APUNTES DE CLASE GEOMETRIA

EJERCICIO: T) arco CE =?

DATOS:

Ángulo BOC = 56º A = 30º E = 70º

D = 180° - 30° - 70° = 80°arco BCE = 160° (80 x 2)arco CE = 160° - 56°arco CE = 104°

EJERCICIO

AOP = 180º - 20º - 60º = 100º arco DA = 80°

20° =

BE 40°

D BE/2 = 40/2 = 20°

ING HERNAN ABARCA V.135

APUNTES DE CLASE GEOMETRIA

RELACIONES METRICAS EN EL CIRCULO

TEOREMA: Si dos cuerdas se cortan, el producto de los segmentos determinados en la una, es igual al producto de los segmentos determinados en la otra .

H) AB y CD cuerdas que se cortan en el punto P T) CP * PD = AP * PB D) Trazamos CB y AD

1 = ½ arco BD 3 = ½ ARCO BD 1 = 3

2 = ½ arco AC 4 = ½ arco AC 2 = 4

En los s APD y CBP si:

1 = 3 2 = 4 los s APD y CBP son semejantes (A.A.A.)

CP*PD = AP*PB

TEOREMA: Una tangente es media proporcional entre la secante y su parte externa

H) AP tangente de

Trazamos AB y AC y se forman los triángulos ACP y APB

Si se demuestra que ACP y APB son semejantes podemos realizar las proporciones que nos lleve a demostrar la tesis planteada.

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T) AP2 = BP * CP

APUNTES DE CLASE GEOMETRIA

B = = CAP

P = P común ACP es semejante al BAP

AP2 = CP*BP

TEOREMA: El producto de dos lados de un triángulo inscrito es igual al diámetro del circulo circunscrito por la altura relativa al tercer lado.

T) c*a = BD * hb

H) ABC es inscrito

Trazamos DC y formamos el triángulo rectángulo DCB inscrito en la semicircunferencia DCB.

Se forman dos triángulos rectángulos

AHB y DCB

A = D = ½ arco BC (condición suficiente para que dos triángulos rectángulos sean semejantes) y por lo tanto podemos establecer las siguientes relaciones:

c*a = hb * BD

TEOREMA: Demostrar que el radio del círculo circunscrito de un triángulo es igual a mitad de la razón de la ley de senos.

a * c = D * h (demostrado)

Sen = h / c en ABH c * sen = h

a * c = D * c * sen a = D sen pero D = 2R

a = 2R sen

R =

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APUNTES DE CLASE GEOMETRIA

TEOREMA: La longitud de la tangente trazada desde el vértice de un triángulo al circulo inscrito es igual al semi perímetro menos el lado opuesto donde nace la tangente a considerar

T) AQ = p – a D) Perímetro = 2AQ + 2CR + 2RB = P Semiperimetro = p = ½ P = AQ + CR + RB ½ P = AQ + (CR + RB) p = AQ + a p – a = AQ

TEOREMA: La suma de las longitudes de las tangentes trazadas desde el vértice de un triángulo al circulo ex – inscrito es igual al perímetro del triángulo y por consiguiente cada tangente será igual al semiperímetro.

H) ABC escaleno AT y AQ tangentes trazadas desde A al circulo “o”T) AT+AQ = P y p = AT = AQ

D) P = AB + BC + CA BC = BD+DC BD = BT DC= CQ

P = AB + BD + DC + CA P = AB + BT + CQ + CA AB + BT = AT CQ + CA = AQ P = AT + AQ

EJERCICIO:

H) BDC inscrito en la semicircunferencia AB = tangente A = 90° T) CB2 = DB * CA

Analicemos los triángulos DCB y ABC (rectángulos)

ING HERNAN ABARCA V.138

APUNTES DE CLASE GEOMETRIA

EJERCICIO:

H) PC tg al círculo AM = MB PM = 4 MD = 9 PC = 10 T) BC = ?

D) AM * MB = PM * MD (teorema demostrado)

AM = MB por hipótesis

AM2 = 4 * 9 AM = 6 AB = 12

pero PC2 = AC*BC teorema demostrado

PC2 = (AB + BC) (BC) PC2 = (12 + BC) (BC)

100 = 12BC + BC2 BC2 + 12BC – 100 = 0

BC = 5,6

EJERCICIO: H) AC = 15 CD AB r = 25 ACB inscrito en la semicircunferencia

T) CD =?Rp: 4,5 u

ING HERNAN ABARCA V.139

APUNTES DE CLASE GEOMETRIA

EJERCICIO:

H) PBH = 30° ; BD = diámetro ABC = 50° T) 1 = ?

Rp) 50°

EJERCICIO:

H) BC = 6 DC = 6,3 Radio = 5 T) C = ?

EJERCICIO

ING HERNAN ABARCA V.140

APUNTES DE CLASE GEOMETRIA

I = INCENTRO AB = 7 BC= 6AC= 8

T) BP = ?

PROBLEMA

Rp: =40º ; arco TA = 140º ; arco AB = 80º; ángulo AQB = 70º

PROBLEMA

ING HERNAN ABARCA V.141

APUNTES DE CLASE GEOMETRIA

Rp: ángulo ATE = 52,5º ; ángulo BTD = 37,5º

PROBLEMA:

Rp= 78°

ING HERNAN ABARCA V.142

APUNTES DE CLASE GEOMETRIA

PROBLEMA: encontrar el ángulo P formado por dos secantes que pasan por el centro de dos círculos, tangentes exteriormente, y que se cortan con la tangente común externa en el punto P

Rp: 2.46

ING HERNAN ABARCA V.143