Date post: | 23-Jan-2016 |
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RESPUESTA EN FRECUENCIA
La respuesta en frecuencia se utiliza en:
- Diseño de sistemas de control.
- Análisis de estabilidad (Criterio de Nyquist).
Permite definir nuevos parámetros: M , w , w
El estudio de F(jw) se realiza gráficamente:
- Se emplean Diagramas de Bode, Nyquist (polar), Black
- Veremos aplicación de reglas para boceto rápido.
- Normalmente: Dibujo por ordenador: Matlab
U(s) Y(s)F(s)
u(t) = cos wt
En r.p.: y(t) = Acos (wt + )
A.e = F (jw) = |F(jw)|.e j j F(jw)
r r c
DIAGRAMAS
BODE NYQUISTBLACK (NICHOLS)
10 10010.10.01w(r/s)
10
20
-20
-10
0
A (dB)
10 10010.10.01w(r/s)
90º
180º
-180º
-90º
0º
Re(F(jw))
Im(F(jw))
1 2 3
1
2
-1-2-3-1
-2
0
90º 180º0º-90º-180º
10
20
-20
-10
0
A (dB)
w=0w=OO
w=0
w=OO
DIAGRAMA DE BODE
Abscisas: - w o f = w/(2.)
- escala logarítmica : década <> factor 10
octava <> factor 2
entre w = 1 y w = 10.......... 1 década
entre w = 1 y w = 100........ 2 décadas
entre w = 2 y w = 20.......... 1 década
entre w = 0.1 y w = 1......... 1 década
entre w = 0.03 y w = 30..... 3 décadas
Nº de décadas entre w y w : log (w /w ) (w > w )1 2 10 2 1 2 1
DIAGRAMA DE BODE
entre w = 1 y w = 2.......... 1 octava
entre w = 1 y w = 4.......... 2 octavas
entre w = 3 y w = 6.......... 1 octava
entre w = 0.1 y w = 0.8.... 3 octavas
entre w = 0.2 y w = 3.2....... 4 octavas
Nº de octavas entre w y w : log (w /w ) = 3,32 log (w /w ) 1 2 2 2 1 10 2 1
Abscisas
DIAGRAMA DE BODE
Ordenadas: - Módulo A: escala lineal en dB
- Fase :escala lineal en grados o radianes
A = 20.log AdB 10 A dBA
10 20 dB100 40 dB0.1 -20 dB0.01 -40 dB 2 3 dB 2 6 dB1/ 2 -3 dB0.5 -6 dB
1 0 dB
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
F(s)= 1/(1+s) F(jw)= 1/(1+jw) A= 1/ (1+(w) )2
A = 20.log (1/ (1+(w) )) = -10.log (1+(w) ) 2 2dB
= - arctg(w)
10/ 100/ 1/ 0.1/ 0.01/ w(r/s)
20
-40
-20
0 dB
A (dB)
w(r/s)
-90º
-45º
0º
F(jw)
-3 dB
10/ 100/ 1/ 0.01/ 0.1/
-6º -84º
-20 dB/dec
Re(F(jw))
Im(F(jw))
1/2
1
-1/2
0w=0w=OO
w=1/
0º
-45º-90º
-20
-10
0
A (dB)
F(jw)w=0
w=OO
-3 dB
Pulsación de corte: w = 1/c
w=1/
-45º
1/ 2
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
F(s)= 1+s F(jw)= 1+jw A= (1+(w) )2
A = 20.log ( (1+(w) )) = 10.log (1+(w) ) 2 2
dB
= arctg(w)
10/ 100/ 1/ 0.1/ 0.01/ w(r/s)
20
-20
40
0 dB
A (dB)
w(r/s)
90º
45º0º
3 dB
10/ 100/ 1/ 0.01/ 0.1/
6º84º
20 dB/decRe(F(jw))
Im(F(jw))
10w=0
w=OO
w=1/
0º 90º45º
20
10
0
A (dB)
w=0
w=OO
3 dB
1
w=1/
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
F(s)= s F(jw)= jw A= w
A = 20.log wdB
= 90º
10/ 100/ 1/ 0.1/ 0.01/ w(r/s)
20
-20
40
0 dB
A (dB)
w(r/s)
90º
45º0º
10/ 100/ 1/ 0.01/ 0.1/
20 dB/decRe(F(jw))
Im(F(jw))
0w=0
w=1/
0º 90º45º
20
10
0
A (dB)
w=0
1
w=OO
w=1/
w=OO
-20
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
F(s)= 1/s F(jw)= 1/jw A= 1/w
A = 20.log 1/w = -20.log wdB
= -90º
10/ 100/ 1/ 0.1/ 0.01/ w(r/s)
20
-20
40
0 dB
A (dB)
w(r/s)
-45º
-90º
0º
10/ 100/ 1/ 0.01/ 0.1/
-20 dB/dec
Re(F(jw))
Im(F(jw))
0
w=0
w=1/
0º-90º -45º
20
10
0
A (dB)
w=0
-1
w=1/
w=OO
-20
w=OO
w=1/
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
F(s)= s/(1+s) F(jw)= jw/(1+jw) A= w/ (1+(w) )2
A = 20.log (w/ (1+(w) )) = 20.log w - 10.log (1+(w) ) 2 2dB
= 90º - arctg(w)
10/ 100/ 1/ 0.1/ 0.01/ w(r/s)
20
-40
-20
0 dB
A (dB)
w(r/s)
90º
45º
0º
-3 dB
10/ 100/ 1/ 0.01/ 0.1/
84º 6º
Re(F(jw))
Im(F(jw))
1/2 1
1/2
0w=0
w=OO
0º
45º
90º
-20
-10
0
A (dB)
w=0
w=OO-3 dB
20 dB/dec
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
F(s)= (1+s)/s F(jw)= (1+jw)/jw A = (1+(w) )/w2
A = 20.log ( (1+(w) )/w) = 10.log (1+(w) ) - 20.log w2 2dB
= arctg(w) - 90º
10/ 100/ 1/ 0.1/ 0.01/ w(r/s)
20
-20
40
0 dB
A (dB)
w(r/s)
-90º
-45º
0º
3 dB
10/ 100/ 1/ 0.01/ 0.1/
-84º6º
-20 dB/dec Re(F(jw))
Im(F(jw))
10
w=0
w=OOw=1/
0º-45º-90º
20
10
0
A (dB)
w=0
w=OO3 dB
1
-1
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
s + 2s + F(s) =
n n2 2
n2
(jw) + 2jw + F(jw)=
n n2 2
n2
A= n
2
(- w ) + (2w) 2n
2 2n
2= - arctg((2w)/ (- w ))2
n2
n
0.1
w(r/s)
20
-40
-20
0 dB
A (dB)
w(r/s)
-180º
-90º
0º
=2-40 dB/dec
10n n n
=1
=0.2
=2=1
=0.2
10 n0.1 n n
Mr
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
máximo: M = 1
2 1- r n2
= 1- 2r2
n = 1- 2c2+ 2 - 4+ 42 4
Pulsación de corte:
|F(jw)|= 1/ 2 (-3 dB)
|F(jw)|
Si <=1/ 2 , |F(jw)| tiene un máximo:
Se define la pulsación de corte para c
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Re(F(jw))
Im(F(jw))
1/2
1
-1/2
0 w=0w=OO
w=
0º
-45º-90º
-20
-10
0
A (dB)
w=0
w=OO
-1n
w= n
w= n =2=1
=0.5
-180ºw= n
w= n=2
=0.5
=1
NYQUISTBLACK (NICHOLS)
CONSTRUCCION DE DIAGRAMAS DE BODE
1º Normalizar F(s) con términos de la forma:
K, s, 1 + s, /( )
2º Situar ejes: A en 20.logK en 0º (K positivo) o 180º(K negativo) + p.(90º) siendo p el exponente de s
3º Dibujar los términos s, 1 + s, /( )
4º Sumar comenzando por izda.
s + 2s + n n2 2
n2
s + 2s + n n2 2
n2
CONSTRUCCION DE DIAGRAMAS DE BODE
Ejemplo: F(s) = s + 1/3
s.(s + 1/5)
6
5
CONSTRUCCION DE DIAGRAMAS DE BODE
Ejemplo: F(s) = = s + 1/3
s.(s + 1/5)
6
5
1 + 3s
s.(1 + 5s)2 .
CONSTRUCCION DE DIAGRAMAS DE BODE
Ejemplo: F(s) = = s + 1/3
s.(s + 1/5)
6
5
1 + 3s
s.(1 + 5s)2 .
20.log2=6dB
-90º
w=1w=0.1
w=1/5w=1/3
w=1w=0.1
w=1/5
w=1/3
CONSTRUCCION DE DIAGRAMAS DE BODE
Ejemplo: F(s) = = s + 1/3
s.(s + 1/5)
6
5
1 + 3s
s.(1 + 5s)2 .
20.log2=6dB
-90º
w=1w=0.1
w=1/5w=1/3
-20 dB/dec
-20 dB/dec
20 dB/dec
w=1w=0.1
w=1/5
w=1/3
+45º
-45º
+45º/dec
-45º/dec
CONSTRUCCION DE DIAGRAMAS DE BODE
Ejemplo: F(s) = = s + 1/3
s.(s + 1/5)
6
5
1 + 3s
s.(1 + 5s)2 .
20.log2=6dB
-90º
w=1w=0.1
w=1/5w=1/3
-20 dB/dec
-20 dB/dec
-20 dB/dec
-40 dB/dec
-20 dB/dec
20 dB/dec20 dB
12,1220.log(1/(1/5))=14 dB40.log((1/3)/(1/5)) = 8,88 dB
w=1w=0.1
w=1/5
w=1/3
+45º
-45º
+45º/dec
-45º/dec
45.log((1/3)/(1/5)) = 10º
-100º
CONSTRUCCION DE DIAGRAMAS DE NYQUIST Y BLACK
1º Observar comportamiento en w = 0
2º Observar comportamiento en w= 0
3º Observar ptos importantes en F o D. Bode
0
Re(F(jw))
Im(F(jw))
0
w=0
0º-45º
20
10
0
A (dB)
w=0
-10 w=OO
-20
w=OO
-100º
-90º
-100º