REGRESIÓN MULTIPLE UNIDAD 2

Instituto Tecnológico de Toluca.Ing. En Gestión Empresarial.

Estadística Inferencial II.

Unidad 2.Regresión Lineal múltiple y correlación.

Ejercicios.

Alumnos:Alarcón Villegas Pamela Alejandra.Sandoval Rendón Javier Antonio.

Profa. Ing. Laura Marmolejo.

Toluca, Edo de Méx, a 12de Octubre de 2012.

EJERCICIO EXAMEN 2° UNIDAD.

En un experimento de ingeniería química que se refiere a la transferencia de calor en una cámara fluidizada superficial, se recolectan los datos de la siguiente cuatros variables de regresión: tasa de flujo de gas fluidizante lb / hora (x1), tasa de flujo de gas flotante lb/hrs (x2), abertura de la entrada de gas flotante en mm (x3); temperatura de entada de gas flotante °F (x4). La respuesta es la eficiencia térmica (y1).

INTERPRETACIÓN DEL COEFICIENTE DE REGRESIÓN ESTIMADO

El aumento promedio de la eficiencia térmica es de 0.0355 por cada punto adicional en la tasa de flujo de gas fluidizante asumiendo que las otras tres variables permanecen constantes, así mismo el aumento promedio de la eficiencia térmica es de 0.482 por cada punto adicional en la tasa de flujo de gas flotante asumiendo que las otras tres variables permanecen constantes, asimismo aumento promedio de la eficiencia térmica es de 0.0418 por cada punto adicional en la abertura de la entrada de gas fluidizante asumiendo que las otras tres variables permanecen constantes, así mismo el aumento promedio de la eficiencia térmica es de 0.606 por cada punto adicional en la temperatura de entrada de gas asumiendo que las otras tres variables permanecen constantes,

COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN.

El coeficiente de determinación es de 31.1%, indica una baja asociación lineal entre las variables, por lo cual no se puede usar la tasa de flujo de gas fluidizante la tasa de flujo de gas flotante la abertura de la entrada de gas fluidizante la y la temperatura de entrada de gas para predecir la eficiencia térmica.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA

Con una confianza del 95% se asume que el valor medio de la eficiencia térmica caerá en el intervalo de (58.65, 81.20)


Con una confianza del 95% se asume que el valor futuro de la eficiencia térmica caerá en el intervalo de (51.02, 88.84)

PRUEBA DE HIPOTESIS DE CADA COEFICIENTE DE REGRESION ES CERO:

1. Datos anteriores 2. Ho: B1= 0 La variable Xj no es importante

3. H1 : B1≠ 0 La variable si es importante

4. Nivel de significancia= 0.05

CONCLUSIONES

X1: tasa de flujo de gas fluidizante lb / hora (x1),

La variable de tasa de flujo de gas fluidizante lb / hora (x1), tiene un “p-values” de 0.344 por lo tanto se acepta la hipótesis nula y sugiere que la variable no es importante en el modelo.

X2: tasa de flujo de gas flotante lb/hrs (x2),

La variable tasa de flujo de gas flotante lb/hrs (x2), tiene un “p-values” de 0.007 por lo tanto se rechaza la hipótesis nula y sugiere que la variable si es importante en el modelo.

X3 Abertura de la entrada de gas flotante en mm (x3);

La variable del Abertura de la entrada de gas flotante en mm tiene un p-values” de 0.655 por lo tanto se acepta la hipótesis nula y sugiere que la variable no es importante en el modelo.

X4 Temperatura de entada de gas flotante °F (x4).

La variable Temperatura de entada de gas flotante °F tiene un “p-values” de 0.005 por lo tanto se rechaza la hipótesis nula y sugiere que la variable si es importante en el modelo.

PRUEBA DE HIPÓTESIS DE QUE TODOS LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN SON CERO:

1. Datos anteriores

2. Ho: B1=b2=b3=b4= 0 el modelo no sirve

3. H1 : al menos uno de los coeficientes es diferente de cero, al menos una de las variables sirve


5. Región critica: si fp < f(tabla) no se rechaza la hipótesis nula

6. Cálculos

ANALISIS DE VARIANZA MODELO COMPLETO (C)

F=3.14

7. Conclusión:

Como 3.14< 5.86 con un nivel de significancia del 95% se rechaza la hipótesis nula y se concluye que al menos una de las variables predictoras en el modelo es importante para predecir la eficiencia térmica. Como p es menor que 0.05 se acepta la hipótesis alternativa.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UN SUBCONJUNTO DE COEFICIENTES DE REGRESIÓN

1. Datos anteriores

2. Ho: B1=b2=0 no se rechaza la hipótesis nula el modelo reducido no sirve




6. Cálculos

Análisis de varianza modelo completo

Análisis de varianza modelo reducido x1, x2

FORMULA:

Fp = ((637.40- 78.93)/2) / (761.05/15) = 5.5

F(tabla)= 5.86

7. Conclusiones:

Como el valor de fp es igual a 5.5 y este valor es menor que el de las tablas 5.86 no se rechaza la hipótesis nula y se concluye que el modelo reducido no sirve.


1. Datos anteriores

2. Ho: B3=b4=0 no se rechaza la hipótesis nula el modelo reducido no sirve




6. Cálculos

Análisis de varianza modelo completo

Análisis de varianza modelo reducido x3, x4

FORMULA:

Fp = ((637.40- 78.97)/2) / (761.05/15) = 5.5

F(tabla)= 5.86

7. Conclusiones:


La dispersión de los puntos en la grafica de residuos vs temperatura de entrada del gas respecto a la media residual presenta normalidad, sin embargo el dato 7 presenta un error residual muy grande que lo aleja de la media residual

INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICASANÁLISIS DE GRÁFICO RESIDUAL

La dispersión de los puntos en la grafica de residuos vs la ta sa de flujo de gas fluidizante respecto a la media residual presenta normalidad, sin embargo el dato 7 presenta un error residual muy grande que lo aleja de la media residual


La dispersión de los puntos en la grafica de residuos vs abertura de la entrada de gas respecto a la media residual presenta normalidad, sin embargo el dato 7 presenta un error residual muy grande que lo aleja de la media residual


La dispersión de los puntos en la grafica de residuos vs la ta da de flujo de gas flotante respecto a la media residual presenta normalidad, sin embargo el dato 7 presenta un error residual muy grande que lo aleja de la media residual



GRÁFICA DE NORMALIDAD:

Presenta normalidad ya que todos los puntos están cerca de la línea recta.

HISTOGRAMA DE RESIDUALES:

La forma de la grafica es anormal debido a que la distribución de el histograma no es simétrico.

RESIDUALES VS VALORES PREDICHOS:

La distribución de los datos presenta una pequeña anormalidad ya que en el sentido vertical se encuentras varios puntos alejados de la media residual y en el sentido horizontal se encuentra la misma dispersión.

GRÁFICA DE RESIDUALES VS ÍNDICE DE LA OBSERVACIÓN:

A pesar a que existen dos datos muy alejados de la media residual estos solo se considera un dato anormal el de la fila numero 7 los demás datos se encuentran dentro de la zona de validez.

SELECCIÓN DE VARIABLES EN REGRESIÓN MÚLTIPLE.MÉTODOS STEPWISE.

MÉTODO DE ELIMINACIÓN HACIA ATRÁS “BACKWARD”

El método termina en tres pasos.

Se ha economizado dos variables: la variable eliminada es x3 que corresponde a la abertura de la entrada de gas cuya t=0.46 (es la menor) y P= 0.6550.05.

la variable eliminada es x1 que corresponde a la tasa de flujo de gas fluidizante cuya t=0.98 (es la menor) y P= 0.3440.05.

Por lo tanto el mejor modelo de regresión múltiple queda:

La ecuación de regresión es

Eficiencia térmica (y) = - 172 + 0.490 Tasa de flujo de gas flotante (

+ 0.620 Temperatura de entrada del gas

Con el cual el consumo de gasolina queda con una de 34.49% explicada por las variables x2 y x4

MÉTODO DE ELIMINACIÓN HACIA ADELANTE “FORWARD”.

No se puede realizar este método a pesar de buscar la forma de realizar el método con la variación de l alfa; por lo que no se toma en cuenta este modelo

MÉTODO DE PASO A PASO “STEPWISE”.

No se puede realizar este método, por lo tanto no se toma en cuenta.

MÉTODO DE LOS MEJORES SUBCONJUNTOS

• Según el modelo la mejor decisión es aquella que contiene dos variables ( las cuales son X2 y X4 ) tasa de flujo de gas flotante lb/hrs (x2), y temperatura de entada de gas flotante °F (x4).

• A pesar de esto, el coeficiente de correlación es mínimo y explica en 34.5% a eficiencia térmico respecto a las variables, por lo que no se puede realizar predicción.

EJERCICIO PROPUESTO:

INTERPRETEACION DEL COEFICIENTE DE REGRESION:

INTERPRETACION:

El aumento promedio en el consumo diario de petróleo es de 10.3 por cada punto adicional en la parte de numero de horas- maquina, asumiendo que las otras dos variables permanecen constantes, asimismo el aumento promedio en el consumo de petróleo es de 0.284 por cada punto adicional en la parte de distancia de transportes asumiendo que las otras variables permanezcan constantes y hay un aumento promedio de 17.5 en el consumo diario de petróleo por cada punto adicional en la parte del rendimiento promedio de motores asumiendo que las otras variables permanecen constantes.


INTERPRETACIÓN:El coeficiente de determinación es de 99.9%, indica una buena asociación lineal entre las variables, por lo cual se pude usar el numero de horas-maquina el rendimiento de los motores y la distancia de los transportes para predecir el consumo diario de gasolina.


Con una confianza del 95% se asume que el valor medio del consumo promedio de petróleo es caerá en el intervalo de (4355.9, 4985)


Con una confianza del 95% se asume que el valor futuro del consumo promedio de petróleo caerá en el intervalo de (4311.9, 5029.7), sin embargo se denota un punto que es un valor atípico en extremo de los predictores

PRUEBA DE HIPOTESIS DE CADA COEFICIENTE DE REGRESION ES CERO:

1. Datos anteriores 2. Ho: B1= 0 La variable Xj no es importante

3. H1 : B1≠ 0 La variable si es importante


CONCLUSIONES

X1:

La variable de numero de horas-maquina tiene un “p-values” de 0.014 por lo tanto se rechaza la hipótesis nula y sugiere que la variable si es importante en el modelo.

X2:

La variable distancia de los transportes tiene un “p-values” de 0.014 por lo tanto se rechaza la hipótesis nula y sugiere que la variable si es importante en el modelo.

X3

La variable del rendimiento promedio del motor tiene un p-values” de 0.415 por lo tanto se acepta la hipótesis nula y sugiere que la variable no es importante en el modelo.

PRUEBA DE HIPÓTESIS DE QUE TODOS LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN SON CERO:

1. Datos anteriores

2. Ho: B1=b2=b3=0 el modelo no sirve




6. Cálculos

ANALISIS DE VARIANZA MODELO COMPLETO (C)

F=3484.23

7. Conclusión:

Como 3484.23> 4.28 con un nivel de significancia del 95% se rechaza la hipótesis nula y se concluye que al menos una de las variables productoras en el modelo es importante para predecir el consumo diario de petróleo.


1. Datos anteriores

2. Ho: B1=b2=b3=0 no se rechaza la hipótesis nula el modelo reducido no sirve




6. Cálculos ANALISIS DE VARIANZA MODELO COMPLETO (C) Análisis de varianza del modelo completo Fuente GL SC MC F PRegresión 3 47613072 15871024 3484.23 0.000Error residual 5 22776 4555Total 8 47635848 Análisis de varianza reducido x2,x3Distancia de transportes X2Rendimiento de motores X3 Fuente GL SC MC F PRegresión 2 47550086 23775043 1663.32 0.000Error residual 6 85762 14294Total 8 47635848

FORMULA:

Fp = ((47613072- 47550086)/2) / (22776/5) = 6.91

F(tabla)= 9.01

7. Conclusiones:



Los puntos de dispersión de los residuos de número de horas maquina respecto a la media residual presenta una normalidad en todos los datos, a pesar de la distancia de los datos de la fila 6 y 7 del modelo

Los puntos de dispersión de los residuos de la distancia de transporte respecto a la media residual presenta una normalidad en todos los datos, a pesar de la distancia de los datos de la fila 6 y 7 del modelo

Análisis de gráfico residual

Los puntos de dispersión de los residuos del rendimiento promedio de motores respecto a la media residual presenta una normalidad en todos los datos, a pesar de la distancia de los datos de la fila 6 y 7 del modelo

Análisis de gráfico residual

ANÁLISIS DE GRÁFICO RESIDUAL

GRÁFICA DE NORMALIDAD:

Presenta normalidad ya que todos los puntos están cerca de la línea recta.

HISTOGRAMA DE RESIDUALES:

La forma de la grafica es anormal debido a que la distribución de el histograma no es simétrico.

RESIDUALES VS VALORES PREDICHOS:

La distribución de los datos presenta una pequeña anormalidad ya que en el sentido vertical se encuentras dos puntos alejados de la media residual y en el sentido horizontal se encuentra un punto alejado de los demás datos.

GRÁFICA DE RESIDUALES VS ÍNDICE DE LA

OBSERVACIÓN:A pesar a que existen dos datos muy alejados de la media residual estos no se consideran datos anormales, esto coloca los datos dentro de la zona de validez.

SELECCIÓN DE VARIABLES EN REGRESIÓN MÚLTIPLE.MÉTODOS STEPWISE.

MÉTODO DE ELIMINACIÓN HACIA ATRÁS “BACKWARD”

El método termina en dos pasos.

Se ha economizado una variable: la variable eliminada es x3 que corresponde al RENDIMIENTO PROMEDIO DE MOTORES, cuya t=0.80 (es la menor) y P= 0.450.05.

Por lo tanto el mejor modelo de regresión múltiple queda:

Con el cual el consumo de gasolina queda con una de 99.93% explicada por las variables x1 y x2

MÉTODO DE ELIMINACIÓN HACIA ADELANTE “FORWARD”.

La variables elegidas por este método son: en primer lugar x2 que corresponde a la distancia de Transportes cuyo valor t=4.96 y P=0.0030.05, y en segundo lugar x1 que corresponde al número de horas-máquina cuyo valor t= 3.68 y P=0.1 0.05

Por lo tanto el mejor modelo de regresión múltiple es:

MÉTODO DE PASO A PASO “STEPWISE”.

El modelo arrojo en orden las variables que participan en el mejor modelo:

La x2 distancia de transportes y la x1 número de horas-máquinas.

El coeficiente de determinación deja explicado el consumo de petróleo en 99.93%.

MÉTODO DE LOS MEJORES SUBCONJUNTOS

Se puede observar que el mejor modelo queda explicado con dos variables las cuales son x1 número de horas hombre-máquina y x2 distancia de transportes, cuyo coeficiente de determinación queda en 99.9% y con esto queda explicada la variabilidad de l modelo y si se puede realizar predicción.

EJERCICIO 3. PÁGINA 483.

Para ejercitar el cuerpo, una medición objetiva del ajuste aeróbico es el consumo de oxígeno en volumen por peso unitario del cuerpo por unidad de tiempo. Se utilizaron 31 individuos en un experimento con objeto de poder modelar el consumo de oxígeno contra: la edad en años (x1); el peso en kilogramos (x2), el tiempo para correr 1 1/2 millas (x3); el ritmo del pulso en descanso (x4); el ritmo del pulso al final de la carrera (x5), el ritmo máximo del pulso durante la carrera (x6).

Individuo y consumo de oxígeno x1 (edad en años) x2 (peso kg) x3 (tiempo correr 1 y 1/2 milla x4 (ritmo pulso en descanso) x5 (pulso durante la carrera) x6 (ritmo max del pulso durante

1 44.609 44 89.47 11.37 62 178 182

2 45.313 40 75.07 10.07 62 185 185

3 54.297 44 85.84 8.65 45 156 168

4 59.571 42 68.15 8.17 40 166 172

5 49.874 38 89.02 9.22 55 178 180

6 44.811 47 77.45 11.63 58 176 176

7 45.681 40 75.98 11.95 70 176 180

8 49.091 43 81.19 10.85 64 162 170

9 39.442 44 81.42 13.08 63 174 176

10 60.055 38 81.87 8.63 48 170 186

11 50.541 44 73.03 10.13 45 168 168

12 37.388 45 87.66 14.03 56 186 192

13 44.754 45 66.45 11.12 51 176 176

14 47.273 47 79.15 10.60 47 162 164

15 51.855 54 83.12 10.33 50 166 170

16 49.156 49 81.42 8.95 44 180 185

17 40.836 51 69.63 10.95 57 168 172

18 46.672 51 77.91 10.00 48 162 168

19 46.774 48 91.63 10.25 48 162 164

20 50.388 49 73.37 10.08 76 168 168

21 39.407 57 73.37 12.63 58 174 176

22 46.800 54 79.38 11.17 62 156 165

23 45.441 52 76.32 9.63 48 164 166

24 54.635 50 70.87 8.92 48 146 155

25 45.118 51 67.25 11.08 48 172 172

26 39.203 54 91.63 12.88 44 168 172

27 45.790 51 73.71 10.47 59 186 188

28 50.545 57 59.08 9.93 49 148 155

29 48.673 49 76.32 9.40 56 186 188

30 47.920 48 61.24 11.50 52 170 176

31 47.647 52 82.78 10.50 53 170 172

ECUACIÓN DE REGRESIÓN MÚLTIPLE.

Interpretaciones:

A= 102, significa que

El coeficiente de una variable predictora indica el cambio promedio en el consumo de oxígeno (y), cuando se incrementa en una unidad la variable predictora x, asumiendo que las demás permanecen constantes. Por lo tanto; la disminución del consumo de oxígeno es de -0.21166 por cada año de edad; la disminución del consumo de oxígeno es de -0.07014 por cada unidad de peso en kg ,la disminución del consumo de oxígeno es de -2.6829 por cada segundo adicional del tiempo para correr 1 y 1/2 milla; el consumo de oxígeno aumenta en 0.00445 por cada unidad adicional en el pulso de descanso; el consumo de oxígeno disminuye -0.3835 por cada unidad que aumenta el pulso al final de la carrera;

el consumo de oxígeno aumenta en 0.3132 por cada unidad aumentada en el ritmo máximo del pulso durante la carrera.

Asumiendo que las otras variables permanecen constantes.


Solo el 80.9% de la variación del consumo de oxígeno, está explicada por su relación con las variables predictoras.

PRUEBA DE HIPÓTESIS DE QUE CADA COEFICIENTE DE REGRESIÓN ES CERO.

La Variable x2 (peso kg) no es importante en el modelo. La Variable x2 (peso kg) no es importante en el modelo.Ya que la variable x2 contiene un p-value de se acepta la Hipótesis nula, y se concluye que el peso en kg no contribuye al modelo, ni a su predicción.

PRUEBA DE HIPÓTESIS DE QUE TODOS LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN SON CEROS.

El modelo no sirve.

Ya que el “p-value” de la prueba F es 0.000, se concluye que al menos una de las variables predictoras del modelo es importante para predecir el consumo de oxígeno.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UN SUBCONJUNTO DE COEFICIENTES DE REGRESIÓN.

• Las variables edad (x1), peso kg (x2) y el tiempo para correr 1 y millas no influyen simultáneamente en el modelo.½• Al menos una de las tres variables influye en el consumo de oxígeno.• Como se rechaza la hipótesis nula y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que al menos una de las tres variables influye en el consumo de oxígeno.

ANÁLISIS RESIDUAL.

La gráfica muestra que la dispersión de los datos en de edad en años, ´respecto a la media de residuo es casi normal, sin embargo se puede mostrar un dato anormal que es el siguiente:

Gráfica de normalidad: La dispersión de los puntos es normal, sin embargo los datos que se encuentran al principio y al final son “outliers”.

Histograma de Residuos: Hay algo de normalidad en los errores, sin embargo su distribución no es del todo normal.

Gráfica de residuales vs índice de la observación: Sugiere que el punto 15 y 17, son outliers en el sentido vertical.

Gráfica residuales vs valores predichos: La distribución de los puntos no s igue un orden específico, sin embargo muestra normalidad

ANÁLISIS RESIDUAL DE MODELO REDUCIDO.

ANÁLISIS RESIDUAL PARA EL MODELO REDUCIDO

La gráfica muestra una dispersión casi normal, a no ser de ciertos puntos que muestran una lejanía de la media de residuos.

Ambas gráficas una dispersión casi normal de los puntos, realmente son algunos puntos que se encuentran anormales. A continuación se muestra la tabal indicando los datos anormales:

Gráfica de normalidad: La dispersión de los puntos es normal, sin embargo los datos que se encuentran al principio y al final son “outliers”.

Histograma de Residuos: Hay algo de normalidad en los errores, sin embargo su distribución no es del todo normal.

Gráfica de residuales vs índice de la observación: Sugiere que los puntos 2 y 17, son outliers en el sentido vertical.

Gráfica residuales vs valores predichos: La distribución de los puntos no s igue un orden específico, sin embargo muestra normalidad

MÉTODO PASO A PASO “BACKWARD”.

El método termina en 3 pasos.

La primera variable eliminadafue x4 (ritmo del pulso en descanso), seguido por x2 (peso kg), y por último x1 (edad en años)

Por lo tanto se economizaron 3 variables.

Y el coeficiente de correlación explica el modelo de consumo de oxígeno en 83.69% por l as variables seleccionadas, las cuales son x3 el tiempo que tarda en correr una milla y media; seguido por x5 el pulso durante la carrera, y la x6 el ritmo máximo del pulso durante la carrera.

MÉTODO “FORWARD”.

Estas son las variables seleccionadas por el método, las cuales influyen en la variación de el conusmo de oxígeno.

En primer lugar la x3 tiempo en que tarda en correr una y media millas; seguida por x5 pulso durante la carrera; y x6 ritmo máximo del pulso durante la carrera, y por último por x1 que corresponde en la edad en años.

MÉTODO “STEPWISE”.

Este método muestra en orden consecutivo las variables que deben tomarse en cuenta en el modelo comenzando con la x3 tiempo en que tarda en correr una y media millas; seguida por x5 pulso durante la carrera; y x6 ritmo máximo del pulso durante la carrera.

Cuyo Coeficiente de determinación queda de 83.69%, no dice que el consumo queda explicado en este porcentaje con las variables anteriores.

MÉTODO DE MEJORES SUBCONJUNTOS.

Las mejores opciones son la de 4 variables con 83.7% el cual contiene las variables x1 edad en años, x3 tiempo en que tarda en correr una y media millas; x5 pulso durante la carrera; y x6 ritmo máximo del pulso durante la carrer

También el modelo puede quedar explicado con 3 variables con 81.2% el cual contiene las variables la x3 tiempo en que tarda en correr una y media millas; seguida por x5 pulso durante la carrera; y x6 ritmo máximo del pulso durante la carrera.

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REGRESIÓN MULTIPLE UNIDAD 2

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