INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
1
RELACIÓN DE EJERCICIOS DE INTEGRALES.
1. dxx5
kx
kx
dxx
615
6155
2. dxxx )(
kxx
kxx
kxx
dxxxdxxx3
2
2
2
321
2
111)()(
322
3
21
2
1
112/1
kxxx
3
2
2
2
3. dxxx
x
4
3 Sol: kxxx 2
10
16
kxx
kxx
dxxxdxxx
x
2
54
1
2
13
12
34
1
12
13)
4
13(
4
3 2
5
2
11
2
31
2
1
2
3
2
1
kxxxkx
x 25
10
16
52
16
4. x
dxx2
Sol: kxx 2
5
2
kxx
kx
kx
kx
dxxdx
x
x
x
dxx
5
2
5
2
2
51
2
3
252
51
2
3
2
3
2
1
22
5. dxxxx
2
412
Sol: kxxx
281
kxxx
dxxxdxxxx
2
12
34
12)24(2
411
2
3
12
2
3
2
2
kxxx
kx
xx
kxxx
281
21
81
2
2
14
12
1
2
1
1
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
2
6. 4 x
dx Sol: kx 4 3
3
4
kxkx
kx
kx
dxxx
dx
4 3
4
3
4
31
4
1
4
1
4 3
4
3
4
4
31
4
1
7. dxx
x
2
3
2 1
Sol: kxxx
x 33 22
5
34
3
5
Kxxx
dxxxxdxxxdxx
x
3
1
3
82
5).2(
1 3
1
3
8
5
3
2
3
5
4
2
3
1
2
2
3
2
KxxxKxxx 33 853
1
3
8
5.3
4
3
5
1.3
4
3
5
1
Kxxxx 33 225.3.
4
3
5
1
8. dxx
xL Sol: kxL 2
2
1
kx
dxffdxx
xdxx
x
2
))(Ln('
1)Ln(
)Ln(2
9. dxxx2
sec tg Sol: kx tg2
1 2
kx
dxffdxxx
2
) tg('sec tg
212
10. dxxx cos sen2
Sol: kx
3
sen3
kx
dxffdxxx
3
sen'cos sen
322
11. dxxx sencos3
Sol: kx
4
cos4
kx
dxxxdxxx
ff
4
cos) sen(cos sencos
4
'
33
3
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
3
12. dxxx 12
Sol: kx 32)1(
3
1
kx
kx
dxxxdxxx
ff
3
)1(
2
3
)1(
2
1)1(2
2
11
322
3
2
2
1
2
'
2
2/1
13. 322
x
xdx Sol: kx 32
2
1 2
kxkx
dxxxx
xdx
ff
322
1
2
1
)32(
4
1)32(4
4
1
32
22
1
2
2
1
2
'2
2/1
o
kxkfdxf
f
x
xdx
x
xdx
32
2
1
2
'
322
4
4
2
32
2
22
14. 13
2
x
dxx Sol: kx 1
3
2 3
kxkx
dxxxdxxxx
dxx
13
2
2
1
)1(
3
1)1(3
3
1)1(
1
32
1
3
2
1
322
1
32
3
2
kxkfdxf
f
x
dxx
x
dxx
1
3
2
2
'
12
3
3
2
1
3
3
2
3
2
15. dxx
x
sen
cos2
Sol: kx
sen
1
kx
kx
dxxxdxx
x
ff
sen
1
1
sen sencos
sen
cos 12
'2
2
16. dxxx42
)1( Sol: kx
10
)1(52
kx
kx
dxxxdxxx
ff
10
)1(
5
)1(
2
1)1(2
2
1)1(
525242
'
42
4
17. dxx
x 3cos
sen Sol: k
x
2cos2
1
kx
kx
dxxxdxx
x
ff
2
23
'
3cos2
1
2
coscos sen
cos
sen
3
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
4
18. dxx
x 2cos
tg Sol: k
x
2
tg2
kx
dxx
xdxx
x
ff
2
tg
cos
1 tg
cos
tg2
'
22
1
19. dxx
x 2sen
cotg Sol: k
x
2
cotg2
kx
dxx
xdxx
x
2
cotg
sen
1 cotg
sen
cotg2
22
20. dxxx
1 tgcos
12
Sol: kx 1 tg2
kxkx
dxxx
dxxx
1 tg2
2
1
)1 tg()1 tg(
cos
1
1 tgcos
1 2
1
2
1
22
21.
dx
x
x
1
)1( L Sol: k
x
2
)1( L2
kx
dxx
xdxx
x
ff
2
)1( L
1
1)1( L
1
)1( L2
'
1
22. dx
x
x
1 sen2
cos Sol: kx 1 sen2
kxkx
dxxxdxx
x
ff
1 sen2
2
1
)1 sen2(
2
1)1 sen2(cos2
2
1
1 sen2
cos 2
1
2
1
' 2/1
23. dxx
x
2)2cos1(
2 sen Sol: k
x
)2cos1(2
1
kx
dxxxdxx
x
1
)2cos1(
2
1)2cos1(2 sen2
2
1
)2cos1(
2 sen1
2
2
kx
)2cos1(2
1
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
5
24. dxx
x
2sen1
2sen Sol: kx 2sen12
dxxxxdxxxdxx
x
ff
2/1
2
1
2
'
2
1
2
2)sen1(cos2sen)sen1(2sen
sen1
2sen
kxkx
22
1
2
sen12
2
1
)sen1(
25. dxx
x
2cos
1 tg Sol: kx 3
)1 (tg3
2
kxkx
dxx
xdxx
x
3
2
3
2
2
1
2)1 (tg
3
2
2
3
)1 tg(
cos
1)1 tg(
cos
1 tg
26. dxx
x
3)2 sen32(
2 cos Sol: k
x
2)2 sen32(
1
12
1
kx
dxxxdxx
x
2
)2 sen32(
6
1)2 sen32(2cos6
6
1
)2 sen32(
2 cos2
3
3
kx
2
)2 sen32(
1
12
1
27. dxx
x
3 43cos
3 sen Sol: k
x
3 3cos
1
kx
kx
dxxxdxx
x
ff
3
3
1
3
4
'3 4 3cos
1
3
1
3cos
3
13cos3 3sen
3
1
3cos
3 sen
3/4
28. 2Ln x dx
x Sol: 3Ln
3
xk
2 32Ln 1 Ln
Ln3
x dx xx dx k
x x
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
6
29. 21
sen arc
x
dxx Sol: k
x
2
sen arc2
kx
dxx
xx
dxx
2
sen arc
1
1 sen arc
1
sen arc2
22
30. 2
2
1
cos arc
x
dxx Sol: k
x
3
cos arc 3
kx
dxx
xx
dxx
3
cos arc
1
1 cos arc
1
cos arc3
2
2
2
2
31. dx
x
x21
tg arc Sol: k
x
2
tg arc 2
kx
dxx
xdxx
x
2
tg arc
1
1 tg arc
1
tg arc2
22
32. dx
x
x21
ctg arc Sol: k
x
2
ctg arc 2
kx
dxx
xdxx
x
2
ctg arc
1
1 ctg arc
1
ctg arc2
22
33. dxx
x
12 Sol: kx )1(Ln
2
1 2
kxkfdxf
fdx
x
xdx
x
x
)1(Ln
2
1Ln
'
1
2
2
1
1
2
22
34. x
dx
1 Sol: kx 1 Ln
kxkfdxf
fdx
xx
dx
1LnLn'
1
1
1
35. 73x
dx Sol: kx 73 L
3
1
kxkfdxf
fdx
xx
dx
73Ln
3
1Ln
'
73
3
3
1
73
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
7
36. x
dx
25 Sol: kx 25 L
2
1
kxkfdxf
fdx
xx
dx
25Ln2
1Ln
'
25
2
2
1
25
37. dxxx
x
32
12
Sol: kxx 32 L2
1 2
kxxdxxx
xdx
xx
xdx
xx
x
32 L2
1
32
22
2
1
32
)1(2
2
1
32
1 2
222
38. Ln
dx
x x Sol: kx Ln Ln
1
'Ln | | Ln | Ln |
Ln Ln
dxdx fx dx f k x k
x x x f
39. dxx tg Sol: kx cos Ln
Kxdxx
xdx
x
xdxx cos Ln
cos
sen
cos
sen tg
40. dxx2 tg Sol: kx 2cos L2
1
Kxdxx
xdx
x
xdxx 2cos Ln
2
1
2cos
2 sen2
2
1
2cos
2 sen2 tg
41. dxx ctg Sol: kx sen Ln
Kxdxx
xdxx sen Ln
sen
cos ctg
42. dxx )7(5 ctg Sol: kx )7(5 sen L5
1
Kxdxx
xdx
x
xdxx
)7(5 sen Ln
5
1
)7(5 sen
)7(5cos5
5
1
)7(5 sen
)7(5cos)7(5 ctg
43. x
dx
3 ctg Sol: kx 3 cos L
3
1
Kxdxx
xdx
x
xdxx
x
dx3cos Ln
3
1
3cos
3 sen3
3
1
3cos
3 sen3 tg
3 ctg
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
8
44. dxx
3 ctg Sol: k
x
3 sen 3L
Kx
dxx
x
dxx
x
dxx
3 sen Ln3
3 sen
3cos
3
1
3
3 sen
3cos
3 ctg
45. dxeexx
) (ctg Sol: kex sen L
Kedxe
eedxee
x
x
xxxx sen Ln
sen
)(cos) (ctg
46.
dx
xx
4ctg4 tg Sol: k
xx
4 sen Ln44 cos Ln
4
1 :Sol
dx
x
x
dxx
xdx
x
x
x
xdx
xx
4 sen
4cos
4cos
4 sen
4 sen
4cos
4cos
4 sen
4ctg4 tg
kx
xdxx
x
dxx
x
4
sen Ln 44cos Ln 4
1
4 sen
4cos
4
1
44cos
4 sen4
4
1
47. dxx
x
3 sen2
cos Sol: kx )3 sen2( Ln
2
1
kxdxx
xdx
x
x
)3 sen2( Ln2
1
3 sen2
cos2
2
1
3 sen2
cos
48. xx
dx
tg arc)1(2
Sol: kx tg arc Ln
kxdxx
x
xx
dx
tg arc Ln tg arc
1
1
tg arc)1(
2
2
49. )1 tg3(cos2
xx
dx Sol: kx )1 tg3( Ln
3
1
kxdxx
xdxx
x
xx
dx
)1 tg3( Ln3
1
1 tg3
cos
3
3
1
1 tg3
cos
1
)1 tg3(cos
22
2
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
9
50. xx
dx
sen arc12
Sol: kx sen arc Ln
kxdxx
x
xx
dx
sen arc Ln sen arc
1
1
sen arc1
2
2
51. dxx
x
2 sen32
2cos Sol: kx 2 sen32 Ln
6
1
kxdxx
xdx
x
x
2 sen32 Ln6
1
2 sen32
2cos6
6
1
2 sen32
2cos
52. dxex2
Sol: kex 2
2
1
kekedxefdxedxexffxx
222
2
1'2
2
1
53. dxe
x
2 Sol: ke
x
22
kekedxefdxedxe
x
ff
xx
222 2'2
12
54. dxxex
cos sen
Sol: ke x sen
kekedxe'fdxxcose x senffx sen
55. 2xa x dx Sol: k
a
ax
L2
2
kaa
dxaxaa
dxxa x
aD
xx
x
2
2
22
Ln2
1 Ln2
Ln2
1
)(
56. dxe a
x
Sol: kae a
x
kaedxea
adxe a
x
a
x
a
x
1
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
10
57. dxex 22
Sol: kex 4
4
1
kedxedxedxexxxx
44422
4
14
4
1
58.
dxex3
Sol: kex 3
3
1
kedxedxexxx
333
3
1)3(
3
1
59. dxexx
5 Sol: ke xx
15 Ln
5
ke
kee
dxeee
dxedxexx
xxxxx
15Ln
5)5(
)5(Ln
1)5(Ln)5(
)5(Ln
1)5(5
60. dxaexx 55
Sol: ka
ae
xx
L5
1 55
kaa
exdaaa
dxedxaexxxxxx 555555
Ln 5
1
5
1 Ln5
Ln 5
15
5
1
ka
ae
xx
L5
1 55
61. dxxe
xx)2(
342
Sol: kexx 342
2
1
kedxxedxxexxxxxx
343434 222
2
1)2(2
2
1)2(
62. dxba
baxx
xx
2
)( Sol: kx
ba
a
b
b
axx
2 L L
dxa
b
b
adx
ba
b
ba
adx
ba
bbaadx
ba
bax
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
xxxx
xx
xx
222)( 22222
kx
a
b
a
bb
a
b
adx
a
b
b
axxxx
2
Ln
1
Ln
12
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
11
kx
a
b
abb
a
ba
xx
2 Ln Ln
1
Ln Ln
1
kxba
a
b
b
a
kxba
a
b
ba
b
axxxx
2 L L
2 Ln Ln Ln Ln
63. dx
e
ex
x
43 Sol: ke
x )43( Ln4
1
kedxe
edx
e
e x
x
x
x
x
)43( Ln
4
1
43
4
4
1
43
64. xdx5cos Sol: kx 5sen 5
1
kxkxfdxxfxfxdxxdx
5 sen 5
1)( sen)(cos)('5cos5
5
15cos
65. dxx
3sen Sol: k
x
3cos3
kx
kxfdxxfxfdxx
dxx
)3
cos(3)( cos)( sen)('3
sen3
13
3sen
kx
3cos3
66. dxx )27(sec2 Sol: kx )27( tg
7
1
kxfdxxfxfdxxdxx )( tg)(sec)(')27(sec77
1)27(sec
222
kx )27( tg7
1
67. dxxx2
3cos Sol: kx 23 sen
6
1
kxdxxxdxxx )3( sen6
1)3cos(6
6
1)3cos(
222
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
12
68. dxx tg2
Sol: kxx tg
Por trigonometría sabemos que ,1sectgsec1tg2222 xxxx entonces
kxxdxdxxdxxdxx tgsec)1(sec tg222
69. cos Ln( )x
dxx Sol: sen Ln( )x k
cos Ln( ) 1cos Ln( ) sen Ln( )
xdx x dx x k
x x
70. dxx tg3
Sol: kxx
cosLn2
tg2
dxxdxxxdxxxdxxxdxxff
tgsec tg)1(sec tgtg tg tg2223
1
kxx
dxx
xxdx
x
xx
cosLn
2
tg
cos
sen
2
tg
cos
sen
2
tg222
71. x
dxxcos Sol: kx sen2
kxdxx
xdxx
xx
dxx sen2
2
1cos2
1coscos
72. dxx
x
41
Sol: kx 2 sen arc
2
1
kxf
kxfdx
xf
xfdx
x
xdx
x
x
)(arccos
)( sen arc
))((1
)('
)(112224
kxxf
dxxfdx
x
x
)( sen arc
2
1
))((1
)('
)(1
2
2
1 2
222
73. 241 x
dx Sol: kx )(2 sen arc
2
1
kxxf
dxxf
x
dx
x
dx
x
dx
)(2 sen arc2
1
))((1
)('
)2(1
2
2
1
)2(1412222
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
13
74. 249 x
dx Sol: k
x)
3
2( sen arc
2
1
22222
3
21
3
2
2
3
3
1
3
21
3
1
3
213)
9
41(9
49 x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
kx
xf
dxxf
x
dx
)3
2( sen arc
2
1
))((1
)('
3
21
3
2
2
1
22
75. 222xba
dx Sol: k
a
bx
b)( sen arc
1
222
2
222
222
1
1
1
1
1)1(a
bx
dxa
b
b
a
a
a
bx
dx
a
a
bxa
dx
a
xba
dx
xba
dx
ka
bx
bxf
dxxf
a
bx
dxa
b
b
)( sen arc1
))((1
)('
1
1
22
76. dxe
ex
x
43 Sol: ke
x )43( Ln4
1
kedxxf
xfdx
e
edx
e
e x
x
x
x
x
)43( Ln
4
1
)(
)('
43
4
4
1
43
77. dxe
ex
x
2
2
2 Sol: ke
x )2( Ln2
1 2
kedxxf
xfdx
e
edx
e
e x
x
x
x
x
)2( Ln
2
1
)(
)('
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
78. dxe
ex
x
21
Sol: kex )( tg arc
kekxfdxxf
xfdx
e
edx
e
e x
x
x
x
x
)( tg arc)( tg arc
))((1
)('
)(11 222
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
14
79. 221 x
dx Sol: kx )2( tg arc
2
1
kxdxxf
xf
x
dx
x
dx
x
dx
)2( tg arc2
1
))((1
)('
)2(1
2
2
1
)2(121 2222
80. 24 x
dx Sol: k
x)
2( tg arc
2
1
kx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
)
2( tg arc
2
1
21
2
1
24
1
21
4
1
)4
1(44
2222
81. 44 ax
xdx Sol: k
a
x
a)( tg arc
2
12
2
2
2
2
2
22
42
2
24
4
44
4
44
44
1
2
2
1
1
1
1
1
)1(a
x
dxa
x
a
a
a
x
xdx
a
a
x
xdx
a
a
xa
xdx
ax
xdx
ka
x
a
a
x
dxa
x
a
)( tg arc2
1
1
2
2
12
2
22
2
2
2
2
82. xa
xdx22 sen
cos Sol: k
a
x
a)
sen( tg arc
1
22
2
22
2
22
22 sen
1
cos1
sen1
cos1
)sen
1(
cos
sen
cos
a
x
xdx
a
a
x
xdx
a
a
xa
xdx
xa
xdx
ka
x
a
a
x
xdxa
a
a
x
xdxaa
a
) sen
( tg arc1
sen1
cos1
1
sen1
cos1
1222
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
15
83. )(Ln1 2 xx
dx Sol: kx ))(Ln( sen arc
kxxf
dxxf
x
dxx
xx
dx
))(Ln( sen arc))((1
)('
))( Ln(1
1
)(Ln1222
84. dxx
xx
21
arccos Sol: kxx 22
1))(arccos(2
1
dxx
xdx
xxdx
x
xdx
x
xdx
x
xx
f
f
2
'
2222 12
2
1
1arccos
11
arccos
1
arccos
1
kxxdxf
fdxff
221
1))(arccos(2
1
2
''
85. dxx
xx
21
arctg Sol: kxx 22
) arctg(2
1)1Ln(
2
1
dxx
xdxx
xdx
x
xdx
x
xdx
x
xx22222 1
1 arctg
1
2
2
1
1
arctg
11
arctg
kxxdxffdxxf
xf
221
) arctg(2
1)1Ln(
2
1'
)(
)('
86. dxx
x
1
Sol: kx 3)1(
3
4
dxffdxxx
dxxx
dxx
x'1
2
121
112
12
1
kxk
x
3
2
3
)1(3
4
2
3
12
Veamos como podemos realizar esta misma integral por el método de sustitución o cambio
de variable.
Haciendo el cambio tx 1 , calculamos dx: dtxdxdtdxx
22
1 y
sustituimos en nuestra integral:
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
16
ktktkt
dttdttdtxx
tdx
x
x 32
32
3
2
1
3
4
3
4
2
32222
1
una vez realizada la integral hay que deshacer el cambio de variable y volver a la variable x,
con lo que nos quedará:
kx 3)1(
3
4
87. dxxx 1
1 Sol: kx 14
dxffdxxx
dxxx
dxxx
'12
12
1
11
1
12
12
1
kxk
x
14
2
1
12
2
1
Veamos como podemos realizar esta misma integral por el método de sustitución o cambio
de variable.
Haciendo el cambio tx 1 , calculamos dx: dtxdxdtdxx
22
1 y
sustituimos en nuestra integral:
ktktkt
dttdtt
dtxtx
dxxx
44
2
122
122
1
1
12
12
1
2
1
una vez realizada la integral hay que deshacer el cambio de variable y volver a la variable x,
con lo que nos quedará:
kx 14
88. dxxx 1 Sol: kxx 2
3
2
5
)1(3
2)1(
5
2
Hacemos la sustitución 1 1 22 txtx
Calculamos la diferencial de x: dttdx .2 y sustituimos en la integral que deseamos
calcular. Tendremos:
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
17
k
ttdtttdttttdtttdxxx
352).(2.).1(22).1(1.
35242222
kxxktt 2
3
2
5
35)1(
3
2)1(
5
2
3
2
5
2
89. dxxx72
)35( Sol: kx 82)35(
80
1
Directamente:
kx
dxffdxxxdxxx8
)35(
10
1')35(10
10
1)35(
8277272
kx 82)35(
80
1
Por sustitución:
Hacemos x
dtdxdtxdxtx
101035
2 y sustituimos en nuestra integral
kxkt
dttx
dtxtdxxx
828
7772)35(
80
1
810
1
10
1
10)35(
90. dxxx10
)52( Sol: kxx
11
)52(5
12
)52(
4
1 1112
Por sustitución:
Hacemos dtdxt
xtx2
1
2
552
y sustituimos en nuestra integral
dtttdtttdttt
dxxx )5(4
1)5(
4
1
2
1
2
5)52(
1011101010
kxx
ktt
11
)52(5
12
)52(
4
1
115
124
1 11121112
91. dxxex
Sol: kxex )1(
Por el método de integración por partes:
kexkexedxexeevdxedv
dxduxudxxe
xxxxx
xx
x
)1(
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
18
92. dxexxIx
)53(2
Sol: kxxex )105(
2
Por el método de integración por partes:
xx
x
evdxedv
dxxduxxudxexxI
)32(53)53(
22
2( 3 5) (2 3)x xx x e e x dx
La integral que nos ha quedado es del mismo tipo que la que pretendemos calcular, por lo
que nuevamente aplicaremos el método de integración de partes:
Hacemos
xx
evdxedv
dxduxu 232 y sustituimos:
dxeexexxdxxeexxI
xxxxx232()53()32()53(
22
keexexxdxeexexxxxxxxx
2)32()53(2)32()53(22
kxxekexxxxx )105(2)32()53(
22
93. dxxx )Ln( Sol: kxx
2
1)(Ln
2
1 2
Por el método de integración por partes:
dx
xxxx
xvxdxdv
dxx
duxu
dxxx1
2
1)Ln(
2
1
2
1
1)Ln(
)Ln( 22
2
kxxkxxxdxxxx
2
1)Ln(
2
1
2
1
2
1)Ln(
2
1
2
1)Ln(
2
1 2222
94. dxx)Ln( Sol: kxx 1)(Ln
Por el método de integración por partes:
dx
xxxx
xvdxdv
dxx
duxudxx
1)Ln(
1)Ln(
)Ln(
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
19
kxxkxxxdxxx 1)Ln()Ln()Ln(
95. dxxx sen Sol: kxxx cos sen
Por el método de integración por partes:
dxxxx
xvdxxdv
dxduxudxxx coscos
cos sensen
kxxxdxxxx sencoscoscos
96. dxxx2
cos Sol: kxxxx
2cos8
12 sen
4
1
4
2
Por el método de integración por partes, hacemos dxduxu y xdxdv 2cos
Para calcular el valor de v recurrimos a las razones trigonométricas del ángulo mitad y
tendremos que 2
2cos1cos
2 xx
. Por tanto,
)2 sen2
1(
2
1)2cos1(
2
1
2
2cos1cos
2xxdxxdx
xxdxv
En consecuencia:
dxxxxxxdxxx )2 sen2
1(
2
1)2 sen
2
1(
2
1cos
2
kx
xxxxdxxxxxx 2cos
4
1
22
1)2 sen
2
1(
2
1)2 sen
2
1(
2
1)2 sen
2
1(
2
1 222
kxxxx
kxx
xxx 2cos8
12 sen
4
1
42cos
8
1
42 sen
4
1
2
1 222
97.
xdxex
cos Sol: kxxe x )cossen (2
1
xdxexe
xvxdxdv
dxedueuxdxeI
xxxx
x sen sen
sencoscos
xdxexe
xx sen sen
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
20
Al aplicar el método de partes nos ha quedado una integral del mismo tipo que la que
pretendemos calcular, por lo que volvemos a aplicar el mismo método. En ella hacemos:
sen cos
x xu e du e dx
dv x dx v x
Sustituyendo en la expresión anterior nos queda:
dxexexxexdxexeI
xxxxx)(coscos sen sen sen
dxexexxe
xxxcoscos sen
es decir, volvemos a la misma integral que pretendemos calcular. Entonces:
(sen cos )sen cos 2 sen cos
2
xx x x x e x x
I e x x e I I e x x e I
En consecuencia:
kxxe
xdxeIx
x
2
)cos (sencos
98. dxx)Ln(1 Sol: kxxx )1(Ln)1(
dxx
xxx
xvdxdv
dxx
duxudxx
1
1)Ln(11
1)Ln(1
)Ln(1
dx
xxxdx
x
xxxdx
x
xxx
1
11)Ln(1
1
11)Ln(1
1)Ln(1
kxxxxkxxxx )Ln(1)Ln(1)Ln(1)Ln(1
kxxx )1(Ln)1(
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
21
99. dxxxn
)Ln( Sol: kn
xn
xn
1
1)(Ln
1
1
Por el método de integración por partes:
dxx
xn
xxn
xn
vdxxdv
dxx
duxu
dxxx nn
nn
n 1
1
1)Ln(
1
1
1
1
1)Ln(
)Ln( 11
1
kxnn
xxn
dxxn
xxn
nnnn 111
1
1
1
1)Ln(
1
1
1
1)Ln(
1
1
kn
xn
xn
1
1)(Ln
1
1
100. dxx sen arc Sol: kxxx 21 arcsen
Hacemos el siguiente cambio:
xv
dxx
du
dxdv
xu2
1
1 sen arc
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes obtenemos:
dxxxxxdxx
xxxdxx .)1.( sen arc.1
1 sen arc.. sen arc 2
1
2
2
kx
xxdxxxxx
2
1
)1(
2
1 sen arc..)1.(2
2
1 sen arc.
2
1
2
2
1
2
kxxx 21 sen arc.
101. dxx 21 Sol: kxxx 21arcsen
2
1
dx
x
xdx
xdx
x
xdxx
2
2
22
22
11
1
1
11
dx
x
xx
2
2
1 sen arc
La integral que nos queda la realizaremos por partes:
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
22
2
222
2
11
11xvdx
x
xdv
dxxu
dxx
xxdx
x
x
dxxxx22
11
Sustituyendo nos queda:
dxxxxxdx
x
xxdxx
22
2
22
11 sen arc1
sen arc1
y se nos repite la misma integral. Entonces:
dxxxxxdxx222
11 sen arc1
kxxxdxxxxxdxx 2222
1 sen arc2
111 sen arc12
102. dxxx sen arc Sol: kxxxx 221 arcsen)12(
4
1
Hacemos el siguiente cambio:
2
1
1
sen arc2
2
xv
dxx
du
xdxdv
xu
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes obtenemos:
dx
x
xx
xdx
x
xx
xdxxx
2
22
2
22
12
1 sen arc
21
1
2 sen arc
2 sen arc
Por el ejercicio anterior tenemos que :
2
222
2
11
11xvdx
x
xdv
dxxu
dxx
xxdx
x
x
22 2 2
2
11 1 1
1
xx x x dx x x dx
x
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
23
dx
x
xxxxdx
x
xdx
xxxdx
x
x
2
22
2
2
2
2
2
2
1 sen arc1
11
11
1
En consecuencia:
dx
x
xxxxdx
x
x
2
22
2
2
1 sen arc1
1
Por tanto:
xxxdxx
xxxxdx
x
x sen arc1
2
1
1 sen arc1
12
2
2
22
2
2
Sustituyendo obtenemos:
dx
x
xx
xdxxx
2
22
12
1 sen arc
2 sen arc
kxxxxx
sen arc12
1
2
1 sen arc
2
22
kxxxxx
sen arc4
11
4
1 sen arc
2
22
kxxxx 221 arcsen)12(
4
1
103. xdx tg arc Sol: kxxx )1(Ln 2
1 tg arc
2
dx
xxxx
xvdxdv
dxx
duxuxdx
22
1
1 tg arc1
1 tg arc
tg arc
kxxxdxx
xxxdx
x
xxx
)1( Ln
2
1 tg arc
1
2
2
1 tg arc
1 tg arc
2
22
104. dxx tg arc Sol: kxxx tg arc )1(
dx
xxxxx
xvdxdv
dxxx
duxudxx
2
1
1
1 tg arc2
1
1
1 tg arc
tg arc
tdt
t
txx
tdtdx
txdx
x
xxx 2
12
1 tg arc
212
1 tg arc
2
2
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
24
dt
t
txxdt
t
txx
2
2
2
2
1
11 tg arc
1 tg arc
dt
txxdt
t
txx
22
2
1
11 tg arc
1
11 tg arc
kttxxdtt
dtxx tg arc tg arc1
1 tg arc
2
kxxxkxxxx tg arc)1( tg arc tg arc
105. dxxx )1( Ln2
Sol: kxxxx 221)1( Ln
Hacemos: )1( Ln2
xxu y dxdv con lo cual
dx
x
x
xxdx
x
x
xxdu
2222 11
1
1
12
21
1
1
dxx
dxx
xx
xxdu
22
2
2 1
1
1
1
1
1
y xv
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes, obtenemos:
dxx
xxxxdxxx2
22
1
1)1( Ln)1( Ln
kxxxxdxx
xxxx
22
2
21)1( Ln
12
2)1( Ln
106. dxx
xx
21
sen arc Sol: kxxx sen arc1
2
2
22
2
2
112
2
1
1
1 sen arc
1
sen arc
xdxx
xvdx
x
xdv
dxx
duxu
dxx
xx
dxxxdxx
xxx sen arc11
11 sen arc1
2
2
22
kxxx sen arc1 2
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
25
107.
dx
xx
x
)2)(1(
12 Sol:
3( 2)Ln
1
xk
x
Tenemos una integral de tipo racional donde el grado del numerador es menor que el grado del
denominador. Vamos a descomponer el integrando en fracciones simples:
2
10)2)(1(
x
xxx (raíces reales simples)
Entonces:
)2)(1(
)1()2(
21)2)(1(
12
xx
xBxA
x
B
x
A
xx
x
Vamos a calcular los coeficientes indeterminados. Al ser los denominadores iguales, los
numeradores también lo serán. Por tanto:
3 32
111)1()2(12
BBx
AAxxBxAx
Por tanto,
dxx
dxx
dxxx
dxxx
x
2
13
1
1
2
3
1
1
)2)(1(
12
3( 2)Ln ( 1) 3 Ln ( 2) Ln
1
xx x k k
x
108. )5)(3)(1( xxx
xdx Sol:
6
5
1 ( 3) Ln
8 ( 1)( 5)
xk
x x
Tenemos una integral de tipo racional donde el grado del numerador es menor que el grado del
denominador. Vamos a descomponer el integrando en fracciones simples:
5
3
1
0)5)(3)(1(
x
x
x
xxx (raíces reales simples)
Entonces:
5315)(3)(1( x
C
x
B
x
A
xxx
x
)5)(3)(1(
)3)(1()5)(1()5)(3(
xxx
xxCxxBxxA
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
26
Para calcular los coeficientes indeterminados, al ser los denominadores iguales, los
numeradores también lo serán. Por tanto:
8
5855
4
3 433
8
1811
)3)(1()5)(1()5)(3(
CCx
BBx
AAx
xxCxxBxxAx
Por tanto,
dx
xxxxxx
xdx
5
8
5
3
4
3
1
8
1
)5)(3)(1(
kxxxdxx
dxx
dxx
)5(Ln8
5)3(Ln
4
3)1(Ln
8
1
5
1
8
5
3
1
4
3
1
1
8
1
kxx
xkxxx
5
6
)5)(1(
)3( Ln
8
1)5( Ln5)3( Ln6)1( Ln
8
1
109.
dx
xx
xx
4
83
45
Sol: 3 2 2 5
3
( 2)4 Ln
3 2 ( 2)
x x x xx k
x
Al ser el grado del numerador mayor que el grado del denominador, antes de aplicar el método
de descomposición en fracciones simples tendremos que dividir. De esta forma obtenemos:
5 4 22
3 3
8 4 16 84
4 4
x x x xx x
x x x x
En consecuencia:
5 4 22
3 3
8 4 16 8( 4)
4 4
x x x xdx x x dx dx
x x x x
3 2 2
3
4 16 84
3 2 4
x x x xx dx
x x
A la integral que nos queda le aplicamos el método de descomposición en fracciones simples.
Calculamos las raíces del denominador:
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
27
3 20
4 0 ( 4) 02
xx x x x
x
Entonces:
2
3
4 16 8 ( 2)( 2) ( 2) ( 2)
4 2 2 ( 2)( 2)
x x A B C A x x Bx x Cx x
x x x x x x x x
Como los denominadores son iguales, los numeradores también lo serán; por tanto:
24 16 8 ( 2)( 2) ( 2) ( 2)x x A x x Bx x Cx x
Calculamos los coeficientes indeterminados: le vamos asignando los valores de las raíces
0 8 4 2
2 40 8 5
2 24 8 3
x A A
x B B
x C C
Por tanto, la fracción descompuesta en fracciones simples nos queda:
2
3
4 16 8 2 5 3
4 2 2
x x
x x x x x
La integral de la función pedida será:
5 4 3 2 2
3 3
8 4 16 84
4 3 2 4
x x x x x xdx x dx
x x x x
3 2 2 5 3
43 2 2 2
x xx dx
x x x
3 2 2 5 34
3 2 2 2
x xx dx dx dx
x x x
3 2 1 1 14 2 5 3
3 2 2 2
x xx dx dx dx
x x x
3 2
4 2 Ln | | 5 Ln | 2 | 3 Ln | 2 |3 2
x xx x x x k
3 2 2 5
3
( 2)4 Ln
3 2 ( 2)
x x x xx k
x
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
28
110. )2)(1( 2
4
xx
dxx Sol:
2
3
1 ( 1) 162 Ln Ln | 2 |
2 6 ( 1) 3
x xx x k
x
Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, tenemos que dividir,
obteniendo:
4 2
2 2
5 42
( 1)( 2) ( 1)( 2)
x xx
x x x x
Con lo que
4 2 2 2
2 2 2
5 4 5 4( 2) 2
( 1)( 2) ( 1)( 2) 2 ( 1)( 2)
x dx x x xx dx dx x dx
x x x x x x
y tendremos que integrar la función racional que nos queda, donde el grado del numerador es
menor que el grado del denominador.
Descomponemos en fracciones simples:
2
2 2
5 4 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)
( 1)( 2) 1 1 2 ( 1)( 2)
x A B C A x x B x x C x x
x x x x x x x
Como los denominadores son iguales, también lo serán los numeradores. Entonces:
25 4 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)x A x x B x x C x x
Calculamos los coeficientes indeterminados:
11 1 6
6
11 1 2
2
162 16 3
3
x A A
x B B
x C C
Entonces: 2
2
1 1615 4 6 32
( 1)( 2) 1 1 2
x
x x x x x
Y, por tanto:
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
29
4 2 2 2
2 2
1 1615 4 6 322 2
( 1)( 2) 2 ( 1)( 2) 2 1 1 2
x dx x x xx dx x dx
x x x x x x x
2
1 161
6 3222 1 1 2
xx dx dx dx
x x x
2 1 1 1 1 16 12
2 6 1 2 1 3 2
xx dx dx dx
x x x
2 1 1 162 Ln | 1| Ln | 1| Ln | 2 |
2 6 2 3
xx x x x k
2 1 16
2 Ln | 1| 3 Ln | 1| Ln | 2 |2 6 3
xx x x x k
2
3
1 1 162 Ln Ln | 2 |
2 6 ( 1) 3
x xx x k
x
111. )2()1( 2 xx
dx Sol:
1 2Ln
1 1
xk
x x
Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador aplicamos la
descomposición en fracciones simples directamente:
2
2 2 2
1 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)
( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2)
A B C A x x B x C x
x x x x x x x
21 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)A x x B x C x
Calculamos los coeficientes:
1 : 1 1
2 : 1
0 : 1 2 2 1 2 2 1 1
x B B
x C
x A B C A A
Entonces:
2 2
1 1 1 1
( 1) ( 2) 1 ( 1) ( 2)dx dx dx dx
x x x x x
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
30
21 1( 1)
1 2dx x dx dx
x x
1( 1) 1 2Ln | 1| Ln | 2 | Ln
1 1 1
x xx x k k
x x
112. dxxxx
x
44
823
Sol: kx
x
x
2
2)2(Ln
2
3
Igual que en el anterior, aplicamos la descomposición en fracciones simples:
Calculamos las raíces del denominador:
3 2 2 20
4 4 0 ( 4 4) 0 ( 2) 02 (doble)
xx x x x x x x x
x
Entonces:
2
3 2 2 2
8 ( 2) ( 2)
4 4 2 ( 2) ( 2)
x A B C A x Bx x Cx
x x x x x x x x
28 ( 2) ( 2)x A x Bx x Cx
Calculamos los coeficientes:
0 8 4 2
2 6 2 3
1 7 7 7 2 3 2 2
x A A
x C C
x A B C B A C B
Entonces:
3 2 2
8 2 2 3
4 4 2 ( 2)
xdx dx
x x x x x x
2
2
1 1 12 2 3 2Ln | | 2Ln | 2 | 3 ( 2)
2 ( 2)dx dx dx x x x dx
x x x
1 2
2
( 2) 3 ( 2)2Ln | | 2Ln | 2 | 3 Ln
1 2
x xx x k k
x x
113. 3
3 2
( 1)
xdx
x x
Sol: kx
x
x
x
2
2
2 )1(Ln
)1(2
34
114. dxxx
x
3)1(
23 Sol:
2
2 2
( 1) 4 9Ln
2( 1)
x xk
x x
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
31
Descomponemos el integrando en fracciones simples:
3 2
3 2 3 3
3 2 ( 1) ( 1) ( 1)
( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1)
x A B C D A x Bx x Cx x Dx
x x x x x x x x
3 23 2 ( 1) ( 1) ( 1)x A x Bx x Cx x Dx
Calculamos los coeficientes:
0 2
1 5 5
1 1 8 4 2 1 16 4 2 5 2 6
2 8 2 2 2 8 2 2 2 10 0
x A
x D D
x A B C D B C B C
x A B C D B C B C
Resolviendo el sistema resultante, obtenemos:
2 6 2 6 2
0 2
B C B B B
B C C B
Entonces:
3 2 3
3 2 2 2 2 5
( 1) 1 ( 1) ( 1)
xdx dx dx dx dx
x x x x x x
2 3
1 1 1 12 2 2 5
1 ( 1) ( 1)dx dx dx dx
x x x x
2 32 Ln | | 2 Ln | 1| 2 ( 1) 5 ( 1)x x x dx x dx
1 2( 1) ( 1)2 Ln | | 2 Ln | 1| 2 5
1 2
x xx x k
2 2
2 2 2 2
( 1) 2 5 ( 1) 4( 1) 5Ln Ln
1 2( 1) 2( 1)
x x xk k
x x x x x
2
2 2
( 1) 4 9Ln
2( 1)
x xk
x x
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
32
115. 22
2
)4()2( xx
dxx Sol: k
x
x
xx
x
2
2 2
4Ln
86
125
116. dxx
x
14 3 Sol: kxx 1Ln
3
4 4 34 3
117. dxx
xx
4
33
6 Sol: kxx 12 134 9
13
2
27
2
118. dxxx
x
4 56 7
6 1 Sol: kxx
xx )1(Ln 24Ln 2
126 12
126
119. dxxx
xx
14 157 8
7
Sol: kxxxxx
14 57 214 3714
5
1
4
1
3
1
2
14
120. 3 11 xx
dx Sol: kxLnx
xx
663
1112
1
3
16
121. dxee
exx
x
22 Sol:
1 1Ln
3 2
x
x
ek
e
122. 1xe
dx Sol: kex x )1(Ln
123. dxee
exx
x
232 Sol:
1Ln
2
x
x
ek
e
124. dxx3sen Sol: kxx coscos3
1 3
125.