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Reporte Consolidación

Date post: 14-Dec-2015
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Consolidación de un suelo arcilloso
20
1 Resumen Ejecutivo Se quiere determinar el comportamiento de un suelo arcilloso bajo un cambio en el estado de esfuerzos producto de la aplicaci´on de una carga en superficie, en este caso el comportamiento del suelo est´ a definido por el desplazamiento vertical de la superficie respecto al tiempo y a la profundidad (Consolidaci´ on) producido por la aplicaci´on de cargas. Es importante precisar que se trata de un suelo arcilloso, en el cual ´ este fen´ omeno juega un rol importante, ya que la velocidad a la cual se produce el desplazamiento vertical es significativamente menor respecto a los suelos gran- ulares. Haciendo uso de la teor´ ıa de consolidaci´ on y de todas las suposiciones que en ´ esta se plantean, se solucion´o la ecuaci´ on para el desplazamiento vertical de la superficie del suelo respecto al tiempo y la profundidad (Consolidaci´ on). Haciendo uso de m´ etodos num´ ericos para obtener soluciones aproximadas y de t´ ecnicas de soluci´on de ecuaciones diferenciales parciales para obtener solu- ciones anal´ ıticas para el problema en cuesti´ on. Se realiz´o un trabajo de laboratorio el cual consisti´o en el ensayo de una muestra de arcilla limosa color gris oscuro de una altura de 19.79 mm, con la ayuda de un consolidometro se aplicaron diferentes cargas en la superficie de la muestra y se registraron deformaciones verticales para intervalos de tiempos 1
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1 Resumen Ejecutivo

Se quiere determinar el comportamiento de un suelo arcilloso bajo un cambio

en el estado de esfuerzos producto de la aplicacion de una carga en superficie,

en este caso el comportamiento del suelo esta definido por el desplazamiento

vertical de la superficie respecto al tiempo y a la profundidad (Consolidacion)

producido por la aplicacion de cargas.

Es importante precisar que se trata de un suelo arcilloso, en el cual este

fenomeno juega un rol importante, ya que la velocidad a la cual se produce el

desplazamiento vertical es significativamente menor respecto a los suelos gran-

ulares.

Haciendo uso de la teorıa de consolidacion y de todas las suposiciones que

en esta se plantean, se soluciono la ecuacion para el desplazamiento vertical

de la superficie del suelo respecto al tiempo y la profundidad (Consolidacion).

Haciendo uso de metodos numericos para obtener soluciones aproximadas y

de tecnicas de solucion de ecuaciones diferenciales parciales para obtener solu-

ciones analıticas para el problema en cuestion.

Se realizo un trabajo de laboratorio el cual consistio en el ensayo de una

muestra de arcilla limosa color gris oscuro de una altura de 19.79 mm, con la

ayuda de un consolidometro se aplicaron diferentes cargas en la superficie de

la muestra y se registraron deformaciones verticales para intervalos de tiempos

1

determinados.Es importante anotar que el trabajo de laboratorio no se realizo

como lo especıfica las normas, por lo tanto estos resultados son poco confiables.

Se encontro que los metodos de aproximacion numerica para la solucion

de la ecuacion diferencial de gobierno del fenomeno, en el caso especifico del

modelo explicito arroja resultados con errores que aumentan a medida que se

evalua para periodos de tiempo mayores que el inicial, pero que generan aprox-

imaciones a la solucion y aportan informacion importante del comportamiento

del suelo bajo el fenomeno de consolidacion.

2

Contenido

1 Resumen Ejecutivo 1

1.1 Lista de Figuras 4

1.2 Glosario de Variables 1

2 Proposito 1

3 Modelo Conceptual 7

3.1 Solucion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Codigo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3

Lista de Figuras

1 Volumen de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Mallado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Curva deformacion vs el cuadrado del tiempo . . . . . . . . . . 10

4 Solucion inestable, dt=0.2 , 4z= 0.05 . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Solucion estable, dt=0.01 , 4z= 0.05 . . . . . . . . . . . . . . . 14

6 Solucion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4

Glosario de Variables

Cv : Coeficiente de consolidacion

u : Exceso de presion de poros

Hdr: Altura Drenante

t : Tiempo

z : Profundidad del estrato

M z: Tamano de paso en que se divide el dominio

M t: tamano paso en que se divide el tiempo

2 Proposito

Cuando un suelo es sometido a cargas externas este sufrira un desplazamiento

vertical, causando asentamientos de las estructuras que se encuentran sopor-

tadas por este, si el asentamiento no se mantiene dentro de un lımite tolerable,

el uso para el cual la estructura fue construida, podrıa ser afectado y la vida

util del proyecto podrıa reducirse. Las estructuras pueden asentarse de manera

uniforme o no uniforme. Esta ultima condicion se conoce como asentamiento

diferencial y es una consideracion crucial en el diseno geotecnico de la estruc-

tura.

El asentamiento diferencial es usualmente conocido como consolidacion. La

consolidacion total usualmente esta constituida de tres partes:

• Compresion inmediata o elastica.

• Consolidacion Primaria.

• Compresion Secundaria.

CONSOLIDACION PRIMARIA

Es el cambio en volumen que sufre un suelo de grano fino causado por la

expulsion de agua presente en los vacıos y la transferencia de esfuerzos desde

el exceso de presion de poros hacia las partıculas del suelo.

1

COMPRESION SECUNDARIA

Es el cambio en volumen que sufre un suelo de grano fino causado por el

reacomodamiento de la estructura interna del suelo despues que la

consolidacion primaria ha terminado.

EXCESO DE PRESION DE POROS

Es la presion de poros en exceso de un equilibrio de presion de poros antes de

la aplicacion de una carga en superficie.

Cuando un suelo saturado es sometido a un incremento de esfuerzos, la

presion de poros se aumenta bruscamente. En suelos arenosos los cuales son

altamente permeables, el drenaje causado por el incremento en la presion de

poros se completa inmediatamente. El drenaje de la presion de poros va

acompanado por la reduccion en el volumen de la masa del suelo, que re-

sulta en un asentamiento. Debido a que el drenaje de la presion de poros en

suelos arenoso es muy rapido, el asentamiento elastico y la consolidacion ocur-

ren simultaneamente.

Cuando una capa de arcilla saturada es sometida a un incremento de es-

fuerzo, el asentamiento elastico ocurre inmediatamente. Ya que la conductivi-

dad hidraulica de la arcilla es significativamente mas pequena que la conduc-

tividad de la arena, el exceso de presion de poros generados por la aplicacion

de cargas es disipada gradualmente durante un largo periodo. Por lo tanto,

el cambio de volumen de la masa de suelo asociado a la consolidacion en la

arcilla puede continuar mucho tiempo despues del asentamiento elastico. El

2

asentamiento causado por consolidacion en arcillas puede ser varias veces mas

grande que el asentamiento elastico.

TASA DE TIEMPO DE CONSOLIDACION

La ecuacion de gobierno para la consolidacion respecto al tiempo esta basada

en las siguientes 6 suposiciones:

• El sistema arcilla-agua es homogeneo.

• Saturacion completa.

• Compresibilidad de agua despreciable.

• La compresibilidad de los granos del suelo es despreciable.

• El flujo de agua es unidimensional.

• La ley de Darcy es valida.

De la mecanica de fluidos se sabe que para un volumen de control (Figura 1)

la tasa del cambio de volumen esta dada por:

Tasa de salida - Tasa de entrada = Tasa del cambio de volumen

Por lo tanto, (vz +

∂vz∂z

dz

)dxdz − vzdxdy =

∂V

∂t(1)

Donde

V=Volumen del elemento del solido

vz=Velocidad del flujo en la direccion z

3

Figure 1: Volumen de control

O

∂vz∂z

dxdydz =∂V

∂t(2)

Usando la ley de Darcy, tenemos.

vz = ki = −k∂h∂z

= (−k)∂u

∂z(3)

Donde u= exceso de presion de poros causado por el incremento en el

esfuerzo.

De las ecuaciones 1 y 2 tenemos:

−k∂2u

∂z2=

(1

dxdydz

)(∂V

∂t

)(4)

Durante la consolidacion, la tasa de cambio del volumen del elemento del

suelo, es igual a la tasa de cambio del volumen de los vacıos. Por lo tanto.

∂V

∂t=

(∂Vv∂t

)=

(∂ (Vs + eVs)

∂t

)=

(∂Vs∂t

)+ Vs

(∂e

∂t

)+ e =

(∂Vs∂t

)(5)

4

Donde

Vs=Volumen de solidos

Vv=Volumen de vacıos

Pero que sumiendo que el suelo es incompresible

∂V

∂t= 0 (6)

Y

Vv =V

1 + e0=dxdydz

1 + e0(7)

Combinando las ecuaciones 4 y 7, tenemos

−k∂2u

∂z2=

1

1 + e0

(∂e

∂t

)(8)

El cambio en la relacion de vacıos es causado por el incremento en el esfuerzo

efectivo, asumiendo que estos se relacionan linealmente tenemos,

∂e = av∂ (4σ′) = −av∂u (9)

Donde

∂ (4σ′)=Cambio en el esfuerzo efectivo

av=Coeficiente de compresibilidad

Combinando ecuaciones 8 y 9

−k∂2u

∂z2=

av1 + e0

(∂u

∂t

)= −mv

(∂u

∂t

)(10)

Donde mv=Coeficiente de compresion volumetrica.

5

O

∂u

∂tCv =

∂2u

∂z2(11)

Donde

Cv=Coeficiente de consolidacion

La ecuacion (11) es la ecuacion diferencial basica de la teorıa de consolidacion

de Terzaghi y puede ser resuelta para las siguientes condiciones de frontera.

z=0, u=0

z=2Hdr, u=0

t=0, u=u0

La solucion analıtica esta expresada por la siguiente serie de Fourier.

∞∑i=0

[2u0M

sin

(Mz

Hdr

)]e−M2

Cvt

Hdr

(12)

6

3 Modelo Conceptual

3.1 Solucion numerica

Para el problema de consolidacion

∂u

∂tCv = −k∂

2u

∂z2

Con condiciones de frontera tipo Dirichlet

u(0, t) = 0; u(0, t) = 0

Y de condicion inicial

u(x, 0) = x(1− x)

Usando el teorema de Taylor se tiene,

∂u

∂t=

1

∆t(ui,j+1 − ui,j) (13)

Y

∂2u

∂z2=

1

∆z2(ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j) (14)

Donde (i,j) denota la posicion de un nodo en la interseccion de la fila i con la

columna j. Las columnas representan las divisiones del tiempo y las filas

representan las divisiones de la profundidad del suelo (Figura 2), la

suposicion implıcita en la ecuacion 1 es que el exceso de presion de poros

entre dos nodos adyacentes cambia linealmente con el tiempo, esta suposicion

es razonable si la distancia entre dos nodos es pequena. Sustituyendo las

7

ecuaciones 13 y 14 en la ecuacion de gobierno para la consolidacion (11),

tenemos:

ui,j+1 = ui,j +Cv∆t

∆z2(ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j) (15)

Figure 2: Mallado

Para determinar como la presion de poros es distribuida dentro del suelo en

un tiempo dado, tenemos que establecer el exceso de presion de poros inicial

en las fronteras. Una vez establecida esta presion, debemos estimar la

variacion de esta dentro del suelo, es posible estimar que esta variacion es

lineal con la profundidad si el estrado es delgado y triangular si este es denso.

La ecuacion (15) es valida para todos los nodos excepto para los nodos de

frontera, para estos nodos existen condiciones especiales donde la presion de

poros en los extremos del suelo son 0, por lo tanto, la segunda derivada en

estos puntos queda expresada como:

D (u)j =1

∆z2(uj−1 − 2uj + uj+1) (16)

8

Donde solamente se discretiza respecto al espacio y el tiempo permanece

constante. En las fronteras la ecuacion (16) queda expresada:

D (u)2 =1

∆z2(u1 − 2u2 + u3) =

1

∆z2(−2u2 + u3) (17)

D (u)M =1

∆z2(uM−1 − 2uM + uM+1) =

1

∆z2(uM−1 − 2uM) (18)

Para la solucion numerica se utilizo el metodo explıcito, interpretando la

ecuacion de gobierno como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

en las que un valor inicial en el espacio evoluciona manteniendo el tiempo

constante segun una ecuacion diferencial ordinaria, como sigue:

ui,j+1 = ui,j + dt ∗ CvD (u)j = (I + dt ∗ CvD)(D (u)j

)(19)

Donde

D (u)j =

(1

∆z2

)

−2 1 0

1 −2 1

.....

1 −2 1

1 −2

(20)

Calculando el coeficiente de consolidacion Cv

Se hace uso del metodo de Taylor para hallar graficamente el tiempo para el

90 por ciento de la consolidacion, como se muestra en la (grafica 1).

El coeficiente de consolidacion esta dado por la siguiente ecuacion:

9

Figure 3: Curva deformacion vs el cuadrado del tiempo

Cv =(0.0848)H2

dr

t90(21)

Cv =(0.0848) (0.0099m)2

(6.5s)2= 1.9671x10−7

m2

s= 0.017

m2

dia

Codigo a utilizar

Se hizo uso de dos algoritmos de codigo simples para calcular la solucion

numerica y analıtica de la ecuacion de gobierno (ecuacion 11) compuestos por

bucles o ciclos.

Para la solucion numerica se hizo uso del codigo descrito en el esquema 1

10

3.2 Codigo

function [ u save , x , t s a v e ]= Conso l idac ion (Cv , M, t f , t s t e p s )

%{Funcion que c a l c u l a l a s o l u c i o n de l a ecuac i on de gobierno de l

fenomeno de c o n s o l i d a c i o n

Datos de entrada :

Cv : C o e f i c i e n t e de c o n s o l i d a c i o n .M: numero de par t e s i g u a l e s en que se descompone [ 0 , 1 ]t f : i n s t a n t e de tiempo hasta e l que ca lcu lamos l a s o l u c i o nt s t e p s : numero de par t e s i g u a l e s en que se descompone [ 0 , t f ]%}

%Malladodt=t f / t s t e p s ;t iempos =0: dt : t f ;h=1/M;x=0:h : 1 ;%Datos i n i c i a l e sx1=x ( 2 :M) ; %quitamos l o s extremos de l v e c t o r xu=(x1 .∗(1−x1 ) ) ’ ; %trasponemos para ob tener un vec to r columna%El operador D%Usamos e l comando diag ( vec tor ,Cv) para crear una matr iz

t r i d i a g o n a lTrid iag=diag(−2∗ones (M−1 ,1) )+diag ( ones (M−2 ,1) ,1 )+diag ( ones (M−2 ,1)

,−1) ;D=(1/hˆ2) ∗Trid iag ;%Datos de s a l i d a : en vez de guardar todos l o s datos intermedios ,

guardamos e l%vec to r u so l o Nf veces .Nf=5;marca=f loor ( t s t e p s /( Nf−1) ) ;u save=zeros (M+1,Nf ) ;t s a v e=zeros (1 , Nf ) ;%Le ponemos l a s cond ic iones de f r on t e rau save ( 1 , : )=zeros (1 , Nf ) ;u save (M+1 , :)=zeros (1 , Nf ) ;%guardamos l a pos i c i on de par t i dau save ( 2 :M, 1 )=u ;t s a v e (1 ) =0;%Bucle p r i n c i p a lI=eye (M−1) ;A=(I+dt∗Cv∗D) ;for n=1: t s t e p su=A∗u ;%Guardamos l o s v a l o r e s de u para a lgunos t iemposi f mod(n , marca )==0i n d i c e=1+n/marca ;u save ( 2 :M, i n d i c e )=u ;t s a v e ( i n d i c e )=tiempos (n) ;endend

plot ( u save , x )

11

Para calcular valores de la solucion analıtica se utilizo el codigo mostrado en

el esquema 2.

%{Funcion que c a l c u l a l a s o l u c i o n a n a l ı t i c a de s e r i e de Four i e r

donde :− n = Numero de veces que se hara l a sumatoria .− d = Numero de pasos en que se d i v i d i r a l a profundidad .− H = Altura drenante .− Cv = C o e f i c i e n t e de c o n s o l i d a c i o n .− t f = Tiempo f i n a l .− t s t e p s = Numero de pasos en que se d i v i d i r a e l tiempo .

%}

function [ u save , t s a v e ]= f o u r i e r (n , d ,H, Cv , t f , t s t e p s )h=1/d ;x=0:h : 1 ;u0=(x.∗(1−x ) ) ;dt=t f / t s t e p s ;t iempos =0: dt : t f ;

Nframes=5;marca=f loor ( t s t e p s /( Nframes−1) ) ;u save=zeros (d+1,Nframes ) ;t s a v e=zeros (1 , Nframes ) ;

r=−1;for t =0: dt : t f

u = zeros (d+1 ,1) ;

for m=0:nM=(pi /2) ∗(2∗m+1) ;u= u +((2∗u0/M) . ∗ ( sin (M∗x/H) ) ) ’∗ exp(−(M∗M∗( c∗ t /(H∗H) )

) ) ;end

r=r +1;

i f mod( r , marca )==0i n d i c e=1+r /marca ;u save ( 1 : d+1, i n d i c e )=u ;

t s a v e ( i n d i c e )=tiempos ( r+1) ;end

end

ESTABILIDAD DEL METODO

Para que el esquema numerico sea estable se debe cumplir

12

s = Hdrdt

(M z)2<

1

2(22)

Cuando la ecuacion 22 no se satisface, la solucion oscila, tomando valores sin

sentido como se muestra en la figura 4.

Figure 4: Solucion inestable, dt=0.2 , 4z= 0.05

En la figura 5 se muestra una solucion numerica estable en el cual se cumple

la ecuacion 22

En la figura 6 se muestra las graficas hechas con los datos de la solucion

analıtica para los mismos tiempos.

13

Figure 5: Solucion estable, dt=0.01 , 4z= 0.05

14

Figure 6: Solucion numerica

15


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