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CIRCUITOS ELECTRICOS II Jairo Palomino de la Cruz
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7. REDES DE DOS PUERTOS
Se define puerto como un par de terminales por los que una señal de voltaje o
corriente pueden salir o entrar de una red.
Una red de dos puertos o de dos pares de terminales es una red que contiene
resistencias, inductores, capacitores, transformadores, amplificadores
operacionales y fuentes dependientes, caracterizada por un puerto de entrada y
un puerto de salida.
El puerto izquierdo, se designa puerto de entrada y el de la derecha puerto de
salida.
En estas redes, la señal eléctrica entra por los terminales de entrada, sufre la
acción del sistema y sale por los terminales de salida. En muchos casos los
terminales de salida están conectados a los terminales de entrada de otra red.
El estudio de las redes de dos puertos tiene como objetivo aprender como
establecer las relaciones que enlazan las variables I1, I2, V1 y V2 por medio de un
conjunto de parámetros que describen dichas redes.
Estos parámetros permiten establecer por completo el comportamiento de la
red en términos del voltaje y corriente de cada puerto. Así, al conocer los
parámetros de una red de dos puertos, permite describir su operación cuando
ésta se conecta a una red más grande.
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Las redes de dos puertos aparecen en los sistemas de comunicaciones, sistemas
de control, sistemas de potencia y en electrónica. De esto se deduce su
importancia en un curso de circuitos eléctricos.
7.1 Parámetros de Impedancia Z
Una forma de describir las relaciones que ligan las cuatro variables de una red
de dos puertos consiste en expresar los voltajes en función de las corrientes:
2221212
2121111
IZIZV
IZIZV
Las Z son constantes de proporcionalidad o coeficientes que reciben el nombre
de parámetros Z ó parámetros de impedancia o de circuito abierto ya que se
pueden medir desde un terminal mientras el otro permanece abierto.
Se define como:
0I2
222
0I1
221
0I2
112
0I1
111
1212I
VZ
I
VZ
I
VZ
I
VZ
Los valores de estos parámetros se expresan en unidades de impedancia.
En forma de matrices:
1 11 12 1
2 21 22 2
V Z Z I
V Z Z I
Ejemplo
Determinar los parámetros Z de la siguiente red:
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Cuando I2=0:
1 1 11
2 1 21
V (4 2S)I : Z 4 2S
V 2SI : Z 2S
Cuando I1=0:
1 2 12
2 2 22
V 2SI : Z 2S
V (2 2S)I : Z 2 2S
7.2 Redes Recíprocas
Un cuadripolo se denomina recíproco cuando Z12=Z21
Las redes compuestas solamente por R.L.C son recíprocas.
Ejemplo
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Cuando I2=0:
1 1 11
2 1 21
V (14 10 S)I : Z 14 10 S
V (10 10 S)I : Z 10 10 S
Para I1=0:
1 2 2 12
2 2 22
V 2I (10 10 S)I : Z 8 10 S
V (16 10 S)I : Z 16 10 S
14 10 S 8 10 S
Z10 10 S 16 10 S
Ejemplo
a) Calcular los parámetros Z de la siguiente red.
b) Si esta red se alimenta con una fuente V(t) 2 10Cos 100t con una
impedancia interna de 2 y en los terminales de salida se conecta una carga de
10 , calcular la potencia consumida en la carga.
a) ; 10J4Z ;4ZZ ;20Z 22211211
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b)
1 1 2 2
1 1 2
2 1 2
1 2 1
1 2 2
2
2
V 10 0 2I V 10I
10 0 2I 20I 4I
10I 4I (4 J10)I
22I 4I 10 0 ; I 0.4705 1.457
4I (14 J10)I 0; I 0.109 143
P 10( I ) 0.121 Wts.
Circuito Equivalente Usando Parámetros Z:
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7.3 Parámetros Y ó de Admitancia
Usando los mismos argumentos que se dieron en el caso de los parámetros Z,
se pueden calcular las corrientes en función de los voltajes; es decir, que las
variables dependientes sean las corrientes y las independientes los voltajes.
2221212
2121111
VYVYI
VYVYI
En forma de matrices:
1 11 12 1
2 21 22 2
I Y Y V
I Y Y V
De donde se deduce:
0V2
222
0V1
221
0V2
112
0V1
111
12
12
V
IY
V
IY
V
IY
V
IY
Ejemplo
Calcular los parámetros Y de la siguiente red:
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Solución para calcular Y11 y Y21:
2
2
1 1 11 11
1 V 0
1 22 21
1 V 0
V V II Y 0.183 s
12 10 V
V I I Y 0.1 s
10 V
Para calcular Y12 y Y22:
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2 22 2 22
21 2 12
V VI 0.5V Y ( 0.4 J0.125) s
10 J8
V I 0.5V Y 0.4 s
10
Ejemplo
Calcular los parámetros Y de la red demarcada y luego usarlos para calcular I1 e
I2.
Escribiendo las ecuaciones de nodos
1 1 2 2 2 11 2
V V V V V VI I
5 10 20 10
1 1 2
2 1 2
I 0.3V 0.1V (1)
I 0.1V 0.15V (2)
11 12
21 22
Y 0.3s Y 0.1s
Y 0.1s Y 0.15s
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1 21 2
V VI 15 (3) I (4)
10 4
Reemplazando (3) y (4) en (1) y (2)
1 1 2 1 2
2 1 2 1 2
15 0.1V 0.3V 0.1V 0.4V 0.1V 15
0.25V 0.1V 0.15V 0.1V +0.4V 0
De donde resulta:
1 2
1 2
V 40 V y V 10 V
I 11 A y I 2.5 A
Conversión de parámetros Z en parámetros Y
Partiendo de las ecuaciones de definición
V Z I (1) I Y V (2)
Si se multiplica la ecuación 2 por Z
Z I Z Y V
Como Z I V , entonces Z Y = matriz unitaria.
Lo que significa que 1
Z Y
o 1
Y Z
22 12
111 12 21 11
21 22
Z -Z
Z Z -Z ZZ Z Y
Z Z Z
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22 1211 12
21 1121 22
Z ZY Y
Z Z
Z ZY Y
Z Z
Los parámetros Z en función de los parámetros Y
22 1211 12
21 1121 22
Y YZ Z
Y Y
Y YZ Z
Y Y
Circuito equivalente utilizando parámetros Y
Ejemplo
Obtener la matriz Y para la siguiente red, y a partir de esta calcular la matriz Z.
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11 21
12 22
3 1Y s Y s
2 2
1 5Y s Y s
2 6
3 2 1 2
Y1 2 5 6
1 5 6 1 2
Z Y1 2 3 2
Ejemplo
Calcular los parámetros Y de la siguiente red:
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2
2
111
1 V 0
221
1 V 0
IY
V
IY
V
1 11 1 1
211
1
2
Nodo 1
V V VI 0 (S 1)V V 2SI (1)
2 2S
Nodo V
V V SV V0 15V (3S 5S 15)V 0 (2)
2S 10 6
15Vde (2) V (3)
3S 5S 15
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1 12
Reemplazando (3) en (1):
15S 1 V 2SI
3S 5S 15
2 2
1 1 112 2
2
12 1 122
3S +8S+20 3S +8S+20V =2I Y =
3S +5S+15 6S +10S+30
V V 15 3S +5S+20I = - 0.5 V V
2 6 6S +10S+306 3S +5S+15
2
21 2
3S +5S+20Y
6S +10S+30
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1
1
112
2 V 0
222
2 V 0
IY
V
IY
V
222
2 22 2 2
2
2
Nodo V
V VV SV0 (3S 5S 15)V 5SV 0 (4)
2S 10 6
Nodo 2
V V VI 0 V 4V 6I (5)
2 6
5SVde (4) V (6)
3S 5S 15
2
2 2 222 2
Reemplazando (6) en (5):
5S 4S 5S 204 V 6I Y
3S 5S 15 6S 10S 30
2
1 22
VV 5SI = - +0.5 V
2S 2 2S 3S +5S+15
2
1 22
3S +5S+20I V
6S +10S+30
2
12 2
3S +5S+20Y =-
6S +10S+30
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7.4 Parámetros Híbridos
Para los parámetros híbridos, V1 e I2 son las variables dependientes.
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V h I h V
I h I h V
Estos parámetros son de gran utilidad en el análisis de sistemas que contienen
transistores, y su nombre se debe a que cada parámetro tiene unidades
diferentes.
Los parámetros se definen por medio de las siguientes ecuaciones:
2 2
1 1
1 211 21
1 1V 0 V 0
1 212 22
2 2I 0 I 0
V Ih h
I I
V Ih h
V V
En forma matricial:
1 11 12 1
2 21 22 2
1 1
2 2
V h h I
I h h V
V I
I Vh
Los parámetros híbridos representan lo siguiente:
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h11 = Impedancia de entrada en corto circuito.
h12 = Ganancia inversa de voltaje en circuito abierto.
h21 = Ganancia de corriente hacia delante de corto circuito.
h22 = Admitancia de salida de circuito abierto.
Ejemplo
Calcular los parámetros híbridos de la red que se muestra.
Calculo de h11 y h21:
2
111
1 V 0
Vh
I
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1 21 1 1 1
1 2
1 1 21 11
1 1 2
R R V R I I
R R
V R RR h
I R R
2
221
1 V 0
Ih
I
1 1i 1 1 2
0 1 2
1 12 1 21
0 1 2 0 1 2
i
1 1
AV R I V R I I
R R R
AR ARR RI I h
R R R R R R
Calculo de:
1 1
1 212 22
2 2I 0 I 0
V Ih h
V V
Como I1=0, entonces AVi = 0.
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1 21
1 2
112
1 2
R VV
R R
Rh
R R
2 22
0 1 2
1 2 02 2
0 1 2
1 2 022
0 1 2
V V I
R R R
R R RI V
R (R R )
R R R h
R (R R )
7.5 Conversión de parámetros Z en parámetros híbridos
La ecuación de los parámetros Z:
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V Z I Z I (1)
V Z I Z I (2)
Si despejamos I2 de (2) se tiene:
212 1 2
22 22
Z 1I I V (3)
Z Z
Sustituyendo la ecuación (3) en (1), se obtiene
11 22 12 21 121 1 2
22 22
Z Z Z Z ZV I + V (4)
Z Z
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La comparación de las ecuaciones para I2 y V1 en términos de los parámetros Z
con las ecuaciones de definición de los parámetros híbridos muestra que:
1211 12
22 22
2121 22
22 22
ZZh h
Z Z
Z 1h h
Z Z
Donde:
11 22 12 21Z Z Z Z Z
Con procedimientos similares se puede obtener cualquiera de los conjuntos de
parámetros a partir de cualquiera de ellos.
7.6 Parámetros de Transmisión
Estos parámetros se usan en el análisis de líneas de transmisión y cuando se
tiene varias redes conectadas en cascada.
Se definen mediante las ecuaciones siguientes:
1 2 2
1 2 2
V AV BI
I CV DI
En forma matricial,
1 2
1 2
1 2
1 2
V VA B
I C D I
V V
I Ia
Otra nomenclatura que se utiliza mucho para este conjunto de parámetros:
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11 12
21 22
t tA B
C D t ta
Los parámetros se determinan con las siguientes ecuaciones:
2 2
2 2
1 1
2 2I 0 I 0
1 1
2 2V 0 V 0
V IA C
V V
V IB D
I I
A estos parámetros también se les llama parámetros ABCD.
Ejemplo
Calcular los parámetros de transmisión de la siguiente red
Calculo de A y C cuando I2=0
2 2
1 1
2 2I 0 I 0
V IA C
V V
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Reemplazando (3) en (1)
2
2 1
2 212 1
2 I 0
(1.5 JW)(1 J2W) 0.5 V V
V(1 J4W 2W )V V A 1 J4W 2W
V
1 1 3 1 1 2
2
1 2
V I V V I (1 J2W)V (4)
de A, V (1 J4W 2W )V (5)
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Reemplazando (5) en (4)
2
2 212 1 2
2 I 0
I(1 J4W 2W )V I (1 J2W)V C J2W 2W
V
Cálculo de B y D
4 2V I
2 2
1 1
2 2V 0 V 0
V IB D
I I
3 3 43 1 3 2 1
4 3 44 3 2
3 2
Nodo 3:
V V VV V 0 (1.5 JW)V 0.5( I ) V (6)
J W 2
Nodo 4:
V V VV 0 0.5V (1.5 JW)( I ) 0 (7)
2 J W
de (7) V (3 J2W)( I ) (8)
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Reemplazando (8) en (6)
2 1
2 2
2 1
(1.5 JW)(3 J2W) 0.5 ( I ) V
(4 J6W 2W )( I ) V B 4 J6W 2W
1 31 1 2
2
1 2 2
2 2
1 2
V VI de B, V B( I ) (9)
1
I (4 J6W 2W )( I ) (3 J2W)( I )
I (1 J4W 2W )( I ) D 1 J4W 2W
La siguiente tabla indica las formulas de conversión que relacionan un conjunto
de parámetros de dos puertos con otros. Se aclara que en dicha tabla Z, Y, H
y T se refieren a los determinantes de las matrices correspondientes.
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1222 12
11 12 22 22
21 22 21 11 21
22 22
22 12
11 12
21 11 21
hhA TY Y Z Z h hC CY Y
Z Z Y Y 1 D h 1
C CY Y h h
Z Z
Y YZ Z
Z Z Y
Z Z
12
11 11
22 21
11 11
11 22
21 21 21 21
22 11
21 21 21 21
h1D T h hB B
Y 1 A h h
B B h h
Z YZ -1
Z Z Y Y A B
Z Y C D1 Y
Z Z Y Y
11
21 21
22
21 21
12 12
22 22 11 11 11 12
21 21 21 22
22 22 11 11
hh
h h
h 1
h h
Z YZ 1 B T Z Z Y Y h hD D
Z Y 1 C h h1 Y
D DZ Z Y Y
7.7 Interconexión de Redes de dos Puertos
La importancia de las redes de dos puertos interconectadas se deriva del hecho
de que cuando se diseñan sistemas complejos, es mucho más fácil diseñar un
número de subsistemas más simples que luego se pueden interconectar para
formar el sistema complejo.
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Si se trata cada subsistema como una red de dos puertos, las técnicas de
interconexión facilitan el análisis y el diseño de sistemas complejos.
7.8 Interconexión en paralelo
Las ecuaciones que definen las redes a y b son:
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
1b 11b 1b 12b 2b
2b 21b 1b 22b 2b
a a a a a
a a a a a
I Y V Y V
I Y V Y V
I Y V Y V
I Y V Y V
Donde
1 1 1b
2 2 2b
a
a
V V V
V V V
1 1 1b
2 2 2b
a
a
I I I
I I I
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1 11 11b 1 12 12b 2
2 21 21b 1 22 22b 2
a a
a a
I (Y Y )V (Y Y )V
I (Y Y )V (Y Y )V
De lo anterior se deduce que para la conexión en paralelo de dos redes, la
matriz de parámetros [ Y ] del sistema equivalente es igual a la suma de las
matrices de los parámetros [ Y ] individuales.
11 11b 12 12b11 12
21 22 21 21b 22 22b
a a
a a
Y Y Y YY Y
Y Y Y Y Y Y
Ejemplo
Obtener la ganancia de voltaje V2/V1 con la salida en circuito abierto de la
siguiente red:
Esta red se puede descomponer en dos redes conectadas en paralelo:
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2 2
1 211 21
1 1V 0 V 0
I IY Y
V V
1 1 1
1 1
11
'
V J10I 2 ( J10) I
V (10.5612 79.5085)I
Y 0.09469 79.5086 s
12 11 1
2 1
21
'
2I 2I Y V
2 J10 2 J10
I (0.0186 21.801)V
Y 0.0186 21.801
1 1
1 212 22
2 2V 0 V 0
I IY Y
V V
12 21
22 11
' '
' '
Y Y 0.0186 21.801 (por reciproca)
Y Y 0.09469 79.5086 (simetrica)
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Para la otra red:
1 1 1
1 1
11
''
V 4I 4 ( J20) I
V (7.884 5.6)I
Y 0.127 5.6 s
12 11 1
2 1
21
''
''
J20I J20I Y V
4 J20 4 J20
I (0.1245 174.29º )V
Y 0.1245 174.29º
12 21 22 11
'' '' '' ''Y Y y Y Y
Para la red total:
11 11 11
21 21 21
12 12 12
22 22 22
' ''
' ''
' ''
' ''
Y Y Y 0.178 36.297 s
Y Y Y 0.1067 177.058 s
Y Y Y 0.1067 177.058 s
Y Y Y 0.178 36.297 s
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2 2
2 121 11
1 1I 0 I 0
V VComo Z y Z , entonces:
I I
2
2 21 21 21
1 11 22 22I 0
V Z Y Y Y 0.6 140.76
V Z Y Y Y
7.9 Redes en cascada
Cuando se tienen dos redes conectadas en cascada se utilizan los parámetros
de transmisión para calcular los parámetros equivalentes.
Las ecuaciones de parámetros para las dos redes son:
1 2
1 2
1b b b 2b
1b b b 2b
a a a a
a a a a
V A B V
I C D I
V A B V
I C D I
Pero
1 2 1b 2b1 2
1 1 2 1b 2b 2
a a
a a
V V V VV V, ,
I I I I I I
Y por tanto, las ecuaciones para toda la red son:
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b b1 2
1 b b 2
a a
a a
A B A BV V
I C D C D I
De lo anterior se deduce que los parámetros de transmisión para toda la red se
obtienen de la multiplicación matricial.
El orden de esta multiplicación matricial se debe llevar a cabo en el orden en
que las redes están interconectadas.
Ejemplo
Obtener la matriz de transmisión de la siguiente red:
Esta red se puede dividir en 2 redes conectadas en cascada.
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2
2
2
2
11 2
2 I =0
12 1
2 I =0
12 1
2 V =0
11 2
2 V =0
VA= V = nV , donde n=10, A=10
V
IC= de I = 0, I =0, C= 0
V
VB= Si V = 0, V = 0 B= 0
-I
I 1D= I = (-I ), D= 0.1
-I n
' 10 0
0 0.1a
Para la otra red:
1 1 2 1
2 1
V (10 J6)I , V J6I
10 J6A 1.944 59.036º
J6
V J6I C 0.1667 90º
12
J6II
40 J6
D 6.741 81.47º
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1 2
1 1 2 2 2
1 2
de D, I D( I )
V 10I 40( I ) 10 6.741 81.47 ( I ) 40( I )
V 83.33 53.13( I )
B 83.33 53.13
La matriz de transmisión total es:
10 0 1.944 59.036 83.33 53.13
a0 0.1 0.1667 90 6.741 81.47
19.44 59.036 833.3 53.13
0.01667 90 0.6741 81.47
7.10 Interconexión en Serie
1 1 1b 2 2 2ba aV V V V V V
En forma matricial:
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1 1b1
2 2 2b
a
a
V VV (1)
V V V
Sustituyendo los voltajes en función de las corrientes y los parámetros Z, se
tiene:
11 12 1 11b 12b 1b1
2 21 22 2 21b 22b 2b
a a a
a a a
Z Z I Z Z IV (2)
V Z Z I Z Z I
Pero las corrientes del puerto de entrada son todas iguales, al igual que las
corrientes del puerto de salida:
1 1b1
2 2 2b
a
a
I II (3)
I I I
Al sustituir (3) en (2) se obtiene:
11 12 11b 12b1 1
2 21 22 21b 22b 2
a a
a a
Z Z Z ZV I
V Z Z Z Z I
Lo que significa que la matriz [Z] equivalente de dos redes interconectadas en
serie es igual a la suma de las matrices Z de las redes:
11 11b 12 12b11 12
21 22 21 21b 22 22b
a a
a a
Z Z Z ZZ Z
Z Z Z Z Z Z
Ejemplo
Calcular la función de transferencia
2
2
1 I 0
V
V
de la siguiente red:
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Esta red se puede dividir en 2 en serie:
11 21
12 22
Z 6 2S Z 6
Z 6 Z 6 2S
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11 12 21 22
1 4 5S 1Z Z Z Z 4
S S S(S 1)
11 12
21 22
5S 1 5S 1
Z Z 6 2S 6 S(S 1) S(S 1)
Z Z 6 6+2S 5S 1 5S 1
S(S 1) S(S 1)
3 2 2
2 3 2
2S 8S 11S 1 6S 11S 1
S(S 1) S(S 1)Z
6S 11S 1 2S 8S 11S 1
S(S 1) S(S 1)
2
2
2 21
3 2
1 11I 0
V Z 6S 11S 1H(S)
V Z 2S 8S 11S 1
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7.11 EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcular los parámetros de transmisión y la función de transferencia
012
1V
I
I de la red número 1.
Red número 1
2. Calcular los parámetros Z de la red número 2.
Red número 2
3. Calcular los parámetros Y del red número 3.
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Red número 3
4. Calcular los parámetros de transmisión A, B, C y D de la red número 4.
Red número 4
5. Calcular los parámetros híbridos de la red número 5.
011 21
1 V
V
IY 021 21
2 V
V
IY012 12
1 V
V
IY 022 12
2 V
V
IY
022
1
V
I
ID022
1
V
I
VB 022
1 I
V
IC022
1 I
V
VA
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Red número 5
RESPUESTAS DEL TALLER.
2. 11325.0001975.0
)1.0019.0(211
ss
ssZ ;
11325.0001975.0
41.0212
ss
sZ
11325.0001975.0
)1004.0(221
ss
ssZ ;
11325.0001975.0
6125.0222
ss
sZ
3. )15.1(2
5.25.432
2
11
ss
ssY ;
232
5.0212
ss
sY
15.1
25.0221
ss
sY ;
232
235.12
2
22
ss
ssY
4. s
A2
; B = -2; s
C7
2 ;
7
5D
5. 90794.230556.411 jh ; 21696.0123.112 jh
134.0216314.021 jh ; 001133.02.022 jh