RESISTENCIA DE MATERIALES

INTRODUCCION

La Resistencia de Materiales o Mecánica de los Sólidos Deformables, es la rama de la

mecánica que estudia el comportamiento de los materiales y elementos de máquinas y

estructurales sometidos a diversos tipos de carga, con objeto de poder dimensionarlos, o bien,

determinar su capacidad de soportar cargas. También permite, con el conocimiento previo de

la relación existente entre la carga y la deformación de un material, determinar las fuerzas o

reacciones en aquellos casos de equilibrio estáticamente indeterminado.

Mediante la aplicación de conocimientos de resistencia de materiales se puede solucionar tres

tipos de problemas presentados en ingeniería:

1. Dada una función a cumplir, diseñar los elementos que conforman la estructura o el

mecanismo que la ejecutará.

2. Verificación o revisión de la capacidad de una estructura o elementos de máquina de

un proyecto.

3. Determinación de la capacidad actual de una estructura o elementos de máquina

existentes.

1. ESFUERZO Y DEFORMACION

En Resistencia de Materiales no interesa tanto las fuerzas y momentos externos que producen

el equilibrio o el movimiento de los cuerpos, como las fuerzas y deformaciones internas que

deberán soportar los elementos, generadas por la acción de las primeras.

Las cargas, por ser una abstracción física tan importante, es necesario conocer sus

características y su clasificación.

1.1 Clasificación de las cargas

Para el mejor estudio de las fuerzas internas es conveniente establecer una clasificación de las

cargas externas, de acuerdo a parámetros representativos:

1.1.1 El tiempo de aplicación

F F

Q Q

t t

Fig. 1 Estática Fig. 2 Permanente

F F

Q Q

T t

-Q

Fig. 5 Impacto Fig.6 Cíclica

1.1.2 Área de aplicación q

F

Fig. 7 Puntual Fig. 8 Distribuida

1.1.3 Ubicación F F

Fig. 9 Normal

(perpendicular)

F

Fig.10 Cortante

(tangencial)

F F

F

V

Fig.11 Torsional Mt

Mt

Fig.12 Flectante F

l

1.2.- El Esfuerzo Normal

F

0A

0A

F=σ

Fig.13

Si se tiene dos barras de distinta sección (A1 > A2) sometidas a la misma fuerza de tracción F,

ambas barras están igualmente cargadas; pero la barra dos debe soportar una fuerza

distribuida internamente más grande que la uno, es decir, cada unidad de sección resistente de

la barra dos debe soportar una fuerza mayor que la que debe soportar cada unidad de sección

resistente de la barra uno.

F F

A1 A2

Fig.14

F F

F F

σ1 σ2

σ1 = F/A1 σ2 = F/A2

Como A1 > A2 ⇒ σ1 < σ2

Esta fuerza interna por unidad de sección resistente, y perpendicular al área que la soporta, se

denomina esfuerzo normal, y se designa con la letra griega σ.

El esfuerzo tiene unidades de presión, aunque no es una presión. En el sistema SI las unidades

de esfuerzo son Newton partido por metro cuadrado, lo cual equivale al Pascal

σ 2mN = Pa, como esta unidad resulta inconveniente, se suele trabajar con 2mm

N = MPa

(mega Pascal), también se utiliza otras unidades como

kgf/mm2, kgf/cm2, lb/inch2 = P.S.I., 1000 P.S.I. = KSI

1.3 Deformación Normal

En la mecánica de sólidos deformables se considera la deformación producida como

consecuencia de la carga interna. Pero de igual manera que en el esfuerzo ha interesado la

fuerza por unidad de área resistente, en la deformación no interesa la deformación total, sino

la deformación por cada unidad de largo o deformación unitaria ε.

[-] l

1 = 0

∆ε

F F

l0 ∆l

El esfuerzo normal σ produce deformación axial ε Fig. 15

1.4 Esfuerzo Cortante

Si se aplica un par de fuerzas a dos planchas unidas por un remache, se generará

internamente en el remache fuerzas de naturaleza distinta a las analizadas.

F F

F

V

Fig.16

En el plano de unión de ambas planchas existe una fuerza cortante V tangencial a la sección

resistente A0 del remache, distribuida a través de ella.

Si se supone una distribución interna uniforme de la carga V, se tendrá el esfuerzo cortante τ

τ = 0A

V [N/m2] = [Pa]

En este caso las unidades Pa o MPa, guardan menos relación con la presión que en el caso del

esfuerzo normal.

1.5 Deformación angular o cortante

Un sólido cúbico deformable, sometido a esfuerzos de cortadura, se distorsiona

transformándose en un prisma romboidal. Se produce una distorsión o deformación angular γ

[rad]. τ γ

τ τ

τ

Fig.17

1.6 Esfuerzos producidos en una barra en tracción

F

A0 Al examinar una sección inclinada de la barra

plana o pletina respecto de la sección

transversal, aparecerán dos componentes de la

fuerza F: una normal N y una tangencial.

θ La componente normal N, distribuida

uniformemente genera un esfuerzo normal de

tracción θσ ; y la tangencial, produce un

esfuerzo cortante θτ en el mismo plano.

F

Fig.18

F F

V θσ θ

0σ

t N

n θ

Fig.19

Para encontrar las componentes N y V, se debe establecer el equilibrio de fuerzas, no de

esfuerzos. Esto debido a que las fuerzas son vectores de igual naturaleza y se pueden sumar

de acuerdo a la ley del paralelogramo; en cambio los esfuerzos σ y τ , a pesar de tener

módulo, dirección y sentido, la naturaleza diferente entre los esfuerzos que actúan

perpendicular y tangencialmente respecto a la sección que los soporta, hace que éstos no sean

vectores ordinarios. Son vectores de orden superior llamados tensores, y como tal, no se

pueden sumar.

Tomando las direcciones n (normal) y t (tangencial)

0=∑ nF 0cos =⋅− θFN con θA = θcos

0A

0=∑ tF 0=⋅− θsenFV 0A

F=θσ

θ

θ

θσ

θθ

2

00cos

cos

cos⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡AF =

A F =

AN = θσσθ

20 cos⋅=

=⋅

==

θ

θτθ

cos0A

senFAV

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

0AF θθ cos⋅⋅ sen θ

στθ 2

20 sen⋅=

σ τ

σ0

σθ

σ0/2

0 τθ θ

- σ0/2 π/4 π/2 3π/4 π

Conclusiones de los diagramas σθ v/s θ, y θτ v/s θ

1. El máximo esfuerzo cortante alcanza a la mitad del máximo esfuerzo normal.

2. En el plano donde el esfuerzo normal es máximo, el esfuerzo cortante es cero.

3. El desfasamiento entre los planos de máximo esfuerzo normal y máximo esfuerzo

cortante es 45º.

4. El desfasamiento entre los planos de máximo y mínimo esfuerzo normal es 90º.

5. El desfasamiento entre los planos de máximo esfuerzo cortante (+) y mínimo esfuerzo

cortante (-) es 90º.

6. En los planos que soportan los esfuerzos cortantes máximo, el esfuerzo normal es el

mismo.

7. El esfuerzo cortante alcanza el mismo valor en un plano 90º más adelante o 90º más

atrás; pero con signo contrario.

θστθ 220 sen⋅=

θ+π/2 ( )2220

2πθστ

πθ+⋅=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

sen

θ θστπθ

220

2sen⋅−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

2θπ π/2

π 2θ 0

Fig.20

1.7 Nomenclatura de los esfuerzos

Los esfuerzos son bautizados con el sub índice que indica el plano donde están aplicados. El

plano, a su vez, es bautizado de acuerdo a la dirección de su vector normal que lo identifica.

xe

σx σy

êy

Plano de esfuerzos y

Plano de esfuerzos x

Fig.21

El esfuerzo cortante es identificado por el plano de esfuerzos y por la dirección.

τxy τyx

Fig. 22

Convenio de signos:

Esfuerzo normal

σy σy

σx σx σx σx

σy σy

Son esfuerzos normales positivos los esfuerzos de tracción; son negativos, los de compresión

Esfuerzo cortante

τyx τyx

τxy τxy τxy τxy

τyx τyx

Son esfuerzos cortantes positivos los que harían girar al elemento en el sentido contrario a los

punteros del reloj; y negativos los que lo harían en sentido de los punteros del reloj.

1.8 Esfuerzo plano o biaxial ( 0=zσ )

Analizando un elemento de una estructura plana, en equilibrio, sometida a la acción de cargas

coplanares,

Plano de esfuerzos x Plano de esfuerzos n

θ

Si se establece el equilibrio de un elemento cortado en un plano n, medido el ángulo θ positivamente, a partir del plano x t n

A0 cosθ σn

τxy

σx

τnt

A0

τyx σy A0 senθ

Se debe cumplir el equilibrio mecánico ΣF = 0

En las direcciones normal n y tangencial t, se debe cumplir

ΣFn = 0

ΣFt = 0

ΣFn = 0

σn A0 - σx A0cosθcosθ–σyA0senθsenθ- xyτ A0senθcosθ- yxτ A0senθcosθ = 0

ΣFt = 0

ntτ A0-σxA0 cosθsenθ-σyA0senθcosθ- xyτ A0cosθcosθ- yxτ A0senθsenθ = 0

Como xyτ = yxτ , y el signo ya fue considerado al darle sentido a las flechas,

nσ = xσ cos2θ + yσ sen2θ + 2 xyτ senθ cosθ

ntτ = xyτ (cos2θ-sen2θ) - ( xσ - yσ )senθ cosθ

utilizando el ángulo doble

θτθσσσσσ sen2+2

2-

+2+

= xyyxyx

n cos

θσσθττ sen22-

-2= yxxynt cos

para encontrar los esfuerzos normales máximos y mínimos o principales, se debe maximizar

σn.

θτθσσθσ 2 2 + 2 sen)

2-

2(- = 0 = d

dxy

yxn cos

2-

=tg2yx

xy

σστ

θσ

τσσ

τθσ

2xy+)22

y-x(

xy=sen2

τσσ

σσ

θσ2 xy+)2

2y-x(

2y-x

=2 cos

resulta que

θ

θτ

σ tg21-=tg

τσσσσ

σσ 2xy

2yxyx1máx +)

2-

(+2+

= =

τσσσσσσ 2

xy2yxyx

mín +)2-

(2+

= = −2

para encontrar los esfuerzos cortantes máximos y mínimos, se debe maximizar τnt

θσσ

θθτ

2cos22

220 ⋅⋅−

−⋅−== yxnt send

d

τ

σσ

θτxy

yx

2-

-=tg2

como resulta que σ

τ θθ

212

tgtg −=

222 πθθ στ +=⇒

4πθθτ σ +=∴

entonces, el plano del esfuerzo normal máximo está desfasado en 45° respecto del plano del

esfuerzo de corte máximo.

En resumen, teniendo los esfuerzos σx, σy, τxy, se puede determinar los esfuerzos en cualquier

dirección (θ°), se pueden determinar los esfuerzos principales y los planos donde están

aplicados. Esto se conoce como "estar definido el estado de esfuerzo".

τσσ

σσ

θτ2xy+)2

2y-x(

2y-x

-=sen2

τσστ

θτ

2xy

2yx

xy

+)2-

(=2cos

22

2 xyyx

mínmáx τ

σστ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±=

9.- Circulo de Mohr (Otto Mohr)

Es el lugar geométrico del estado de esfuerzo de un elemento cargado en el plano. Si está

definido el estado de esfuerzos, se puede determinar los esfuerzos normales y cortantes, para

cada plano θº respecto al plano x. Si se gráfica en la absisa los esfuerzos normales, y en la

ordenada los esfuerzos cortantes, resultará una circunferencia con centro en la absisa.

τ 2θτ τmáx τx ● x(σx,τxy) 2θσ

(σ2,0) 2 1 (σ1,0) σ

σ2 τyx ● (σy,τyx) y

τmíx

2

yx σσ +

2yx σσ −

σx

σ1

Pero, hay dos teoremas geométricos que permiten ubicar los planos de esfuerzos

principales: Teorema del ángulo del centro y Teorema del triángulo inscrito en el

semicírculo

1.- El ángulo del centro es el doble del inscrito

2.- El triángulo inscrito en un semi-círculo es un triángulo rectángulo

τmáx τmáx

σ2

σ1

σ1 σ2 σ2

σ1

σ1

σ2 σ2

2

yx σσ + τmáx σ1 τmáx

τmáx 2

yx σσ +

Conociendo el estado de esfuerzo σx, σy, τxy u 45

σx = 90,0 MPa 90

σy = 45 MPa 29

τxy = 29 MPa, determinar los esfuerzos en el plano u

x (90, 29)

y (45,-29)

u

Ejemplos

Determinar los esfuerzos principales en el vástago de un perno de 16 mm φ, que soporta una

tensión F de 1000 kgf.

σy

Ø 16 σy

F

2

22

06,201416

4mmdA =

⋅=

⋅=

ππ

0== xyx τσ

2974,406,201

1000mm

kgfAF

y ===σ

o+)2-

()(+2+

= 22yxyx1(2)

σσσσσ _ 0== yxxy ττ

021

22 +)2

4,974-0(24,974+0= ±σ

σ1 = 4,974 kgf/mm2 ≈ 48,77 MPa

σ2 = 0

°0=

24,974-00=

2-=tg2

yx

xy

σστ

θσ

Determinar los esfuerzos principales en el mismo perno, si además debe soportar una fuerza

horizontal P provocada por dos planchas unidas por él.

P

P = 800 kgf

Ø 16

F

En cualquier parte del vástago se producirán esfuerzos normales similares, pero en la

sección del vástago donde tratan de deslizar las planchas, se produce el esfuerzo cortante.

σy

τxy

σx σx

τyx

σy

σy = 4,974 kgf/mm2 σx = 0

mm3,98kgf/=

416

800=AV= 2

2yx ⋅πτ

τxy = - 3,98 kgf/mm2

)(-3,98+)2

4,974-0(2

4,974-0 22±=21σ

σ1 = 7,18 kg/mm2 ≈ 70,4 MPa

σ2 = - 2,21 kg/mm2 ≈ 21,6 MPa

τmáx = 4,69 kgf/mm2

1,6=

24,974-03,98-=tg2θσ º301 =σθ º1202 =σθ

Solución gráfica:

Plano de esfuerzos x: σx = 0 kgf/cm2; τxy = - 400 kgf/cm2

Plano de esfuerzos y: σy = 500 kgf/cm2; τyx = 400 kgf/c

τ

y (500, 400)

(-220, 0) 2 1 (720, 0) σ

(0, -400) x σ1

σ 2

τmáx 250

P

P = 800 kgf Plano de cortadura máxima

Ø 16

F

2. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES

Las propiedades físicas de los materiales, que indican su capacidad para soportar

determinados tipos de carga sin sufrir deterioro, se obtienen mediante ensayos mecánicos

normalizados, en los cuales está establecida tanto la forma como las condiciones en que deben

efectuarse. Solamente si estos ensayos se efectúan en condiciones similares podrá

compararse los valores obtenidos, pues una alteración en el estado del material, de su forma, o

de las condiciones de ensayo, implica una variación de las propiedades obtenidas.

Conociendo las características mecánicas de los materiales, los factores que influyen y la

forma en que inciden en su variación, permitirá seleccionar materiales y formas más

adecuadas para cada tipo de solicitación en ingeniería, con las precauciones correspondientes.

El ensayo mecánico que mejor manifiesta las propiedades mecánicas de los materiales es el de

tracción. En él, se somete a una carga axial creciente una probeta; midiendo simultáneamente

la carga y la deformación correspondiente, se construye el característico diagrama esfuerzo

v/s deformación.

F F Ensayo de Tracción l∆ l∆ A0 A0 0l

0l

σ E F F 1

màxσ

flσ

totε ε

En la mayoría de los materiales usados en ingeniería, la deformación unitaria crece

linealmente con el incremento del esfuerzo, mientras estén en el rango elástico (sin

deformación permanente al retirar la carga); pero sobrepasado un valor, que es característico

para cada material, la relación no es lineal, y el material se deformará más ante incrementos

de esfuerzos iguales, declinando la pendiente de la curva. En esta zona, si se retira la carga, el

material quedará con deformación permanente, es decir, presentará un comportamiento

plástico. Si se continua traccionando la probeta, alcanzará un valor de esfuerzo máximo, para

después ir decayendo hasta producirse la ruptura del material.

2.1 Definiciones de propiedades

• Límite elástico : Es el esfuerzo máximo que soporta el material sin quedar con

deformación permanente. (σel).

• Resistencia a la tracción : Es el esfuerzo máximo que soporta el material antes de

romperse. (σmáx).

• Ductilidad : Es la capacidad de deformación antes de romperse, que tiene

en material. (_tot).

• Fragilidad : Es la incapacidad de un material de deformarse plásticamente

antes de romperse.

• Tenacidad : Es la capacidad de absorber energía de deformación antes de

romperse (área encerrada bajo la curva).

• Resiliencia : Es la capacidad de absorber energía de deformación en el

rango elástico.

• Rigidez : La resistencia que opone el material a ser deformado. En el

rango elástico, esta capacidad se ve reflejada en la pendiente de la curva y se denomina

Módulo de Elasticidad o de Young : E.

• Límite de proporcionalidad: Es el esfuerzo máximo hasta donde se mantiene la recta

(cumple la ley de Hooke).

• Módulo Rigidez Cortante : (G) es la rigidez torsional o angular. G = τ/γ.

En algunos materiales como el acero de bajo contenido de carbono se aprecia una tercera zona

entre la zona elástica y la zona plástica. En ella el material fluye, y se produce un incremento

de la deformación, sin aumento del esfuerzo. Esta zona es denominada de fluencia.

σ

zona plástica

zona elástica ruptura

zona de fluencia

ε

En los aceros, el % de C influye fuertemente en estas propiedades.

σ

% C

ε

A medida que crece el % C, aumenta la resistencia; pero disminuye la ductilidad.

2.2 Fallas de los Materiales y Factor de Seguridad

El diseño requiere de la selección de materiales para una función específica sin que se

presenten fallas. Se entiende por falla, cuando el material queda en un estado incapaz de

desarrollar las funciones encomendadas.

• Falla elástica, se caracteriza por la excesiva deformación elástica. Tiene importancia

cuando la deformación elástica de una estructura puede alterar su funcionamiento. En este

caso inciden la rigidez propia del material (módulo de Young), como la forma y

dimensiones.

σ

ε

ε1 ε2

• Falla por cedencia, se caracteriza por la excesiva deformación plástica debido a la

cedencia o fluencia del material.. La resistencia a la tracción, el límite elástico y el límite

de proporcionalidad, se emplean como índices de resistencia a la falla por cedencia de

miembros sometidos a cargas estáticas.

σmáx

σfl

σp

ε

• La falla por creep, se caracteriza por la excesiva deformación plástica ocurrida en un

largo período de tiempo bajo esfuerzo constante. El creep se considera en el diseño de

máquinas y estructuras, cuando éstas debarán soportar grandes esfuerzos y elevadas

temperaturas por un largo período de tiempo. El Límite de Creep es el índice de

resistencia, el cual baja con el aumento de la temperatura.

ε

t

• La falla por ruptura, es la separación completa del material. La resistencia a la tracción o

esfuerzo máximo es un índice de resistencia a la ruptura, bajo carga estática y en ausencia

de creep.

σruptura

ε

• La falla por fatiga, ocurre cuando la carga se aplica en forma cíclica (ejerce y suprime

repetidamente en una estructura), el material no puede soportar el mismo esfuerzo

máximo que en el ensayo estático, fallando al cabo de cierto número de ciclos.

σ

σfl

ε t

Por todos estos motivos, en el diseño de miembros estructurales o de máquinas, se fija un

nivel de esfuerzo admisible, considerablemente más bajo que la resistencia última hallada en

el ensayo estático. Rara vez se sabe exactamente las magnitudes de las fuerzas que pueden

actuar sobre una estructura diseñada, y los materiales generalmente no son homogéneos.

Ejemplos: Acero: σmáx = 4200 [kg/cm2]

σadm = 1750 [kg/cm2]

para estructuras σadm = 700 kg/cm2 (fatiga)

Factor de seguridad: F.S.

Es la razón entre la carga que produce la falla y el esfuerzo real estimado.

}ignorancia{factordeadmisiblecarga

últimacarga=F.S.

En aeronáutica se utiliza el Margen de Seguridad

1-admisiblecarga

últimacarga=M.S.

1- =M.S.adm

máx

σσ

Ejemplo

Se desea desenterrar una estaca por medio de una configuración de cables, con la fuerza

proporcionada por un tractor.

b 13 12

e 5 a

c

7 25 5 3 8 17

24 4 15

d P

Pmáx = 10000 kg (tractor)

Carga de ruptura de (a) = 18000 kgf

Cable b,c,d 3/4" φ Fmáx = 30000 kgf

Cable e de 3/4"φ área nom. 390 mm2, σrup = 63 kgf/mm2

trabajando con F.S. = 2

Determinar: 1. La fuerza Dmáx que se puede aplicar a la estaca enterrada.

2. El F.S. resultante para cada cable, de acuerdo a las restricciones

Las fuerzas máximas admisibles por cada cable serán:

kgf15000=2

30000FSB

= D=C= B rupmadadmadm =

kgf9000=2

18000=F.S.A A

rupadm =

Se deduce que no se puede aplicar la carga máxima que desarrolla el tractor, pues la carga

límite aplicable al cable a es 9000 kgf

B

ΣFx = 0 13 12

0=C54-B

135+A

1715

5

ΣFy = 0 5 3 A 15

0=C53-A

178-B

1312

C 4 17 8

0=∑ xF E 25 5 C

02524

54

=⋅−⋅ EC 7 24 4 3

0=∑ yF D

0257

53

=⋅+−⋅ EDC

Si A = 9000 kgf, resulta

B = 16050 kgf > Bmáx = 15000 kgf

C = 17647 kgf > Cmáx = 15000 kgf

D = 14706 kgf < Dmáx = 15000 kgf

E = 14 706 kgf > Emáx = 12285 kgf

Mientras B y C superan 7,06% y 17,65% a los valores máximos admisibles, E supera en

19,71%; por lo tanto la fuerza limitante es E = 12285 kgf.

Recalculando con E = 12285 kgf, resulta:

E = 12285 kgf

A = 7518 kgf

B = 13415 kgf

C = 14742 kgf

D = 12285 kgf

F.S.A = Amáx/A = 18000/7518 = 2,39

F.S.B = Bmáx/B = 30000/13415 = 2,24

F.S.C = Cmáx/C = 30000/14742 = 2,04

F.S.D = Dmáx/D = 30000/12285 = 2,44

F.S.E = Emáx/E = 6300⋅3,9/12285 = 2

El factor de seguridad del sistema será el mínimo obtenido: 2

2.3 Concentración de esfuerzos

La capacidad de resistir esfuerzos de un elemento de máquina o estructural no depende

solamente del material y de la sección resistente, sino también de la forma. Un elemento

fabricado de material dúctil, podrá distribuir internamente las deformaciones y los esfuerzos

más fácilmente que uno frágil, principalmente frente a cargas dinámicas. Un elemento de

formas suaves (curvas de gran diámetro), permite una mejor distribución de deformaciones y

esfuerzos, evitando la concentración de esfuerzos por cambio violento de sección.

σ = kσ

El esfuerzo resulta superior al esfuerzo medio

k = factor de concentración de esfuerzo

Mientras más violento sea el cambio de sección, más pequeño el radio y ángulo de

entalladura, más grande será la concentración de esfuerzos.

Por este motivo, las rebajas en diámetros de ejes y las raíces de los hilos llevan un radio que

les permiten, en parte, disminuir el efecto de concentración de esfuerzos.

3. LEY DE HOOKE (Robert) La rigidez dentro del rango elástico se mantiene aproximadamente constante para la mayoría

de los materiales metálicos utilizados en ingeniería. Está representada por la pendiente del

diagrama σ v/s ε, y es una característica de cada material, representada por el módulo de

elasticidad.

F

σ E

1

l0 A0 σ

∆l

F ε

ε

)Al(

lF=

ll

AF==E

0

00

0

⋅∆∆

⋅εσ

La ley de Hooke, relaciona la fuerza aplicada con la deformación producida, a través del

módulo de elasticidad.

Deformación axial y deformación de lateral.

σy

δy εy = δy/∆y

∆y

δx εx = δx/∆x

∆x

Simultáneamente con la deformación unitaria axial, se produce la deformación unitaria

lateral.

Módulo de Poisson (ν) es la relación entre la deformación lateral y la deformación axial

producida por el esfuerzo, dentro del límite de proporcionalidad

εy = σy/E

εx = - ν εy

ν = - εx/εy

Generalmente ν varía entre 1/4 ÷ 1/3 para la mayoría de los materiales metálicos.

3.1 Ley de Hooke generalizada para materiales isotrópicos

La Ley de Hooke puede extenderse para estados de esfuerzos bi-axiales y tri-axiales

encontrados frecuentemente en aplicaciones en ingeniería.

Si el material es isotrópico, el módulo de Young y el módulo de Poisson son constantes en

todas las direcciones.

En el plano (σZ = 0)

y

σy

dyy ⋅ε dyE

y ⋅σ

dyE

x ⋅⋅σ

ν

dy σx

x

dxx ⋅ε dxE

y ⋅⋅σ

ν

dx

dxE

x ⋅σ

)-(E1= yxx σνσε

)-(E1= xyy σνσε

}+{E

-=)-(-E1= yxyxZ σσ

νσνσνε

dE-dE

=d= yx

yy

yyyσνσ

ε∂

dE-dE

=d= xy

xx

xxxσνσε∂

En el espacio existe σx, σy, σz

)--(E1= zyxx σνσνσε

)--(E1= xzyy σνσνσε

)--(E1= yxzz σνσνσε

En el plano

}+{-1E= yx2x ενεν

σ

}+{-1E= xy2y ενεν

σ

3.2 Relación entre Módulo de Elasticidad (E) y Módulo de Rigidez cortante (G)

τ = G ⋅ γ G = módulo de rigidez

Tomando un elemento cargado de tal forma que en los planos de τmáx → σ = 0 (σ1 = -σ2)

se produzcan en 45°.

σ2

y τ τ

σ1 σ1 y1

τ τ

σ2

x

x1

¡Cortadura pura!

El elemento tiene deformación lineal y angular

deformación lineal ε debido a σ1 y σ2

deformación angular γ debido a τ

a) OX = OY

}-{E1==

OXXX 1 σνσε 211 τσσσ ==−= 21

}+{1E

OX=XX 1 νσ

}-{E1==

OYYY

1221 σνσε

}+{1E

OY=YY 1 νσ

)}+(1E

+OX{1=XX+OX=OX 11 νσ

)}+(1E

-OY{1=YY-OY=OY 11 νσ

)+(1E

+1

)+(1E

-1=

oxoy=tg

1

1

νσ

νσ

β

b) del diagrama

2 ß = π/2 - γ

ß = (π/4) - (γ/2)

2tg+1

2tg-1

=)

2)tg(

4tg(+1

)2

tg(-)4

tg(=tg γ

γ

γπ

γπ

β

para ángulos pequeños tg γ/2 ≈ γ/2

por otro lado γ = τ/G

2G2

tg τγ≈

)+(1

E+1

)+(1E

-1=

2G+1

2G-1

=tgνσ

νσ

τ

τ

β

σττνσ =pero0=2-)+(1E

4G

)+2(1

E=Gν

)+2(1

E=

E)+2(1= xy

xy νγ

τντγ

para determinar esta relación se buscó un estado de esfuerzos donde σ1 = σ2 = τ; pero la

relación obtenida es completamente general.

3.3 Obtención del estado de esfuerzos mediante la medición de deformaciones

Las deformaciones en una estructura se pueden medir mediante la utilización de cintas

elastométricas (Strain Gages), las cuales, adheridas íntimamente al material a examinar,

experimentan las mismas deformaciones que él. Estas deformaciones producen variaciones

de la resistencia eléctrica del elemento S.G., la que es detectada mediante un puente de

Wheastone, relacionados con el cambio de resistencia con la deformación unitaria, a través

del factor del gage, se determina la deformación unitaria ε.

Determinación de Deformaciones Principales

σy

τyx

τxy τxy

σx σx

τyx

σy

y u

γy

(∆x+ ∆x εx)γy D B B'

θ

∆y εy

∆y C

C x γx x

O ∆x (∆y +∆y εy) γy

∆x εx

∆∆

∆∆′2y

2X

2y

2X

22

+

+-OD+OC=OB

BB=εθ

OC = ∆x + ∆x εx + (∆y εy + ∆y) γy

OD = ∆y + ∆y εy + (∆x + ∆x εx) γx

OC = ∆x (1 + εx) + ∆yγy + ∆y εyγy

OD = ∆y (1 + εy) + ∆xγx + ∆x εxγx

OB'= OB (1 + εu)

OB2= OC2 + CB'2

OB2(1 + 2εu+εu2) = [∆x(1+εx) + ∆yγy + ∆y εyγy]2 + [∆y (1+εy) + ∆xγx + ∆xεxγx]2

OB2(1 + 2εu+εu2) = [∆x(1+εx) + ∆xγy(1+εy)]2 + [∆y(1+εy) + ∆xγx(1+εx)]2

OB2(1+2εu) = ∆x2(1+2εx) + ∆y

2γy2(1+2εy) + 2∆x∆yγy(1+εx)(1+εy) + ∆y

2(1+2εy) +

∆x2γx

2(1+2εx) + 2∆x∆yγx(1+εy)(1+εx)

OB2(1+2εu) = ∆x2(1+2εx) + 2∆x∆yγy[1+(εx+εy)+εxεy)] + ∆y

2(1+2εy) + 2∆x∆yγx

[1 + (εx + εy) + εxεy]

∆x = OB cos θ

∆y = OB sen θ

γx + γy = γxy

1 + 2εu = (1+2εx) cos2θ + (1+2εy)sen2θ + 2γy senθcosθ

θγθεεθεεε sen2+

22)2+(1

-+22+1

+2

2)2+(1+22+1=2+1 xy

yyxxu

coscos

θγθεθ

εθεθ

εε sen2+2-22-+

21+2+

22++

21=2+1 xyyyxxu coscoscoscos

θγ

θεεεεε sen2

2+2

2-

+2+

= xyyxyxu cos

Maximizando

2-2=tg20=

dd

yx

xy

u

εε

γ

θθε

ε⇒

Obteniendo sen 2θε y cos 2θε

Se obtiene las deformaciones principales

)2

(+)2-

(2+

= 2xy2yxyx1(2)

γεεεεε ±

)2

(+)2-

(=2

2xy2yxx máγεεγ

2

2-

-=tg2xy

yx

γ

εε

θ γ

Las expresiones anteriores son similares a las obtenidas para los esfuerzos principales y los

planos donde se producen. Esto significa que también existe un circulo de Mohr para las

deformaciones.

El hecho que se pueda determinar experimentalmente las deformaciones en determinadas

direcciones significa que, conocido el material (sus características elásticas), se puede

determinar los esfuerzos en esas mismas direcciones. O sea, queda determinado el estado

de esfuerzos.

En la práctica las deformaciones se determinan mediante strain gages.

Determinación de esfuerzos principales por medición de deformaciones.

Conocidos por medición εx, εy, εu, θ, determinar el estado de esfuerzos.

y u

θ

εy εu

x

εx

θγ

θεεεεε sen2

2+2

2-

+2+

= xyyxyxu cos

Si θ = 45° ⇒ sen 90° = 1 ⇒ cos 90° = 0

2

+2+

= xyyxu

γεεε

γ xy = 2εu - εx - εy

)+2(1

E=G= xy

xyxy νγ

γτ

)+(-1E= yx2x ενεν

σ )+(-1E= xy2y ενεν

σ

)+(-1E=)+++(

-1E=+ yxxyyx2yx εενενεενεν

σσ

)-(+1E=)}-)(1-{(

)+)(1-(1E=- yxyxyx εε

ννεε

ννσσ

))+2(1

E(+))-(

)+2(1E((-)+)+(

)-2(1E= 2xy2

yxyx1(2) νγ

εεν

εεν

σ

εεεεεεενν

εεσ uyux

2u

2y

2x

yx1(2) 4--4+4+2+2

)+2(1E+

)-2(1)+E(

= _

εε

εεεεε

γ

θyx

yxu

yx

xy

0 ---2

=

2-2=tg2

3.4 Elementos cargados axialmente, estáticamente indeterminados

En estructuras y órganos de máquinas siempre es posible determinar las fuerzas por medio de

las ecuaciones de equilibrio mecánico, cuando la estructura u órgano están estáticamente

determinados. Pero cuando el número de fuerzas (desconocidas) y distancias desconocidas,

supera el número de ecuaciones independientes aplicables, se dice que la estructura está

estáticamente indeterminada, y es necesario formular ecuaciones adicionales que involucren

la relación entre las fuerzas y las deformaciones de los elementos, como también la geometría

de la deformación.

Procedimiento:

1. Dibujar diagrama de cuerpo libre y plantear las ecuaciones de equilibrio para el

sistema.

2. Enumerar las incógnitas.

3. Si el número de ecuaciones de equilibrio, es superado por el número de incógnitas se

debe plantear las ecuaciones de ley de Hooke para cada elemento deformado y la

correspondiente ecuación geométrica de deformaciones.

4. Hasta lograr igual número de incógnitas que de ecuaciones independientes planteadas,

se obtiene los resultados.

3.4.1 Indeterminación estática por carga axial

Ejemplo: Determinar las fuerzas en cada una de las barras que soportan al bloque homogéneo

y totalmente rígido, si se conoce lo siguiente: la, Sa, Ea, σel a; lb, Sb, Eb, σel b; lc, Sc, Ec, σel c

a b

a c b

A C B

A C B

G G

a b

Equilibrio Mecánico

ΣFy = 0 0=−++ GCBA (1)

ΣF(A) = 0 02

)( =⋅+

−⋅++⋅ GbaBbaCa (2)

Hay 2 ecuaciones independientes: (1) y (2); y 3 incógnitas: A, B, C. El problema es

estáticamente indeterminado o hiperestático. Sobra un elemento para asegurar el equilibrio,

para su resolución se debe utilizar la Ley de Hooke, que relaciona la fuerza que actúa sobre

cada barra con su deformación correspondiente.

A

C B

∆la

A C B ∆la ∆lc ∆lb

aa

aa ll

SEA ∆⋅

⋅= (3)

bb

bb ll

SEB ∆⋅

⋅= (4)

cc

cc ll

SEC ∆⋅

⋅= (5)

al-l=

b)+(al-l acab ∆∆∆∆ (6) Ecuación geométrica de deformación

ahora hay 6 ecuaciones y 6 incógnitas A, B, C, ∆la, ∆lb, ∆lc, quedan determinado el problema.

Se debe comprobar que cada barra se deformó elásticamente y que su comportamiento actuó

dentro de la Ley de Hooke, para ello se debe verificar que los esfuerzos producidos no

superen los límites de elasticidad

celc

cbelb

baela

aAC=,

AB=,

AA= σσσσσσ ≤≤≤

Si una de las barras, por ejemplo C supera su límite elástico; entonces no es válida (5)

cc

cc ll

SEC ∆⋅

⋅≠ ; pero en cambio la barra c entra en fluencia, deformándose sin aumentar el

esfuerzo; por lo tanto celc σσ = ccel SC ⋅=→ σ (7)

σ σel c Ε Se debe recalcular todo con esta nueva ecuación, y verificar nuevamente que los nuevos

esfuerzos en las barras a y b no superen su correspondientes límites elásticos.

Ejemplo

Determinar las fuerzas en cada tramo, los esfuerzos en cada tramo, y el desplazamiento de C.

A: acero al carbono de 3,36 mm φ

σel = 2800 kgf/cm2

B: tubo de aluminio 1400 mm2

Material perfectamente elasto-plástico

P = 14000 kgf

Ea = 2,1x106 kgf/cm2

Eb = 2600/3,5x10-4 = 0,7428x106 kgf/cm2

1) ΣFy = 0 ⇒ FA + FB = P

2) πda2

FA = ---- ⋅ σa = 1,4 σa

4

3) FB = Ab σb = 14 σb

∆la = ∆lb 4)

_ala = _blb

de 1) σa + σb = 14000

σa + 10 σb = 10000

4) l)E

(=l)E

( bb

ba

a

a σσ

σA 25 σB 50

------ = ----------

2.1x106 0,7428x106

11,9 σA = G6,845 σB

σA = 5,617 σB

σA = 10000 - 10 σB

-------------------

σB = 640 kg/cm2

σA = 3597 kg/cm2

σaelást < σA Por lo tanto no rige la ley de Hooke para A

Luego, σA = 2800 kg/cm2

pero si rige la ecuación de equilibrio (1)

σA Aa + σB AB = 14000

2800⋅1,4 + σB14,00 = 14000 /:1.4

10000 - 2800

σB = ----------------- = 720 kg/cm2

10

σ∆ = 2800 kgf/cm2 ⇒ F∆ = 3920

σB = 720 kgf/cm2 ⇒ FB = 10080

Ejemplo

b = poste de acero, sw 50 x 50 mm2 de sección

c = barra de aleación de aluminio de 40 x 25 mm2 de sección

a = rígido

Se supone articulaciones con pasadores lisos y constante de temperatura.

Determinar Padm sin que los esfuerzos excedan de 1050 kgf/cm2 para el acero; ni 1250

kgf/cm2, para la aleación de aluminio.

Eacero = Eb = 2,1¨106 kgf/cm2

Eal = Ec = 7,1¨105 kgf/cm2

Ea _ ý

õMD = 0 300 C + 100 B - 300 P = 0

pero B = σb¨Ab = σb¨50 x 50 = 2500 σb

C = σc¨Ac = σc¨40 x 25 = 1000 σc

luego 3000 σc + 2500 σb = 3P

analizando las deformaciones

300l =

1000,05 + l cb ∆∆

∆lc = 3∆lb + 0,15

aplicando la ley de Hooke, pues se supone ambas barras trabajando dentro del rango elástico.

0,15 + 102,13153 =

107,1710

4b

3c

⋅⋅

⋅⋅ σσ

El = l

b

bbb

⋅∆ σ

El = l

c

bcc

⋅∆ σ

σb = 1050 kgf/cm2 = 10,5 kgf/mm2

de (2) σc = 6,225 kgf/mm2

de (1) P = 1/3 (3000¨6,225 + 2500¨10,5) = 14975 kgf

Ejemplo:

Se tiene una estructura simétrica de 3 barras, cargada verticalmente por una fuerza P.

Determinar la tensión en cada barra.

0 β β

1 β β 1 F0

F1 F1

P P

ΣFy = 0 F0 + 2F1 cos ß - P = 0 (1)

Considerando que el ∠ß no cambia (pequeñas deformaciones dentro del límite elástico)

0

1 β β 1

δ1 δ0

δ1 = δ0 cos ß (2)

l=

l=

E=

1

0

1

1

1

11

βδδσεcos (3)

0

0

0

0

Elσδ

= (4)

0

00 S

F=σ (5)

1

11 S

F=σ (6)

3.4.2 Indeterminación Estática debido a Efecto Térmico

• La mayoría de los materiales usados en ingeniería, se dilatan con el calor y se contraen

con el frío.

• La dilatación o contracción debido a la variación de la temperatura en 1°C, se designa

como el coeficiente de expansión térmica α, y característico para cada material.

• La deformación debido al cambio de temperatura en ∆T °C es εT = α ∆T

• El coeficiente de expansión térmica es aproximadamente constante para un amplio tango

de temperatura (en general α aumenta, cuando la temperatura disminuye).

• Para un material homogéneo e isotrópico, se aplica el mismo coeficiente α en todas

direcciones.

Ejemplo:

Si se tiene una barra de acero de 25 mm φ empotrada en ambos extremos en la distancia de 1

m. Determinar el esfuerzo que se induce al elevar la temperatura de 20°C a 80°C.

E = 2,1 x 106 kgf/cm2

αst = 12,2 x 10-6 m/m°K

∆T = 60°C = 60°K

A0

d0

l0

∆lT dilatación térmica

F F

∆lE

∆lT = α l ∆T dilatación térmica

Ley de Hooke

TE ll ∆=∆ Geometría

TllE

AF

∆⋅⋅⋅== 000

ασ

TE ∆⋅⋅= ασ Es el esfuerzo axial inducido térmicamente

El esfuerzo inducido térmicamente se puede adicionar algebraicamente al esfuerzo axial

elástico siempre que no sobrepasen el límite de elasticidad.

EllAEF ∆⋅⋅

=0

0

Ejemplo:

La barra vertical es rígida.

Si se cambia la temp en ∆t ¿qué

esfuerzos se producen en las barras 1 y

2?

∆1 = l1 α1 ∆t

}

∆2 = l2 α2 ∆t

ΣM0 = 0 F1 a = F2 b

F1/F2 = b/a

∂1 = ∆1 - λ1

∂2 = ∆2 - λ2

ESlF=

ESF=

E=

l=

11

111

11

1

1

1

1

11 ∂

∂ _σε

ESlF=

ESF=

E=

l=

22

222

22

2

2

2

2

22 ∂

∂ _σε

ba=

2

1

λλ

∂1 = ∆1 - λ1 = ∆1 - a/b λ2

} -

a/b ∂2 = a/b(∆2 - λ2) = a/b∆2 - a/bλ2

∂1 - a/b ∂2 = ∆1 - a/b ∆2

ES)l(l)ba(-ESl

ESES)ba-(

=F1122

2221

221121

1

∆∆

∆∆ 2122

212

11

11

ba-=

ESlF)

ba(-

ESlF

∆∆ 2122

22

11

11

ba-=

ESlF

ba-

ESlF

Problema

La barra vertical es rígida.

Si se cambia la temperatura,

¿qué esfuerzos se producen en 1

y 2.

∆1 = l1 α1 ∆t

∆2 = l2 α2 ∆t

------------------

F1a = F2⋅b

------------------

∂1 = ∆1 + u

∂2 = ∆2 – v

uab=v

ba=

vu _

l+lES

F=+l

= 11111

1

11

11 _∆

∆∂ε

l+lESF=

+l= 2222

2

2

22

22 _∆

∆∂ε

∂1 = ∆1 + u

∂2 = ∆2 - v / a/b

a/b ∂2 = a/b ∆2 - u

∂1+ a/b ∂2 = ∆1 + a/b ∆2

ESlba+ESl

ESES)ba+(

=F1122

2

221

221121

1

∆∆

∆∆ 21222

12

11

11

ba+=l

ESF)

ba(+

ESlF

3.6 Esfuerzos en anillo en giro

ω = conocido

∂Fradial = dm v2/r

dm = γ/g (t l e d ρ)

dFr = (γ/g) h l r d ρ v2/r

dFr = pequiv x d∆ = pequiv l r d ρ

pequiv = γ/g h v2/r

σ = p d/2h

grh2rvh=

2

giroγ

σ v)g

(= 2giro

γσ

3.7 Llantas o anillos montados a presión (enzunchados)

∆l/l = σ/E

2d+d2

)d-d2(=

2D+D2

)D=d2(8)2D-

2d=r6)

ie

aie

ie

biee σσ∆

2Ri+R=3)R

Ebb=

RR1) eσ∆

2r+r4)

Eaa=

rr2) ieσ∆

E=

r2r]-r)+[(r2 σ

ππ ∆

E=

r2r2 σ

ππ∆

E=

rr σ∆

7) ∆R + ∆r = de - Di

Incógnitas ∆R, ∆r, r, R, D, σa, σb

Ejemplo:

anillo b = Cu E = 1,25x106 kgf/cm2

Di = 200 mm 123 GPa

De = 210 mm

a = Acero E = 2,1x106 kgf/cm2

di = 181 mm 207 GPa

de = 201 mm

R = (210 + 200)/4 = 10,25 cm

r = (201 + 181)/4 = 9,55 cm

∆R = (D - 20)/2

∆r = (20,1 - D)/2

(D - 20)/10,252 = σ/1,25x106

(20,1 - D)/9,552 = σ/2,1x106

(21 - 20)/(21 + 20) σb = (20,1 - 18,1)/(20,1 + 18,1) σa

b = Cu Eb = 1,25x106 kg/cm2 a = SA Ea = 2,1x106 kg/cm2

Di = 200 mm di = 180,4 mm

De = 210 mm de = 200,4 mm

σσ ab 18,04+20,0418,04-24,04=

20+2120-21

σσσσ abab 2,15336=38,08

2=411

9,52cm=4

D-20,04=10,25cmr=4

21+20=R

2D-20,04=r

220-D=R ∆∆

D - 20 = 1,64 σb⋅10-6 σa

- D + 20,04 = 9,06667⋅10-6 σa +

σa = 0,04⋅106/44,38177 = 0,0009⋅106 kg/cm2

σb = 1940,6 kg/cm2

D = 20 + 0,031825 = 20,031825 cm

4. TORSION

En el diseño de máquinas y de algunas estructuras se presenta frecuentemente el problema de

transmisión de torque o potencias rotacionales.

Considerando la acción que el rotor de un motor eléctrico produce en sobre la carga, a través

del machón de acoplamiento, se tiene que el eje es un elemento sometido a torsión.

Mm

Mc

Mm

Mc

4.1 Esfuerzos debido a la torsión

En términos relativos, se puede considerar un extremo empotrado; mientras el otro, se tuerce

debido al momento de torsión.

x φ

dx d

l

φ r

x dx l

Se puede apreciar que el cilindro se tuerce, pero no se deforma (mantiene el diámetro y el

largo); o sea, cada elemento de disco que conforma el cilindro gira con respecto al anterior,

pero sigue siendo disco desarrollando la generatriz deformada. Se puede apreciar que el

elemento cuadrado, comprendido entre dos generatrices y el disco infinitesimal, se

distorsiona transformándose en rombo. Para que ello ocurra será indispensable que actúen

esfuerzos cortantes.

τρ

τmáx

R

ρ

τ = γ ⋅ G

lr=r

dld=tg ⋅

=ϕϕγγ τmáx

τρ

γ depende linealmente del radio ρ

ρϕγ ρ ⋅=l

ρϕτ ⋅⋅=l

G

R= máx

ρττ ρ ⋅ dA

ρ

El momento de torsión R

dMt = ρ (dA τρ)

dAR

=dA R

=M 2A

0

máxmáx

A

0t ρ

τρ

ρτ ∫∫ ⋅⋅

Se define el Momento de Inercia Polar ∫=⊗

A

dAI0

2ρ cm4

⊗⋅ IR

=M máxt

τ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⊗

RIM t

máxτ

Se define el Módulo de Sección Polar RI

W ⊗⊗ = cm3

para una sección circular

16d=W

32d=I

34 ππ⊗⊗

4.2 Deformación por torsión

Para la obtención del ángulo ϕ de giro de un plano respecto a otro separado una distancia l

=GR

RI

lM= t

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅

⊗

ϕ

GIlM= t

⋅⋅

⊗

ϕ es la relación elástica entre la carga Mt y la deformación ϕ

donde: ϕ es el ángulo de giro de un plano respecto alotro

GI ⋅⊗ es la rigidez torsional

G rigidez del material

⊗I rigidez por la forma

l es la distancia entre los planos

4.3 Indeterminación estática en torsión

(1) ΣMx = 0 M∆ + MB - MC = 0

IG

aM=entramoa)a

AC/A

_ϕ

IG

bM=entramob)b

bC/B

_ϕ

pero ΨC/A = ΨC/B (A y B fijos)

32d=Icon)

dd(

ab=

MM(2) b

4

bb

a4

b

a π_

32da=Icon

IGbM=

IGaM 4

ab

b

a

a π_

__

4.4 Esfuerzos principales en torsión pura

σu = - τxy sen 2θ

El máximo esfuerzo normal se produce a 45° con respecto al de cortadura máxima.

σx = 0

σy = 0

τxy = Mt/W

Un material dúctil falla por cortadura por lo tanto la falla se producirá en plano sometido a

τmáx.

ττσσ

τ xy2xy

2yxm =+)

2-

(=x

En material frágil falla por tracción por lo tanto la falla se producirá en el plano sometido a

esfuerzo de tracción máximo.

Ejemplo:

Un eje de acero está en equilibrio bajo la acción de tres torques.

Determinar:

a) El esfuerzo en corte máximo

b) El ≠ de torcedura de B respecto a A

1) ΣMx = 0 T∆ - TB + TC = 0

T∆ = TB - TC

= 3000 - 750 = 2250 m kgf

2) ΣMx = 0 T∆ - TB + TC = 0

13"40=259"5846"+04-0=B/A+= C/BC/A ′°′°′°ϕϕϕ

846"40=d0,014187ra=

cmkgf

108,077cm981,75

cmkg150cm107,5=GJlT=

254

4

b

bCc/B ′°

•

•ϕ

259"50=0,0154rad=

cmkgf

108,077cm4970,1

cmkg275cm102,25=GJlT=

254

5

a

aaB/A ′°

•

•ϕ

cm339,5kgf/=cm

cmkgf662,68

102,25=WT==x 2

3

5

axy(a)m (a)

•∆ττ

cmkgf382,65=

cmcmkg

101,96107,5=

WT==x 232

4

b

Cxy(b)m (b) •

•ττ

196,35=16d=Wcm662,68=

1615=

16d=W

3b

b3

33a

aπππ

981,75=32d=Ikm497,0=

3215=

32d=I

4b

b4

44

aπππ

Combinación de cargas axiales y torsionales

269,26+-100=250+)2

200((-)+2

200-=a) 221(2) _σ

cmkg400=

23,019204-=

WT

2b

2xt

_τ

cmkg-266,7=

14,733928-=

AE=b) 2

bxσ

cmkg-250=

24,546135=

W)T-T(= 2

a

12xt

_τ

cmkg-200=

19,6439280-=

AE=a) 2

axσ

cm14,7314,73=4

)d-D(=A 322

bπ

cm24,54=16

5=16d=W 3

33a

aππ

_

cm19,64=45=

4d=A 2

22a

aππ

23,01=516

)52,-5(=D16

d-d(=W444

b4b

b •ππ

_

σ1 = 169,26

σ2 = -369,26

τmáx = 269,26

421,64+-133,33=400+)2

266,7(+27266,-= 22

1(2) __σ

σ1 = 288,29

σ2 = -554,97

τmáx = 421,64

4.5 Transmisión de Potencia Rotacional

Potencia es la razón entre el trabajo realizado y el tiempo empleado en ello. En la

transmisión de potencia rotacional se emplea generalmente ejes de sección circular.

ωφ T=dtdT=

dtdW=N

N = potencia en watt [Nm/s]

T = momento torsor o torque Nm

W = velocidad angular rad/s

Pero la potencia, por lo general, se dá HP, la velocidad de los motores en R.P.M. y el

Momento torsor se necesita en cm kgf.

Mt = 71620 N/n (cm kgf)

con

N = potencia en HP

n = velocidad de rotación en R.P.M.

Ejemplo

Un eje de acero de un motor eléctrico entrega una potencia de 10 HP a 1500 R.P.M., si su

diámetro es 20 mm, determinar los esfuerzos máximos, normales y cortante y el ángulo de

torsión si su largo es 100 mm.

cmkg304=

1,5708477,467=

WM= 2

0

txyτ

cm1,5708=16

52,=16d=W 3

33

0ππ

gf477,467cmk=1560

1071620=M t

τmáx = 304 [kgf/cm2]

σ1 = 304 [kgf/cm2]

σ2 = -304 [kgf/cm2]

cmkg/108,077=cmkg

0,3)+2(1102,1=

)+2(1E=G 25

2

6•

•ν

1,5700=32

2=32d=J

4 ππ

22"92=0,0376rad=rad1037,6=108,0771,5708

100477,467=JG

lM= 3-5

t ′°•••

•ϕ

Esfuerzos cortantes en flexión

Si se compara las deformaciones experimentadas por dos vigas del mismo material y de igual

sección, sometidas a flexión: una de sección compacta y otra de sección compuesta de varias

láminas, se podrá apreciar algunas diferencias.

En el primer caso, la parte superior de la viga se acorta (compresión), mientras que la inferior se

alarga (tracción); manteniéndose constante el largo de la línea que pasa por los centroides (eje

neutro).

En el segundo caso, todas las láminas se deflectan igual y quedan con el mismo largo.

Induvidualmente, cada lámina se acorta en la parte superior, y se alargan en la parte inferior.

En la sección compacta, lo que origina la contracción en la parte superior son fuerzas internas de

compresión; mientras que el estiramiento en la parte inferior, es producido por fuerzas internas de

tracción. Estas fuerzas se transmiten entre las láminas, a traves de las superficies de contacto

(tangencial), que en la viga compacta estarían pegadas.; mientras que en la viga laminada, no se

pueden producir, por no existir el pegamento, produciéndose el deslizamiento entre láminas.

Cuando hay variación del momento flector, debe existir fuerza cortante, por lo tanto, esfuerzo de

corte. dx

dMV f−=

yxτ

xyτ

Mf Mf+dMf

dx

En el elemento sombreado, el esfuerzo de corte yxτ indicado debe valer cero, pues no hay

material que sea capaz de transmitirlo; pero más cerca del eje neutro, existe material capaz de

transmitir esfuerzo de corte. En toda la sección, entonces, se produce esfuerzos de cortadura,

debido a la existencia de V, que tienen una distribución tal que en los extremos superior e inferior

deben ser cero.

Analizando un elemento de borde, a la distancia y del eje neutro

Aτ

y c bb b(y)

V

F F+dF c

y

dT V+dV

dx ξ

∑ = 0XF 0=−−+ dFFdTF

dFdT =

∫∫∫ ⋅⋅=⋅⋅

=⋅=ΘΘ

C

Y

fC

Y

fx dA

IM

dAI

MdAF ξ

ξσ

∫ ⋅⋅=Θ

C

Y

f dAI

dMdF ξ

definiendo ∫ ⋅=C

Y

dAQ ξ , como el momento del área Aτ respecto al eje neutro

Θ

⋅=

IQdM

dT f

)()()( Y

f

Y

f

YXY bI

Qdx

dMbQ

dxIdM

bdxdT

⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅

⋅=

⋅=

Θ

τ =

)(YXY bI

QV⋅⋅

=Θ

τ

Esfuerzos cortantes en viga de sección rectangular

τxy

c y 2

yc +

h

b

( ) ( )22

22ycbycycbQ −⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−⋅=

12

3hbI ⋅=Θ , ch ⋅= 2 , hbA ⋅=

( ) ( ) Vhb

yhVhb

ycbbIVQ

YXY ⋅

⋅⋅⋅−⋅

=⋅⋅−⋅⋅

=⋅⋅

=Θ

3

22

22

22

)( 2436τ

en la sección rectangular, para: y=+h/2, τXY=0

para: y=--h/2, τXY=0

para: y= 0, τXY=τmáx

ττ ⋅=⋅

⋅=23

23

hbV

máx

τ

τ⋅23

Esfuerzos cortantes en viga de sección circular

y d

b=d

Evaluando directamente el esfuerzo cortante en el plano neutro

1234

8

22 drdyAQ =⋅⋅

⋅⋅

=⋅=π

πτ

64

4dI ⋅=Θπ

τππ

τ ⋅=⋅

⋅=⋅

⋅

⋅=

34

434

64

1224

2

dV

dd

dVXY

Esfuerzos cortantes en viga de sección compuesta (I o cajón)

t

bA bB

H

e

B τA

τB

El esfuerzo de corte depende del momento de área Q y del ancho de viga en cortadura b. En los

puntos A y B el momento de área es igual, pero el ancho es diferente, disminuye abruptamente de

un valor B a e; por lo tanto, el esfuerzo cortante aumenta desde un valor τA a un valor τB

Esfuerzos principales en vigas

La combinación de esfuerzos normales y cortantes que se produce en una viga en flexión puede

provocar que los esfuerzos principales se ubiquen en puntos diferentes a donde se ubican

considerando solamente el esfuerzo normal.

236,516,37*4,1140*12 cmA =−⋅=

cmkgAq f4,0

100085,736,51

10000 =⋅

=⋅

=γ

433

49,500.1312

6,374,114012 cmI =⋅−⋅

=Θ

Los diagramas de Fuerza Cortante V y de Momento Flectante Mf indican que los valores

máximos de ambos se encuerntran en el empotramiento; por lo tanto, será allí donde se

produzcan los mayores esfuerzos normales y cortantes.

fmáx kglqlqV 20802200202004,0

20 =⋅

+⋅=⋅

+⋅=

fmáx kgcmllqlqMf 333,141333

620020

22004,0

322

2220 =

⋅+

⋅=⋅

⋅+

⋅=

Hay cuatro puntos de la viga, en el plano de empotramiento que son interesantes de determinar

sus espuerzos principales: A, B, B’ y C, que están sometidos a esfuerzos cortantes y esfuerzos

normales.

A)

238,2092049,500.1333,333.141

cmkg

cIM ff

x =⋅=⋅Θ

=σ

267,1121

120cmkg f

y −=⋅⋅

−=σ

( )

( )20

1249,135002002080

cmkg

bIQV f

yxy =

⋅⋅⋅

=⋅Θ⋅

−=τ

( ) 53,10586,10302

67,138,2092

67,138,209 22

2/1 ±=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

±−

=σ

21 4,209cmkg f=σ 22 67,1

cmkg f−=σ 253,105

cmkg f

máx =τ

B)

281,1968,1849,500.1333,333.141

cmkg

yIM f

Bf

x =⋅=⋅Θ

=σ

67,1<yσ Este valor decrece en forma de parábola cúbica, por lo que no se considerará

( )

( )259,3

1249,135004,19122,12080

cmkg

bIQV f

yxy −=

⋅⋅⋅⋅

−=⋅Θ⋅

−=τ

( ) ( ) 47,98405,9859,32

081,1962

081,196 22

2/1 ±=−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

±−

=σ

21 88,196cmkg f=σ 22 065,0

cmkg f−=σ 247,98

cmkg f

máx =τ

B’)

281,1968,1849,500.1333,333.141

cmkg

yIM f

Bf

x =⋅=⋅Θ

=σ igual que en B

67,1<yσ valor tan despreciable como en B

( )

( )2734,71

6,049,135004,19122,12080

cmkg

bIQV f

yxy −=

⋅⋅⋅⋅

−=⋅Θ⋅

−=τ

( ) ( ) 776,121405,98734,712

081,1962

081,196 22

2/1 ±=−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

±−

=σ

21 18,220cmkg f=σ 22 37,232

cmkg f−=σ 278,121

cmkg f

máx =τ

C)

0== yx σσ

( )

( )296,98

6,049,135004,98,186,04,19122,12080

cmkg

bIQV f

yxy −=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

−=⋅Θ⋅

−=τ

( ) ( ) 96,9896,982

002

00 22

2/1 ±=−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

±−

=σ

21 96,98cmkg f=σ 22 96,98

cmkg f−=σ 296,98

cmkg f

máx =τ

Finalmente, los esfuerzos normales más grandes y los cortantes más grandes se producen en el

punto B’

Flujo de cortadura

bI

QVXY ⋅

⋅=

Θ

τ / x b

QIVbXY ⋅=⋅Θ

τ constituye una distribución de fuerza cortante, igual que q, pero tangencial a

la superficie que lo soporta, se denomina Flujo de Cortadura f

QIVf ⋅=Θ

Como V e I son constantes en una sección, el flujo de cortadura depende directamente de Q, del

momento de área respecto al eje neutro.

Esfuerzos cortantes en el alma llena, en alma calada, en soldadura, en remaches.

d l t

dd h

e

p p b

El flujo de cortadura en el eje neutro será

QIVf ⋅=Θ

A1

2211 yAyAQ ⋅+⋅= A2 1y

2y

luego

=⋅ pf será la fuerza cortante generada en un tramo igual al paso p = (d+l),

pero solamente existe material en un largo l para resistir esa fuerza cortante

elFS

el fladm ⋅⋅

⋅=⋅⋅

2σ

τ

eIpFSQVl

fl ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=Θσ

2 será el largo mínimo de alma en un paso p dado

l cordón de soldadura t

h

e

p p b

El flujo de cortadura en el cordón de soldadura será A

QIVf ⋅=Θ

a y

a

yAQ ⋅=

2

a = ancho mínimo de soldadura sometida a cortadura

como son dos los anchos de soldadura, el ancho total será 2⋅a

luego

=⋅ pf será la fuerza cortante generada en un tramo igual al paso p,

pero solamente existe material en un largo l para resistir esa fuerza cortante

22

2 ⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅ alFS

al fladm

στ

ΘΘ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=Ia

FSpQVaI

pFSQVlflfl σσ

22

2 será el largo mínimo de alma en un paso p dado: a y p,

se determina l

l

p