líneas de fuga de la perspectiva caballera, se
trazan perpendiculares a la regla.
Si sobre los ejes ponemos las coordenadas de un punto, haciendo las paralelas correspondientes a los ejes, situamos en punto en el espacio, según la perspectiva caballera.
Perspectiva militarLa perspectiva militar o cabinet es una proyección paralela oblicua, un
sistema de representación por medio de tres ejes cartesianos (X, Y, Z).
En el dibujo, el eje Z es el vertical, mientras que los otros dos (X, Y)
forman 90° entre sí, determinando el plano horizontal (suelo).
Normalmente, el eje X se encuentra a 120° del eje Z, mientras que eje Y
se encuentra a 150° de dicho eje.
La principal ventaja radica en que las distancias en el plano horizontal
conservan sus dimensiones y proporciones. Las circunferencias en el
plano horizontal se puede trazar con compás, pues no presentan
deformación. Las circunferencias en los planos verticales se representan
como elipses.
Para la realización del dibujo, se aplica un coeficiente de reducción en los
ejes cartesianos. En la perspectiva militar el eje afectado es el eje Z,
presentando una reducción de 2/3. Los otros dos ejes (X, Y) no tienen
reducción.
La perspectiva militar es un sistema de representación hipotético, debido
a que la única forma de que presenten 90° los ejes X e Y, sólo sería
mirando el cuerpo desde arriba.
Trazado de la perspectiva militar
El uso del cartabón el eje z es vertical, el eje x forma un ángulo de
30º con la horizontal, y el eje y es perpendicular al eje x, esto es
forma un ángulo de 60º con la horizontal, por tanto coinciden con las
características del cartabón, como podemos ver.
Poniendo una regla horizontal podemos trazar el eje vertical
empleando el ángulo recto del cartabón, con el vértice de 30º
trazamos el eje x, y perpendicular a el con el vértice de 60º el eje y.
Situando las coordenadas de un punto sobre los ejes, y trazando las
rectas paralelas oportunas podemos ver la perspectiva del punto
según el sistema militar.
Perspectiva trimétrica
La perspectiva trimétrica es una proyeccion axonométrica, para representar volúmenes, en la cual el objeto tridimensional se encuentra inclinado con respecto al «plano del cuadro» de forma que sus tres ejes principales experimentan reducciones diferentes.
Proyección cartográficaLa proyección cartográfica o proyección geográfica es un sistema
de representación gráfico que establece una relación ordenada entre
los puntos de la superficie curva de la Tierra y los de una superficie
plana (mapa). Estos puntos se localizan auxiliándose en una red
de meridianos y paralelos, en forma de malla. La única forma de evitar
las distorsiones de esta proyección sería usando un
mapa esférico pero, en la mayoría de los casos, sería demasiado
grande para que resultase útil.
En un sistema de coordenadas proyectadas, los puntos se identifican
por las coordenadas x,y en una malla cuyo origen depende de los
casos. Este tipo de coordenadas se obtienen matemáticamente a
partir de las coordenadas geográficas (longitud y latitud), que son no
proyectadas.
Las representaciones planas de la esfera terrestre se llaman mapas, y
los encargados de elaborarlos o especialistas en cartografía se
denominan cartógrafos.
Propiedades de la proyección cartográfica
Se suelen establecer clasificaciones en función de su principal propiedad; el
tipo de superficie sobre la que se realiza la proyección: cenital (un plano),
cilíndrica (un cilindro) o cónica (un cono); así como la disposición relativa
entre la superficie terrestre y la superficie de proyección (plano, cilindro o
cono) pudiendo ser tangente, secante u oblicua. Según la propiedad que posea
una proyección puede distinguirse entre:
proyecciones equidistantes, si conserva las distancias.
proyecciones equivalentes, si conservan las superficies.
proyecciones conformes, si conservan las formas (o, lo que es lo mismo,
los ángulos).
No es posible tener las tres propiedades anteriores a la vez, por lo que es
necesario optar por soluciones de compromiso que dependerán de la utilidad
a la que sea destinado el mapa.
Tipos de proyecciones cartográficas
Dependiendo de cuál sea el punto que se considere como centro del mapa, se
distingue entre proyecciones polares, cuyo centro es uno de los polos;
ecuatoriales, cuyo centro es la intersección entre la línea del Ecuador y un
meridiano; y oblicuas o inclinadas, cuyo centro es cualquier otro punto.
Se distinguen tres tipos de proyecciones básicas: cilíndricas, cónicas y
azimutales.
[editar]Proyección cilíndrica
Esquema de una proyección cilíndrica.
La proyección de Mercator, que revolucionó la cartografía, es cilíndrica y conforme. En ella, se proyecta el globo terrestre sobre una superficie cilíndrica. Es una de las más utilizadas, aunque por lo general en forma modificada, debido a las grandes distorsiones que ofrece en las zonas de latitud elevada, lo que impide apreciar a las regiones polares en su verdadera proporción. Es utilizada en la creación de algunos mapamundi. Para corregir las deformaciones en latitudes altas se usan proyecciones pseudocilíndricas, como la de Van der Grinten, que es policónica, con paralelos y meridianos circulares. Es esencialmente útil para ver la superficie de la Tierra completa.
Proyección de Mercator La proyección de Mercator es un tipo de proyección cartográfica
cilíndrica, ideada por Gerardus Mercator en 1569, para
elaborar planos terrestres. Es muy utilizada en planos
de navegación por la facilidad de trazar rutas de rumbo constante
o loxodrómicas.
Mercator, mediante proyección, pretende representar la superficie
esférica terrestre sobre una superficie cilíndrica, tangente al ecuador,
que al desplegarse genera un mapa terrestre plano.
Es un modelo idealizado que trata a la tierra como un globo
hinchable que se introduce en un cilindro y que empieza a «inflarse»
ocupando el volumen del cilindro, imprimiendo el mapa en su cara
exterior. Este cilindro cortado longitudinalmente y desplegado sería
parecido al mapa con la proyección de Mercator.
Esta proyección presenta una buena aproximación en su zona central,
pero las zonas superior e inferior correspondientes
a norte y sur presentan grandes deformaciones. Los mapas con esta
proyección se utilizaron en la época colonial con gran
éxito. Europa era la potencia dominante de la época, y para los que
viajaban hacia el nuevo mundo por las zonas ecuatoriales, no tenía
gran importancia la deformación que poseían
Proyección de Peters
Proyección de Peters.
La Proyección de Peters (llamada así por Arno Peters), aunque más
correctamente Proyección de Gall-Peters, es una proyección
cartográfica que apareció por primera vez en 1856, publicada en
el Polish Geographical Magazine por [James Gall].
Esta proyección la popularizó Arno Peters, que era cartógrafo, en una
rueda de prensa que dio en 1976, tratando de denunciar las
implicaciones políticas de la proyección de Mercator. Sin embargo, se
trataba de una proyección casi idéntica a la elaborada en 1856 por
James Gall, un religioso escocés. La Unesco y muchas ONG la
adoptaron y popularizaron desde entonces, convirtiéndose en la
visión políticamente correcta del mapamundi, aunque es muy
controvertida pues los cartógrafos por lo general no la han tomado en
consideración (Peters no era cartógrafo).
En ella los paralelos y los meridianos son sustituidos por una
cuadrícula de 10 grados decimales. La proyección refleja
correctamente las áreas de los países (es «equiareal»), pero no sus
siluetas, la mayoría de las cuales aparecían demasiado estiradas. Los
meridianos aparecen como líneas verticales paralelas y los paralelos
como líneas horizontales paralelas que van acortando la distancia
entre ellas hacia los polos. Las formas de las áreas tropicales y
subtropicales aparecen más estrechas y alargadas y las áreas de
altas latitudes aparecen más ensanchadas y más achatadas que en
otras proyecciones más habituales
[editar]Proyección cónica
Esquema de una proyección cónica.
La proyección cónica se obtiene proyectando los elementos de la superficie
esférica terrestre sobre una superficie cónica tangente, situando el vértice en
el eje que une los dos polos. Aunque las formas presentadas son de los polos,
los cartógrafos utilizan este tipo de proyeccion para ver los países y
continentes.
Proyección cónica simpleLa proyección cónica simple se obtiene proyectando los elementos
de la superficie esférica terrestre sobre una superficie cónica secante,
tomando el vértice en el eje que une los dos polos.
La proyección cónica simple puede tener uno o dos paralelos de
referencia.
Proyección conforme de Lambert
La proyección conforme cónica de Lambert es una proyección cartográfica cónica que es frecuentemente usada en navegación aérea.No debe ser confundida con la proyección azimutal de Lambert.
En esencia, la proyección superpone un cono sobre la esfera de la
Tierra, con dos paralelos de referencia secantes al globo e
intersecándolo. Esto minimiza la distorsión proveniente proyectar una
superficie tridimensional a una bidimensional. La distorsión es mínima
a lo largo de los paralelos de referencia, y se incrementa fuera de los
paralelos elegidos. Como el nombre lo indica, esta proyección es
conforme.
Los pilotos utilizan estas cartas debido a que una línea recta dibujada
sobre una carta cuya proyección es conforme cónica de Lambert
muestra la distancia verdadera entre puntos. Sin embargo, los
aviones deben volar rutas que son arcos de círculos máximos para
recorrer la distancia más corta entre dos puntos de la superficie, que
en una carta de Lambert aparecerá como una línea curva que debe
ser calculada en forma separada para asegurar de identificar los
puntos intermedios correctos en la navegación.
Sobre la base de la proyección Proyección cónica simple con
dos meridianos de referencia Lambert ajustó matemáticamente la
distancia ente paralelos para crear un mapa conforme. Como los
meridianos son líneas rectas y los paralelos arcos de círculo
concéntricos las diferentes hojas encajan perfectamente
Proyección cónica múltiple
Esta proyección consiste en utilizar no un cono, sino varios
superpuestos. El resultado es un mapa dividido en franjas. El
único meridiano que tendrá la mismaescala es el central, que aparece
como una línea recta. Los demás meridianos son curvas, y la escala
aumenta con la distancia. También el ecuador es una línea recta,
perpendicular al meridiano central. Los demás paralelos son arcos
concéntricos.
Esta proyección ni es conforme ni conserva las áreas, pero en la zona
central las variaciones de escala son mínimas
[editar]Proyección azimutal, cenital o polar
Esquema de una proyección azimutal gnomónica.
En este caso se proyecta una porción de la Tierra sobre un plano tangente al
globo en un punto seleccionado, obteniéndose una imagen similar a la visión
de la Tierra desde un punto interior o exterior. Si la proyección es del primer
tipo se llama proyección gnomónica; si es del segundo, ortográfica. Estas
proyecciones ofrecen una mayor distorsión cuanto mayor sea la distancia al
punto tangencial de la esfera y el plano. Este tipo de proyección se relaciona
principalmente con los polos y hemisferios.
Proyección ortográfica
Esquema ilustrativo de una proyección azimutal ortográfica.
La proyección ortográfica es un sistema de representación gráfica,
consistente en. representar elementos geométricos o volúmenes en un
plano, medianteproyección ortogonal; se obtiene de modo similar a la
"sombra" generada por un "foco de luz" procedente de una fuente muy
lejana. Su aspecto es el de una fotografía de la Tierra.
La proyección polar se caracteriza porque todos los meridianos son
líneas rectas y la distancia entre paralelos disminuye según nos alejamos
del centro. La distancia entre paralelos o meridianos depende de
la escala así que cuando disminuye la distancia disminuye la escala y
cuando aumenta la distancia aumenta la escala.
La proyección ecuatorial se caracteriza porque los paralelos son líneas
rectas. También es una línea recta el meridiano central. A medida que
nos alejamos del centro la escala disminuye. Los meridianos tienen forma
de arco.
La proyección oblicua también se caracteriza por que los paralelos y los
meridianos se acercan a medida que se alejan del centro.
Proyección estereográfica
Esquema ilustrativo de una proyección azimutal estereográfica.
La proyección estereográfica es un sistema de representación gráfico
en el cual se proyecta la superficie de una esfera sobre un plano
mediante haces de rectas que pasan por un punto, o foco. El plano de
proyección es tangente a la esfera, o paralelo a éste, y el foco es el punto
de la esfera diametralmente opuesto al punto de tangencia del plano con
la esfera.
La superficie que puede representar es mayor que un hemisferio. El
rasgo más característico es que la escala aumenta a medida que nos
alejamos del centro.
En su proyección polar los meridianos son líneas rectas, y los paralelos
son círculos concéntricos. En la proyección ecuatorial sólo son líneas
rectas el ecuadory el meridiano central.
Existe otro tipo de proyección estereográfica que es útil para representar
la esfera celeste. En este caso, como los puntos a proyectar están fuera
de la esfera, el primer paso es proyectarlos a la esfera uniéndolos con su
centro. Una vez los puntos externos están proyectados en la superficie de
la esfera, el procedimiento es análogo al explicado anteriormente.
Usualmente, el plano es uno horizontal que contiene al centro de la
esfera, y el foco de la proyección es el nadir.
Lo característico de esta proyección es que es más subjetiva, porque
propone la posición del observador P en el centro y representa
directamente mediante coordenadas locales el acimut y altura del punto A
en la esfera celeste. Se utiliza en arquitectura e ingeniería para
representar la posición del Sol a lo largo del año, y calcular
asoleamientos y sombras que produce.
Proyección gnomónica
Los círculos mayores se proyectan comolíneas rectas en la proyección
gnomónica,
Esquema ilustrativo de una proyección azimutal gnomónica.
La proyección gnomónica (denominada también como proyección central1 ) es
unaproyección geográfica caracterizada por tener simetría radial alrededor del punto central
(perspectiva centrográfica). Es decir, mediante esta proyección, cualquier punto de
una esfera es conectada desde su centro por por una línea hasta que interseca en un plano
tangente a la esfera (denominado plano de proyección).
Concepto
Se puede imaginar como la proyección de un foco de luz sobre un plano
tangencial a la Tierra, en el que el foco de luz se sitúa en el centro de la
Tierra. La escala aumentará rápidamente del centro al exterior. Con este
concepto los círculos máximos se proyectan como líneas rectas en el plano de
proyección. El círculo máximo y el punto central forman un plano que
interseca en una línea recta en el plano de proyección. Los círculos
menores forman secciones cónicas en el plano de proyección. Esto es debido
a que los círculos menores forman con el centro de la esfera uncono mediante
las generatrices, la intersección del cono forma las cónicas correspondientes.
[editar]Usos
La proyección gnomónica posee varias utilidades en el terreno de la
cartografía (mediante el trazado de las cartas gnomónicas) y en gnomónica
en el trazado y diseño de algunos relojes solares.
[editar]Cartografía
Véase también: Cartografía
En las cartas gnomónicas elaboradas mediante esta proyección toda línea
recta es un círculo máximo terrestre y el camino más corto entre dos puntos
de la Tierra. Es decir forma un meridiano o los paralelos. Se usa en la
navegación aeronáutica para trazar los rumbos verdaderos. Con este sistema
no se puede representar un hemisferio completo.
En la proyección polar todos los meridianos son líneas rectas y se disponen
radialmente, en la proyección ecuatorial son líneas rectas elecuador y los
meridianos, que se disponen verticalmente, en la proyección oblicua son
líneas rectas el ecuador y los meridianos.