Date post: | 21-Jul-2015 |
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Autores:
Luis Jiménez C.I: 26.187.565
Beatriz Jiménez C.I: 24.354.999
Jorfran Díaz C.I: 14.649.415
Sección:
1if04
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO PEDAGÓGICO DE BARQUISIMETO
‟LUIS BELTRÁN PRIETO FIGUEROA”
(Tutorial)
Relaciones:
Relaciones binarias………….4
Relaciones vacías…………....5
Domino y rango de una
relación……………………....6
Representación cartesiana…...8
Relación inversa……………..9
Composición de relaciones….10
Relaciones en conjunto……...15
Relaciones de equivalencia….23
Funciones:
Funciones inyectivas……..28
Funciones sobreyectivas….29
Funciones biyectivas……..30
Una relación surge cuando un elemento A se relaciona con unelemento B, es decir, que se trata de la correspondencia que existeentre dos conjuntos. Por ejemplo, 1 es menor que 3 (1<3).Entonces la relación entre los dos conjuntos es el símbolo menorque (<).
Una relación entre dos conjuntos X e Y es un subconjunto delproducto cartesiano X × Y.
Sean dos conjuntos A y B, una relación de A en B es un
subconjunto de R del producto cartesiano A×B, pero en este caso
pueden existir varios elementos dentro del conjunto A, y otros
elementos dentro del conjunto B, ejemplo mediante la
Representación Sagital:
R
R es una relacion de A B
A en B ⟺ R ⊂ A × B.1
2
3
4
2
4
6
8
Cuando se plantea representar una relación vacía entre dos
conjuntos. La relación se representa así:
Sean: A={1,2,3,4} y B={2,4,6,8} R
A B
R = { }
1
2
3
4
Sea R una relación de X en Y. el dominio es:
𝐝𝐨𝐦(𝐑) = {x ∈ X / (x, y) ∈ R, para algún y ∈ Y}
Sea R una relación de X en Y. el rango es:
rang 𝐑 = {y ∈ Y / (x, y) ∈ R, para algún x ∈ X}
Sean A{1,2,3,4) y B{2,4,6,8} hallar el rango y el
dominio de la relación.
R
A B
R = {(1,2);(1,4);(3,8);(4,6)}
dom(R) = {1,3,4} rang(R) = {2,4,8,6}
La Representación Cartesiana es una de las más utilizadas
para representar las relaciones binarias.
Y
X = {a, b, c, d } 4
Y = {1, 2, 3, 4} 3
R = {(a,4);(c,2);(d,3)} 2
1
X
0 a b c d
La relación inversa es el resultado de una relación
representada de forma contraria:
R R−1
X Y Y X
x R y ⟺ y R−1 x
R= {(a,1), (b,4), c,2), (c,3)} R−1= {(1,a), (2,c), (3,c), (4,b)}
a
b
c
1
2
3
4
1
2
3
4
a
b
c
La composición de relaciones consiste en combinar
nuevas relaciones para formar otras relaciones.
R S
X Y Z
aRb bSc
S°R
a(S°R)c
a
b
c
X Y Z
Sean: R S
X = {1,2,3}
Y = {a, b, c, d}
Z = {10,20,30}
Buscar: X Z
S°R={(1,10),(2,20),(3,30)} S°R
1
2
3
a
b
c
d
10
20
30
1
2
3
10
20
30
Sean X = {3, 5, 7}, Y = {1, 3, 11, 17}, R ⊂ X×Y la relación
Hallar x R y ⟺ x + y < 15
a) dom (R)
b) rang (R) X + Y < 15
c) cartesiana 3 1 =
e) R−1 5 3 =
7 11 =
R = {(3,1), (3,3), (3,11),
(5,1), (5,3), (7,1), (7,3)} menores que 15
dom (R) = {3,5,7} rang(R) = {1,3,11}
4
6
14
6
88
10
R = {(3,1), (3,3), (3,11), (5,1), (5,3), (7,1), (7,3)}
Y
Representación cartesiana:
11
3
1
X
3 5 7
Representación sagital para obtener R−1
R = {(3,1), (3,3), (3,11), (5,1), (5,3) , (7,1), (7,3)}
R−1= {(1,3), (1,5), (1,7), (3,3), (3,5), (3,7), (11,3)}
X Y Y X
R R−1
3
5
7
1
3
11
17
1
3
11
17
3
5
7
Las relaciones en conjunto son las relaciones en que los
elementos del conjunto de partida coincide con el conjunto de
llegada, es decir, cuando los elementos del conjunto A son iguales
a los del conjunto B. por ejemplo:
R
A B
Los elementos (2, 3 y 4) son un
Subconjunto de A y B, ya que estos
tres elementos se encuentran tanto
en A como en B formando así las
relaciones en conjunto
1
2
3
4
5
2
3
4
Dentro de una relación en un conjunto X se establece que:
1) R Es reflexiva si y solo si. ∀x, x R x
2) R Es simétrica si y solo si. x R y ⟺ y R x
3) R Es antisimétrica si y solo si. x R y ˄ y R x ⟺ x = y
4) R Es transitiva si y solo si. x R y ˄ y R z ⟺ x R z
Representación sagital de las relaciones antes definidas:
Reflexiva Simétrica
Si y solo si cada Si y solo si para cada flecha
vértice tiene un lazo. que une dos vértices distintos
existe otra en sentido contrario.
Antisimetrica Transitiva
Si y solo si ningún Si y solo si para cada par de
par de vértices distintos flechas consecutivas existe
tiene camino de ida y vuelta. una tercera flecha que une el
vértice inicial de la primera
flecha con el vértice final de
la segunda flecha.
Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación:
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} A
A
Es reflexiva debido a que los
Todos los elementos de A
terminan en donde empiezan.
1 2
3 4
Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación:
R = {(1,2), (2,1), (3,4), (4,3)}
A
Es simétrica debido a que
los elementos (1 , 2) y (3, 4)
tienen una flecha de ida
y otra flecha de regreso
1 2
3 4
Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación:
R = {(1,2), (2,3), (3,4),(4,1)}
A
Es antisimetrica debido a
que la relación entre dos
elementos solamente tiene
una sola flecha de ida.
1 2
4 3
Si A = {1, 2, 3} y R es la relación:
R = {(1,2), (3,3), (1,3)}
Es transitiva debido a
que el elemento 1 esta
relacionado con el 2
y con el 3.
1 2
3
Una relación es equivalente si es una relación que es reflexiva,
simétrica y transitiva. Normalmente una relación equivalente se
representa con el símbolo ~.
A ~ B : esto significa que A es equivalente a B.
Esta nueva notación se reformula la definición de equivalencia:
1) R Es reflexiva: ∀ x X, x ~ x
2) R Es simétrica : x ~ y ⟹ y ~ x
3) R Es transitiva : x ~ y ˄ y ~ z ⟹ x ~ z
Sea A = {1,2,3,4} demostrar A ~ A A
R = {(1,1),(2,2),(3,3),
(1,2),(2,3),(1,3),(2,1),(3,2) (3,1)}
El siguiente conjunto
demuestra que es
reflexivo, simétrico y
transitivo por lo que
significa: A ~ A
1 2
3
Una función del conjunto X en un conjunto Y es un regla que
asigna a cada elemento de X un único elemento de Y.
f
A B
Aquí se plantea que y es la imagen de x mediante f, y que x es
una pre-imagen de y.
y = f(x)x
Sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una
triada (f, X, Y), donde f es la relación que existe entre X e Y.
x f y ˄ x f z ⟹ y = z
f : X → Y
Para indicar que (F,X,Y) es una función de X en Y se escribe así:
Y = f(x)
Si X = {a, b, c, d} y Y = {1, 2, 3}, entonces la siguiente relación
es una función de X en Y.
f = {(a,2),(b,1),(c,2),(d,3)}
f
X Y
f(a) = 2 f(b) = 1 f(c) = 2 f(d) = 3
a
b
c
d
1
2
3
Una función f: X → Y es inyectiva cuando satisface la siguiente
condición
f(x1) = f(x2) ⟹ x1 = x2f
Una función es inyectiva si cada X Y
cada elemento de X tiene un solo
valor de Y, por lo que, en el conjunto
X no pueden haber elementos que
tengan dos o mas relaciones.
f(a)= 2 f(b)= 3 f(c)= 4
a
b
c
1
2
3
4
Una función f: X → Y es sobreyectiva si:
Rang(f) = Y
f
X Y
Una función es sobreyectiva
cuando todos los elementos de
Y son una imagen de un valor de X.
f(a)= 1 f(b)= 2 f(c)= 2 f(d)= 3
a
b
c
d
1
2
3
Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la
vez.
Simplemente cada elemento f
de X esta relacionado con un X Y
elemento de Y.
f(a)= 2 f(b)= 1 f(c)=3
a
b
c
1
2
3
Sea A= {-2,-1,0,1,2} y B= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} hallar:
f: A → B
f(x)= x2 f
A B
*Que sea una
función general*
-2
-1
0
1
2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4