QUATRE TRIANGLES 50 problemes amb tetraedres
Ricard Peiró i Estruch
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
2
Problema 1 Siga el tetraedre regular ABCD.
Siga P el punt mig de l’aresta CD .
Determineu la proporció entre les àrees del tetraedre ABCP i el tetraedre regular ABCD.
Problema 2 El perímetre de la secció paral·lela a dues arestes que es creuen d’un tetraedre regular és constant. Calculeu el perímetre. Problema 3 En una piràmide triangular regular l’aresta lateral és igual a tres vegades l’aresta de la base. Calculeu l’angle diedre d’una aresta lateral. Problema 4 Proveu que els punts migs de les arestes d’un tetraedre regular són vèrtexs d’un octaedre regular. Calculeu la proporció entre els volums de l’octaedre i el del tetraedre. Problema 5 La base d’un tetraedre és un triangle rectangle isòsceles d’hipotenusa 8cm i l’aresta lateral sobre l’angle recte de la base és perpendicular a la base i mesura 5cm. Calculeu l’àrea i el volum del tetraedre.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
3
Problema 6 Un tetraedre està format per dos triangles equilàters de costat a i dos triangles rectangles isòsceles. Calculeu l’àrea i el volum. Problema 7
En la piràmide triangular regular ABCD l’àrea de la
secció que passa per l’aresta lateral SC i l’altura SO és
la meitat de l’àrea de la base
ABC de la piràmide.
L’aresta lateral és igual 21 . Determineu el volum de la
piràmide i la seua àrea.
Problema 8 Siga ABCS un tetraedre regular d’aresta 4.
Siga D un punt de l’aresta SC tal que 3:1DC:SD .
Determineu el volum del tetraedre ABDS. Problema 9 Siga el tetraedre regular ABCS d’aresta 6.
Siga P el punt mig de l’aresta SA .
Siga Q el punt mig de l’aresta AB .
Siga R el punt mig de l’aresta SC .
Determineu l’àrea del triangle
PQR .
Problema 10 La base d’una piràmide és un triangle equilàter de costat a. Una de les cares laterals, perpendicular al plànol de la base, també és un triangle equilàter. Determineu l’àrea i el volum de la piràmide.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
4
Problema 11 Una piràmide ABCS (S el vèrtex) triangular regular l’aresta de la base és 3 i l’altura 4.
Siga P el punt mig de l’aresta AS .
Calculeu la mesura de l’angle BPC .
Problema 12 Siga el tetraedre regular ABCD.
Siga P el punt mig de l’aresta AD.
Siga Q el centre de la cara
BCD .
Calculeu la proporció AB
PQ.
Problema 13 Determineu la proporció entre els volums d’un tetraedre regular i el seu dual (dual és aquest que té per vèrtex els centres de les cares del primer). Problema 14 Siga el tetraedre regular ABCD.
Siga P el punt mig de l’aresta AD.
Siga Q el punt mig de l’aresta BC .
Calculeu la proporció AB
PQ.
Problema 15 En una piràmide triangular regular l’angle diedre de la base és igual a .
Determineu l’angle format per dues arestes laterals en el vèrtex de la piràmide. Problema 16 L’altura d’una piràmide triangular regular és 4 vegades el radi de la circumferència inscrita a la base. El volum és 36. Determineu la mesura de l’aresta de la base: Problema 17
Una piràmide regular de base triangular té altura 6 i volum 372 .
Determineu el radi de l’esfera inscrita a la piràmide.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
5
Problema 18 Un plànol secant paral·lel a la base d’una piràmide regular triangular divideix per la meitat l’àrea lateral de la piràmide. Determineu la proporció entre els segments en què queda dividida l’altura de la piràmide pel plànol secant. Problema 19 En una piràmide triangular regular, per l’aresta de la base de longitud a, es traça una secció perpendicular a l’aresta lateral oposada. Determineu la superfície de la piràmide si el plànol secant divideix l’aresta lateral en la raó n:m comptant des del vèrtex de la piràmide. Problema 20 Considerem el sistema de referència afí
)1,0,0(e),0,1,0(e),0,0,1(e;O 321
Siguen els punts )0,0,a(A , )0,b,0(B , )c,0,0(C .
Siguen les àrees: OABSP , OACSQ , OBCSR ,
ABCSS .
Proveu que 2222 SRQP .
Problema 21 Siga un tetraedre qualsevol. a) Els segments que uneixen els punts migs de les arestes oposades s’intersecten en un punt b) La suma dels quadrats de les arestes és quatre vegades la suma dels quadrats dels segments que uneixen els punts migs de les arestes oposades. Problema 22
Les arestes d’una piràmide triangular que ixen del vèrtex A són perpendiculars a parelles i les seues mesures són a, b, c. Determineu el volum del cub inscrit en la piràmide tal que un dels seus vèrtexs és A.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
6
Problema 23 Siga el tetraedre regular ABCD d’aresta a.
Siga A’ la projecció de A sobre la base
BCD .
Siga 1A el punt mig del segment 'AA .
Proveu que el tetraedre BCDA1 té tres cares triangles
rectangles. Problema 24 La suma dels quadrats de totes les arestes d’una piràmide triangular regular és P. Determineu l’àrea màxima d’una cara lateral. Problema 25 a) Calculeu el volum màxim d’una piràmide regular triangular inscrita en una esfera de radi R. b) Calculeu el valor màxim de la suma de les arestes d’una piràmide regular triangular inscrita en una esfera de radi R. Problema 26 Siga el tetraedre ABCD.
Siguen I, J, K, L els punts migs de les arestes AB , CD , BC ,
AD, respectivament.
a) Demostreu que JK2DCAB .
b) Demostreu que per a cada punt O del segment KL
existeixen els punts M i M’ de les arestes AB , CD tal que P
és el punt mig del segment 'MM .
Problema 27
Siga la piràmide ABCS de base el triangle equilàter
ABC
La secció produïda en la piràmide ABCS per un plànol que passa pel vèrtexs S i A, i pel punt mig M de l’aresta de la base
BC és un triangle equilàter de costat 6cm. Calculeu l’àrea i el
volum de la piràmide. Problema 28 La suma de distàncies d’un punt interior d’un tetraedre regular a les cares és igual a l’altura del tetraedre. Problema 29
En el tetraedre regular ABCS, AD és la mitjana del triangle
ABC , E és el punt mig de l’aresta BS .
Determineu l’angle que formen les rectes AD, CE.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
7
Problema 30
En el tetraedre regular ABCS, AM és la mitjana del triangle
ABS .
Determineu l’angle que formen les rectes AM, CS. Problema 31 Siga ABCS un tetraedre regular.
Calculeu l’angle que formen l’aresta AB i la cara
ACS .
Problema 32
En el tetraedre regular ABCS, per la mitjana AD de la base
ABC i K el punt mig de
l’aresta SB , s’ha dibuixat un plànol. Determineu l’angle d’aquest plànol i la base
ABC .
Problema 33
Siga D el punt mig de l’aresta AS del tetraedre regular ABCS.
Siga E el punt mig de l’altura OS .
Determineu l’angle de les rectes CE i DO. Problema 34 Siga ABCD un tetraedre regular.
Siga M el punt mig de l’aresta BS .
Calculeu l’angle de la mitjana AM i l’aresta CS .
Problema 35
En la piràmide triangular ABCS la base
ABC és un triangle equilàter i les
cares
SAB i
SBC són perpendiculars a la base.
Siga l’aresta SB igual a l’aresta AB .
Siga O el baricentre de la base
ABC . Siga D el punt mig de l’aresta SC .
Calculeu l’angle que formen les rectes BD i SO.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
8
Problema 36 La base d’una piràmide triangular és un triangle equilàter de costat 1. Les altres arestes mesuren a. Determineu la secció de la piràmide, perpendicular a la base, d’àrea màxima. Problema 37 La perpendicular baixada des del baricentre de la base d’una piràmide triangular regular a l’aresta és d. Determineu el volum de la piràmide si l’angle diedre de l’aresta de la base és .
Problema 38
Les arestes del tetraedre ABCD són: 4AC ,
24ADAB , 6CDBC , 8BD .
Calculeu el seu volum. Problema 39 Una piràmide triangular regular està tallada per un plànol que passa per un vèrtex de la base i pels punts migs de les arestes laterals oposades. Determineu la raó entre l’àrea lateral i l’àrea de la base si sabem que el plànol secant és perpendicular a la cara oposada al vèrtex de la base del plànol. Problema 40 La base d’una piràmide és un triangle equilàter de costat a. Una de les cares laterals de la piràmide és perpendicular a la base i és un triangle isòsceles de costat b. Determineu l’àrea de la secció de la piràmide que és un quadrat. Problema 41 En una piràmide triangular regular l’aresta de la base és a. L’angle entre l’aresta de la base i una aresta lateral és .
Construïm la secció de la piràmide formada pel plànol que passa per una aresta de la base i és perpendicular a l’aresta lateral oposada. Calculeu la seua àrea.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
9
Problema 42 Un tetraedre regular d’aresta 20cm conté aigua fins una altura de 5cm. Calculeu el volum d’aigua.
Problema 43 Siga la piràmide triangular regular ABCP de base el triangle
equilàter
ABC tal que l’aresta de la base és 5.
Siga E un punt de l’aresta AP tal que l’aresta AP és
perpendicular al plànol BEC i a més a més, 2
7
AE
PE .
Calculeu la superfície de la piràmide.
Problema 44 Siga ABCS la piràmide triangular regular d’aresta de la base 6 i altura 8.
Siguen D, E punst de les arestes AB , AC ,
respectivament, tal que 5AEAD .
Determineu l’àrea de la secció de la piràmide que conté
DE i és perpendicular a la base. Problema 45 Siga el tetraedre ABCS.
Siguen els punts D, E, F sobre les arestes AB , AC i
AS , respectivament, tals que AD2BD ,
AE2CE , SF2AF .
Determineu la proporció entre els volums dels dos sòlids en què divideix el tetraedre ABCS el plànol que formen els punts D, E, F.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
10
Problema 46 En una piràmide triangular regular l’altura és igual a l’aresta de la base. Determineu l’angle que forma una aresta lateral i la base. Problema 47 En una piràmide regular triangular l’angle diedre de l’aresta de la base és .
Determineu l’angle que forma l’aresta lateral i la base. Problema 48 La perpendicular baixada des del baricentre de la base d’una piràmide triangular regular a l’aresta és d. Determineu el volum de la piràmide si l’angle l’aresta lateral i la base és .
Problema 49
Siga un con inscrit en un tetraedre regular. Calculeu la proporció entre el volum del con i del tetraedre. Problema 50
La base del tetraedre VABC és el triangle rectangle
ABC , º90A .
L’aresta VB és perpendicular al plànol de la base.
Tenim que dm5VB , dm4BA , dm3AC .
Sobre l’aresta BA agafem el punt P tal que xPB .
Pel punt P tracem un plànol perpendicular a l’aresta BA . Es demana determinar:
a) L’àrea de la secció que determina el plànol en el
tetraedre.
b) El valor de x a fi que aquesta àrea siga màxima.
c) El valor de l’àrea màxima.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
11
Problema 1 Siga el tetraedre regular ABCD.
Siga P el punt mig de l’aresta CD .
Determineu la proporció entre les àrees del tetraedre ABCP i el tetraedre regular ABCD. Solució:
Siga aAB aresta del tetraedre regular ABCD:.
L’àrea del tetraedre regular ABCD és:
3aa4
34S4S 22
ABCABCD
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
APC :
a2
3BPAP .
Siga M el punt mig de l’aresta AB .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AMP :
a2
2a
2
1a
2
3MP
22
.
L’àrea del tetraedre ABCP és igual a la suma de les àrees dels triangles
ABC ,
APC ,
BPC i
APB :
22APBAPCABCABCP a
4
232
2
a2
2a
2
a2
3a
2
1
2a4
3SS2SS
.
La proporció entre les àrees del tetraedre ABCP i el tetraedre regular ABCD és:
7041.012
66
3a
a4
232
S
S2
2
ABCD
ABCP
.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
12
Problema 2 El perímetre de la secció paral·lela a dues arestes que es creuen d’un tetraedre regular és constant. Calculeu el perímetre. Solució:
Siga ABCD el tetraedre regular d’aresta aAB .
Siga PQRS la secció del tetraedre QS,PS paral·lels a AC ,
RS,PQ paral·lels a BD .
AC, BD són arestes que es creuen.
Siga APx , xaPD .
APQ , és un triangle equilàter, aleshores:
xAPPQ .
PSD , és un triangle equilàter, aleshores:
xaPDPS .
El perímetre de la secció és:
a2xax2PSPQ2p .
El perímetre de la secció és constant i igual al doble de l’aresta del tetraedre.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
13
Problema 3 En una piràmide triangular regular l’aresta lateral és igual a tres vegades l’aresta de la base. Calculeu l’angle diedre d’una aresta lateral. Solució:
Siga la piràmide recta ABCS, on
ABC és un triangle equilàter.
Siga aAB , a3AS .
Siga P de l’aresta AS tal que ASBP .
L’angle diedre que cerquem és BPC .
Siga M el punt mig de l’aresta AB .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle
AMS :
a2
35a
2
1)a3(MS
2
2
.
Els triangles rectangles
AMS ,
APB són semblants i la raó és 3:1.
Aleshores, a6
35MS
3
1PB .
Aplicant el teorema del cosinus al triangle
BPC :
cos
6
35
6
352
6
35a
6
35a
22
2 .
Simplificant:
35
17cos , "27'56º60
35
17arccos .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
14
Problema 4 Proveu que els punts migs de les arestes d’un tetraedre regular són vèrtexs d’un octaedre regular. Calculeu la proporció entre els volums de l’octaedre i el del tetraedre. Solució: Els punts migs de les arestes que formen les cares formen 4 triangles equilàters de costat la meitat de l’aresta. Els punts migs de les arestes que s’intersecten en un vèrtex formen 4 triangles equilàters de costat la meitat de l’aresta. El poliedre resultant està format per 8 cares triangles equilàters iguals 6 vèrtexs i cada vèrtex d’índex 4. El poliedre és un octaedre regular. El truncament del tetraedre per la meitat de les arestes separa del tetraedre 4 tetraedres regular d’aresta la meitat de l’aresta del tetraedre inicial. Cadascun dels 4 tetraedres té per volum la vuitena part del tetraedre inicial ja que estan en proporció 1:2. Aleshores el volum de l’octaedre és la meitat del volum tetraedre. Problema Proveu que els punts migs de les arestes d’un tetraedre són vèrtexs d’un octaedre tal que les arestes oposades són iguals i paral·leles i el volum del qual és igual a la meitat del volum del tetraedre.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
15
Problema 5 La base d’un tetraedre és un triangle rectangle isòsceles d’hipotenusa 8cm i l’aresta lateral sobre l’angle recte de la base és perpendicular a la base i mesura 5cm. Calculeu l’àrea i el volum del tetraedre. Solució:
Siga el tetraedre de base
ABC , º90A , 8BC .
Siga 5AD , º90DACDAB .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle isòsceles
ABC :
24ACAB .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
ABD :
57CDBD .
El triangle
BCD és isòsceles.
Siga M el punt mig de l’aresta BC .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
CMD :
41DM .
L’àrea del tetraedre ABCD és:
BCDABCABDABCD SSS2S .
2
DMBC
2
AB
2
ADAB2S
2
ABCD
.
2ABCD cm90.6941416220S .
El volum del tetraedre és:
ADS3
1V ABCABCD .
3ABCD cm66.26
3
80516
3
1V .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
16
Problema 6 Un tetraedre està format per dos triangles equilàters de costat a i dos triangles rectangles isòsceles. Calculeu l’àrea i el volum. Solució:
Siga el tetraedre ABCD tal que les cares
ABC ,
ACD
són triangles equilàters de costat a. Siguen
ABD ,
BCD
les cares que són triangles rectangles isòsceles.
aCDADACBCAB .
º90BCDBAD .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
isòsceles
ABD :
2aAD .
L’àrea del tetraedre és:
22
2ABDaBCABCD a
2
13
2
a2a
4
32S2S2S
.
Siga P la projecció de C sobre la base
ABC .
Siga M el punt mig de l’aresta AC .
M pertany al segment PB .
Siga hDP altura del tetraedre. Siga xPM .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AMB :
a2
3DMBM .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
PMD :
22
2
hxa2
3
(1)
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
PBD :
2
22
ha2
3x2a
(2)
Considerem el sistema format per les expressions (1) (2):
2222
222
hax3a4
3xa2
hxa4
3
. La solució és
a3
6h
a6
3x
.
El volum del tetraedre és:
32ABCABCD a
12
2a
3
6a
4
3
3
1hS
3
1V .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
17
Problema 7 En la piràmide triangular regular ABCD l’àrea de la
secció que passa per l’aresta lateral SC i l’altura SO és
la meitat de l’àrea de la base
ABC de la piràmide.
L’aresta lateral és igual 21 . Determineu el volum de la
piràmide i la seua àrea. Solució:
Siga ABa aresta de la base
ABC (triangle equilàter).
Per ser la piràmide regular el peu de l’altura SO , és el baricentre del triangle equilàter
ABC . Siga M el punt mig de l’aresta AB .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
BMC :
a2
3CM . Aplicant la propietat del baricentre O:
a3
3CM
3
2CO .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
COS :
2
22
a3
121a
3
321SO
.
L’àrea del triangle
CMS (secció del plànol que formen SC i l’altura SO és:
22CMS a63a
4
1a
3
121a
2
3
2
1SOCM
2
1S .
L’àrea de la base
ABC és: 4
3aS
2
ABC .
Com que l’àrea del triangle
CMS és la meitat de l’àrea del triangle
ABC :
4
3a
2
1a63a
4
1 22 . Resolent l’equació:
6a . 3SO .
El volum de la piràmide ABCS és: 3934
36
3
1SOS
3
1V
2
ABC .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AMS :
323212
a21SM 2
22
.
L’àrea de la piràmide ABCS és: 3272
3263
4
36S3SS
2
ABSABCABCS
.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
18
Problema 8 Siga ABCS un tetraedre regular d’aresta 4.
Siga D un punt de l’aresta SC tal que 3:1DC:SD .
Determineu el volum del tetraedre ABDS. Solució:
3:1DC:SD , 4SC , Aleshores:
3DC .
El volum del tetraedre ABDS és igual al volum del tetraedre regular ABCS menys el volum del tetraedre ABCD.
Siga SG l’altura del tetraedre regular ABCS. G és el baricentre de la cara base.
Siga M el punt mig de l’aresta AB .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AMC :
32CM .
Aplicant la propietat del baricentre G.
33
4CM
3
2CG .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
CGS :
63
4
3
344SG
2
2
.
El volum del tetraedre regular ABCS és:
23
16
3
64
4
34
3
1SGS
3
1V
2
ABCABCS .
Els triangles rectangles
CGS ,
CHD són semblants i la
raó de semblança és 3:4 , aleshores:
6SG4
3DH .
El volum del tetraedre ABCD és:
2464
34
3
1DHS
3
1V
2
ABCABCD .
El volum del tetraedre ABDS és:
23
4242
3
16VVV ABCDABCSABCD .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
19
Problema 9 Siga el tetraedre regular ABCS d’aresta 6.
Siga P el punt mig de l’aresta SA .
Siga Q el punt mig de l’aresta AB .
Siga R el punt mig de l’aresta SC .
Determineu l’àrea del triangle
PQR .
Solució:
PQ és paral·lela mitjana del triangle
ABS , 3SB2
1PQ .
PR és paral·lela mitjana del triangle
ACS . 3AC2
1PR .
L’angle RPQ és igual a l’angle que formen AC i SB que és recte.
Aleshores, el triangle
PQR és rectangle i isòsceles.
2
9PQ
2
1S
2
PQR .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
20
Problema 10 La base d’una piràmide és un triangle equilàter de costat a. Una de les cares laterals, perpendicular al plànol de la base, també és un triangle equilàter. Determineu l’àrea i el volum de la piràmide. Solució:
Siga la piràmide ABCD de base
ABC triangle equilàter, aAB .
Siga
ABD la cara lateral perpendicular a la base i triangle equilàter.
L’àrea dels triangles equilàters
ABC ,
ABD és:
4
3aSS
2
ABDABC .
Siga M el punt mig de l’aresta AB . Aplicant el teorema de
Pitàgores al triangle rectangle
AMD :
a2
3CMDM .
a2
3DM és altura de la piràmide.
El volum és:
32
ABCABCD a8
1a
2
3
4
3a
3
1DMS
3
1V .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle isòsceles
DMC :
a2
62CMCD .
Els triangle
BCD ,
ACD són iguals i isòsceles.
Siga N el punt mig de l’aresta CD .
a4
6CN . º90BNC . Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
BNC :
a4
10a
4
6aBN
2
2
.
L’àrea dels triangles
BCD ,
ACD és:
2ACDBCD a
8
15
2
a4
10a
2
6
2
BNCDSS
.
L’àrea de la piràmide és:
15324
aa
8
152a
4
32S2S2S
222
BCDABCABCD .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
21
Problema 11 Una piràmide ABCS (S el vèrtex) triangular regular l’aresta de la base és 3 i l’altura 4.
Siga P el punt mig de l’aresta AS .
Calculeu la mesura de l’angle BPC .
Solució:
La base
ABC és un triangle equilàter de costat 3AB .
Siga G el baricentre del triangle
ABC .
L’altura de la piràmide és 4SG .
Siga M el punt mig de l’aresta BC .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AMB :
2
33AM .
Aplicant la propietat del baricentre G:
3AM3
2AG .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AGS :
1934AS2
2 .
BSAS
La mitjana BP del triangle
ABS mesura: 2
ASAB2BS2BP
222
:
2
37
2
1992192BS
.
Siga BPC , aplicant el teorema del cosinus al triangle
BPC :
cos
2
37
2
372
2
37
2
373
22
2 . Simplificant:
37
19cos .
"7'6º5937
19arccos .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
22
Problema 12 Siga el tetraedre regular ABCD.
Siga P el punt mig de l’aresta AD.
Siga Q el centre de la cara
BCD .
Calculeu la proporció AB
PQ.
Solució:
Siga ABa aresta del tetraedre regular.
Siga M el punt mig de l’aresta BC .
a2
3DMAM .
Siga ADM .
Aplicant el teorema del cosinus al triangle
AMD :
cosaa
2
32aa
2
3a
2
3 2
22
. Simplificant:
3
3cos .
Aplicant la propietat del baricentre Q del triangle
BCD :
a3
3DM
3
2DQ .
Aplicant el teorema del cosinus al triangle
PQD :
cosa
3
3
2
a2a
3
3
2
aPQ
222
3
3a
3
3
2
a2a
3
3
2
aPQ
222
.
Simplificant:
a2
1PQ .
2
1
AB
PQ .
Notem que el triangle
DPQ és isòsceles, aleshores, els triangles
DPQ ,
AMD són
semblants i la raó de semblança és 3
3
AM
PQ .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
23
Problema 13 Determineu la proporció entre els volums d’un tetraedre regular i el seu dual (dual és aquest que té per vèrtex els centres de les cares del primer). Solució:
Siga el tetraedre regular ABCD d’aresta ABa .
Siga PQRS el tratraedre dual, P centre de la cara
ABD i Q
centre de la cara
BCD .
Els dos tetraedres regulars són semblants, la proporció entre els volums és el cub de la proporció de les seues arestes.
Siga M el punt mig de l’aresta AB .
Siga N el punt mig de l’aresta BC .
MN és paral·lela mitjana del triangle
ABC ,
aleshores:
2
aMN .
Els triangles
MDN ,
PDQ són semblants.
Per la propietat del baricentre P del triangle
ABD .
3
2
DM
DP , aleshores:
3
2
MN
PQ .
Per tant, a3
1
2
a
3
2PQ .
27
1
3
1
AB
PQ
S
V33
ABCD
PQRS
.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
24
Problema 14 Siga el tetraedre regular ABCD.
Siga P el punt mig de l’aresta AD.
Siga Q el punt mig de l’aresta BC .
Calculeu la proporció AB
PQ.
Solució:
Siga ABa aresta del tetraedre regular.
El peu de l’altura del tetraedre regular sobre la base
ABC és el baricentre G del
triangle equilàter.
Siga DAQ .
a2
3AQ .
Aplicant la propietat del baricentre G:
a3
3AQ
3
2AG .
Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle
AGD ;
3
3
AD
AGcos .
Aplicant el teorema del cosinus al triangle
APQ :
cosa
3
3
2
a2a
3
3
2
aPQ
222
3
3a
2
3
2
a2a
2
3
2
aPQ
222
.
Simplificant:
a2
2PQ .
2
2
AB
PQ .
Notem que el triangle
APQ és rectangle ja que 222
PQAPAQ .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
25
Problema 15 En una piràmide triangular regular l’angle diedre de la base és igual a .
Determineu l’angle format per dues arestes laterals en el vèrtex de la piràmide. Solució: La piràmide és triangular regular, és a dir, la base és un triangle equilàter i és recta.
Siga ABCD la piràmide triangular regular, de base
ABC triangle equilàter.
Siga G el peu de l’altura. G és el baricentre del triangle
ABC .
Siga ABa aresta de la base
Siga M el punt mig de l’aresta AB de la base .
2
aAM .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AMC :
a2
3CM .
Aplicant la propietat de la bisectriu:
a6
3CM
3
1GM .
Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle
DGM :
cos
a6
3
DM .
Siga ADM .
Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle
ADM
cos3
cos6
3
2
a
DM
AMtg .
cos3arctg .
L’angle format per dues arestes laterals en el vèrtex de la piràmide és:
cos3arctg22 .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
26
Problema 16 L’altura d’una piràmide triangular regular és 4 vegades el radi de la circumferència inscrita a la base. El volum és 36. Determineu la mesura de l’aresta de la base: Solució:
Siga ABCS la piràmide de base el triangle equilàter
ABC .
Siga M el punt mig de l’aresta AB .
Siga O l’incentre del triangle
ABC .
Siga OMr radi de la circumferència inscrita al triangle
ABC .
L’altura de la piràmide és r4OS .
Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle
AMO :
3rAM .
3r2AB .
El volum de la piràmide és:
OS4
3AB
3
1V
2
.
36r4
4
33r2
3
12
.
33r3 . Resolent l’equació:
3r .
L’aresta de la base mesura:
63r2AB .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
27
G
3 1
Resultado: 1,73
M
D
O
T
G
C
BA
M
G
3 1
Resultado: 1,73
M
D
O
T
G
C
BA
M
Problema 17
Una piràmide regular de base triangular té altura 6 i volum 372 .
Determineu el radi de l’esfera inscrita a la piràmide. Solució: La piràmide regular aleshores, és recta i la base un triangle equilàter.
Siga la piràmide ABCD de base el triangle equilàter
ABC .
Siga M el punt mig de l’aresta BC .
L’altura de la piràmide s’intersecta en el baricentre G del
triangle equilàter
ABC .
El centre de O l’esfera pertany a l’altura DG
El punt de tangència T de l’esfera i la cara
BCD pertany a
l’apotema DM .
OT és perpendicular a l’apotema DM .
Siga rOGOT radis de l’esfera.
Siga la secció
GMD de la piràmide que conté l’altura i l’apotema de la cara
BCD .
Siga ABa , aresta de la base.
hS3
1V bp .
37264
3a
3
1V
2
p . Resolent l’equació:
12a .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
ABM:
36AM .
Per la propietat del baricentre:
32AM3
1GM .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
DGM :
22 326DM .
34DM .
Els triangles
DGM ,
DTO són semblants. Aplicant el teorema de Tales:
r6
r
34
32
. Resolent l’equació:
2r .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
28
Problema 18 Un plànol secant paral·lel a la base d’una piràmide regular triangular divideix per la meitat l’àrea lateral de la piràmide. Determineu la proporció entre els segments en què queda dividida l’altura de la piràmide pel plànol secant. Solució:
Siga la piràmide ABCD de base el triangle equilàter
ABC .
El peu de l’altura és el baricentre G del triangle
ABC .
El plànol secant talla les arestes laterals de la piràmide en
els punts A’, B’, C’, i la l’altura DG en el punt G’.
Volem calcular G'G
'DG.
Els triangles
ABD ,
D'B'A són semblants i la raó de les àrees és 2:1.
Aleshores, la raó dels costats és 1:2 .
Siga M el punt mig de l’aresta AB .
'B'A talla DM en el punt P.
1:2DP:DM .
Els triangles
DGM ,
P'DG són semblants i la raó de semblança és:
2DP
DM .
Aleshores, 2'DG
DG .
2
2
DG
'DG .
21
2
21
2
2
DG
'DG1
DG
'DG
'DGDG
'DG
G'G
'DG
.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
29
Problema 19 En una piràmide triangular regular, per l’aresta de la base de longitud a, es traça una secció perpendicular a l’aresta lateral oposada. Determineu la superfície de la piràmide si el plànol secant divideix l’aresta lateral en la raó n:m comptant des del vèrtex de la piràmide. Solució:
Siga la piràmide regular triangular ABCS, d’aresta de la base aAB
Siga el triangle
ABP secció per l’aresta AB perpendicular a l’aresta lateralSC .
Siga mxSP , nxPC . x)nm(SCSB .
Siga M el punt mig de l’aresta AB .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
BMC :
a2
3MC
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
MPC :
2222xna
4
3MP (1)
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
BMS :
2222a
4
1x)nm(MS (2)
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
MPS :
2222xmMSMP (3)
Substituint l’expressió (2) en l’expressió (3):
222222xma
4
1x)nm(MP (4)
Igualant les expressions (1) (4):
2222222 xma4
1x)nm(na
4
3 .
Resolent l’equació:
)nm(n2
ax
22
(5)
Substituint l’expressió (5) en l’expressió (2):
222
22a
n4
nm2a
4
1
)nm(n2
a)nm(MS
(6)
La superfície total de la piràmide ABCS és:
2
MSAB3SS3SS ABCABSABCABCS
.
n
nm233
4
a
2
n
nm2
2
aa
3a4
3S
22
ABCS .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
30
Problema 20 Considerem el sistema de referència afí
)1,0,0(e),0,1,0(e),0,0,1(e;O 321
Siguen els punts )0,0,a(A , )0,b,0(B ,
)c,0,0(C .
Siguen les àrees: OABSP , OACSQ ,
OBCSR , ABCSS .
Proveu que 2222 SRQP .
Solució:
OAB ,
OAC ,
OBC són triangles rectangles.
ab2
1SP OAB .
ac2
1SQ OAC .
bc2
1SR OBC .
222222 )bc()ac()ab(4
1RQP .
)0,b,a(AB , )c,0,a(AC .
)ab,ac,bc(
c0a
0ba
eee
ACAB
321
.
222 )ab()ac()bc()ab,ac,bc(ACAB .
222ABC )bc()ac()ab(
2
1ACAB
2
1SS .
2222 )bc()ac()ab(4
1S .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
31
Problema 21 Siga un tetraedre qualsevol. a) Els segments que uneixen els punts migs de les arestes oposades s’intersecten en un punt b) La suma dels quadrats de les arestes és quatre vegades la suma dels quadrats dels segments que uneixen els punts migs de les arestes oposades. Solució: a)
Siguen K i L els punts mig de les arestes oposades AD i BC ,
respectivament.
Siguen M i N els punts mig de les arestes oposades AB i CD , respectivament.
KN és paral·lela mitjana del triangle
ACD .
ML és paral·lela mitjana del triangle
ACB .
Aleshores, MLNK és un paral·lelogram.
Les diagonals KL , MN del paral·lelogram s’intersecten en el punt mig dels dos segments. Anàlogament, MINJ és un paral·lelogram.
Per tant, Les diagonals IJ , MN del paral·lelogram
s’intersecten en el punt mig dels dos segments. Aleshores, els segments que uneixen els punts migs de les arestes oposades s’intersecten en un punt, a més a més, aquest punt és el punt mig dels tres segments. b) Solució per a tetraedre regular
Siga el tetraedre regular ABCD d’aresta aAB
Siga DH altura del tetraedre.
Siga M el punt mig de l’aresta AB .
Siga N el punt mig de l’artesta CD oposada a l’aresta AB .
H és el baricentre del triangle equilàter
ABC .
2
3aCM .
Aplicant la propietat del baricentre: 3
3aCM
3
2CH .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
CHD :
3
2aDH
Siga P la projecció de N sobre el triangle
ABC .
Els triangles
CHD ,
CPN són semblants i de raó 2:1.
Aplicant el teorema de Tales: 3
2
2
aDN
2
1PN .
3
3aMC
3
2HPMHMP .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
32
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
MPN : 22
a2
1MN .
La suma dels quadrats de les arestes del tetraedre regular ABCD és: 22a6AB6 .
La suma dels quadrats dels tres segments que uneixen els punts migs les arestes del
tetraedre equilàter ABCD és: 222
a2
3a
2
13MN3 .
Notem que MN34AB62
.
Solució general Sense pèrdua de generalitat, siga el tetraedre ABCD amb les següents coordenades cartesianes.
)0,0,0(A , )0,0,b(B , )0,c,a(C , )f,e,d(D .
)0,0,b(AB , )0,c,a(AC , )0,c,ba(BC ,
)f,e,bd(BD , )f,e,d(AD , )f,ce,ad(CD .
22bAB .
222caAC .
ab2cbaBC 2222 .
bd2fedbBD 22222 .
2222fedAD .
ce2ad2fedaCD 22222 .
)ceadbdab(2fedcba3CDADBDBCACAB 222222222222
Siguen I i J els punts mig de les arestes oposades AC i BD , respectivament.
Les seues coordenades són:
0,
2
c,
2
aI ,
2
f,
2
e,
2
dbJ ,
2
f,
2
ce,
2
adbIJ .
adabcebd(2fedcb4
1IJ 222222
.
Siguen K i L els punts mig de les arestes oposades AD i BC , respectivament.
Les seues coordenades són:
2
f,
2
e,
2
dK ,
0,
2
c,
2
baL ,
2
f,
2
ec,
2
dbaKL .
cebdadab(2fedcba4
1KL 2222222
.
Siguen M i N els punts mig de les arestes oposades AB i CD , respectivament.
Les seues coordenades són:
0,0,
2
bM ,
2
f,
2
ec,
2
daN ,
2
f,
2
ec,
2
bdaMN .
cebdabad(2fedcba4
1MN 2222222
.
)ceadbdab(2fedcba34
1MNKLIJ 222222222
.
)ceadbdab(2fedcba3MNKLIJ4 222222222
.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
33
Problema 22 Les arestes d’una piràmide triangular que ixen del vèrtex A són perpendiculars a parelles i les seues mesures són a, b, c. Determineu el volum del cub inscrit en la piràmide tal que un dels seus vèrtexs és A. Solució:
Siga la piràmide triangular APQR, aAP , bAQ , cAR .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
APQ : 22 baPQ .
Siga K en l’aresta AR vèrtex del cub inscrit en la piràmide.
Siga xAK , aresta del cub.
Siga 2xKL diagonal de la cara superior del cub.
La recta RL talla l’aresta PQ en el punt M.
º45PAM . AM és bisectriu de PAQ .
Aplicant la propietat de la bisectriu al triangle
APQ :
b
PMba
a
PM 22 .
22 baba
aPM
.
Aplicant el teorema dels sinus al triangle
APM :
APMsin
AM
º45sin
PM
.
22
22
ba
b
AM
2
2
baba
a
.
ba
2abAM
.
Els triangles rectangles
MAR ,
LKR són semblants, aplicant el teorema de Tales:
c
ba
2ab
xc
2x
. Resolent l’equació:
cabcab
abcx
.
El volum del cub és:
3
3cub
cabcab
abcxV
.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
34
Problema 23 Siga el tetraedre regular ABCD d’aresta a.
Siga A’ la projecció de A sobre la base
BCD .
Siga 1A el punt mig del segment 'AA .
Proveu que el tetraedre BCDA1 té tres cares triangles
rectangles. Solució:
Els triangles
B'AA ,
C'AA ,
D'AA són rectangles i
d’hipotenusa a, aleshores:
'AAa'DA'CA'BA 2 .
Aleshores, A’ és el circumcentre (també el baricentre) del triangle equilàter
BCD .
Siga M el punt mig de l’aresta CD .
a2
3BM .
Per la propietat del baricentre:
a3
3BM
3
2'BA .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
A'BA :
a3
2'AA .
a3
2
2
1'AA
2
1A'A 1 .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle
rectangle
1A'BA :
a2
2
3
2
2
1
3
3BA
22
1
.
a2
2DACABA 111 .
Notem que 22
1
2
1 BCCABA . Aleshores, el
triangle
CBA1 és rectangle.
Aleshores, el tetraedre BCDA1 té tres cares triangles rectangles.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
35
Problema 24 La suma dels quadrats de totes les arestes d’una piràmide triangular regular és P. Determineu l’àrea màxima d’una cara lateral. Solució:
Siga ABCD la piràmide triangular de base
ABC triangle equilàter.
Siga aAB aresta de la base. Siga bAD aresta lateral.
Per hipòtesi Pba3 22 .
Siga O el baricentre de la base
ABC . Siga M el punt mig de l’aresta AB
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AMC :
a2
3CM . Aplicant la propietat del baricentre:
a3
3CM
3
2CO , a
6
3CM
3
1OM .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
COD : 2
22a
3
3bOD
.
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
DOM : 2
22a
6
3ODDM
.
2222a
12
1a
3
1bSM .
222a
4
1bDM .
L’àrea de la cara lateral
ABD és:
22 a4
1ba
2
1)b,a(S .
22 a3
Pb .
22 a4
1a
3
Pa
2
1)a(S .
42 a4
5a
3
P
2
1)a(S , 0a .
L’àrea màxima s’assoleix en el màxim de la funció 42 a
4
5a
3
P)a(f .
Derivem la funció f(a):
3a5a3
P2)a('f .
0)a('f , 0a5a3
P2 3 . Resolent l’equació: 15
P2a .
2a153
P2)a("f . 0
3
P14
5
P215
3
P2
15
P2"f
.
Aleshores, el màxim s’assoleix quan 15
P2a .
L’àrea màxima és: 30
5P
15
P2
4
5
15
P2
3
P
2
1
15
P2S
42
.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
36
Problema 25 a) Calculeu el volum màxim d’una piràmide regular triangular inscrita en una esfera de radi R. b) Calculeu el valor màxim de la suma de les arestes d’una piràmide regular triangular inscrita en una esfera de radi R. Solució: Siga l’esfera de centre O i radi R
Siga la piràmide ABCS de base el triangle equilàter
ABC
Siga aAB , bCSBSAS .
Siga G el baricentre.
ROAOS . Siga AOS .
Aplicant el teorema del cosinus al triangle
AOS
cosR2RRb 2222 .
cos22Rb .
a3
3AG .
Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle
AOG .
sin3Ra .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AGS : 2
222sin3R
3
3cosR2R2SG
.
2sincos22RSG
a) El volum de la piràmide ABCS és:
SGa4
3
3
1V 2 .
222 sincos22RsinR34
3
3
1)(V , ,0 .
6443 sincossin2sin2R4
3)(V .
624
552333
sincossin2sin22
cossin6sin2cossin8cossin8R
4
3)('V .
0)('V .
0cossin6sin2cossin8cossin8 55233 . Simplificant:
0cossin3sincos4cos4 222 .
0cossin3sincos4cos4 222 .
01coscos5cos3 23 .
3
1cos
.
Estudiant el signe de la primera derivada:
3
1cos
és un màxim relatiu estricte.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
37
3
62ba , és a dir, és un tetraedre regular.
El volum màxim és:
3R27
38
3
1arccosV
.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
y
Gràfica per a 1R , 22 sincos22sin4
3y .
b) La suma de les arestes és:
b3a3)b,a(f .
cos22RsinR33)(f , ,0 .
cos12
sin2cos3R3)('f
0)('f .
0cos12
sin2cos3
.
cos1
sin
2
1cos3
22 .
01cos7cos3 23 . Resolent l’equació:
3
1cos
,
2
1cos .
La solució 2
1cos no és solució de 0
cos12
sin2cos3
.
Estudiant el signe de la primera derivada:
3
1cos
és un màxim relatiu estricte.
3
62ba , és a dir, és un tetraedre regular.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
38
La suma màxima és:
R643
1arccosf
.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00
2
4
6
8
10
x
y
Gràfica per a 1R , xcos22xsin33y .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
39
Problema 26 Siga el tetraedre ABCD.
Siguen I, J, K, L els punts migs de les arestes AB , CD , BC ,
AD, respectivament.
a) Demostreu que JK2DCAB .
b) Demostreu que per a cada punt O del segment KL
existeixen els punts M i M’ de les arestes AB , CD tal que P
és el punt mig del segment 'MM . Solució: a)
KBLKALAB (1)
KCLKDLDC (2)
Sumant ambdues expressions:
JK2KCKBDLALDCAB (3)
Per ser L punt mig del segment AD, ODLAL .
Per ser K punt mig del segment BC , OKCKB .
Aleshores, JK2DCAB .
b)
Si P pertany al segment KL , existeix 1,0 tal que KLKP .
Siga M un punt de l’aresta AB , existeix 1,0 tal que BABM .
Siga M’ un punt de l’aresta CDB , existeix 1,0 tal que CD'CM .
Vegem que existeixen 1,0. tal que P és el punt mig del segment 'MM , és a dir,
O'PMPM .
BMKBPKPM (4)
'CMKCPK'PM (5)
Sumant ambdues expressions:
'CMBMKCKBPK2'PMPM (6)
'CMBM0PK2'PMPM (7)
'CMBMPK2'PMPM (8)
CDBALK2'PMPM (9)
Aplicant l’apartat a)
CDBACDAB'PMPM (10)
CD)(BA)('PMPM (11)
O'PMPM si 0CD)(BA)( .
Els vectors CD,BA són linealment independents, aleshores:
.
Per tant si
, P és el punt mig del segment 'MM .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
40
Problema 27
Siga la piràmide ABCS de base el triangle equilàter
ABC
La secció produïda en la piràmide ABCS per un plànol que passa pel vèrtexs S i A, i pel punt mig M de l’aresta de la base
BC és un triangle equilàter de costat 6cm. Calculeu l’àrea i el
volum de la piràmide. Solució:
6MSASAM .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AMB :
34CSBCBSACAB .
Siga O el punt mig del segment AM.
OS és l’altura de la piràmide ABCS.
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AOS :
33OS .
El volum de la piràmide és:
32
ABCS cm3633344
3
3
1V .
Notem que el triangle
BCS és equilàter de costat 34BC
.
Els triangles
ABS ,
ACS són iguals.
Siga N el punt mig de l’aresta AS .
3AN , 34AC
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
ANC :
39CN .
L’àrea del triangle isòsceles
ACS és:
3962
1SACS
L’àrea de la piràmide ABCDS és:
22
ACSABCABCDS cm04.79396344
32S2S2S
.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
41
Problema 28 La suma de distàncies d’un punt interior d’un tetraedre regular a les cares és igual a l’altura del tetraedre. Solució: Siga el tetraedre regular ABCD. Siga P un punt interior al tetraedre.
Siga A’ la projecció de P sobre la cara
BCD .
Siga B’ la projecció de P sobre la cara
ACD .
Siga C’ la projecció de P sobre la cara
ABD .
Siga D’ la projecció de P sobre la cara
ABC .
Siga O la projecció de D sobre la cara
ABC .
L’altura del tetraedre ABCD és OD .
El volum del tetraedre ABCD és:
ODS3
1V ABCABCD .
El volum del tetraedre ABCD és igual a la suma dels volums dels tetraedres ABCP, ABDP, ACDP i BCDP.
BCDPACDPABDPABCPABCD VVVVV .
'PAS3
1'PBS
3
1'PCS
3
1'PBS
3
1V BCDACDABDABCABCD .
'PA'PB'PC'PBS3
1V ABCABCD .
Aleshores:
ODS3
1'PA'PB'PC'PBS
3
1ABCABC .
Per tant, OD'PD'PC'PB'PA .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
42
Problema 29
En el tetraedre regular ABCS, AD és la mitjana del triangle
ABC , E és el punt mig de l’aresta BS .
Determineu l’angle que formen les rectes AD, CE. Gúsiev, problema 657.
Solució:
Siga aAB aresta del tetraedre regular.
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
ADB :
a2
3AD .
a2
3ADCE .
Pel punt D tracem una recta paral·lela a la recta CE que
talla l’aresta BS en el punt F.
Els triangles
BCE ,
BDF són semblants i de raó 2:1.
Aleshores, a4
3CE
2
1DF .
L’angle que formen les rectes AD i CE és igual a l’angle ADF .
Aplicant el teorema del cosinus al triangle
ABF :
º60cos4
aa2
4
aaAF
2
22
.
22a
16
13AF .
Aplicant el teorema del cosinus al triangle
ADF
cosBFAD2BFADAF222
cosa
2
3a
2
32a
4
3a
2
3
16
1322
.
6
1cos . "21'24º80
6
1arccos .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
43
Problema 30
En el tetraedre regular ABCS, AM és la mitjana del triangle
ABS
. Determineu l’angle que formen les rectes AM, CS. Gúsiev, problema 662. Solució:
Siga aAB aresta del tetraedre regular.
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
ABM:
a2
3AM .
Pel punt M tracem una recta paral·lela a la recta CS que talla l’aresta
BC en el punt N.
Els triangles
BCS ,
BNM són semblants i de raó 2:1.
Aleshores, a2
1CS
2
1BN .
L’angle que formen les rectes AM i CS és igual a l’angle AMN .
a2
3AMAN .
Aplicant el teorema del cosinus al triangle
AMN :
cosMNAM2MNAMAN222
.
cosa
2
1a
2
32a
2
1a
2
3a
2
3222
.
6
3cos . "17'13º73
6
3arccos .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
44
Problema 31 Siga ABCS un tetraedre regular.
Calculeu l’angle que formen l’aresta AB i la cara
ACS .
Gúsiev, problema 637. Solució:
Siga M el punt mig de l’aresta CS .
La projecció de aresta AB sobre
ACS pertany a la recta AM.
L’angle que cerquem és MAB .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AMC :
2
3BMAM .
Aplicant el teorema del cosinus al triangle
AMB :
cosaa
2
32aa
2
3a
2
3 2
22
.
Simplificant:
3
3cos .
"8'44º543
3arccos .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
45
Problema 32
En el tetraedre regular ABCS, per la mitjana AD de la base
ABC i K el punt mig de
l’aresta SB , s’ha dibuixat un plànol. Determineu l’angle d’aquest plànol i la base
ABC .
Gúsiev problema 700. Solució:
Siga el tetraedre ABCS d’aresta aAB .
a2
1CS
2
1KD .
Siga O la projecció de S sobre la base
ABC (circumcentre del triangle).
a3
3AD
3
2OS .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AOS :
a3
6OS .
Siga P la projecció de K sobre la base
ABC .
a6
6OS
2
1PK .
Siga M la projecció de K sobre AD.
L’angle que forma el plànol ADK i la base
ABC és KMP .
Siga AMx .
Aplicant el teorema de Pitàgores als triangles rectangles
AMK ,
DMK :
2
2
2xa
2
3KM
,
222
xa2
3a
2
1KM
.
Resolent el sistema:
a12
33KM
a12
35x
.
Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle
KMP :
11
222
12
33
6
6
sin . "4'31º5811
222arcsin
.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
46
Problema 33
Siga D el punt mig de l’aresta AS del tetraedre regular ABCS.
Siga E el punt mig de l’altura OS .
Determineu l’angle de les rectes CE i DO. Gúsiev, problema 654. Solució:
Siga el tetraedre regular ABCS d’aresta aAB .
Siga M el punt mig de l’aresta BC .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle
BMA :
a2
3AM .
O és el baricentre de la base. Aplicant la propietat del baricentre:
a3
3AM
3
2AO . a
6
3AM
3
1OM .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AOS :
a3
6OS .
a6
6OS
2
1OE
Siga P la projecció de D sobre la base.
a6
3OMOPAP .
Els triangles
OPD ,
MOE . A més a més PD , OE són paral·lels.
Aleshores, OD i ME són paral·lels.
L’angle que formen les rectes CE i DO és MEC .
º90EMC .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
MOE :
a2
1a
6
3a
6
6EM
22
.
Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle
MEC :
1
a2
1
a2
1
EM
MCtg .
º45 .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
47
Problema 34 Siga ABCD un tetraedre regular.
Siga M el punt mig de l’aresta BS .
Calculeu l’angle de la mitjana AM i l’aresta CS .
Gúsiev, problema 662. Solució:
Sig el tetraedre regular ABCS d’aresta aAB .
Pel vèrtex S tracem una paral·lela a la mitjana AM que talla la recta AB en el punt P.
º30SPB , º90PSB .
a2BS2PB , 3aPS
Siga N el punt mig de l’aresta AB . Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle
rectangle
AMB :
a2
3CNAM .
a2
3PN .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle
rectangle
PNC :
3aPC .
L’angle que formen les rectes AM, CS és PSC .
Aplicant el teorema del cosinus al triangle
PSC :
cosa3a2a3a3a 222
.
6
3cos , "17'13º73
6
3arccos .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
48
Problema 35
En la piràmide triangular ABCS la base
ABC és un triangle equilàter i les
cares
SAB i
SBC són perpendiculars a la base.
Siga l’aresta SB igual a l’aresta AB .
Siga O el baricentre de la base
ABC . Siga D el punt mig de l’aresta SC .
Calculeu l’angle que formen les rectes BD i SO. Gúsiev, problema 671. Solució 1:
Siga l’aresta aAB . L’aresta SB és perpendicular a la base.
Siga l’angle que formen els vectors BD,OS .
a3
3BO .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
BOS : a3
32OS .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
BCS : 2aSC . a2
2BD .
Aplicant el producte escalar als vectors BD,OS :
cosBDOSBDOS .
cosa2
2a
3
32BDOS (1)
BSBC2
1BD .
Per la propietat del baricentre: BCBA3
1BO .
BOBSOS .
2a2
1º60cosBCBABCBA .
Per ser ortogonals, 0BSBA , 0BSBC .
Aplicant el producte escalar als vectors BD,OS :
BSBC2
1BCBA
3
1BSBDOS
.
BSBC
3
1BC
3
1BSBA
3
1BCBA
3
1BSBCBS
2
1BDOS
22
.
2222 a4
1a
3
1a
6
1a
2
1BDOS
(2)
Igualant les dues expressions del producte escalar:
22 a4
1cosa
3
6 .
8
6cos . "14'10º72
8
6arccos
.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
49
Solució 2:
Siga l’aresta aAB . L’aresta SB és perpendicular a la base.
Siga la recta m paral·lela a la recta BD que passa pel vèrtex S.
Siga la recta n paral·lela a l’aresta BS que passa per D.
Les rectes m, n s’intersecten en el punt K que pertany al plànol BCS.
La recta n talla l’aresta BC en el punt mig N de la mateixa.
L’angle que formen les rectes OS i BD és l’angle KSO .
a3
3BO .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
BOS :
a3
32OS .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
BCS :
2aSC . a2
2SKBD .
a2
3a
2
1aDNKDKN
a6
3ON
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
ONK :
a3
21OK .
Aplicant el teorema del cosinus al triangle
KSO :
cosa
2
2a
3
322a
2
2a
3
32a
3
21222
.
8
6cos
, "46'49º107
8
6arccos
.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
50
Problema 36 La base d’una piràmide triangular és un triangle equilàter de costat 1. Les altres arestes mesuren a. Determineu la secció de la piràmide, perpendicular a la base, d’àrea màxima. Solució:
Siga la piràmide ABCD de base el triangle equilàter
ABC de costat 1AB .
Siga CDBDAD .
La piràmide és recta. Siga bOD , altura de la piràmide. O és el baricentre de la base.
L’àrea màxima és igual a la secció IJKL, trapezi isòsceles.
L’aresta AB és paral·lela al costat KL .
Siga xLKCLCK .
Siga M el punt mig de l’aresta AB .
Siga T el punt mig del segment KL .
Siga P el punt mig del segment IJ .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
CMA :
2
3CM .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
CTL :
x2
3CT . )x1(
2
3MT .
Aplicant la propietat del baricentre al triangle
ABC : 3
3CO ,
6
3OM .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
COD : 3a93
1ODb 2 .
Siga DMc .
Els triangles rectangles
DOM ,
PTM . Aplicant el teorema de Tales:
)x1(b3PT , )x1(c3PM .
Els triangles rectangles
ABD ,
IJD . Aplicant el teorema de Tales:
2x3IJ .
L’àrea del trapezi IJKL és:
)x1(b32
x2x3PT
2
IJKLSIJKL
.
1x3x2b3)x1)(1x2(b3)x(S 2 ,
1,
3
2x .
La funció és una paràbola convexa.
El màxim s’assoleix en el vèrtex, 4
3x .
L’àrea màxima és: 3a98
1
8
1b3
4
3S 2
.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
51
Problema 37 La perpendicular baixada des del baricentre de la base d’una piràmide triangular regular a l’aresta és d. Determineu el volum de la piràmide si l’angle diedre de l’aresta de la base és .
Solució:
Siga ABCS la piràmide triangular regular de base el triangle equilàter
ABC de costat
aAB .
Siga G el baricentre de la base.
Siga hGS . Siga M el punt mig de l’aresta AC . SMG .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AMB :
a2
3BM .
Aplicant la propietat del baricentre:
a3
3BM
3
2BGAG , a
6
3BM
3
1MG .
Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle
GMS :
tg6
3
a
h. Elevant al quadrat:
2
2
2
tg12
1
a
h (1)
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AGS : 2
2
da3
3AP
.
Els triangles rectangles
GPS ,
AGS són semblants. Aplicant el teorema de Tales:
22 da3
1
a3
3
d
h
.
Elevant al quadrat i simplificant:
22
222
d3a
dah
(2)
Resolent el sistema format per les expressions (1) (2):
22
2
2 dtg312tg
1a
, dtg312
6
3h 2 .
El volum de la piràmide és:
32
2
22 dtg312
tg8
tg4ha
4
3
3
1V
.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
52
Problema 38
Les arestes del tetraedre ABCD són: 4AC ,
24ADAB , 6CDBC , 8BD .
Calculeu el seu volum. Solució:
Notem que la cara
ABD és un triangle rectangle
isòsceles º90A .
La cara
BDC és un triangle isòsceles.
Siga M el punt mig de l’aresta BD .
Siga C’ la projecció de C sobre la cara
ABD .
C’ pertany al plànol mitja del segment BD .
C’ pertany a l’altura AM del triangle rectangle isòsceles
ABD .
Siga h'CC , altura del tetraedre sobre la base
ABD .
Siga xM'C .
El triangle
AMB és rectangle i isòsceles, aleshores:
4BMAM .
x4'AC .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
CMB :
52CM .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
M'CC :
222 52hx .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
'ACC : 222 4h)x4( .
Resolent el sistema format per les dues equacions:
0hx8x
20hx
22
22
,
2
55h
2
5x
.
El volum del tetraedre ABCD és:
7765.193
558
2
552424
2
1
3
1hS
3
1V ABDABCD .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
53
Problema 39 Una piràmide triangular regular està tallada per un plànol que passa per un vèrtex de la base i pels punts migs de les arestes laterals oposades. Determineu la raó entre l’àrea lateral i l’àrea de la base si sabem que el plànol secant és perpendicular a la cara oposada al vèrtex de la base del plànol. Solució:
Siga ABCS la piràmide regular de base el triangle equilàter
ABC .
Siga aAB .
Siga G el baricentre del triangle
ABC .
Siga hSG altura de la piràmide.
Siguen P i Q els punts migs de les arestes SB , SC .
Considerem la secció formada pels punts A, P, Q.
Siga K el punt mig del segment PQ . Siga M el punt mig de
l’aresta BC .
La secció i la cara
BCS són perpendiculars, aleshores: º90AKM .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangles
AMB : a2
3AM .
Aplicant la propietat del baricentre: a3
3AG , a
6
3GM .
Siga K’ la projecció de K sobre la base. K’ pertany al segment AM.
h2
1SG
2
1'KK . a
12
3GM
2
1M'K'K'G . a
12
35'AK .
Aplicant el teorema de l’altura al triangle rectangle
AKM:
M'K'AK'KK . 222
a12
3a
12
35
2
h
. Simplificant: 22 a
12
5h .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
SGM :
a2
2a
6
6hSM
2
2
.
L’àrea lateral de la piràmide és: 2BCSL a
4
23a
2
2a
2
13S3S
.
L’àrea de la base de la piràmide és: 2B a
4
3S .
La proporció entre l’àrea lateral i l’àrea de la base:
6
a4
3
a4
23
a2
2a
2
13S3
S
S
2
2
BCS
B
L
.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
54
Problema 40 La base d’una piràmide és un triangle equilàter de costat a. Una de les cares laterals de la piràmide és perpendicular a la base i és un triangle isòsceles de costat b. Determineu l’àrea de la secció de la piràmide que és un quadrat. Solució:
Siga la piràmide ABCD de base el triangle equilàter
ABC de costat aAB .
Siga la cara
ACD perpendicular a la base i bCDAD .
Siga PQRS la secció quadrada de la piràmide.
Siga xPSPQ .
El triangle
PQB és equilàter, aleshores, xBP .
Siga M el punt mig de l’aresta AC .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AMB :
a2
3MB .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AMD :
4
abMD
22 .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
BMD :
2
abBD
22 .
Els triangles
ABD ,
APS són semblants.
Aplicant el teorema de Tales:
AP
PS
AB
BD .
xa
x
a
BD
.
22
22
22
22
b4a2a2
b4a2a
2
aba
2
aba
BDa
BDax
.
L’àrea del quadrat PQRS és:
222
2222
PQRS
b4a2a2
ba4a2xS
.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
55
Problema 41 En una piràmide triangular regular l’aresta de la base és a. L’angle entre l’aresta de la base i una aresta lateral és .
Construïm la secció de la piràmide formada pel plànol que passa per una aresta de la base i és perpendicular a l’aresta lateral oposada. Calculeu la seua àrea. Solució: Siga la piràmide triangular regular ABCD de base el triangle
equilàter de costat aAB .
Siga BCSSAC .
Siga P el punt de l’aresta CS , tal que la secció que conté l’aresta
AB i és perpendicular a l’aresta CS .
Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle
BPC :
sinaBPAP .
Siga M el punt mig de l’aresta AB .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
BMP :
2sin412
aPM .
L’àrea de la secció és:
22
2 sin414
asin41
2
aa
2
1PMAB
2
1S .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
56
Problema 42 Un tetraedre regular d’aresta 20cm conté aigua fins una altura de 5cm. Calculeu el volum d’aigua. Solució:
Siga el tetraedre regular ABCS d’aresta 20AB .
Siga
'C'B'A la secció del tetraedre que forma l’aigua.
Siga G i G’ els baricentres dels triangles equilàters
ABC ,
'C'B'A ,
respectivament.
5'GG .
Siga M el punt mig de l’aresta AB .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AMG :
3
320AG .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AGS :
3
620SG .
El volum del tetraedre ABCS és:
3
22000
3
62020
4
3
3
1V 2
ABCS .
53
620'SG .
Els tetraedres ABCS, A’B’C’S són semblant, els volums són proporcionals als cubs de la proporció de les arestes. El volum del tetraedre A’B’C’S és:
8
34125
6
25125
3
22000
3
620
53
620
V
3
S''C'B'A
.
El volum que ocupa l’aigua és igual a la diferència dels volums dels tetraedres ABCS A’B’C’S:
3S'C'B'ABCA cm9237.627
2
2375
8
34125V .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
57
Problema 43 Siga la piràmide triangular regular ABCP de base el triangle
equilàter
ABC tal que l’aresta de la base és 5.
Siga E un punt de l’aresta AP tal que l’aresta AP és
perpendicular al plànol BEC i a més a més, 2
7
AE
PE .
Calculeu la superfície de la piràmide. Solució:
Siga x2AE , x7PE .
x9BPAP
El segment BE és perpendicular a l’aresta AP .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AEB : 222 BE)x2(5 (1)
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
PEB : 222 BE)x7()x9( (2)
Considerem el sistema format per les expressions (1) (2):
0BEx32
5BEx4
22
222
. Resolent el sistema:
3
210BE
6
5x
.
2
15x9AP .
L’àrea lateral de la piràmide és:
2
275
3
210
2
15
2
13BEAP
2
13SL
.
La superfície de la base és:
2
325AB
4
3S
2
B .
L’àrea de la piràmide és:
8583.632
275
4
325SABCP .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
58
Problema 44 Siga ABCS la piràmide triangular regular d’aresta de la base 6 i altura 8.
Siguen D, E punst de les arestes AB , AC ,
respectivament, tal que 5AEAD .
Determineu l’àrea de la secció de la piràmide que conté
DE i és perpendicular a la base. Solució:
Siga O el baricentre del triangle equilàter
ABC .
La secció és el trapezi DEFG.
Siga M el punt mig de l’aresta BC .
Siguen K, L els punts migs dels segments FG,DE ,
respectivament.
ADE és un triangle equilàter, aleshores, 5DE .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
BMO :
3OM . Per la propietat del baricentre, 32OM2AO .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AKD :
32
5AK .
32
1AOAKOK .
Aleshores, K és el punt mig del segment OM .
Els triangles rectangles
SOM ,
LKM són semblants i de raó 2:1.
Aplicant el teorema de Tales:
4SO2
1KL .
Els triangles isòsceles
SBC ,
SGF són semblants i de raó 2:1.
Aplicant el teorema de Tales:
3BC2
1FG .
L’àrea del trapezi DEFG és:
1642
35KL
2
FGDESDEFG
.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
59
Problema 45 Siga el tetraedre ABCS.
Siguen els punts D, E, F sobre les arestes AB , AC i
AS , respectivament, tals que AD2BD ,
AE2CE , SF2AF .
Determineu la proporció entre els volums dels dos sòlids en què divideix el tetraedre ABCS el plànol que formen els punts D, E, F. Solució: Siga S’ la projecció de S sobre el plànol base ABC.
Siga h'SS altura del tetraedre ABCS.
Siga F’ la projecció de F sobre el plànol base ABC. Els volum del tetraedre ABCS és:
hS3
1V ABCABCS .
Els triangles
ADE ,
ABC són semblants i de raó 1:3.
ABCABC
2
ADE S9
1S
3
1S
.
Els triangles
F'AF ,
S'AS són semblants i de raó 2:3.
Aplicant el teorema de Tales:
h3
2'SS
3
2'FF .
Els plànol DEF divideix el tetradre inicial ABCS en un tetraedre ADEF i el poliedre de vèrtexs DEFBCS. El volum del tetraedre ADEF és:
ABCSABCABC
2
ADEAFDE V27
2hS
3
1
27
2h2S
3
1
3
1h2S
3
1V
.
El volum del políedre DEFBCS és igual a la diferència dels volum dels tetraedres ABCS i ADEF:
ABCSABCSABCSAFDEABCSDEFBCS V27
25V
27
2VVVV .
La raó entre els volums dels dos sòlids és:
25
2
V27
25
V27
2
V
V
ABCS
ABCS
DEFBCS
AFDE .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
60
Problema 46 En una piràmide triangular regular l’altura és igual a l’aresta de la base. Determineu l’angle que forma una aresta lateral i la base. Solució:
Siga ABCS la piràmide regular d’aresta de la base aAB .
Siga O el baricentre de la base
ABC .
aSO , altura de la piràmide.
Siga M el punt mig de l’aresta AB .
L’angle que forma l’aresta lateral AS i la base és SAO .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AMO ;
a3
3AO .
Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle
AOS :
3
a3
3
atg .
º603arctg .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
61
Problema 47 En una piràmide regular triangular l’angle diedre de l’aresta de la base és .
Determineu l’angle que forma l’aresta lateral i la base. Solució:
Siga ABCS la piràmide regular de base el triangle equilàter
ABC de costat aAB .
Siga O el baricentre del triangle de la base.
SO és l’altura de la piràmide ABCS.
Siga M el punt mig de l’aresta AC .
L’angle diedre de l’aresta de la base AC és SMB .
L’angle que forma l’aresta lateral SB i la base és SBO .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AMB :
a2
3BM .
Aplicant la propietat del baricentre:
a6
3BM
3
1OM , a
3
3BM
3
2OB .
Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle
MOS :
tga6
3SO .
Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle
SOB :
tg2
1
a3
3
tga6
3
OB
SOtg .
tg
2
1arctg .
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
62
Problema 48 La perpendicular baixada des del baricentre de la base d’una piràmide triangular regular a l’aresta és d. Determineu el volum de la piràmide si l’angle l’aresta lateral i la base és .
Solució:
Siga ABCS la piràmide triangular regular de base el triangle equilàter
ABC de costat
aAB .
Siga G el baricentre de la base. SAG .
Siga hGS . Siga M el punt mig de l’aresta BC .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
AMB :
a2
3AM .
Aplicant la propietat del baricentre:
a3
3BM
3
2AG .
SGP .
Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle
GPS :
dcos
1h
.
Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle
GPA :
sin3
3
da .
3
2
2 dcossin
1
4
3ha
4
3
3
1V
.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
63
Problema 49
Siga un con inscrit en un tetraedre regular. Calculeu la proporció entre el volum del con i del tetraedre. Solució:
Siga el teraedre regular ABCS d’aresta aAB . Siga O el baricentre de la base. O és el centre de la base del con inscrit.
Siga M el punt mig del costat BC .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle
ABM:
a2
3AM .
Aplicant La propietat del baricentre:
a6
3AM
3
1OM , radi de la base del con.
L’àrea del triangle equilàter
ABC és:
2ABC a
4
3S
El volum del tetraedre és:
OSS3
1V ABCT .
El volum del con és:
OSOM3
1V
2
C .
La proporció entre els volums és:
6046.033
a4
3
a6
3
OSS3
1
OSOM3
1
V
V
2
2
ABC
2
T
C
.
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
64
Problema 50
La base del tetraedre VABC és el triangle rectangle
ABC , º90A .
L’aresta VB és perpendicular al plànol de la base.
Tenim que dm5VB , dm4BA , dm3AC .
Sobre l’aresta BA agafem el punt P tal que xPB .
Pel punt P tracem un plànol perpendicular a l’aresta BA . Es demana determinar:
a) L’àrea de la secció que determina el plànol en el
tetraedre.
b) El valor de x a fi que aquesta àrea siga màxima.
c) El valor de l’àrea màxima.
Solució:
5BC , 41AV , 25CV .
Vegem que la secció és el rectangle PQRS:
Notem que PS és perpendicular a BA i QR és perpendicular a BC i PQ és paral·lel
a CA .
Aplicant el teorema de Tales als triangles semblants
ABV ,
APS :
4
5
x4
PS
, Aleshores, )x4(
4
5PS .
Aplicant el teorema de Tales als triangles semblants
ABC ,
PBQ :
4
5
x4
CQ
, Aleshores, )x4(
4
5CQ .
El triangle
CQR és rectangle i isòsceles com el triangle
CBV :
Aleshores, )x4(4
5CQQR .
Aleshores, QRPS i PQ és perpendicular a PS i a QR .
Per tant, PQRS és un rectangle.
Aplicant el teorema de Tales als triangles semblants
ABC ,
PBQ :
4
3
x
PQ , Aleshores, x
4
3PQ .
L’àrea del rectangle PQRS és:
)x4(4
5x
4
3PSPQSPQRS .
x4x16
15)x(S 2 , 4,0x .
La funció és una paràbola convexa. El màxim s’assoleix en el vèrtex, és a dir, quan 2x i l’àrea màxima és:
2dm75.34
15)2(S .
0 1 2 3 4
0
1
2
3
x
S(x)
Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch
65
Bibliografia: GÚSIEV, V. i altres, Prácticas para resolver problemas matemáticos. Geometría. Editorial Mir. Moscou, 1989. KLETENIK, D. Problemas de geometría analítica. Moscou. 1979. POGORÉLOV A.V. Geometría elemental. Ed. Mir. Moscou. 1974. GUILLÉN SOLER, G. Poliedros. Ed. Ed. Síntesis. Col. Educación matemática en secundaria, 15. Madrid. 1997. MEDVIÉDEV G.N. Problemas de matemática. Olimpiadas y exámenes de admisión. Ed. URSS. Moscou 2010. SORTAIS , Y., SORTAIS R. Géométrie de l’espace et du plane. Ed. Hermann. Paris. 1988. Pàgines Web:
http://www.komal.hu/info/bemutatkozas.e.shtml Revista KöMaL. Societat Hongaresa de Física i Matemàtiques. Problemes olímpics de tots els nivells. Publiquen 8 números a l’any. Idioma: Anglés i magiar.
http://www.obm.org.br/opencms/ Pàgina de l’Olimpíada brasileira de matemàtica. Informació sobre les proves. Revista de problemes EUREKA. Dos nivells de problemes. Idioma: Portugués.