Relaciones y Funciones (segunda parte)
I.E.S. Celso Díaz
Función lineal Todas las funciones cuya expresión es un polinomio de grado cero o
uno representan rectas
2xf(x)
No es lineal
Función lineal. Función afín Todas las funciones cuya expresión es un polinomio de grado cero o
uno representan rectas
La función de la forma f(x)=b se denomina
función constante.
Su gráfica es una recta paralela al eje de
abscisas
La función de la forma f(x)=mx se denomina
función lineal.
Su inclinación depende de m
La función de la forma f(x)=mx+n se
denomina función afín.
Su inclinación depende de m
y n determina la posición vertical
Función lineal.
x3
1y
xy
x2y x3y
x5,0y
La función y=mx se
denomina
función lineal.
La función lineal siempre
pasa por el origen
m se llama pendiente. Indica
la inclinación de la recta
respecto del eje de abscisas es el desplazamiento en vertical
respecto del desplazamiento en
horizontal
Si m>0 la gráfica es
creciente. (primer y tercer cuadrante)
Si m<0 la gráfica es
decreciente. (segundo y cuarto cuadrante)
Si m=0 es la función
constante la gráfica es
paralela al eje OX.
9y
1/2
Función afín.
x3
1y
5x3
1y
5-x3
1y
La función y=mx+n se llama
función afín.
m es la pendiente. Las
rectas paralelas tienen la
misma pendiente
n es la ordenada en el
origen, es el valor de y
cuando x vale 0.
Si n=0 es la función lineal
Dos funciones f(x)=mx+n y
g(x)=m´x+n´
son paralelas si y solo sí
m=m´
En caso contrario son
secantes
5,0
5,0
5x2y
3/1
3/1
3/1
2/1
1/(-2)
4/3
5/(-4)
Haz los ejercicios 46, 47, 48, 49 páginas 218
Ecuaciones de la recta y aumenta 1 unidad cuando x aumenta 2
La pendiente es 1/2
La ordenada en el origen es 3
3x2
1y
12
12
xx
yym
La pendiente de la recta que pasa por
dos puntos (x1,y1), (x2,y2) es:
La ecuación de la recta de pendiente
m y que pasa por el punto (x1,y1) es:
)xm(xyy 11
Se llama ecuación
punto-pendiente
Si pasamos al primer miembro los
términos con x e y se obtiene
ax+by-c=0
que se llama forma general
Ecuaciones de la recta. Ejemplos
313
28
xx
yym
12
12
1) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por (1, 2) y (3,8)
1)3(x2y Punto-pendiente
También se puede resolver:
3-3x2y 1-3xy Afín o
explícita
-1y3x- General
nmxy
n3m88) (3,por Pasa
n1m22) (1,por Pasa
nm38
nm2Se resuelve
el sistema:
nm38
nm2-3m
2m6
1-n
13xy
2
6
1
3
1-n
3m
Ecuaciones de la recta. Ejemplos 2) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el origen y por A(2,-1)
2
1-m2m-1)por A(2,-1 pasa Simxy
Si pasa por el origen es una función lineal
y=mx x2
1-yes ecuación La
3) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por A(1,3) y cuya pendiente es m=2
Se trata de una función afín
y=mx+n
n2xy2mnmxy
12xy
1nn2·13por A(1,3) pasa Sin2xy
3) Dada la recta -2x+7y+17=0 calcula su pendiente y su ordenada en el origen
0177y2xgeneral Ecuación
7
17x
7
2y172x7y
ydespejando explícita forma a pasa Se
7
17n
7
2m
Ecuaciones de la recta. Ejemplos 5) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el origen y por A(1,3) y B(7, -2)
Se puede hacer de dos formas: Método 1
Método 2
6
5
17
32
x-x
y-ym
pendiente la de Fórmula
12
12
1)(x6
5-3y
A(1,3)
6
5-m
pendiente punto Forma
023-6y5xgeneral Ecuación
nmxy
n7m-22)- (7,por Pasa
n1m33) (1,por Pasa
6
5-m6m5
ecuaciones las sumando
n7m2
nm3
n7m2-
nm3
6
23nn-5186nn1
6
5-3
023
x5-
yexplícita Ecuación 66
6
23x
6
5-y
5-5x18-6y
Ecuaciones de la recta. Ejemplos 6) Calcula la pendiente y la ordenada en el origen de la recta que pasa por A(3,4) y B(2, -1) nmxy
n2m-11)- (2,por Pasa
n3m44) (3,por Pasa
m5
ecuaciones las sumando
n2m1
n3m4
n2m1-
n3m4
-11nn3·54 115xy
7) Calcula la recta paralela a 10x-2y+6=0 que pasa por C(1, -2)
Si es paralela tiene la misma pendiente
La pendiente de 10x-2y+6=0 se calcula despejando y 2y=10x+6y=5x+3m=5
-7nn5·1-2C(1,-2)por Pasan5xy 75xy
8) Calcula la recta que tiene la misma ordenada en el origen que 2x+3y-5=0 y pasa por M(2,7)
La ordenada en el origen de 2x+3y-5=0 se calcula despejando y
3
5n
3
5x
3
2-y053y2x
3
5m·27M(2,7)
3
5mxy 8
2
16m52m21
3
58xy
Ecuaciones de la recta. Ejemplos 9) Calcula la recta que pasa por A(2,1) y B(-6,3). Encuentra otro punto de la recta. Pertenecen C(1, -5) y D(10, -1) a esa recta?
nx4
1-y
4
1
8-
2
26-
13
x-x
y-ym
B(-6,3) y por A(2,1) Pasa
12
12
2
3
2
11n
4
21nn
4
2-
n·24
1-1por A(2,1) Pasa
2
3x
4
1-y 064yx6-x4y
Para calcular puntos de la recta se dan valores a una variable y se calcula la otra
...Q(-6,3)3y124y064y66x
2
30,P
2
3
4
6y0x
064yx
C(1, -5) pertenece a la recta si cumple su ecuación
pertenece No065-4·1
D(10, -1) pertenece a la recta si cumple su ecuación
pertenece Sí061-4·10
Haz los ejercicios 50, 51, 52, 53, 54 página 218
Función de proporcionalidad directa
Función de proporcionalidad inversa
Ejemplos
Haz los ejercicios 55, 56, 57, 59, 60 páginas 218 y siguiente
Función cuadrática
2xf(x)
0
0
-1
1
-2
4
-3
9
-4
16
1
1
2
4
3
9
4
16
2xf(x)
0
0
-1
-1
-2
-4
-3
-9
-4
-16
1
-1
2
-4
3
-9
4
-16
Son gráficas pares: simétricas respecto del eje de ordenadas. El vértice es (0,0) Si a>0 el vértice es mínimo relativo Si a<0 el vértice es máximo relativo
Son gráficas pares: simétricas respecto del eje de ordenadas. Si c>0 está desplazada verticalmente hacia arriba Si c<0 está desplazada verticalmente hacia abajo El vértice es V(0,c) Si a>0 el vértice es mínimo relativo Si a<0 el vértice es máximo relativo
21-xf(x)
F(x)=a(x-p)2
El eje de simetría es x=p. El vértice es V(p,0)
Si a>0 el vértice es mínimo relativo Si a<0 el vértice es máximo relativo
Representa la parábola y =x2 A partir de ella representa y=(x-1)2-2. Indica el vértice y el eje
de simetría
Ejemplos:
V(1,-2)
1 xrecta la
simetría de eje
2xy 21-xy2
21-xy2
Una unidad a la derecha
Dos unidades abajo
Ejemplos:
2xy
2xy 2
Ejemplos:
22-xy
2xy
Haz los ejercicios 5, 6, 7, 8 y 9 de la hoja 8 del documento de actividades
La función f (x)= a(x-p)2+q
es polinómica de grado 2 y su gráfica es una parábola. Ejemplo: f(x) = (x-0.5)2 – 2.25
=ax2+ bx + c
= x2 –x+0.25– 2.25 = x2 –x– 2
f(x)=a(x-p)2+q El eje de simetría es x=p.
El vértice es V(p,q)
Si a>0 el vértice es mínimo r.
Si a<0 el vértice es máximo r.
f(x)=ax2+bx+c El eje de simetría es x=-b/2a.
El vértice es
4a
b4ac,
2a
bV
2
v
Calcula el vértice y los puntos de corte con los ejes y dibuja la siguiente parábola y=x2-2x+1
Ejemplos:
1
2
2
2a
bx vérticeelcalcular Para
12xxy
v
2
(0,1)112·00y0xOY Eje
(1,0)12
4-42x
012xx0yOX Eje
ejes los con corte de Puntos
2
2
1 xrecta la
simetría de eje
V(1,0)012·11y 2v
relativo mínimo es vérticeel
Calcula el vértice y los puntos de corte con los ejes y dibuja la siguiente parábola y=x2-4x+3
Ejemplos:
2
2
4
2a
bx vérticeelcalcular Para
34xxy
v
2
(0,3)334·00y0xOY Eje
(1,0)1x
(3,0)3x
2
24
2
12-164x
034xx0yOX Eje
ejes los con corte de Puntos
2
2
V(2,-1)-134·22y 2v
2 xrecta la
simetría de eje
relativo mínimo es vérticeel
Calcula el vértice y los puntos de corte con los ejes y dibuja la siguiente parábola y=x2-4x+3
Ejemplos:
2
2
4
2a
bx vérticeelcalcular Para
34xxy
v
2
(0,3)334·00y0xOY Eje
(1,0)1x
(3,0)3x
2
24
2
12-164x
034xx0yOX Eje
ejes los con corte de Puntos
2
2
V(2,-1)-134·22y 2v
2 xrecta la
simetría de eje
relativo mínimo es vérticeel
Calcula el vértice y los puntos de corte con los ejes y dibuja la siguiente parábola y=-x2-2x-2
Ejemplos:
1
2(-1)
2
2a
bx vérticeelcalcular Para
22xxy
v
2
(0,-2)-222·00y0xOY Eje
solución sin2
8-42x
022xx0yOX Eje
ejes los con corte de Puntos
2
2
V(1,-1)-121-2·1y 2v
1 xrecta la
simetría de eje
relativo máximo es vérticeel
3
2(-1)
6
2a
bx vérticedel Cálculo
46xxy
v
2
(0,-4)-4y0xOY Eje
-0,76x
-5,23x
2-
16-366x
022xx0yOX Eje
ejes los con corte de Puntos
2
V(-3,5)543-6·3y2
v
3- xrecta la
simetría de eje
relativo máximo es vérticeel
Calcula el vértice y los puntos de corte con los ejes y dibuja la siguiente parábola y=2x2-5
Ejemplos:
02(2)
0
2a
bx vérticeelcalcular Para
52xy
v
2
(0,-5)-552·0y0xOY Eje
1,58,0
1,58,01,58
2
5x
2
5x
052x0yOX Eje
ejes los con corte de Puntos
2
2
2
V(0,-5)-55-2·0y 2v
0 xrecta la
simetría de eje
relativo mínimo es vérticeel
Representa la parábola y =x2 A partir de ella representa y=(x-1)2-2. Indica el vértice y el eje
de simetría
Ejemplos:
V(1,-2)
1 xrecta la
simetría de eje
2xy 21-xy2
21-xy2
Una unidad a la derecha
Dos unidades abajo
Ejemplos:
4
xy
2
V(2,1)
14
1
22-xy
Dos unidades a la derecha
Una unidad arriba
2 xrecta lasimetría de eje
r. máximo es vérticeEl
14
1
22-xy
Ejemplos:
V(-2,-3)
32xy2
Dos unidades a la izquierda
Tres unidades abajo
2 xrecta la
simetría de eje
2xy 32xy2
Haz los apartados a, e, n, p, t del ejercicio 10 de la hoja 8
del documento de actividades