Date post: | 09-Jan-2015 |
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RAFAEL RAMIREZ
El segmento de Barra soporta las cargas verticales mostradas.
a) Determine las componentes de reacción en la articulación esférica A y la tensión en los cables de soporte BC y BD.
b) Diseñe el eje (diámetro) bajo carga estática si N=2
c) Dibujar diagramas de cortante y flectorNota: Asumir un material.
Hagamos diagrama de cuerpo libre:
Calculemos las tensiones TBD y TBC
Hallemos los vectores de dirección y
y y
entonces las tensiones son:
DB
CB
kjiDB ˆ2ˆ2ˆ1
kjiCB ˆ2ˆ2ˆ1
mDB 3mCB 3
kjiT
DB
DBTT BDBDBD
ˆ3
2ˆ3
2ˆ3
1
kjiT
CB
CBTT BCBCBC
ˆ3
2ˆ3
2ˆ3
1
Ax
4 KN 3 KN Ay
BCiT3
1
A
Y
X
BDjT3
2BCjT
3
2
BDiT3
1
Plano X-Y
2 m
1 m 1,5m 1,5 m 1,5 m
1 m Az
Ax
Z
X
BDkT3
2
BCkT3
2
B B
1 m
A
N
N
BDiT31
BCiT31
Plano X-Z
Y
A
N
B
Z
Ay
Az
BDkT3
2
BDkT3
2
7 KN
BCjT3
2BDjT
3
2
1 m
Plano Y-Z
O
punto O
Del Plano X-Y aplicando las condiciones de equilibrio tenemos:
-Ay*(1m) + Ax*(1m) - 3KN*(3m) – 4KN*(4,5m) = 0
-Ay + Ax = 9KNm + 18 KNm → -Ay + Ax = 27 KNm (1)
Por condiciones de simetría TBD = TBC
2*(2/3 Tbd) + Ay – 3KN - 4KN = 0 → Ay = 7KN – 4/3 Tbd (2)
Ax – 1/3Tbd – 1/3 Tbc = 0 → Ax = 2/3 Tbd (3)
y Tbd = 3/2 Ax (4)
Reemplazando (4) en (2) Ay = 7KN – 4/3*(3/2Ax) → Ay = 7KN – 2Ax
Ordenando Ay + 2Ax = 7KN (5) , sumamos (1) y (5)
Ay + 2Ax = 7KN- Ay + Ax = 27 KN ________________
3Ax = 34 KN → Ax = 34/3 KN Ax = 11,33 KN
0BM
0Fy
0Fx
Reemplazamos Ax = 11,33 KN en (1) - Ay + Ax = 27 KNm
- Ay + 11,33 KN = 27 KNm → Ay = -15,66 KN
Haciendo en el plano Z-X tenemos que Az = 0
Las reacciones en A son: Ax = 11,33 KN , Ay = -15,66 KN , Az = 0
La reacción en A es :
Hallemos los valores de las tensiones Tbd Y Tbc:
De Ec (4) Tbd = 3/2 Ax y Ax = 11,33 KN → Tbd = Tbc = 17 KN
0BM
jKNiKNA ˆ66,15ˆ33,11
kKNjKNiKNkjiKNDB
DBTT BDBD
ˆ33,11ˆ3,11ˆ67,5ˆ3
2ˆ3
2ˆ3
117
kKNjKNiKNkjiKNCB
CBTT BCBC
ˆ33,11ˆ3,11ˆ67,5ˆ3
2ˆ3
2ˆ3
117
Mo – 3KN(1,5m) – 4KN(3M) = 0Mo = 16,5 KN
0OM
Cortante Max = 7 KN
Momento Max en O-N = 16,5 KNm
Calculemos los diagramas de cortantes y momentos :
La barra se puede considerar como una viga compuesta , consideremos el segmento O-N
Descomponiendo todas las fuerzas que actúan sobre A-O en sus componentes a lo largo de los ejes X´ - Y´ y rotando Ө = 45° con respecto a X-Y
Calculemos los diagramas de cortantes y momentos del tramo O - A :
Ay= -15,67 KN
Y
X
O
A
22,67 KN
11,34KN
1 m
Ax= 11,33 KN
ө = 45°
Ro = 7 KN
B1 m
1,5m
2 m
Mo= 16,5 KNm
Y´
X´
Ay= -15,67 KN
ө = 45°
Ay-y´ ө
A Ay-y´= 11 KN
Ax= 11,33 KN
ө A
Ax-y´
Ax-y´ = 8 KN
11,34KN
B ө My´
My´= 8 KN
22,67 KN
ө
Ny´
Ny´= 16 KN
B
O
Ro = 7 KN
Roy´ ө
Roy´= 5 KN
MA = 0
0AM
Cortante Max = 19,09 KN
Momento Max en O-N = -26,92 KNm
Calculemos los diagramas de cortantes y momentos :
La barra se puede considerar como una viga compuesta , consideremos el segmento A-O
El sistema mostrado tiene como objeto la elevación cargas por medio de un motor eléctrico, dos poleas y un tambor de elevación, colocado en un eje. Determinar:
a) Potencia necesaria del motor en Hp.
b) Diagramas de carga, flexión y torsión.
c) Diseñar el diámetro del eje analizando efectos de torsión y flexión por separados.Nota: Asumir un material y un factor de seguridad N= 2
El sistema debe cumplir con los siguientes requisitos:
1. Velocidad de subida = 1,4 m/seg.2. Radio del tambor de elevación =
0,12 m. 3. Diámetro polea en C = 48 cms.4. Diámetro polea en B = 12 cms.
5. En las poleas µs = 0,4 y ß en polea C = 240°
6. Carga a elevar W = 1000 Kg.
a) Potencia del motor en Hp
Datos conocidos: VL= 1,4 m/s; Radio del tambor (r) = 0,12 m; Carga a elevar W = 10000Kgf = 9800 N
Ƭ = F * r → Ƭ tambor = 9800N * (0,12 m) = 1176 Nm
Velocidad del tambor:
F = 9800N
VL = 1,4 m/s
r = 0,12m
→ VL= ωt * r → ωt = VL / r
La relación de transmisión es:
polCt sradm
sm /67,1112,0
/4,1
polBpolCpolB
polC
m
m
D
D 44
12,0
48,0
sradsradpolB /68,46/67,11*4
sradsrad polBpolCt /68,46/67,11
a) Potencia del motor en Hp
Del tambor conocemos : Ƭt = 1176 Nm; VL= 1,4 m/sHaciendo análisis de la polea C
También sabemos que:
μs = 0,40 y ϐ = 240° = 4,19 rad
reemp. (1) ec. En (2) ec. →
r = 0,24m
→ Ƭc = Ƭt = 1176 Nm
T2 *(0,24m) – T1*(0,24m) = 1176 Nm
(T2 – T1)* 0,24m = 1176 Nm
T2 = 4900 + T1 (1) ec.
60°
T1
T2Ƭt =1176 Nm
C
seT
T
1
2 34,519,4*40,0
1
2 eT
T
34,51
2 T
T(2) ec. 34,5
4900
1
1
T
T
T1 = 1129 N y T2 = 6029 N
a) Potencia del motor en Hp
Ahora analicemos la polea B
También sabemos que: ωB = 46,68 rad/s = ηB
PM = 294 Nm * (46,68 rad/s) = 13724,0 watts, 1Hp = 745,7 watts
→ Pmotor = 18,40 Hp
r = 0,06m
→ ΣMB = 0 ↑ +
MB – (6029N)*(0,06m) + (1129N)*(0,06m) = 0
MB = 294 Nm = ƬB
Ahora PM = ƬB * ηB
60°
T1 = 1129 N
T2 = 6029 N
B
b) Diagramas de Carga, Flexión y TorsiónCalculemos todas las reacciones :1. Tambor
2. Polea C
F = 9800N
r = 0,12m
Ey
Ey = 9800 N ; Ex = 0 ; Ez = 0
ΣMo = 0 ↑ +
ME = 9800N*(0,12 m)
ME = 1176 Nm
ME
60° = Ө
ӨT2x
T2y
T2=6029N
T1=1129N
C
Cx
Cy r = 0,24m
MRc = ME = 1176 Nm T2x = T2*cos60°= 3014,5 N T2y = T2*sen60°= 5221,3N
ΣFy = 0 ↑ + Cy – T2y = 0 → Cy = T2yCy = 5221,3 N
ΣFx = 0 → + Cx – T2x – T1 = 0 → Cx = T2x + T1 = 3014,5 N + 1129 NCx = 4143,5 N
ΣFx = 0 → + Cx + Dx +Ex + Fx = 0 →
4143,5 + Dx + Fx = 0
Dx + Fx = - 4143,5 N (1)
ΣFy = 0 ↑ + Cy + Dy – Ey + Fy = 0 →
5221,3N + Dy – 9800N + Fy = 0
Dy + Fy = 4578,7 N (2)
b) Hagamos DCL del eje
ΣMF = 0 ↑ +
-9800 N*(0,65m) + Dy*(1,3m) + 5221,3 N*(1,7m) = 0
-6370Nm + Dy*(1,3m) + 8876,21 Nm = 0 →
Dy = -1927,85 N Reemplazando Dy en (2)
-1927,85 N + Fy = 4578,7 N → Fy = 1927,85 N + 4578,7 N
Fy = 6506,55 N
Plano Y - Z
FE D
C
0,65 0,65 0,40
Fy Ey Dy Cy
Nm
NmDy 85,1927
3,1
21,2506
ΣMF = 0 ↑ + Cx = 4143,52N
-4143,52N*(1,7m) - Dx*(1,3m) = 0 →
Dx = -5418,45 N Reemplazando Dy en (1)
-5418,45 N + Fx = - 4143,52 N → Fx = 5418,45 N - 4143,52 N
Fx = 1274,93 N
Plano X - Z
X
1,3
0,4
Fx
DX
Cx
Nm
NmDx 45,5418
3,1
98,7043
F
C
Diagramas de Cortantes y Momentos
Sección Crítica: se encuentra en el punto E
M = 4229,4 Nm
V = 6506,52 N
V =
127
5 N
M =
828
,66
Nm
MR
ME = 1176 Nm
X
Y
Análisis para:a) Momentos
My= 4229,4 Nm
M = 828,66 Nm
MR
X
Y
MR = 4309,81 Nm
22 )4,4229()66,828( NmNmM R
b) Cortantes
Vy= 6506,52 N
Vx = 1275 N
VR
X
Y
22 )52,6506()1275( NNVR
VR = 6630,27 N
Análisis para:a) Torsión
X
Y
ME = 1176 Nm
Calculemos el esfuerzo flector equivalente:
→
A
P
I
MrCE 0
A
P
334
42,5487
*
24,17239
4
*8,4309
rr
P
r
rNmE
3
42,5487
r
NmE
Calculemos el esfuerzo Torsor equivalente:
→
A
V
J
rTE 4
3*
2324
86,158266,748
*4
)27,6630(*3
2
*1176
r
N
r
Nm
r
N
r
rNmE
23
86,158266,748
r
N
r
NmE
Calculemos ahora el esfuerzo de Diseño:
Consideremos un acero Aisi 4140 con Sy =590 Mpa y un factor de diseño N= 2
Usando solver de Excel nos da un valor de r = 0,0267 m ≈ 27 mm
Así el diámetro del eje será:
N
SyD 22 3
2
/10*590)
86,158266,748(3)
42,5487(
262
232
3
mN
rrr
262
232
310*295)
86,158266,748(3)
42,5487(
m
N
rrr
Ф = 54 mm