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8/18/2019 Representación en Punto Flotante
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ARITMETICA DEL COMPUTADOR
METODOS NUMERICOS MB536
TRADUCIDO POR : Prof. ROSA GARRIDO JUAREZ
UNI-FIM
8/18/2019 Representación en Punto Flotante
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Notación Científica (en Binario)
1.0dos x 2-1
base“punto binario”
exponente
• La aritmética que usa el computador es llamada
punto flotante, porque esta representa los números
reales (racionales) donde el punto binario no esta fijo,
como ocurre en los enteros.
• Tales números son declarados como en lenguaje C
como float.
mantisa
UNI-FIM
8/18/2019 Representación en Punto Flotante
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Representación en Punto Flotante
Representación:
Signo, exponente, mantisa (o significando):
( –1)signo ×1.mantisa× 2exponente
Mas bits para la mantisamayor precisión
Más bits para el exponente aumenta el rango
Punto Flotante estándar IEEE 754 :
simple precisión: 8 bits exponente, 23 bits mantisa
doble precisión : 11 bits exponente, 52 bits mantisa
Cuádruple precisión: 15 bits exponente, 112 bits mantisaUNI-FIM
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Número en Punto Flotante (P.F.)
• Importante: “1er” bit de la mantisa es implícito
–Ejemplo: Si la mantisa es : 011010110…0,corresponde a la mantisa : 1.011010110…0
• Esto se define como número normalizado;existe siempre un dígito no cero a la izquierdadel punto.
–Representación única de un número.
–Conseguimos un poco mas de precisión: si hay 24bits en la mantisa, pero solamente 23 de estos sonalmacenados.
UNI-FIM
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Representación Interna (Máquina) en P.F.
• Formato normal: +1.d1d2d3…. dp*2e1e2..
• Ancho de palabra (32 bits)
031
S Exponente
30 23 22
Mantisa
1 bit 8 bits 23 bits
• S representa el Signo
• Los dígitos ei’s representan al exponente
• Los dígitos di’s representan la mantisa
• El número más pequeño es representado por2.0 x 10-38 (realmin) y el más grande como 2.0 x 1038 (realmax)
UNI-FIM
Ejemplo : Simple precisión
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Representación en P.F.(cont.)
• ¿y si el resultado es demasiado grande?
(> 2.0x1038 )
– Overflow!
– Overflow Exponente más grande que se representa
en el campo exponente de 8 bits.• ¿Y si el resultado es muy pequeño?
(>0, < 2.0x10-38 )
– Underflow!
– Underflow Exponente negativo más pequeño querepresenta en el campo exponente de 8 bits
• ¿Como reducir las posibilidades de overflow o underflow?
UNI-FIM
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Exponente
•Exponente es “trasladado” para representar valores
positivos y negativos.
– Todos ceros es el exponente más pequeño, todos unos es el
exponente mas grande.
– El exponente actual para simple precisión: e - 127, para doble
precisión: e-1023, y para cuádruple precisión : e - 16383.
– Bias de 127 para simple precisión, 1023 para doble precisión, y
16383 para cuádruple precisión.
– Al trasladar (biasing) el exponente y almacenarlo antes de la
mantisa, podemos comparar magnitudes como si fuerannúmeros enteros sin signo.
• Si e = 1000 0011 (13110), el exponente actual es : 131-127=4
• Si e = 0101 1101 (9310), el exponente actual es: 93-127=-34
UNI-FIM
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Exponente para 32 Bits (IEEE-754)
8 bits deberían representar
2550 e
Bias es 127; tal que al sustraer 127 de la
representación anterior
128127 e
UNI-FIM
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Exponente para Casos Especiales
eActual rango de2541 e
0e y 255e Son reservados para casosespeciales
127126 e
eActual rango de
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Números y Exponentes Especiales
0e Todos ceros
255e Todos unos
s m Representa
0 Todos ceros Todos ceros 0
1 Todos ceros Todos ceros -0
0 Todos unos Todos ceros
1 Todos unos Todos ceros
0 ó 1 Todos unos diferente decero
NaN
e
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IEEE-754 Formato Simple Precisión
El mas grande número en simple precisión
El más pequeño número en simple precisión
Epsilón de la máquina en simple precisión
381272 1040.321........1.1
381262 1018.220......00.1
723 1019.12 mach
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IEEE-754 Formato Simple Precisión
32 bits para simple precisión
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Sign
(s)
Exponente interno (e’) Mantisa (m)
127'2 21)1(Valor . e s m
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Ejemplo 1
127'2 2.11Valor
e s
m
127)10100010(2
12210100000.11
127162
2625.11
1035 105834.52625.11
1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Signo
(s)
Exponente interno (e’) Mantisa (m)
UNI-FIM
T
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Tarea
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Signo(s)
Exponente interno (e’) Mantisa (m)
Represente-6.234x105 como un número de
punto flotante simple precisión:
?15
2?.1110234.6
UNI-FIM
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Presición en Punto Flotante
Ejemplo 2:
Simple Precisión
Doble Precisión
Quadruple Precisión
UNI-FIM
http://en.wikipedia.org/wiki/File:IEEE_754_Quadruple_Floating_Point_Format.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:IEEE_754_Quadruple_Floating_Point_Format.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:IEEE_754_Quadruple_Floating_Point_Format.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:IEEE_754_Double_Floating_Point_Format.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Float_example.svg
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UNI-FIM
Ejemplo 3
• Resumen: Representación en Punto flotante
( –1)sign×1+mantisa)×2exponente – bias
• Ejemplo:
– decimal: -.75 = -3/4 = -3/22
– binario: -.11 = -1.1 x 2-1
– Exponente en punto flotante: 126 = 01111110
– Simple precisión IEEE :
1 01111110 10000000000000000000000
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UNI-FIM
Formatos de Punto Flotante- Resumen
Negative
Overflow
Positive
Overflow
Expressible
negative
numbers
Expressible
positive
numbers
0-2-127 2-127
Positive underflowNegative underflow
(2 – 2-23) 2128- (2 – 2-23) 2128
00000000 00000000000000000000000
Biased
exponentFraction
Positive andnegative zero
11111111 00000000000000000000000
Biasedexponent
Fraction
1
1
0
0Positive and
negative infinity
exponent = 128 and fraction ≠ 0, It is called “not a number” or NaN
0
∞
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Fuentes:
• engrwww.usask.ca/classes/EE/800/.../ee800_DFP. ppt
• inst.eecs.berkeley.edu/~cs61c-td
• http://numericalmethods.eng.usf.edu Floating Point Representation
• inst.eecs.berkeley.edu/~cs61c-td
UNI-FIM
http://numericalmethods.eng.usf.edu/http://numericalmethods.eng.usf.edu/