Tema 6Tema 6

REGIM PERMANENT SINUSOÏDAL

CIRCUITS I COMPONENTS CIRCUITS I COMPONENTS ELECTRONICSELECTRONICS

2Ll. Ferrer

ÍndexÍndex

Introducció números complexes.Definició de fasor.Sumes d’ones sinusoïdals d’igual freqüència mitjançant fasors.Resposta permanent sinusoïdal d’un circuit.Impedància complexa.Transformador ideal.Potencia.Anàlisis de circuits amb fonts de diferent freqüència.

3Ll. Ferrer

Introducció als números Introducció als números complexes.complexes.

Definició de número complex:– Es un numero de la forma :

• z = x + j y.

– x i y son números reals i .– x = part real de z (Re z).– y = part Imaginaria de z (Im z).

Pla complex:– Es el pla on es representen els números complexes. En

el eix horitzontal es representa la part Real i en el vertical la part Imaginaria.

1−=j

4Ll. Ferrer

Pla complexPla complex

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

j2

j1

j3

-j2

-j3

-j1

• Z1

φ

X

Z1 = 4 + j3 en forma rectangular

Z1 = X ∟φen forma polar

5Ll. Ferrer

Operacions amb números Operacions amb números complexescomplexes

abarctg

baX

Xzjbaz

=

+=

∠=⇒+=

φ

φ22

11

De coordenades rectangulars a polars

φφ

φ

sincos

11

⋅=⋅=

+=⇒∠=

XbXa

jbazXz

De coordenades polars a rectangulars

)()( // z

21

21

dbjcazzjdczjba

+++=++=+=

Suma en coordenades rectangulars

);(

);()(z //

212

1

2

1

212121

222111

φφ

φφφφ

−∠=

+∠⋅=⋅∠=∠=

XX

zz

XXzzXXz

Multiplicació en coordenades polars

)()( // z

21

21

cbdajdbcazzjdczjba

⋅+⋅+⋅−⋅=⋅+=+=

Multiplicació en coordenades rectangulars

+⋅−⋅

+

+⋅+⋅

=⋅=

=−=

+=+=

2222*2

*2

2

1

2

1

2*2

21

z deConjugat

// z

dcdacbj

dcdbca

zz

zz

zz

jdcz

jdczjbaDivisió en coordenades rectangulars

6Ll. Ferrer

FasorFasor

Qualsevol ona sinusoïdal es pot representar com la projecció horitzontal d’un fasor rotatiu de velocitat angular w

Qualsevol ona sinusoïdal es pot representar com la projecció horitzontal d’un fasor rotatiu de velocitat angular w

Fotografia quan t=0.Coneixen la freqüència,les variables necessàries per definir un senyal sinusoïdal son: Xm i

Fotografia quan t=0.Coneixen la freqüència,les variables necessàries per definir un senyal sinusoïdal son: Xm i

FASOR ROTATIU

Xm·cos(w·t+ )

w·t+

f =w/(2 )Xm

FASOR NO ROTATIU

Fasor X = Xm

Xm

X

7Ll. Ferrer

NotesNotes

n Qualsevol ona sinusoïdal es pot representar per la formula:X(t)=Xm·cos(w·t + )

n Sin(w·t)=cos(w·t - 90º)n -Sin(w·t) = sin(w·t – 180º)n -Cos(w·t) = cos(w·t – 180º)

Adreçes web de interes:http://members.es.tripod.de/pefeco/fasores/cor_alt_indice.htmhttp://www.jhu.edu/~signals/phasorlecture2/indexphasorlect2.htmhttp://www.electronicsworkbench.com/

8Ll. Ferrer

Suma d’ones sinusoïdals d’igual Suma d’ones sinusoïdals d’igual freqüència mitjançant fasorsfreqüència mitjançant fasors

)32cos(43,9

3285 // 43,958

58)05()80(

08V //50

0sin(0)5b // 8)0cos(8c-5sin(-90)5b // 0)90cos(5

V //

Hz.1 f //08V // 905

)cos(8V // )90cos(5)sin(5

s22

21

21

21

21

21

−⋅=

−=−

==+=

=−=+−++=+

+=−=

=⋅==⋅==⋅==−⋅=

+=+=

=∠=−∠=

⋅=−⋅=⋅=

wtV

arctgX

VjjVV

jjV

ajdcjbaV

V

wtwtwtV

s

os

s

φV2

V1+V2

V1

Representació fasorial V1

V2

V1 + V2

wPLA COMPLEX

9Ll. Ferrer

Resposta permanent sinusoïdal Resposta permanent sinusoïdal d’un circuitd’un circuit

t=01 2

i(t)

VM·cos(wt)

12

CVc)()cos( kirchoff Apliquem tutwVV

dtdVCR MC

C ⋅⋅⋅=+⋅⋅⇒

CRt

MMC e

CRwVCRwartgtw

CRw

VV ⋅−

⋅⋅⋅+

−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+

= 222222 1))(cos(

1

Quan l’entrada és una ona sinusoïdal la resposta permanent també és ona sinusoïdal de la mateixa

freqüència. Sols varia l’amplitud i la fase.

Resposta permanentResposta permanent TransitoriTransitori

10Ll. Ferrer

Regim permanent sinusoïdal de Regim permanent sinusoïdal de circuits linealscircuits lineals

CIRCUIT

LINEAL)cos()( φ+⋅⋅= twXtx m )cos()( ym twYty φ+⋅⋅=

LA FREQÜÈNCIA NO VARIA

REGIM PERMANENT

SOLS HI HA 2 VARIABLES INCOGNITA :– L’AMPLITUD(YM).– LA FASE(φY).

DEFINICIÓ DE IMPEDANCIA:– Relació entre el fasor tensió i el fasor intensitat d’un

element o dipol passiu de dos terminal (és un nºcomplex, però no és un fasor).

11Ll. Ferrer

Circuit resistiuCircuit resistiu

)cos()(

)cos()(

)()(

twRVmti

twVmtvRtvti

⋅⋅=

⋅⋅=

=

Equacions temporals

VI

Diagrama fasorial

tensió i intensitat estan en fase

RRV

VIVZ o

M

oM

R =∠

∠==

0)/(0

Impedància de la resistènciaRepresentació temporal

VR

IR

12Ll. Ferrer

Circuit capacitiuCircuit capacitiu

)º90cos()()cos()(

)()(

+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=

⋅=

twVmwCtitwVmtv

dttdvCti

Equacions temporals Diagrama fasorial

VI

La intensitat avança 90º la tensió.

CwjCwVV

IVZ o

M

oM

C ⋅⋅=

∠⋅⋅∠

==1

900

Impedància del condensador.Representació temporal.

VcIc

13Ll. Ferrer

Circuit inductiuCircuit inductiu

La tensió avança 90º la intensitat.

)º90cos(Im)()cos(Im)(

)()(

+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=

⋅=

twwLtvtwti

dttdiLtv

Equacions temporals

V I

Diagrama fasorial

LwjIIwL

IVZ

M

oM

L ⋅⋅=∠∠⋅⋅

== 0090

Impedància de la bobinaRepresentació temporal.

ILVL

14Ll. Ferrer

Llei de Ohm en R.P.S.Llei de Ohm en R.P.S.

V = Z · I ⇐ Relació lineal.Impedancies en sèrie :– Z eq = ∑ Z.

Admitàncies en paral·lel :– Yeq = ∑ Y.

Tots els teoremes i sistemes per resoldre circuits amb resistències son vàlids per resoldre circuits amb impedàncies.

15Ll. Ferrer

Diagrama en Diagrama en blocsblocs

CIRCUIT EN (R.P.S.) .

Domini temporalx(t) = XM·cos(w·t+φx)

SENYALS ⇒ FASORS

IMPEDANCIES⇒ NºCOMPLEXES

SOLUCIO PER METODES

ALGEBRAICS

FASOR RESPOSTA :

AMPLITUD I FASE

RESPOSTA TEMPORAL SINUSOÏDAL:

y(t)= YM·cos(w·t + φy)

16Ll. Ferrer

Problema exempleProblema exemple

1K 0,1H

1 microF10·cos(1000·t)

12

Vc

I

Circuit

º1,484,7º901º9,414,7

º9,414,7º9,411345

010

1000101000

111001,01000

6

−∠=−∠⋅∠=⋅=

∠=−∠∠

=++

=

Ω−=⋅

=⋅

=

Ω=⋅=⋅=

−

VKmAZIV

mAZZR

VI

jjCjw

X

jjLjwX

CC

CL

C

L

Resolució

Vc

Ic

Representació temporal

17Ll. Ferrer

El transformador idealEl transformador ideal

I1 I2

V2V1

Nucli

Φ N1 = nº. Espires primari.

N2 = nº. Espires secundari.

N =N1 / N2 = relació de transformació.

Potència primari = Potència secundari: V1 · I1 = V2 · I2

N1 = nº. Espires primari.

N2 = nº. Espires secundari.

N =N1 / N2 = relació de transformació.

Potència primari = Potència secundari: V1 · I1 = V2 · I2

n

TRANSFORMADOR

1 5

4 8

Símbol

+- V1/n

12

I2/n

I1 I2

V1 V2· ·

Esquema equivalent

211

2

2

1

122

1

2

1

11

1

In

InN

NII

Vn

VnNN

VV

⋅=⇒==

⋅=⇒==

Formules

Només funciona amb corrent alterna. Aïllament elèctric entre primari i secundari.

18Ll. Ferrer

Característiques i tipus de Característiques i tipus de transformadors.transformadors.

Característiques tècniques :– Tensions primari.– Tensions secundari.– Intensitat secundari (Potència útil).

Una classificació :– De mesura.– Elevadors/reductors (de baixa freqüència, nucli de

xapes de material ferromagnètic).– Aïlladors ( n = 1):– De Mitja, Alta freqüència (nucli de ferrita).

19Ll. Ferrer

Potència en R.P.S.Potència en R.P.S.

)2cos(2

IV)cos(2

IVp(t)

y)cos(xy)-cos(x y cosx cos2:CA MATEMATIFORMULA

)cos()cos()()cos()cos()()()(

)cos()()cos()(

MMMMIVIV

IVMM

IMVM

IM

VM

tw

twtwIVtptwItwVtitvtp

twItitwVtv

φφφφ

φφφφ

φφ

++⋅⋅⋅⋅

+−⋅⋅

=

++=⋅⋅

+⋅⋅+⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅=

+⋅⋅=+⋅⋅= La potència consta d’un terme

constant i un terme sinusoïdal de freqüència doble.

El terme constant és la potènciamitja o activa i és la potència que es dissipa en el circuit

La potència consta d’un terme constant i un terme sinusoïdal de freqüència doble.

El terme constant és la potènciamitja o activa i és la potència que es dissipa en el circuit

potència deFactor coscos222

I FASOR ELi V FASOR EL ENTREANGLE

)cos(2

mitja Potènciaconstant termePm

=⇒⋅⋅=

⋅=⋅=⋅

=−=

−⋅⋅

=

==

φφ

φφφ

φφ

efefm

efefMMMM

IV

IVMM

m

IVP

IVIVIV

IVP

V

I

Ief·cosφI ef

·sin φ

20Ll. Ferrer

Diagrama de potènciesDiagrama de potències

S =Vef ·Ief

P =Vef ·Ief·cosφ

Q =

Vef

·Ief

·sin φ

φ

S = Potencia aparent. Potència total del circuit (VA).

P = Potència activa. Potència que es dissipa en el circuit (W).

Q = Potència reactiva. Potència de intercanvi. Potencia que circula però no es dissipa (VA).

21Ll. Ferrer

Anàlisis de circuits amb fonts de Anàlisis de circuits amb fonts de diferent freqüènciadiferent freqüència

Es resol aplicant superposició.S’eliminen totes les fonts menys una i primer es calcula la impedància de cada element per la freqüència de la font que queda. Desprès es resol el circuit amb fasors i es passa a forma temporal. Es guarda el resultat.Es repeteix el procés per totes les fonts.El resultat total és la suma de tots els resultats temporals.

NO ES PODEN SUMAR FASORS DE DIFERENT FREQÜÈNCIA.