¿QUÉ ES EL CAOS CUÁNTICO?
Armando Relaño1
1Departamento de Estructura de la Materia, Física Térmica y ElectrónicaUniversidad Complutense de Madrid
20 septiembre 2018
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 1 / 34
Fenomenología del caos
Mecánica Clásica: H(q1, . . . ,qN ; p1, . . . ,pN) −→
qi =
∂H∂pi
pi = −∂H∂qi
Caos debido a ecuaciones diferenciales no lineales
Mecánica Cuántica: −→ i~∂
∂t|Ψ〉 = H |Ψ〉
La ecuación de Schrödinger es lineal −→ No genera caos
|〈Ψ(0)|Φ(0)〉|2 = |〈Ψ(t)|Φ(t)〉|2 ∀t
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 2 / 34
Fenomenología del caos
Mecánica Clásica: H(q1, . . . ,qN ; p1, . . . ,pN) −→
qi =
∂H∂pi
pi = −∂H∂qi
Caos debido a ecuaciones diferenciales no lineales
Mecánica Cuántica: −→ i~∂
∂t|Ψ〉 = H |Ψ〉
La ecuación de Schrödinger es lineal −→ No genera caos
|〈Ψ(0)|Φ(0)〉|2 = |〈Ψ(t)|Φ(t)〉|2 ∀t
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 2 / 34
Matemáticas del caos: sistemas integrables
N constantes de movimiento: {H,Fi} = 0, i = 1, . . . ,N.En involución {Fi ,Fj} = 0 ∀i , j .Funcionalmente independientes.
H(q1, . . . ,qN ; p1, . . . ,pN)(p,q)→(I,φ)−−−−−−−→ H(I1, . . . , IN)
Ii = 0φi = ωi(I1, . . . , IN)
} Movimiento multiperiódico↓
Trayectorias en un toro
Ruptura de integrabilidad −→ Caos (teorema KAM)
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Matemáticas del caos: sistemas integrables
N constantes de movimiento: [H,Fi ] = 0, i = 1, . . . ,N.En involución {Fi ,Fj} = 0 ∀i , j .Funcionalmente independientes.
H(q1, . . . ,qN ; p1, . . . ,pN)(p,q)→(I,φ)−−−−−−−→ H(I1, . . . , IN)
Ii = 0φi = ωi(I1, . . . , IN)
} Movimiento multiperiódico↓
Trayectorias en un toro
Ruptura de integrabilidad −→ Caos (teorema KAM)
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 4 / 34
Matemáticas del caos: sistemas integrables
N constantes de movimiento: [H,Fi ] = 0, i = 1, . . . ,N.Conmutan entre sí [Fi ,Fj ] = 0 ∀i , j .Funcionalmente independientes.
H(q1, . . . ,qN ; p1, . . . ,pN)(p,q)→(I,φ)−−−−−−−→ H(I1, . . . , IN)
Ii = 0φi = ωi(I1, . . . , IN)
} Movimiento multiperiódico↓
Trayectorias en un toro
Ruptura de integrabilidad −→ Caos (teorema KAM)
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Matemáticas del caos: sistemas integrables
N constantes de movimiento: [H,Fi ] = 0, i = 1, . . . ,N.Conmutan entre sí [Fi ,Fj ] = 0 ∀i , j .Todas las constantes de movimiento son funciones de unoperador general O.
¿¿¿¿????
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¡Pero tiene que haber caos!
Mecánica cuántica
H = ωa†a + ωoJz +λ
2√
N
[(a + a†
)(J+ + J−)
]
50
60
70
80
90
100
110
120
130
0 50 100 150 200
<a+
a>
tArmando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 7 / 34
¡Pero tiene que haber caos!
Mecánica clásica
H =ω
2
(p2
x + x2)+ωo
2
(p2
y + y2 − 12
)+√
2λxy√
1−(p2
y + y2)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 50 100 150 200
Num
ero
de fo
tone
s
tArmando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 8 / 34
Observables en mecánica cuántica
Evolución temporal del valor esperado
Espectro del Hamiltoniano: H |φn〉 = En |φn〉.Condición inicial |Ψ(0)〉 =
∑n Cn |φn〉.
〈M〉 =∑i,j
C∗j Ci e−i(Ei−Ej)t/~︸ ︷︷ ︸Energías
⟨φj∣∣M |φi〉︸ ︷︷ ︸
Funciones de onda
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Cuantizando sistemas integrables: espectro
REGLAS SWI: MECÁNICA CUÁNTICA ANTIGUA
Hamiltoniano clásico integrable: H(I1, . . . , IN).Cuantizamos las acciones: Ii = 2π~ni −→ Primera aproximaciónal espectro: En1,...,nN = H(2π~n1, . . . ,2π~nN).
La particular geometría de los sistemas clásicamente integrablesse manifiesta en la forma del espectro
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Ejemplo: billar rectangular
Dos constantes de movimiento, p2x y p2
y −→ dos númeroscuánticos, nx y ny ,
Enx ,ny =~2π2
2m
[(nx
a
)2+(ny
b
)2].
Fijando nx (autoestados correspondientes a p2x = C), secuencia
ordenada de niveles E ∼ n2y .
Espectro completo: mezcla aleatoria de todas estas secuencias.
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Billar rectangular
nx = 1 nx = 2 nx = 3
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Billar rectangular
nx = 1 nx = 2 nx = 3 nx = 4
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Billar rectangular
nx = 1 nx = 2 nx = 3 nx = 4 nx = 5
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Billar rectangular
nx = 1 nx = 2 nx = 3 nx = 4 nx = 5 nx = 6
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Billar rectangular
nx = 1 nx = 2 nx = 3 nx = 4 nx = 5 nx = 6 nx = 7
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Propiedades estadísticas del espectro
Parte suave del espectro:
Forma funcional del Hamiltoniano: H (I1, . . . , IN).Diferente para cada sistema físico.
Parte aleatoria del espectro:
Consecuencia de mezclar diferentes secuencias ordenadas,correspondientes a la cuantización de cada acción Ij = 2π~nj .Universal: Característica de todos los sistemas integrables.
FLUCTUACIONES EN EL ESPECTRO
La distancia s entre cada dos niveles consecutivos si = Ei+1 − Ei ,normalizada a uno 〈s〉 = 1, sigue una distribución de PoissonP(s) = exp(−s) para todos los sistemas integrables de más de ungrado de libertad.
M. V. Berry and M. Tabor, Proc. R. Soc. Lond. A 356, 375 (1977).
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Propiedades estadísticas del espectro
Parte suave del espectro:
Forma funcional del Hamiltoniano: H (I1, . . . , IN).Diferente para cada sistema físico.
Parte aleatoria del espectro:
Consecuencia de mezclar diferentes secuencias ordenadas,correspondientes a la cuantización de cada acción Ij = 2π~nj .Universal: Característica de todos los sistemas integrables.
FLUCTUACIONES EN EL ESPECTRO
La distancia s entre cada dos niveles consecutivos si = Ei+1 − Ei ,normalizada a uno 〈s〉 = 1, sigue una distribución de PoissonP(s) = exp(−s) para todos los sistemas integrables de más de ungrado de libertad.
M. V. Berry and M. Tabor, Proc. R. Soc. Lond. A 356, 375 (1977).
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Universalidad en espectros caóticos
Un sistema no integrable no tiene bastantesconstantes de movimiento: H 6= H (I1, . . . , IN).No puede cuantizarse de la misma manera:E 6= H (2π~n1, . . . ,2π~nN).El espectro no es el resultado de mezclarsecuencias independientes −→ Correlaciones entreniveles.
FLUCTUACIONES EN EL ESPECTRO: CONJETURA BGSLa distancia s entre cada dos niveles consecutivos si = Ei+1 − Ei ,normalizada a uno 〈s〉 = 1, sigue una distribución de WignerP(s) = π
2 s exp(−π
4 s2) para todos los sistemas clásicamenteergódicos.
O. Bohigas, M. J. Gianonni y C. Schmidt, Phys. Rev. Lett. 52, 1 (1984).
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Universalidad en espectros caóticos
Un sistema no integrable no tiene bastantesconstantes de movimiento: H 6= H (I1, . . . , IN).No puede cuantizarse de la misma manera:E 6= H (2π~n1, . . . ,2π~nN).El espectro no es el resultado de mezclarsecuencias independientes −→ Correlaciones entreniveles.
FLUCTUACIONES EN EL ESPECTRO: CONJETURA BGSLa distancia s entre cada dos niveles consecutivos si = Ei+1 − Ei ,normalizada a uno 〈s〉 = 1, sigue una distribución de WignerP(s) = π
2 s exp(−π
4 s2) para todos los sistemas clásicamenteergódicos.
O. Bohigas, M. J. Gianonni y C. Schmidt, Phys. Rev. Lett. 52, 1 (1984).
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¿Por qué Wigner?
Perturbamos un sistema integrable: H = H0︸︷︷︸Integrable
+ V︸︷︷︸Caótico
Representación matricial.Base integrable: H0 |Ψi〉 = E0
i |Ψi〉:
Hij = 〈Ψi |H0∣∣Ψj⟩
+ 〈Ψi | V∣∣Ψj⟩
Hij =
E0
1 + V11 V12 · · · V1nV21 E0
2 + V22 · · · V2n...
.... . .
...Vn1 Vn2 · · · E0
n + Vnn
El espectro se obtiene diagonalizando Hij . Depende de cómo sonlos elementos Vij .
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¿Por qué Wigner?
TEORÍA DE MATRICES ALEATORIAS (TMA)Modelo estadístico para interacciones complejas. Desarrolladopara Física Nuclear.Representación matricial con elementos aleatorios.Físicamente, todas las interacciones son igualmente probables.
La TMA genera espectros con distribución de Wigner
Los sistemas cuánticos cuya dinámica clásica esergódica se comportan como si sus interacciones
fueran muy complejas
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¿Por qué Wigner?
TEORÍA DE MATRICES ALEATORIAS (TMA)Modelo estadístico para interacciones complejas. Desarrolladopara Física Nuclear.Representación matricial con elementos aleatorios.Físicamente, todas las interacciones son igualmente probables.
La TMA genera espectros con distribución de Wigner
Los sistemas cuánticos cuya dinámica clásica esergódica se comportan como si sus interacciones
fueran muy complejas
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 23 / 34
Dinámica en un sistema integrable: cruces de niveles
Cambio de los niveles al modificar λ:
H = ωa†a + ω0Jz +λ√N
[(a†J− + aJ+
)]
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5
E
λ
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Dinámica en un sistema integrable: cruces de niveles
Lo que un sistema “ve”:
H = ωa†a + ω0Jz +λ√N
[(a†J− + aJ+
)]
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5
E
λ
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 25 / 34
Dinámica en un sistema caótico: anticruces
Cambio de niveles al modificar λ:
H = ωa†a + ωoJz +λ
2√
N
[(a + a†
)(J+ + J−)
]
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5
E
λ
Las transiciones en un proceso λiλ(t)−−→ λf son más probables
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Dinámica en un sistema caótico: anticruces
Cambio de niveles al modificar λ:
H = ωa†a + ωoJz +λ
2√
N
[(a + a†
)(J+ + J−)
]
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5
E
λ
Las transiciones en un proceso λiλ(t)−−→ λf son más probables
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 26 / 34
Observables en mecánica cuántica
Evolución temporal del valor esperado
Condición inicial |Ψ(0)〉 =∑
n Cn |φn〉:
〈M〉 =∑i,j
C∗j Ci e−i(Ei−Ej)t/~︸ ︷︷ ︸Energías
⟨φj∣∣M |φi〉︸ ︷︷ ︸
Funciones de onda
Medida física 〈M〉 = limτ→∞1τ
∫ τ0 dt M(t).
〈M〉 =∑
i
|Ci |2 〈φi |M |φi〉
Cuánticamente, el sistema no olvida su condición inicial
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Observables en mecánica cuántica
Evolución temporal del valor esperado
Condición inicial |Ψ(0)〉 =∑
n Cn |φn〉:
〈M〉 =∑i,j
C∗j Ci e−i(Ei−Ej)t/~︸ ︷︷ ︸Energías
⟨φj∣∣M |φi〉︸ ︷︷ ︸
Funciones de onda
Medida física 〈M〉 = limτ→∞1τ
∫ τ0 dt M(t).
〈M〉 =∑
i
|Ci |2 〈φi |M |φi〉
Cuánticamente, el sistema no olvida su condición inicial
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Funciones de onda y observables físicos
Aunque no es posible universalizar, pues podemos “inventarnos”observables, M, con cualquier comportamiento. . . La representaciónde 〈φi |M |φi〉 suele ser irregular si el sistema es caótico.
A. Peres, Phys. Rev. Lett. 53, 1711 (1984).
Modelo de Dicke: ω = ω0 = 1, λ = 2.2, N = 10.
0
50
100
150
200
250
-10 -8 -6 -4 -2 0 2
<a+
a>
E
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Funciones de onda y observables físicos
Aunque no es posible universalizar, pues podemos “inventarnos”observables, M, con cualquier comportamiento. . . La representaciónde 〈φi |M |φi〉 suele ser irregular si el sistema es caótico.
A. Peres, Phys. Rev. Lett. 53, 1711 (1984).
Modelo de Dicke: ω = ω0 = 1, λ = 2.2, N = 10.
0
50
100
150
200
250
-10 -8 -6 -4 -2 0 2
<a+
a>
E
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 28 / 34
¿Memoria cuántica de la condición inicial?
0
50
100
150
200
250
-10 -8 -6 -4 -2 0 2
<a+
a>
E
〈a†a〉 =∑
i
|Ci |2 〈φi |a†a |φi〉 −→ Sistema no caótico, los detallesde la condición inicial importan
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¿Memoria cuántica de la condición inicial?
0
50
100
150
200
250
-10 -8 -6 -4 -2 0 2
<a+
a>
E
〈a†a〉 =∑
i
|Ci |2 〈φi |a†a |φi〉 −→ Sistema caótico, los detalles dela condición inicial no importan
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 30 / 34
¿Memoria cuántica de la condición inicial?
0
50
100
150
200
250
-10 -8 -6 -4 -2 0 2
<a+
a>
E
Eigenstate Thermalization HypothesisEn un sistema cuántico caótico, los detalles sobre la condición inicial,|Ci |2, son irrelevantes termodinámicamente debido a la aleatoriedadde 〈φi |M |φi〉.
M. Srednicki, Phys. Rev. E 50, 888 (1994).
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Obsevables y caos cuántico: modelo de Dicke
Dos condiciones iniciales distintas en la zona integrable
40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
<a+
a>
t
Trabajo en progreso. A. R. y C. Morales Lóbez.
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 32 / 34
Obsevables y caos cuántico: modelo de Dicke
Las mismas dos condiciones iniciales en la zona caótica
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
<a+
a>
t
Trabajo en progreso. A. R. y C. Morales Lóbez.
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 33 / 34
Resumen
El caos clásico es debido a sus ecuaciones diferenciales nolineales. La linealidad de la ecuación de Schrödinger impide elcaos en los mismos términos.
Fijado el Hamiltoniano, la dinámica siempre conserva informaciónsobre la condición inicial.
El espectro tiene propiedades estadísticas específicas en lossistemas caóticos.
Las transiciones entre niveles son más probables si hay caos.La información sobre el estado inicial se borra más fácilmente sicambio el Hamiltoniano.
En los autoestados de los sistemas caóticos, los observablesfluctúan aleatoriamente.
La información contenida en el estado inicial es irrelevante.
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 34 / 34