UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERIA

CINÉTICA DE PARTÍCULAS

Integrantes:

Sánchez Heder

Izarra Roque

Vela Jeigly

Mérida, Noviembre 2005

(12-16) BEER. El bloque A tiene una masa de 40 kg y el bloque B tiene una masa de 8 kg los coeficientes de fricción entre todas las superficies de contacto son μs = 0,20 y μk = 0,15 Si P = 40New Determine:

a) La aceleración del bloque B b) La tensión en la cuerda Datos: mA = 40 Kg mB = 8 Kg μs = 0,20 ; μk = 0,15 P = 40 New a) aB = ? b) T = ? Los bloques se mueven debido la fuerza ejercida D.C.L. del Bloque B +Σ Fx = mB.aB T – frB – WSen 25º = mB . aB Ecuación # 1

T – μk NB – mBgSen 25º = mB . aB +ΣFy = mB . aB = 0 NB – W Cos 25º = 0 NB = mBgCos 25º = 8 (9,81) Cos 25º NB = 71,13 New Sustituimos en 1: T – (0,15) (71,13) – (8) (9,81) Sen 25º = 8 aB

B

mov.

Y

NB

FrB

WB

TX

B

aB

25º 25º

Ecuacion #2

T – 43, 84 = 8 aB D.C.L. del bloque A. +ΣFx = mA aA P Cos 25º + T - T- T- frB - frA + WA Sen 25º = mA aA

40 Cos 25º - T - frB - μkNA + mAg Sen 25º = mA aA

Donde: FrB = μk NB = (0,15) (71,13) = 10,67 New. Entonces: 40 Cos25º - T- 10,67 – (0,15) NA + (40) (9,81) Sen 25º = 40 aA

Ecuación #3

-T + 191,42-0,15NA=40aA +ΣFy = mA (aAy) = 0 NA - Nb- WA Cos 25º + P Sen 25º = 0 NA = 71,13 + (40) (9,81) Cos25º - 40 Sen 25º NA = 409,86 New Sustituimos en la Ec. 3.

-T + 191,42-0,15NA=40aA - T + 191,42 – 0,15 (409,86) = 40 aA Ecuación # 4.

- T + 129, 94 = 40aA

TT

T

Y

NB

FrB NA

P= 40 New

WA frA

25º 25º

25º

A

X

Relación de Cinemática (Longitud de la Cuerda) 2SA+ (SB- SA) = L ( ctte) SA + SB = L Derivamos 2 veces para obtener aceleración aA + aB = 0 aA = - aB //aA// = // - aB// aA = aB Sustituimos en la Ec. 4.

- T + 129, 94 = 40aA Resolvemos el Sistema compuesto por la ecuación 4 y 2 -T + 129,94 = 40aB +T + 43,84 =8aB 86, 1 = 48aB aB = 1,794 m/ seg2 Sustituimos en 2

T – 43, 84 = 8 aB T = 43, 84 + 8 (1,794) T = 58,19 New (12-90) BEER. Un collarín de 3lb puede deslizarse sobre una varilla horizontal que es libre

de rotar alrededor de la flecha vertical. El collarín es sostenido inicialmente en A por un

cordón sujeta a la flecha. Un resorte de constante 2lb/ft se sujeta al collarín y a la flecha y

no esta deformado cuando el collarín esta en A. Cuando la varilla rota a una razón θ’=16

rad/seg, el cordón es cortado y el collarín se mueve hacia fuera sobre la varilla.

Despreciando la fricción y la masa de la varilla determine:

a) Las componentes radial y transversal de la aceleración del collarín A

b) La aceleración del collarín relativa a la varilla en A

c) La componente transversal de la velocidad del collarín en B

Vista Frontal Vista Superior

No hay movimiento en dirección del eje radial en el momento antes de cortar el cordon

Entonces:

En A:

a) ar =??

aθ =??

Cuando el cordón se corta, necesita un impulso para comenzar el movimiento en dirección

del eje radial.

La única fuerza que actúa es la fuerza del resorte

= +ΣFr = m ar - Fres = m ar - Kδ = m ar pero el resorte no está deformado en A ar = 0 ya que δ = 0 porque no se a deformado el resorte

Como no hay fuerzas en la dirección del eje transversal

+ΣFθ = 0 aθ = 0 entonces: ar = aθ =0 Resp. b) acollarin/A = r¨=? ar= r¨- r θ’2= 0 r¨= r θ’2 ar = (6) (16)2

r¨= 1536 pulg/ seg2 Resp.

r¨ es el impulso que necesita el collarín para empezar a moverse en A, en la dirección del

eje radial

N

Z

X (radial)

W

F. resorte

6 plg

Transversal

radial radio

6 plg

c) VB =?

La partícula se mueve bajo la acción de una fuerza central (el resorte ).

Por lo tanto se conserva la cantidad de movimiento angular entonces:

(H0)A = (H0)B

rA.m.VA Sen φA = rB.m.VB Sen φB

(φ es el ángulo que forma r con VA )

Como r y VA son perpendicular

φA = φB = 90º Sen 90º = 1

Tenemos:

rA. VA= rB. VB

VB=rBVA rA.

VA = rA θ’A = (6) (16) = 96 Pulg/seg

VB : segPu lg/3218

)96)(6(= Resp.

(2.25) RAMON PUELLO. Un pequeño cuerpo, de masa m, desliza desde el punto mas

alto de una esfera de radio r. Encontrar el ángulo θ para el cual se cumple que la fuerza

normal sobre el cuerpo es igual a la mitad de su peso.

Datos. Masa = m Radio = r Hallar: θ =? Para que N = ½ W D.C.L. En B. Por componentes tang y normal

+ΣFn = man = m 2

ρV

W Cosθ - N = m2

rV

; N = ½ W ; W = mg ⇒ m=gW

W Cosθ - ½ W = r

2VgW

Ecuacion # 1

Cosθ - ½ = g.r

2V

2+ ΣFt = mat = m dtdv

W Sen θ = dt dv

gW

Ecuacion # 2

g sen θ = ds

vdv =dtdv

S = r θ ds = r d θ

O θ

N

Y

X W Tangente

Normal

Sustit. En 2.

g Sen θ = V d θr

dv

g r Sen θ dθ = V dv Integrando Para t=0. θ 0 = 0 V0 = 0 Asumimos que parte del reposo

gr ∫ ∫=θ

θθ0

V

0

V-Vd d Sen

- gr Cos θ VV0

2

0 2=θ

-2 gr Cos (θ - 1) = V2

Ecuacion # 3

2 Cos (θ - 1) = grv 2

Igualaremos 1 y 3 Cos θ - ½ = -2 cos (θ- 1) Cos θ - ½ = - 2 Cos (θ + 2)

3 cos θ = 65 Cos

25

=→ θ

θ = Arc Cos ( 5/6) θ = 33,56º . rpta

(2-32) RAMON PUELLO. El movimiento del bloque B sobre una mesa horizontal lisa,

esta controlado por la barra que rota alrededor de un eje vertical en 0. En la posición

mostrada B tiene los valores de velocidad Y aceleración respecto a la barra, así como los

de θ` y θ¨, Si el bloque B pesa 50 Newtons, que momento ejerce alrededor del punto 0 y la

fuerza en la dirección radial.

Datos: WB = 50 New

Hallar:

Mo =?

Fr = ?

Fr = m.ar

Fr = )( 2θrrgw

−

Fr= New. 83,3))3(1,015,0(8,9

50 2 −=− solución

Fθ= ma.θ

Fθ = ))3)(25,0(2)1( 1,0(8,9

50)2`r ( +−=+ θθ rgW

Fθ = 7,14 New

M0 = b.Fθ = (0,1) (7,14) = 0,714 New / m.

(2-47) PUELLO Un objeto se deja caer sin velocidad inicial en un medio cuya resistencia

es proporcional al cuadrado de la velocidad, con constante de proporcionalidad igual a la

décima parte de la masa del cuerpo. Encontrar el tiempo necesario para alcanzar la mitad de

la velocidad límite.

Tome g = 10 m/ seg2

Datos.

Vo = 0

Fres = k V2

K= 2m/seg 10 gcon 10gW

10==

m

Encontrar:

t = ¿ para alcanzar la mitad de la velocidad limite (1/2 V lim)

F = m.a como no conozco la masa haga m = gw

Podemos decir que a = sencontramodtdv ,

W – K V2 = dt dv

gw

dt= 22 1010

10gV-10gg

dv Vg

dvW−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

g = 10 m/ seg2

dt = 221010

Vdv−

movimiento

F. resorte

W = m x g

t = ?

½ V. Límite

Integrado t= 0 ^ Yo = 0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=−−= ∫∫∫ xa

xaaXa

dxV

dvdtvt

ln21;

1010 22

022

0

2t = ln ;1010

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

VV elevando ambos lados de la ecuación a la e nos queda

e2t = VVVV

+=−→−+ 10)10(e

1010 2t

10e2t – Ve2t = 10+ V 10e2t –10 = V (1+e2t)

V = t

t

ee

2

2

11010

+− ; pero la V lim ocurre cuando t ∞

Entonces :

V lim = lim tt

t

eee

2

2t

2

2 10e tLim L´H

11010

∞→==

+−

Por lo tanto V lim = 10

Nos piden calcular

t=? Cuando V= ½ V lim = ½ * 10 = 5

Sustituyendo en la ecuación 1 obtenemos lo siguiente

t= ½ . ln seg 55,0)3( ln21

510510

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

(13-81) HIBBELER. Si la bicicleta y la ciclista tienen un peso total de 180lb, determine la

fuerza normal resultante que actúa sobre la bicicleta cuando pasa por el punto A mientras

desciende libremente a vA = 6 pies/ s. Calcule también el incremento en la rapidez de la

bicicleta en este punto. Desprecie la resistencia debido al viento y el tamaño de la bicicleta

y la ciclista.

Datos:

W = 180 lb

Determine:

NA =?? Donde VA = 6 pies /seg

At = ?? Incremento de la rapidez en A.

Solución:

D.C.L. en A

Por componente tangencial y normal

+ ΣFn= m.an= m ρ

2V

W Cos α - N = gW

ρ

2V

Ecuacion # 1

N = W (cos α - )2

ρgV

O θ

N

W

Normal

θ θ

θ tangencial

C

+ +

Calcular. De α

La Pendiente de la tangente a la curva en A esta dada por:

m = tg α= Adxdy

Tg α = 20 (- Sen piesYXA

),5(20

20

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Π

Tg α = Sen ),5( 20

yXA⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Π

Tg α = - Π Sen ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Π

205

Tg α = - Π Sen (Π/4) = - Π 22

α = Arc tg ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Π−2

2

α = 65, 76º

calcular De ρ

Cuando la curva está dada de la forma y = f (x),

ρ = 2/3

21

´´)(1⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +y

y

Donde:

y = 20 Cos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Π

20X

Y` = -Π Sen 20

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Π

Ax

22 .Π

Y ``= -20

2π . Cos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Π

20X = -

402.2π

Sustituimos.

ρ [ ]⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−+

4022

)2/2(12/32

π

π = 41,43 Pulgadas

Sustituyendo en 1

N = 180 ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

)43,41(2.326.76.65(Cos

N = 69,04 lb) Rpta

+ Σtg = m at

W Sen atgw

=α

at = g Sen α = (32.2) Sen (65.76º)

at = 29.36 pies / seg2 ) Rpta.