PRÉSTAMOS
Carmen Badía, Hortènsia Fontanals, Merche Galisteo, José Mª Lecina,
Mª Angels Pons, Teresa Preixens, Dídac Ramírez, F. Javier Sarrasí y
Anna Mª Sucarrats
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ECONÓMICA, FINANCIERA Y
ACTUARIAL
División de Ciencias Jurídicas, Económicas y Sociales
Universidad de Barcelona
Préstamos 1
4. PRÉSTAMOS
4.1. INTRODUCCIÓN
4.1.1. Definición
Un préstamo es una operación financiera en la que el sujeto activo, o prestamista, entrega al
sujeto pasivo, o prestatario, un capital o un conjunto de capitales financieros, y a cambio el
prestatario se compromete a reembolsar en un plazo concreto, ya sea mediante un único pago
o mediante desembolsos sucesivos la cuantía prestada y el pago del precio o interés.
Se denomina prestación al capital financiero o conjunto de capitales financieros que el
prestamista entrega al prestatario. Normalmente la prestación es de un solo capital ( )0,C ,
siendo C el principal o nominal del préstamo. Se denomina contraprestación, al capital
financiero o conjunto de capitales financieros que se compromete a pagar el prestatario al
prestamista, pudiendo tratarse de:
• Un conjunto unitario, ( ){ }'T,'C , cuando la contraprestación es un único capital financiero.
• Un conjunto de n capitales financieros: ( ){ } n,...,2,1rrr T,C = donde rC es la cuantía que debe
pagar el prestatario en el diferimento rT .
El esquema habitual de una operación de préstamo es:
( ){ } ←
→
= n,...,2,1rrr T,Ctacióncontrapres
)0,C(prestación
estatarioPrestamistaPr
tratándose de una operación parcialmente compleja. Los capitales financieros que se
intercambian entre los sujetos de la operación deben ser equivalentes entre sí. Dicha
2 Introducción a la Matemática Financiera
equivalencia se establece mediante el precio pactado en la operación y suele venir
determinada en régimen financiero de interés compuesto vencido:
( ){ } ( ){ } n,...,2,1rrrIT,C~0,C
m=
4.1.2. Clasificación
La operaciones de préstamo admiten distintos tipos de sistematizaciones. Si se clasifican de
acuerdo con su estructura amortizativa los préstamos pueden ser:
a. Préstamos con devolución única del capital prestado al final de la operación. Dentro de este grupo se distinguen dos modalidades de préstamos:
a.1. Préstamos amortizables mediante pago único de capital e intereses al final de la
operación.
a.2. Préstamos con pago periódico de intereses y devolución única de capital al final de la
operación.
b. Préstamos con amortización periódica de capital. Esta modalidad de préstamo se caracteriza porque la cuantía que paga el prestatario en cada
periodo se destina a cubrir los intereses devengados en el periodo y además a devolver una
parte del capital prestado.
Dentro de este grupo cabe diferenciar:
b.1. Préstamos amortizables mediante términos amortizativos constantes. (Préstamo
amortizable por el sistema francés).
b.2. Préstamos amortizables mediante términos amortizativos variables en progresión
geométrica.
b.3. Préstamos amortizables mediante términos amortizativos de variación lineal.
b.4. Préstamos con cuota de capital constante.
Préstamos 3
4.2. PRÉSTAMO AMORTIZABLE MEDIANTE UN SOLO PAGO
En esta modalidad de préstamo, el prestamista entrega al prestatario C unidades monetarias
(u.m.) en el origen de la operación, y a cambio, el prestatario se compromete a efectuar un
único pago al final de la misma que incluye el nominal prestado, C, y los intereses generados
durante todo el plazo.
Generalmente este préstamo se pacta en régimen financiero de interés compuesto a tanto
constante.
4.2.1. Ecuación de equilibrio inicial
Partiendo de la equivalencia financiera entre prestación y contraprestación:
( ){ } ( ){ }'T,'C~0,CmI
y valorando ambos conjuntos al final del plazo al tanto de interés Im que rige la operación, se
obtiene:
( ) p'T
mI1C'C +⋅=
donde:
• Y = C’ - C, son los intereses acumulados durante todo el plazo.
• T’/p = T’ · m = número de periodos en T’ años.
4.2.2. Reserva matemática y deuda pendiente
4.2.2.1. Reserva matemática
La reserva matemática nos indica el desequilibrio interno de la operación en un instante
cualquiera τ del plazo de la operación, 'T0 ≤τ≤ , y permite calcular el importe que cancela el
préstamo en dicho instante τ , es decir, la cuantía que el prestatario debe entregar al
prestamista para cancelar la operación de forma anticipada en τ .
La reserva matemática en τ se calcula valorando en ese instante de tiempo, al tanto del
4 Introducción a la Matemática Financiera
préstamo, las prestaciones y las contraprestaciones ya realizadas desde el inicio de la
operación hasta el instante τ considerado, obteniendo la denominada reserva retrospectiva, o
bien valorando las prestaciones y las contraprestaciones pendientes de realización desde el
instante τ hasta el final de la operación, obteniendo la denominada reserva prospectiva.
Ambas reservas coinciden.
En esta modalidad de préstamo la reserva matemática retrospectiva y prospectiva, se obtienen
del siguiente modo:
C C’
0 τ T’ años retroRτ prosR τ
Reserva matemática retrospectiva. Se obtiene valorando en el instante τ la única prestación
recibida por el prestatario, ya que no se ha efectuado ninguna contraprestación:
( )pmretro I1CR
τ
τ +⋅=
Reserva matemática prospectiva. Resulta de valorar en τ la única contraprestación
pendiente, ya que no hay ninguna prestación pendiente de recibir a partir de τ :
( ) p'T
mpros I1'CR
−τ
τ +⋅=
Como puede observarse, τR se obtiene capitalizando las C u.m. desde el inicio de la operación
hasta τ o bien actualizando las C’ u.m. desde T’ hasta τ :
( ) ( ) ( ) ( ) retropmp
'T
mp'T
mp'T
mpros RI1CI1I1CI1'CR τ
τ−τ−τ
τ =+⋅=+⋅+⋅=+⋅=
Préstamos 5
En definitiva, se cumple que retropros RR ττ =
Gráficamente, la evolución de la reserva matemática es:
τR 'C
Y
C
τR C
0 τ 'T años 4.2.2.2. Deuda pendiente
La deuda pendiente es la parte del nominal del préstamo pendiente de devolución en un
instante cualquiera de la operación. En esta modalidad de préstamo:
0Dy'TparaCD 'T=≠τ=τ
4.2.2.3. Relación entre reserva matemática y deuda pendiente
• En el inicio de la operación deuda pendiente y reserva matemática coinciden con el nominal
del préstamo:
CRD 00 ==
• En τ, con 'T0 ⟨τ⟨ , la deuda coincide con el nominal del préstamo y la reserva va
aumentando debido a los intereses generados sobre las C u.m. durante los τ años
transcurridos desde el inicio de la operación:
6 Introducción a la Matemática Financiera
( )pmI1CRCDτ
ττ +⋅=≠=
• En T’, se devuelve el nominal prestado junto con los intereses, por lo que la deuda
pendiente y la reserva vuelven a coincidir, siendo ambas nulas:
0RD 'T'T ==
4.2.3. Total amortizado
El total amortizado es la parte del nominal del préstamo que ya ha sido devuelto por el
prestatario. Es la diferencia entre el nominal del préstamo y la deuda pendiente:
ττ −= DCM
En este modalidad de préstamo, en cualquier instante de la operación y puesto que el
prestatario no efectúa ningún pago hasta el final de la misma, el total amortizado es nulo, hasta
el momento de efectuar el pago de las C’ u.m., en que el total amortizado coincide con el
nominal.
CMy'Tpara0M 'T=≠τ=τ
4.2.4. Tanto efectivo prestatario. Tasa anual equivalente: TAE.
Toda operación de préstamo lleva asociados gastos a cargo del prestatario. Esto implica que si
bien el tanto de interés pactado entre los dos sujetos en el momento de concertar el préstamo
permite obtener las magnitudes del mismo, no es representativo del tanto al que le resulta la
operación.
4.2.4.1. Tanto efectivo prestatario
El tanto efectivo prestatario, 'mI , es el tanto efectivo de interés que hace equivalentes los
siguientes conjuntos de capitales:
• El conjunto de capitales financieros recibido por el prestatario, siendo lo habitual que esté
Préstamos 7
formado por un único capital, cuya cuantía es el nominal del préstamo.
• El conjunto de capitales pagado por el prestatario, que incluye, además de las
contraprestaciones, los gastos a su cargo. Algunos de estos gastos repercuten directamente en
el prestamista mientras que otros son gastos necesarios para la obtención del préstamo pero
que no repercuten en la entidad prestamista, como sería el caso de los gastos notariales. Lo
habitual es que todos estos gastos se hagan efectivos en el momento de la contratación del
préstamo.
Sean,
• G0 los gastos que el prestatario debe pagar en el inicio de la operación.
• G0,1 los gastos iniciales a cargo del prestatario que repercuten en el prestamista.
• G0,2 a los gastos iniciales a cargo del prestatario que no repercuten en el prestamista.
G0 = G0,1 + G0,2
El tanto efectivo prestatario, 'mI , en el préstamo amortizable mediante un único pago, es el que
hace equivalentes los siguientes conjuntos de capitales financieros:
( ){ } ( ) ( ){ }'T,'C;0,G~0,C 0I'm
La valoración se puede efectuar en cualquier instante de tiempo, aunque generalmente se
valora en el origen de la operación, siendo en este caso, la ecuación que permite obtener el
tanto efectivo prestatario:
p'T
'm0 )I1('CGC
−+⋅+=
de donde,
1C
GCI 'Tp
'0'
m −
−=
−
4.2.4.2. Tasa anual equivalente: TAE El cálculo de la tasa anual equivalente, TAE, está regulado por el Banco de España en la
circular nº 8/1990 que establece:
8 Introducción a la Matemática Financiera
...“En el cálculo del coste efectivo se incluirán las comisiones y demás gastos que el cliente esté obligado a pagar a la entidad como contraprestación por el crédito recibido o los servicios inherentes al mismo. No se consideran a estos efectos las comisiones o gastos que se indican a continuación, aún cuando debe quedar expresa y claramente indicado que la tasa anual equivalente no los incluye: • Los gastos que el cliente pueda evitar en uso de las facultades que le concede el contrato, en particular, y, en su
caso, los gastos por transferencia de los fondos debidos por el cliente. • Los gastos a abonar a terceros, en particular los corretajes, gastos notariales e impuestos. • Los gastos por seguros o garantías. No obstante, se incluirán las primas de los seguros que tengan por objeto
garantizar a la entidad el reembolso del crédito en caso de fallecimiento, invalidez, o desempleo de la persona física que haya recibido el crédito, siempre que la entidad imponga dicho seguro como condición para conceder el crédito.”…
De modo que la TAE, ∗1I , es el tanto efectivo anual que hace equivalentes los siguientes
conjuntos de capitales financieros:
• El conjunto unitario formado por el nominal del préstamo que el prestamista entrega al
prestatario al inicio de la operación.
• El conjunto formado por las contraprestaciones y por todos los gastos pagados por el
prestatario y que repercuten en el prestamista.
Si G0,1 son los gastos iniciales a cargo del prestatario que repercuten en el prestamista, la TAE, ∗1I , en el préstamo amortizable mediante un único pago se obtiene de la siguiente equivalencia:
( ){ } ( ) ( ){ }'T,'C;0,G~0,C 1,0I1∗
Valorando en el origen de la operación resulta, 'T
11,0 )I1('CGC −∗+⋅+=
1CGC
I'T
1
'1,0
1 −
−=
−∗
Ejemplo Una persona solicita un préstamo de 40.000 € a una entidad financiera, amortizable mediante
un único pago, que comprende capital e intereses, a los 7 meses de su concesión. El tanto de
interés del préstamo es del 5% anual en régimen financiero de interés compuesto. Existen unos
gastos iniciales, a cargo del prestatario del 3% sobre el nominal, de los cuales 400 € los paga
al prestamista.
Los datos del ejemplo son:
Préstamos 9
• C = 40.000 €
• I1= 0,05
• T' = 7/12 años
• 0G 0,03 40.000 1.200 €= ⋅ =
• G0,1= 400 €
Calcular:
a. Cuantía a devolver al final de la operación
El esquema temporal de la operación es:
40.000 C’=C+Y
0 7/12 años
( )7 /12C' 40.000 1 0,05 41.154,79 €= ⋅ + =
donde,
• C = 40.000 € es la devolución del nominal prestado.
• Y = 1.154,79 € corresponde al pago de los intereses.
b. Reserva matemática y deuda pendiente a los 4 meses de la concesión del préstamo
• Reserva matemática:
( )4 /12retro4 /12R 40.000 1 0,05 40.655,85 €= ⋅ + =
( ) 3 /12pros4 /12R 41.154,79 1 0,05 40.655,85 €−= ⋅ + =
• Deuda pendiente:
4 /12D 40.000 €=
10 Introducción a la Matemática Financiera
c. Tanto efectivo prestatario y TAE
• Tanto efectivo prestatario: '1I
Para hallar el tanto efectivo prestatario, '1I , hay que plantear la siguiente equivalencia
financiera:
( ){ } ( ) ( ){ }12/7,79,154.41;0,200.1~0,000.40'1I
y valorando al inicio de la operación, se obtiene:
( ) ⇒+⋅+=− 127'
1I179,154.41200.1000.40 10628,0179,154.41
800.38I712
'1 =−
=−
• TAE de la operación: ∗1I
La equivalencia financiera a plantear para obtener la TAE, ∗1I , de la operación es la siguiente:
( ){ } ( ) ( ){ }12/7,79,154.41;0,400~0,000.401I∗
y valorando al inicio de la operación, se obtiene:
( ) 127
1I179,154.41400000.40−∗+⋅+= 06825,01
79,154.41600.39I
712''1 =−
=⇒−
4.3. PRÉSTAMO AMORTIZABLE MEDIANTE UN SOLO PAGO Y ABONO PERIÓDICO DE INTERESES
En esta modalidad de préstamo, el prestamista entrega al prestatario un único capital al inicio
de la operación. A cambio el prestatario se compromete a pagar al prestamista al final de cada
periodo los intereses devengados en el mismo, y a restituir el nominal del préstamo al final de
la operación.
Este tipo de préstamo se suele pactar en régimen financiero de interés compuesto vencido.
Préstamos 11
4.3.1. Ecuación de equilibrio inicial
La equivalencia entre prestaciones y contraprestaciones viene dada por:
( ){ } ( ) ( ){ }np,C;rp,IC~0,C n,...,2,1rmIm=⋅
siendo:
• C el nominal del préstamo
• Im el tanto efectivo de interés al que se ha concertado la operación de préstamo, y cuya
frecuencia coincide con la del abono de intereses
• C · Im la cuota de interés del periodo
• n el número de periodos de p años cada uno
• n·p la duración total de la operación, expresada en años
Gráficamente:
0 1 2 3 . . . . . . . . . . . . . (n-1) n periodos
C CIm CIm CIm . . . . . . . . . . . . . CIm CIm+C
4.3.2. Reserva matemática y deuda pendiente
4.3.2.1. Reserva matemática
La reserva matemática muestra la evolución de la operación a lo largo del plazo, y permite
obtener la cuantía que debe pagar el prestatario en caso de cancelar anticipadamente el
préstamo.
• Al final de cada uno de los n-1 primeros periodos, tras efectuar el correspondiente pago de
intereses, la reserva matemática coincide con el nominal del préstamo.
1n...,,2,1rconCRr −==
12 Introducción a la Matemática Financiera
Este valor se puede obtener a partir de la reserva retrospectiva o prospectiva:
Reserva matemática retrospectiva. El importe que cancela el préstamo transcurridos r
periodos se obtiene por diferencia entre lo que el prestamista entrega al prestatario, valorado
en r, y lo que el prestatario ya ha devuelto al prestamista, valorado también en r:
( ) CsICI1CRmIrm
rm
retror =⋅⋅−+⋅=
Reserva matemática prospectiva. A partir del final del periodo r-ésimo quedan pendientes el
pago de las n-r últimas cuotas de interés y la devolución de las C u.m. prestadas que,
valorados al final del periodo r-ésimo, permiten obtener la cuantía que el prestatario debe pagar
al prestamista para cancelar el préstamo de forma anticipada:
( ) CI1CICR )rn(mIrnm
prosr m
=+⋅+⋅⋅= −−−
a
• En el instante τ, siendo 1rr +⟨τ⟨ , la cuantía que cancela anticipadamente el préstamo se
puede obtener capitalizando la reserva al final del periodo r-ésimo, la fracción de periodo
transcurrida:
( ) ( ) rm
rmr I1CI1RR −τ−τ
τ +⋅=+⋅=
• Al final de la operación, un instante después de efectuado el pago de la cuota de interés
correspondiente y de devolver el nominal del préstamo la reserva es nula: 0Rn =
4.3.2.2. Deuda pendiente
La deuda pendiente en τ es la parte del nominal del préstamo pendiente de amortizar en dicho
instante. Teniendo en cuenta que desde que el prestamista entrega la cuantía C al inicio de la
operación, el prestatario no devuelve nada, la deuda pendiente es siempre C u.m., excepto al
final de la operación ya que después de amortizar el préstamo, la deuda pendiente es nula.
0DynparaCD n =≠τ=τ
Préstamos 13
4.3.2.3. Relación entre reserva matemática y deuda pendiente
• Al inicio de la operación, la deuda pendiente y la reserva matemática coinciden con el
nominal del préstamo.
CRD 00 ==
• Al final de cada periodo, una vez pagada la cuota de interés, la deuda pendiente y la reserva
matemática coinciden, también, con el nominal prestado.
1n...,,2,1rconCRD rr −===
• En 1rr +⟨τ⟨ la deuda pendiente sigue siendo el nominal del préstamo, mientras que la
reserva ha aumentado debido a los intereses generados durante la fracción de periodo que ha
transcurrido desde r hasta τ.
ττ ≠= RCD
• Al final de la operación, tanto la deuda pendiente como la reserva son nulas.
0RD nn ==
La representación gráfica de la reserva matemática es la siguiente:
Rτ
C⋅(1+Im) _ C⋅Im C -
Dr = Rr Rτ ≠Dτ = Dr C
0 1 2 . . . . . r τ (r+1) . . . . . . . . . .(n-1) n periodos
14 Introducción a la Matemática Financiera
4.3.3. Total amortizado
El total amortizado en τ, τM , es la parte del nominal del préstamo amortizada por el prestatario
hasta este momento.
Puesto que el prestatario no amortiza nada del capital prestado hasta el final de la operación,
resulta:
CMyncon0M n =≠τ=τ
4.3.4. Tanto efectivo prestatario. Tasa anual equivalente: TAE
4.3.4.1. Tanto efectivo prestatario
En esta modalidad de préstamo, el tanto efectivo prestatario, 'mI , cuya frecuencia de
capitalización coincide con la de las cuotas de interés, es el que resulta de la siguiente
equivalencia:
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }np,C;rp,IC;0,G~0,C n,...,2,1rm0I'm
=⋅
Si se valora en el origen de la operación, la ecuación que permite obtener el tanto efectivo 'mI ,
que indica el coste al que resulta el préstamo al prestatario es,
( ) n'mInm0 I1CICGC '
m
−+⋅+⋅⋅+= a
4.3.4.2. Tasa anual equivalente: TAE
Para encontrar la TAE, la equivalencia financiera a plantear es la siguiente:
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }pn,C;rp,IC;0,G~0,C n,...,2,1rm1,0Im
=⋅∗
Préstamos 15
Valorando al inicio de la operación se obtiene la ecuación que permite hallar el tanto ∗mI
( ) nmInm1,0 I1CICGC
m
−∗+⋅⋅+= ⋅+∗a
siendo la TAE el tanto efectivo anual equivalente al anterior:
( ) 1I1ITAEm
m1 −+== ∗∗
Ejemplo Una persona solicita un préstamo de 20.000 € a amortizar mediante un solo pago dentro de 2
años, y con pago trimestral de intereses. El tanto de interés concertado con la entidad
financiera es del 6% anual capitalizable trimestralmente, y los gastos a cargo del prestatario
ascienden a 1.000 € de los que 400 € repercuten en el prestamista.
Los datos del ejemplo son:
• C = 20.000 €
• p= 1/4 años
• T'-T = n·p = 2
• n= 8 trimestres
• i4 = 0,06 ; I4 = 0,06/14 = 0,015
• G0= 1.000 €
• G0,1= 400 €
Calcular:
a. Cuota de interés trimestral
4C I 20.000 0,015 300 €⋅ = ⋅ =
b. Reserva matemática y deuda pendiente a los 9 y 11 meses de concertado el préstamo
• A los 9 meses de concertado el préstamo, una vez efectuado el pago de la cuota de interés
correspondiente:
3 3R 20.000 € D= =
16 Introducción a la Matemática Financiera
• A los 11 meses de concertado el préstamo:
( )2
3233
2 333
R 20.000 1 0,015 20.199,50 €
D D 20.000 €
= ⋅ + =
= =
c. Tanto efectivo prestatario y TAE
• Tanto efectivo prestatario: '4I
La equivalencia financiera a plantear es la siguiente:
( ){ } ( ) ( )
⋅
=
2,000.20;41r,300;0,000.1~0,000.20
8,...,2,1rI'4
Valorando al inicio de la operación, resulta:
( ) 8'4I8
I1000.20300000.1000.20 '4
−+⋅+⋅+= a
de donde se obtiene el tanto efectivo trimestral prestatario, 02188,0I'4 =
• TAE de la operación: ∗1I
La equivalencia financiera en este caso es:
( ){ } ( ) ( )
⋅
=∗
2,000.20;41r,300;0,400~0,000.20
8,...,2,1rI4
y valorando al inicio de la operación, al tanto ∗4I , resulta:
( ) 84I8
I1000.20300400000.204
−∗+⋅+⋅+= ∗a
Préstamos 17
ecuación de la que se obtiene el tanto efectivo trimestral, 01770,0I4 =∗ , a partir del cual se
obtiene la TAE, ∗1I , como el tanto efectivo anual equivalente:
( ) 07270,0101770,01ITAE 41 =−+== ∗
4.4. PRÉSTAMO AMORTIZABLE MEDIANTE TÉRMINOS AMORTIZATIVOS CONSTANTES. PRÉSTAMO FRANCÉS
El préstamo amortizable por el sistema francés es un préstamo con términos amortizativos
constantes y pagaderos periódicamente por vencido, pactado en régimen financiero de interés
compuesto vencido. Cada uno de los pagos que efectúa el prestatario al final de cada periodo
se destinan a pagar los intereses devengados en el periodo y a amortizar parte del capital
prestado.
Las magnitudes que intervienen en esta modalidad de préstamo y en general, en todos los
préstamos de amortización periódica son:
• C el nominal del préstamo.
• p la periodicidad considerada en la operación.
• n el número de periodos en que se divide el plazo de la operación.
• α el término amortizativo. Es la cuantía que el prestatario paga al prestamista al final de
cada uno de los n periodos. Los términos amortizativos se componen de cuota de interés y de
cuota de capital.
• rY la cuota de interés del periodo r-ésimo. Es la parte del término amortizativo que se
destina a pagar los intereses devengados del periodo.
• rA la cuota de amortización o de capital del periodo r-ésimo . Es la parte del término del
término amortizativo que se destina a amortizar el capital prestado.
• mI el tanto efectivo de interés al que se ha pactado el préstamo, cuya frecuencia de
capitalización coincide con la frecuencia de pago de los términos amortizativos.
18 Introducción a la Matemática Financiera
4.4.1. Ecuación de equilibrio inicial
La equivalencia financiera entre prestación y contraprestaciones es:
( ){ } ( ){ } n,...,2,1rIrp,~0,C
m=α
siendo su esquema temporal:
0 1 2 3 . . . . . . . . . . . . . (n-1) n periodos
C α α α . . . . . . . . . . . . . . α α
Valorando al inicio de la operación, al tanto de interés del préstamo, se obtiene la ecuación que
permite hallar el término amortizativo que el prestatario debe pagar al final de cada periodo:
mInC a⋅α=mIn
Ca
=α⇒
4.4.2. Reserva matemática y deuda pendiente
4.4.2.1. Reserva matemática
• Al final del periodo r-ésimo, r = 1, 2, …, n-1, después del pago del término amortizativo
correspondiente la reserva matemática puede obtenerse por el método retrospectivo o
prospectivo.
Reserva matemática retrospectiva
( )mIr
rm
retror sI1CR ⋅α−+⋅=
Reserva matemática prospectiva
mIrnprosrR
−⋅α= a
Préstamos 19
La reserva matemática retrospectiva y prospectiva coinciden, siendo su esquema temporal:
0 1 2 . . . . . (r-1) r (r+1) . . . . . . . . . n periodos
retrorR pros
rR
C α α . . . . . . .α α α . . . . . . . . . . α
• La reserva matemática en τ, siendo 1rr +⟨τ⟨ , es:
( ) rmr I1RR −τ
τ +⋅=
• Al final de la operación:
0Rn =
La representación gráfica de la reserva matemática es:
Rτ
C α R1 α
R2
Rn-1
α
0 1 2 . . . . . . . . . . . . . . (n-1) n periodos
20 Introducción a la Matemática Financiera
4.4.2.2. Deuda pendiente
La deuda pendiente al final del periodo r-ésimo es:
0DyCDconAD n0
n
1rssr === ∑
+=
La deuda pendiente va disminuyendo a medida que el prestatario va pagando los términos
amortizativos, ya que una parte de los mismos se destina a la amortización de nominal.
Para obtener la deuda pendiente sin calcular previamente las cuotas de amortización hay que
relacionarla con la reserva matemática.
4.4.2.3. Relación entre reserva matemática y deuda pendiente
Conocida la reserva matemática se puede calcular la deuda pendiente a partir de ella, ya que:
• Al inicio de la operación deuda pendiente y reserva matemática coinciden con el nominal del
préstamo:
CRD 00 ==
• Al final de cada periodo, una vez que se ha pagado el término amortizativo correspondiente,
deuda y reserva coinciden:
n,...,2,1rRD rr ==
Rτ
C α R1=D1 α
R2=D2
Rn-1=Dn-1
α Rn=Dn
0 1 2 . . . . . . . . . (n-1) n periodos
Préstamos 21
• En τ con 1rr +⟨τ⟨
ττ ≠== RRDD rr
Los intereses que se acumulan sobre la cuantía pendiente al inicio del periodo hacen que la
reserva matemática vaya aumentando y que no coincida con la deuda hasta un momento
después de efectuado el pago del término amortizativo del periodo siguiente.
Rτ
Rr⋅ (1+Im)
Rr⋅ (1+Im)τ-r α
Rτ −−−− Dr = Rr Dr=Dτ Rr+1 = Dr+1
0 . . . . . . r τ r+1. . . . .periodos
• Al final de la operación, la reserva matemática y la deuda pendiente coinciden y son nulas:
0RD nn ==
4.4.3. Cuota de interés y cuota de capital
El término amortizativo que se paga al final del periodo r-ésimo se desglosa en cuota de interés
y cuota de capital:
α = Yr + Ar
• Cuota de interés. En cada periodo se pagan los intereses sobre la reserva matemática del
final del periodo anterior:
( ) m1r1rm1rr IRRI1RY ⋅=−+⋅= −−−
• Cuota de capital. Conocido el término amortizativo y la cuota de interés, por diferencia
puede obtenerse la cuota de capital.
Ar = α – Yr
22 Introducción a la Matemática Financiera
o bien:
Ar = Rr-1 - Rr
Gráficamente el desglose del término amortizativo del periodo r-ésimo es:
Rτ
Rr-1⋅ (1+Im)
Yr= Rr-1⋅ Im
Rr-1 α Ar= α-Yr
Rr
0. . . . . . r-1 r . . . . . . . periodos
Una característica del préstamo amortizable por el sistema francés es que las cuotas de
amortización varían en progresión geométrica de razón ( )mI1+ :
=⋅⋅α−α=⋅−α=−α=−−− mI)1r(nm1rmrr IRIYA a
( ) ( ) =+⋅α=
+−⋅−⋅α= −+−
+−−1rn
mm
)1rn(m
m I1II11
I1
( )( )
( ) ( ) 1rm
In
1rmn
mIn
1rnm
In
I1CI1I1
CI1C
mmm
−−−+− +⋅=+⋅+⋅
=+⋅=saa
Por tanto:
( )mIn
11r
m1r sCAconI1AA =+⋅= −
Préstamos 23
La primera cuota de amortización puede obtenerse a través de la expresión anterior y también:
A1 = α - Y1 = α - C · Im
4.4.4. Total amortizado
El total amortizado hasta el final del periodo r-ésimo se obtiene sumando las cuotas de
amortización pagadas por el prestatario desde el inicio de la operación hasta el final de dicho
periodo.
∑=
=r
1ssr AM
o bien se obtiene por diferencia entre el nominal del préstamo y la deuda pendiente:
rr DCM −=
4.4.5. Cuadro de amortización
Las magnitudes del préstamo se pueden resumir en el cuadro de amortización:
r α Yr Ar Mr Rr = Dr
0 ----- ----- ----- M0 = 0 R0 = C
1 α Y1 = C·Im A1 = α – Y1 M1 = M0+ A1 R1 = R0 - A1
2 α Y2 = R1·Im A2 = α – Y2 M2 = M1+ A2 R2 = R1 – A2
…… …… …… …… …… ……
r α Yr = Rr-1·Im Ar = α – Yr Mr = Mr-1+ Ar Rr = Rr-1 – Ar
…… …… …… …… …… ……
n-1 α Yn-1 = Rn-2·Im An-1 = α – Yn-1 Mn-1 = Mn-2+ An-1 Rn-1 = Rn-2 – An-1
n α Yn = Rn-1·Im An= α – Yn=Rn-1 Mn = Mn-1+ An=C Rn = Rn-1 – An =0
24 Introducción a la Matemática Financiera
4.4.6. Tanto efectivo prestatario. Tasa anual equivalente: TAE
4.4.6.1. Tanto efectivo prestatario
El coste al que resulta la operación al prestatario, se obtiene a partir de la siguiente
equivalencia financiera:
( ){ } ( ) ( ){ }n,...,2,1r0I
rp,;0,G~0,C'm
=α
Valorando al inicio de la operación se obtiene la ecuación que permite determinar el tanto
efectivo prestatario, 'mI :
'mIn0GC a⋅α+=
4.4.6.2. Tasa anual equivalente: TAE
La TAE, *1I , se obtiene de la siguiente equivalencia financiera:
( ){ } ( ) ( ){ }n,...,2,1r1,0I
rp,;0,G~0,Cm
=α∗
Valorando al inicio de la operación se obtiene la ecuación que permite obtener el tanto ∗mI ,
∗⋅α+=mIn1,0GC a
siendo la TAE
TAE = ( ) 1I1Im
m*1 −+= ∗
Ejemplo Una persona solicita un préstamo hipotecario de 160.000 € de nominal, a amortizar mediante
pagos mensuales, constantes y vencidos durante 10 años. El tanto de interés es del 6% anual
pagadero mensualmente. Existen unos gastos iniciales a cargo del prestatario del 5% sobre el
nominal, de los cuales 3.000 € repercuten en el prestamista.
Préstamos 25
Los datos del ejemplo son:
• C =160.000 €
• i12= 0,06 ⇒ I12 = 0,06/12 = 0,005
• t = 10 años
• p = 121 años
• α constante y mensual
• n = 120 meses
• G0= 0,05·160.000 = 8.000 €
• G0,1= 3.000 €
Calcular:
a. Término amortizativo El importe del término amortizativo se obtiene a partir de la siguiente equivalencia financiera:
( ){ }120,...,2,1r
005,0I 121r,~0,000.160
12 ==
⋅α
Valorando al inicio de la operación, se obtiene:
005,0120000.160 a⋅α=120 0,005
160.000 1.776,328031 1776,33 €⇒ α = = ≅a
El esquema temporal de la operación es en este caso:
0 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 meses
160.000 1.776,33 1.776,33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.776,33
b. Reserva matemática y deuda pendiente a los 6 años, y a los 6 años y 15 días de concertado
el préstamo
• Reserva matemática a los 6 años, esto es, a los 72 meses:
( )72retro72 72 0,005R 160.000 1 0,005 1.776,33 s 75.636,61206 75.636,61 €= ⋅ + − ⋅ = ≅
26 Introducción a la Matemática Financiera
pros72 48 0,005R 1.776,33 75.636,61206 75.636,61 €= ⋅ = =a
• Reserva matemática a los 6 años y 15 días, esto es, a los 72 meses y medio:
( ) ( )1 2 1 272,5 72R R 1 0,005 75.636,61 1 0,005 75.825,47 €= ⋅ + = ⋅ + =
• Deuda pendiente a los 6 años:
D72 = R72 = 75.636,61 €
• Deuda pendiente a los 6 años y 15 días:
72,5 72 72 72,5D D R 75.636,61 € R= = = ≠
c. Cuota de amortización y cuota de interés correspondiente al primer mes del séptimo año
• Una manera de hallar la cuota de interés y de capital es la siguiente, que a su vez es el
método general que puede utilizarse en todos los préstamos de amortización periódica:
Y73 = R72 · I12 = 75.636,61 · 0,005 = 378,18 €
A73 = α – Y73 = 1.776,33 – 378,18 = 1.398,15 €
• Si se tiene en cuenta que en el préstamo francés la cuotas de capital crecen en progresión
geométrica, resulta:
Y1 = C· I12 = 160.000 · 0,005 = 800 €
A1 = α – Y1 = 1.776,33 – 800 = 976,33 €
o bien,
1120 0,005
160.000A 976,33 €s
= =
Préstamos 27
por lo que,
A73 = A1 · 1,00572 = 976,33 · 1,00572 = 1.398,15 €
siendo,
Y73 = α – A73 = 1.776.33 – 1.398,15 = 378,18 €
d. Total amortizado hasta el final de los 6 años, esto es a los 72 meses
72 72M C D 160.000 75.636,61 84.363,39 €= − = − =
e. Tanto efectivo prestatario y TAE
• Tanto efectivo prestatario: '12I
Se obtiene de la siguiente equivalencia financiera:
( ){ } ( )
⋅
= 120,...,2,1rI 121r,33,776.1;0,000.8~0,000.160
'12
Valorando al inicio de la operación resulta:
'12I120
33,776.1000.8000.160 a⋅+=
00596,0I'12 =
• TAE de la operación: ∗12I
La equivalencia financiera a plantear en este caso es la siguiente:
( ){ } ( )
⋅
=∗
120,...,2,1rI 121r,33,776.1;0,000.3~0,000.160
12
Valorando al inicio de la operación resulta:
∗⋅+=12I120
33,776.1000.3000.160 a
00535,0I12 =∗
28 Introducción a la Matemática Financiera
La TAE es el tanto efectivo anual equivalente al anterior:
( ) ( ) 06612,0100535,011I1ITAE 121212
*1 =−+=−+== ∗
4.4.7. Préstamo francés con carencia
En ocasiones el momento en el que se concierta el préstamo no coincide con el inicio del pago
de los términos amortizativos, sino que durante un determinado número de periodos no se
efectúa amortización de capital. El número de periodos transcurridos desde el inicio de la
operación hasta el inicio de la devolución del capital prestado se denomina carencia.
Durante los periodos que dura la carencia, si bien el prestatario no amortiza capital, puede
pagar los intereses periódicamente, denominándose en este caso carencia parcial, o bien no
realizar ningún pago, en cuyo caso se denomina carencia total.
4.4.7.1. Préstamo francés con carencia parcial
El prestamista entrega el nominal del préstamo al inicio de la operación y el prestatario se
compromete a pagar al final de cada uno de los d primeros periodos los correspondientes
intereses, e iniciándose el pago de los términos amortizativos, que comprenden capital e
intereses, cuando termina el plazo de carencia.
La equivalencia financiera entre prestación y contraprestaciones es en este caso la siguiente:
( ){ } ( ) ( )( ){ }n,...,2,1rd,...,2,1rmIprd,;rp,IC~0,C
m== +α⋅
siendo su esquema temporal:
C C⋅Im . . . . . . . . C⋅Im α α . . . . . . . . . . . . . . . . α
0 1 . . . . . . . . . d d+1 d+2 . . . . . . . . . . . . . d+n periodos
d cuotas de interés n términos amortizativos
Préstamos 29
Valorando prestaciones y contraprestaciones al inicio de la operación se obtiene la ecuación de
equilibrio inicial:
( ) dmInIdm I1ICC
mm
−+⋅⋅α+⋅⋅= aa
de donde resulta:
mInC a⋅α=
ecuación de equilibrio que coincide con la del préstamo francés sin carencia.
La representación gráfica de la reserva matemática en esta modalidad de préstamo es la
siguiente:
Rτ
C⋅Im C⋅Im C Rd+1 α
Rd+n-1
α
0 1 2 . . . . . . d d+1 d+2. . . . . d+n-1 d+n periodos
Ejemplo Calcular el término amortizativo de un préstamo como el del ejemplo anterior pero cuya
duración total sea de 11 años, siendo el primero de carencia parcial, durante el cual se pagarán
los intereses mensualmente y por vencido.
El esquema temporal de la operación es:
160.000 800 . . . . . . . . 800 α . . . . . . . . . . . . . . . α α
0 1 . . . . . . . . . 12 13 . . . . . . . . . . . . 131 132 meses
12 meses de carencia 120 términos amortizativos mensuales
30 Introducción a la Matemática Financiera
La equivalencia financiera, en este caso, es:
( ){ } ( )
⋅+α
⋅
===120,...,2,1r12 12
1r12,;121r,800~0,000.160
12,...,2,1r005,0I
siendo la ecuación de equilibrio inicial:
( ) 12005,0120005,012 005,01800000.160 −+⋅⋅α+⋅= aa
que es equivalente a plantear la ecuación al final de la carencia,
005,0120000.160 a⋅α=
de donde:
euros33,776.1000.160
005,0120
==αa
4.4.7.2. Préstamo francés con carencia total
El prestamista entrega el nominal del préstamo al inicio de la operación y el prestatario no
efectúa ningún pago hasta que han transcurrido los d periodos de carencia. Al final de la
carencia, el prestatario debe al prestamista el nominal más los intereses generados durante la
carencia, importe que restituirá mediante el pago de los términos amortizativos.
La equivalencia financiera entre prestación y contraprestaciones es la siguiente:
( ){ } ( )( ){ } n,...,2,1rIprd,~0,C
m=+α
siendo su esquema temporal:
C α α . . . . . . . . . . . . . . . α
0 d d+1 d+2 . . . . . . . . . . . . . d+n periodos
n términos amortizativos
Préstamos 31
El término amortizativo, α, se obtiene a partir de la ecuación de equilibrio inicial:
( ) dmIn I1C
m
−+⋅⋅α= a
que también se puede plantear al final de los d periodos de carencia:
( )mIn
dmI1C a⋅α=+⋅
siendo,
( )mIn
dmI1C
a+⋅
=α
Gráficamente la reserva matemática es:
Rτ
α Rd
C
Rd = C·(1+Im)d
α
0 1 2 . . . . . d d+1 . . . . . . . d+(n-1) d+n periodos
Ejemplo Si en el ejemplo anterior el primer año es de carencia total y se mantienen el resto de datos,
calcular el importe de los términos amortizativos.
El esquema temporal de la operación es este caso:
32 Introducción a la Matemática Financiera
0 1 . . . . . . . . . . .12 13. . . . . . . 131 132 meses
12 meses de carencia total 120 α mensuales
160.000 α . . . . . . . . α α
y la equivalencia financiera entre prestación y contraprestaciones viene dada por:
( ){ } ( )120,...,2,1r
005,0I 121r12,~0,000.160
12 ==
⋅+α
El término amortizativo puede obtenerse a partir de la ecuación de equilibrio inicial, ya sea
planteada al inicio de la operación o al final de la carencia:
• Ecuación de equilibrio inicial:
( ) 12005,0120 005,01000.160 −+⋅⋅α= a
• Ecuación de equilibrio al final del plazo de carencia:
( ) 005,012012005,01000.160 a⋅α=+⋅
Despejando el término amortizativo de cualquiera de las dos ecuaciones, se obtiene:
( )12
120 0,005
160.000 1 0,0051.885,89 €
⋅ +α = =a
Préstamos 33
4.5. PRÉSTAMO AMORTIZABLE MEDIANTE TÉRMINOS AMORTIZATIVOS DE VARIACIÓN GEOMÉTRICA
Es un préstamo de amortización periódica con términos amortizativos variables en progresión
geométrica y pagaderos por vencido, pactado en régimen financiero de interés compuesto.
4.5.1. Ecuación de equilibrio inicial
La equivalencia financiera entre prestación y contraprestaciones en esta modalidad de
préstamo es la siguiente:
( ){ } ( ){ } n,...,2,1r1r
1Irp,q~0,C
m=
−⋅α
donde:
• α1 es el primer término amortizativo
• q es la razón de variación de los términos amortizativos
y siendo su esquema temporal:
0 1 2 3 . . . . . . . . . . . . . . . . n periodos
C α1 α1·q α1·q2 . . . . . . . . . . . . . . . . α1·q
n-1
Valorando al inicio de la operación se obtiene la ecuación de equilibrio inicial de la que se
puede obtener el importe del primer término amortizativo. Para valorar las contraprestaciones
se debe utilizar el valor actual de la renta variable en progresión geométrica, inmediata,
temporal y vencida.
( )
( ) qI1siI1nC
qI1siqI1I1q1C
m1
m1
mm
nm
n
1
=++⋅⋅α=
≠+−++⋅−
⋅α=
−
−
34 Introducción a la Matemática Financiera
resultando:
( )( )
( )qI1si
I1nC
qI1siI1q1
qI1C
m1m
1
mnm
nm
1
=++⋅
=α
≠++⋅−
−+⋅=α
−
−
4.5.2. Reserva matemática y deuda pendiente 4.5.2.1. Reserva matemática
• Al final del periodo r-ésimo, r=1, 2, ..., n-1, después del pago del término amortizativo
correspondiente, la reserva matemática se calcula del siguiente modo:
Reserva matemática retrospectiva
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) qI1siI1rI1CR
qI1siqI1qI1I1C
I1qI1I1q1I1CR
m1r
m1r
mretror
mm
rrm
1r
m
rm
m
rm
r
1r
mretror
=++⋅⋅α−+⋅=
≠+−+−+
⋅α−+⋅=
=+⋅−++⋅−
⋅α−+⋅=
−
−
Reserva matemática prospectiva
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) qI1siI1rnI1rnR
qI1siqI1I1q1q
qI1I1q1R
m1r
m11
m1rprosr
mm
nrm
rnr
1m
nrm
rn
1rprosr
=++⋅−⋅α=+⋅−⋅α=
≠+−++⋅−
⋅⋅α=−++⋅−
⋅α=
−−+
−−−−
+
Préstamos 35
La reserva matemática retrospectiva y prospectiva coinciden, siendo su esquema temporal:
0 1 2 . . . . . r-1 r r+1 . . . . . . . . . . . n periodos
retrorR pros
rR
C α1 α1 ·q . . . . α1·qr-2 α1·qr-1 α1·qr . . . . . . . . . . α1·q
n-1
• La reserva matemática en τ, siendo 1rr +⟨τ⟨ , es:
( ) rmr I1RR −τ
τ +⋅=
• Al final de la operación: 0Rn =
4.5.2.2. Deuda pendiente
La deuda pendiente al final del periodo r-ésimo es:
0DyCDconAD n0
n
1rssr === ∑
+=
Para obtener la deuda pendiente sin calcular previamente las cuotas de amortización debemos
relacionarla con la reserva matemática, tal como se ha visto en el préstamo amortizable por el
sistema francés.
4.5.3. Cuota de interés y cuota de capital
El término amortizativo que se paga al final del periodo r-ésimo se descompone en cuota de
interés y cuota de capital:
αr = Yr + Ar
• Cuota de interés: en cada periodo se pagan los intereses sobre la reserva matemática al
final del periodo anterior:
Yr = Rr-1 · Im
36 Introducción a la Matemática Financiera
• Cuota de capital: conocido el término amortizativo y la cuota de interés, por diferencia
puede obtenerse la cuota de capital:
m1r1r
1rrr IRqYA ⋅−⋅α=−α= −−
4.5.4. Total amortizado
El total amortizado hasta el final del periodo r-ésimo se obtiene sumando las cuotas de
amortización pagadas por el prestatario desde el inicio de la operación hasta el final de dicho
periodo.
∑=
=r
1ssr AM
o bien se obtiene por diferencia entre el nominal del préstamo y la deuda pendiente:
rr DCM −=
Ejemplo Una empresa solicita un préstamo de 140.000 € de nominal a amortizar mediante términos
amortizativos semestrales crecientes en un 2% semestral acumulativo. El tanto de interés del
préstamo es del 6% anual pagadero semestralmente, la duración de la operación es de 10
años y los gastos iniciales a cargo del prestatario ascienden a 7.000 €, de los cuales 3.000 €
repercuten en el prestamista.
Los datos del ejemplo son:
• C = 140.000 €
• αr = α1.qr-1 y semestral
• q = 1,02
• i2 = 0,06 ⇒ I2 = 0,06/2 = 0,03
• t =10 años
• p = 1/2 años
• n = 20 semestres
• G0 = 7.000 €
• G0,1= 3.000 €
Préstamos 37
Calcular:
a. Término amortizativo
La equivalencia financiera entre prestación y contraprestaciones es:
( ){ }20,...,2,1r
1r103,0I 2
1r,02,1~0,000.1402 =
−
=
⋅⋅α
Valorando al inicio de la operación se obtiene:
( ) 02,103,01queya02,103,0103,0102,11000.140
2020
1 ≠+−++⋅−
⋅α=−
y despejando el primer término amortizativo,
( )( )
1 2020
140.000 1 0,03 1,027.897,6930 7.897,69 €
1 1,02 1 0,03 −
⋅ + −α = = ≅
− ⋅ +
A partir del primer término se pueden obtener todos los demás:
r 1 r 1
r 1 q 7.897,69 1,02 € con r 1,2,...,20− −α = α ⋅ = ⋅ =
b. Reserva matemática y deuda pendiente a los 2 años y a los 2 años y 4 meses de la
concesión del préstamo
• Reserva matemática a los 2 años, esto es, a los 4 semestres:
( ) ( ) ( )44
4 4retro4
1 1,02 1 0,03R 140.000 1 0,03 7.897,69 1 0,03 123.550,62 €
1 0,03 1,02
−− ⋅ += ⋅ + − ⋅ ⋅ + =
+ −
( ) 1616pros4 5
45 1
1 1,02 1 0,03R 123.550,62 €
1 0,03 1,02
siendo 1,02 8.548,7168 8.548,72 €
−− ⋅ += α ⋅ =
+ −
α = α ⋅ = ≅
38 Introducción a la Matemática Financiera
• Reserva matemática a los 2 años y 4 meses:
( ) ( )2 3 2 32 443
R R 1 0,03 123.550,62 1 0,03 126.009,43 €= ⋅ + = ⋅ + =
• Deuda pendiente a los 2 años de concertada la operación:
4 4D R 123.550,62 €= =
• Deuda pendiente a los 2 años y 4 meses
2 4 443
D D R 123.550,62 €= = =
c. Composición del quinto término amortizativo
• Cuota de interés:
5 4 2Y R I 123.550,62 0,03 3.706,52 €= ⋅ = ⋅ =
• Cuota de amortización:
5 5 5A Y 8.548,72 3.706,52 4.842,20 €= α − = − =
d. Tanto efectivo prestatario y TAE
• Tanto efectivo prestatario: '2I
Se obtiene de la siguiente equivalencia financiera:
( ){ } ( )20,...,2,1r
1r
I 21r,02,169,897.7;0,000.7~0,000.140
'2 =
−
⋅
Valorando al inicio de la operación resulta:
( )
03525,0I
02,1I1I102,1169,897.7000.7000.140
'12
'2
20'2
20
=
−+
+⋅−⋅+=
−
Préstamos 39
• TAE de la operación: ∗1I
La equivalencia a plantear en este caso es la siguiente:
( ){ } ( )20,...,2,1r
1r
I 21r,02,169,897.7;0,000.3~0,000.140
2 =
−
⋅
∗
y valorando al inicio de la operación se obtiene el tanto ∗2I
( )
03220,0I
02,1I1I102,1169,897.7000.3000.140
2
2
202
20
=
−+
+⋅−⋅+=
∗
∗
−∗
La TAE es el tanto efectivo anual equivalente a ∗2I
TAE = ( ) ( ) 06544,0103220,011I1I 222
*1 =−+=−+= ∗
4.6. PRÉSTAMO AMORTIZABLE MEDIANTE TÉRMINOS AMORTIZATIVOS DE VARIACIÓN LINEAL
Es un préstamo de amortización periódica con términos amortizativos variables en progresión
aritmética y pagaderos por vencido, pactado en régimen financiero de interés compuesto
vencido.
4.6.1. Ecuación de equilibrio inicial
La equivalencia financiera entre prestación y contraprestaciones es en esta modalidad de
préstamo la siguiente:
( ){ } ( )( ){ } n,...,2,1r1Irp,h1r~0,C
m=⋅−+α
donde:
• α1 es el primer término amortizativo
• h es la razón de variación aritmética de los términos amortizativos
40 Introducción a la Matemática Financiera
siendo su esquema temporal:
0 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n periodos
C α1 α1+h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . α1+(n-1)h
Valorando al inicio de la operación se obtiene la ecuación de equilibrio inicial de la que se
puede despejar el primer término amortizativo. Para valorar las contraprestaciones se debe
utilizar el valor actual de la renta variable en progresión aritmética, inmediata, temporal y
vencida,
mIn
m1 I
hnhnIhC
m
⋅−⋅
⋅++α= a
resultando:
⋅+−
⋅+
=α hnIhI
hnC
mIn
m1
ma
4.6.2. Reserva matemática y deuda pendiente 4.6.2.1. Reserva matemática
• Al final del periodo r-ésimo, después del pago del término amortizativo correspondiente, la
reserva matemática se calcula del siguiente modo:
Reserva matemática retrospectiva
( ) ( )rm
mIr
m1
rm
retror I1
Ihrhr
IhI1CR
m+⋅
⋅−⋅
⋅++α−+⋅= a
Reserva matemática prospectiva
( ) ( ) hrsiendoI
hrnhrnIhR 11r
mIrn
m1r
prosr m
⋅+α=α⋅−
−⋅
⋅−++α= +−+ a
Préstamos 41
La reserva matemática retrospectiva y prospectiva coinciden, siendo su esquema temporal:
0 1 2 . . . . . . r-1 r r+1 . . . . . . . . . . n periodos
retrorR pros
rR
C α1 α1+h . . .α1+(r-2)h α1+(r-1)h α1+rh . . . . . . . . α1+(n-1)h
• La reserva matemática en τ, si 1rr +⟨τ⟨ , es:
( ) rmr I1RR −τ
τ +⋅=
• Al final de la operación,
0Rn =
4.6.2.2. Deuda pendiente
La deuda pendiente al final del periodo r-ésimo es:
0DyCDconAD n0
n
1rssr === ∑
+=
Para obtener la deuda pendiente sin calcular previamente las cuotas de amortización hay que
relacionarla con la reserva matemática, tal como se ha visto en el préstamo amortizable por el
sistema francés.
4.6.3. Cuota de interés y cuota de capital
El término amortizativo que se paga al final del periodo r-ésimo se desglosa en cuota de interés
y cuota de capital:
αr = Yr + Ar
• Cuota de interés: en cada periodo se pagan los intereses sobre la reserva al final del
periodo anterior.
Yr = Rr-1 · Im
42 Introducción a la Matemática Financiera
• Cuota de capital: conocido el término amortizativo y la cuota de interés, por diferencia
puede obtenerse la cuota de capital.
( ) m1r1rrr IRh1rYA ⋅−⋅−+α=−α= −
4.6.4. Total amortizado
El total amortizado hasta el final del periodo r-ésimo se obtiene sumando las cuotas de
amortización pagadas por el prestatario desde el inicio de la operación hasta el final de dicho
periodo:
∑=
=r
1ssr AM
o también:
rr DCM −=
Ejemplo Una persona solicita un préstamo de 80.000 € a devolver en 7 años mediante términos
amortizativos trimestrales, vencidos y crecientes cada trimestre en 150 €. El tanto concertado
con la entidad financiera es del 5% anual capitalizable trimestralmente.
Los datos del ejemplo son:
• C = 80.000 €
• ( ) h1r1r ⋅−+α=α y trimestral
• h = 150 €
• i4 = 0,05 ⇒ I4 = 0,05/4 = 0,0125
• t =7 años
• p = 1/4 años
• n = 28 trimestres
Calcular:
a. Expresión general del término amortizativo
La equivalencia financiera entre prestación y contraprestaciones es:
Préstamos 43
( ){ } ( )28,...,2,1r
10125,0I 41r,1501r~0,000.80
4 ==
⋅⋅−+α
Valorando al inicio de la operación, se obtiene:
0125,01502815028
0125,0150000.80 5012,0281
⋅−⋅
⋅++α= a
y despejando el primer término amortizativo,
128 0,0125
28 15080.0001500,0125 28 150 1.500,23126 1.500,23 €
0,0125
⋅+
α = − + ⋅ = ≅ a
A partir del primer término amortizativo se pueden obtener todos los demás:
( ) ( ) 28,...,2,1rcon1501r23,500.1h1r1r =⋅−+=⋅−+α=α
a. Reserva matemática y deuda pendiente a los 4 años y a los 4 años y 2 meses
• Reserva matemática a los 4 años, esto es a los 16 trimestres:
( )
( )
retro 1616
1616 0,0125
R 80.000 1 0,0125
150 16 1501.500,23 16 150 1 0,0125 52.106,38 €0,0125 0,0125
= ⋅ + −
⋅ − + + ⋅ ⋅ − ⋅ + =
a
pros
1716 12 0,0125
17 1
150 12 150R 12 150 52.106,38 €0,0125 0,0125
siendo 16 150 1.500,23 16 150 3.900,23 €
⋅ = α + + ⋅ ⋅ − =
α = α + ⋅ = + ⋅ =
a
• Reserva matemática a los 4 años y 2 meses
( ) ( )2 2
3 32 16163
R R 1 0,0125 52.106,38 1 0,0125 52.539,70 €= ⋅ + = ⋅ + =
44 Introducción a la Matemática Financiera
• Deuda pendiente a los 4 años
16 16D R 52.106,38 €= =
• Deuda pendiente a los 4 años y 2 meses
2 16 16163
D D R 52.106,38 €= = =
b. Cuota de interés y de amortización del término amortizativo que se paga a los 4 años y 3
meses
• Cuota de interés:
17 16 2Y R I 52.106,38 0,0125 651,33 €= ⋅ = ⋅ =
• Cuota de amortización:
17 17 17A Y 3.900,23 651,33 3.248,9 €= α − = − =
4.7. PRÉSTAMO DE CUOTA DE CAPITAL CONSTANTE
Es un préstamo que se caracteriza porque la cuota de capital o cuota de amortización es
constante.
nCAsiendon,...,2,1rconAAr ===
Habitualmente en los préstamos de amortización periódica se plantea la ecuación de equilibrio
inicial para calcular los términos amortizativos, y a partir de éstos se obtiene la reserva
matemática, obteniendo el resto de magnitudes a partir de ambos. En esta modalidad de
préstamo, a partir del total amortizado y de la deuda pendiente se obtienen el resto de
magnitudes.
4.7.1. Total amortizado
El total amortizado hasta el final del periodo r-ésimo se obtiene sumando las cuotas de
amortización pagadas por el prestatario desde el inicio de la operación hasta el final de dicho
periodo.
Préstamos 45
n....,,2,1rconArAAMr
1s
r
1ssr =⋅=== ∑∑
==
4.7.2. Deuda pendiente y reserva matemática 4.7.2.1. Deuda pendiente
La deuda pendiente al final del periodo r-ésimo, con r = 1,2,…,n-1, es
( ) 0DyCDconArCArnAAD n0
n
1rs
n
1rssr ==⋅−=⋅−=== ∑∑
+=+=
4.7.2.2. Reserva matemática
• La deuda pendiente y la reserva matemática coinciden al final de cada periodo una vez
efectuado el pago del término amortizativo correspondiente:
n...,,2,1rconRD rr ==
• La reserva matemática en τ, siendo 1rr +⟨τ⟨ , es:
( ) ( ) rmr
rmr I1DI1RR −τ−τ
τ +⋅=+⋅=
4.7.3. Cuota de capital y cuota de interés
El término amortizativo que se paga al final del periodo r-ésimo se desglosa en cuota de capital
y cuota de interés:
αr = Ar + Yr
• Cuota de capital: n,...,2,1rconnCAA r ===
• Cuota de interés: en cada periodo se pagan los intereses sobre la reserva al final del
periodo anterior:
1rm1rmr DIRIY −− ⋅=⋅=
46 Introducción a la Matemática Financiera
De modo que:
( )( ) ( ) mmm1rmr IA1rICA1rCIDIY ⋅⋅−−⋅=⋅−−⋅=⋅= −
y sustituyendo m1 ICY ⋅= , se obtiene la expresión general de las cuotas de interés:
( ) n,...,2,1rconIA1rYY m1r =⋅⋅−−=
que, como puede apreciarse, siguen una progresión aritmética decreciente de razón mIAh ⋅−=
4.7.4. Término amortizativo
El término amortizativo del periodo r-ésimo es la suma de la cuota de interés y la cuota de
capital de dicho periodo:
AYrr +=α
Sustituyendo en la expresión anterior las dos cuotas por su valor,
( ) { }
( ) ( ) n...,,2,1rconIA1rh1r
AYsiendoAh1rY
m11
111r
=⋅⋅−−α=⋅−+α=
=α=+=+⋅−+=α
Los términos amortizativos siguen una progresión aritmética decreciente de razón, mIAh ⋅−= ,
del mismo modo que las cuotas de interés.
Ejemplo Se solicita un préstamo de 60.000 €, amortizable mediante términos amortizativos trimestrales,
vencidos y con cuota de capital constante, la duración de la operación es de 12 años y el tanto
de interés es del 6% anual capitalizable trimestralmente. Los gastos iniciales a cargo del
prestatario ascienden a 3.600 €, de los cuales 1.500 € los paga al prestamista.
Los datos del ejemplo son:
• C = 60.000 €
Préstamos 47
• i4 = 0,06 ⇒ I4 = 0,06/4 = 0,015
• t =12 años
• p = 1/4 años
• n = 48 trimestres
• A = cuota de amortización o de capital constante y trimestral
• G0 = 3.600 €
• G0,1 = 1.500 €
Se pide:
a. Total amortizado a los 7 años de concertado el préstamo
La cuota de capital constante es:
C 60.000A 1.250 €n 48
= = =
siendo el total amortizado transcurridos 7 años, es decir a los 28 trimestres desde el inicio de la
operación: 28
28s 1
M A 28 A 28 1.250 35.000 €=
= = ⋅ = ⋅ =∑
b. Reserva matemática y deuda pendiente a los 7 años y a los 7 años y 1 mes desde el inicio
de la operación
• Deuda pendiente a los 7 años, esto es a los 28 trimestres:
La deuda pendiente se puede obtener por diferencia entre el nominal del préstamo y el total
amortizado hasta el final de los 7 años:
28 28D C M 60.000 35.000 25.000 €= − = − =
o como suma de las cuotas de amortización pendientes,
( )28D 48 28 1.250 25.000 €= − ⋅ =
• Reserva matemática a los 7 años:
28 28R D 25.000 €= =
48 Introducción a la Matemática Financiera
• Deuda pendiente a los 7 años y 1 mes:
1 28283
D D 25.000 €= =
• Reserva matemática a los 7 años y 1 mes:
( ) ( )1 13 3
1 28283
R R 1 0,015 25.000 1 0,015 25.124,38 €= ⋅ + = ⋅ + =
c. Expresión general del término amortizativo
La expresión general del término amortizativo es:
( ) n,...,2,1rconIA1r m1r =⋅⋅−−α=α
siendo en este caso:
1 1 4
4
Y A C I A 60.000 0,015 1.250 900 1.250 2.150 €
h A I 1.250 0,015 18,75 €
α = + = ⋅ + = ⋅ + = + =
= − ⋅ = − ⋅ = −
de modo que:
( )r 2.150 r 1 18,75 € con r 1, 2,...,48α = − − ⋅ =
d. Cuota de interés y de amortización que componen el término amortizativo que se hace
efectivo al final del quinto año
Se trata del término amortizativo número 20:
20 1Si r 20 19 h 2.150 19 18,75 1.793,75 €= ⇒ α = α − ⋅ = − ⋅ =
siendo:
20 20
A 1.250 €
Y A 1.793,75 1.250 543,75 €
=
= α − = − =
Préstamos 49
e. Tanto efectivo prestatario y TAE
• Tanto efectivo prestatario: '4I
Se obtiene a partir de la siguiente equivalencia financiera:
( ){ } ( ) ( )48,...,2,1rI 4
1r,75,181r150.2;0,600.3~0,000.60'4 =
⋅−−
Valorando al inicio de la operación resulta:
'4
I48'4 I
75,184875,1848I75,18150.2600.3000.60 '
4
⋅+⋅
⋅−−+= a
01824,0I'4 =
• TAE de la operación: ∗1I
La equivalencia financiera en este caso es la siguiente:
( ){ } ( ) ( )48,...,2,1rI 4
1r,75,181r150.2;0,500.1~0,000.604 =
⋅−−
∗
Valorando al inicio de la operación resulta:
∗∗
⋅+⋅
⋅−−+= ∗
4I48
4 I75,184875,1848
I75,18150.2500.1000.60
4a
01631,0I4 =∗
La TAE es el tanto efectivo anual equivalente al trimestral anterior:
TAE = ( ) ( ) 06687,0101631,011I1I 444
*1 =−+=−+= ∗