CONJUNTOS NUMERICOS PARTE I
PSU MATEMATICA2020
Clase 1
OBJETIVOS
• Identificar y utilizar los distintos conjuntos numéricosen sus diversas formas de expresión.
• Aplicar la operatoria básica en los númerosnaturales, cardinales, enteros y racionales
Recuerda apagar tureproductor de músicay celular por favor.
1. Números Naturales (lN)
1.1 Consecutividad numérica
Este conjunto está formador por:
IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 …}
Es un conjunto infinito, ordenado y discreto.
Sucesor:
Todo número natural tiene un sucesor, y se obtienesumando 1 al número, es decir:
Si n pertenece a lN, su sucesor será n +1.
Conjuntos Numéricos
Números Naturales Consecutivos
Antecesor:
Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un antecesor, y se obtiene restando 1 al número, es decir:
Si n pertenece a lN, su antecesor será n -1
Ejemplo:
Tres números naturales consecutivos se pueden representar por:
n, n+1, n+2
n-1, n, n+1
n+10, n+11, n+12
n - 1 n + 1n
antecesor sucesor
1.2 Paridad e Imparidad
Números Pares
Son de la forma 2n, con n perteneciente a los naturales.
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18……, 2n}
Sucesor par:
Se obtiene sumando 2 alnúmero. Si el número es2n, entonces su sucesorpar será 2n+2.
Antecesor par:
Se obtiene restando 2 alnúmero. Si el número es2n, entonces su antecesorpar será 2n-2.
2n - 2 2n + 22nantecesor par sucesor par
Sucesor impar:
Se obtiene sumando 2 alnúmero impar. Si elnúmero es 2n+1,entonces su sucesorimpar será 2n+3.
Números Impares
Son de la forma 2n+1 (o 2n-1), con nperteneciente a los naturales
{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17…… ,2n+1}
Antecesor impar:
Se obtiene restando 2 alnúmero impar. Si el númeroes 2n+1,entonces, suantecesor impar será 2n-1.
2n - 1 2n + 32n+1antecesor impar sucesor impar
1.3 Números Primos
Son aquellos números naturales que son sólo tienen dos divisores el 1 y el mismo número:
{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,31 …}
El 1 NO es primo nicompuesto
1.4 Números Compuestos
Son aquellos números naturales que no son primos, es decir,los que tienen algún divisor natural a parte de él mismo y del1.
{ 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, ….}
Divisores
Se llama “divisor” de un número a aquel que lo divide enforma exacta, es decir cabe en él una cantidad exacta deveces.
Por ejemplo:
Los divisores de 36 son los números que lo dividenexactamente:
{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36}
1.5 Múltiplos y Divisores
Múltiplos
Se llama “múltiplo” de un número, a aquel que se obtiene almultiplicar dicho número por otro cualquiera.
Por ejemplo:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, son múltiplos de 3.
Mínimo Común Múltiplo
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o másnúmeros, corresponde al menor de los múltiplos quetienen en común.
Ejemplo:
El m.c.m. entre 4, 9 y 12 es 36.
El 36 es el menor múltiplo en común que presentan.
Algunos múltiplos de 4 son:
{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, …}
Algunos múltiplos de 9 son:
{9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, …}
Algunos múltiplos de 12 son:
{12, 24, 36, 48, 60, 72,…}
m.c.m. = 2·2·3 ∙3 =36
Existe un método para determinar el m.c.m que simplifica elproceso anterior .
4 9 12 Se divide cada número por númerosprimos hasta que en cada columnaquede 1.
Si no lo divide, el número se baja.
Finalmente el producto de estosfactores primos corresponderá alm.c.m.
Ejemplo:
Determinar el m.c.m. entre 4, 9 y 12
2 9 6
1 9 3
3 1
1
2
2
3
3
Máximo Común Divisor
El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números,corresponde al mayor número que los divide a todossimultáneamente.
Ejemplo:
El M.C.D. entre 18,30 y 42 es 6.
EL 6 es el mayordivisor en comúnque presentan.
Los divisores de 18 son:
{1, 2, 3, 6, 9, 18}
Los divisores de 30 son:
{1, 2, 3, 5, 6,10, 15, 30}
Los divisores de 42 son:
{1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}
18 30 42
Se divide por números primosque sean divisores de todos losnúmeros simultáneamente.
El proceso termina cuando yano se pueda dividir a todos enforma simultánea.
Finalmente el producto deestos factores primoscorresponderá al M.C.D.
M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6
Obviamente existe un método para determinar el M.C.D.que simplifica el proceso anterior .
Ejemplo:
Determinar el M.C.D. entre 18, 30 y 42
9 15 21 3
3 5 7
2
1.6 Operaciones en lN
Adición, sustracción, multiplicación y división
Propiedades de la Adición:
a) Clausura: La suma de dos números naturales siempre nosentrega como resultado otro número natural.
b) Conmutativa: Si a y b son números naturales, entonces secumple que:
Ejemplo: 7 + 9 = 9 + 7a + b = b + a
a + b = c, donde a y b sumandos y c suma.
c) Asociativa:Si a, b y c son números naturales, entonces secumple que:
a +(b+c) = (a+b) + c
Ejemplo: 10 +(1+3) = (10+1) + 3
10 + (4) =(11) + 3
14 = 14
a) Clausura: El producto de dos números naturales essiempre un natural.
b) Conmutativa: Si a y b son números naturales, entonces secumple que:
a ∙ b = c, donde a y b factores y c producto.
El elemento neutro multiplicativo es el 1.
Propiedades de la Multiplicación:
Ejemplo: 2 ∙ (6∙3) = (2∙6) ∙ 32 ∙ (18) = (12) ∙ 3
36 = 36
Ejemplo: 8∙7 = 7∙8 = 56
a ∙(b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c
c) Asociativa: Si a, b y c son números naturales, entonces secumple que:
a∙b = b∙a
En el conjunto de los naturales no existe elemento neutro aditivo.
Sustracción (resta o diferencia):
a - b = c, donde a minuendo, b sustraendo y c diferencia.
20-23 ¿Pertenece a los números naturales?
División (cuociente)
a : b = c
Ejemplo
24 : 8 = 3 cuociente
dividendodivisor
Si la división NO es exacta se tiene:
Ejemplo:
39 : 7 = 5
4
Por lo tanto:
39= 7·5 + 4
dividendo cuociente
divisor
resto
2. Números Cardinales (lN0)
2.1 Operaciones en lN0
Adición, sustracción, multiplicación y división
Se cumplen las mismas propiedades que en los naturales.Ahora debido a la incorporación del cero se tiene:
Existe un elemento neutro aditivo: el cero
Existe un elemento absorbente en la multiplicación: el cero
Este conjunto está formador por:
lNo = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 …}
Es un conjunto infinito, ordenado y discreto.
a + 0 = 0 + a = a
a · 0 = 0 · a = 0
3. Números Enteros (Z)
Z = Z- U lN0
Z = Z- U {0} U Z+
Este conjunto está formador por:
Z = {…. -5, -4, -3, -2, -1, 0,1, 2, 3, 4, 5, …}
Es un conjunto infinito, ordenado y discreto.
Se puede representar por:
Z- Z+
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
∞- ∞+
3.1 Paridad e Imparidad
Números Pares
Son de la forma 2n, con n perteneciente a los enteros.
{-4,-2, 0, 2, 4, 6, 8…, 2n}
Números Impares
Son de la forma 2n+1 (o 2n-1), con n perteneciente a losenteros
{-9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11,…… , 2n+1}
2n - 2 2n + 22nantecesor par sucesor par
Secuencia de números pares
2n - 1 2n + 32n+1antecesor impar sucesor impar
Secuencia de números impares
Valor absoluto:
El valor absoluto de un número representa la distancia a la cualse encuentra el número del cero en la recta numérica.
Por ejemplo, la distancia del 4 al origen es cuatro unidades, aligual que la distancia del -4 al origen.
La notación es: |4| = 4 y |-4| = 4
4 unidades 4 unidades
-4 0 4
3.2 Operaciones en Z
Al realizar operaciones con los números enteros debemosconsiderar algunas reglas con respecto a los signos:
Sean a y b son números enteros, entonces se cumple que:
a) Al sumar enteros de igual signo, se suman los valoresabsolutos de los números y se mantiene el signo.
Ejemplo:
11+17 = +28 -3 + - 5 = - 8
b) Al sumar enteros de distinto signo, se calcula la diferenciaentre sus valores absolutos, conservando el signo del quetiene mayor valor absoluto.
-25 + 9 = -16 18 + -6 = +12
Ejemplo:
c) Al restar dos enteros, se debe sumar al minuendo elinverso aditivo del sustraendo.
a – b = a + - b Ejemplo: 1 – 4 = 1 + - 4 = – 3
a – (-b) = a + b Ejemplo: 11 – (– 7) = 11 + 7 = 18
-8 ∙ -4 = +32
d) Si a y b son dos númerosenteros de igual signo,entonces:
El producto y el cuocienteentre ellos es positivo.
Ejemplo:
-72 : -6 = +12
e) Si a y b son dos númerosenteros de distinto signo,entonces:
El producto y el cuocienteentre ellos es negativo
-3 ∙ 7 = -21
Ejemplo:
-24 : -8 = +3
3.3 Propiedades
La suma de números enteros cumple con la propiedad deClausura, Conmutatividad y Asociatividad.
La suma de números enteros tiene “elemento neutro”: elcero.
Cada número entero posee inverso aditivo u opuesto.
Ejemplo:
El inverso aditivo de 13 es -13
El inverso aditivo de –9 es 9
3.4 Prioridad en las operaciones
Al trabajar con expresiones que combinan distintasoperaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:
1. Resolver los paréntesis, partiendo desde los interiores alos exteriores.
2. Realizar las potencias.3. Realizar multiplicaciones y/o divisiones, de izquierda a
derecha.4. Realizar adiciones y/o sustracciones, de izquierda a
derecha.
-8 + (13 - (4 - 2) + 7 ): 6 · 2 + 1= ?
Ejemplo:
Res:-1
Ejemplos PSU
Ejemplos PSU
3 ∙ −3 + 1 − −2 − 1 =
3 ∙ −2 − −3 =
−6 + 3 = −3
2𝑥 + 1 + 2𝑥 + 3 + 2𝑥 + 5 = 1527
6𝑥 + 9 =1527
6𝑥 =1518→ 𝑥 =1518
6= 253
507, 509, 509
634812𝑃𝑢𝑒𝑠 (6 + 3 + 4 + 8 + 1 + 2) = 24 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑝 3
A trabajar