Raquel Rodríguez Aller
Tutor: Oriol Busquets
Curs: 2011-2012
INS Joan Fuster
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
1
La probabilitat: una realitat quotidiana
Raquel Rodríguez
Agraeixo al meu tutor del treball de recerca Oriol Busquets tota l‟ajuda i recolzament
que m‟ha donat al llarg de l‟elaboració d‟aquest treball.
També vull mencionar la col·laboració que he tingut per part del senyor Jeffrey S.
Rosenthal, escriptor del llibre “A cara o cruz”, que em va ajudar a entendre d‟una forma
més simple diversos càlculs sobre les probabilitats que hi ha en el blackjack.
Per últim, no em vull oblidar de totes les persones que han fet possible la realització
d‟aquest treball de recerca.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
2
ÍNDEX
1. Introducció .............................................................................................. Pàg. 3
2. Orígens i història del càlcul de probabilitats .......................................... Pàg. 5
3. Exemples de percepció errònia de la probabilitat
3.1 Probabilitat condicionada: el problema de les fitxes .................... Pàg. 9
3.2 El problema de Monty Hall ........................................................... Pàg. 10
4. Aplicacions del càlcul de probabilitats en la societat
4.1 Esperança matemàtica. Diferents classes de loteries .................... Pàg. 14
4.2 Alguns jocs d‟atzar
4.2.1 La ruleta ............................................................................ Pàg. 21
4.2.2 El blackjack ....................................................................... Pàg. 23
5. Exemples del càlcul de probabilitats a pel·lícules
5.1 21: blackjack ................................................................................. Pàg. 28
5.2 Rosencrantz i Guildenstern han mort ............................................ Pàg. 32
5.3 El caçador ...................................................................................... Pàg. 35
6. Enquestes
6.1 Alumnes de segon de l‟ESO
6.1.1 Joc dels dotze cavalls .......................................................... Pàg. 38
6.1.2 Monty Hall .......................................................................... Pàg. 39
6.1.3 Loteria ................................................................................. Pàg. 39
6.2 Alumnes de primer de batxillerat
6.2.1 Joc dels dotze cavalls .......................................................... Pàg. 40
6.2.2 Monty Hall .......................................................................... Pàg. 40
6.2.3 Loteria ................................................................................. Pàg. 41
6.3 Persones adultes
6.3.1 Joc dels dotze cavalls .......................................................... Pàg. 41
6.3.2 Monty Hall .......................................................................... Pàg. 42
6.3.3 Loteria ................................................................................. Pàg. 42
6.4 Comparació de les tres franges d‟edat
6.4.1 Joc dels dotze cavalls .......................................................... Pàg. 43
6.4.2 Monty Hall .......................................................................... Pàg. 44
6.4.3 Loteria ................................................................................. Pàg. 44
7. Conclusions ............................................................................................ Pàg. 46
8. Bibliografia i bibliografia electrònica i web ........................................... Pàg. 49
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
3
1. Introducció
L‟interès de realitzar aquest treball de recerca prové de la meva afició al cinema, ja que
després de la visualització de la pel·lícula “21 blackjack”, en la qual un grup
d‟estudiants, que són uns excel·lents estudiants de matemàtiques i uns experts en
comptar cartes, van cada cap de setmana a Las Vegas per guanyar als casinos una gran
suma de diners jugant al blackjack, no em va quedar cap dubte de quin seria el tema del
meu treball de recerca.
Vaig decidir estudiar el càlcul de probabilitats per diverses causes. La primera era
perquè no és un tema que freqüentment es trobi en el temari de matemàtiques de
l‟escola. Una altra de les causes era perquè trobo que és un tema molt apassionant i del
qual puc aprendre moltes coses. De totes formes, és interessant veure com els jocs
d‟atzar, les assegurances, les loteries, etc., poden dependre de diversos càlculs
probabilístics.
Al principi del treball vaig establir els següents objectius:
Comprendre més a fons la teoria de la probabilitat.
Detectar i analitzar situacions de la vida ordinària de las persones on apareix el
càlcul de probabilitats. (Assegurances, jocs d‟atzar, pel·lícules, etc.)
Conèixer la percepció que les persones tenen d‟algunes qüestions relacionades
amb el càlcul de probabilitats.
La hipòtesi d‟aquest treball és:
Hi ha situacions en les quals la gent té una percepció errònia de la probabilitat.
Les enquestes realitzades al final del treball de recerca serviran per verificar o rebatre
aquesta hipòtesi.
El treball s‟estructurarà en diversos apartats. En primer lloc hi haurà una explicació
sobre la història del càlcul de probabilitats des de l‟antic imperi grec fins la formulació
de la teoria axiomàtica de la probabilitat. Tot seguit es parlarà de l‟aplicació de la
probabilitat a diversos camps de la nostra societat, com per exemple els jocs d‟atzar. Per
últim es realitzaran diverses enquestes en què es plasmarà l‟opinió i coneixements de
part la població sobre qüestions relacionades amb el càlcul de probabilitats.
Aquest treball es limitarà a parlar de les diverses aplicacions del càlcul de probabilitats,
així com a realitzar un estudi sobre la resposta que pot tenir la població davant de
diversos problemes de probabilitat.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
4
La metodologia emprada en el treball de recerca ha estat la següent:
En primer lloc vaig estudiar la teoria de la probabilitat per entendre bé sobre què
estava treballant.
A continuació vaig haver de decidir sobre quins temes del càlcul de probabilitats
treballaria, ja que és una teoria molt àmplia i s‟havia d‟acotar.
Tot seguit vaig començar a recopilar informació sobre els diversos temes que
tractaria aquest treball a través de diversos mitjans com els llibres, Internet o gràcies
a la col·laboració de diverses persones que em van ajudar a comprendre millor algun
dels apartats del treball.
Per últim, després d‟haver aconseguit tota la informació que necessitava, vaig
començar a redactar el treball de recerca.
Quan em trobava realitzant l‟estudi del joc d‟atzar anomenat blackjack em vaig trobar
amb una sèrie de percentatges que descrivien la probabilitat que té el crupier d‟obtenir,
sumant les seves cartes, 17, 18, 19, 20, 21 o passar-se. El fet de calcular aquests
percentatges em va suposar un gran treball manual molt laboriós. Per això, i gràcies al
llibre “A cara o cruz. El sorprendente mundo de las probabilidades”, vaig poder
contactar amb en Jeffrey S. Rosenthal, l‟autor d‟aquest llibre, via e-mail, el qual em va
enviar un programa informàtic que calculava aquests percentatges en pocs segons, cosa
que em va permetre saber com obtenir aquests percentatges en poc temps. Així que
agraeixo enormement al senyor Rosenthal el fet de brindar-me la seva ajuda encara que
es trobés al Canadà.
La realització d‟aquest treball m‟ha permès aprendre molts aspectes interessants de la
probabilitat que abans no coneixia, i a més m‟ha ajudat a aprendre com realitzar un
treball ampli i notable de cara al futur.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
5
2. Orígens i història del càlcul de probabilitats
Els jocs d‟atzar ja existien en l‟antiga Grècia, com per exemple els astràgals (tabes,
ossets) i els daus. Encara que es creia que els resultats que s‟obtenien en tirar els daus o
les tabes no eren producte de la aleatorietat sinó que eren el desig dels déus.
Posteriorment, en els temps dels romans, les matemàtiques van deixar de ser una part
important del coneixement humà i van passar a ser utilitzades com una tècnica útil, és a
dir, que les feien servir per mesurar, comptar i calcular, les aprofitaven per tenir una
vida més còmode i aconseguir una gran superioritat militar. A més a més, pel que fa a la
probabilitat, tenien un pensament semblant al dels grecs, és a dir, creien que els resultats
dels jocs d‟atzar eren un desig dels déus. Malgrat això, van començar a parlar de la
probabilitat. El primer en contrariar el fet que els resultats dels jocs d‟atzar eren per
desig dels déus i no a causa de l‟aleatorietat va ser Marc Tul·li Ciceró (106 a.C-43 a.C).
A més, Ciceró va ser el qui ens va llegar el terme de probabilitat (deriva de probabilis).
En l‟Edat Mitjana tampoc es va estudiar la probabilitat a causa de la força amb que les
idees religioses havien arrelat en les persones de la època. Segons aquestes idees,
semblants a les gregues i les romanes, les coses no es produeixen per atzar sinó que
venen determinades per un déu.
Però no va ser fins al Renaixement que van aparèixer els primers indicis del que
posteriorment seria la teoria de la probabilitat. En l‟època del Renaixement italià van
haver grans precursors de la probabilitat com Niccolò Fontana, anomenat també
Tartaglia (1499-1557), Giovanni Francesco Peverone, Girolamo Cardano (1501-1576) i
Galileo Galilei (1564-1642). Cardano és l‟autor del llibre Liber de ludo aleae, que és el
primer que tracta sobre el món de l‟atzar. Un dels seus objectius era calcular les
diferents possibilitats que podrien sortir en llançar diferents daus. Però va ser Galileo
qui va fer una gran contribució a la teoria de la probabilitat amb la creació de la mesura
d‟errors. Segons ell els errors de mesura eren inevitables i els va classificar en dos tipus:
els errors de mesura sistemàtics, que són els que apareixen a causa dels mètodes que es
fan servir i de les eines de mesura, i els errors de mesura aleatoris, que varien de forma
impredictible d‟una mesura a una altra. Aquesta idea no només va permetre el
desenvolupament de la teoria de la probabilitat, sinó que també va comportar
l‟establiment de les bases del naixement de l‟estadística.
El naixement de la teoria de la probabilitat
Anteriorment al segle XVII, que és quan s‟inicia la
teoria de la probabilitat tal i com la coneixem
actualment gràcies a la correspondència entre Blaise
Pascal (1623-1662) i Pierre de Fermat (1601-1665)
cap el 1654, la probabilitat encara formava part dels
jocs d‟atzar, però a partir d‟aquesta data es van
començar a construir els fonaments de la teoria de la
probabilitat.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
6
Cap als voltants de 1652 Blaise Pascal va coincidir amb Antoine Gombauld, també
conegut amb el nom de cavaller de Méré (1607-1684). El cavaller de Méré era un noble
aficionat als jocs de cartes o de daus, i creia que estudiar amb més profunditat aquests
jocs li proporcionaria un avantatge enfront els seus contrincants. Per això Antoine
Gombauld va proposar una sèrie de problemes a Pascal, un dels quals era el següent:
Si es llencen tres daus a l‟aire qui té més probabilitats de guanyar, una persona que
aposta al número nou o una persona que aposta al número deu?
El cavaller de Méré va dir a Pascal que pensava que la persona que guanyaria
l‟aposta seria aquella que apostés per el número 10, però no sabia argumentar cap
teoria a favor d‟aquesta resposta ja que el número de descomposicions d‟aquests dos
números en tres sumands era el mateix. Tots dos tenen sis possibles sumes.
9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3
10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4
Però la intuïció de Antoine Gombauld no era incorrecta, ja que gràcies a les eines de
la probabilitat podem saber que:
Probabilitat de guanyar si hem apostat al número 9:
Demostració:
Són els casos possibles
(1, 2, 6)
(1, 3, 5)
(1, 4, 4)
(2, 2, 5)
(2, 3, 4)
(3, 3, 3) 1
Total = 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25 Són els casos favorables
Probabilitat de guanyar si hem apostat al número 10:
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
7
Són els casos possibles
(1, 3, 6)
(1, 4, 5)
(2, 2, 6)
(2, 3, 5)
(2, 4, 4)
(3, 3, 4)
Total = 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27 Són els casos favorables
Pascal també va estar estudiant el problema de la repartició de diners, del qual ja havia
palat uns quants anys abans Pacioli (1445-1517) i Cardano (1501-1576).
Estan dos jugadors jugant a un joc amb un total de tres partides i cadascun ha apostat
32 monedes. Cada vegada que un jugador guanya una partida guanya un punt, per
tant, guanyarà aquell jugador que aconsegueixi tres punts, és a dir, guanyar les tres
partides. El primer jugador té dos punts i el segon només en té un. Com que no tenen
més temps decideixen acabar la partida i repartir-se els diners. Però com ho faran?
Blaise Pascal va resoldre el problema amb la següent solució: Si juguessin una altra
partida i guanyés el primer jugador, aquest s‟emportaria 64 monedes, però si guanyes
el segon jugador cadascú es quedaria amb les monedes que ha apostat, és a dir, 32
monedes cadascú. Però com que decideixen no fer una altra partida Pascal deia que
el primer jugador s‟hauria d‟emportar 32 monedes, ja que encara que perdi se les
quedaria igualment, més 16 monedes, que són la meitat de les 32 monedes que
correspondrien al segon jugador si guanyés. És a dir, el primer jugador es quedaria
amb 48 monedes i el segon amb 16.
Sobre aquest problema ja havien palat uns quants anys abans Pacioli (1445-1517) i
Cardano (1501-1576). A més a més, Pierre de Fermat també va estar reflexionant sobre
aquest problema, encara que amb un mètode totalment diferent que el de Pascal.
L‟holandès Christian Huygens (1629-1695), que era físic matemàtic i astrònom, cap a
l‟any 1655 es va interessar enormement per la correspondència entre Pascal i Fermat i
per les recents investigacions que havien fet sobre la probabilitat. Va començar un
treball sobre problemes de càlcul de probabilitats que va incloure en el seu llibre De
ratiocinis in ludo aleae (El càlcul en els jocs d‟atzar) que va publicar en el 1657. Avui
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
8
dia es considera que aquest llibre és el primer treball dedicat exclusivament a la
probabilitat. A més, en el 1669 va publicar Application of Mathematical of probability
to expectation of human life, que va ser l‟origen del que avui coneixem com a
assegurances. Huygens va ser qui va explicar el concepte d‟esperança matemàtica en
una variable amb un nombre finit de valors.
Posteriorment, Jakob Bernoulli (1654-1705) va ser qui va aportar els fonaments de
l‟aplicació del càlcul de probabilitats. Va escriure el llibre Ars conjectandi (Art de la
conjectura) a finals del segle XVII, però no va ser publicat fins l‟agost de 1713 a
Basilea, vuit anys després de la seva mort, pel seu nebot. Aquesta obra consta de quatre
parts. La primera recull els estudis de Huygens; la segona parla de les permutacions, les
variacions i les combinacions; la tercera s‟ocupa de l‟aplicació dels teoremes de la
teoria de les permutacions al càlcul de probabilitats i en la quarta es dedica a la
demostració de la teoria dels grans nombres introduint la idea d‟interval de confiança.
Una de les contribucions més importants a la teoria del càlcul de probabilitats va ser la
realitzada per Bernoulli. Fou el qui va dir que hi ha dos tipus de situacions aleatòries. La
primera, on les probabilitats es poden conèixer a priori a causa de les regles del joc. I les
probabilitats a posteriori, que es coneixen després d‟haver efectuat un gran nombre de
proves.
Un altre personatge conegut que va ajudar al desenvolupament de la teoria de la
probabilitat va se Abraham de Moivre (1667-1754). Va ser qui deduí la fórmula que
relacionava la distribució binomial amb la funció error o distribució normal.
Pierre-Simon Laplace (1749-1827), astrònom i matemàtic francès, és el responsable
d‟alguns dels avanços més importants de la probabilitat, el que és conegut com la “regla
de Laplace. Va escriure en el 1773 el seu primer manuscrit sobre probabilitat. En aquest
es parlava de tots els aspectes matemàtics deixant de banda els aspectes filosòfics. Més
endavant, en el 1820, va escriure Assaig filosòfic sobre les probabilitats. El seu tractat
consta de dues parts: la primera és on desenvolupa la teoria de les funcions generatrius i
les teories que serveixen per aproximar les expressions de les fórmules dels grans
nombres, i en la segona part es parla de la teoria general de la probabilitat.
Després de Laplace destaquen alguns personatges com Johann Carl Friedrich Gauss
(1777-1855), Adrien-Marie Legendre (1752-1833), Siméon Denis Poisson (1781-
1840), Augustus De Morgan (1806-1871), Antoine Augustin Cournot (1801-1877),
Pafnuti Lvóvich Tchebycheff (1821-1894). I Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-
1987) que va destacar per ser el qui va formular la teoria axiomàtica de la probabilitat.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
9
3. Exemples de percepció errònia del càlcul de probabilitats
3.1 Probabilitat condicionada: el problema de les fitxes
Abans d‟explicar del problema de Monty Hall m‟agradaria parlar d‟un exemple que
guarda una similitud amb el problema i que permetrà entendre‟l millor.
Tens tres fitxes de la mateixa mida però de diferent color. La primera es troba pintada
de negre per les dues cares, la segona té una cara de color vermell i una cara de color
negre i l‟última es troba pintada per les dues cares de color vermell.
Primer, introdueixes les tres fitxes en una urna opaca i que, per tant, no es pot veure res
del que hi ha en el seu interior. Tot seguit remenes les fitxes, n‟extreus una i la
col·loques sense mirar a sobre d‟una taula de manera que només puguis visualitzar una
de les seves cares. En un principi, tens la mateixa possibilitat que la fitxa que s‟hagi tret
de l‟urna tingui les dues cares de color negre, o una cara negre i l‟altre vermella o les
dues cares de color vermell. Posem que, per exemple, la cara que veiem de la fitxa que
hem tret és de color vermell, per tant, descartem que sigui la fitxa amb les dues cares de
color negre. Com a conseqüència, ara sabem que la fitxa que tenim sobre la taula
només pot ser la que tingui les dues cares vermelles o la que tingui una cara vermella i
l‟altra negra.
Per saber quina és la probabilitat que la fitxa tingui les dues cares vermelles realitzarem
els següents càlculs:
Casos possibles = V, N, V
Casos favorables = V, V
p(cara oculta sigui vermella) =
=
Esquema
Fitxa 1: Fitxa 2: Fitxa 3:
Casos possibles Casos favorables
De totes les cares de les tres
fitxes, tres són de color vermell.
Dues d‟aquestes cares tindran la
cara oposada de color vermell
(casos favorables) mentre que
la tercera fitxa tindrà la cara
oposada de color negre. En total
hi haurà tres cares oposades,
dues de color vermell i una de
color negre (casos possibles).
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
10
La majoria de la societat pensa que com que el color de l‟altre costat de la fitxa només
pot ser vermell o negre hi ha un 50 % de probabilitats que sigui d‟un color o de l‟altre.
Però tal i com demostra la probabilitat condicionada això no és cert, ja que la
probabilitat que l‟altre costat de la fitxa sigui de color vermell és del 66,7 % enfront del
33.3% del color negre.
Com a conclusió només cal dir que abans de treure les fitxes de l‟urna teníem la mateixa
probabilitat d‟haver tret qualsevol de les tres, però al visualitzar una de les cares de la
fitxa que havíem tret ens ha donat una informació que abans no teníem i ens ha permès
calcular quina era la probabilitat que la fitxa que haguéssim tret tingués les dues cares
de color vermell. Per tant, la probabilitat condicionada ens permet calcular les
probabilitats d‟una situació sabent que anteriorment ha passat alguna cosa, és dir, quina
és la probabilitat que es realitzi l‟esdeveniment B sabent que l‟esdeveniment A s‟ha
realitzat.
3.2 El problema de Monty Hall
Als Estats Units d‟Amèrica es publicava en la revista Parade una
columna on els lectors podien fer preguntes a la Marilyn vos Sabant,
que era la dona que tenia el coeficient intel·lectual més elevat, fins i
tot es troba en el llibre Guiness dels rècords. Aquesta columna
s‟anomenava Pregunteu a la Marilyn. Entre moltes altres preguntes,
el lector Craig F. Whitaker de Colúmbia (Maryland) li va enviar la
següent pregunta:
Et trobes concursant en un programa de televisió en el que has d‟escollir una de
les tres portes darrera de les quals es troben dues cabres i un cotxe nou. Primer
escollim una de les tres portes, per exemple la porta número 1. Però resulta que
el presentador, que sap on es troben el cotxe i les dues cabres, et diu que et vol
ajudar i t‟obre una porta en què darrera es troba una cabra. Aleshores, el
presentador et dóna l‟oportunitat de poder canviar de porta o quedar-te amb la
mateixa. Què hauries de fer, quedar-te amb la mateixa porta o canviar?
Aquesta pregunta està basada en la fase final d‟un concurs nord-
americà que s‟anomenava Let’s make a deal (Fem un tracte). El
problema va se batejat amb el nom de Monty Hall a causa que el
concurs era presentat pel “showman” Monty Hall.
Resposta
La Marilyn deia que si canviaves de porta, un cop el presentador havia obert la porta en
la qual hi havia una cabra, tenies
de possibilitats d‟emportar-te el cotxe enfront
de
possibilitats si resulta que no canviaves.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
11
Aquesta resposta a la pregunta va ocasionar que molta gent, de la qual molts eren
matemàtics i científics, escrivissin a la Marilyn dient-li que s‟equivocava, ja que la
intuïció els feia pensar que tenien les mateixes possibilitats d‟encertar on es trobava el
cotxe tant si canviaven de porta com si no, és a dir, que un cop el presentador havia
obert la porta on hi havia a l‟interior una cabra tenies un 50 % d‟emportar-te el cotxe, en
els dos casos.
Alguns fragments d‟aquelles cartes es poden veure a continuació:
“Ja hi ha prou analfabetisme matemàtic en aquest país i no cal que la persona
amb el coeficient intel·lectual més elevat del món també el prediqui. Quina
vergonya!”1
Dr.Scott Smith,
Universitat de Florida
“Estic segur que rebrà moltes cartes d’alumnes d’instituts i d’universitats.
Potser hauria de conservar algunes de les seves adreces perquè l’ajudin a
escriure les seves pròximes columnes.”2
Kent Ford,
Dickinson State University
“S’equivoca sense cap mena de dubte… ¿Quants matemàtics irats calen per
fer-la rectificar?”3
Dr. E. Ray Bobo,
Unoversitat de Georgtown
Resolució del problema
Aquest problema es pot resoldre de dues formes:
Fent-ho matemàticament amb l‟ajuda de la fórmula de la probabilitat
condicionada.
1 HADDON, Mark: El curiós incident del gos a mitjanit.
2 HADDON, Mark: El curiós incident del gos a mitjanit.
3 HADDON, Mark: El curiós incident del gos a mitjanit..
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
12
Primer, anomenem a les tres portes amb les lletres A, B i C.
Tot seguit designarem els esdeveniments que indiquen la situació del cotxe en
cada una de les tres portes:
I els esdeveniments que informen quina de les tres portes obrirà el presentador:
Suposant que triïs la porta A, representem l‟esdeveniment en que el cotxe estigui
en la porta B o en la porta C, condicionat a que el presentador obri l‟altra porta,
és a dir, la porta contrària:
Aquests dos esdeveniments són incompatibles, per tant, la seva probabilitat és la
següent:
El fet de no canviar de porta (succés contrari) suposa que la seva probabilitat és
la següent:
.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
13
Si realitzem una simulació d‟aquest problema podem observar que si canviem de
porta cada vegada obtenim que4:
Nombre de vegades que s‟ha jugat: 200
Hem guanyat Hem perdut
128 72
64 % 36 %
En canvi, si no canviem de porta obtenim que:
Nombre de vegades que s‟ha jugat: 200
Hem guanyat Hem perdut
70 130
35 % 65 %
Però si anem alternant de porta, és a dir, si meitat de vegades canviem de porta i
l‟altre meitat no obtenim que:
Nombre de vegades que s‟ha jugat: 200
Hem guanyat Hem perdut
90 110
45 % 55 %
Fent-ho amb l‟ajuda d‟un diagrama.
4 La simulació es troba extreta de la web:
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_117_g_3_t_5.html?from=topic_t_5.html
El presentador et diu que has de triar una
porta
Tries una porta en la
que hi ha una cabra
No canvies
Guanyes una
cabra
Canvies
Guanyes un cotxe
Tries una porta en la
que hi ha un cotxe
No canvies
Guanyes una
cotxe
Canvies
Guanyes una
cabra
Tries una porta en la
que hi ha una cabra
No canvies
Guanyes una
cabra
Canvies
Guanyes un cotxe
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
14
4. Aplicacions del càlcul de probabilitats en la societat
4.1. Esperança matemàtica. Diferents classes de loteries
Esperança matemàtica
L‟esperança matemàtica, també anomenada mitjana d‟una variable aleatòria discreta X,
és el producte entre els valors de la variable ( ) i les seves respectives probabilitats ( ).
L‟esperança matemàtica és una eina que ens permet saber quins són els guanys que
podem obtenir en una aposta de qualsevol joc d‟atzar.
Loteries
L‟esperança matemàtica és una eina estadística útil que et permet calcular els guanys i
les pèrdues en diversos jocs d‟atzar.
El que nosaltres estudiarem seran els guanys i les pèrdues que podem tenir en jugar a
diversos tipus de loteria.
Loteria de Nadal
En la loteria de Nadal, que es celebra el 22 de
desembre, participen 85.000 números, és a dir, des del
número 00000 fins al 84999.
Els premis que es poden guanyar per cada bitllet en el
sorteig de la loteria de Nadal són els següents:
1r. premi (el Gros) 3.000.000 euros
2n. premi 1.000.000 euros
3r. premi 500.000 euros
4t. premi Dos premis de 200.000 euros
5è. premi Vuit premis de 50.000 euros
“Pedrea” 1.774 premis de 1.000 euros
Números anterior i posterior al 1r. premi dos premis de 20.000 euros
Números anterior i posterior al 2n. premi dos premis de 12.500 euros
Números anterior i posterior al 3r. premi dos premis de 9.600 euros
Centenes del 1r., 2n. i 3r. premi 297 premis de 1.000 euros
Centenes del 4t. i 5è. Premi 198 premis de 1.000 euros
Números amb les dues últimes xifres del 1r., 2n. i 3r.
premi
2.547 premis de 1.000 euros
Reintegrament 8.499 premis de 200 euros
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
15
Com que en la loteria de Nadal es juguen 85.000 números la probabilitat que toqui el
primer premi és de:
Igual que la que toqui el segon i el tercer premi. En canvi, la probabilitat que toquin
el quart i el cinquè premi és de:
També et pots consolar amb la “pedrea”, on la probabilitat que toqui és superior.
La seva probabilitat és de:
D‟altra banda, també pot ser que el número que jugues sigui anterior o posterior al
primer, segon o tercer premi. En aquest cas la probabilitat que toqui per a cada un
dels tres és de:
També és possible que les centenes del teu número coincideixin amb les del primer,
segon o tercer premi i, per tant, la probabilitat que toqui és de:
O que coincideixin les centenes del número que jugues amb les centenes del quart o
cinquè premi, en aquest cas la probabilitat que toqui aquest premi és de:
La probabilitat que les dues últimes xifres del número que jugues en la loteria
coincideixin amb les del primer, segon o tercer premi i que, per tant, et toqui aquest
premi és de:
Per últim, la probabilitat que toqui el reintegrament és de:
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
16
Un cop vistes les probabilitats que tenim de guanyar qualsevol dels 13.334 premis
que hi ha en la loteria de Nadal calcularem quina és l‟esperança matemàtica de
guanys d‟aquesta loteria. Ho farem multiplicant les probabilitats que tenim d‟obtenir
cada un dels premis pel valor econòmic de cada un d‟ells (cada premi serà dividit per
deu ja que volem saber els guanys que podem obtenir d‟un dècim de loteria i no d‟un
bitllet). Un cop fet això ho sumarem tot i li restarem vint euros, que és el cost d‟un
dècim de loteria.
Per últim, només cal restar-li els 20 euros que ens ha costat el dècim:
Observant quin ha estat el resultat del càlcul de l‟esperança matemàtica podem
deduir que el joc de la loteria de Nadal és desfavorables per a les persones que
juguen i favorable a l‟Estat, perquè la resolució del càlcul de l‟esperança matemàtica
és un número negatiu.
El que vol dir l‟esperança matemàtica és que, de mitjana, les persones que juguen a
la loteria de Nadal perden aproximadament 6 euros.
La 6/49
La lotto 6/49 és un tipus de loteria que
consisteix en encertar 6 números dels 49
que hi ha. Depenent de quants números
hagis encertat rebràs un premi o un altre. En
cada sorteig varien els premis segons la
recaptació que s‟hagi obtingut d‟aquesta
loteria durant la setmana. Per tant, ens centrarem en el sorteig del dissabte dos de
juliol en el qual els premis que es sortejaven eren els següents:
1r. premi (6 números) 3.203.000 euros
2n. premi (5 números + C) 5.429,38 euros
3r. premi (5 números) 2.714,69 euros
4t. premi (4 números) 44,87 euros
5è. premi (3 números) 7,61 euros
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
17
A continuació calcularem quina és la probabilitat que toqui cada un dels cinc premis
de la loteria.
Casos possibles:
Primer premi (6 números):
En aquest cas, els casos favorables són igual a 1.
Per tant, la probabilitat de guanyar aquest premi és de :
Segon premi (5 números + C):
Per poder calcular els casos favorables d‟aquest premi, primer s‟han de trobar les
combinacions de 6 números agrupats de 5 en 5:
Acabades de calcular les possibles combinacions només ens falta multiplicar-les
pel número de complementaris que hi ha, que és 1, per obtenir els casos
favorables:
Per tant, la probabilitat que toqui aquest premi és de:
Tercer premi (5 números):
Si tens cinc números encertats d‟una combinació guanyadora de sis números,
quants nombres, diferents dels guanyadors, es poden afegir per completar la sèrie
de sis números? Aquesta pregunta té fàcil solució. Només cal restar al nombre
total de números que es troben en el bombo (49) els sis números guanyadors; es a
dir, .
Per arribar a trobar els casos favorables, primer cal multiplicar totes les
combinacions dels sis números guanyadors agrupats de cinc en cinc per els
números que es poden afegir a la combinació de cinc números guanyadors.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
18
Per últim, només cal restar-li les sis possibles combinacions que es poden realitzar
amb el número complementari per trobar els casos favorables.
Per tant, la probabilitat d‟aconseguir aquest premi és de:
Quart premi (4 números):
Ara, com que els nombres que s‟han d‟encertar són quatre, els sis possibles
números guanyadors s‟han d‟agrupar de quatre en quatre, és a dir, . Però per
obtenir els casos favorables d‟aquesta aposta s‟ha de multiplicar per
, ja que
al ser només quatre encerts queden dues vacants de la sèrie dels sis números
guanyadors per als 43 números restants diferents dels sis que han sortit
guanyadors.
Per tant, la probabilitat de guanyar aquest premi és de:
Cinquè premi (3 números):
Per trobar els casos favorables d‟aquesta aposta s‟han de realitzar les mateixes
operacions que en el cas del quart premi. És a dir, s‟ha de multiplicar per
.
Per tant, la probabilitat d‟obtenir aquest premi és de:
Ara que ja sabem la probabilitat que hi ha que toqui cada un dels cinc premis de la
loteria 6/49 podrem calcular quins poden ser els guanys que podem obtenir en
aquesta loteria i saber si ens és favorable jugar-hi o no. Per saber quina és
l‟esperança matemàtica s‟ha de multiplicar el valor econòmic de cada premi per la
seva probabilitat. I al final se li ha de restar el que costa la loteria que és 1 euro.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
19
Per tant, observant el resultat podem deduir que la loteria 6/40 és desfavorable per a
la persona que juga i, en canvi, favorable per a l‟Estat (en aquest cas la Generalitat de
Catalunya).
Un cop vist les pèrdues que podem obtenir en les dues loteries ens podíem fer la següent
pregunta: en quina de les dues loteries les pèrdues serien més elevades?
Per contestar aquesta pregunta cal fer el següent:
Multipliquem els euros per 20, perquè en la lotto 6/49 només et jugues un euro
i, en canvi, en la loteria de Nadal t‟hi jugues 20.
Observant el resultat podem deduir que en la loteria de Nadal s‟obtenen, de mitjana,
menys pèrdues que en la lotto 6/49 ja que les pèrdues de la loteria de Nadal eren de
5,99 euros i, per tant, és menys desfavorable per al jugador.
Inventem una loteria
Són les festes del poble i per animar-les volem organitzar un sorteig de loteria. El
sorteig està compost per 500 números, del 000 fins el 499. En aquest sorteig es troben
inclosos els següents premis:
1r. premi Un premi de 1.000 euros
2n. premi Un premi de 600 euros
3r. premi Dos premis de 250 euros
4t. premi Dos premis de 100 euros
5è. premi Quatre premis de 50 euros
La probabilitat que toqui cada un dels premis és la següent:
Primer premi:
Segon premi:
Tercer premi:
Quart premi:
Cinquè premi:
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
20
Un cop vistes les probabilitats que hi ha que toqui cada un dels premis calcularem quins
són els guanys que pot tenir cada persona que jugui al sorteig de loteria.
Càlcul de l‟esperança de la variable premi:
Havent calculat l‟esperança matemàtica del sorteig de loteria només ens falta saber
quant costarà cada número de loteria depenent de si volem que el joc sigui favorable per
als jugadors, que sigui favorable per a qui organitza el sorteig o que sigui equitatiu per a
les dues parts.
Si el joc és favorable per als jugadors.
En aquest cas cal tenir en compte que al restar-li el que costa cada número de loteria
el resultat obtingut ha de ser positiu. És a dir, el número de loteria ha de costar menys
de 5 euros.
Si el joc és desfavorable per als jugadors.
En aquesta ocasió el resultat obtingut en restar el que costa el número de loteria de
l‟esperança matemàtica ha de ser negatiu, per tant, el número de loteria de costar més
de 5 euros. Si en organitzar el sorteig de loteria volem obtenir beneficis haurem de
triar aquesta opció per calcular el que costa el número de loteria.
Si el joc és equitatiu per a les dues parts.
Si resulta que volem que el sorteig no sigui favorable ni per la persona que
l‟organitza ni pels jugadors que hi participen hem de preveure que el resultat de
restar el que costa el número de loteria a l‟esperança matemàtica ha de ser igual a
zero. Per tant, el cost del número de loteria haurà de ser de 5 euros.
Posaré un exemple per entendre-ho millor:
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
21
4.2 Alguns jocs d’atzar
4.2.1 La ruleta
La ruleta americana consta de 38 caselles: del número 1
al 36 alternant el color negre i el color vermell més dues
caselles especials de color verd en les que es troben el
zero i el doble zero (00). És a dir, 18 caselles són de
color negre, 18 són de color vermell i dues són de color
verd.
El joc consisteix en que el crupier gira la ruleta i tira dins una bola de marfil en la
direcció contrària en la que ha girat la ruleta. La bola va rebotant en les diferents
caselles fins que es para en una.
Els jugadors han d‟apostar en quina casella creuen que caurà la bola en la següent
jugada. Hi ha diferents opcions de realitzar aquesta aposta, i on a cada una de les quals
li correspon un premi diferent:
Apostes Guanys
A un número 35:1
A un color (vermell o negre) 1:1
A la 1a, 2a o 3a dotzena5 2:1
Vistes quines són les apostes que un jugador pot fer en una ruleta americana,
observarem quin és el guany que es pot obtenir en cada una d‟aquestes, apostant sempre
5 euros. Abans de parlar dels guanys que es poden obtenir en cada una de les diferents
apostes m‟agradaria especificar que quan en el càlcul de l‟esperança matemàtica s‟obté
un nombre positiu significa que el joc és favorable per al jugador, si s‟obté un número
negatiu vol dir que el joc és desfavorable per al jugador, i si el resultat obtingut és un
zero significa que el joc és equitatiu per a les dues parts (en aquest cas és equitatiu per al
jugador i el casino).
Quan realitzes l‟aposta només a un número.
Aquest tipus d‟aposta consisteix en apostar a un dels 38 números que comprenen la
ruleta americana.
La probabilitat de guanyar quan apostes només a un número és de:
5 La primera dotzena compren els números de l‟1 al 12, la segona dotzena inclou els números del 13 al
24, i la tercera dotzena integra els números del 25 al 36.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
22
I la probabilitat de perdre quan apostes només a un número és de:
Si un jugador aposta els 5 euros a que la bola caurà en el número 11 guanyarà 175
euros si finalment cau en aquesta casella ( , ja que si apostes a un sol
número els guanys que pots obtenir són de 35:1), però perdrà els 5 euros si resulta
que la bola cau en un altre número. Per tant, si es vol saber quins són els guanys
mitjans que es poden obtenir en la ruleta americana apostant només a un número s„ha
de realitzar la següent operació:
Observant els resultats obtinguts podem deduir que el joc és desfavorable per al
jugador i favorable per la banca, que en aquest cas és el casino.
Quan realitzes l‟aposta a un color (vermell o negre).
Aquesta aposta consisteix en apostar a les 18 caselles de color vermell o a les 18 de
color negre.
La probabilitat de guanyar que un jugador té quan aposta a un color és:
La probabilitat de perdre que un jugador té quan aposta a un color és:
Si un jugador aposta, per exemple, que la bola caurà en el color vermell rebrà 5 euros
si resulta que la bola cau en alguna de les 18 caselles de color vermell que hi ha en la
ruleta, però perdrà els 5 euros que havia apostat si cau en alguna casella de color
negre. Per tant, podem saber quin són els guanys que el jugador pot obtenir en
realitzar aquesta aposta amb una simple operació.
Com es pot observar ens dóna el mateix resultat que en l‟anterior aposta. Això també
ens permet saber que aquesta aposta és desfavorable per als jugador i, en canvi,
favorable per al casino.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
23
Quan realitzes l‟aposta a la primera, segona o tercera dotzena.
Aquesta última aposta consisteix en apostar als números que es troben compresos
entre l‟1 i el 12 (primera dotzena), entre el 13 i el 24 (segona dotzena) i entre el 24 i
el 36 (tercera dotzena).
La probabilitat de guanyar en aquest cas és de:
I la probabilitat de perdre en aquest aposta és de:
Si resulta que el jugador aposta 5 euros a que la bola caurà, per exemple, en la
segona dotzena guanyarà 10 euros, però si resulta que a bola no cau en cap dels
números que es troben inclosos entre el 13 i el 24 perdrà els 5 euros que havia
apostat. Per tant, amb l‟ajuda de la fórmula de l‟esperança matemàtica podem
aconseguir quin són els guanys que podem obtenir.
El resultat obtingut ens permet saber que aquesta aposta és desfavorable per al
jugador i favorable per al casino, ja que el número que ens ha sortit és negatiu.
Com es pot observar, totes les apostes són desfavorables per al jugador i favorables per
al casino, però això no vol dir que en un moment donat puguis guanyar 175 euros
apostant a un número. El que vol indicar el resultat és que si resulta que jugues
moltes vegades a la ruleta americana apostant sempre a un sol color perdràs a llarg
termini 26 euros encara que pot se que en una o dues jugades tinguis sort i guanyis 200
euros. Per tant, si tens una jugada bona i guanyes és millor que pleguis perquè sinó
perdràs tot el que has guanyat. Cal recordar que el casino mai perd, sinó no seria
rendible.
4.2.2 El blackjack
El blackjack és un joc de cartes que té com objectiu que cada
jugador, sumant les seves cartes, obtingui una puntuació més
alta que el crupier apropant-se tant com puguin a 21 sense
passar-se. A més a més, si un jugador, sumant les seves cartes,
obté 21 guanya al crupier (a no ser que les cartes del repartidor
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
24
també sumin 21, aleshores es deixa en un empat).
El joc consisteix en anar demanant cartes fins que les cartes sumin 21 o apropar-te tant
com es pugui. El blackjack també et permet plantar-te quan ho creguis convenient. En
iniciar-se el joc cada jugador rep dues cartes de cap per amunt de forma que tothom
pugui visualitzar-les. Després el crupier es reparteix a si mateix dues cartes, una cap per
amunt i l‟altre cap per avall de manera que només es pugui veure una sola carta de les
dues que té. Tot seguit cada jugador decideix si demana una carta, fins que la seva
puntuació sigui 21 o s‟apropi, o si es planta amb les cartes que té. El joc finalitza
comparant les sumes de les cartes del jugador i del crupier. El jugador guanyarà si la
suma de les seves cartes s‟apropa més a 21 que la del crupier o si no es passa.
En el blackjack s‟utilitza una baralla de pòquer formada per 52 cartes i on cada carta té
un valor propi. Les figures (J, Q i K) i el deu valen deu punts, les cartes del dos al nou
valen el que indica cada carta, és a dir, el dos val dos punts, el tres val tres punts, i així
successivament, per últim tenim l‟as que pot valer tant un com onze punts, segons
vulgui el jugador.
En el joc del blackjack també es poden fer diferents apostes. Si resulta que en iniciar-se
el joc el jugador rep dues cartes idèntiques (amb el mateix número) pot separar-les i
jugar dues mans diferents. Una altra tipus d‟aposta és l‟aposta doble en que després de
rebre les dues primeres cartes pots doblar l‟aposta realitzada a l‟inici del joc, però
només podrà rebre una carta més. Per últim, hi ha una aposta anomenada assegurança en
la que si la carta descoberta del crupier és un as el jugador pot apostar que la carta que
es troba de cap per avall és un deu o una figura.
Si resulta que un jugador empata amb el crupier,és a dir, obtenen la mateixa puntuació,
aquest rebrà la mateixa quantitat que havia apostat. D‟altra banda, si el jugador obté un
blackjack (la suma de les seves cartes és igual a 21) rebrà el 1,5 de la seva aposta.
Per últim, només cal dir que el crupier haurà d‟anar descobrint cartes fins que la suma
de les seves cartes sigui 17 o més.
Aleshores, com és que el casino guanya constantment, si sembla que totes les normes
afavoreixen al jugador? El casino mai perd, perquè sempre que un jugador es passi (que
la suma de les seves cartes sigui major que 21) perdrà, tingui el crupier les cartes que
tingui.
Imaginem que ens trobem jugant al blackjack en un casino i que en iniciar-se el joc ens
toca un deu o una figura (J, Q, K) i una de les tretze cartes que formen cada pal de la
baralla. Si decidim demanar una carta més al crupier quina és la probabilitat que ens
passem i que, per tant, perdem la partida? Per calcular aquestes probabilitats s‟ha de
tenir en compte que els casinos utilitzen moltes baralles juntes i que, per tant, qualsevol
carta, de l‟as al rei, té la mateixa probabilitat de sortir. Les cartes que ja han sortit no es
tindran en compte a l‟hora de calcular les probabilitats i que els casos possibles són les
tretze cartes que et poden sortir quan demanis una carta.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
25
Amb un deu o una figura i un dos:
10 o figura + 2 = 12
Amb un deu o una figura i un tres:
10 o figura + 3 = 13
Amb un deu o una figura i un quatre:
10 o figura + 4 = 14
Amb un deu o una figura i un cinc:
10 o figura + 5= 15
Amb un deu o una figura i un sis:
10 o figura + 6 = 16
Amb un deu o una figura i un set:
10 o figura + 7 = 17
Amb un deu o una figura i un vuit:
10 o figura + 8 = 18
El número 4 fa referència a les
cartes que faran que et passis de
21 si resulta que en vols
demanar una altra. Aquestes
cartes són el deu i les tres
figures. Un total de quatre
cartes.
En aquest cas, les cartes que
faran que et passis són el nou, el
deu i les tres figures, és a dir, un
total de cinc cartes.
Les cartes que faran que et
passis són el vuit, el nou, el deu
i les tres figures, per tant, un
total de sis cartes.
Si resulta que tens un deu o una
figura i un cinc i demanes una
altra carta, les que faran que et
passis seran el set, el vuit, el
nou, el deu i les tres figures. Un
total de set cartes.
En aquest cas, les cartes que
faran passar-te són el sis, el set,
el vuit, el nou, el deu i les tres
figures, és a dir, un total de vuit
cartes.
Les cartes que provocaran que
et passis són el cinc, el sis, el
set, el vuit, el nou, el deu i les
tres figures, és a dir, un total de
nou cartes.
Si en iniciar-se el joc et surt un
deu o una figura i un vuit i vols
demanar una altra carta, les que
faran que et passis seran el
quatre, el cinc, el sis, el set, el
vuit, el nou, el deu i les tres
figures. Per tant, un total de deu
cartes.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
26
Amb un deu o una figura i un nou:
10 o figura + 9 = 19
Amb un deu o una figura i un deu:
10 o figura + 10 = 20
Amb un deu o una figura i un as (comptat com un onze):
10 o figura + as= 21
Vistos els resultats, podem deduir que si la suma de les nostres cartes no és inferior a 15
tenim més del 50 % de possibilitats de passar-nos i, per tant, de perdre si demanen una
altra carta. Però no hem de jugar només amb les nostres cartes sinó que també ho hem
de fer amb les del crupier, ja que depenent de quina carta sigui la que tingui de cap per
amunt demanarem una carta més o ens plantarem.
Segons les normes dites anteriorment el repartidor haurà d‟anar traient cartes fins que la
seva suma sigui 17 o més, per tant, calcularem quina és la probabilitat que obtingui 17,
18, 19, 20, 21 o que es passi observant quina és la seva primera carta.6
Primera
carta
17 18 19 20 21 Passar-se
As 13,41 % 13,41 % 13,41 % 13,41 % 36,48 % 9,89 %
2 14,64 % 14,03 % 13,37 % 12,66 % 11,90 % 33,41 %
3 14,16 % 13,59 % 12,98 % 12,32 % 11,61 % 35,33 %
4 13,68 % 13,15 % 12,60 % 11,97 % 11,31 % 37,32 %
5 13,19 % 12,70 % 12,17 % 11,61 % 10,99 % 39,33 %
6 12,48 % 12,03 % 11,54 % 11,01 % 10,44 % 42,50 %
7 38,50 % 9,51 % 9,05 % 8,56 % 8,03 % 26,34 %
8 14,31 % 37,39 % 8,39 % 7,94 % 7,45 % 24,52 %
9 13,28 % 12,28 % 36,36 % 7,36 % 6,91 % 22,82 %
10 o figura 12,31 % 12,31 % 12,31 % 35,39 % 6,39 % 21,28 %
6 Quadre extret del llibre A cara o cruz, ROSENTHAL, Jeffrey S. El càlcul d‟aquests percentatges es
troba en l‟annex 3.
En aquest cas, les cartes que faran
que et passis són el tres, el quatre,
el cinc, el sis, el set, el vuit, el nou,
el deu i les tres figures, és a dir, un
total d‟onze cartes.
Les cartes que faran que et passis
són el dos, el tres, el quatre, el
cinc, el sis, el set, el vuit, el nou, el
deu i les tres figures, és a dir, un
total de dotze cartes.
En aquesta situació, les cartes que
provocaran que et passis són l‟as,
el dos, el tres, el quatres, el cinc, el
sis, el set, el vuit, el nou, el deu i
les tres figures, és a dir, un total de
tretze cartes. En aquest cas, al tenir
una suma de 21 no cal demanar
més cartes.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
27
Després d‟haver examinat detingudament el quadre podem observar que les cartes amb
les que podem obtenir més fàcilment 17, 18, 19, 20 i 21 són, respectivament, la 7, la 8,
la 9, la 10 i l‟as. Això és a causa que amb una de les cinc cartes dites anteriorment i un
deu o una de les tres figures és més probable obtenir 17, 18, 19, 20 i 21 que amb una
altra carta qualsevol.
D‟altra banda, l‟as és la carta amb la que el crupier té menys probabilitats de passar-se
ja que pot valer tant un com onze punts. I la carta que farà que el repartidor es passi més
fàcilment és la carta 6, perquè si es combina amb qualsevol de les 13 cartes de la baralla
mai passarà de 17 i, per tant, haurà de tornar a demanar una altra carta. El fet d‟haver de
demanar una tercera carta fa que tingui més probabilitats de passar-se que amb
qualsevol de les altres cartes.
Un cop vist les probabilitats visualitzant les nostres cartes i les del crupier posem un
exemple per veure quina és la nostra probabilitat de guanyar.
Suposem que al començar la partida et donen un deu i un quatre, la suma de les quals és
catorze, i la primera carta del crupier és un sis. Com hem vist abans, si demanes una
altra carta la probabilitat de passar-te és del 46,15 %, ja que les cartes que et faran
passar-te seran un 8, un 9, un 10 o una de les tres figures. Per tant, si demanes una carta
les probabilitats de passar-te dependran d‟aquesta carta, tal i com mostra la taula
següent:7
Següent carta Probabilitat Total Probabilitat de guanyar Probabilitat
d‟empatar
As 1/13 15 42,50 % 0 %
2 1/13 16 42,50 % 0 %
3 1/13 17 42,50 % 12,48 %
4 1/13 18 42,50 + 12,48 = 54,98 %
12,03 %
5 1/13 19 54,98 + 12,03 = 67,01 % 11,54 %
6 1/13 20 67,01 + 11,54 = 78,55 % 11,01 %
7 1/13 21 78,55 + 11,01 = 89,56 % 10,44 %
8 1/13 22
9 1/13 23
10/figura 4/13 24
Total 32,12 % 4,42 %
La taula indica que la probabilitat total de guanyar si demanes una altra carta és del
32,12 % amb una probabilitat addicional del 4,42 % d‟empatar.
Per la seva part, el crupier comença amb un sis, que és una carta dolenta. I sabem,
gràcies a la taula anterior (la de la probabilitat que el crupier obtingui 17, 18, 19, 20, 21
o que es passi observant quina és la seva primera carta) que té una probabilitat de
passar-se del 42,50 %. Per tant, si ens plantem amb el deu i el quatre tenim una elevada
probabilitat de guanyar (42,50 % de guanyar), enfront del 32,12 % si demanem una altra
carta. Inclús amb la probabilitat d‟empatar només tindríem una probabilitat de guanyar
del 36,54 % demanant una altra carta.
Per tant, depenent de les cartes que ens hagin repartit en començar el joc i de la carta
descoberta del crupier podem saber si és millor plantar-nos o demanar una altra carta, és
a dir, tenim un petit avantatge enfront de la banca.
7 Quadre extret del llibre A cara o cruz, ROSENTHAL, Jeffrey S. El càlcul d‟aquests percentatges es
troba en l‟annex 4.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
28
5. Exemples del càlcul de probabilitats a les pel·lícules
5.1 21: BLACKJACK
Argument
En Ben Campbell és un noi que està a punt de llicenciar-se en el MIT (“Massachusetts
Institute of Technology”, Institut Tecnològic de Massachusetts ) i que vol entrar a la
facultat de medicina de Harvard, però necessita pagar més de 300.000 dòlars per poder
accedir-hi. Un dia, però, la seva sort canvia. És reclutat clandestinament pel seu
professor d‟estadística per anar a jugar al blackjack a Las Vegas, desbancar la banca i
guanyar una gran suma de diners. En Ben és ensinistrat pel seu professor, Mike Rosa,
en l‟art de comptar cartes. Aquest equip de brillants estudiants té un mètode infalible
per no ser descoberts pels casinos. Les paraules són números, per exemple dolç significa
+16. I utilitzen diferents signes, com per exemple, per indicar que la baralla està calenta
(significa que és el moment de fer grans apostes, ja que és quan es pot guanyar a la
banca) es creuen els braços per darrera del cos, o per dir que la baralla es refreda (hi ha
més probabilitats de perdre per al jugador) es toquen el front o, per informar que s‟ha
d‟abandonar el joc es toquen el cabell. L‟equip esta compost per un gran jugador, qui fa
les grans apostes, i els observadors que són els que realitzen apostes baixes i porten el
compte de les cartes fins que la taula es calenta.
Quan creuen que en Ben ja està preparat decideixen anar-se‟n a Las Vegas. La primera
nit en els casinos, en Ben i els seus companys d‟equip aconsegueixen desbancar-los
gràcies al simple fet de comptar cartes. Després d‟aquesta nit en Ben assaborirà el poder
de guanyar més diners dels que pogués haver somniat. Però aquesta espiral en què s‟ha
introduït el portarà a distanciar-se dels seus millors amics i a perdre tots el diners a
causa de la seva avarícia. En Ben, dolgut, torna a casa i es troba que li han robat tots els
diners que havia guanyat, no l‟han llicenciat en el MIT i no l‟han admès a la facultat de
medicina de Harvard. Ho ha perdut tot. Per això decideix proposar al seu antic
professor, Mike, tornar a formar el grup de blackjack on ell hi participaria. Viatgen a
Las Vegas, arriben al casino i comencen a jugar. Però enmig d‟una partida són sorpresos
per en Cole Williams, l‟encarregat de la seguretat del casino, i en Ben i els seus amics
han de fugir. Resulta, però, que en Ben havia fet anteriorment un tracte amb el Cole per
atrapar a en Mike i els deixa que se‟n vagin a canvi de les fitxes que havien guanyat
durant la partida de blackjack.
Finalment en Ben es llicencia al MIT i torna a poder intentar accedir a la facultat de
medicina de Harvard.
Aquesta història està basada en el llibre anomenat “Bringing Down the House: The
Inside Story of Six MIT Students Who Took Vegas for Millions” de Ben Mezrich, que
alhora està basat (amb alguns trets ficticis) en una història real sobre uns estudiants del
MIT que comptaven cartes i que van guanyar al voltant de 5 milions de dòlars en
diferents casinos a la dècada dels anys 90. Aquest grup d‟estudiants era denominat
equip de Blackjack del MIT.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
29
Part probabilística de la pel·lícula8
En la pel·lícula “21: blackjack” apareixen dos aspectes referents a la probabilitat. El
primer que es presenta fa referència al problema de Monty Hall o, com diuen en la
pel·lícula, el problema del presentador de concursos. I el segon, i a partir del qual es
basa tota la pel·lícula, és la probabilitat que tens de guanyar a la banca comptant cartes.
L‟escena on es parla del problema de Monty Hall es desenvolupa quan en Ben es troba a
la classe amb el seu professor d‟estadística. Aquest li explica el problema dient-li que el
presentador del concurs li demana que elegeixi una de les tres portes darrera de les quals
hi ha un cotxe nou i dues cabres. Aleshores en Ben li diu que tria la porta número 1. A
continuació el professor li diu que el presentador, que sap on es troben les cabres i el
cotxe, decideix obrir la porta número 3, on hi ha una cabra, i li pregunta a en Ben si vol
seguir amb la mateixa porta o si vol canviar-la per
la número dos. El problema el resol de la següent
manera: en un principi tenia un 33.3 % d‟encertar
la porta correcta, però quan el presentador ha
obert una de les dues portes que no havia escollit i
ha pogut tornar a triar una de les portes la
probabilitat que s‟emporti el cotxe ha augmentat
fins al 66.7 %.
Per tant, es pot observar que, encara que no s‟especifiqui que es fa a partir de la
probabilitat condicionada tal i com s‟ha vist en l‟apartat de deduccions errònies del
càlcul de probabilitats, el resultat de la probabilitat de canviar de porta és el correcte.
L‟altre aspecte que apareix en la pel·lícula és el fet de comptar cartes.
El mètode, utilitzat en el joc de cartes del blackjack, et permet saber quina és la
probabilitat d‟obtenir cartes favorables al jugador i cartes favorables al crupier.
Les cartes favorables al jugador seran les que tinguin un valor més elevat (10, J, Q, K i
as) i les cartes favorables al crupier seran aquelles que posseeixin un valor més baix (2,
3, 4, 5 i 6). Les cartes amb un valor baix són favorables al crupier, perquè ha de seguir
demanant cartes fins que la seva suma sigui 17 o més sense passar-se, és a dir, el que
intenta el repartidor és apropar-se tant com pugui a 21 i, les cartes amb un valor baix li
permeten dur a terme aquest objectiu sense el temor que es passi, ja que sinó el jugador
podria guanyar. Per altra banda, les cartes elevades són propícies per al jugador perquè
li permet sumar 21 o apropar-s‟hi moltíssim.
A més a més, sabent les cartes que han sortit en el joc es poden saber quines són les
cartes que encara queden a la baralla. Perquè, si prenen com a referència una sola
baralla, un cop s‟han repartit totes les cartes el compte d‟aquestes hauria de ser igual a
zero.
8 L‟explicació teòrica del joc del blackjack es troba explicada en l‟apartat 5.3.2 del treball de recerca.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
30
Valor de cada una de les cartes de la baralla:
Del 2 al 6 valor de +1
Del 10 al as valor de -1
Del 7 al 9 valor de 0 (neutre)
Si resulta que al cap d‟un temps el compte es troba en +15 significa que han sortit
moltes cartes amb un valor petit i poques amb un valor elevat. Això vol dir que en les
pròximes jugades és més probable que surtin més cartes elevades (amb un valor de -1) i,
per tant, són jugades més favorables per al jugador ja que les cartes elevades faran que
el crupier es passi. En canvi, si resulta que el compte es troba en -5 equival a dir que en
les jugades anteriors han sortit més cartes amb un valor de -1 (10, J, Q, K i as) que amb
un valor de +1 (2, 3, 4, 5, 6). Per tant, és més probable que el crupier guanyi més cops
que el jugador, ja que les cartes que es troben en la baralla són més favorables per al
crupier.
Aquest mètode, inventat pel professor Edward O. Thorp (1932- ) i anomenat Hi-Lo, va
aparèixer per primer cop al 1962 en el llibre anomenat “Beat the dealer”. La publicació
d‟aquest llibre va ser tot un èxit ja que demostrava que el blackjack no era un joc on
actués l‟atzar al 100 %. A més a més, va provocar que la por s‟apoderés dels casinos
d‟Estats Units a causa que pensaven que tota la població podria utilitzar aquest mètode
per guanyar sempre i desposseir de diners totes les seves arques. Per això van adoptar
un seguit de contramesures. Com per exemple, tal i com mostra la pel·lícula, hi ha un
moment en que en Ben és descobert comptant cartes, se l‟emporten per donar-li una
pallissa i després el treuen del casino. Aquesta és una de les mesures més brutals. Però
n‟hi ha d‟altres, com per exemple, fent servir més baralles, o posant una carta d‟un altre
color en les baralles, cosa que provoca que el crupier hagi de tornar a barallar les cartes i
que el jugador hagi de tornar a començar el compte de les cartes.
Posem, per entendre millor aquest mètode, un exemple que surt a la pel·lícula 21
blackjack:
En el joc hi participen dos jugadors (que en la pel·lícula corresponen a un gran
jugador i a un observador). El compte es troba en +16, això vol dir que les pròximes
jugades seran favorables per al jugador.
Comença el joc i la primera carta que reparteixen al
primer jugador és un 8, per tant, el compte segueix en
+16.
A continuació, reparteixen una primera carta al segon
jugador. Resulta que aquesta carta és un deu que té un
valor de -1, per tant, ara el compte es troba en +15.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
31
Tot seguit el crupier reparteix una segona carta al
primer jugador que resulta ser un 8, per tant, el compte
segueix en +15.
Després d‟això el crupier reparteix una segona carta
al segon jugador. Aquesta carta resulta ser un 9, per
tant, el compte segueix estant en +15.
Aleshores el crupier es reparteix a si mateix dues
cartes, una carta boca amunt i l‟altra boca avall. La
carta que s‟observa és un 5, per tant, el compte es
troba en +16.
A continuació, el primer jugador decideix separar els
dos vuits. Al separar els dos vuits el jugador podrà
rebre només una carta més per cada 8, és a dir, el
crupier només li podrà repartir dues cartes més.
Tot seguit el crupier reparteix al primer jugador una
carta més per a cada un dels dos vuits. La primera
carta és una J i la segons és un 10. Per tant, el compte
es troba en +14.
El segon jugador es queda amb les cartes que tenia, és
a dir, no demana més cartes.
Per últim el crupier aixeca la seva segona carta i
resulta ser una K, per tant, el compte es troba en +16.
Però com que la suma de les seves cartes és menor
que 17 se n‟ha de repartir una altra.
Aquesta carta resulta ser un 9. Per tant, el compte
segueix en +13.
A l‟acabar el joc, la suma de les cartes dels dos jugadors són 18 i 18, pel que fa al
primer jugador, i 19 pel que fa al segon. En canvi, la suma de les cartes del crupier és
24. Per tant, gràcies al mètode de comptar cartes els dos jugadors han pogut apropar-se
molt a 21, mentre que el crupier s‟ha passat.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
32
5.2 Rosencrantz i Guildenstern han mort
Argument
Rosencrantz i Guildenstern són dos personatges secundaris de “Hamlet” (de William
Shakespeare) que són requerits per la reina de Dinamarca i el seu futur marit per curar
els mals que pateix Hamlet, el príncep de Dinamarca. Durant el camí Rosencrantz troba
una moneda i comença a llançar-la. Resulta que, en contra del que diuen les lleis de la
probabilitat, sempre surt cara. Posteriorment els dos personatges protagonistes es creuen
amb un grup de còmics amb els quals realitzen una aposta a favor que al tirar la moneda
sortirà cara, però en contra de tots els pronòstics surt creu.
Tot seguit, el dos aventurers arriben al palau del príncep de Dinamarca, Hamlet, que és
el seu amic i intenten, mitjançant diversos mètodes, saber perquè es troba tan trist.
Durant l‟estada de Rosencrantz i Guildenstern al palau es troben un altre cop amb els
còmics amb els que havien realitzat una aposta que vénen al palau per millorar l‟estat de
Hamlet. Per poder obtenir el seu objectiu, representen una obra en la qual es veu com el
rei és mort pel seu germà i com aquest es casa amb la vídua per arribar a ser rei. Enmig
de l‟obra, el rei, entenent el que s‟estava representant, s‟aixeca enfadat de la cadira i
marxa fent crits de la representació. Intuint que Hamlet s‟hagués adonat del que havia
fet per ser rei, l‟envia cap a Anglaterra amb el dos protagonistes, Rosencrantz i
Guildenstern.
Finalment, Rosencrantz, Guildenstern i Hamlet es troben en el vaixell rumb cap a
Anglaterra on els dos primers porten una carta escrita pel rei que diu que a Hamlet, li
han de tallar el cap. Hamlet se n‟assabenta del que diu la carta i la canvia per una altra
en la que diu que els que han de morir són Guildenstern i Rosencrantz. Al finalitzar la
pel·lícula es pot observar que Hamlet i el rei (oncle de Hamlet) moren en un duel amb
espases, mentre que Rosencrantz i Guildenstern moren finalment penjats mitjançant una
soga.
Part probabilística de la pel·lícula
Al començar la pel·lícula, Rosencrantz troba una moneda en el camí i la recull.
Comença a llençar-la a l‟aire i resulta que les 20 primeres vegades surt cara. A
continuació, mentre els dos protagonistes prossegueixen el seu camí, Rosencrantz la
continua tirant, però resulta que sempre surt cara. Al parar-se per descansar i menjar
Rosencrantz i Guildenstern discuteixen sobre l‟estrany fenomen que al tirar la moneda
sempre surti cara. Segons Guildenstern, “Estamos
ante fuerzas sub o sobrenaturales”. A més a més,
dóna una raó per la qual al tirar la moneda sempre
surt cara: “El tiempo se detuvo. La experiencia de
arrojar una moneda una vez, se repitió 156 veces.
[…] O una espectacular prueba del principio de que
cada moneda lanzada al aire tiene las mismas
probabilidades de caer cara o cruz y por eso no debe
sorprender cada vez que lo hace”. Durant la seva aventura tiren la moneda unes 157
vegades, de les quals 157 surt cara. Però resulta que es troben amb uns còmics, els
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
33
quals, a canvi d‟unes monedes, els volen representar una obra. Guildenstern, una mica
enfadat pel tracte que ha rebut dels còmics, decideix apostar amb el seu cap què sortirà
si tira la moneda. Aquest li diu que sortirà cara i, aleshores, Guildenstern, veient que
perdrà, se‟n va. Rosencrantz torna a tirar la moneda a l‟aire, però en contra del que
havia passat anteriorment surt creu. Per tant, de les 158 vegades que han tirat la moneda
157 han sortit cara i 1 ha sortit creu.
La idea que de les 157 vegades que es tira la moneda, totes surten cara es pot rebatre
fàcilment gràcies a la llei dels grans nombres, ja que aquesta diu que la freqüència
relativa d‟un experiment tendeix a estabilitzar-se cap a una constant quan el nombre de
proves de l‟experiència esdevé molt gran. En aquest cas la constant correspon al 50 %.
És a dir, si es tira una moneda n vegades, aproximadament la meitat de les ocasions
sortirà cara i l‟altre meitat sortirà creu. Aquest pensament també apareix en la pel·lícula
quan Guildenstern diu “La ley de las probabilidades, si no me equivoco, dice que si
arrojas al aire a seis monos, caerán de cola tan a menudo como caerán de… […] cara
(respon Rosencrantz)”.
El fet que totes les vegades que Rosencrantz tira la moneda a l‟aire surti cara
(exceptuant l‟última tirada) és quasi impossible, com s‟ha dit anteriorment a causa del
que afirma la llei dels grans nombres. Aquest fet és perfectament comprovable amb la
simple experiència de llançar a l‟aire una moneda n vegades.
En aquest cas s‟ha llançat la moneda deu vegades, després vint, després trenta i així
successivament fins un total de 2100 vegades:
Nombre de vegades 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Cara 4 10 17 20 26 34 39 35 47 54
Creu 6 10 13 20 24 26 31 45 43 46
Nombre de vegades 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
Cara 55 59 67 70 75 79 84 89 96 101
Creu 55 61 63 70 75 81 86 91 94 99
A continuació he calculat les freqüències relatives i absolutes de l‟esdeveniment obtenir
cara i de l‟esdeveniment obtenir creu.
Nombre de vegades 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
freqüència absoluta cara 4 10 17 20 26 34 39 35 47 54
freqüència relativa cara 0,40 0,50 0,56 0,50 0,52 0,56 0,55 0,43 0,52 0,54
freqüència absoluta creu 6 10 13 20 24 26 31 45 43 46
freqüència relativa creu 0,60 0,50 0,43 0,50 0,48 0,43 0,44 0,56 0,47 0,46
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
34
Nombre de vegades 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
freqüència absoluta cara 55 59 67 70 75 79 84 89 96 101
freqüència relativa cara 0,50 0,49 0,51 0,50 0,50 0,49 0,49 0,49 0,50 0,505
freqüència absoluta creu 55 61 63 70 75 81 86 91 94 99
freqüència relativa creu 0,50 0,50 0,48 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,49 0,495
Per últim, he plasmat en un gràfic els resultats obtinguts en llançar a l‟aire la moneda.
Com es pot veure en el gràfic, com més vegades es llença la moneda a l‟aire més
s‟apropa la freqüència relativa a 0,500, és a dir, s‟estabilitza; tal i com diu la llei dels
grans nombres.
Encara que, com s‟ha vist anteriorment, el fet de llançar la moneda a l‟aire 158 vegades,
i que d‟aquestes 158 les 157 primeres vegades surtin cares sigui un fet bastant
improbable no vol dir que no sigui possible. La probabilitat que succeeixi això és la
següent:
També cal esmentar que és possible que la moneda que els protagonistes llencen al llarg
de la pel·lícula sigui defectuosa pel que fa al repartiment homogeni de la massa o del
pes. En aquest cas, els resultats obtinguts al tirar aquesta moneda a l‟aire un nombre de
vegades no complirien el que diu la llei dels grans nombres, és a dir, que la freqüència
relativa de l‟experiment de llançar a l‟aire 158 vegades no s‟aproparia al 50 %.
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
freqüència
relativa
cara
freqüència
relativa
creu
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
35
5.3 EL CAÇADOR
Argument
La història comença amb l‟amistat de sis amics, en Michael, l‟Stan, l‟Steven, en Nick,
en John i l‟Axel. Un d‟ells, l‟Steven, es casa amb Àngela just abans que tres dels sis
amics, en Michael, en Nick i ell mateix es dirigeixin a lluitar com a voluntaris en la
guerra del Vietnam.
Durant la guerra els tres amics són capturats per uns soldats vietnamites que els
obliguen a jugar a un joc d‟atzar anomenat la ruleta russa. Mentre ells intenten no morir
els soldats aposten qui serà, dels dos presoners que juguen, el que morirà. Finalment,
quan els toca jugar a en Michael i a en Nick, aconsegueixen matar als responsables de la
seva captura i escapar-se d‟aquell lloc a través del riu juntament amb l‟Steven. Mentre
els tres es troben al riu són rescatats per un helicòpter, però només puja en Nick, ja que
els altres dos cauen a l‟aigua i, encara que sobreviuen, l‟Steven es trenca les dues cames
al caure sobre unes roques. En Michael el treu del riu i els porta fins un camí on uns
policies vietnamites el socorren. Mentre passa això en Nick es traslladat a un hospital on
es va recuperant físicament però no psicològicament, ja que el temps que van estar tos
tres capturats els ha afectat d‟una manera brutal.
Quan en Michael torna a Amèrica es troba distant amb els seus amics a causa de les
greus seqüeles que li deixat la guerra. Mentre en Michael està amb els seus amics
s‟assabenta que l‟Steven ha tornat a casa i decideix anar a veure‟l. En Michael li diu que
ha de tornar a casa, però l‟Steven no vol tornar perquè sent que no serveix per res a
causa que l‟amputació de les cames que li han hagut de fer. A més a més, l‟Steven li diu
que algú, a qui no coneix, li envia unes figures d‟elefants i molts diners des d‟una ciutat
del Vietnam anomenada Saigon. En Michael, que sospita que és en Nick, decideix
tornar a Saigon per portar el seu amic a casa, a Pennsylvania. En Michael troba el seu
amic en una casa on es juga a la ruleta russa. Intenta treure‟l d‟allà però no ho
aconsegueix. Finalment decideix enfrontar-se a en Nick en el joc de la ruleta russa per
fer-lo entrar en raó, però resulta fatal, ja que en un moment de l‟enfrontament en Nick
es posa el revòlver al cap, apreta el gatell i mor. En Michael, tal i com havia promès,
porta el cos d‟en Nick a Pennsylvania on serà enterrat pels seus amics.
Part probabilística de la pel·lícula
La ruleta russa és un joc d‟atzar letal en el qual competeixen dos jugadors per la seva
vida o per guanyar diners.
En iniciar-se el joc, la persona que dirigeix el joc agafa una bala i la introdueix dins
d‟un dels sis llocs buits de la recambra del revòlver. Tot seguit gira el tambor i el tanca
ràpidament sense que cap dels dos jugadors pugui veure on es troba la bala. A
continuació un dels dos jugadors es posa la boca del canó del revòlver apuntant el cap i
dispara. Si la bala no surt, el joc continua i, aleshores, li toca disparar-se a l‟altre
jugador. Si resulta que la bala tampoc es dispara li torna a passar el revòlver al primer
jugador, i així successivament fins que la bala es dispari i mori algun dels dos jugadors.
Hi ha una escena de la pel·lícula on en Michael i en Nick juguen a la ruleta russa.
Aquesta escena es produeix quan en Michael torna al Vietnam per portar a casa en Nick.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
36
Però resulta que aquest últim es troba en una casa d‟apostes on es juga a la ruleta russa.
En Michael intenta fer-lo entrar en raó però no ho aconsegueix i s‟enfronta a ell en el
joc de la ruleta russa. En aquesta, cada cop que un dels dos jugadors es dispara, la
persona que organitza el joc (com un crupier en un joc de cartes) treu la bala d‟on
estava, la torna a introduir en un lloc diferent de la recambra i torna a girar el tambor.
Això fa que cada vegada que un jugador es dispara té
de probabilitats que la bala es
dispari. El que vull calcular és si hi ha cap diferència, pel que fa a la probabilitat que la
bala es dispari, entre l‟escena on es passen el revòlver sense que es tregui la bala i es
torni a donar voltes el tambor i l‟última escena on passa tot el contrari.
Probabilitat que la bala surti el segon cop que es dispara (amb una sola bala):
Probabilitat que la bala surti el tercer cop que es dispara (amb una sola bala):
Probabilitat que la bala surti el quart cop que es dispara (amb una sola bala):
Probabilitat que la bala surti el cinquè cop que es dispara (amb una sola bala):
Probabilitat que la bala surti el sisè cop que es dispara (amb una sola bala):
Dels resultats anteriors podem concloure que la probabilitat que es mati el primer
jugador és la següent:
El número tres correspon als torns en els quals li toca disparar-se, i
correspon a la
probabilitat que la bala surti disparada en cada un dels tres torns.
I la probabilitat que es mati el segon jugador és la següent:
El número tres correspon als torns en els quals li toca disparar-se, i
correspon a la
probabilitat que la bala surti disparada en cada un dels tres torns.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
37
Per tant, és el mateix ser el primer jugador en disparar-se que el segon, ja que tots dos
tenen les mateixes probabilitats que la bala surti disparada i que el jugador es mori.
En relació amb el dilema plantejat anteriorment de si hi havia cap diferència en el fet
que es giri el tambor del revòlver un cop que un dels dos jugadors s‟ha disparat o si, pel
contrari, no es gira, només cal dir que no hi ha cap diferència. Perquè la probabilitat
quan es gira el tambor és de:
Número de bales = 1 (casos favorables)
Número total de llocs de la recambra del revòlver = 6 (casos possibles)
I la probabilitat quan no es gira el tambor, com s‟ha vist anteriorment quan he calculat
la probabilitat que la bala es dispari en el segon, tercer, quart, cinquè o sisè cop és
sempre de
.
Per tant, el fet de girar o no el tambor del revòlver quan un dels dos jugadors ha pitjat el
gatell no condiciona la probabilitat que la bala es dispari.
D‟altra banda, ens podem formular la següent pregunta: quantes vegades es podrà jugar
a la ruleta russa en el cas que quan un jugador ha apretat el gatell es canvia la bala de
lloc i es gira el tambor del revòlver i en el cas que no es canviï de bala ni es giri el
tambor?
En el primer cas, les vegades que es podran jugar seran infinites, mentre que la bala no
surti. I en el segon cas el número màxim de vegades que es podrà jugar serà de sis abans
que la bala surti, perquè només hi ha sis llocs del revòlver on la bala pot estar-hi, és a
dir, en aquest cas només es podran realitzar sis jugades abans que la bala surti, ja que en
la sisena jugada, si la bala no ha sortit abans, serà la jugada mortal.
És possible que molta gent que sap com es jugada a la ruleta russa o que hagi llegit les
explicacions anteriors pensi que només es pot donar en la ficció, com per exemple en la
pel·lícula de “El caçador”. Però resulta que al març de 2010, en una boda russa, quan es
disposaven a brindar i a recitar els discurs, un convidat
treu una arma suposadament descarregada i amb més
convidats comença a jugar a la ruleta russa. Primer es va
disparar ell i tot seguit va passar la pistola a un convidat.
Resulta que quan aquest va disparar una bala de goma va
sortir de la pistola i va impactar contra el crani d‟aquest
segon convidat. L‟home va ser ingressat a un hospital
amb greus danys cerebrals i amb un pronòstic greu.9
9 Noticia extreta de la web
http://www.telecinco.es/informativos/internacional/noticia/100017662/El+juego+de+la+ruleta+rusa+ac
aba+en+tragedia+en+una+boda
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
38
6. Enquestes
La mostra seleccionada per realitzar aquesta enquesta es divideix en tres franges d‟edat.
La primera franja corresponen a un total de 52 alumnes de segon de l‟ESO, la segona
correspon a 54 alumnes de primer de batxillerat i, per últim, la tercera franja correspon a
32 persones adultes. A cada persona li vaig fer diverses preguntes sobre tres aplicacions
del càlcul de probabilitats: el joc dels dotze cavalls, el problema de Monty Hall i la
loteria.
Cal dir també que per poder realitzar l‟enquesta calia complir el següent requisit: les
persones l‟havien de realitzar en un interval màxim de trenta minuts, ja que volia que
aquestes posessin en pràctica la seva intuïció sense haver de realitzar cap càlcul de
probabilitats ni cap consulta a Internet o a un altre suport d‟informació.
Primer, analitzaré els resultats de cada franja d‟edat per separat i, després, compararé
tots els intervals d‟edat per saber les diferències que hi poden haver.
6.1 Alumnes de segon de l’ESO
6.1.1 Joc dels dotze cavalls10
Conclusions
Després d‟haver analitzat els dos gràfics anteriors es pot dir que molts dels alumnes de
segon de l‟ESO que van ser enquestats tenen una percepció errònia de la probabilitat,
perquè han dit que el cavall que té més probabilitats de guanyar és el 6 o el 8 i no el 7,
que és el que en realitat té més probabilitats de guanyar.
10
La resolució d‟aquest problema es troba en l‟annex 2.
46%
42%
12%
Per què ha triat aquest
cavall?
L'he triat a
l'atzar
Té més
probabilitats
de guanyar
No sap/no
contesta
1 3 1 2
4
9 8
9
6
4
2 3
0
2
4
6
8
10
Quin creu que és el cavall guanyador?
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
39
6.1.2 Monty Hall11
Conclusions
En aquest gràfic es pot veure clarament que la majoria dels alumnes de dotze i tretze
anys tenen una percepció errònia, ja que pensen que a l‟haver-hi al final del concurs
dues portes el percentatge de guanyar el cotxe és del 50 %, encara que no és així, perquè
si canvies de porta el percentatge de guanyar el cotxe és del 66,6 %.
6.1.3 Loteria12
Conclusions
Després d‟observar els dos gràfics es pot deduir que la majoria dels alumnes no tenen
una percepció errònia de la probabilitat, ja que diuen al trobar-se tots els números en el
bombo tots tenen les mateixes probabilitats de sortir i, a més a més, el que hagi tocat els
anys anteriors no condiciona el que toqui aquest any. També es pot observar que la
majoria no creu que sigui més favorable comprar en un establiment de loteria on l‟any
passat hagi tocat la grossa. En tot cas, la probabilitat que toqui en un establiment on
l‟any anterior va tocar la grossa augmenta perquè es venen més bitllets de loteria, però
això no t‟afavoreix a tu sinó que afavoreix a l‟establiment.
11
La resolució d‟aquest problema es troba en l‟apartat 3.2 del treball de recerca. 12
L‟explicació de la loteria es troba en l‟apartat 4.1 del treball de recerca.
13%
12%
75%
Quan creu que és més probable guanyar el cotxe?
Si no canvio tinc més probabilitas de
guanyar
Si canvio tinc més probabilitas de
guanyar
Tinc les mateixes probabilitats si
canvio de porta que si no
4%
21%
75%
Si els dos últims anys la grossa de la loteria de
Nadal ha acabat en 7 que creu que passaria
amb la d'aquest any?
Aquest any és més
probable que la loteria
acabi en 7
Aquest any és més
probable que la loteria
acabi en 3
És igual de probable
que acabi en 3 que en 7
33%
67%
Creu que és més favorable
comprar loteria en un
establiment on l'any passat
va tocar la grossa?
Sí
No
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
40
6.2 Alumnes de primer de batxillerat
6.2.1 Joc dels dotze cavalls
Conclusions
En el cas dels alumnes de primer de batxillerat només el 53,70 % dels enquestats tenen
una bona percepció de la probabilitat, ja que creuen que el cavall que té més
probabilitats de guanyar és el número set. De tota manera, hi ha un considerable número
de gent que creu que el cavall que ha triat, i que no és el correcte, és el que té més
probabilitats de guanyar, aproximadament un 36 %, i això demostra que no tenen una
percepció correcta del càlcul de probabilitats.
6.2.2 Monty Hall
Conclusions
Després d‟haver observat el gràfic es pot dir que bastant més de la meitat dels alumnes
enquestats de quinze i setze anys tenen, en aquest cas, una percepció errònia de la
probabilitat, ja que s‟equivoquen al dir que hi ha les mateixes probabilitats de guanyar
el cotxe tant si canvio de porta com si no. També cal dir que el 21 % de la població de
quinze i setze anys a contestat correctament a la pregunta, encara que això no vol dir
que la població enquestada tingui una bona percepció de la probabilitat, ja que qui ha
respòs correctament a la resposta és menys de ¼ de la població.
9%
21%
70%
Quan creu que és més probable guanyar el cotxe?
Si no canvio tinc més probabilitas de
guanyar
Si canvio tinc més probabilitas de
guanyar
Tinc les mateixes probabilitats si canvio
de porta que si no
0 0 0 1 2 11
29
8 2 0 1 0 0
5
10
15
20
25
30
35
Quin creu que és el cavall guanyador?
17%
81%
2%
Per què ha triat aquest cavall?
L'he triat a
l'atzar
Té més
probabilitats
de guanyar
No sap/no
contesta
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
41
6.2.3 Loteria
Conclusions
En el cas de la loteria, la majoria de la població enquestada, un 81 %, té una percepció
correcta de la probabilitat, perquè creuen que tots els números tenen les mateixes
probabilitats de sortir. A més a més, una bona part d‟aquesta població creu que no és
més favorable, per a la persona que compra la loteria, comprar-la en un establiment on
l‟any anterior va tocar la grossa, perquè alguns creuen que el fet de vendre més loteria
en un establiment no t‟afavorirà a tu, sinó que afavorirà a l‟establiment.
6.3 Persones adultes
6.3.1 Joc dels dotze cavalls
Conclusions
Un 56,25 % de les persones de més de divuit anys han respòs que el cavall número set
és el que té més probabilitats de guanyar, per tant, bona part de la població enquestada
té una percepció correcta del càlcul de probabilitats. D‟altra banda, el 43,75 %
d‟aquestes persones no tenen una percepció correcta de la probabilitat ja que han respòs
un número diferent del set, que és el cavall que té més probabilitats de guanyar.
2%
17%
81%
Si els dos últims anys la grossa de la loteria de
Nadal ha acabat en 7 que creu que passaria amb
la d'aquest any?
Aquest any és més
probable que la loteria
acabi en 7
Aquest any és més
probable que la loteria
acabi en 3
És igual de probable que
acabi en 3 que en 7
15%
85%
Creu que és més favorable
comprar loteria en un
establiment on l'any
passat va tocar la grossa?
Sí
No
39%
61%
0%
Per què ha triat aquest
cavall?
L'he triat a l'atzar
Té més probabilitats de guanyar
No sap/no contesta
0 0 0 0 1 5
18
4 3 0 0 1 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Quin creu que és el cavall guanyador?
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
42
6.3.2 Monty Hall
Conclusions
Observant aquest gràfic es pot extreure que un 56 % de les persones adultes enquestades
tenen una percepció errònia de la probabilitat, perquè han dit que al haver-hi dues portes
al final del concurs és igual si canvio que si no canvio. I que el 28 %, que són 9
persones de 36, creuen que si canvio de porta tinc més probabilitats de guanyar el cotxe
que si no canvio. D‟altre banda, també hi ha un 16 % de persones que tenen una
percepció errònia de la probabilitat, ja que diuen que si no canvio de porta tinc més
probabilitats de guanyar. En total, hi ha un 72 % de la població enquestada de més de
divuit anys que té una percepció errònia de la probabilitat.
6.3.3 Loteria
Conclusions
De l‟observació dels anteriors gràfics es pot observar que gairebé totes les persones
enquestades tenen una percepció correcta de la probabilitat, ja que diuen que és igual de
probable que surti qualsevol dels 85.000 números de loteria que es troben en el bombo.
Bastant gent, exactament un 56 %, també diu que tenen més probabilitats que els toqui
la loteria si compren en un establiment on l‟any passat havia tocat la grossa i això no és
cert. El que és cert és que si la gent compra molta loteria en un determinat establiment
és més probable que toqui allà, però això no t‟afavorirà a tu, sinó que afavorirà a
l‟establiment de venta de loteria perquè es vendran més números de loteria.
16%
28% 56%
Quan creu que és més probable guanyar el cotxe?
Si no canvio tinc més probabilitas
de guanyar
Si canvio tinc més probabilitas de
guanyar
Tinc les mateixes probabilitats si
canvio de porta que si no
0% 6%
94%
Si els dos últims anys la grossa de la loteria
de Nadal ha acabat en 7 que creu que
passaria amb la d'aquest any?
Aquest any és més
probable que la
loteria acabi en 7
Aquest any és més
probable que la
loteria acabi en 3
És igual de
probable que acabi
en 3 que en 7
56%
44%
Creu que és més favorable
comprar loteria en un
establiment on l'any passat
va tocar la grossa?
Sí
No
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
43
6.4 Comparació de les tres franges d’edat
6.4.1 Joc dels dotze cavalls
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
L'he triat a
l'atzar
Té més
probabilitats
de guanyar
No sap/no
contesta
Per què ha triat aquest cavall?
2n d'ESO
1r de
Batxillerat
Adults
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Quin creu que és el cavall guanyador?
2n d'ESO
1r de
Batxillerat
Adults
Conclusions
Analitzant els gràfics es pot
observar que la franja
d‟edat que té una percepció
més correcta de la
probabilitat, de les tres
franges enquestades, és la
formada pels adults, encara
que no són tots, ja que un
43,75 % de les persones
enquestades que són adultes
no han respòs de forma
correcta a aquesta pregunta
i, per tant, no tenen una
bona percepció de la
probabilitat. A continuació
dels adults es troba la franja
formada pels alumnes de
primer de batxillerat, en
relació a la quantitat de
persones que han respòs bé
a aquesta pregunta i que,
per tant, tenen una bona
percepció de la probabilitat.
En referència als alumnes
De segon de l‟ESO es podria dir que un 84,62 % de la població enquestada no té
una percepció correcta de la probabilitat. Per tant, les persones adultes tenen una
percepció més correcta de la probabilitat, perquè són persones més grans i tenen
més experiència acadèmica.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
44
6.4.2 Monty Hall
Conclusions
En aquest gràfic es pot observar que la majoria de la població total enquestada no
posseeixen una percepció correcta de la probabilitat, ja que la majoria diu que seria
igual de probable guanyar el cotxe tant si canvies com si no, quan la resposta correcta
hauria d‟haver estat que si canvies de porta tens més probabilitats de guanyar el cotxe.
També es pot observar que les persones més grans de divuit anys, és a dir, la franja que
correspon als adults, tenen una percepció de la probabilitat més bona que la resta,
mentre que són els alumnes de segon de l‟ESO els que tenen una percepció de la
probabilitat més errònia que la resta de les franges enquestades.
6.4.3 Loteria
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
Sí No
Creu que és més favorable comprar loteria en un establiment on l'any
passat va tocar la grossa?
2n d'ESO
1r de
Batxillerat
Adults
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
Si no canvio tinc més
probabilitas de guanyar
Si canvio tinc més
probabilitas de guanyar
Tinc les mateixes
probabilitats si canvio de
porta que si no
Quan creu que és més probable guanyar el cotxe?
2n d'ESO
1r de
Batxillerat
Adults
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
Aquest any és més
probable que la loteria
acabi en 7
Aquest any és més
probable que la loteria
acabi en 3
És igual de probable que
acabi en 3 que en 7
Si el dos últims anys la grossa de la loteria de Nadal ha acabat en 7 que creu que
passaria amb la d'aquest any?
2n d'ESO
1r de
Batxillerat
Adults
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
45
Conclusions
De la anàlisi dels gràfics es pot deduir que bona part de la població total enquestada té
una percepció correcta del càlcul de probabilitats. També es pot observar que els
alumnes de segon de l‟ESO enquestats són els que més han fallat en aquesta pregunta
dient que aquest any és més probable que la loteria acabi en tres i no en set. Però el que
és cert és que tots els números tenen les mateixes probabilitats i, per tant, pot ser que la
grossa torni a acabar en set encara que no ho sembli. En aquest cas, també són la
majoria dels adults els qui han respòs de forma correcta a aquesta pregunta, això és
possible, tal i com he dit anteriorment, perquè els adults van adquirint experiència a
mesura que van creixent, encara que, com es pot observar en el segon gràfic, un
56,26 % dels adults pensen que seria més favorable comprar en un establiment de venda
de loteria on l‟any passat hagués tocat la grossa. Això pot indicar que bastants adults
pensen que com que aquests establiments venen molta loteria és més probable que els
toqui a ells.
Conclusions generals
Les enquestes que he realitzat m‟han permès verificar la hipòtesi realitzada al
començament d‟aquest treball de recerca, ja que una bona part del total de la població
enquestada no té una percepció correcta de la probabilitat.
En el cas del joc dels dotze cavalls un 60,14 % té una percepció errònia de la
probabilitat, perquè ha triat un altre cavall que no era el set. En canvi, el 39,86 % ha
respòs de forma correcta a la pregunta. En aquest cas, han estat els alumnes de segon de
l‟ESO els que han respòs de forma menys correcta a aquesta Pel que fa al problema de
Monty Hall es pot veure clarament a través dels gràfics que la majoria de les persones
enquestades tenen una percepció errònia de la probabilitat. Ja que el 81,16 % del total
de persones enquestades han dit que si canvies de porta tens més probabilitats de
guanyar o que és igual de probable guanyar el cotxe tant si canvio de portat com si no.
Les dues respostes són incorrectes. I només el 18,84 % de la població total ha respòs
que si canvies de porta tens més probabilitats de guanyar de porta. Per tant, la majoria
d‟aquestes persones no tenen una percepció correcta de la probabilitat.
El cas de la loteria és l‟excepció, perquè la majoria de la població enquestada diu que és
igual de probable que el número de la grossa acabi en 7 que en 3. Concretament, un
81,88 % del total ha respòs correctament a aquesta pregunta. Això és possible perquè la
loteria de Nadal és un tema cultural molt arrelat al nostre país i del qual la majoria de la
gent sap que tots els números del bombo tenen les mateixes probabilitats de sortir.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
46
7. Conclusions
Aquest treball de recerca ha volgut fer un aprofundiment en la teoria de la probabilitat
així com detectar situacions de la vida ordinària de les persones on apareix el càlcul de
probabilitats. Aquests dos objectius marcats abans de realitzar el treball s‟han anat
complint al llarg de tot el treball de recerca, ja que durant tot aquest treball he intentat
aplicar la teoria de la probabilitat a diversos exemples com en el cas del problema de
Monty Hall o el joc de cartes anomenat blackjack.
En referència a la hipòtesi formulada al principi d‟aquest treball de recerca, que era la
següent: Hi ha qüestions en les quals la gent té una percepció errònia de la probabilitat,
els resultats obtinguts mitjançant la realització de les enquestes m‟han permès descobrir
que en alguns casos, com en el cas del problema de Monty Hall, la gent té una percepció
errònia de la probabilitat.
El treball de recerca que he realitzat m‟ha ensenyat que la probabilitat ja existia en
l‟antiga Grècia en jocs d‟atzar, com és el cas dels daus, i que ha anat evolucionat al llarg
del temps. O com gràcies a la correspondència entre Blaise Pascal i Pierre de Fermat es
van formar els primers fonaments de la teoria de la probabilitat i com s‟ha anat
desenvolupant fins que Andrei Nikolaevich Kolmogorov va formular la teoria
axiomàtica de la probabilitat.
També m‟ha permès descobrir com la probabilitat ens pot fer veure coses que en realitat
no són veritat, com en el cas del problema de les fitxes o el problema de Monty Hall. El
qual la probabilitat et fa creure que tens un 50 % de guanyar el cotxe si canvies de porta
com si no canvies, encara que la realitat et diu que si canvies de porta tens un 66,67 %
de guanyar el cotxe. Aquest és el cas de la probabilitat condicionada, és a dir, al principi
del concurs hem triat una de les tres portes, però resulta que el presentador, per ajudar-
nos, decideix obrir una de les portes que tu no havies triat darrera de la qual hi ha una
cabra. Si decideixes quedar-te amb la porta que tenies la probabilitat de guanyar un
cotxe és del 33.33 %, mentre que si decideixes canviar de porta la probabilitat de
guanyar el cotxe augmenta fins un 66,67 %. És un dels casos que m‟ha semblat més
interessants del càlcul de probabilitats perquè molts matemàtics creien que la
probabilitat de guanyar el cotxe era del 50 % i no del 66,67 % com deia la Marilyn vos
Savant. En un principi, abans d‟estudiar aquest cas, jo també creia que la probabilitat de
guanyar el cotxe era del 50 %, i em va deixar bocabadada veure que no tenia raó i que
en realitat la probabilitat de guanyar el cotxe era de 2/3. És un cas que sorprèn a molta
gent i que no deixa indiferent a ningú.
El treball també m‟ha donat a conèixer el món de les loteries que existeixen actualment.
El que he fet ha estat estudiar dos tipus de loteria que es juguen a Espanya, la loteria de
Nadal que es celebra el 22 de desembre i la lotto 6/49 que només es juga a Catalunya.
De cada loteria he calculat els guanys o les pèrdues que pots obtenir. En la loteria de
Nadal les persones que hi juguen perden de mitjana 6 euros per cada 20 que en juguen,
i, en cas de la lotto 6/49, les persones perden de mitjana uns 0,768 euros per cada 1 euro
que juguen. Els premis de les loteries són tant grans ja que perquè una persona guanyi
tant totes les altres persones que hi han jugat han de perdre. Les loteries sempre són
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
47
favorables per a qui les organitza, perquè són utilitzades per recaptar diners. Després
d‟això, i gràcies al que havia après de les loteries, he inventat una loteria en la qual el
joc sigui favorable per als jugadors, sigui desfavorable per als jugadors, és a dir
favorable a qui ven la loteria, i que sigui equitatiu per a les dues parts. De l‟estudi de les
loteries he extret la conclusió que sempre que jugues a qualsevol loteria a llarg termini
sempre perds, ja que és possible que un cop et toqui algun premi, però si tornes a jugar
més cops finalment el que has guanyat o perdràs. Com he dit abans, perquè uns pocs
puguin guanyar ha d‟haver-hi molts que hagin de perdre.
També he estudiat els jocs d‟atzar on la probabilitat té un paper molt important.
Concretament he estat estudiant la ruleta americana i el blackjack. En el cas de la ruleta
americana he analitzat quins han estat els guanys o les pèrdues de tres tipus d‟apostes:
apostar a un número, a un color i apostat a la primera, segona o tercera dotzena. En cada
un dels tres casos he arribat a la conclusió que a llarg termini sempre acabaràs perdent,
és a dir, com en el joc de loteria, és possible que en una aposta guanyis però si continues
jugant el que has guanyat ho acabaràs perdent. Per això cal no ser avariciós i retirar-te a
temps. Cal recordar que el casino mai perd, ja que sinó no seria rendible. En els cas del
joc de cartes anomenat blackjack el que he estat analitzat ha estat la probabilitat de
passar-se quan tens un deu o una figura (J, Q, K) i una de les tretze cartes que formen
cada pal de la baralla, la probabilitat que el crupier (el que reparteix les cartes) obtingui
17, 18, 19, 20, 21 o que es passi observant quina és la seva primera carta i, per últim, la
probabilitat total de guanyar i d‟empatar que tu tens amb un deu i un quatre quan la
carta descoberta del crupier és un sis. Aquest anàlisi em porta a dir que el fet de saber
quan tens més probabilitats de guanyar o de perdre enfront del crupier et dóna un
avantatge per saber quan apostar molts diners o quan retirar-te i quan demanar una carta
o plantar-te.
Del blackjack també en parla la pel·lícula “21: blackjack”. En aquesta pel·lícula es parla
del mètode de comptar cartes. Aquest mètode et permet saber quan has d‟apostar molts
diners en una jugada de blackcjack i quan no. És a dir, aquest mètode dóna a les cartes
del 2 al 6 el valor de +1, a les del 10 al as un valor de -1, i a les cartes del 7 al 9 un valor
de 0 (un valor neutre). Si al cap d‟un temps el compte es positiu vol dir que a la baralla
queden moltes cartes elevades (del 10 al as) i si resulta que el compte surt negatiu vol
dir que a la baralla queden cartes petites. Les cartes elevades faran que el crupier es
passi, per tant, són favorables al jugador, i les cartes petites faran que el crupier no es
passi i que el jugador tingui menys probabilitats d‟obtenir 21, per tant, són cartes
favorables al crupier. La conclusió extreta després de veure la pel·lícula i d‟haver
estudiar el mètode que utilitzen és que el fet de comptar cartes et dóna un avantatge de
guanyar a la banca, ja que els jocs d‟atzar, com he explicat anteriorment, sempre són
favorables per a qui els organitza i desfavorables per a qui juga, és a dir, la banca
sempre guanya.
Les altres dues pel·lícules que he analitzat i en les quals surten referències a la
probabilitat són “Rosencrantz i Guildenstern han mort” i “El caçador”. En la primera
pel·lícula es veu reflectida l‟aplicació de la llei dels grans nombres, ja que durant tota la
pel·lícula Rosencrantz tira una moneda 158 vegades, de les quals 157 surten creu i una
surt cara. Segons la llei dels grans nombres, que diu que la freqüència relativa d‟un
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
48
experiment tendeix a estabilitzar-se cap a una constant quan el nombre de proves de
l‟experiment és molt elevat, seria pràcticament impossible que això passés. No obstant,
la probabilitat que surtin cara 157 vegades és de , si la moneda no està
trucada.
En el cas de la pel·lícula de “El caçador” apareix el joc d‟atzar anomenat la ruleta russa.
A partir del que surt a la pel·lícula sobre la ruleta russa he calculat la probabilitat que la
bala surti i, per tant, que mati a algun dels jugadors, en diverses escenes de la pel·lícula.
He observat que el fet de ser el primer en disparar el revòlver o el segon no afectarà en
ser el primer que mor ja que tots dos tenen les mateixes probabilitats de morir. També
he observat que el fet de girar o no el tambor del revòlver quan un dels dos jugadors ha
disparat el revòlver no condiciona la probabilitat que la bala es dispari, és a dir, és igual
si es gira o no el tambor un cop un dels dos jugadors ha pitjat el gatell ja que la
probabilitat que la bala surti i que mati al jugador és la mateixa. D‟altra banda també he
analitzat el fet que si el tambor no es gira al llarg del joc els jugadors només podran
jugar sis vegades abans que un dels dos mori, en canvi, si el tambor del revòlver es gira
un cop el jugador a pitjat el gatell es podrà jugar un nombre indefinit de vegades, fins
que la bala surti.
Finalment, tal i com he explicat al principi d‟aquestes conclusions, les enquestes m‟han
servit per verificar o rebatre la hipòtesi que havia formulat abans de començar el treball.
Aquestes enquestes m‟han permès observar que la majoria de les persones enquestades
tenen una percepció errònia de la probabilitat pel que fa al joc dels dotze cavalls i al
problema de Monty Hall. En relació amb el problema de Monty Hall es podria dir que
com que al final del concurs les persones veuen que només queden dues portes pensen
que la probabilitat d‟emportar-se el cotxe era del 50 % i no pensen que el fet que el
presentador ens obri una de les portes que no havíem escollit darrera de la qual hi ha
una cabra ens aporta informació extra que fa variar la probabilitat d‟on es pot trobar la
segona cabra i el cotxe. En el cas de la loteria la majoria de les persones enquestades
han respòs correctament a la pregunta, ja que el joc de les loteries es troba arrelat en la
nostra societat i, per tant, la gent té un coneixement més gran sobre aquest.
Al llarg de la realització d‟aquest treball de recerca he trobat algunes dificultats, com
per exemple saber destriar la informació que no calia o que no feia falta per a la
redacció d‟aquest treball i després saber-la escriure de forma correcte i entenedora
perquè tothom la pogués entendre.
Crec que ha estat un treball molt útil perquè m‟ha fet descobrir coses que abans
ignorava i que m‟han semblat molt interessants, com per exemple el fet que quan jugues
a qualsevol joc d‟atzar sempre perds o el problema de Monty Hall. També he après tota
la teoria de la probabilitat, ja que és un tema que no es troba en el temari de la ESO ni
del batxillerat.
Pel que fa al treball de recerca crec que no tindria una continuïtat en el futur acadèmic,
perquè l‟únic que es podria ampliar serien nous exemples de l‟aplicació de la
probabilitat. Tampoc crec que em serveixi per als estudis posteriors que faré ja que no
tinc en ment dedicar-me al món de les matemàtiques. Vaig fer aquest treball perquè em
va semblar un tema molt interessant del qual podia aprendre moltes coses i no perquè
posteriorment em dediqués a estudiar matemàtiques.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
49
8. Bibliografia i bibliografia electrònica i web
ASENCIO, Mª J. i altres: “Estadística”. “Mc Graw Hill” (Madrid)
CORBALÁN, F. i SANZ G.: La conquista del azar. La teoria de probabilidades. “El
mundo es matemático”. RBA Villatuerta (Navarra).
EQUIPO RESEÑA: “Cine para leer”. Mensajero Bilbao.
HADDON MARK: “El curiós incident del gos a mitjanit”. La Magrana Barcelona.
HELMUT, Swoboda: “El libro de la Estadística Moderna”. Omega. Barcelona.
POBLACION SAEZ Alfonso Jesus: “Las matemáticas en el cine”. Proyecto sur de
ediciones. Granada.
PUJOL, R. i altres: “Estadística”. Casals. Barcelona
ROSENTHAL Jeffrey S.: “A cara o cruz” (el sorprendente mundo de las
probabilidades). Tusquets Editores. Barcelona.
VIZMANOS, J.R. i ANZOLA, M.: “Algoritmo. Matemáticas I”. SM. Madrid.
Casino onlinea.es: “Contar cartas en el Blackjack”. http://www.casinoen-
linea.es/conteo-de-cartas.html. Setembre 2011 (consulta).
Editorial Prensa Iberica: “Sorteo de Navidad”.
http://www.laloterianavidad.com/sorteo-navidad/. Setembre 2011 (consulta).
Informativos Telecinco: “el juego de la ruleta rusa acaba en tragedia en una boda”. http://www.telecinco.es/informativos/internacional/noticia/100017662/El+juego+de+la+rulet
a+rusa+acaba+en+tragedia+en+una+boda. 23.03.2010 (informativos Telecinco)
Loteries de Catalunya: “Lotto 6/49”.
http://www.lotocatalunya.net/jsps/cat/l649Last.jsp. Setembre 2011(consulta).
Ministerio de Economia y Hacienda: “Juegos. Informació general”.
http://www.onlae.es/inicio/botes. Setembre 2011 (consulta).
Nuestro casino: “Ruleta Europea”. http://www.nuestrocasino.com/ruleta.htm.
Setembre 2011 (consulta).
Ramón: “Tres puertas”: http://barcomasgrande.blogspot.com/2008/09/tres-
puertas.html. 12 de setembre de 2008 (publicació).
Wiquipedia: “Conteo de cartas”. http://es.wikipedia.org/wiki/Conteo_de_cartas. Aquesta
pàgina va ser modificada per última vegada el 28 de setembre de 2011.
Wiquipedia: “Ruleta rusa”. http://es.wikipedia.org/wiki/Ruleta_rusa. Aquesta pàgina va
ser modificada per última vegada el 5 de desembre de 2011.
Raquel Rodríguez Aller
Tutor: Oriol Busquets
Curs: 2011-2012
INS Joan Fuster
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
1
ANNEXOS
Annex 1. La teoria de la probabilitat
1.1 Experiències aleatòries .................................................................. Pàg. 2
1.2 Esdeveniments o successos ........................................................... Pàg. 2
1.3 Tipus d’esdeveniments .................................................................. Pàg. 3
1.4 Operacions amb esdeveniments .................................................... Pàg. 3
1.5 Probabilitat a través de la freqüència ............................................ Pàg. 6
1.6 Regla de Laplace ........................................................................... Pàg. 7
1.7 Definició axiomàtica de probabilitat ............................................. Pàg. 7
1.8 Probabilitat de la unió d’esdeveniments ....................................... Pàg. 9
1.9 Probabilitat condicionada .............................................................. Pàg. 9
1.10 Probabilitat composta o de la intersecció d’esdeveniments .......... Pàg. 11
1.11 Teorema de la probabilitat total .................................................... Pàg. 11
1.12 Teorema de Bayes ......................................................................... Pàg. 12
Annex 2. Combinatòria ................................................................................. Pag. 14
Annex 3. Resolució de la primera taula de percentatges del blackjack ......... Pag. 15
Annex 4. Resolució de la segona taula de percentatges del blackjack .......... Pag. 35
Annex 5. Fitxes tècniques de les pel·lícules
5.1 21: blackjack ................................................................................. Pàg. 37
5.2 Rosencrantz i Guildenstern han mort ............................................ Pàg. 37
5.3 El caçador ...................................................................................... Pàg. 38
Annex 6. Model d’enquesta ........................................................................... Pàg. 39
Annex 7. Resultats de l’enquesta ................................................................... Pàg. 44
Annex 8. Resolució del problema dels dotze cavalls .................................... Pàg. 45
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
2
Annex 1. La teoria de la probabilitat
1.1 Experiències aleatòries
Les experiències es divideixen en dues classes: aleatòries i deterministes.
Experiències aleatòries: una experiència és aleatòria o d’atzar si en repetir-la en les
mateixes condicions és impossible predir-ne el resultat.
Un exemple d’una experiència aleatòria seria l’extracció d’una carta d’una baralla
espanyola.
Experiències deterministes: una experiència és determinista si en repetir-la en les
mateixes condicions s’obté sempre el mateix resultat.
Un exemple d’experiència determinista seria mesurar la longitud d’una
circumferència de radi 5 m.
1.2 Esdeveniments o successos
L’espai universal associat a una experiència aleatòria és el conjunt de tots els resultats
que es poden obtenir. Es representa amb la lletra E, encara que també es pot trobar
representat per la lletra grega omega Ω. Els elements de l’espai universal s’escriuen
entre claus i separats per comes.
Exemple: l’espai universal associat a l’experiment que consisteix en llençar dues
monedes a l’aire i anotar els resultats de les cares superiors.
E = CC, CX, XC, XX
Un esdeveniment d’una experiència aleatòria és cada un dels subconjunts de l’espai
universal E. Es designen amb lletres majúscules A, B, C, D, … i els elements s’escriuen
entre claus i separats per comes.
Exemple: espai universal associat a l’experiment de llançar un dau a l’aire i anotar els
resultats de la cara superior.
E = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Esdeveniments de E:
Sortir número primer: A = 2, 3, 5
Sortir número parell: B = 2, 4, 6
Sortir múltiple de 5: C = 5
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
3
Un esdeveniment es verifica si en fer una prova de l’experiència aleatòria s’obté un
resultat que és un element de l’esdeveniment. També es diu que es presenta o es
realitza.
Exemple: En l’experiència de tirar un dau numerat de l’1 al 6 en les seves cares i anotar-
ne els resultats de la cara superior, si l’esdeveniment A és obtenir un número primer,
A = 2, 3, 5, es verificarà si en llançar el dau s’obté com a resultat el 2, el 3 o el 5.
1.3 Tipus d’esdeveniments
Esdeveniment elemental: és cada un dels resultats simples que s’obté en dur a terme
l’experiència. És cada un dels esdeveniments de l’espai universal.
Exemple: experiència que consisteix en llançar a l’aire una moneda i anotar els
resultats de la cara superior.
Espai universal: E = C, X
Esdeveniments elementals: C, X
Esdeveniment segur: és aquell que sempre es verifica. És l’espai universal.
Esdeveniment impossible: és aquell que mai no es realitza. Es representa amb el
símbol Ø.
1.4 Operacions amb esdeveniments
Unió d’esdeveniments
L’esdeveniment A unió B és l’esdeveniment que es verifica quan es realitza algun
dels dos. La seva representació és . També es poden representar de la següent
forma: A o B.
Exemple: considerem, en l’experiment del llançament d’un dau, l’espai universal del
qual és E = 1, 2, 3, 4, 5, 6, els següents esdeveniments:
Sortir parell A = 2, 4, 6
Sortir número primer B = 2, 3, 5
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
4
Intersecció d’esdeveniments
L’esdeveniment A intersecció B és l’esdeveniment que es verifica quan es realitza A
i es realitza B. La seva representació és També es pot representar de la
següent manera: A i B.
Exemple: considerem un altre cop els mateixos esdeveniments que en la unió.
Sortir parell A = 2, 4, 6
Sortir número primer B = 2, 3, 5
Esdeveniments compatibles i esdeveniments incompatibles:
Dos esdeveniments són compatibles si es poden verificar a la vegada, és a dir, si els dos
es realitzen de manera simultània. Si , aleshores A i B són compatibles.
Exemple:
Números parells: A = 2, 4, 6
A i B són
Números més grans que 4: B = 5, 6 compatibles
Dos esdeveniments són incompatibles si no es poden verificar a la vegada, és a dir, quan
dos esdeveniments no es realitzen de manera simultània. Si aleshores A i B
són incompatibles.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
5
Números parells: A = 2, 4, 6
A i B són
Números primers incompatibles
més grans que 2: B = 3, 5
Esdeveniment contrari
Donat un experiment A, s’anomena esdeveniment contrari d’A un esdeveniment que
es verifica quan no es realitza A, és a dir, és un esdeveniment que es realitza quan no
es realitza A. La seva representació és . També es pot representar mitjançant A’ o
bé Ac. Es verifica que el contrari d’A és .
També es verifica que:
1. L’esdeveniment contrari de l’esdeveniment segur és l’esdeveniment impossible:
=
2. L’esdeveniment contrari de l’esdeveniment impossible és l’esdeveniment segur:
= E
Exemple: Sent l’experiment que consisteix en el llançament d’un dau, l’espai
universal del qual és E = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Esdeveniment sortir número senar A = 1, 3, 5
Esdeveniment contrari
Esdeveniment sortir número parell
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
6
Sistema complet d’esdeveniments
Un sistema complet d’esdeveniments és un conjunt d’esdeveniments A1, A2, A3,…,
An de manera que verifiquen:
1. .
2. A1, A2, A3, …, An són incompatibles dos a dos.
Exemple: En l’experiment que consisteix en llançar a l’aire un dau i apuntar els
resultats, el qual té un espai universal E = 1, 2, 3, 4, 5, 6, considerem els següents
esdeveniments:
A = 1, 2, 6 B = 3, 4 C = 5
1.5 Probabilitat a través de la freqüència
La freqüència absoluta de l’esdeveniment A, quan es du a terme l’experiència N
vegades, és el nombre de vegades que es verifica l’esdeveniment A. La seva
representació és .
La freqüència relativa de l’esdeveniment A és el quocient de la freqüència absoluta
pel nombre N de vegades que es du a terme l’experiència. La seva representació és .
=
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
7
Llei dels grans nombres
La llei dels grans nombres diu que la freqüència relativa d’un experiment tendeix a
estabilitzar-se cap a una constant quan el nombre de proves de l’experiència esdevé
molt gran.
1.6 Regla de Laplace
Formulada per Pierre Simon Laplace (1749-1827).
Si tenim un espai universal E format per esdeveniments elementals equiprobables (són
esdeveniments que tenen la mateixa possibilitat de ser obtinguts), la probabilitat d’un
experiment A és igual al nombre de casos favorables dividit pel nombre de casos
possibles.
Anomenarem casos favorables als elements que formen l’esdeveniment A.
Anomenarem casos possibles a tots els resultats de l’experiment, és a dir, a tots els
elements que componen l’espai universal.
Exemple: Llancem dues monedes que tenen per espai universal E = CC, CX, XC, XX
L’esdeveniment és obtenir almenys una cara.
Casos possibles E = CC, CX, XC, XX
Casos favorables A = CC, CX, XC
1.7 Definició axiomàtica de probabilitat
El problema de la definició de probabilitat de Laplace és que per poder aplicar-la s’ha
de suposar que tots els esdeveniments elementals d’un experiment són equiprobables.
La definició axiomàtica de probabilitat és deguda al matemàtic rus Andrei Nicolaievich
Kolmogorov (1903-1987).
La idea fonamental de la definició axiomàtica de probabilitat descrita per Kolmogorov
és que existeix una gran relació entre el concepte de freqüència relativa d’un
esdeveniment i la seva probabilitat, quan el número de proves efectuades de
l’experiment és molt gran.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
8
S’anomena probabilitat a una llei que associa a cada esdeveniment A, d’un espai
universal, un número real que anomenem probabilitat de A i es representa de la següent
manera p(A), i que compleix els següents axiomes o propietats:
1. La probabilitat d’un esdeveniment qualsevol de l’espai universal és sempre més
gran o igual a zero.
p(A)
2. La probabilitat de l’esdeveniment segur és 1.
p(E) = 1
3. La probabilitat de la unió de dos esdeveniments incompatibles és igual a la suma
de les seves probabilitats.
Conseqüències dels axiomes o de les propietats
a) Probabilitat de l’esdeveniment contrari.
La probabilitat de l’esdeveniment (que és el contrari de l’esdeveniment A) és
igual a 1 menys la probabilitat de l’esdeveniment A.
p( ) = 1 p(A)
Demostració:
1 = p(E) = 1 = p(A) ); p(
b) Probabilitat de l’esdeveniment impossible.
La probabilitat d’un esdeveniment impossible sempre és zero.
p( ) = 0
Demostració:
p( ) = p(
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
9
1.8 Probabilitat de la unió d’esdeveniments
Probabilitat de la unió d’esdeveniments incompatibles.
Si A i B són dos esdeveniments incompatibles d’un mateix experiment, es
verifica que la probabilitat de la unió d’aquests dos esdeveniments és igual a la
suma de les seves probabilitats.
Equació general:
…
Probabilitat de la unió d’esdeveniments compatibles.
Si A i B són dos esdeveniments compatibles d’un mateix experiment, es verifica
que la probabilitat de la unió de A i B és igual a la suma de les seves
probabilitats menys la probabilitat de la intersecció de A i B.
p
Aquesta expressió no és només es pot aplicar a dos esdeveniments. També és
possible utilitzar-la amb tres o més esdeveniments.
1.9 Probabilitat condicionada
La probabilitat condicionada de l’esdeveniment B condicionat per l’esdeveniment A és
la probabilitat que es realitzi B havent-se realitzat l’esdeveniment A. La seva
representació és P(B/A).
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
10
Exemple: tenim en una urna vuit boles blava i onze verdes de la qual s’ha extret
successivament dues boles sense tornar-les a la urna. Quina és la probabilitat que havent
tret una bola de color blava la segona sigui de color verda?
Esdeveniment A = treure bola blava en la primera extracció
Esdeveniment B = treure bola verda en la segona extracció.
Blava
Blava
Verda Verda
Verda
Propietats de la probabilitat condicionada
Els esdeveniments A i B seran dependents si P(A) P(A/B) i P(B) P(B/A).
Els dos esdeveniments seran dependents si les extraccions es realitzen sense
devolució. És a dir, si vols saber quina es la probabilitat de treure un as en una
baralla espanyola havent tret primer un as sense haver tornat la carta a la baralla.
Els esdeveniments A i B seran independents si P(A) = P(A /B) i P(B) = P(B/A).
Els dos esdeveniments seran independents si les extraccions es realitzen amb
devolució. És a dir, si tens tres boles vermelles i dues negres en una urna i vols saber
la probabilitat de treure una bola de color negre havent tret una bola de color vermell
i que posteriorment has tornat a deixar a la urna.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
11
1.10 Probabilitat composta o de la intersecció d’esdeveniments
Probabilitat de la intersecció d’esdeveniments independents.
Si A i B són dos esdeveniments independents, la probabilitat de la intersecció d’A i
B és igual a producte les probabilitats de cadascun d’ells.
Probabilitat de la intersecció d’esdeveniments dependents.
Si A i B són dos esdeveniments dependents, la probabilitat de la intersecció d’A i B
és igual al producte de la probabilitat d’un d’ells per la probabilitat condicionada de
l’altre.
Teorema de la probabilitat composta
Si són esdeveniments independents d’una experiència i la probabilitat
de la verificació simultània dels n esdeveniments no és nul·la, aleshores es verifica
que:
1.11 Teorema de la probabilitat total
Donat un sistema complet d’esdeveniments tals que la probabilitat de cada
un d’ells sigui diferent de zero i que B sigui un esdeveniment qualsevol, la probabilitat
total de B ve donada per la següent expressió:
Demostració:
Aplicant les propietats de les operacions amb esdeveniments, podem obtenir que:
Aplicant les propietats de les probabilitats simple i condicionada, podem obtenir que:
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
12
Exemple: Provem quatre vacunes, en 100 persones. La vacuna es prova en
40 pacients, la vacuna en 25 i la vacuna en 35. Després que hagi passat el temps
adequat perquè les vacunes hagin causat algun efecte s’observa que del grup al qual
s’havia subministrat la vacuna no han contret la malaltia 27 persones, del grup no
l’han contret 19 persones i del grup no l’han contret 20 persones. Quina és la
probabilitat d’escollir a l’atzar una persona sana.
Esdeveniment T = persones sanes.
1.12 Teorema de Bayes
Donat un sistema complet d’esdeveniments tals que la probabilitat de cada
un d’ells sigui zero i que un esdeveniment B qualsevol, la probabilitat que es verifiqui
, condicionat el fet que abans s’hagi verificat l’esdeveniment B, és la següent:
Les probabilitats s’anomenen a priori, perquè són conegudes.
Les probabilitats p(B/A) s’anomenen versemblances, perquè són creïbles i no
brinden cap dubte.
Les probabilitats s’anomenen a posteriori, perquè són les que s’han de
calcular, és a dir, no són conegudes.
Demostració:
Partint de la definició de probabilitat condicionada tenim que:
Aplicant la definició de probabilitat condicionada podem obtenir que:
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
13
Per la definició del teorema de la probabilitat podem obtenir que:
Per últim, substituïm en la definició de probabilitat condicionada i obtenim que:
Exemple: Sabem que la probabilitat que un cotxe que va des de Madrid cap a Barcelona
pateixi un accident en un dia amb núvols és de 0,09 i que pateixi un accident en un dia
que faci sol és de 0,005. Durant un període de 10 dies hi ha hagut 8 dies que ha fet sol i
2 dies que han estat nuvolosos. Sabem que s’ha produït un accident en algun d’aquests
dies i volem saber quina és la probabilitat que hagi estat en un dia amb núvols i la
probabilitat que hagi passat en un dia amb sol.
Probabilitats de patir un accident:
a) Esdeveniment A: Probabilitat que hagi estat en un dia amb núvols.
Esdeveniment B: sabem que s’ha produït un accident
b) Probabilitat que hagi passat en un dia amb sol.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
14
Annex 2. Combinatòria
El factorial d’un número m es representa de la següent forma m! i es defineix com
m! = m (
Cal tenir en compte que 0! = 1.
Exemple:
5!
S’anomena combinacions d’ordre n dels elements a les agrupacions
de n elements que es poden formar amb ells i que es diferencien les unes de les altres en
algun element.
La seva fórmula general és:
Exemple:
Tenim que A = a, b, c, d i anem a formar les combinacions de n elements i calcular el
seu número. Sigui el conjunt A = a, b, c, d, de m= 4 elements
n = 1 a b c d
n = 2 ab ac ad
bc bd
cd
n = 3 adc abd
acd
bcd
n = 4 abcd
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
15
Annex 3. Resolució de la primera taula de percentatges del
blackjack
En aquest cas, la carta descoberta del crupier correspon a un as, que pot valer tant un
com onze punts. El que calcularé amb l’ajuda de les següents taules és quina és la
probabilitat que té el crupier d’obtenir 17 punts. El funcionament d’aquestes taules és el
següent: es van agrupant els diferents números que formen la baralla (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, 10, F1, F2, F3) d’un en un, de dos en dos, de tres en tres, etc. De manera que les
agrupacions de números que sumen 17 es trobaran marcades de color verd i les que
sumin 21 de color vermell.
En un principi, l’as descobert del crupier valdrà onze punts, però si resulta que la suma
de les seves cartes és superior a 21 (valent l’as onze punts) aleshores l’as valdrà 1 punt.
Ara el que faré serà sumar els onze punts que val l’as amb les diferents puntuacions de
les cartes que formen la baralla per veure quina és la que suma 17 punts.
1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 F1
A continuació agafarem els números inferiors a 6 i els agruparem amb les diferents
cartes que formen la baralla a causa que la seva suma és inferior a 17. Ja que segons diu
la normativa el crupier haurà d’anar traient cartes fins que la suma d’aquestes sigui 17 o
superior. També hauré d’agafar els números que tenen una suma superior a 21, ja que
poden sumar 17 si resulta que l’as val un punt en comptes d’onze.
2)
11 12 13 14 15 16 17 18 19 1F
21 22 23 24 25 26 27 28 29 2F
31 32 33 34 35 36 37 38 39 3F
41 42 43 44 45 46 47 48 49 4F
51 52 53 54 55 56 57 58 59 5F
3)
111 112 113 114 115 116 117 118 119 11F
121 122 123 124 125 126 127 128 129 12F
131 132 133 134 135 136 137 138 139 13F
141 142 143 144 145 146 147 148 149 14F
1F1 1F2 1F3 1F4 1F5 1F6 1F7 1F8 1F9
1 La F correspon a les cartes que valen 10 punts, és a dir, al 10 i les tres figures.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
16
211 212 213 214 215 216 217 218 219 21F
221 222 223 224 225 226 227 228 229 22F
231 232 233 234 235 236 237 238 239 23F
291 292 293 294 295 296 297 298 299
2F1 2F2 2F3 2F4 2F5 2F6 2F7 2F8
311 312 313 314 315 316 317 318 319 31F
321 322 323 324 325 326 327 328 329 32F
381 382 383 384 385 386 387 388 389
391 392 393 394 395 396 397 398
3F1 3F2 3F3 3F4 3F5 3F6 3F7
411 412 413 414 415 416 417 418 419 41F
471 472 473 474 475 476 477 478 479
481 482 483 484 485 486 487 488
491 492 493 494 495 496 497
4F1 4F2 4F3 4F4 4F5 4F6
561 562 563 564 565 566 567 568 569
571 572 573 574 575 576 577 578
581 582 583 584 585 586 587
591 592 593 594 595 596
5F1 5F2 5F3 5F4 5F5
4)
1111 1112 1113 1114 1115 1116 1117 1118 1119 111F
1121 1122 1123 1124 1125 1126 1127 1128 1129 112F
1131 1132 1133 1134 1135 1136 1137 1138 1139 113F
1191 1192 1193 1194 1195 1196 1197 1198 1199
11F1 11F2 11F3 11F4 11F5 11F6 11F7 11F8
1211 1212 1213 1214 1215 1216 1217 1218 1219 121F
1221 1222 1223 1224 1225 1226 1227 1228 1229 122F
1281 1282 1283 1284 1285 1286 1287 1288 1289
1291 1292 1293 1294 1295 1296 1297 1298
12F1 12F2 12F3 12F4 12F5 12F6 12F7
1311 1312 1313 1314 1315 1316 1317 1318 1319 131F
1371 1372 1373 1374 1375 1376 1377 1378 1379
1381 1382 1383 1384 1385 1386 1387 1388
1391 1392 1393 1394 1395 1396 1397
13F1 13F2 13F3 13F4 13F5 13F6
1461 1462 1463 1464 1465 1466 1467 1468 1469
1471 1472 1473 1474 1475 1476 1477 1478
1481 1482 1483 1484 1485 1486 1487
1491 1492 1493 1494 1495 1496
14F1 14F2 14F3 14F4 14F5
1F11 1F12 1F13 1F14 1F15 1F16 1F17 1F18
1F21 1F22 1F23 1F24 1F25 1F26 1F27
1F31 1F32 1F33 1F34 1F35 1F36
1F41 1F42 1F43 1F44 1F45
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
17
2111 2112 2113 2114 2115 2116 2117 2118 2119 211F
2121 2122 2123 2124 2125 2126 2127 2128 2129 212F
2181 2182 2183 2184 2185 2186 2187 2188 2189
2191 2192 2193 2194 2195 2196 2197 2198
21F1 21F2 21F3 21F4 21F5 21F6 21F7
2211 2212 2213 2214 2215 2216 2217 2218 2219 221F
2271 2272 2273 2274 2275 2276 2277 2278 2279
2281 2282 2283 2284 2285 2286 2287 2288
2291 2292 2293 2294 2295 2296 2297
22F1 22F2 22F3 22F4 22F5 22F6
2361 2362 2363 2364 2365 2366 2367 2368 2369
2371 2372 2373 2374 2375 2376 2377 2378
2381 2382 2383 2384 2385 2386 2387
2391 2392 2393 2394 2395 2396
23F1 23F2 23F3 23F4 23F5
2911 2912 2913 2914 2915 2916 2917 2918
2921 2922 2923 2924 2925 2926 2927
2931 2932 2933 2934 2935 2936
2941 2942 2943 2944 2945
2F11 2F12 2F13 2F14 2F15 2F16 2F17
2F21 2F22 2F23 2F24 2F25 2F26
2F31 2F32 2F33 2F34 2F35
3111 3112 3113 3114 3115 3116 3117 3118 3119 311F
3171 3172 3173 3174 3175 3176 3177 3178 3179
3181 3182 3183 3184 3185 3186 3187 3188
3191 3192 3193 3194 3195 3196 3197
31F1 31F2 31F3 31F4 31F5 31F6
3261 3262 3263 3264 3265 3266 3267 3268 3269
3271 3272 3273 3274 3275 3276 3277 3278
3281 3282 3283 3284 3285 3286 3287
3291 3292 3293 3294 3295 3296
32F1 32F2 32F3 32F4 32F5
3811 3812 3813 3814 3815 3816 3817 3818
3821 3822 3823 3824 3825 3826 3827
3831 3832 3833 3834 3835 3836
3841 3842 3843 3844 3845
3911 3912 3913 3914 3915 3916 3917
3921 3922 3923 3924 3925 3926
3931 3932 3933 3934 3935
3F11 3F12 3F13 3F14 3F15 3F16
3F21 3F22 3F23 3F24 3F25
4161 4162 4163 4164 4165 4166 4167 4168 4169
4171 4172 4173 4174 4175 4176 4177 4178
4181 4182 4183 4184 4185 4186 4187
4191 4192 4193 4194 4195 4196
41F1 41F2 41F3 41F4 41F5
4711 4712 4713 4714 4715 4716 4717 4718
4721 4722 4723 4724 4725 4726 4727
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
18
4731 4732 4733 4734 4735 4736
4741 4742 4743 4744 4745
4811 4812 4813 4814 4815 4816 4817
4821 4822 4823 4824 4825 4826
4831 4832 4833 4834 4835
4911 4912 4913 4914 4915 4916
4921 4922 4923 4924 4925
4F11 4F12 4F13 4F14 4F15
5611 5612 5613 5614 5615 5616 5617 5618
5621 5622 5623 5624 5625 5626 5627
5631 5632 5633 5634 5635 5636
5641 5642 5643 5644 5645
5711 5712 5713 5714 5715 5716 5717
5721 5722 5723 5724 5725 5726
5731 5732 5733 5734 5735
5811 5812 5813 5814 5815 5816
5821 5822 5823 5824 5825
5911 5912 5913 5914 5915
5)
11111 11112 11113 11114 11115 11116 11117 11118 11119 1111F
11121 11122 11123 11124 11125 11126 11127 11128 11129 1112F
11181 11182 11183 11184 11185 11186 11187 11188 11189
11191 11192 11193 11194 11195 11196 11197 11198
111F1 111F2 111F3 111F4 111F5 111F6 111F7
11211 11212 11213 11214 11215 11216 11217 11218 11219 1121F
11271 11272 11273 11274 11275 11276 11277 11278 11279
11281 11282 11283 11284 11285 11286 11287 11288
11291 11292 11293 11294 11295 11296 11297
112F1 112F2 112F3 112F4 112F5 112F6
11361 11362 11363 11364 11365 11366 11367 11368 11369
11371 11372 11373 11374 11375 11376 11377 11378
11381 11382 11383 11384 11385 11386 11387
11391 11392 11393 11394 11395 11396
113F1 113F2 113F3 113F4 113F5
11911 11912 11913 11914 11915 11916 11917 11918
11921 11922 11923 11924 11925 11926 11927
11931 11932 11933 11934 11935 11936
11941 11942 11943 11944 11945
11F11 11F12 11F13 11F14 11F15 11F16 11F17
11F21 11F22 11F23 11F24 11F25 11F26
11F31 11F32 11F33 11F34 11F35
12111 12112 12113 12114 12115 12116 12117 12118 12119 1211F
12171 12172 12173 12174 12175 12176 12177 12178 12179
12181 12182 12183 12184 12185 12186 12187 12188
12191 12192 12193 12194 12195 12196 12197
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
19
121F1 121F2 121F3 121F4 121F5 121F6
12261 12262 12263 12264 12265 12266 12267 12268 12269
12271 12272 12273 12274 12275 12276 12277 12278
12281 12282 12283 12284 12285 12286 12287
12291 12292 12293 12294 12295 12296
122F1 122F2 122F3 122F4 122F5
12811 12812 12813 12814 12815 12816 12817 12818
12821 12822 12823 12824 12825 12826 12827
12831 12832 12833 12834 12835 12836
12841 12842 12843 12844 12845
12911 12912 12913 12914 12915 12916 12917
12921 12922 12923 12924 12925 12926
12931 12932 12933 12934 12935
12F11 12F12 12F13 12F14 12F15 12F16
12F21 12F22 12F23 12F24 12F25
13161 13162 13163 13164 13165 13166 13167 13168 13169
13171 13172 13173 13174 13175 13176 13177 13178
13181 13182 13183 13184 13185 13186 13187
13191 13192 13193 13194 13195 13196
131F1 131F2 131F3 131F4 131F5
13711 13712 13713 13714 13715 13716 13717 13718
13721 13722 13723 13724 13725 13726 13727
13731 13732 13733 13734 13735 13736
13741 13742 13743 13744 13745
13811 13812 13813 13814 13815 13816 13817
13821 13822 13823 13824 13825 13826
13831 13832 13833 13834 13835
13911 13912 13913 13914 13915 13916
13921 13922 13923 13924 13925
13F11 13F12 13F13 13F14 13F15
14611 14612 14613 14614 14615 14616 14617 14618
14621 14622 14623 14624 14625 14626 14627
14631 14632 14633 14634 14635 14636
14641 14642 14643 14644 14645
14711 14712 14713 14714 14715 14716 14717
14721 14722 14723 14724 14725 14726
14731 14732 14733 14734 14735
14811 14812 14813 14814 14815 14816
14821 14822 14823 14824 14825
14911 14912 14913 14914 14915
1F111 1F112 1F113 1F114 1F115 1F116 1F117
1F121 1F122 1F123 1F124 1F125 1F126
1F131 1F132 1F133 1F134 1F135
1F211 1F212 1F213 1F214 1F215 1F216
1F221 1F222 1F223 1F224 1F225
1F311 1F312 1F313 1F314 1F315
21111 21112 21113 21114 21115 21116 21117 21118 21119 2111F
21171 21172 21173 21174 21175 21176 21177 21178 21179
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
20
21181 21182 21183 21184 21185 21186 21187 21188
21191 21192 21193 21194 21195 21196 21197
211F1 211F2 211F3 211F4 211F5 211F6
21261 21262 21263 21264 21265 21266 21267 21268 21269
21271 21272 21273 21274 21275 21276 21277 21278
21281 21282 21283 21284 21285 21286 21287
21291 21292 21293 21294 21295 21296
212F1 212F2 212F3 212F4 212F5
21811 21812 21813 21814 21815 21816 21817 21818
21821 21822 21823 21824 21825 21826 21827
21831 21832 21833 21834 21835 21836
21841 21842 21843 21844 21845
21911 21912 21913 21914 21915 21916 21917
21921 21922 21923 21924 21925 21926
21931 21932 21933 21934 21935
21F11 21F12 21F13 21F14 21F15 21F16
21F21 21F22 21F23 21F24 21F25
22161 22162 22163 22164 22165 22166 22167 22168 22169
22171 22172 22173 22174 22175 22176 22177 22178
22181 22182 22183 22184 22185 22186 22187 22188
22191 22192 22193 22194 22195 22196 22197 22198
221F1 221F2 221F3 221F4 221F5 221F6 221F7 221F8
22711 22712 22713 22714 22715 22716 22717 22718
22721 22722 22723 22724 22725 22726 22727
22731 22732 22733 22734 22735 22736
22741 22742 22743 22744 22745
22811 22812 22813 22814 22815 22816 22817
22821 22822 22823 22824 22825 22826
22831 22832 22833 22834 22835
22911 22912 22913 22914 22915 22916
22921 22922 22923 22924 22925
22F11 22F12 22F13 22F14 22F15
23611 23612 23613 23614 23615 23616 23617 23618
23621 23622 23623 23624 23625 23626 23627
23631 23632 23633 23634 23635 23636
23641 23642 23643 23644 23645
23711 23712 23713 23714 23715 23716 23717
23721 23722 23723 23724 23725 23726
23731 23732 23733 23734 23735
23811 23812 23813 23814 23815 23816
23821 23822 23823 23824 23825
23911 23912 23913 23914 23915
29111 29112 29113 29114 29115 29116 29117
29121 29122 29123 29124 29125 29126
29131 29132 29133 29134 29135
29211 29212 29213 29214 29215 29216
29221 29222 29223 29224 29225
29311 29312 29313 29314 29315
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
21
2F111 2F112 2F113 2F114 2F115 2F116
2F121 2F122 2F123 2F124 2F125
2F211 2F212 2F213 2F214 2F215
31161 31162 31163 31164 31165 31166 31167 31168 31169
31171 31172 31173 31174 31175 31176 31177 31178
31181 31182 31183 31184 31185 31186 31187
31191 31192 31193 31194 31195 31196
311F1 311F2 311F3 311F4 311F5
31711 31712 31713 31714 31715 31716 31717 31718
31721 31722 31723 31724 31725 31726 31727
31731 31732 31733 31734 31735 31736
31741 31742 31743 31744 31745
31811 31812 31813 31814 31815 31816 31817
31821 31822 31823 31824 31825 31826
31831 31832 31833 31834 31835
31911 31912 31913 31914 31915 31916
31921 31922 31923 31924 31925
31F11 31F12 31F13 31F14 31F15
32611 32612 32613 32614 32615 32616 32617 32618
32621 32622 32623 32624 32625 32626 32627
32631 32632 32633 32634 32635 32636
32641 32642 32643 32644 32645
32711 32712 32713 32714 32715 32716 32717
32721 32722 32723 32724 32725 32726
32731 32732 32733 32734 32735
32811 32812 32813 32814 32815 32816
32821 32822 32823 32824 32825
32911 32912 32913 32914 32915
38111 38112 38113 38114 38115 38116 38117
38121 38122 38123 38124 38125 38126
38131 38132 38133 38134 38135
38211 38212 38213 38214 38215 38216
38221 38222 38223 38224 38225
38311 38312 38313 38314 38315
39111 39112 39113 39114 39115 39116
39121 39122 39123 39124 39125
39211 39212 39213 39214 39215
3F111 3F112 3F113 3F114 3F115
41611 41612 41613 41614 41615 41616 41617 41618
41621 41622 41623 41624 41625 41626 41627
41631 41632 41633 41634 41635 41636
41641 41642 41643 41644 41645
41711 41712 41713 41714 41715 41716 41717
41721 41722 41723 41724 41725 41726
41731 41732 41733 41734 41735 41736
41811 41812 41813 41814 41815 41816
41821 41822 41823 41824 41825
41911 41912 41913 41914 41915
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
22
47111 47112 47113 47114 47115 47116 47117
47121 47122 47123 47124 47125 47126
47131 47132 47133 47134 47135
47211 47212 47213 47214 47215 47216
47221 47222 47223 47224 47225
47311 47312 47313 47314 47315
48111 48112 48113 48114 48115 48116
48121 48122 48123 48124 48125
48211 48212 48213 48214 48215
49111 49112 49113 49114 49115
56111 56112 56113 56114 56115 56116 56117
56121 56122 56123 56124 56125 56126
56131 56132 56133 56134 56135
56211 56212 56213 56214 56215 56216
56221 56222 56223 56224 56225
56311 56312 56313 56314 56315
57111 57112 57113 57114 57115 57116
57121 57122 57123 57124 57125
57211 57212 57213 57214 57215
58111 58112 58113 58114 58115
6)
111111 111112 111113 111114 111115 111116 111117 111117 111119 11111F
111171 111172 111173 111174 111175 111176 111177 111178 111179
111181 111182 111183 111184 111185 111186 111187 111188
111191 111192 111193 111194 111195 111196 111197
1111F1 1111F2 1111F3 1111F4 1111F5 1111F6
111261 111262 111263 111264 111265 111266 111267 111268 111269
111271 111272 111273 111274 111275 111276 111277 111278
111281 111282 111283 111284 111285 111286 111287
111291 111292 111293 111294 111295 111296
1112F1 1112F2 1112F3 1112F4 1112F5
111811 111812 111813 111814 111815 111816 111817 111818
111821 111822 111823 111824 111825 111826 111827
111831 111832 111833 111834 111835 111836
111841 111842 111843 111844 111845
111911 111912 111913 111914 111915 111916 111917
111921 111922 111923 111924 111925 111926
111931 111932 111933 111934 111935
111F11 111F12 111F13 111F14 111F15 111F16
111F21 111F22 111F23 111F24 111F25
112161 112162 112163 112164 112165 112166 112167 112168 112169
112171 112172 112173 112174 112175 112176 112177 112178
112181 112182 112183 112184 112185 112186 112187
112191 112192 112193 112194 112195 112196
1121F1 1121F2 1121F3 1121F4 1121F5 1121F6 1121F7 1121F8
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
23
112711 112712 112713 112714 112715 112716 112717 112718
112721 112722 112723 112724 112725 112726 112727
112731 112732 112733 112734 112735 112736
112741 112742 112743 112744 112745
112811 112812 112813 112814 112815 112816 112817
112821 112822 112823 112824 112825 112826
112831 112832 112833 112834 112835
112911 112912 112913 112914 112915 112916
112921 112922 112923 112924 112925
112F11 112F12 112F13 112F14 112F15
113611 113612 113613 113614 113615 113616 113617 113618
113621 113622 113623 113624 113625 113626 113627
113631 113632 113633 113634 113635 113636
113641 113642 113643 113644 113645
113711 113712 113713 113714 113715 113716 113717
113721 113722 113723 113724 113725 113726
113731 113732 113733 113734 113735
113811 113812 113813 113814 113815 113816
113821 113822 113823 113824 113825
113911 113912 113913 113914 113915
119111 119112 119113 119114 119115 119116 119117
119121 119122 119123 119124 119125 119126
119131 119132 119133 119134 119135
119211 119212 119213 119214 119215 119216
119221 119222 119223 119224 119225
119311 119312 119313 119314 119315
11F111 11F112 11F113 11F114 11F115 11F116
11F121 11F122 11F123 11F124 11F125
11F211 11F212 11F213 11F214 11F215
121161 121162 121163 121164 121165 121166 121167 121168 121169
121171 121172 121173 121174 121175 121176 121177 121178
121181 121182 121183 121184 121185 121186 121187
121191 121192 121193 121194 121195 121196
1211F1 1211F2 1211F3 1211F4 1211F5
121711 121712 121713 121714 121715 121716 121717 121718
121721 121722 121723 121724 121725 121726 121727
121731 121732 121733 121734 121735 121736
121741 121742 121743 121744 121745
121811 121812 121813 121814 121815 121816 121817
121821 121822 121823 121824 121825 121826
121831 121832 121833 121834 121835
121911 121912 121913 121914 121915 121916
121921 121922 121923 121924 121925
121F11 121F12 121F13 121F14 121F15
122611 122612 122613 122614 122615 122616 122617 122618
122621 122622 122623 122624 122625 122626 122627
122631 122632 122633 122634 122635 122636
122641 122642 122643 122644 122645
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
24
122711 122712 122713 122714 122715 122716 122717
122721 122722 122723 122724 122725 122726
122731 122732 122733 122734 122735
122811 122812 122813 122814 122815 122816
122821 122822 122823 122824 122825
122911 122912 122913 122914 122915
128111 128112 128113 128114 128115 128116 128117
128121 128122 128123 128124 128125 128126
128131 128132 128133 128134 128135
128211 128212 128213 128214 128215 128216
128221 128222 128223 128224 128225
128311 128312 128313 128314 128315
129111 129112 129113 129114 129115 129116
129121 129122 129123 129124 129125
129211 129212 129213 129214 129215
12F111 12F112 12F113 12F114 12F115
131611 131612 131613 131614 131615 131616 131617 131618
131621 131622 131623 131624 131625 131626 131627
131631 131632 131633 131634 131635 131636
131641 131642 131643 131644 131645
131711 131712 131713 131714 131715 131716 131717
131721 131722 131723 131724 131725 131726
131731 131732 131733 131734 131735
131811 131812 131813 131814 131815 131816
131821 131822 131823 131824 131825
131911 131912 131913 131914 131915
137111 137112 137113 137114 137115 137116 137117
137121 137122 137123 137124 137125 137126
137131 137132 137133 137134 137135
137211 137212 137213 137214 137215 137216
137221 137222 137223 137224 137225
137311 137312 137313 137314 137315
138111 138112 138113 138114 138115 138116
138121 138122 138123 138124 138125
138211 138212 138213 138214 138215
139111 139112 139113 139114 139115
146111 146112 146113 146114 146115 146116 146117
146121 146122 146123 146124 146125 146126
146131 146132 146133 146134 146135
146211 146212 146213 146214 146215 146216
146221 146222 146223 146224 146225
146311 146312 146313 146314 146315
147111 147112 147113 147114 147115 147116
147121 147122 147123 147124 147125
147211 147212 147213 147214 147215
148111 148112 148113 148114 148115
1F1111 1F1112 1F1113 1F1114 1F1115 1F1116
1F1121 1F1122 1F1123 1F1124 1F1125
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
25
1F1211 1F1212 1F1213 1F1214 1F1215
1F2111 1F2112 1F2113 1F2114 1F2115
211161 211162 211163 211164 211165 211166 211167 211168 211169
211171 211172 211173 211174 211175 211176 211177 211178
211181 211182 211183 211184 211185 211186 211187
211191 211192 211193 211194 211195 211196
2111F1 2111F2 2111F3 2111F4 2111F5
211711 211712 211713 211714 211715 211716 211717 211718
211721 211722 211723 211724 211725 211726 211727
211731 211732 211733 211734 211735 211736
211741 211742 211743 211744 211745
211811 211812 211813 211814 211815 211816 211817
211821 211822 211823 211824 211825 211826
211831 211832 211833 211834 211835
211911 211912 211913 211914 211915 211916
211921 211922 211923 211924 211925 211926
211F11 211F12 211F13 211F14 211F15 211F16
212611 212612 212613 212614 212615 212616 212617 212618
212621 212622 212623 212624 212625 212626 212627
212631 212632 212633 212634 212635 212636
212641 212642 212643 212644 212645
212711 212712 212713 212714 212715 212716 212717
212721 212722 212723 212724 212725 212726
212731 212732 212733 212734 212735
212811 212812 212813 212814 212815 212816
212821 212822 212823 212824 212825
212911 212912 212913 212914 212915
218111 218112 218113 218114 218115 218116 218117
218121 218122 218123 218124 218125 218126
218131 218132 218133 218134 218135
218211 218212 218213 218214 218215 218216
218221 218222 218223 218224 218225
218311 218312 218313 218314 218315
219111 219112 219113 219114 219115 219116
219121 219122 219123 219124 219125
219211 219212 219213 219214 219215
21F111 21F112 21F113 21F114 21F115
221611 221612 221613 221614 221615 221616 221617 221618
221621 221622 221623 221624 221625 221626 221627
221631 221632 221633 221634 221635 221636
221641 221642 221643 221644 221645
221711 221712 221713 221714 221715 221716 221717
221721 221722 221723 221724 221725 221726
221731 221732 221733 221734 221735
221811 221812 221813 221814 221815 221816
221821 221822 221823 221824 221825
221911 221912 221913 221914 221915
227111 227112 227113 227114 227115 227116 227117
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
26
227121 227122 227123 227124 227125 227126
227131 227132 227133 227134 227135
227211 227212 227213 227214 227215 227216
227221 227222 227223 227224 227225
227311 227312 227313 227314 227315
228111 228112 228113 228114 228115 228116
228121 228122 228123 228124 228125
228211 228212 228213 228214 228215
229111 229112 229113 229114 229115
236111 236112 236113 236114 236115 236116 236117
236121 236122 236123 236124 236125 236126
236131 236132 236133 236134 236135
236211 236212 236213 236214 236215 236216
236221 236222 236223 236224 236225
236311 236312 236313 236314 236315
237111 237112 237113 237114 237115 237116
237121 237122 237123 237124 237125
237211 237212 237213 237214 237215
238111 238112 238113 238114 238115
291111 291112 291113 291114 291115 291116
291121 291122 291123 291124 291125
291211 291212 291213 291214 291215
292111 292112 292113 292114 292115
2F1111 2F1112 2F1113 2F1114 2F1115
311611 311612 311613 311614 311615 311616 311617 311618
311621 311622 311623 311624 311625 311626 311627
311631 311632 311633 311634 311635 311636
311641 311642 311643 311644 311645
311711 311712 311713 311714 311715 311716 311717
311721 311722 311723 311724 311725 311726
311731 311732 311733 311734 311735
311811 311812 311813 311814 311815 311816
311821 311822 311823 311824 311825
311911 311912 311913 311914 311915
317111 317112 317113 317114 317115 317116 317117
317121 317122 317123 317124 317125 317126
317131 317132 317133 317134 317135
317211 317212 317213 317214 317215 317216
317221 317222 317223 317224 317225
317311 317312 317313 317314 317315
318111 318112 318113 318114 318115 318116
318121 318122 318123 318124 318125
318211 318212 318213 318214 318215
319111 319112 319113 319114 319115
326111 326112 326113 326114 326115 326116 326117
326121 326122 326123 326124 326125 326126
326131 326132 326133 326134 326135
326211 326212 326213 326214 326215 326216
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
27
326221 326222 326223 326224 326225
326311 326312 326313 326314 326315
327111 327112 327113 327114 327115 327116
327121 327122 327123 327124 327125
327211 327212 327213 327214 327215
328111 328112 328113 328114 328115
381111 381112 381113 381114 381115 381116
381121 381122 381123 381124 381125
381211 381212 381213 381214 381215
382111 382112 382113 382114 382115
391111 391112 391113 391114 391115
416111 416112 416113 416114 416115 416116 416117
416121 416122 416123 416124 416125 416126
416131 416132 416133 416134 416135
416211 416212 416213 416214 416215 416216
416221 416222 416223 416224 416225
416311 416312 416313 416314 416315
417111 417112 417113 417114 417115 417116
417121 417122 417123 417124 417125
417211 417212 417213 417214 417215
418111 418112 418113 418114 418115
471111 471112 471113 471114 471115 471116
471121 471122 471123 471124 471125
471211 471212 471213 471214 471215
472111 472112 472113 472114 472115
481111 481112 481113 481114 481115
561111 561112 561113 561114 561115 561116
561121 561122 561123 561124 561125
561211 561212 561213 561214 561215
562111 562112 562113 562114 562115
571111 571112 571113 571114 571115
7)
1111161 1111162 1111163 1111164 1111165 1111166 1111167 1111168 1111169
1111171 1111172 1111173 1111174 1111175 1111176 1111177 1111178
1111181 1111182 1111183 1111184 1111185 1111186 1111187
1111191 1111192 1111193 1111194 1111195 1111196
11111F1 11111F2 11111F3 11111F4 11111F5
1111711 1111712 1111713 1111714 1111715 1111716 1111717 1111718
1111721 1111722 1111723 1111724 1111725 1111726 1111727
1111731 1111732 1111733 1111734 1111735 1111736
1111741 1111742 1111743 1111744 1111745
1111811 1111812 1111813 1111814 1111815 1111816 1111817
1111821 1111822 1111823 1111824 1111825 1111826
1111831 1111832 1111833 1111834 1111835
1111911 1111912 1111913 1111914 1111915 1111916
1111921 1111922 1111923 1111924 1111925
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
28
1111F11 1111F12 1111F13 1111F14 1111F15
1112611 1112612 1112613 1112614 1112615 1112616 1112617 1112618
1112621 1112622 1112623 1112624 1112625 1112626 1112627
1112631 1112632 1112633 1112634 1112635 1112636
1112641 1112642 1112643 1112644 1112645
1112711 1112712 1112713 1112714 1112715 1112716 1112717
1112721 1112722 1112723 1112724 1112725 1112726
1112731 1112732 1112733 1112734 1112735
1112811 1112812 1112813 1112814 1112815 1112816
1112821 1112822 1112823 1112824 1112825
1112911 1112912 1112913 1112914 1112915
1118111 1118112 1118113 1118114 1118115 1118116 1118117 1118121 1118122 1118123 1118124 1118125 1118126
1118131 1118132 1118133 1118134 1118135
1118211 1118212 1118213 1118214 1118215 1118216
1118221 1118222 1118223 1118224 1118225
1118311 1118312 1118313 1118314 1118315
1119111 1119112 1119113 1119114 1119115 1119116
1119121 1119122 1119123 1119124 1119125
1119211 1119212 1119213 1119214 1119215
111F111 111F112 111F113 111F114 111F115
1121611 1121612 1121613 1121614 1121615 1121616 1121617 1121618
1121621 1121622 1121623 1121624 1121625 1121626 1121627
1121631 1121632 1121633 1121634 1121635 1121636
1121641 1121642 1121643 1121644 1121645
1121711 1121712 1121713 1121714 1121715 1121716 1121717
1121721 1121722 1121723 1121724 1121725 1121726
1121731 1121732 1121733 1121734 1121735
1121811 1121812 1121813 1121814 1121815 1121816
1121821 1121822 1121823 1121824 1121825
1121911 1121912 1121913 1121914 1121915
1127111 1127112 1127113 1127114 1127115 1127116 1127117
1127121 1127122 1127123 1127124 1127125 1127126
1127131 1127132 1127133 1127134 1127135
1127211 1127212 1127213 1127214 1127215 1127216
1127221 1127222 1127223 1127224 1127225
1127311 1127312 1127313 1127314 1127315
1128111 1128112 1128113 1128114 1128115 1128116
1128121 1128122 1128123 1128124 1128125
1128211 1128212 1128213 1128214 1128215
1129111 1129112 1129113 1129114 1129115
1136111 1136112 1136113 1136114 1136115 1136116 1136117
1136121 1136122 1136123 1136124 1136125 1136126
1136131 1136132 1136133 1136134 1136135
1136211 1136212 1136213 1136214 1136215 1136216
1136221 1136222 1136223 1136224 1136225
1136311 1136312 1136313 1136314 1136315
1137111 1137112 1137113 1137114 1137115 1137116
1137121 1137122 1137123 1137124 1137125
1137211 1137212 1137213 1137214 1137215
1138111 1138112 1138113 1138114 1138115
1191111 1191112 1191113 1191114 1191115 1191116
1191121 1191122 1191123 1191124 1191125
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
29
1191211 1191212 1191213 1191214 1191215
1192111 1192112 1192113 1192114 1192115
11F1111 11F1112 11F1113 11F1114 11F1115
1211611 1211612 1211613 1211614 1211615 1211616 1211617 1211618
1211621 1211622 1211623 1211624 1211625 1211626 1211627
1211631 1211632 1211633 1211634 1211635 1211636
1211641 1211642 1211643 1211644 1211645
1211711 1211712 1211713 1211714 1211715 1211716 1211717
1211721 1211722 1211723 1211724 1211725 1211726
1211731 1211732 1211733 1211734 1211735
1211811 1211812 1211813 1211814 1211815 1211816
1211821 1211822 1211823 1211824 1211825
1211911 1211912 1211913 1211914 1211915
1217111 1217112 1217113 1217114 1217115 1217116 1217117
1217121 1217122 1217123 1217124 1217125 1217126
1217131 1217132 1217133 1217134 1217135
1217211 1217212 1217213 1217214 1217215 1217216
1217221 1217222 1217223 1217224 1217225
1217311 1217312 1217313 1217314 1217315
1218111 1218112 1218113 1218114 1218115 1218116
1218121 1218122 1218123 1218124 1218125
1218211 1218212 1218213 1218214 1218215
1219111 1219112 1219113 1219114 1219115
1226111 1226112 1226113 1226114 1226115 1226116 1226117
1226121 1226122 1226123 1226124 1226125 1226126
1226131 1226132 1226133 1226134 1226135
1226211 1226212 1226213 1226214 1226215 1226216
1226221 1226222 1226223 1226224 1226225
1226311 1226312 1226313 1226314 1226315
1227111 1227112 1227113 1227114 1227115 1227116
1227121 1227122 1227123 1227124 1227125
1227211 1227212 1227213 1227214 1227215
1228111 1228112 1228113 1228114 1228115
1281111 1281112 1281113 1281114 1281115 1281116
1281211 1281212 1281213 1281214 1281215
1282111 1282112 1282113 1282114 1282115
1291111 1291112 1291113 1291114 1291115
1316111 1316112 1316113 1316114 1316115 1316116 1316117
1316121 1316122 1316123 1316124 1316125 1316126
1316131 1316132 1316133 1316134 1316135
1316211 1316212 1316213 1316214 1316215 1316216
1316221 1316222 1316223 1316224 1316225
1316311 1316312 1316313 1316314 1316315
1317111 1317112 1317113 1317114 1317115 1317116
1317121 1317122 1317123 1317124 1317125
1317211 1317212 1317213 1317214 1317215
1318111 1318112 1318113 1318114 1318115
1371111 1371112 1371113 1371114 1371115 1371116
1371121 1371122 1371123 1371124 1371125
1371211 1371212 1371213 1371214 1371215
1372111 1372112 1372113 1372114 1372115
1381111 1381112 1381113 1381114 1381115
1461111 1461112 1461113 1461114 1461115 1461116
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
30
1461121 1461122 1461123 1461124 1461125
1461211 1461212 1461213 1461214 1461215
1462111 1462112 1462113 1462114 1462115
1471111 1471112 1471113 1471114 1471115
1F11111 1F11112 1F11113 1F11114 1F11115
2111611 2111612 2111613 2111614 2111615 2111616 2111617 2111618
2111621 2111622 2111623 2111624 2111625 2111626 2111627
2111631 2111632 2111633 2111634 2111635 2111636
2111641 2111642 2111643 2111644 2111645
2111711 2111712 2111713 2111714 2111715 2111716 2111717
2111721 2111722 2111723 2111724 2111725 2111726
2111731 2111732 2111733 2111734 2111735
2111811 2111812 2111813 2111814 2111815 2111816
2111821 2111822 2111823 2111824 2111825
2111911 2111912 2111913 2111914 2111915
2117111 2117112 2117113 2117114 2117115 2117116 2117117
2117121 2117122 2117123 2117124 2117125 2117126
2117131 2117132 2117133 2117134 2117135
2117211 2117212 2117213 2117214 2117215 2117216
2117221 2117222 2117223 2117224 2117225
2117311 2117312 2117313 2117314 2117315
2118111 2118112 2118113 2118114 2118115 2118116
2118121 2118122 2118123 2118124 2118125
2118211 2118212 2118213 2118214 2118215
2119111 2119112 2119113 2119114 2119115
2126111 2126112 2126113 2126114 2126115 2126116 2126117
2126121 2126122 2126123 2126124 2126125 2126126
2126131 2126132 2126133 2126134 2126135
2126211 2126212 2126213 2126214 2126215 2126216
2126221 2126222 2126223 2126224 2126225
2126311 2126312 2126313 2126314 2126315
2127111 2127112 2127113 2127114 2127115 2127116
2127121 2127122 2127123 2127124 2127125
2127211 2127212 2127213 2127214 2127215
2128111 2128112 2128113 2128114 2128115
2181111 2181112 2181113 2181114 2181115 2181116
2181121 2181122 2181123 2181124 2181125
2181211 2181212 2181213 2181214 2181215
2182111 2182112 2182113 2182114 2182115
2191111 2191112 2191113 2191114 2191115
2216111 2216112 2216113 2216114 2216115 2216116 2216117
2216121 2216122 2216123 2216124 2216125 2216126
2216131 2216132 2216133 2216134 2216135
2216211 2216212 2216213 2216214 2216215 2216216
2216221 2216222 2216223 2216224 2216225
2216311 2216312 2216313 2216314 2216315
2217111 2217112 2217113 2217114 2217115 2217116
2217121 2217122 2217123 2217124 2217125
2217211 2217212 2217213 2217214 2217215
2218111 2218112 2218113 2218114 2218115
2271111 2271112 2271113 2271114 2271115 2271116
2271121 2271122 2271123 2271124 2271125
2271211 2271212 2271213 2271214 2271215
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
31
2272111 2272112 2272113 2272114 2272115
2281111 2281112 2281113 2281114 2281115
2361111 2361112 2361113 2361114 2361115 2361116
2361121 2361122 2361123 2361124 2361125
2361211 2361212 2361213 2361214 2361215
2362111 2362112 2362113 2362114 2362115
2371111 2371112 2371113 2371114 2371115
2911111 2911112 2911113 2911114 2911115
3116111 3116112 3116113 3116114 3116115 3116116 3116117
3116121 3116122 3116123 3116124 3116125 3116126
3116131 3116132 3116133 3116134 3116135
3116211 3116212 3116213 3116214 3116215 3116216
3116221 3116222 3116223 3116224 3116225
3116311 3116312 3116313 3116314 3116315
3117111 3117112 3117113 3117114 3117115 3117116
3117121 3117122 3117123 3117124 3117125
3117211 3117212 3117213 3117214 3117215
3118111 3118112 3118113 3118114 3118115
3171111 3171112 3171113 3171114 3171115 3171116
3171121 3171122 3171123 3171124 3171125
3171211 3171212 3171213 3171214 3171215
3172111 3172112 3172113 3172114 3172115
3181111 3181112 3181113 3181114 3181115
3261111 3261112 3261113 3261114 3261115 3261116
3261121 3261122 3261123 3261124 3261125
3261211 3261212 3261213 3261214 3261215
3262111 3262112 3262113 3262114 3262115
3271111 3271112 3271113 3271114 3271115
3811111 3811112 3811113 3811114 3811115
4161111 4161112 4161113 4161114 4161115 4161116
4161121 4161122 4161123 4161124 4161125
4161211 4161212 4161213 4161214 4161215
4162111 4162112 4162113 4162114 4162115
4171111 4171112 4171113 4171114 4171115
4711111 4711112 4711113 4711114 4711115
5611111 5611112 5611113 5611114 5611115
8)
11111611 11111612 11111613 11111614 11111615 11111616 11111617 11111618
11111621 11111622 11111623 11111624 11111625 11111626 11111627
11111631 11111632 11111633 11111634 11111635 11111636
11111641 11111642 11111643 11111644 11111645
11111711 11111712 11111713 11111714 11111715 11111716 11111717
11111721 11111722 11111723 11111724 11111725 11111726
11111731 11111732 11111733 11111734 11111735
11111811 11111812 11111813 11111814 11111815 11111816
11111821 11111822 11111823 11111824 11111825
11111911 11111912 11111913 11111914 11111915
11117111 11117112 11117113 11117114 11117115 11117116 11117117
11117121 11117122 11117123 11117124 11117125 11117126
11117131 11117132 11117133 11117134 11117135
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
32
11117211 11117212 11117213 11117214 11117215 11117216
11117221 11117222 11117223 11117224 11117225
11117311 11117312 11117313 11117314 11117315
11118111 11118112 11118113 11118114 11118115 11118116
11118121 11118122 11118123 11118124 11118125
11118211 11118212 11118213 11118214 11118215
11119111 11119112 11119113 11119114 11119115
11126111 11126112 11126113 11126114 11126115 11126116 11126117
11126121 11126122 11126123 11126124 11126125 11126126
11126131 11126132 11126133 11126134 11126135
11126211 11126212 11126213 11126214 11126215 11126216
11126221 11126222 11126223 11126224 11126225
11126311 11126312 11126313 11126314 11126315
11127111 11127112 11127113 11127114 11127115 11127116
11127121 11127122 11127123 11127124 11127125
11127211 11127212 11127213 11127214 11127215
11128111 11128112 11128113 11128114 11128115
11181111 11181112 11181113 11181114 11181115 11181116
11181121 11181122 11181123 11181124 11181125
11181211 11181212 11181213 11181214 11181215
11191111 11191112 11191113 11191114 11191115
11216111 11216112 11216113 11216114 11216115 11216116 11216117
11216121 11216122 11216123 11216124 11216125 11216126
11216131 11216132 11216133 11216134 11216135
11216211 11216212 11216213 11216214 11216215 11216216
11216221 11216222 11216223 11216224 11216225
11216311 11216312 11216313 11216314 11216315
11217111 11217112 11217113 11217114 11217115 11217116
11217121 11217122 11217123 11217124 11217125
11217211 11217212 11217213 11217214 11217215
11218111 11218112 11218113 11218114 11218115
11271111 11271112 11271113 11271114 11271115 11271116
11271121 11271122 11271123 11271124 11271125
11271211 11271212 11271213 11271214 11271215
11272111 11272112 11272113 11272114 11272115
11281111 11281112 11281113 11281114 11281115
11361111 11361112 11361113 11361114 11361115 11361116
11361121 11361122 11361123 11361124 11361125
11361211 11361212 11361213 11361214 11361215
11362111 11362112 11362113 11362114 11362115
11371111 11371112 11371113 11371114 11371115
11911111 11911112 11911113 11911114 11911115
12116111 12116112 12116113 12116114 12116115 12116116 12116117
12116121 12116122 12116123 12116124 12116125 12116126
12116131 12116132 12116133 12116134 12116135
12116211 12116212 12116213 12116214 12116215 12116216
12116221 12116222 12116223 12116224 12116225
12116311 12116312 12116313 12116314 12116315
12117111 12117112 12117113 12117114 12117115 12117116
12117121 12117122 12117123 12117124 12117125
12117211 12117212 12117213 12117214 12117215
12118111 12118112 12118113 12118114 12118115
12171111 12171112 12171113 12171114 12171115 12171116
12171121 12171122 12171123 12171124 12171125
12171211 12171212 12171213 12171214 12171215
12172111 12172112 12172113 12172114 12172115
12181111 12181112 12181113 12181114 12181115
12261111 12261112 12261113 12261114 12261115 12261116
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
33
9)
12261121 12261122 12261123 12261124 12261125
12261211 12261212 12261213 12261214 12261215
12262111 12262112 12262113 12262114 12262115
12271111 12271112 12271113 12271114 12271115
12811111 12811112 12811113 12811114 12811115
13161111 13161112 13161113 13161114 13161115 13161116
13161121 13161122 13161123 13161124 13161125
13161211 13161212 13161213 13161214 13161215
13162111 13162112 13162113 13162114 13162115
13171111 13171112 13171113 13171114 13171115
13711111 13711112 13711113 13711114 13711115
14611111 14611112 14611113 14611114 14611115
21116111 21116112 21116113 21116114 21116115 21116116 21116117
21116121 21116122 21116123 21116124 21116125 21116126
21116131 21116132 21116133 21116134 21116135
21116211 21116212 21116213 21116214 21116215 21116216
21116221 21116222 21116223 21116224 21116225
21116311 21116312 21116313 21116314 21116315
21117111 21117112 21117113 21117114 21117115 21117116
21117121 21117122 21117123 21117124 21117125
21117211 21117212 21117213 21117214 21117215
21118111 21118112 21118113 21118114 21118115
21171111 21171112 21171113 21171114 21171115 21171116
21171121 21171122 21171123 21171124 21171125
21171211 21171212 21171213 21171214 21171215
21172111 21172112 21172113 21172114 21172115
21181111 21181112 21181113 21181114 21181115
21261111 21261112 21261113 21261114 21261115 21261116
21261121 21261122 21261123 21261124 21261125
21261211 2126121 21261213 21261214 21261215
21262111 21262112 21262113 21262114 21262115
21271111 21271112 21271113 21271114 21271115
21811111 21811112 21811113 21811114 21811115
22161111 22161112 22161113 22161114 22161115 22161116
22161121 22161122 22161123 22161124 22161125
22161211 22161212 22161213 22161214 22161215
22162111 22162112 22162113 22162114 22162115
22171111 22171112 22171113 22171114 22171115
22711111 22711112 22711113 22711114 22711115
23611111 23611112 23611113 23611114 23611115 23611116
31161111 31161112 31161113 31161114 31161115
31161121 31161122 31161123 31161124 31161125
31161211 31161212 31161213 31161214 31161215
31162111 31162112 31162113 31162114 31162115
31171111 31171112 31171113 31171114 31171115
31711111 31711112 31711113 31711114 31711115
32611111 32611112 32611113 32611114 32611115
41611111 41611112 41611113 41611114 41611115
111116111 111116112 111116113 111116115 11111611 11111611 11111611
111116121 111116122 111116123 111116125 11111612 11111612
111116131 111116132 111116133 111116135 11111613
111116211 111116212 111116213 111116215 11111621 11111621
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
34
10)
11)
11111611111 11111611112 11111611113 11111611114 11111611115
Resolució
Cada fracció correspon a la probabilitat que té el crupier d’obtenir 17 si demana una
carta, dues cartes, tres cartes, etc., fins un total d’onze cartes.
111116221 111116222 111116223 111116225 11111622
111116311 111116312 111116313 111116315 11111631
111117111 111117112 111117113 111117115 11111711 11111711
111117121 111117122 111117123 111117125 11111712
111118111 111118112 111118113 111118115 11111811
111811111 111811112 111811113 111811115 11181111
112711111 112711112 112711113 112711115 11271111
113611111 113611112 113611113 113611115 11361111
121161111 121161112 121161113 121161115 12116111 12116111
121161121 121161122 121161123 121161125 12116112
121161211 121161212 121161213 121161215 12116121
121162111 121162112 121162113 121162115 12116211
121171111 121171112 121171113 121171115 12117111
121711111 121711112 121711113 121711115 12171111
122611111 122611112 122611113 122611115 12261111
131611111 131611112 131611113 131611115 13161111
211161111 211161112 211161113 211161115 21116111 21116111
211161121 211161122 211161123 211161125 21116112
211161211 211161212 211161213 211161215 21116121
211162111 211162112 211162113 211162115 21116211
211171111 211171112 211171113 211171115 21117111
211711111 211711112 211711113 211711115 21171111
212611111 212611112 212611113 212611115 21261111
221611111 221611112 221611113 221611115 22161111
311611111 311611112 311611113 311611115 31161111
1111161111 1111161112 111116111 111116111 111116111 111116111
1111161121 1111161122 111116112 111116112 111116112 111116112
1111161211 1111161212 111116121 111116121 1111161211 1111161211
1111162111 1111162112 111116211 111116211 111116211 111116211
1111171111 1111171112 111117111 111117111 111117111 111117111
1211611111 1211611112 121161111 121161111 121161111 121161111
2111611111 2111611112 211161111 211161111 211161111 211161111
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
35
Annex 4. Resolució de la segona taula de percentatges del
blackjack
Probabilitat total de guanyar:
Probabilitat de guanyar = G
Probabilitat total d’empatar:
Probabilitat d’empatar = E
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
36
Explicació de la taula
Següent carta Probabilitat Total Probabilitat de guanyar Probabilitat
d’empatar
As 1/13 15 42,50 % 0 %
2 1/13 16 42,50 % 0 %
3 1/13 17 42,50 % 12,48 %
4 1/13 18 42,50 + 12,48 = 54,98 %
12,03 %
5 1/13 19 54,98 + 12,03 = 67,01 % 11,54 %
6 1/13 20 67,01 + 11,54 = 78,55 % 11,01 %
7 1/13 21 78,55 + 11,01 = 89,56 % 10,44 %
8 1/13 22
9 1/13 23
10/figura 4/13 24
Total 32,12 % 4,42 %
L’apartat que fa referència a la carta següent indica la carta que et podria sortir si
decideixes demanar una altra carta.
L’apartat de la probabilitat expressa la probabilitat d’obtenir la carta indicada en un sol
pal de la baralla. Per exemple, en un sol pal hi ha tretze cartes i un sol dos, per tant, la
probabilitat que et surti aquest dos és de 1/13.
La columna titulada com total fa referència a la suma total que tindrien les teves cartes
si et sortís la carta indicada.
La secció que fa referència a la probabilitat de guanyar i d’empatar indica quina és la
probabilitat de guanyar o d’empatar al crupier amb les cartes que tens. La probabilitat
de guanyar si la següent carta és un as o un dos prové de la probabilitat que el crupier es
passi tenint com a carta destapada un sis. Amb aquestes dues el crupier no podrà
empatar amb ningú ja que ha de demanar cartes fins que sumin 17 o més. En el cas que
la pròxima carta sigui un tres no canvia la probabilitat de guanyar però si la d’empatar,
ja que el crupier no es pot plantar fins que les seves cartes no sumin 17 o més. Aquesta,
prové de la probabilitat que el crupier obtingui 17 amb el seu sis, que és la carta
destapada. La probabilitat de guanyar en el cas que la següent carta sigui un quatre
prové de la suma de la probabilitat quan el crupier es passi amb un sis més la
probabilitat d’empatar amb una suma de 17, perquè el repartidor pot arribar fins 17
punts i no demanar més cartes, però com que tens una suma de 18 el guanyes. La
probabilitat d’empatar prové de la probabilitat que el crupier obtingui 18 amb la seva
carta que es troba destapada, que és el número 6. Pel que fa a la probabilitat de guanyar
si la següent carta és un 5 s’obté sumant la probabilitat de guanyar i la d’empatar quan
la següent carta és un 4. Això es fa així, perquè parteixo de la idea que la probabilitat de
guanyar és sempre 42,50 % i li vaig sumant les probabilitats d’empatar anteriors. És
acumulativa. La probabilitat de guanyar o d’empatar en els casos en els quals les cartes
següents seran el 6 i el 7 provenen de la mateixa forma que quan la següent carta és un 5
i per la mateixa raó.
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
37
Annex 5. Fitxes tècniques de les pel·lícules
5.1 21:blackjack
Títol: 21: blackjack.
Títol original: 21.
Producció: Columbia Pictures, Relativity Media, Trigger
Street i Michael De Luca.
Nacionalitat: Estats Units
Gènere: Drama
Direcció: Robert Luketic.
Guió: Peter Steinfel i Allan Loeb, basat en el llibre “Bringing
Down the House: The Inside Story of Six MIT Students Who
Took Vegas for Millions” de Ben Mezrich.
Fotografia: Russell Carpenter.
Música: David Sardy.
Muntatge: Elliot Graham.
Intèrprets: Jim Sturgess (Ben Campbell), Kate Bosworth (Jill Taylor), Laurence
Fishburne (Cole Williams), Kevin Spacey (Micky Rosa), Aaron Yoo (Choi), Liza
Lapira (Kianna), Jacob Pitts (Fisher), Josh Gad (Miles), Sam Golzary (Cam).
Any: 2008
5.2 Rosencrantz i Guildenstern han mort
Títol: Rosencrantz i Guildenstern han mort.
Títol original: Rosencrantz i Guildenstern are dead.
Producció: Emanuel Azenberg i Michael Brandman.
Nacionalitat: Gran Bretanya/Estats Units
Gènere: Drama
Direcció: Tom Stoppard.
Guió: Tom Stoppard, basat en els personatges de Hamlet
creats per William Shakespeare.
Fotografia: Peter Biziou.
Música: Stanley Myers.
Muntatge: Nicolas Gaster.
Intèrprets: Gary Oldman (Rosencrantz), Tim Roth (Guildenstern), Richard Dreyfuss
(l’Actor), Livio Badurina (comediant), Tomislav Maretic (comediant), Mare Mlacnik
(comediant), Srdjan Soric (comediant), Mladen Vasary (comediant), Zeljko Vukmirica
(comediant), Branko Zavrsan (comediant), Joanna Roth (Ofelia), Iain Glen (Hamlet),
Donald Sumpter (Claudio), Joanna Miles (Gertrudis).
Any: 1990
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
38
5.3 El caçador
Títol: El caçador.
Títol original: The deer hunter. Producció:
Nacionalitat: Estats Units.
Gènere: Drama.
Direcció: Michael Cimino.
Guió: Deric Washburn.
Fotografia: Vilmos Zsigmond.
Música: Stanley Myers.
Muntatge: Peter Zinner.
Intèrprets: Robert de Niro (Michael), John Cazale (Stan), John Savage (Steven),
Christopher Walken (Nick), Meryl Streep (Linda), George Dzundza (John), Chuck
Aspegren (Axel), Rutanya Alda (Angela).
Any: 1978
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
39
Annex 6. Model d’enquesta
Edat: Sexe: Estudis: primaris secundaris superiors
Monty Hall
Es troba en un concurs en què ha d’elegir entre tres portes darrera de les quals hi ha,
respectivament, dues cabres i un cotxe. Naturalment, el concursant no veu què hi ha
darrera de cada porta. El concursant s’emporta com a premi el que hi ha darrera de la
porta seleccionada.
En iniciar-se el joc el presentador li demana que elegeixi una de les tres portes.
Després d’elegir-la, el presentador anul·la una de les dues portes que el concursant no
ha triat i li assegura que en la que ha anul·lat no hi havia el premi.
2 1 3
2 1 3
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
40
A continuació, li pregunta si vol canviar de porta o quedar-se amb la mateixa que ja
havia triat.
Quina de les tres afirmacions següents creu que és certa?
Si no canvio de porta tinc més probabilitats de guanyar que si canvio.
Si canvio de porta tinc més probabilitats de guanyar que si no canvio.
Tinc les mateixes probabilitats de guanyar el premi si canvio de porta que si no
canvio
Podria justificar la seva resposta?
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
41
Edat: Sexe: Estudis: primaris secundaris superiors
Joc dels dotze cavalls
El joc consisteix en una carrera de dotze cavalls, numerats de l’1 al 12.
Al començament del joc els dotze cavalls estan situats a la primera casella d’una taula,
tal com s’indica a continuació:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Els cavalls avancen de la següent manera: es tiren dos daus, se sumen els resultats i el
cavall que porta el número corresponent a aquesta suma, avança una casella.
La carrera acaba després d’haver llançat 100 vegades els dos daus.
Si hagués d’apostar per un cavall guanyador, per quin apostaria?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
42
Per què ha triat aquest cavall?
L’he triat a l’atzar.
Perquè és el que té més probabilitats de guanyar.
No sap/no contesta.
Si ha contestat que creu que és el que té més probabilitats de guanyar, per què ho creu?
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
43
Edat: Sexe: Estudis: primaris secundaris superiors
Loteria
Si els dos últims anys la grossa de la loteria de Nadal ha acabat en 7,
Creu que aquest any és més probable que la loteria torni a acabar en 7 que no
que acabi en 3.
Creu que aquest any és més probable que la loteria acabi en 3 que no que acabi
en 7.
Creu que és igual de probable que la loteria, aquest any, acabi en 3 que acabi en
7
Pot justificar la seva resposta?
Independentment del que ha respòs en la pregunta anterior, compraria un número de
loteria que tingués la mateixa terminació que el premi gros de l’any anterior?
Sí.
No.
Està comprovat que quan un establiment de venda de loteria ven el número de la grossa
un any, a l’any següent li augmenta considerablement les vendes. Per tant, la
probabilitat que aquest establiment vengui la grossa augmenta. Creu que per a vostè és
més favorable comprar loteria en aquest establiment que no pas en d’altres.
Sí.
No.
Pot justificar la seva resposta?
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
44
Annex 7. Resultats de l’enquesta
2n de l’ESO 1r de
Batxillerat Adults
Joc dels dotze cavalls
Pregunta 1
Cavall 1 1 0 0
Cavall 2 3 0 0
Cavall 3 1 0 0
Cavall 4 2 1 0
Cavall 5 4 2 1
Cavall 6 9 11 5
Cavall 7 8 29 18
Cavall 9 9 8 4
Cavall 10 6 2 3
Cavall 11 4 0 0
Cavall 12 2 1 0
Pregunta 2
L'he triat a l'atzar 24 9 12
Perquè és el que té més
probabilitats de
guanyar
22 44 20
No sap/No contesta 6 1 0
Monty Hall
Si no canvio de porta
tinc més probabilitats
de guanyar
7 5 5
Si canvio de porta tinc
més probabilitats de
guanyar
6 11 9
Tinc les mateixes
probabilitats si canvio
de porta que si no
39 38 18
Loteria
Pregunta 1
Aquest any és més
probable que la loteria
acabi en 7
2 1 0
Aquest any és més
probable que la loteria
acabi en 3
11 9 2
És igual de probable
que acabi en 3 que en 7 39 44 30
Pregunta 2
Sí 10 8 17
No 42 46 15
Pregunta 3
Sí 17 8 18
No 35 46 14
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
45
Annex 8. Resolució del problema dels dotze cavalls
Probabilitats de guanyar de cada cavall:
Número 1:
Número 2:
Número 3:
Número 4:
Número 5:
Número 6:
La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez
46
Número 7:
Número 8:
Número 9:
Número 10:
Número 11:
Número 12:
Com es pot observar, el número que surt més vegades com a resultat de la suma dels
dos daus i que té una probabilitat major que els altres nombres és el número 7, per tant,
serà el cavall número 7 el que tindrà més possibilitats de guanyar la carrera.