Date post: | 16-Jul-2016 |
Category: |
Documents |
Upload: | juan-carvajal |
View: | 183 times |
Download: | 22 times |
RESONANCIA Y LUGARES GEOMÉTRICOS
Fuente senoidal con amplitud constante.
Variar la frecuencia (𝝎 = 𝟐𝝅𝒇).
Respuesta en frecuencia del circuito.
Aplicaciones: Sistemas de comunicaciones.
Circuito resonante (o sintonizado): Combinación de elementos R, L, C
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 2
Resonancia: Condición que se da en todo sistema físico cuando una función forzada senoidal de amplitud fija produce una respuesta de amplitud máxima.
Circuito resonante (R, L, C): La tensión y la corriente en los terminales de entrada están en fase (factor de potencia unitario).
Reactancia capacitiva = Reactancia Inductiva (Impedancia resistiva)
Circuito resonante serie (impedancia pequeña)
Circuito resonante paralelo (impedancia alta)
Se utilizan en filtros para sintonizar una frecuencia.
Ejemplo: Seleccionar estaciones de radio y de televisión.
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 3
En resonancia:
Impedancia en resonancia: (Valor mínimo de 𝒁𝑻)
Frecuencia de resonancia:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 4
Corriente a través del circuito en resonancia:
En resonancia el voltaje de entrada y la corriente están en fase.
En resonancia el voltaje en el capacitor y en el inductor tienen la misma magnitud pero están desfasados 180°.
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 5
Diagrama fasorial para el circuito serie en resonancia:
El factor de potencia del circuito en resonancia es:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 6
Factor de calidad 𝑸𝑺:
Relación entre la potencia reactiva y la potencia activa.
Relación entre la energía almacenada y la disipada.
Usualmente es mayor que 1.
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 7
Tensión en el inductor y en el capacitor en resonancia:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 8
𝒁𝑻 en función de la frecuencia
Módulo de la impedancia
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 9
Módulo de la impedancia
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 10
Módulo de la impedancia
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 11
Ángulo de la impedancia
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 12
SELECTIVIDAD:
Frecuencias de banda, de corte o de media potencia: 𝒇𝟏, 𝒇𝟐
Ancho de banda:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 13
∆𝐟 = 𝒇𝟐 − 𝒇𝟏 𝐁𝐖 = 𝒇𝟐 − 𝒇𝟏
𝐁𝐖 = 𝝎𝟐 − 𝝎𝟏
[𝑯𝒛]
[𝒓𝒂𝒅/𝒔]
Las frecuencias de media potencia son aquellas en que la potencia entregada es la mitad de la entregada en la frecuencia de resonancia.
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 14
Menor ancho de banda mayor selectividad
𝑸𝑺 pequeño 𝑩𝑾 grande
𝑸𝑺 grande 𝑩𝑾 pequeño
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 15
Si 𝑸𝑺 ≥ 𝟏𝟎
• La curva resonante es simétrica.
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 16
𝒇𝟏 ≈ 𝒇𝑺 −𝑩𝑾
𝟐
𝒇𝟏 ≈ 𝒇𝑺 +𝑩𝑾
𝟐
Para cualquier 𝑸𝑺
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 17
Ancho de banda fraccional:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 18
Ejercicio 1: Para el circuito de la figura:
a) Encuentre el valor de 𝑿𝑪 para la resonancia.
b) Determine la impedancia total del circuito en resonancia.
c) Encuentre la magnitud de la corriente 𝑰.
d) Calcule los voltajes 𝑽𝑹, 𝑽𝑳 y 𝑽𝑪 en resonancia.
e) ¿Cuál es el factor de calidad del circuito?
f) ¿Cuál es la potencia disipada por el circuito en resonancia?
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 19
Ejercicio 2:
a) Encuentre el ancho de banda de un circuito resonante en serie que tiene frecuencia de resonancia de 6000 Hz y 𝑸𝑺 de 15.
b) Encuentre las frecuencias de corte.
c) Si la resistencia del circuito en resonancia es de 3 Ω, ¿cuáles son los valores de 𝑿𝑳 y 𝑿𝑪 en ohms?
d) ¿Cuál es la potencia disipada en las frecuencias de corte de media potencia si la corriente máxima que fluye por el circuito es de 0,5 A?
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 20
Ejercicio 3:
a) El ancho de banda de un circuito resonante en serie es de 200 Hz. Si la frecuencia de resonancia es de 2000 Hz, ¿cuál es le valor de 𝑸𝑺 para el circuito?
b) Si 𝑹 = 𝟐 𝛀, ¿cuál es el valor de 𝑿𝑳 en resonancia?
c) Encuentre el valor de L y C en resonancia.
d) Encuentre las frecuencias de corte.
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 21
• Este circuito es ideal porque en la práctica la bobina tiene una resistencia interna.
• La admitancia total de la red es:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 22
• El circuito entra en resonancia cuando la parte imaginaria es cero.
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 23
• Gráfica de 𝒀 en función de la frecuencia:
• En resonancia, la admitancia es:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 24
Circuito LR-C en paralelo práctico (circuito tanque):
• En resonancia, la parte imaginaria es cero:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 25
• La admitancia en resonancia es:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 26
• Otro método para analizar el circuito LR-C en paralelo:
• Se encuentra una red equivalente en paralelo para la rama R-L en serie.
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 27
• Red equivalente en paralelo:
• Red equivalente con el mismo formato que la configuración ideal:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 28
Circuito LR-CR en paralelo:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 29
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 30
Lugares geométricos de impedancias o de admitancias.
Se utiliza para el estudio de circuitos que tienen un elemento variable.
• Resistencia variable: 0 Ω ∞ Ω
• Reactancia variable: -∞ Ω +∞ Ω
-∞ Ω 0 Ω Reactancia capacitiva
0 Ω +∞ Ω Reactancia inductiva
Gráfica en el plano complejo de los puntos que representan la variación de la impedancia o de la admitancia.
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 31
Caso 1: Resistencia variable y reactancia inductiva constante.
• R = 0 La impedancia es puramente inductiva.
• R = ∞ La impedancia es puramente resistiva.
Lugar geométrico de Z:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 32
𝒁 = 𝑹 + 𝒋𝑿𝟏
𝒁𝒎𝒊𝒏 = 𝒋𝑿𝟏
𝒁𝒎𝒂𝒙 = ∞
El lugar geométrico es una recta horizontal.
Lugar geométrico de Y:
• Se iguala la parte imaginaria porque la parte real es variable.
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 33
𝒁 =𝟏
𝒀
𝒀 = 𝑮 + 𝒋𝑩
𝑹 + 𝒋𝑿𝟏 =𝟏
𝑮 + 𝒋𝑩 𝑹 + 𝒋𝑿𝟏 =
𝑮
𝑮𝟐 + 𝑩𝟐+ 𝒋
−𝑩
𝑮𝟐 + 𝑩𝟐
𝑿𝟏 =−𝑩
𝑮𝟐 + 𝑩𝟐 𝑿𝟏𝑮𝟐 + 𝑿𝟏𝑩𝟐 + 𝑩 = 𝟎 𝑮𝟐 + 𝑩𝟐 +𝑩
𝑿𝟏= 𝟎
𝑮𝟐 + 𝑩𝟐 +𝑩
𝑿𝟏+
𝟏
𝟐𝑿𝟏
𝟐
=𝟏
𝟐𝑿𝟏
𝟐
𝑮𝟐 + 𝑩 +𝟏
𝟐𝑿𝟏
𝟐
=𝟏
𝟐𝑿𝟏
𝟐
Ecuación de una circunferencia
• Centro:
• Radio:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 34
𝑮𝟐 + 𝑩 +𝟏
𝟐𝑿𝟏
𝟐
=𝟏
𝟐𝑿𝟏
𝟐
𝟎, −𝟏
𝟐𝑿𝟏
𝒓 =𝟏
𝟐𝑿𝟏
𝒀𝒎𝒂𝒙 =𝟏
𝒁𝒎𝒊𝒏=
𝟏
𝒋𝑿𝟏= −𝒋
𝟏
𝑿𝟏
𝒀𝒎𝒊𝒏 =𝟏
𝒁𝒎𝒂𝒙=
𝟏
∞= 𝟎
El lugar geométrico es una semicircunferencia.
Caso 2: Resistencia variable y reactancia capacitiva constante.
• R = 0 La impedancia es puramente capacitiva.
• R = ∞ La impedancia es puramente resistiva.
Lugar geométrico de Z:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 35
𝒁 = 𝑹 − 𝒋𝑿𝟏
𝒁𝒎𝒊𝒏 = −𝒋𝑿𝟏
𝒁𝒎𝒂𝒙 = ∞
El lugar geométrico es una recta horizontal.
Lugar geométrico de Y:
• Se iguala la parte imaginaria porque la parte real es variable.
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 36
𝒁 =𝟏
𝒀
𝒀 = 𝑮 + 𝒋𝑩
𝑹 − 𝒋𝑿𝟏 =𝟏
𝑮 + 𝒋𝑩 𝑹 − 𝒋𝑿𝟏 =
𝑮
𝑮𝟐 + 𝑩𝟐+ 𝒋
−𝑩
𝑮𝟐 + 𝑩𝟐
𝑿𝟏 =𝑩
𝑮𝟐 + 𝑩𝟐 𝑿𝟏𝑮𝟐 + 𝑿𝟏𝑩𝟐 − 𝑩 = 𝟎 𝑮𝟐 + 𝑩𝟐 −𝑩
𝑿𝟏= 𝟎
𝑮𝟐 + 𝑩𝟐 −𝑩
𝑿𝟏+
𝟏
𝟐𝑿𝟏
𝟐
=𝟏
𝟐𝑿𝟏
𝟐
𝑮𝟐 + 𝑩 −𝟏
𝟐𝑿𝟏
𝟐
=𝟏
𝟐𝑿𝟏
𝟐
Ecuación de una circunferencia
• Centro:
• Radio:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 37
𝑮𝟐 + 𝑩 −𝟏
𝟐𝑿𝟏
𝟐
=𝟏
𝟐𝑿𝟏
𝟐
𝟎,𝟏
𝟐𝑿𝟏
𝒓 =𝟏
𝟐𝑿𝟏
𝒀𝒎𝒂𝒙 =𝟏
𝒁𝒎𝒊𝒏=
𝟏
−𝒋𝑿𝟏= 𝒋
𝟏
𝑿𝟏
𝒀𝒎𝒊𝒏 =𝟏
𝒁𝒎𝒂𝒙=
𝟏
∞= 𝟎
El lugar geométrico es una semicircunferencia.
Caso 3: Resistencia constante y reactancia variable.
• 𝑿: -∞ +∞
𝑿𝑪: -∞ 0
𝑿𝑳: 0 +∞
Lugar geométrico de Z:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 38
𝒁 = 𝑹𝟏 + 𝒋𝑿
𝒁𝒎𝒊𝒏 = 𝑹𝟏
El lugar geométrico es una recta vertical.
𝒁𝒎𝒂𝒙 = ∞
Lugar geométrico de Y:
• Se iguala la parte real porque la parte imaginaria es variable.
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 39
𝒁 =𝟏
𝒀
𝒀 = 𝑮 + 𝒋𝑩
𝑹𝟏 + 𝒋𝑿 =𝟏
𝑮 + 𝒋𝑩 𝑹𝟏 + 𝒋𝑿 =
𝑮
𝑮𝟐 + 𝑩𝟐+ 𝒋
−𝑩
𝑮𝟐 + 𝑩𝟐
𝑹𝟏 =𝑮
𝑮𝟐 + 𝑩𝟐 𝑹𝟏𝑮𝟐 + 𝑹𝟏𝑩𝟐 − 𝑮 = 𝟎 𝑮𝟐 −𝑮
𝑿𝟏+ 𝑩𝟐 = 𝟎
𝑮𝟐 −𝑮
𝑹𝟏+
𝟏
𝟐𝑮𝟏
𝟐
+ 𝑩𝟐 =𝟏
𝟐𝑹𝟏
𝟐
𝑮 −𝟏
𝟐𝑹𝟏
𝟐
+ 𝑩𝟐 =𝟏
𝟐𝑹𝟏
𝟐
Ecuación de una circunferencia
• Centro:
• Radio:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 40
𝟏
𝟐𝑹𝟏, 𝟎
𝒓 =𝟏
𝟐𝑹𝟏
𝒀𝒎𝒂𝒙 =𝟏
𝒁𝒎𝒊𝒏=
𝟏
𝑹𝟏
𝒀𝒎𝒊𝒏 =𝟏
𝒁𝒎𝒂𝒙=
𝟏
∞= 𝟎
El lugar geométrico es una circunferencia. 𝑮 −𝟏
𝟐𝑹𝟏
𝟐
+ 𝑩𝟐 =𝟏
𝟐𝑹𝟏
𝟐
Generalmente la tensión es constante, por lo tanto la variación de 𝑰 depende de 𝒁 o de 𝒀.
• 𝒁𝒎𝒊𝒏 , 𝑰𝒎𝒂𝒙 𝒁 = 𝟎 , 𝑰 → ∞ 𝒀𝒎𝒊𝒏 , 𝑰𝒎𝒊𝒏
• 𝒁𝒎𝒂𝒙 , 𝑰𝒎𝒊𝒏 𝒁 → ∞ , 𝑰 = 𝟎 𝒀𝒎𝒂𝒙 , 𝑰𝒎𝒂𝒙
Caso 1: Resistencia variable y reactancia inductiva constante.
• Lugar geométrico de Z:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 41
𝑰 =𝑽
𝒁= 𝑽𝒀
Lugar geométrico de Y:
El lugar geométrico de corrientes va a tener la misma forma del lugar geométrico de Y.
Se obtiene el lugar geométrico de Y y luego se multiplica por V.
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 42
𝑰 =𝑽
𝒁= 𝑽𝒀
Para 𝑽 = 𝑽 ∠𝟎°
• Lugar geométrico de corrientes:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 43
𝑰𝒎𝒂𝒙 = −𝒋𝟏
𝑿𝟏∙ 𝑽
𝑰𝒎𝒊𝒏 = 𝟎
Para 𝑽 = 𝑽 ∠𝜽
• El lugar geométrico de corrientes se desplaza un ángulo 𝜽:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 44
Caso 2: Resistencia variable y reactancia capacitiva constante.
Lugar geométrico de Z Lugar geométrico de Y
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 45
• Lugar geométrico de corrientes para 𝑽 = 𝑽 ∠𝟎°:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 46
𝑰𝒎𝒂𝒙 = 𝒋𝟏
𝑿𝟏∙ 𝑽
𝑰𝒎𝒊𝒏 = 𝟎
• Lugar geométrico de corrientes para 𝑽 = 𝑽 ∠𝜽:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 47
El circuito debe tener elementos variables.
El lugar geométrico de 𝑺 tiene la misma forma que el lugar geométrico de 𝒀 y de 𝑰.
Se obtiene el lugar geométrico de 𝒀, luego se refleja para hallar el de 𝒀∗ y finalmente se multiplica por 𝑽 𝟐.
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 48
𝑺 = 𝑽𝑰∗ 𝑺 = 𝑷 + 𝒋𝑸 𝑺 = 𝑽 𝑽𝒀 ∗ = 𝑽𝑽∗𝒀∗ = 𝑽 𝟐𝒀∗
Caso 1: Resistencia variable y reactancia inductiva constante.
Lugar geométrico de potencia compleja S
Lugar geométrico de Y
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 49
• Ejercicio 1: Determine el LG de Z y de Y para C variable.
• Solución:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 50
• Ejercicio 2: Determine el LG de Z y de Y para G variable.
• Solución:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 51
• Ejercicio 3:
Para la red de la figura, determine el LG de la admitancia Y vista por el generador.
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 52
• Solución:
• LG de Z y de Y para la combinación serie RC.
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 53
• LG de Y considerando G2.
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 54
• Ejercicio 4:
Para la red de la figura, determine el LG de la corriente 𝑰 para C variable.
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 55
• Ejercicio 5:
Para la red de la figura, determine el LG de la corriente 𝑰 para:
a) 𝑹𝑪 variable.
b) 𝑹𝑳 variable.
c) 𝑳 variable.
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 56
• Ejercicio 6:
Determine el LG de la admitancia de entrada para el circuito equivalente aproximado de un motor de inducción que se muestra en la figura.
(R’ es una resistencia que representa la carga mecánica del motor, y la potencia suministrada a R’ es la potencia útil de salida del motor)
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 57
• Solución:
03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 58
LG de 𝒁𝒎 (rama que contiene a R’)
LG de 𝐘𝐦 y de 𝐘𝐓