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AULA POLITÈCNICA 15
Resistencia de materialesProblemas resueltos
AULA POLITÈCNICA / ETSEIB
EDICIONS UPC
Miquel Ferrer BallesterJosé Luis Macías SerraFrederic Marimón CarvajalM. Magdalena Pastor ArtiguesFrancesc Roure FernándezLluís Vilaseca Vilanova
Resistencia de materialesProblemas resueltos
La presente obra fue galardonada en el quinto concurso"Ajuts a l'elaboració de material docent" convocado por la UPC.
Primera edición: septiembre de 1999Reimpresión: febrero de 2001Segunda edición: septeimbre de 2002
Diseño de la cubierta: Manuel Andreu
© los autores, 1999
© Edicions UPC, 1999Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SLJordi Girona Salgado 31, 08034 BarcelonaTel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885Edicions Virtuals: www.edicionsupc.esE-mail: [email protected]
Producción: CPDAAv. Diagonal 647, ETSEIB, 08028 Barcelona
Depósito legal: B-30564-2002ISBN: 84-8301-621-4
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las san-ciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o pro-cedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares deella mediante alquiler o préstamo públicos.
Prólogo 7
Prólogo
El presente libro es una colección de problemas resueltos destinada a facilitar el aprendizaje de laResistencia de Materiales a través de su aplicación a la resolución de ejemplos concretos. Ha sidoelaborado pensando en su uso por parte de estudiantes de Ingeniería y de Arquitectura, como textocomplementario a un libro de teoría de Resistencia de Materiales. En concreto su estructura, enfoque ynomenclatura se adapta especialmente al texto Resistencia de Materiales de F. Roure, F. Marimón yX. Ayneto, que actualmente edita CPDA de la ETSEIB- UPC, en forma de fascículos.
Se supone que antes de abordar los problemas de cada capítulo, el lector habrá adquirido losconocimientos de teoría correspondientes, y por ello no se repasan de forma explícita en el presentelibro. Se supone asimismo que el lector ha seguido previamente un curso de mecánica de medioscontinuos, y que dispone de los conocimientos de elasticidad lineal necesarios. Al efecto se hanincluido en la Bibliografía textos de teoría sobre ambos aspectos.
Los temas que cubre este libro son los clásicos de un primer curso de Resistencia de Materiales: lostemas básicos relativos a la pieza prismática. Una rápida ojeada al índice ilustra perfectamente elalcance del temario abordado. Se ha centrado el texto en estos temas básicos para adaptarloprecisamente al desarrollo de un curso de duración cuatrimestral; aunque al final de algunos capítulosse han introducido también problemas más complejos (van marcados con un asterisco), para aquelloslectores que deseen profundizar en dichos temas.
Los casos más sencillos, introductorios de cada tema, no se han incluido en este libro como problemas,porque ya suelen encontrarse como ejemplos introductorios en los libros de teoría, y no se haconsiderado necesario repetirlos. Tampoco se ha pretendido elaborar una colección exhaustiva deproblemas, sino seleccionar unos cuantos de cada tema, para ilustrar sus diversas facetas.
A pesar de las numerosas revisiones que hemos hecho del texto y de las pruebas de impresión,estamos seguros de que algunos errores y erratas habrán conseguido colarse (confiamos en que seansólo algunas), y pedimos por ello disculpas al lector.
Finalmente queremos expresar nuestro agradecimiento a los siguientes estudiantes de la ETSEIB que,como becarios del Departamento, han colaborado en la esmerada confección del texto, las fórmulas ylos dibujos: Pedro J. Campos San Facundo, Antonio Cerra Franco y Robert Gimeno Feu.
Los autores
Barcelona, junio de 1999
Índice 9
Índice
1 Diagramas de esfuerzos.......................................................................................................11
2 Esfuerzo normal...................................................................................................................25
3 Esfuerzo de cizalladura pura................................................................................................35
4 Características de secciones.................................................................................................45
5 Dimensionado de secciones a flexión..................................................................................53
6 Flexión desviada y flexión compuesta.................................................................................75
7 Torsión y esfuerzos combinados..........................................................................................89
8 Corrimientos en piezas prismáticas....................................................................................131
9 Piezas y sistemas hiperestáticos.........................................................................................139
10 Inestabilidad elástica...........................................................................................................161
Bibliografia................................................................................................................................185
Bibliografía 185
Bibliografía
COURBON, J. Resistencia de materiales (I y II). Madrid, Aguilar, 1968.
LAROZE, S. Resistance des materiaux et Structures (I,II,III y IV). París, Eyrolles-Masson & Cia, 1974.
LOVE, A.E.H. A treatise on the mathematical Theory of Elasticity. New York, Dover, 1944.
NEUBER, H. Mecánica técnica (II). Madrid, Dossat, 1977.
ORTIZ, L. Elasticidad. Madrid, Mc Graw-Hill, 1998.
ORTIZ, L. Resistencia de materiales. Madrid, Mc Graw-Hill, 1991.
ROURE, F.; MARIMÓN, F.; AYNETO, X., Resistencia de materiales (Fascículos). Barcelona, CPDA-ETSEIB, 1998
TIMOSHENKO, S.P., Resistencia de materiales. Madrid, Espasa-Calpe, 1967.
UGURAL, A.C.; FENSTER, S.K. Advanced Strength and applied Elasticity. New York, Elsevier, 1987.
1 Diagramas de esfuerzos 11
1 Diagramas de esfuerzos
12 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 1.1
Determinar los diagramas de esfuerzos en la estructura de la figura.
Resolución:
a) Descomposición de la fuerza exterior aplicada en el extremo de la barra BE.
b) Cálculo de las reacciones.
Tomamos momentos respecto al punto C:
0cM N3,33-=N3
1000800260036006 AVAV RR
Suma de fuerzas verticales y horizontales:
N3
19006003
10006000 CVCVAVV RRRF
N6000 AHH RF
N600222600
N600222600
V
H
F
F
Ejes globales
A
B
C
E
D
6 0 0 2 N45o
3 m 3 m 2 m
2 m800 Nm
A
B
C
E
D
600 N600 N
RAV
RAH RCV
800 Nm
1 Diagramas de esfuerzos 13
c) Cálculo de momentos en los tramos AB y BC.
TramoAB: Nm10003
100)( BAAV MMxxRxM
Tramo BC:
Diagramas.
Equilibrio del nudo B.
Nm8002600360063
100
Nm11001200033
1002600)3(600)(
C
B
AV
M
M
xxRxM
600 N
600 N
600 N
31900 N
B
100/3 N
B
E
A B C D+
600 N
600 N
A B C DB
E
- -
+1200 N·m
-100 N·m
-800 N·m
A B C D
B
E
+
600 N
19003
N
-N
T
M
1100 N·m
-
-
N3100
14 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 1.2
Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura, apoyada en los extremos y sometida auna carga repartida triangular.
Resolución:
a) Cálculo de la reacciones.
Resultante de la carga N48002
61600Q .
N1600
N32006
44800
4480060
4800
A
B
BA
BA
R
R
RM
RR
A B
6 m
4 m 2 m
4800 N
RBRA
6 m
A B
x
mN1600
T
1 Diagramas de esfuerzos 15
b) Cálculo de los esfuerzos de sección.
Sección situada a una distancia x del apoyo A:
T:
2
0
2
00
1216001600
2616001600
6160016001600
xT
ddqT
x
xx
M:
6616001600
32616001600
32616001600
6160016001600
333
0
32
00
xx
xxxM
xxM
dxxdxqxM
x
xx
L = 6 m
A B
x
mN1600
1600 N 3200 N
x-
d
16 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
c) Diagramas.
d) Punto de Mmáx
Nm369546,312
160046,31600
m46,31212
160016000
0
2máx
2
M
xxT
TTx
M
1600 N
3695 Nm
3200 N
A T-
M
+
+
1 Diagramas de esfuerzos 17
Problema 1.3
Determinar los diagramas de esfuerzos del pórtico inclinado de la figura.
Resolución:
Para el cálculo de las reacciones, planteamos las ecuaciones de la estática.
N23000222002240040
N24000
022000
CCA
AHH
CAVV
RRM
RF
RRF
N2200
N2400
2 m
2 m 2 m
45 C
B
A
2200
2400
C
B
A
RAV RC
RAH
18 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
por tanto, NRAV 2100 y descomponiendo cada reacción en las direcciones de las barras,
Diagrama
Diagrama
Diagrama
2400
400
400
400
400
2400
100100
100100
2100
2100
300300
300 300
2300
2300
N
+ -
CA
B
500 N
-300 N
T
+ -
CA
B
300 N
300 N
M
1 Diagramas de esfuerzos 19
M = 300 · xNm2600
0
B
A
M
MM = 300 · x’
Nm2600
0
B
C
M
M
Método alternativo para hallar las reacciones: resolución gráfica.
Para que las tres fuerzas estén en equilibrio, sus líneas de acción deben cruzarse en punto O (ya que
00M ). A partir de la línea de acción vertical de RC, se obtiene O.
A
B
x +C
B
300 N
x’+
2200
2400
C
B
RA
RC
F
FRC
RA
// OA
// OC
20 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 1.4
Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura.
Resolución:
Cálculo de las reacciones:
N6133
N44678300063660024000:
0300066004000:
B
CCB
CBV
R
RRM
RRF
Diagrama de momentos flectores:
Tramo AB:
Nm800004000
BA MM
xM
Tramo BC:
Nm6000Nm800022600261334000
2
CB MM
xxxM
Tramo CD:
0Nm60008446756600261334000
DC MM
xxxxM
Diagrama de esfuerzos cortantes.
Tramo AB:
N4000N4000N4000
BA TT
T
4000 N 3000 N
P1
A
P2B C D
p = 600 mlN
a = 2 m L = 6 m b = 2 m
1 Diagramas de esfuerzos 21
Tramo BC:
N1467N2133260061334000
CB TT
xxT
Tramo CD:
N3000N30004467360061334000
DC TT
T
El diagrama de momentos flectores pasa por un mínimo relativo en el punto E, donde la tangente eshorizontal, o sea:
m35,50260061334000:0 EE xxTx
M
ME = -4208 Nm
D
-8000
-6000
2133
-4000 -4000
3000 3000
-1467
M
( Nm )
( N )
T
-
--
++
E
xE
A
B C
a = 2 m L = 6 m b = 2 m
22 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 1.5
En la viga en voladizo de la figura, calcular las reacciones en el empotramiento y dibujar losdiagramas de esfuerzos cortantes y de momentos flectores en toda la viga.
Resolución:
a) Reacciones en el empotramiento.Comenzaremos por buscar el sistema de fuerzas que ejerce el empotramiento, dibujamos el diagramade sólido libre y obligamos al equilibrio. Sumando fuerzas y tomando momentos obtenemos:
mKN222105,04KN14
E
E
M
F Reacciones que ejerce el empotramiento sobre la viga.
1 m1 m 2 m0,5m
4 KN5 KN/m
2 m0.5m
4 KN
FE
10 KN
ME
1 m 2 m0.5m
4 KN
FE
ME
5 KN/m
1 Diagramas de esfuerzos 23
b) Diagramas
Tramo AB: M = 0 T = 0
Tramo BC:
KN100KN15
0
0mKN215
2
2
C
B
C
B
T
TxT
M
Mx
M
1 m2 m0,5
4 KN 5 KN/m
0,5
-
+
M
T
E D C B A
x
24 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Tramo CD:
KN10KN10KN10
mKN15mKN10mKN210
D
C
D
C
T
TT
M
MxM
Tramo DE:
KN14KN14KN14410
mKN22mKN15mKN5,34210
E
D
E
D
T
TT
M
MxxM
Estos diagramas se han obtenido tomando el origen de las x en el extremo A, de la derecha, porque eneste caso, es más cómodo. Si se determinan los diagramas tomando el origen de las x en el extremo dela izquierda E, tal como se hace habitualmente, el diagrama de momentos flectores, M, sale idéntico;pero el diagrama de esfuerzos cortantes sale opuesto (igual, pero de signo cambiado).
2 Esfuerzo normal 25
2 Esfuerzo normal
26 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 2.1
Tenemos una barra rígida que está suspendida por dos cables de igual diámetro 4 mm , y cuyosmódulos de elasticidad son: E1=2.1·105 MPa y E2=0.7·105 MPa. La longitud de la barra es de 600 mmy la de los cables 300 mm. Se considera despreciable el peso propio de la barra. Dicha barra estásometida a una carga puntual P=500 N.Calcular la posición x de la fuerza para que los puntos A y B tengan el mismo descenso.
Resolución:
Dibujamos el diagrama de sólido libre y obligamos el equilibrio. Además imponemos la igualdad dedeformaciones.
0)(0
0
xLPLRM
PRRF
AB
BAV
P=500 NA B
600 mm
x
300 mm4 mm 4 mm
E1
E2
P=500 NA B
RA RB
LBLA
2 Esfuerzo normal 27
N375N1254
5005003
370000
210000
:HookedeLey
2
1
21
ABBB
BABB
ABBAA
BA
RRRR
RRR
EER
RESLR
ESLR
LL
De la ecuación de los momentos obtenemos x:
mm1500)600(500600375
0)(
xx
xLPLRA
28 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 2.2
En la barra esquematizada en la figura adjunta los extremos A y D están empotrados. Determinar lastensiones en ambas secciones, cuyas superficies son: Aa=40 cm2 y Ab=80 cm2 .Hallar también el diagrama de esfuerzos axiles.
Datos: E=2·105 MPa.
Resolución:
FV 0
RA+ RD = 15 T = 150000 N
Ecuación de deformación
El tramo AC está comprimido, por tanto RA es un esfuerzo de compresión, y el tramo CD estátraccionado, por lo que RD es un esfuerzo de tracción.
Al estar los dos extremos , A y D, empotrados la variación total de longitud es 0; y el acortamiento deltramo superior es igual al alargamiento del tramo inferior:
CDBCAB LLL
Aplicando la ley de Hooke: LF LA E
b
CDD
b
BCA
a
ABA
AELR
AELR
AELR
B
C
1 m
3 m
1 m 15 T
A
Aa=40 cm2
Ab=80 cm2
D
2 Esfuerzo normal 29
252525 10801021000
10801023000
10401021000 DAA RRR
100030002000 DAA RRR
Resolviendo las ecuaciones, tenemos
T512N125000
T52N25000
.R
.R
B
A
Cálculo de las tensiones.
Tramo AB: (COMP.)MPa25.6mm1040N25000
22AB
Tramo BC: (COMP.)MPa125.3mm1080
N2500022BC
Tramo CD: (TRAC.)MPa625.15mm1080
N12500022CD
Diagrama de esfuerzos normales:
A
B
C
1 m
3 m
1 m 15 T
D
RA
RD
A
B
C
D
2.5 T
12.5 T
-
+
30 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 2.3
a) Las dos barras de la figura articuladas en sus extremos, de acero, de 2 cm de diámetro y de 3.5 mde longitud, soportan un peso P=5 KN. Calcular el descenso del punto C, siendo =20º.Datos: E=2,1·105 MPa.
b) Resolver para =0º.
Resolución:
a) Para =20º:
Del equilibrio del punto C se obtiene
sen2
2sen
PN
PN
Sea (CC1) el descenso del punto C, entonces el alargamiento de la barra AC, L, será C’C1
pudiendo considerarse el triángulo CC’C1 rectángulo en C’. Aquí es sen
L . Como por otra
parte:EANL
L , se tiene que:
mm13,134202.01014,3101.22
35005000sen2sen 2252EAPL
EANL
b) Para =0º:
N
PN
Equilibrio del punto C
N
N
P
A BC
P
L L
C1
P
L LC
C’C1
A B
2 Esfuerzo normal 31
De acuerdo con la estática de los sistemas rígidos, descomponiendo la fuerza P en las direcciones delas barras, se encontrarían, para los esfuerzos en las barras y para las reacciones, valores infinitamentegrandes. La solución evidentemente es inaceptable, ya que ni las barras ni los apoyos resistirían.
A fin de hacer desaparecer la aparente imposibilidad basta con considerar los alargamientos de lasbarras que toman direcciones no alineadas. Esto demuestra la necesidad de tener en cuenta lasdeformaciones en este caso.
Poniendo
tgL
(para ángulos pequeños)
el alargamiento de las barras vale
21111
ACACAC 2
2222
1
LLLL
Esta última igualdad proviene de la expresión:
1285
161
81
21111 43221 aaaaaa
Para a<<1 , pueden despreciarse las potencias de a y, por tanto, queda 2
11 aa .
El esfuerzo normal en una de las barras es:
2
2AEAEAN
Por otra parte, del equilibrio del punto C se deduce
2222sen
2 PAEPN
PNN
Resulta
3AE
P
3AE
PLL
32 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Aplicando los datos numéricos del problema:
mm1481014,3101.2
50003500 325
º42,2rad04229,03500148
L
N5911604229,02
50002P
N
2N/mm188314
59116AN
2 Esfuerzo normal 33
Problema 2.4
Hallar las reacciones del sistema y las tensiones en las barras articuladas AB y CB de la estructurarepresentada en la figura, suponiendo infinitamente rígida la barra horizontal DE, articulada en D.Barra AB: sección 40 cm2
Barra CB: sección 80 cm2
Se considera el mismo módulo de elasticidad, para todas las barras.
Resolución:Se trata de un sistema hiperestático.RBA y RBC siguen la dirección de la barra.
Ecuaciones de la estática:
T8044020
022
220
04022
220
DDB
BABCDH
BCBADV
VVM
RRHF
RRVF
E D
40 TRBA
RBC VD
HD
4 m2 m
2 m
2 m
B
C
A
E D
40 T
34 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
BBLBBL CBAB
Al ser deformaciones y ángulos pequeños:
BBBB
BCAB LL
Alargamiento barra AB= Acortamiento barra BC
Aplicamos la ley de Hooke:
BCBABCBA RRE
RE
R2
8022
4022
De la ecuación Fv = 0 tenemos:
040222
2280 BABA RR
con lo que,
T47.113T73.56 BCBA RR
De la otra ecuación despejamos: HD= - 40 T (sentido contrario al supuesto)
Cálculo de las tensiones:
2
2
cmKp1418
80113470
cmKp1418
4056730
AB
AB
B
B’
B’’45º
~45º
acort.LBC
LAB
alarg.
A
D
C
B E D
B’
B’’
A
C
3 Esfuerzo de cizalladura pural 35
3 Esfuerzo de cizalladura pura
36 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 3.1
a) Determinar el diámetro mínimo con el que se puede perforar una chapa de acero A-42b ( e=260N/mm2) de 5 mm de espesor suponiendo que el punzón tiene una tensión admisible a compresión,
adm= 500 N/mm2 .b) ¿ Qué fuerza máxima se ejercerá ?c) ¿ Qué adm debería tener el punzón para realizar un punzonado de 5 mm ?Nota: Suponer que el extremo del punzón es plano y horizontal.
Resolución:
a)
ddSF
dd
AF
echapa
admpunzon
6.2654526065.0
7,3924
500
max
22
max
mm76,66.26547,392 2min
chapamax
punzonmax dddFF
b) N179454
5002d
AF admmax
c) 2
2
mmN6765526065.0
45
admpunzonadm
adm
e
5 mm
Punzónadm = 500 N/mm2
Chapa de aceroe = 260 N/mm2
3 Esfuerzo de cizalladura pural 37
Problema 3.2
Dimensionar la cadena de una bicicleta con un coeficiente de seguridad s y suponiendo todo el pesodel ciclista sobre uno de los pedales.
P = 800 NR = 200 mm
Plato D=200 mmChapa eslabones: e=360 Mpa
Pasadores: e=260 Mpa
cilindros “centradores”
Resolución:
N1600mm100
mm200N800
2D
RPF
R
P
D
F FPD
R
e?
ba
d?
e?
38 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Dimensionado de la garganta ‘a’ de la chapa atracción pura:
2mm3,324080022
admadm
Fea
ea
F
MPa2405.1MPa360
adm
p.ej : a = 4mm e =1 mm
Dimensionado del pasador a cizalladura:
2
22
N/mm1385.1
2608.08.0
mm7.24
13842
800
admadm
minadm dddF
Dimensionado del pasador a aplastamiento:
2
'
mmN347
5.12602
mm3,213472
800
adm
minadm ddedF
mm7,23,2;7,2máx minmin dd
Dimensionado de la chapa en la zona del orificio del pasador
a tracción:
mm0,624017,22
800 minadm bbedbF
a desgarro:
mm8.104.521 minbdt
mm8,108,10;0,6 minmin bmaxb
El dimensionado final queda así:
F/2
F/2
F/2
F/2
3 Esfuerzo de cizalladura pural 39
mm8,10mm4
mm7,2mm1
bade
d= 2,7 mm
e=1 mm
b=10,8 mma= 4 mm
40 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 3.3
Dimensionar la unión esquematizada en la figura suponiendo que las chapas son de acero A-37b y lasuniones son roblonadas.
Datos:
e1 = 5 mm e2=e3
Chapas: Roblones: Tomar: se=1,5
Acero A37b Acero A37be=240 N/mm2
e=240 N/mm2
Resolución:
a) Unión 1
d1
t1 e1
F F/2 e2
e2
F/2
t1 t1
b
t1’
d1
d2
N?
e1 t1t1e2
t1’
d1 d2
e3
e3
3 Esfuerzo de cizalladura pural 41
Cizalladura:
maxseg
eadm Fdd
dddFT 2
12
1
21
21
21 1.20155,100
45.12408.0
442
Aplastamiento:
maxmax
adm
max
adm
max FddFFF
ed 1111 20005
5.12405.2
De las condiciones cizalladura y aplastamiento simultáneas obtenemos:
d1,optimo = 9.95 mm 10 mm = d1 Fmax = 20000 N
( fallará por aplastamiento de la chapa )
- Desgarramiento
mm202 111 tdt
Cálculo de la sección neta
260/1.5 = 160 N/mm2
mm35=mm10mm5
mmN160
N20000mm
N160
2
2 bAF
neta
max
Dimensionado de e2: las dos chapas e2 son del mismo material que la chapa e1 , tiene las mismasdimensiones y trabajan de la misma manera, por tanto:
mm5,22
2 1212
eeee
10 mm
t1=2d=20 mm
bFmax
20000 N
42 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
b) Unión 2
Atención: es un problema hiperestático. Aquí se presenta la solución concreta para el caso e e2
12 , y
con la hipótesis de roblón rígido; por lo que puede suponerse que la fuerza total se distribuye entre lastres chapas de la derecha de la manera indicada en la figura: F/4, F/2 y F/4.
Cizalladura:
22
22
22 74.49
45.12408.0
420000
444 d
Nd
Nd
NF
N
FT adm
Aplastamiento:
2222105.2
5.12405.2
220000
22 d
Nd
Ned
NF
N
Fadm
De las condiciones de cizalladura y aplastamiento obtenemos
2mm5mm97.4 22 Ndd
con lo que vemos que fallara antes por aplastamiento.
Desgarramiento:
mm1021 dt
Tracción:
Seguro que cumple ya que b es igual y F es menor.
e2
t1’
e1
F/4
F/2 F/2
F/2
e2 e3
F/4
N ?
d2
F F
e3
3 Esfuerzo de cizalladura pural 43
Problema 3.4
Hallar el coeficiente de seguridad seg de las piezas rectangulares de trabado para los perfiles deestantería metálica representados en la figura.
Acero A-42b
2cmKp2600e20 mm
10 mm
s ?
L = 50 cm
h = 20 cm
p = 100N/cm
44 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Resolución:
2
2pLM (momento a transmitir en la sección
de empotramiento)
N312520450100
422
22
H
HH
FhLp
hM
FMhF
N1250N5000501004 vv FLpF
N366612503125 2222VH FFT
FST (suponiendo una distribución constante de en la sección)
2N/cm8,161020
3366
28,98,162606.06,0
máxmáx
eeS
FH
FV
p
L
h h
2Fh
2Fh
2Fv
2Fv
FH
FV
T
4 Características de secciones 45
4 Características de secciones
46 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 4.1
Determinar las inercias resultantes Iz e Iy si partimos de cuatro perfiles L 45x45x5, para unas cotas b yh genéricas.
Resolución:
De las tablas: Iz’ = Iy’= 7,84 cm4
A = 4,3 cm2
c = 1,28 cm
2
' 2c
hAII zz (momento de inercia de una L, respecto al eje z)
2
' 2c
bAII yy (momento de inercia de una L, respecto al eje y)
y’
z’
y’
z’c
c
h
y
z z
y
b
z z
c h/2
y
y
c
b/2
4 Características de secciones 47
hhch
AIII zzz 12,530,454,592
444 22
' (momento de inercia de las
cuatro L)
2
' 2444 c
bAIII yyy ( momento de inercia de las cuatro L)
54,592230,4 2 hhI z
54,592230,4 2 bbI y
48 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 4.2
Dado un perfil “doble T”, determinar la magnitud a de la figura para que la inercia de la vigaaligerada resultante sea 4 veces la inercia inicial.
Resolución:
eaA
ae
IZ
22
2121
2
3
zz a/2a/2
a
IZ
A
IZ/2
A/2
IZ’/2
eaAA222
'
z’ h’ 2a
?
hz
y
e
IZ
A
y’
a
IZ
IZ’ = 4 IZ
4 Características de secciones 49
288812
12
2222212
12
32
323
' ea
aAa
eIa
eaAa
eI
I ZZZ
aeAa
IaAa
eI ZZ 1213
4441213 2
23
aeAa
II ZZ 1213
4
2
'
Ha de ser : aeAa
III ZZZ 1213
44
2
'
aIaA
ae Z 03448
13 23
si suponemos que (e·a) es << A (área total del perfil IPE) :
4
2
'aA
II ZZ 43
2
Aa
IZ
ZZZ iAI
AI
a 323212
(AI
i ZZ radio de giro de la sección respecto al eje z)
a
e
50 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 4.3
Determinar las siguientes características de la sección monosimétrica de la figura respecto del ejeprincipal z:
a) A , Iz , Wz,sup , Wz,inf , iz .b) El momento resistente elástico, Mel. z , para un acero e=235 N/mm2.
Resolución:
a) El área de la sección total será la suma de las áreas de las pletinas:
2mm25000202501080030400iAA
Por simetría el centro de gravedad, G, está situado sobre el eje y (z = 0).
ysup
yinf
Mel.z
e= 235 N/mm2
800
30
20
10yG
400
250
# 400·30
# 800·10
# 250·20
G
y
z
4 Características de secciones 51
Para determinar la posición y del centro de gravedad de la sección, G, es cómodo calcular el momentoestático de cada elemento respecto de la fibra inferior. Así:
iiG yAyA
mm53725000
10202504201080083530400A
yAy ii
G
Se utiliza el teorema de Steiner para calcular el momento de inercia de la sección total respecto del ejey-y:
23
121
Giiiiz yyAhbI
23 5378353040030400121
zI
23 5374201080080010121
4423 mm10299154537102025020250121
El módulo resistente respecto de la fibra superior, ysup:
334
supsup, mm109558
53785010299154
yI
W zz
El módulo resistente respecto de la fibra inferior, yinf:
334
infinf, mm105571
53710299154
yI
W zz
El radio de giro de la sección respecto del eje z, iz:
mm34625000
10299154 4
AI
i zz
b) El momento resistente, Mel.z, se obtiene a partir de la tensión de límite elástico del material y delmódulo resistente mínimo de la sección:
mkN1309mmN101309105571235 63,. minzezel WM
5 Dimensionado de secciones o flexión 53
5 Dimensionado de secciones o flexión
54 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 5.1
Dimensionar la viga esquematizada suponiendo que disponemos de perfiles IPE 240 como máximo ychapa de 10 mm de grosor.
P = 9500 Kp
L = 6 m
Acero A 42b
se = 1,5
Resolución:
22
cmKp1733
5,12600
1,5cm
Kp2600b42AAceroadm
s
e
e
Momentos flectores xxP
xM 47502
)(
cmKp1014254
3LPMC
Tramo A-E :
cmKp10561WMcm324W
cm3890I240IPE 3
max3
4
adm
561 · 103 = 4750·x x = 118,2 cm L1=115 cm
P
==
L
A BC
E D C
L1
L2
x
+
ADE
C
E D C
5 Dimensionado de secciones o flexión 55
Tramo E-D: es necesario reforzar
42323 cm1876187515.1212112121
121
debebI
32
42 cm588
137642cm7642)1876(23890 WI
cmkp1010191733588 3admM
1019 · 103 = 4750·x x = 214,6 cm
L1 = 210 cm
Tramo D-C:
4223 cm21885,13121121
debebI
33
423 cm858
1412018cm12018)2188(2 WII
cmkp1014871733858 3admM
1019 · 103 = 4750·x x = 313 cm > 300 cm
no es necesario reforzar más
b=120 mm
e =10
d
ee
d
300 cm
210 cm
115P
M (m·Kp)
T (Kp)
142505460
9970561010180
14872
9500/2 = 4750 Kp
4250 Kp
Solicitación
Capacidad resistente
+
-
+
56 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 5.2
Dimensionar un segmento de pistón de radio R para que pueda ejercer sobre la pared del cilindro unapresión uniforme de 0,19 N/mm2 , sin que las tensiones superen el valor de max= 261,5 N/mm2 ( e =340 N/mm2 , se = 1,3) (Fundición de grafito nodular).
Nota: Usar la simplificación de simetría,
suponiendo que Rh es suficientemente
pequeño.
R = 40 mm
Resolución:
Por razones de simetría consideramos:
Diagrama de momentos flectores :
Momento producido por dp en el punto genérico C
dRbpRdRpbdM ccc sensen 2
(dp = p · R · d )
Momento total para el punto genérico C:
C
R·d
C
AOB
dp
p
R
hb
Rvoladizo
5 Dimensionado de secciones o flexión 57
cccc RbpRbpdRbpM cc cos1cossen 20
2
0
2
Por tanto, si el momento flector para cualquier punto del segmento es :
cc RbpM cos12
tendremos el máximo: c = 180
Mmax = 2 · p ·b · R2
bdedependeNohmm7,3093,0
mmN5,26112
2121
22 22
2
3
2
Rh
hRph
hb
RbphI
Madmmax
M
= 180 = 180Mmax = 0
58 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 5.3
Un estudiante ha decidido instalar un estante para colocar sus libros y apuntes. Los ha colocado unojunto al otro y ha medido la longitud total de estante que necesita y la anchura que debe tener. Al ir acomprar el estante ve que para estas dimensiones puede escoger varios espesores distintos. No sabecuál escoger. Entonces recurre a un amigo suyo que está haciendo 3er curso de Ingeniería Industrial yle expone el problema:He decidido instalar un estante para libros, según el croquis de la figura:
Kg/cm6,0cm20cm15cm100 apuntesylibrospba
En la tienda me han informado de que la madera de los estantes tiene las siguientes característicasmecánicas:
22 N/mm00010N/mm4 Eadm
La cuestión es:
a) ¿De qué espesor h mínimo debo colocar el estante?b) Los dos apoyos los he colocado, simétricamente, a una distancia a = 15 cm del extremo por
razones puramente estéticas. Pero, atendiendo a razones de comportamiento resistente, ¿cuálsería la distancia óptima de los apoyos a los extremos, que podría minimizar el espesor h delestante?
c) Finalmente, me preocupa saber cuál será la flecha que tendrá el estante, una vez cargado, en supunto central (con la distancia a inicial).
a a
bh
5 Dimensionado de secciones o flexión 59
Resolución:
a) Determinación de h mínima.
2p
RR CB
Tramo AB:
20
22
2
apMM
xpM
BA
apTT
xpT
BA 0
Tramo BC:
282482
2
22222
222
2
222
app
apppMx
apMM
apaap
apMaxp
xpM
EE
BC
B
p
a a
bhA B C D
+
- -
vE
T
M
- -
+ +
x
60 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
22
22
pappapT
papTpxpT
C
B
Tramo CD:
22
222
22
22222222
22
apap
apMxp
xpM
axaxpx
paxpaxpx
pM
C
0222
2
ppM D
pxpT appapTC
0ppTD
Con = 100 cm, a = 15 cm y p = 0,6 Kg/cm, tenemos los siguientes resultados:
cmKg5,675,112 pMM CB
cmKg300500 pM E
677.40Kg/cm77,40
2
mín,2máx
máxhbM
WWM
W
M Ezadm
z
E
z
cm49,12077,406
mínmín20h
Mh E
b
b) Determinación de la distancia a óptima.
Óptimo resistente:
máxmáx MM
EB MM
282
22 app
ap
5 Dimensionado de secciones o flexión 61
04
22 aa
422
22
a
207,1207,0
22
242
2
2
aa
Así pues, la distancia ‘a’ óptima es: cm7,20óptimaa
Y se tiene, un momento máximo: cmKg7,128máxM
c) Cálculo de la flecha en el punto central, por el método de la fuerza unitaria.
Tramo BE:
axM21
Tramo EC:
axaxM 1
21
221
22101 2
22
dxaxaxpx
pEI
dxax
pEI
dxMEIM
FW a
o a
22
223
22222222
adx
ap
xapx
apx
apxp
xp
EI
La segunda solución nointeresa, porque cae fueradel intervalo analizado
a a
A B
E
F=1
C D
+M’
x
62 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
2223234
246468a
xaxaxaxaxxEIP
328,65,5625,9375,3125,937208325,781(6,0EI
cm265,0513,5000100
247246,010)75,168375,84437,8375,8425,56 3
433
cm513,512
49,12012bh
I
5 Dimensionado de secciones o flexión 63
Problema 5.4
Sea una viga de sección transversal en doble T, formada por 3 platabandas soldadas de dimensioneslas de la figura. Hallar el paso l de los cordones de soldadura a tramos de unión entre el alma y lasalas, si la garganta de soldadura es a= 5mm y la longitud de cada tramo de cordón es de ls = 10 cm. Elesfuerzo cortante máximo que soporta la viga es Ty= 40000 kg. La tensión cortante admisible en lasoldadura es adms = 1000 kg/cm2.
Resolución:
Esfuerzo cortante por unidad de longitud en la superficie de contacto entre alma y platabanda
z
12 mm
z
6 mm
600 x x
220
y
G s s
:1Azm momento estático del ala
Z
AZ
ImT
f1
4323
31
cm14,246608001014,44649606,01216,302,1222,122
1212
cm84,8076,302,122
Z
AZ
I
m
kg/cm35,536614,2466084,80700040
f
64 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Esfuerzo cortante admitido por el cordón de soldadura,
aF sadmsadms 2
Igualando esfuerzos
fFadms
cm19cm64,1835,536
5.01010002
35,5365,01010002
21
z
Az
sadms ImT
a
5 Dimensionado de secciones o flexión 65
Problema 5.5
Se ha construido una viga roblonando cuatro angulares 120*120*12 en los extremos de unaplatabanda de 400*20 mm. Hallar el diámetro mínimo de los roblones si la viga está biapoyada en susextremos, tiene una longitud de 6 m, y soporta una carga puntual centrada P. Datos: separación entreroblones e= 120 mm; tensión normal admisible de la platabanda y los angulares: admisible=173 Mpa;tensión cortante admisible de los roblones adm roblón= 42 MPa.
Resolución:
N244796103200
2103,42450173
mm103,42450cm3,424509,794547,10666
4,3205,273684402121
20010
23
173
3
3
43
4
23
,,
3
P
I
III
I
P
yIM
z
angularzalmazz
z
máxz
adm
60
e e
400
120 120
20z
y
P
6 m
M
T
+
-
+
2P
2P
2P
23 P
2P
66 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Esfuerzo cortante a transmitir por los roblones por unidad de longitud
Esfuerzo cortante que ha de ser soportado por cada roblon
Diámetro mínimo de los roblones : d = 21,9 mm
333
4
3
mm10913cm9136,165,272
N3981222
N/mm25,263103,42450
10913398122
z
Z
Z
m
PT
ImT
f
mm9,21422
431590
N31590424
2
N3159012025,2632
d
dF
efF
adm
5 Dimensionado de secciones o flexión 67
Problema 5.6
Una viga armada tiene una sección compuesta por un alma rectangular de 800 12 mm, y cada alacompuesta por una platabanda de 190 10 mm y 2 perfiles angulares 90 8 mm. Calcular el diámetromínimo de los roblones, sabiendo que el paso de remachado de los angulares con el alma es e1= 18cm y el de la platabanda y angulares es e2= 40 cm. Esfuerzo cortante máximo que ha de soportar laviga: T = 40 kN. Tensión de cortadura admisible en los roblones adm = 42 MPa.
Resolución:
Esfuerzo cortante a transmitir por los roblones alma-angulares, por unidad de longitud
(A1 = área angulares + área platabanda)
800(total)
12
190
e1=18
10
e2=40
z
d2
d1
( simétrico ) ( simétrico )
4
2323
)()()(
cm9,1351923,3116628,19650451200
5,04011911912125,2409,131044802,1
121
Z
splatabandaZangularesZalmaZZ
I
IIII
Z
AZ
ImT
f1
1
N/mm72,37N/cm2,3779,135192
181240000cm1812)5,240(9,132)5,040(119
1
31
f
m AZ
68 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Esfuerzo a transmitir por cada roblon:
Esfuerzo cortante a transmitir por los roblones angulares-ala, por unidad de longitud:
(A2 = área ala)
Esfuerzo que debe transmitir cada roblón:
mm15,10
9,102421416,32
18072,374
424
1416,321802,377
42
1
21
21
21
11
d
d
d
def adm
Z
AZ
ImT
f2
2
mm86,9
424
1416,32
40002,1642
2
22
2222
d
d
defadm
N/mm02,16N/cm2,1609,135192
5,76940000cm5,769)5.040(119
2
32
f
m AZ
5 Dimensionado de secciones o flexión 69
Problema 5.7 *
Se construye una viga cajón compuesta de dos tipos de madera:- ALMA: tablero contrachapado e = 25 mm E2 = 8000 N/mm2
- ALAS : sección cuadrada 200 · 200 mm E1 = 10000 N/mm2
a) Calcular la distribución de tensiones en la sección central.b) Calcular la tensión tangencial media en el adhesivo de
contacto ( adm = 1 N/mm2 ).c) Calcular la flecha central
Resolución:
a) Se trata de una sección compuesta de dos materiales.Se decide homogeneizar la sección de madera maciza y, por tanto, trabajar con un espesorequivalente, e*, del tablero contrachapado. Así, la relación de equivalencia:
25,18000
10000
2
1
EE
n
El espesor equivalente
mm2025,1mm25*
ne
e
La posición del baricentro de la sección es inmediata por razón de simetría. El momento deinercia de la sección homogénea es:
48323 mm1023610002012125002002002200200
1212ZI
500
500
200 · 200
25
=
=
10 m
p =10 KN/ m
200 ·200
1000e* = 20
Steiner
70 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Tensión en la madera maciza:
yI
My
Z
Zx )(1
Tensiones reales en el tablero:
ny
IM
yZ
Zx
1)(2
Así:
2481
2481
N/mm1,2mm400mm10236
mmN10001000125)mm400(
N/mm2,3mm600mm10236
mmN10001000125)mm600(
y
y
x
x
En el tablero contrachapado n = 1,25
248
6
2 N/mm1,2mm500mm10236
mmN1012525,11)mm500(yx
400
500
e* =20
x1x
G
e*
3,2
2,1
3,2
2,1
x2
2,1
2,1
Mmáx = mKN12581 2pL
Tmáx = KN5021
pL
T
M
5 Dimensionado de secciones o flexión 71
b) Tensión media en el adhesivo
Fórmula de Collignon:
bI
mT
Z
AZy
med
Ty: esfuerzo cortante en la secciónIZ: momento de inercia total respecto ZmZ
A: momento estático de la sección A respecto al eje Zb: linea AB
248
2
N/mm2,0mm1002mm10236
mm500mm200200N50000med
Este valor es inferior a la tensión tangencial admisible en el adhesivo = 1 N/mm2
c)
mm5,51023610000
1000010384
5384
58
4
ZIELP
f
Valor aceptable, ya que mm10100010000
1000L
G
y
x
z
d
A
100 mm
med
72 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 5.8 *
La figura representa una sección armada doblemente simétrica. Calcular Mel.z , Mpl.z y el coeficiente para los dos casos.
a) Material alas: Fe E 235 Material alma: Fe E 235
b) Material alas: Fe E 35 Material alma: Fe E 235
(Puede comprobarse que la sección se plastificacon la ausencia de abolladuras elásticas oelastoplásticas. No se consideran inestabilidadesglobales : pandeo, vuelco lateral)
Resolución:
a) Mismo acero.
Al tratarse de una sección doblemente simétrica el eje neutro plástico pasa por el baricentro G.
Caso elástico:
44233 mm104843065,122530025300121212800
121
ZI
3344
mm107210mm5,12
mm10484306
max
ZZ y
IW ( = Wel.z )
Gz
y
== 800 · 12
== 300 · 25
== 300 · 25
25
e = 235 e = 235
e = 235 e = 235
Eje neutroplástico
Mel.z Mpl.z
A1 · e
A2 · e
d1
y
z
12,5
GEje neutroelástico
G
d2
5 Dimensionado de secciones o flexión 73
mKN1694mm
N235mm107210 233
.. ezelzel WM
Caso plástico:
mKN19052
400235124005,122352530022 2211. dAdAM eezpl
Coeficiente :
12,116941905
.
.
zel
zpl
M
M
b) Diferente acero.
Caso elástico
Tiene las mismas constantes mecánicas IZ, WZ, pero la tensión en la fibra extrema
355250400425235max
mKN1802250107210 3.. maxzelzel WM
Caso plástico
mKN2648mm
N235mm
N3552 222211. dAdAM zpl
Coeficiente :
47,118022648
.
.
zel
zpl
M
M
max e = 355
e = 235 e = 235
Eje neutroplástico
Mel.z Mpl.z
A1 · e
A2 · e
d1
d2e = 235
400 425
6 Flexión desviada y flexión compuesta 75
6 Flexión desviada y flexión compuesta
76 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 6.1 *
Hallar el punto de la sección con mayor tensión normal, y el valor de esta tensión.
Resolución:
a) Determinación del momento flector máximo
( en la sección central x = 2 m )
30
q
1,5
y’
z’
1,57,5
1,5
18
kgm40008
420008
22qlM max
q = 2000 kg/ml
4 m
6 Flexión desviada y flexión compuesta 77
M es perpendicular a q y forma 30con el eje z’. Los ejes y’-z’ no son losejes principales de inercia. Vamos adeterminarlos.
b) Determinación de los momentos de inercia principales Iy’, Iz’
Primero hallaremos el tensor de inercia en ejes y’-z’ (no principales) y a continuación lodiagonalizaremos, para hallar los momentos de inercia principales y sus direcciones (ejes principales)
42
3'2'1
43'3
43'3
cm8,76725,195,15,75,15,19
121
cm06,55,118121
cm729185,1121
zz
y
z
II
I
Iz’
2
3
1
y’
y’
z’
M= 4000 m kg
30
30
q
78 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
I3y’z’=0 por tener eje de simetría.
Tensor de inercia
Los momentos principales de inercia son los valores propios.
4'
4'
42
3'2'1
cm14,56654,280206,5
cm6,22648,7672729
cm54,28025,7
25,15,15,75,75,1
121
y
z
yy
I
I
II
4''
4''2''1
cm3,835265,417
cm65,41725,775,075,095,15,70
zy
zyzy
I
II
14.5663,8533,8536,2264
'
''
''
'
y
zy
zy
z
I
I
I
I
055,35458474,2830
03,83514,5666,226414,5666,2264
03,83514,5666,2264014,5663,835
3,8356,2264
2
22
2
4
42
cm19,2242
36,238274,2830
cm55,26062
36,238274,2830
255,354584474,283074,2830
4
4
cm19,224cm55,2606
y
z
IIMomentos de inercia
principales
( cm4 )
6 Flexión desviada y flexión compuesta 79
Los vectores propios serán las direcciones principales.El vector propio correspondiente al valor propio 2606,55 cm4.
041,20403,83503,83595,314
11
11
yz
yz
nn
nn
24,22409,0arctg
409,03,835
95,341tg 1
1
z
y
n
n
Ecuación del eje neutro.
º67,5758,1tgzy
kgm36,396324,2230cos4000
kgm54076,7sen4000
24,2230sen4000
z
y
M
M
zy
zy
zI
My
IM
x
x
y
y
z
zx
86,24005,152
19,22410540
55,26061036,3963 22
zy
zy
zy
58,1
05,15286,240
86,24005,1520
Angulo que forma el eje neutro conel eje principal z:
y
z’
y’
z
22,24
A(-8.25,9)
B(8.25,-9)
Eje neutro
22,24
y
z’
y’
z
My
Mz
22,2430
7,76
M
00
55,260614,5663,8353,83555,26066,2264
1
1
y
z
n
n
80 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Relación entre coordenadas de ambas referencias.
'9256,0'3784,0'3784,0'9256,0yzy
yzz
Las tensiones máximas aparecen en los puntos más alejados del eje neutro ( A y B )
Para A
Tensión en A:
Tensión en B:
9'25,8'
B
B
y
z
2kg/cm11,2760)230,4(86,240452,1105,152A
9'25.8'
A
A
y
z452,1199256,0)25.8(3784,0
230,493784,0)25.8(9256,0
A
A
y
z
2kg/cm11,2760230,486,240)452,11(05,152
452,11)9(9256,0)25,8(3784,0230,4)9(3784,0)25,8(9256,0
B
y
z
''
24,22cos24,22sen24,22sen24,22cos
''
cossensencos
y
z
y
z
y
z
y
z
6 Flexión desviada y flexión compuesta 81
Problema 6.2
Una columna tiene la sección en cruz indicada en la figura. La fuerza resultante es de compresión (50Tn) y pasa por el punto A. Hallar la tensión normal en B y dibujar el eje neutro.
Resolución:Trasladando la fuerza al centro de gravedad Gde la sección, los esfuerzos equivalentes son:
z
y
z
x
50 Tn
10
15
10
1015 15
B
A
( cm )
My=-875 cm Tn
z
y
-50 Tn
Mz= 250 cm Tn
A
B
yMy= -875 cm Tn
B
-50 Tn
Mz= 250 cm Tn
A
G
z
Tncm250cm2
10Tn50
Tncm875cm2
1510Tn50
Tn50
z
y
M
M
N
82 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
a) Tensión normal en B
b) Eje neutro
zI
My
IM
AN
y
y
z
zx
2cm800151523510
00087500025000050
A
zI
yIA yz
x
433
433
cm167441515121210151010
121
cm816671010121215101515
121
y
z
I
I
zyx 16744000875
66781000250
80000050 2kg/cm81,1906,35,62 zyx
cm5,17cm5
z
yCoordenadas de B
2kp/cm47,299)5,17(81,19)5(06,35,62Bx
42,2047,606,3
5,6206,381,19
81,1906,35,620
zyzy
zy
42,200
15,347,6
42,200
yz
zypara
para 42,200
y
z
y
z B
eje neutro
zonatraccionadazona
comprimida
015,3
y
z
6 Flexión desviada y flexión compuesta 83
Problema 6.3
Sobre una columna de sección rectangular ( 4035 cm), se aplican dos fuerzas excéntricas: 30 Tn en elpunto P(y = 3, z = 4 cm) y 50 Tn en el punto Q (y = 0, z = -5 cm). Dibujar el eje neutro y hallar elpunto de máxima tensión normal.
Resolución:
Trasladando las dos fuerzas al centro de gravedad G de la sección obtenemos:
Tn805030
mTn9,003,030
mTn3,15.22,105,05004,030
N
M
M
z
y
5
z
y
3540
3 4
50 Tn30 Tn
P
Q
Mz= 0,9 mTn
80 Tn
C
D
A
B
y
z
My= 1,3 mTn
G
84 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Eje neutro:
zI
My
IM
AN
y
y
z
zx
)kg/cm(7,666186
1300007,916142
90000140080000
cm7,6661864035121
cm7,9161423540121
cm14003540
2
43
43
2
zy
I
I
A
x
y
z
)mm,()cm,()N/mm(0696,00630,071,5)kg/cm(696,0630,014,57 22
enzyenzy
zyzy xx
70,901,1630,014,57
630,0696,0
696.0630,014,570
zyzy
zy
70,90046,820
yzzy
y
C
A B
D
eje neutro
(-90,70 ; 0)
(0 ; 82,46)
z
6 Flexión desviada y flexión compuesta 85
22
22
22
22
N/mm208,8kg/cm08,82)20(696,05,17630,014,57
N/mm424,5kg/cm24,5420696,05,17630,014,57
N/mm004,6kg/cm04,60)20(696,0)5,17(630,014,57
N/mm219,3kg/cm19,3220696,0)5,17(630,014,57
D
C
B
A
86 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 6.4
Se ha proyectado una sencilla estructura para soportar el tablero y la canasta de una pista debaloncesto. Se trata de un tubo de acero embebido en un bloque de hormigón a 45º de la horizontalsegún se indica en la figura.Se supone que el estado de carga más desfavorable es el que se produce cuando un jugador permaneceunos instantes sujeto al aro de la canasta, transmitiendo así todo su peso a la estructura en la formaindicada en la figura.Una vez estudiados los efectos dinámicos de esta acción, se estima que el esfuerzo máximo que eljugador puede llegar a transmitir al aro es de F = 2000 N y M = 106 Nmm.La estructura se quiere construir en tubo redondo de acero con espesor de pared de 4 mm.
Calcular el diámetro necesario, según la tabla de perfiles normalizados, para que el descenso verticaldel punto P no exceda los 80 mm.
Notas importantes:- Considerar todos los esfuerzos de sección para calcular el descenso de P.- Trabajar con la carga trasladada al punto P, como se indica en la figura.
P
45º
L1
L0L
F
M
xy
z
L=4000 mmL0=1000 mmF=2000 NM=106 N·mmA1=0,5 A
Tubo de acero.Espesor de pared:4mmE=2,1·105 MPaG=8·104 MPA
6 Flexión desviada y flexión compuesta 87
Resolución:
Aplicamos el teorema de Castigliano al punto P en la dirección F:
x = L
x = L0
x = 0
F
M
x
dxd 2
dxd P
M
xFM
xFMxM
M
-
-
T T=F
1FT
2F
T
21
FT
-
-
88 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
dFN
EAN
dFT
GAT
dFM
EIM
0 0
0 000 02
2122
21
2
22
2
L L L
L
L
L
L
Ldx
EA
F
dxA
G
F
dxxEI
xFMdx
AG
Fdxx
EIxFM
EA
LLF
GA
LLFEI
LLF
EI
LLMGAFL
EIFL
EIML
222
32
22
3200
30
320
20
30
20
AI3,17610389,3 8
Buscamos en las tablas de perfiles tubulares circulares:
Tubo A I ( Dext x e) ( cm2 ) (cm4 ) (mm)
135 x 4 16,46 353,4 96 ( >80 ) 150 x 4 18,34 489,2 69,4 ( <80 )
Tomaremos pues un tubo Dext x e: 150 x 4 (mm).
N
0FN
2F
N
21
FN
N=0
-
7 Torsión y esfuerzos combinados 89
7 Torsión y esfuerzos combinados
90 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 7.1
Una viga biempotrada está sometida a un momento torsor producido por una torsión uniformementerepartida. Hallar el MT máx y el ángulo de torsión máximo.
Resolución:
Por ser una viga simétrica los momentos de empotramiento han de ser iguales.
2BA MM
022
,2
)( TT MxenxxM
Diagrama de
momentos torsores: 2
2
x
MB
MA
kg m/ml
B
A h
b
( b<h )
A
B+
-
7 Torsión y esfuerzos combinados 91
El ángulo de torsión máximo se tiene para la sección central,2
x :
2
0
2
33
2
0
2
033
332
221
21)( x
xhbGK
dxxhbGK
dxhbGK
xM T
841 22
332 hbGK
81 2
332
hbGK
G: módulo de rigidez a torsión del material del eje )1(2
EG
K3 : coeficiente para secciones rectangulares, que depende de la relación bh (ver tabla 5.87 del
capítulo 5. Torsión)
92 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 7.2
Hallar los momentos en los empotramientos MA y MD. Dibujar el diagrama de momentos torsores.
Resolución:
Es un problema hiperestático.
Considerando por tramos:
a=30 cmb=50 cm
c=40 cm
AB
C
D
MD
MB=30000 N cmMC=20000 N cm
MA
cmkg500002000030000DA MM
00 DCBAT MMMMM
0
300
IGM
IGaM A
o
AABBA
AB-MA
MA
AB
7 Torsión y esfuerzos combinados 93
0
40IG
M DCDDC
0D
Diagrama de momentos torsores:
1500000408050000
DA
DA
MMMM
cmN6,29166120
35000001500000408020000004040
ADA
DA MMM
MM
cmN4,208336,2916650000DM
29166,6
-833,4
-20833,4-20833,4
( N cm )
A CB D
+
- -
50o
BABCCB IG
MM
0DCCBBAD
0504030
o
BA
o
D
o
A
IGMM
IGM
IGM
15000004080
04015000005030
040503000030
DA
DAA
DAA
MM
MMM
MMM
MD
-MD = MA-MB-MC
CD
-(MA-MB)MA-MB
BC
94 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 7.3
Calcular para cada una de las secciones abierta y cerrada de la figura adjunta, sometidas a unmomento torsor Mx = 1000 Nm :
a) el valor y la posición de la tensión tangencial máxima, max .b) el momento de inercia a torsión, It .
Resolución:
Sección cerrada :Am: área limitada por la curva media
a)
2
3
máx mmN77,5
mm530cosmm200mm200212
10Nmm10002 eA
M
m
x
c) 44
2
22
mm101000mm52003
30cos200200214
44e
sA
edsA
I m
s
mt
d)Sección abierta:
x
y
z
5200 mm
Mx
60
60
60
G
Mx
x
y
zG
e
max
7 Torsión y esfuerzos combinados 95
a)
23
3
3máx mm
N200mm5mm5mm200
313
10Nmm1000
31
eeb
M
ii
x
b)
443 mm105,231
iit ebI
e
max
96 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 7.4
Un panel está sujeto por un mástil horizontal, según el esquema de la figura. Teniendo en cuenta elpeso propio del panel, el peso propio del mástil y la acción del viento, hallar las tensiones máximas enel empotramiento del mástil a la pared.Datos: Peso propio del panel P1= 90 kp Dimensiones 80 200 cm Diámetro del mástil D =15 cm Empuje del viento f = 80 kg/m2
(Peso propio del mástil de acero: P2 = kp832415,0m6kp/m7850
23 )
Resolución:
kp12828,0mkg80 2F
Sección en el empotramiento. Esfuerzos:
kp128
kp922832900
z
y
x
T
T
N
520
F
P1
40
z
y
150
50
D=15 cmx
P2
40
My= 716,8 kp m
Tz =-128 kp
Mx= 64 kp mMz= -3000 kp m
Ty= -922 kp
x
z
y
7 Torsión y esfuerzos combinados 97
mkp30003832m)4,02,5(kp90
mkp8,716m)2,54,0(kp128mkp64m5,0kp128
z
y
x
M
M
M
Tensiones normales debidas a los momentos flectores:
mkp4,30848.7163000 22FM
4,133000
8,716arctan
24
2
kp/cm9,9302
15
6415
104,30842D
IM
z
Fxmax
Tensiones tangenciales debidas al momento torsor:
24 kp/cm66,9
3215
2156400
o
maxxmax I
rM
3000 kp mz
y716,8 kp m
MF = 3084,4 kp m
max
y
zA
y
z (+)
(-)
B
98 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Tensiones tangenciales debidas a los esfuerzos cortantes:
22
2222
kp/cm0,7
415
8,93034
34
kp8,930922128
AT
TTT
max
yz
y
-922
-128
T
z
A
7 Torsión y esfuerzos combinados 99
Problema 7.5
Hallar las tensiones máximas en el empotramiento A y el giro, alrededor del eje x, de la sección E. Elmomento torsor de 8 Tn m está aplicado en la sección B.
Resolución:
a) Tensiones máximas en el empotramiento A
Sección A
mTn30310
mTn222534mTn122108
Tn4
Tn10Tn5
z
y
x
z
y
x
M
M
M
T
T
N
z
y
x
Mt=Mx=12 Tn m
Mz=30 Tn m
My=22 Tn m
Ty=10 Tn
Tz=4 TnNx=5 Tn
z
y
x
10 Tn5 Tn
4 Tn
M= 8 Tn m
2 m
1 m1 m
1 m1 m C
B
D
A
x
E
F Tramo AC: = 40 cmTramo CE: = 10 cmTramo DF: = 10 cmMaterial: aceroG = 8,4 105 kgf/cm2
100 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Tensión normal debida al esfuerzo axil:
22 kp/cm97,3
440
5000x
Tensión normal debida a los momentos flectores:
25,363022
mTn20,373022 22
arctan
M F
24 kp/cm59220
6440
3720000maxmaxx y
IM
Tensión normal máxima total:2kp/cm59697,3592max
z
y
30
MF
z
y
22
y
z
MF = 37,20 m Tn
(+)
(-)
P
7 Torsión y esfuerzos combinados 101
Tensión tangencial debida a los esfuerzos cortantes:
2,684
10Tn77,10104 22
arctan
T
Distribución parabólica de con una max
22 kp/cm43,11
440
1077034
34
AT
max
Tensión tangencial debida al momento torsor
24 kp/cm49,95
3240
201200000
o
maxxmax I
rM
La tensión tangencial máxima total
2kp/cm92,10649,9543,11Amax
Aplicación del criterio de Von Mises en el punto P
222
2
2
kp/cm5,6183)1(kp/cm49,95,
kp/cm596,
equiv
x
max
TM
MN
(1) En el punto P la tensión cortante debida al esfuerzo cortante T no es exactamente 0, pues es 0 en el punto Q, pero Q y P nocoinciden, ya que los ángulos y no son complementarios. Pero como están muy próximos, y por tanto debido a T será muy pequeño,puede despreciarse frente a la debida a Mx.
10
4
T
Q
y
z
max
y
zA
B
102 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
b) Giro de la sección C (alrededor del eje x)
Dibujamos el diagrama de momentos torsores
El giro alrededor del eje x enla sección E será el mismoque el de la sección D.
10400 40
m1mT20m1mT20m1mT12GIGIGI
dxGIML
o
xx
98,13rad244,0
3210840000
1002000000
3240840000
1002000000
3240840000
1001200000444x
12 mT
A B DC
20 mT
1 m 1 m 1 m 1 m
20 mT
E
7 Torsión y esfuerzos combinados 103
Problema 7.6
Un árbol, de acero, debe de transmitir 120 CV a 600rpm desde la polea A a la B. La tensión cortanteadmisible para el material del árbol es adm = 420 Kg/cm2 y la tensión normal admisible es adm=728kp/cm2. Calcular el diámetro del árbol. Datos: F=2·F’ , Q=2·Q’ , rA=15 cm , rB=22 cm. (radios de laspoleas).
Resolución:
xMPP
M x srad602rpm1
W736CV1Nm1405
602600
736120xM
cmKg14324Nm1405xM
Mx= F·rA – F’·rA = (2F’ – F’)·rA = F’·rA
cmKg1432415F Kg95515
14324F
Kg19102FF
también Mx= Q·rB – Q’·rB
cmKg1432422Q Kg7,119312
14324Q
Kg4,23877,11932Q
y
z
x
D
C
50 cm
50 cm
40 cm
A
B
Q’
Q
F
F’rBrB
rA
rA
104 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Diagrama de momentos en el plano xy :
Diagrama de momentos en el plano xz :
Kg28653F
D C
B
x
y 3Q’= Kg3581
Mz
cm50cm50
x
23581
DR2
3581CR
cmKg89525502
3582,BzM
+
cmKg114600cM
My
x
Kg1146DR Kg4011CR
cm100 cm40
573005011461146
BMxxM
DCBx
z
A
+
7 Torsión y esfuerzos combinados 105
Determinación del momento flector en B ( combinando Mz y My):
cmKg12,1062925730089525 22BM
El máximo está en C: cmKg114600fM
Diagrama de momentos torsores:
cmKg14324,, AxBx MM
Determinación del diámetro mínimo del eje.Aplicando el criterio de Von Mises:
223 3416xf
admmin MMd
223 1432431146004728
16mind
cm7.11mind
Kg401111462865
Kg1146100
286540286540100
02865
C
D
D
DC
R
R
R
RR
DC
Bx
y
A
-14324 cmKg
Mx
+14324 cmKg
106 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 7.7
En la figura se ha esquematizado la pieza desmontable de un enganche tipo cuello de cisne para elarrastre de caravanas de camping por parte de vehículos de turismo convencionales. La solicitaciónsobre la bola corresponde a una hipótesis de carga de arrastre con fuerte pendiente.
a) Determinar para la sección circular A los esfuerzos de sección: normal, cortante, flector y torsor.
b) Dibujar para la misma sección A la distribución de tensiones normal y tangencial que provocaindependientemente cada esfuerzo de sección. Indicar sobre el dibujo la posición de la tensionesmáximas para cada una de dichas distribuciones y calcular numéricamente sus valores.
c) Como resumen del estudio, indicar la tensión normal máxima total y la tensión tangencial máximatotal.
Sección A
40 mm
G
75 Kp50 Kp
400 KpA
150 mm
250 mm
O
yz
x
7 Torsión y esfuerzos combinados 107
Resolución:
a) Esfuerzos de sección
Kp50
Kp75Kp400
z
y
T
TN
mmKp7875025075150400
mmKp1250025050mmKp750015050
z
y
x
M
M
M
Nota: El signo del valor numérico y el sentido del vector en el dibujo son redundantes.
b) Determinación de las tensiones
Esfuerzo normal Kp400N
Distribución uniforme de tensiones x :
22máx, Kp/mm32,0
440
Kp400AN
x
Esfuerzo cortante zy TTT
Kp905075 2222zy TTT
Distribución parabólica de :
22máx Kp/mm1,0
44090
34
34
AT
y
MzTz
Mx
N
z
x
G
Ty
My
x
G
GTz
TyT máx
108 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Momento torsor mmKp7500xM
Distribución de tensión con una ley lineal radial:
24
0
máxmáx Kp/mm6,0
3240
207500I
rM x
Momento flector zy MMM
mmKp797377875012500 2222zy MMM
Distribución lineal de tensión x respecto al eje degiro:
24
máxmáx, Kp/mm69,12
6440
24079737
IyM
x
c) La tensión normal máxima total vale:
2máx, Kp/mm01,1369,1232,0x
La tensión tangencial máxima total vale:
2Kp/mm7,01,06,0máx
máx
máx
x,máx
Mz
My M
x,máx
7 Torsión y esfuerzos combinados 109
Problema 7.8
Un tubo de acero 200 mm y de bajo espesor, e, constituye el soporte para el arrollamientomotorizado de una persiana según muestra la figura adjunta.El peso propio de la persiana y el rozamiento de arrastre equivalen a una carga de q = 50 Kp/m, lacual se aplica excéntricamente respecto de la directriz del tubo. La luz efectiva es L = 5 m, y sesupone simplemente apoyado en A y C.
a) Representar gráficamente los diagramas de esfuerzos y calcular sus valores máximos.
b) Determinar el espesor mínimo del tubo para que se cumplan los siguientes requisitos:
- La tensión equivalente de von Mises en las secciones críticas A y B sea inferior aadm=500 Kp/cm2.
- El corrimiento vertical B 1/1000 L.
NOTAS:
- Resolución suponiendo el peso propio del tubo incluido en q.- Tubo de acero E = 2100000 Kp/cm2.- Valores aproximados para la sección tubular de bajo espesor:
4
3
0e
I8
3eI z eA
e
q
200B C
A B C Motor
q=50 Kp/m
L= 5m
110 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Resolución:
a) Determinación de los diagramas de esfuerzos.
b) Características mecánicas de la sección.
eeA
eIW
eIII
eIW
eeI
zzzy
m
22
42
82
22
44
230
20
0
33
0
mKp25,15655081
81
2
2máx, LqM yz
Kp1252máx,L
qT yy
mKp25máx,xM
Mz
Ty
Mx
qy=50 Kp/m
25 mKp
125 Kp125 Kpmx=50·0,1= 5 mKp/m
+
+
-
+
qy=50 Kp/m
z
y
/2 = 0,1 m
7 Torsión y esfuerzos combinados 111
c) Comprobación de tensiones en la sección central B.
z
zx
z
WM
M
máx,
mKp25,156
0yT
0máx
mKp5,12
WM
M
x
x
Aplicando el criterio de falla de von Mises:
mm1cm1,0500
8,112474
Kp/cm500
220
12503
420
15625
Kp/cm5003
22
2
2
22máx
2máx,
ee
eeequiv
xequiv
Comprobación de tensiones en la sección extrema C
0zM
A
T
T
yT
y
2
Kp125
máx
0máx
mKp25
WM
M
x
x
z
máx
máx
máxmáx
Ty
zmáx
máx
112 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Apliando el criterio de falla de von Mises:
mm2,0cm02,0500
5,475,47
Kp/cm500
220
25002021253
Kp/cm50030
2
2
2
22máxmáx
ee
eeequiv
Tequiv
Con el espesor anterior de e = 1 mm, las tensiones en la sección extrema C son de equiv100 Kp/cm2.
d) Comprobación del corrimiento vertical de la sección central B L / 1000 = 5 mm.
mm53845 4
zB EI
Lq
cm5,0
8cm20Kp/cm2100000
cm500Kp/cm100
5
3845
32
4
eB
Despejando el espesor de la ecuación e = 0,123 cm 1,3 mm.
En conclusión, para verificar los requisitos de resistencia y deformación el espesor e 1,3 mm.Una solución comercial sería 200 x 1,5 mm.
q
B
L
7 Torsión y esfuerzos combinados 113
Problema 7.9 *
Un perfil angular de alas iguales es utilizado como carril de rodadura.
a) Determinar las tensiones normales y tangenciales máximas en la sección del empotramiento.b) Determinar el movimiento del perfil, calculando el corrimiento total del punto A.c) Comentar el diseño y proponer mejoras.
L = 500 mm
A
A’
P = 500 N
y
z
yz
x
b = 100
100
e = 5
C
A
G
r
Material: acero
E = 210000 N/mm2
G = 84000 N/mm2
114 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Resolución:
Por razones de simplicidad se trabaja con la curva media del perfil de espesor constante y acuerdorecto. (*)
- El eje de simetría proporciona las direcciones principales centrales yy zz.- El baricentro G cumple la condición:
dAy0 dAz0
- El centro de cizalladura C ( ó de torsión )coincide
con el punto de encuentro de los elementos.
- Los momentos de inercia y módulos resistentes.
34
máx
32
0
2
mm23574mm7,70
mm1666666
31
222
yI
W
ebdsesdAyI
zz
b
z
(*) También, pueden obtenerse estas características de la tabla de perfiles del fabricante con mayorprecisión ( sin utilizar la simplificación inicial , v = 0 ).
C
s
ds
y
Gz
70,7
70,7
y
z
C= =
=
=
G
35,35
35,35
7 Torsión y esfuerzos combinados 115
34
máx
32
20
2
mm11786mm35,35mm416666
121
222
z
IW
ebdsesdAzI
yy
b
y
433 mm833332
31
ebebI iit
a)
s
ds
y
Gz
z
bi
ei
GC
Mzy
z
Ty
P
Tz
G
My
Mx
z
P
C
116 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
mmN17677722máx
mmN17677722máx
mmN50000
N35322
N35322
LPM
LPM
bPM
PT
PT
z
y
x
z
y
Tensiones normales x debidas a la flexión desviada My , Mz.
- Para My
23máx mmN15
mm11786Nmm176777
y
y
W
M
- Para Mz
23máx mmN5,7
mm23574Nmm176777
z
z
WM
Tensiones tangenciales debidas a la torsión uniforme o de Saint Venant (ya que I 0 en este tipode secciones).
UNIFORMENOTORSIÓN
x
UNIFORMETORSIÓN
xtx dx
dEI
dxd
GIM 3
3
Ty , Tz
Mx
My , Mz
L = 500 mm
Mz
y
z
+7,5 N/mm2
-7,5
+15
G
My
-15
7 Torsión y esfuerzos combinados 117
22máx
24máx
máx
mmN5,22
mmN30
43
43
mmN30
mm8333mm5mmN50000
t
x
IeM
mmrad1014,7
mm8333mm
N84000
mmN50000 5
42
t
xx
GIM
dxd
Tensiones tangenciales debidas al cortante Ty , Tz.
Aplicamos superposición: TOTAL= + ’
Ty :
ebP
ó
y
yeI
mT
z
Azy
43quedemuestrasetedirectamen
mmN75,0
mm5mm16666662
mm22100
5100N353
.,0Para
segúnvariable
máx
24
3
máx
máx
1
Mx¾ máx = 22,5 N/mm2
¾ máx
e
máx
máx = 30 N/mm2
100
y y
G
A1
C
Ty
0,75
0,75z
118 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Tz :
ebP
ó
z
zeI
mT
y
Ayz
43quedemuestrasetedirectamen
mmN75,0
mm5mm4166662
mm2250
550N353
.,0Para
segúnvariable
máx
24
3
máx
máx
1
Se demuestra que
2mmN35,1
5100500
2027
2027
Neb
PmaxTOTAL
Obsérvese que en el ala horizontal debe anularse la distribución de tensiones tangenciales, ya que solotenemos fuerza vertical de 500 N.
Composición de tensiones:
Punto
)M(mm
N5,22
)MM(mm
N5,7mm
N15
x2
zy22x
1,35
500 N
C0,75
0,75
3
1
2
1
50y
G
A1
C
Tz
0,75
0,75z
z
TOTAL
7 Torsión y esfuerzos combinados 119
Punto Punto
)T,T,M(mm
N0,75mm
N30
)M(mm
N15
zyx22
y2x
)M(mm
N5,22
)MM(mm
N5,7mm
N15
x2
zy22x
De los puntos estudiados, el es el más desafavorable.Aplicando Von Mises
22222
mmN455,2235,223xequiv
Ante la duda que exista un punto con una combinación más desfavorable y dada la complejidad delproblema, es posible tomar los valores máximos correspondientes a cada esfuerzo (aunquefísicamente no estén en el mismo punto). Así
22222
mmN8,58)35,130(3)5,715(3xequiv
Esta operativa está contemplada en diferentes normativas.
b)
Se desprecian los corrimientos debidos al esfuerzo cortante Ty , Tz.
2 3
1
Ldx
d xx
F
IELF
3
3x
Mx
C
120 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Corrimiento según el eje y debido a la flexión Mz:
mm04,066666612100003
)500(22500
3
33
zy IE
LF
Corrimiento según el eje z debido a la flexión My:
mm17,04166662100003
)500(22500
3
33
zy IE
LF
Amplificación del giro debido al torsor Mx:
mm57,31005001014,7100100 5Ldx
d xx
G
z
y
A1
C1
y
z
G1C
( x)
A
7 Torsión y esfuerzos combinados 121
d) Posibles modificaciones en el diseño.
Cerrar los extremos de los voladizos.
La barra adicional trabaja a flexión y limita considerablemente el giro a torsión del extremo delangular. Sin embargo, para otra posición del carro se reproduce el problema.
Cambiar la posición del angular.
La carga vertical ( y horizontal ) se realiza en el centro de cizalladura.
Elegir otro perfil con mayor rigidez torsional (perfil cerrado).
Elegir un perfil de guiado simétrico
1
barra adicional
0
0
2
P
GC
3 G C
4
C
122 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 7.10 *
a) Determinar las tensiones normales y tangenciales en el perfil HEA-500 sometido a torsiónconstante Mx = 20 KN · m y con coacción total al alabeo en el extremo empotrado.
b) Calcular el giro x en la sección A.
E = 210000 N/mm2e = 355 N/mm2
Resolución:
Se trata de un problema de torsión no uniforme, ya que está impedido el alabeo en el empotramiento.Ecuación diferencial de gobierno:
3
3
dxd
IEdxd
IGM wtx
donde :
Momento de inercia a torsión o constante de Saint Venant:
4433 mm102701246723300231
31
iit ebI
Módulo de alabeo o momento de inercia sectorial:
692
32
32
mm1056432
46723300121
2121
2h
ebh
II fw
L = 5 m
Mx = 20 KN·m
x
BA
z
y
490
300
12
23
7 Torsión y esfuerzos combinados 123
El reparto del momento torsor total Mx = Mt1 +Mt2 ( para L = ):
xxt
xxt
eMMeMM
2
1
uniformenoTorsión1uniformeTorsión
14
4122
442
mm1057,4mm1064,5
mmN210000
mm103,309mm
N80000
w
t
IEIG
El angulo girado por unidad de longitud es variable:
t
tx
t
xx
IGM
eIG
Mdx
d 11
Para encontrar el ángulo de giro total en el extremo:
111100
LIG
MeL
IGM
dxeIG
Mdx
dxd
t
xx
t
xL x
t
xL xx
11057,4
1mm5000mm103,309
mmN81000
Nmm1020000 41057,45000
444
2
3
e
)elevadomuy valor (131023rad17,04,0x
Tensiones tangenciales debidas a la torsión uniforme o de Saint Venant en el extremo delvoladizo Mt1 Mx.
Alas:
244
31
mmN149mm23
mm103,309Nmm1020000
maxt
tV e
IM
max
Alma:
244
31
mmN78mm12
mm103,309Nmm1020000
almat
tV e
IM
max
xx
Mt1
Mt2
Mx = 20 KN·m
2,03( 3,9 exacto )
dxd x
x
x
max
max
Mt1 Sección A
124 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
En el empotramiento la torsión no uniforme provoca tensiones tangenciales w y normales w,donde Mt2 Mx :
Mt2 = Vf · h KN8,42m467,0mKN20
fV
Por aplicación de Collignon en la sección rectangulardel ala :
2mmN3,9
23300N42800
23
23
f
fmaxw A
V
(el valor exacto es h
be
M x
243
mmN3,9 2 )
Obsérvese el autoequilibrio de los esfuerzosen las alas, Mf , Vf , respecto a la secciónglobal:
mKN7,93mmN107,93
mm467mm1057,4mmN1020000
6
14
32
hM
M tf
valor superior al momento torsor aplicado
La tensión normal en la sección rectangular del ala por aplicación de Navier:
23
6
mmN272
)mm300(mm23121
mm2
300Nmm106,932
f
f
w I
bM
(el valor exacto por aplicación de las fórmulas del bimomento es w = 261 N/mm2 )
max
max
Mt2 Sección Bh = 467
Vf
Vf
Vf
Vf
Mf
Mf
w
w
w
w
7 Torsión y esfuerzos combinados 125
Aplicación del criterio de Von Mises
Sección A: punto contorno del ala
eequiv 2222
mmN2581493303
Sección B: punto extremo del ala ( w max , w = 0)
ewwequiv 22222
mmN2720327233
Comentarios:
- La tensión equivalente es parecida en ambos casos.- Si existe N, My, Mz , para secciones tipo :
wz
z
y
ymax W
MW
M
AN
126 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 7.11 *
Una viga IPE-300 está sometida a una carga vertical F = 30 KN con una excentricidad accidental de50 mm.
a) Determinar, en la sección del empotramiento, la distribución de tensiones normales x debidas ala flexión y a la torsión no uniforme (bimomento). Calcular el valor máximo.
b) Determinar, en la sección del extremo del voladizo, la distribución de tensiones tangencialesdebidas a la torsión no uniforme o de Saint Venant. Calcular el valor máximo.
Acero S 355E = 210000 N/mm2
G = 80000 N/mm2
e = 355 N/mm2
Notas:- Se supone la viga arriostrada convenientemente para evitar el vuelco lateral.- Puede utilizarse la tabla de la serie normalizada IPE para determinar las características mecánicas de la sección.
y
z x
G C
L = 3 m
50 mm
F
30 KN
IPE - 300
7 Torsión y esfuerzos combinados 127
Resolución:
Diagramas de esfuerzos
Mx = F · 0,05 m Mz = - F · (L – x ) Ty = - F Momento torsor Momento flector eje z Esfuerzo cortante eje y
Características mecánicas sección IPE – 300.
63
4
3
3
4
4
2
cm109,125
cm12,20
cm1,557cm5,80
cm8356cm8,603
cm53,81A
w
T
zel
yel
z
y
I
I
WW
II
Análisis de la torsión mixta
Ecuación general de gobierno de la torsión mixta:
21
3
3
tt MuniformeNo
xw
MUniforme
xTx dx
dIE
dxd
IGM
1500 Nm
-30000 N
-
90000 Nm ( máx )
x
y
300
150
tf = 10,7
tw = 7,1
z
x
L = 3 m
Mt1
Mt2
1355 Nm
145 Nm
1500
128 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
mN145L xpara,:uniformenoTorsiónmN135511500L xpara,1:uniformeTorsión
22
378,011
tx
xt
tx
xt
MeMMeMeMM
113
632
42
m78,0cm108,7cm109,125
mmN210000
cm12,20mm
N80000
w
t
IEIG
a) Tensiones normales máximas: x = 0
Debidas al bimomento Mf : ( If Iy / 2 )
mN6654m289,0m78,0
mN15001
2
hM
M tf
24
3
mmN165
2mm6038000
mm75Nmm1066542f
f
w I
bM
Debidas al momento flector Mz :
233
3
mmN162
mm101,557mmN1090000)(
zel
zzmaxx W
MM
Mf
Mf
w
w
w
w
Mz
x
7 Torsión y esfuerzos combinados 129
Así, la tensión normal máxima:
2mmN327162165)( zmaxxwmaxx M
b) Tensiones tangenciales debidas a la torsión uniforme en la sección x = L:
Alas superior e inferior:
máx1
máx eI
M
t
t
2máx N/mm727.10
20120010001355
max
max = 72 N/mm2
Mt1 = 1355 N·m
8 Corrimientos en piezas prismáticas 131
8 Corrimientos en piezas prismáticas
132 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 8.1
En la viga quebrada de la figura, sometida a las cargas que se indican, determinar:
a) La distribución de tensiones en la sección mn.b) El corrimiento vertical en B, vB. (Se prescindirá del posible efecto del pandeo)
Resolución:
a) Diagramas de esfuerzos
Reacciones :
PR
PR
C
A
31kp1000
32kp2000
Kp3000P
y
3000 Kp
CB
A
1 m 1 m 4 m
2 m
m
n
zG
b= 0.3 m
h= 0.6 m
Material :=2,1·104 Mpa=0,2
G=8750 MPa
RA= 2000
21000
RC =1000
x’
A
B C
Kp3000
21000
CB
21000B
AB C
A
x2m
4000mKp
4000mKp M
T
N
21000-1000 1000CR
21000
RA =1000
8 Corrimientos en piezas prismáticas 133
N T MTramo AB 21000 21000 x21000Tramo BC 0 -1000 x10004000
Esfuerzos en la sección mn:
mKp2000Kp21000
Kp21000
mn
mn
mn
M
T
N
Tensiones provocadas por cada esfuerzo, por separado:
2cmKp8,0
180021000
x
x AN
2cmKp1,11
5400001002000
maxx
x
x
y
yIM
2
2
2
2
2
cmKp2,1
6041
180021000
23
4123
maxxy
xy
xy
y
hy
AT
3
4
21
2
cm18000
cm540000
cm150065
cm1800
z
z
W
I
AA
A
Y
n
m
ZT
N
max
max,C
MG
N M T
134 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Suma de tensiones normales x :
yyI
MAN
x 37,08,0
tracción)de ténsión (máximaKp/cm3,103037.08,0 2máxx
)compresiónde tensión(máximaKp/cm9,113037,08,0 2mínx
b) Corrimiento vertical en B
TOTALB dlPM
EIM
PT
GAT
PN
EAN
PW
v1
400
0
''
'
1
2200
0 1
33433
4
3130
323
2
323
2
323
2
dxx
EI
xPP
GA
P
dxxEI
xP
GA
P
EA
P
2200
0
400
0
2''
1
2
1 3)(1000800016000
31000
32000
32000
32000
xdEI
xxGA
dxEI
xGAEA
2200
0
5
3
5 540000101,233
2000
15008750032000
1800101,232000
xxx
400
0
5
32
540000101,233
10002
800016000
15008750031000
xxxx
0608,0001,00442,00014,00005,0
mm08,1cm108,0105,00024,00005,0)()()( MTN
8 Corrimientos en piezas prismáticas 135
Problema 8.2
Para la pieza quebrada de la figura, hallar :
Sección a) El desplazamiento vertical de la sección A.
b) El desplazamiento transversal de la sección C (en la dirección Z).
Aplicación a : P=300 N Q=2P=600 N E=2,1·105 Mpa G=0,4E
Resolución :
Determinación de esfuerzos:
Tramo ABmN600
N600
xQxM
QT
z
y
Tramo BC mN6001QM
QN
y
x
Tramo CD
mN300mN600mN6001
N300N600
xxPM
xQxM
QM
PT
QT
y
z
x
z
y
C
A
B
D
x
x
x
Q
P
1 m
Y
XZ
z
yx
x
z
y
1 m
1 m
A
C
D
Q
P
4 cm
4 cm
136 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
a) Desplazamiento vertical de la sección A:
B
A
C
B
y
y
yz
z
zyytotalA dx
Q
M
EI
M
QNx
EANx
dxQ
MEIM
Q
T
GA
T
QW
1
D
C
z
z
zy
y
yx
t
xzzyy dxQ
MEIM
Q
M
EI
M
QM
GKM
QT
GAT
Q
T
GA
T
11
m
y
m
z
dxEIQ
EAQ
dxxEI
xQGA
Q 1
0
1
0 1111
m
zyt
dxxEI
xQEIPx
GKQ
GAP
GAQ1
0 110101
m
zyt
dxxQxQEI
QEI
QGK
QQGA
QEA
1
0
22
1
11111
cm2,4m042,032111211
1Q
EIQ
EIQ
GKQ
GAQ
EA zyt
Términos de la sección:
48433
483
44
241
242
211
211
m104141,022
m103
4cm4121
m103
4065
m1016cm16
N/m101,24,0
N/m101,2
N600
baKK
II
AA
A
G
E
Q
t
zy
141,01 3Kab
4 cm
4 cm
y
z
8 Corrimientos en piezas prismáticas 137
b) Desplazamiento transversal de la sección C.
dxEIQ
EAQ
dxEI
xQGA
QP
Wz
m
y
m
z
totalC
1
0
1
0 1
0000
3110010
1
1
0 11
PEI
PGA
dxEI
xQx
EIxP
GKQ
GAP
GAQ
y
m
zyk
cm2235,0m10235,2101,264
1012
103
4101,2
3
10340101,24,0
37
4
83
11411
PPP
P
9 Piezas y sistemas hiperestáticos 139
9 Piezas y sistemas hiperestáticos
140 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 9.1
En la viga de la figura, determinar el perfil IPE necesario para que se verifique la condición deresistencia y para que el desplazamiento vertical en el extremo volado (punto C) sea inferior a 0,3 cm.
Resolución :
a) Se descompone el problema, con un grado de hiperestaticidad, en uno isostático más un momentode empotramiento (incógnita) MA .
Estado final ( I ) = Estado isostático ( II ) + Estado hiperestático ( III )
BAC
5000 kp
4m 1madm=1600 Kp/cm2
E=2,1·106 Kp/cm2
+
-
+
MA
-5000mKp=MB
MA-RA·x
M M M’= +
P
CA B A AB
C C
xAR
BR
xR A4xRxR BA
M’A
RA’
B
RB’x
M’A-RA’·x
= +
P
-- -
+ +
T = T + T’
RA’ RB’RA
RB
4m 1m
MA
-
5000 5000
I ) II ) III )
AR
BR
9 Piezas y sistemas hiperestáticos 141
- Estado isostático (II):
0005BA RR
100054ARKp6250
Kp125040005
B
A
R
R
0AM mKp0005BM 0CM
- Estado momento hiperestático (III):
04
B
BA
BA
M
RM
RR
Para encontrar M’A , aplicaremos el 2º teorema de Mohr entre A y B , en el estado final (I):
mKp2
500023
223
12
1102
1
BA
AB
iii
MML
MLL
MLEI
yAEI
mKp2500AM L = 4 m
mKp2500AA MM Kp6254
25004
AB
MR
- Estado final (I):
Kp87566252506
Kp87516252501
0mKp000500005
mKp50020
BBB
AAA
C
BBB
AAAAA
RRR
RRR
M
MMM
MMMMM
Kp18754
500025004
44 BAABAA
MMRMRMxM
Kp6875BR
Ai = área diagrama momentos flectores yi = distancia desde el baricentro Ai hasta B
142 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
b) Para el cálculo de vC , vamos a aplicar el 2º teorema de Mohr entre A y C .
3
142
3
mKg/m3mkg200001
38
24
32
21
134
2411
i
ABBiiC
EI
MMMEI
yAEI
v
3
44
4
6
64
cm713
cm11770330cm10582
3,01,23102cm3,0
101,2310102
z
zTABLAS
minW
IIPEI
I
c) Comprobación del perfil a resistencia :
admadmmax
max
admz
maxmax
A
T
W
M
3Kp/cm8,923Kp/cm246Kp/mm46,2
mm5,7271Kp5000
Kp/cm1600Kp/cm701Kp/mm01,7cm713mKp5000
2222
1
2223
El perfil IPE 330 cumple la condición de resistencia y la condición de rigidez.
9 Piezas y sistemas hiperestáticos 143
Problema 9.2
Dada la viga de la figura,
determinar :a) Diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes.b) Valores de las reacciones.c) El perfil IPN necesario para adm=140 MPa.d) La pendiente en el apoyo B.
Resolución:
a) Descomposición en un problema isostático, más una incógnita hiperestática ( R’B).
p = 20000 N/ml 20000 N
A
BC
4 m 2 m
p p
M
T
P P
A BC
4 m 1m
= +
AR
AM
x
RA’
MA’
x
= ++
MA’= 4R’B
MA’- RA’x
Nm000280M A
2xp4MxR AAMB=-40000 NmMA
R’B
+ +
-
N00010R A pxR A
RA’ R’B
P P
= +
-+
-
2/pxMxR 2AA
-
Material:
AceroE=2,1·106 MPa
144 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
b) Determinación de la incógnita hiperestática y de las reacciones totales.
24
2
,
2
,
xpMxRxM
xpMxRxRMxM
AACB
AAAABA
Para hallar R’B , aplicaremos el 2º teorema de Mohr entre A y B :
B
AB dxxx
EIxM0
B
A
AAA
Mdxx
xpMxR
EI4
32
244
21 2
BA
A
A
RM
M
R
4Nm280000
N100000
B
A BRdxxxxEI 3
644100002800001000001 2
B
m
Rxxx
xEI 3
644
100003
1400002
680000112000014
0
432
N6500003
643
41600001BB RR
EI
RA - 80000 + 65000 - 20000 = 0 RA = 35000 N MA = - 20000·6 + 65000·4 - 80000·2 MA= -20000 Nm
c) Determinación del IPN.
2N/cm1400010040000
zz
maxmax WW
M
36
, cm7,28514000
104minZW
3
4
cm354
cm4250240
z
z
W
IIPN
TABLAS
9 Piezas y sistemas hiperestáticos 145
d) Pendiente en B.
2, 100003500020000 xxxM BA
BAxMdx
vd,2
12
1
321
310000
235000200001
Cxx
xEIdx
dv
03
64000102
16000354000201:4
00:0
1
11
EIdxdv
x
Cdxdv
x
B
4250101,2300040
104250101,23000640000840000240
3811B
00856,0rad00149,0B
146 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 9.3
a) Determinar el valor máximo de la carga uniformemente repartida, p, que se puede aplicar en laviga de la figura, si la tensión máxima admisible es de 140 MPa (tanto para la viga AB como para eltirante CD).
b) Calcular asimismo el descenso que tendrá el punto C.
- La viga AB es un perfil IPN 400.- El tirante CD tiene una sección
de 5 cm2.- Módulo de elasticidad : E = 2,1·107 N/cm2 ( para la viga y el
tirante ).
Resolución :
a)Se trata de un problema hiperestático. Para resolver la hiperestaticidad, impondremos la siguientecondición :
CC v
donde : C = corrimiento del punto C del tirante CD.vC = corrimiento vertical de la viga AB en el punto C.
A C B
D
4 m
4 m 4 m
9 Piezas y sistemas hiperestáticos 147
Cálculo de C :
EAR
ECDD
CDCDCDC
( E
, A
RD )
Nencm1081,3cm5N/cm101,2
cm400 6227 DD
DC RR
R
Cálculo de vC :
Aplicaremos el Teorema de Castigliano:
dxRM
EIxM
dxRM
EIxM
RW
vC
B
A
CDDD
TOTALC
400
0
800
400
22
4002400
02 dxxEI
xpxR
dxEI
xp D
4 m
D
C
RD
RD
x
A C BRD
p
22xp
MmKp
24002xpxRD
4 m 4 m
MA= 400 RD- 320 000·p ( Ncm )MC= -80 000·p ( Ncm )
-
148 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
dxxEI
RxRx
p DD400
4002800
400
2
800
400
234 1600004003
2008
1xRxRx
Rpx
pEI DD
D
29210101,2103,211018133
103,21101813317
6666 D
DRp
RpEI
cm108,345,29561 6DRp
Entonces: CC v 66 108,345,295611081,3 DD RpR
pRD 5,2956161,38
(1) pRD 766 (RD en N)
(2) DRp 13,0 (p en N/cml)
Determinación de pmáx :
Para el tirante:
2,22
2,
, N00070cm
N10140cm5 maxDam
maxDtirantemax R
R
mN10090007013,013,0 ,2 maxDmax Rp
Para el perfil:
admIPNz
maxvigamax W
M
400,,
pM
pM
ppppRM
C
DA
0008000080
60013000320766400000320400
máx
pRD 766
9 Piezas y sistemas hiperestáticos 149
2400,
, cmN00014
146080000
admIPNz
maxvigamax
pW
M
N/m55025N/cm5,25500080
1460000140máxp
Por tanto: mN9100maxp ( la menor de ambas).
b) Cálculo del descenso de C.
mm7,2cm267,0000701081,3 6cv
150 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 9.4
Las vigas AB y BC de la figura están perfectamente empotradas en los extremos A y C. Cuando estándescargadas, sus extremos B están en contacto, pero sin transmitirse ningún esfuerzo.
Determinar:
a) La carga uniformemente repartida máxima que puede soportar la viga AB, estando sometida la viga BC solamente al efecto producido por la AB.b) El descenso vertical del punto B.
Resolución:
a) Determinación de pmáx.En este tipo de problemas de interacciones, la resolución se basa en plantear la igualdad de
corrimientos (ecuación de compatibilidad de deformación en la sección B):
IPN 200IPN 220
p
A BC
3 m 4 m
Material: Acero A42b
p
A B
C
3 m 4 m
B
R
R
1 = 2
x x-
RM max
xRxM
2
21
xpxRxM
-+
9 Piezas y sistemas hiperestáticos 151
Cálculo de 1: Aplicamos el 2º teorema de Mohr entre A y B :
43
0
2
1
831
21
pREI
dxxEI
pxRx
z
z
Cálculo de 2: Aplicamos el 2º teorema de Mohr entre C y B:
3
02
31 R
EI
dxxEI
Rx
z
z
Condición: 1= 2
44 cm06033
64
cm14028819
E
R
E
pR
NmN3624,2306024321405123060216 RppR
Cálculo de Rmax ( pmax ):
IPN 200 a flexión:
223
máx
200,
máxmáx N/mm3,173
mmN
5,1260
cm214M
W
M
IPNz
Nm3,37093máxMMmáx:
m4233,00pR
xpxRx
M
AA
MMRpRM
RxM
máx2 6308,721
211649,04233,0
N0,48613,370936308,7 máxmáx RRM
m3
m4
152 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
IPN 220 a flexión:
223
máx
220,
máxmáx N/mm3,173
mmN
5,1260
cm278M
W
M
IPNz
Nm6,48186máxM
6,481864máx RRM
N6,12046máxR
dN0,48610,8614;6,04612mínmáxR
Por lo tanto: mN114830,48613624,23624,2 máxmáx Rp
b) Descenso vertical del punto B.
cm61,13060101,23
40048613 7
33
2zEI
R
9 Piezas y sistemas hiperestáticos 153
Problema 9.5
a) Determinar el valor máximo de la carga uniformemente repartida, pmáx , que se puede aplicar a laviga de la figura.b) Calcular asimismo el descenso que tendrá el punto C.
Resolución:
a) Imponemos la condición de compatibilidad de deformación en C, es decir, planteamos igualdad decorrimientos.
p
2R
2R
A C B
2p 2pR
x
M-
+
xR2 22 xRxR
22
12 pxpx
22
122 pxxRpx 22
122
2 xRpxxRpx
+ +-
4 m 4 m
8 m
h = 6 m
2cm5A 2cm5A
D E
A B C
p
Datos:
Viga AB: IPN 300adm= 160 MPa
E = 2,1·105 MPa( tanto para la vigaAB como para lostirantes CD y CE )
45º 45º
154 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Cálculo de C :
Aplicamos el 2º teorema de Mohr entre C 2
x y A 0x :
2 322
0
2
2221222
ozz
dxxp
xR
pEI
dxxEI
xp
xR
xp
64224221
423221 432
0
43 pRp
EIxpxR
pEI zZ
Czz
pREI
pR
EI 3845
481
1281
481
481 43
43
D E
C
2C
C
45º45º
R
2 2
A C B
9 Piezas y sistemas hiperestáticos 155
Cálculo de :
ER
E
R
EA
R 1205
260022
22
cm
2C 22120384
548
1 43
ERpR
EI zC
RpR 21209800384
108548108 8463
RpR 98,93200064 Rp 310312,2 ( p en N/ml , R en N)
Cálculo de Rmáx ( pmáx ) :
Cables a tracción:
N113137cm
N000165
22
máx22
máxmáx
máx Rcm
R
AP
adm
2cm5,cm2600 A
R22
D, E
C
R22
m26
4300, cm9800
cm800m8
IPNzI
156 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
IPN 300 a flexión:
Nm104480cm
N16000cm653 máx23máx
300,
máxmáx M
M
W
M
IPNz
|Mmáx|:
RRRRpM C 154
80010810312,281
481 4232
cm80010312,2 3 Rp
cm74,1831031,2222222
0 3 RR
pR
xpxRp
xM
xRx
xppxxRp
xMM2222
122
cm74,1832
2máx
RR
R 3974,18322
74,18374,1832
80010312,22
3
Así que Mmáx = 104480·102 N·cm = 39 Rmáx Rmáx = 267897 N
N113137267897,113137mín,sistemaadmR
Por lo tanto, el valor máximo de la carga uniformemente repartida que se puede aplicar a la viga AB,admitida por el sistema, es:
mN26157cm
N57,26111313710312,2 3máxp
b) El descenso del punto C es.
cm101,2
11313712022 7C cm9,0C
9 Piezas y sistemas hiperestáticos 157
Problema 9.6
Determinar el desplazamiento vertical de la sección C, C , en la pieza de la figura, admitiendo que lasección en todos los tramos del sistema es circular y el material es el mismo.
Datos:
G = 0.4·Ep =1000 N/mlD = 50 mma = 1 mE = 2,1·105 Mpa
Resolución:
a) Determinación de esfuerzos .Es un problema hiperestático. Consideraremos RB como incógnita hiperestática a determinar.
Esfuerzos:
Tramo BC:
2
21
pxxRM
pxRT
BZ
By
Tramo CA:
2
21
apaRM
xapRM
apRT
Bx
Bz
By
Aa
a
p
BC
D
y
z
y
z
x
x
x
x
RB
A
CB
p
158 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Aplicaremos el teorema de Castigliano para hallar la incógnita hiperestática RB :
dxRM
EIM
RM
GKM
R
T
GA
Tdx
RM
EIM
R
T
GA
T
RW A
CB
z
z
z
Bt
x
B
yyC
BB
z
z
z
B
yy
B
totalB
110
aC
B
aA
Cz
BB
B
z
BB
B dxxEI
xpaRa
GI
paaR
GApaR
dxxEI
pxxR
GApxR
0 0 0
2
1
2
1
21
121
1
33831
21
21 43434
3
0
22
1
ap
aR
ap
aR
EIa
paRGI
paaRa
paRGA BB
zBBB
paRaEI
pa
RaGI
paaRGA B
zBB
434
3
0
2
1 2411
321
21
2321
64
32
4109
109
4,0
4
4
0
2
1
DI
DI
DAA
EG
z
paRaD
Ep
aRa
DE
paaRD
EBBBB
434
43
42
2 2411
32
64
12
324.0
1232
41094.0
1
06.3
2411
326.36429322
3240
4
434322
DE
paRapaRapaaRD BBB
211 N/m101,2
N/ml1000m1
m05,0mm50
E
paD
N3.565BR
9 Piezas y sistemas hiperestáticos 159
b) Determinación de C.
Para calcular C , aplicaremos el método de la fuerza ficticia:
Esfuerzos (debidos a F):
Tramo BC:
xRM
RT
Bz
By
Tramo CA:
aRM
xFRM
FRT
Bx
Bz
By
4
3332
6.333
26.3649322400
DE
Fa
RaRaaFaRD
RW
BBB
B
total
FRB 174.0
a
z
BB
Fpara
totalC dxx
EI
xFpxxR
GAFpxR
FW
0
2
10
)174.0174,0
21
174.0174,0
(
a
BB aaFpaaR
GIGAFFpaR
0
2
01174.0174,0
211826.0
174,0(
dxxEI
xFFxpaR
z
B )826.0174,0
Integrando, entre límites, y tomando F= 0:
43
0
22
1 21174.01826.0
2174.01
paaRGI
paaRa
paRGA BBBC
C B
A
RBx
x
F
160 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
33826.0
421
3174.01 4343 a
paRa
pa
REI
BB
Z
m00225,06.3
254.0217.06.364087.0174.0932739.0652.0404
2
DE
pRpRpRD BBB
cm225,0C (en vertical, hacia abajo: igual dirección y sentido que F)
10 Inestabilidad elástica 161
10 Inestabilidad elástica
162 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 10.1
Determinar la carga máxima P que puede soportar el sistema de la figura, si la tensión máximaadmisible es de 160 MPa.
E = 2,1·106 Kp/cm2
Resolución:
Reacciones:
2630 P
RRPM CCB
PRF bV230
Kp23
máx PT
mKp3máx PM
30º 30ºIPN 100 IPN 100HEB 120
P
A B CIPN 500
3 m 6 m
4
x
A B C
P P23
2P
P23
2P
-
+
-
3 6
T
M
xPP3
323 xPxP
P
10 Inestabilidad elástica 163
IPN 500.Cálculo a flexión.
: NPmm
Ncm
NmPW
MIPNadm
IPNz
1466671602750
3500máx,23
500,
máxmáx
Puntal HEB 120. Cálculo a esfuerzo normal y a pandeo.
cm06.3;cm04.5
cm9.52;cm144
cm318;cm864
cm34
120HEB33
44
2
yz
yz
yz
ii
WW
II
A
Esfuerzo normal:
- N544000cm
N1600034 máx2máxmáx
máx NN
AN
N36266723544000 máxPP
Pandeo:
- minminiL 105131
06.3400 ( acero estructural )
el pandeo se produce en la zona
de validez de la ecuación de Euler
N1177005.31016318101.2
4
722
2
120,spsp
critHadm
LEI
NN
27
4
cmN101.2
1005.3cm400m4
cm318
E
L
II
sp
min
P23
P23
y
z
164 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
N7846623117700 máxPP
Puntales IPN 100. Comprobación a esfuerzo normal.(Tracción)
N169600cm
N160006,10 máx2
máxmáxmáx N
NA
N
N587511º30cos4
169600 máxPP
Por lo tanto, la carga máxima que puede soportar el sistema es:
N78466587511,78466,14667minP
º30cos4P
º30cos4P
º30cos4P
º30cos4P
10 Inestabilidad elástica 165
Problema 10.2
Dado el esquema de la figura, donde B, C y D son articulaciones perfectas; si la tensión máximaadmisible y el módulo de Young son los mismos para las tres barras, e iguales respectivamente a adm
= 160 MPa y E = 2,1·105 MPa.
Determinar:
a) Diagramas de momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos normales para cada barra.b) El máximo valor admisible de P.
Resolución:
a) Diagramas.
2 m
2 m
2 m2 m2 m
IPN 360
IPN 100
IPN 140
A
C
B
D
P
A
C
B
D
x
TRACCIÓN
COMPRESIÓN
22P
22P
22P
cRR4
22P
22P
cRR4
22P
N
+
-
B
2P
22P
22P
45º 45º
166 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
b) Cálculo de Padm :
IPN 360 a flexión:
23360,
máxmáx mm
N160cm1090Nm1P
WM
IPNz
N174400admP
AB
D
C
2PRA 2
P
2P
BR
T
+
-
AB
D
CM
+
xP2 22 xPxP
10 Inestabilidad elástica 167
IPN 100 a tracción:
2máxmáx N/mm160
6,1022
P
AN
N70147922106,10160 2admadm PP
IPN 140 a compresión:
5.3
2
2
LEI
CN
Nsp
critadm
5.31002024.1
2200s
min
Ci
N6,26051085,3
2.35101,24
72
admN
N7370022
N6,2605 admadm
adm PP
N
Por tanto :
N7007370073,701479,400174mínmáxP
Problema 10.3
cm2200
22P
22P
168 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Calcular la carga axial máxima que puede soportar una broca de 3 mm,
a) sin pretaladrob) con pretaladro o marcado.
2
2
N/mm320
N/mm210000
e
E
Resolución:
a) b)
2
2
p
zcr
L
EIN
Ncr
Lp=2L
Ncr
Lp=0,7LR
a)
b) 3
150 mm
10 Inestabilidad elástica 169
a) N911502
643210000
2
22
b) N7471507,0
643210000
2
22
Comprobación de la validez de la fórmula de Euler ( para b):
cumplemm
N320mm
N105
43
N747222 e
crcr A
N
NOTAS: - Se ha simplificado la obtención de I,A sin utilizar reducciones de la sección. - A los valores de 91 N y 747 N hay que aplicarles un adecuado coeficiente de seguridad.
170 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 10.4
Calcular la sección rectangular más eficiente para la pieza de aluminio sometida a compresióncentrada.
L = 500 mm , seg. pandeo= 3Datos del Al:E = 70000 N/mm2
e= 20000 N
Resolución:
La relación b-h debe ser la óptima para que la Ncr sea la misma en ambas direcciones.
Flexión eje y:
12
121
2
32
2
2
1,L
bhE
L
EIN
yp
ycr
Flexión eje z:
27,0121
2
32
2
2
2,L
bhE
L
EIN
zp
zcr
Igualando Ncr,1= Ncr,2
7,02
7,0121
2121
22
32
22
32
bh
L
bhE
L
bhE
N=20 kN
x
L
y
z
b
h
y
z
LPz=0,7·L
LPy=2·L
x
y
z
10 Inestabilidad elástica 171
Con esta relación, puede elegirse la fórmula (1) o (2):
3. NNcr
pandeoseg 32121
2
32
NL
bhE
mm1550:tomarásemm5,41mm5,14
3500220000
7,02
12170000
2
32
xhb
bb
Comprobación:
cumpleN/mm1005,415,14
60000 2e
crcr A
N
172 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 10.5 *
Calcular la carga máxima, Nmáx, en los tres casos:
Resolución:
a) En el primer caso, Nmáx=Ncr , suponiendo que la cr e
N30195210000
64190200210000
2
222
2
2
pcr L
EIN
cumpleN/mm99mm
4190200
N301952 2
222 e
crcr A
N
10m = 10000 mm10 mm 100 mm
A) B) C)
v0=L/1000 v0=L/100
Ncr =Nmáx ? Nmáx ? Nmáx ?
Acero S260
e 260 N/mm2
E=210000 N/mm2
200x5 mm
10 Inestabilidad elástica 173
b) El momento flector en el centro del vano: 22L
xvNL
xM TOTAL .
02 1
1v
NN
v
cr
LxTOTAL
crNN1
1
El corrimiento total depende de la relación crN
N .
Por la ecuación de la flexión eWM
AN
máx
222
2
0máx
máx
22máx N/mm260
10064
190200301952
1
1
4190200
vN
N
N
Para v0 = 10 mm tenemos Nmáx=269500 N
c) Para v0 = 100 mm tenemos Nmáx=152000 N
Factor de amplificación:
A)B)
C)
10 100
N
v
174 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 10.6 *
Calcular el valor de la imperfección geométrica inicial, v0, que provoca el fallo elástico del perfiltubular 100x4 mm sometido a N = 125 kN.
Resolver el problema utilizando dos modelos de cálculo:
a) Análisis de 1er orden, con la geometría caracterizada por el valor inicial v0.b) Análisis de 2º orden, considerando la amplificación del valor inicial de v0.
N = 125 kN
L = 3500 mm
100x4
v0 ?
N
Material S235:e=235 N/mm2
E= 210000 N/mm2
Tubo 100x4: A= 1206 mm2
I= 1392000 mm2
W=27840 mm2
x
y
10 Inestabilidad elástica 175
Resolución:
a) Análisis de 1er orden:
La sección más desfavorable 2L
x :
0vNMNN
2N/mm235ex WM
AN
20 N/mm52327840
1250001206
125000 v
Despejando el valor de v0:
mm2912500027840
12061250002350v
b) Análisis de 2º orden:
e
cr
x WvN
NNA
N 0
1
1
La carga crítica de Euler, Ncr:
N2355170350
13920002100002
2
2
2
pcr L
EIN
Así, el factor de amplificación vale
13,2
2351250001
1
1
1
crNN
= =
Nv0
011
vNN
NMcr
= =
NN
v0
0vNM
N
176 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Sustituyendo en la fórmula:
20 N/mm23527840
12500013,2
1206125000 v
Despejando el valor de v0:
mm7,1313,21
12500027840
12061250002350v
10 Inestabilidad elástica 177
Problema 10.7 *
Un tubo de acero 140x140x5 mm tiene una imperfección inicial de 50 mm respecto a la directrizteórica y está sometido a una leve carga de viento q = 300 N/m y a una carga axial de compresión N =100 kN.
a) Calcular la tensión normal máxima en la sección central en un análisis de 1er orden.
b) Calcular la tensión normal máxima en la sección central en una análisis de 2on orden, es decir,considerando la interacción N – M (esfuerzo normal – momento flector).
Tubo 140x140x5 mm:
A = 26,70 cm2
Iy = Iz = 821,25 cm2
iy = iz = 5,51 cmWel·y = Wel·z = 117,32 cm3
Acero S235:
E = 210000 N/mm2
e= 235 N/mm2
N = 100 kN
L = 5 mv0 = 50 mm
N = 100 kN
x
y
qy = 300 N/m
G
y
z
5
qy
140 mm
140
178 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Resolución:
En un análisis de 2on orden el diagrama de momentosflectores se ve amplificado por el efecto de lapreflecha inicial (v0) y de la interacción N-M.
a) Análisis de 1er orden (sin considerar pandeo, con la geometría inicial del enunciado).
181
02
máx,zz
zx W
vNpL
AN
WM
AN
117320
5010000050000,381
2670100000
2
cumplemm
N8862,4299,745,37 2 e
b) Análisis de 2on orden (amplificación de la preflecha inicial e interacción N-M).
21
181
0
2
2máx,z
cr
zx W
vN
NNW
pLK
AN
Cálculo de la carga crítica elástica de Euler, Ncr:
N6808555000
8212500210000mm5000 2
2
2
2
z
z
pcrp L
EINL
N
N
v0
q
1er orden2on orden
N
N
10 Inestabilidad elástica 179
Para el factor de amplificación K2, se elige la expresión aproximada (*):
172,1
6808551000001
1
1
12
crNN
K
Así, finalmente (2):
cumplemm
N7,9662,4217,199,717,145,37 2máx, ex
(*) Cálculo exacto de K:
rad602,0680855100000
22 crNN
u
177,1602,0cos602,0
602,0cos12coscos12
222uuu
K
180 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 10.8 *
Un tubo circular 100x4 mm de acero está sometido permanentemente a una carga puntualtransversal, F = 5kN, en el centro del vano.
Mediante un cilindro hidráulico se puede aplicar una carga axial variable en el extremo.
Suponiendo un comportamiento ideal de elasticidad indefinida para el material:
a) Calcular la carga axial máxima soportada por el sistema, al poder producirse su colapso porinestabilidad elástica.
b) Representar gráficamente la relación N-v, mediante un modelo teórico de 2º orden, es decir,considerando la interacción entre el esfuerzo normal y el momento flector.
A continuación, suponiendo un comportamiento real de material, con una tensión de límite elásticoe=380 N/mm2.
c) Calcular la carga N que provoca el fallo elástico del perfil.
Material S380: E = 210000 N/mm2e = 380 N/mm2
N variable
x
y
v
F=5 kN
100x4
= =
L = 5000 mm
10 Inestabilidad elástica 181
Resolución:
a)
N1154035000
13920002100002
2
2
2
pcr L
EIN
Hipótesis: Elasticidad indefinida.
b) Considerando la interacción N – M.
mm54,44139200021000048
5000500048 3
33
3
3
KK
KEILF
v
donde K3 es el factor de amplificación.
Cálculo exacto de K3:
11540322
1154032
11540321154032tg3
tg3333
NNN
u
N
NN
uuu
K
cr
Cálculo aproximado de K3:
1154031
1
1
13 N
NN
K
cr
E = 210000 N/mm2
Ncr
N
v
N N
115403 N
182 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Tabla de valores de la función N – v
N veaxct. vaprox.
0 44,54 44,54 mmNcr/4=28851 N 59,39 mmNcr/2=57701 N 89,08 mm3Ncr/4=86552 N 178,16 mm
La representación gráfica de la función N – v:
La curva de respuesta N – v, considerando la interacción entre el esfuerzo normal y el momentoflector, es asintótica al valor de la carga crítica de Euler Ncr = 115403 N.
Suponiendo una elasticidad indefinida del material el fallo de la pieza se produce con el mismo valorde Ncr.
c) Sin embargo, antes de llegar a esta situación el material habrá superado la tensión del límiteelástico. Para el material real:
eWM
KAN
eWM
AN , donde LFKM
41
( mm )
crN
crN43
2crN
4crN
115403
86552
57701
28851
( N ) N
v
50 100 150 200 250
v
5 kN NN
10 Inestabilidad elástica 183
2mmN038
27840
5000500041
1154031
11206 N
N
Resolución de la ecuación de 2º grado:
380225115403
1154031206 N
N
NN 115043
1206380225115403
120638069,954385314025965675
2NNN
cba
NN 1788746569,4751206
10 2
crNaacbb
NsentidosinN533630
N40425
120612
17887461206
14476476
24
22
Se cumplen la hipótesis de aproximación para el cálculo del factor de amplificación K:
692421154036,0404256,0 crNN
54,11
1
crNN
K
Representación gráfica del apartado c):
(N) N
115403
40425
44,5 68,5
Ncr
v (mm)
380WM
KAN
184 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
c’) Un planteamiento parecido del problema es considerar que v0=44,5 mm constituye una preflechainicial.
El momento flector LF41 resta constante y la amplificación es debida al termino
0
1
1v
NN
NvN
cr
Los resultados obtenidos no difieren excesivamente de la solución exacta:
eWM
AN , donde vNLFKM
41
2mmN380
84027115403
1
154,445000500041
1206
NN
N
Resolución de la ecuación de 2º grado:
380115403115403
2784054,44225
1206 NNN
NNN
1150432251206
38027840
11540354,44
NN
NN 69,95178874651206
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