Date post: | 16-Aug-2015 |
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Resumen Calculo III (2015-1)
Juyoung Wang
A) Derivadas parciales
a-0) Algebra lineal:
Sea A una matriz cuadrada de n dimensiones:
- Multiplicacion de las matrices: Sea C = A ⋅ B con las minusculas respectivas son sus
elementos respectivos, se calcula los elementos de la matriz C de la siguiente forma.
𝑐𝑖,𝑗 = ∑ 𝑎𝑖,𝑘𝑏𝑘,𝑗
𝑛
𝑘=1
Tip:
Se multiplica fila de A con la columna de B. Si A es una matriz de 𝑚 × 𝑛 y B de
𝑛 × 𝑙, mediante esta operacion, obtendremos una matriz de de 𝑚 × 𝑙.
Deben coincidir las cantidades de las columnas de la primera matriz con la
cantidades de las filas de la segunda matriz.
Por esta razon, AB ≠ BA en general y si AB = BA ⇒ (A = I ∧ B = I) ∨ (B = A−1)
- Matriz de identidad: Es una matriz cuadrada de n dimensines con sus diagonales 1 y
los restos igual a 0.
- Matriz inversa: Sea A una matriz, llamaremos a una matriz B como la inversa de A si
y solo si AB = I con B ≠ I y lo denotaremos con A−1.
- Determinante: Sea A una matriz cuadrada, definiremos su determinante como:
det(𝐴) = ∑(−1)𝑖+𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑎𝑖,𝑗𝑀𝑖,𝑗 = ∑ 𝑠𝑔𝑛(ℴ)
ℴ⊂𝑆𝑛
∏ 𝑎𝑖,ℴ𝑖
𝑛
𝑖=1
= det(𝐴𝑇)
a-1) Funcion de varias variables:
Funcion de n variables:
Sea A el dominio de la funcion 𝑓, lo llamaremos como una funcion de n variables, si
(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛) ∈ 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 con 𝑛 > 1. Se denota mediante la siguiente notacion:
𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 ⟶ ℝ
Grafica de 𝑓:
Sea 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 ⟶ ℝ, definiremos la grafica de 𝑓 como el subconjunto de ℝ𝑛+1 y
se denota como:
𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑓 = *(𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑛 , 𝑓(𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑛)) ∈ ℝ𝑛+1 | (𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛+
Conjunto de nivel:
Sea 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 ⟶ ℝ y sea c ∈ ℝ, entonces el conjunto de nivel del valor c se
define como aquellos puntos 𝑥 ∈ 𝑈 para los cuales 𝑓(𝑥) = 𝑐.
*𝑥 ∈ 𝑈|𝑓(𝑥) = 𝑐+ ⊂ ℝ𝑛
Curvas del nivel: Es un caso particular. Es para 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 ⟶ ℝ con 𝑛 = 2.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 con 𝑘 = 𝑐𝑡𝑒
Superficie de nivel: Es un conjunto de nivel para 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 ⟶ ℝ con 𝑛 = 3.
Tecnica para graficar una funcion de dos variables:
1) Dibujar las curvas de nivel.
2) Dibujar la interseccion entre la 𝑓 y el plano xy y el otro entre el plano xz.
3) Elevar las curvas dibujadas en el plano xy.
a-2) Limites y continuidad:
Conjunto abierto:
Sea 𝑈 ⊂ ℝ𝑛, decimos que 𝑈 es un conjunto abierto, cuando:
∀𝑥𝑜 ∈ 𝑈, ∂𝑟 > 0 | 𝐷𝑟(𝑥𝑜) ⊂ 𝑈
donde: 𝑫𝒓(𝒙𝒐): Es el Interior de un disco de radio 𝑟 con su centro en 𝑥𝑜 . Se
define como el conjunto de todos los puntos 𝑥 tales que
‖𝑥 − 𝑥𝑜‖ < 𝑟.
Es decir, un conjunto esta abierto los borde del conjunto U no pertencen a U.
Tip: Por convencion, decimos que un conjunto vacio (∅) es un conjunto abierto.
Teorema:
Para cada 𝑥𝑜 ∈ ℝ𝑛 y 𝑟 > 0, 𝐷𝑟(𝑥𝑜) es un conjunto abierto.
Punto frontera:
Sea A ⊂ ℝ𝑛, un punto x ∈ ℝ𝑛 es punto frontera de A, si toda vecindad de 𝑥 contiene
al menos un punto en A y al menos un punto fuera de A.
Un punto frontera de A es un punto justo en el borde de A por las siguientes
razones:
i) Por la definicion del conjunto abierto, ningun punto del conjunto abierto
A puede ser el punto frontera de A.
ii) Es decir, un punto x puede ser un punto frontera del conjunto A si y solo
si esta fuera del conjunto y que toda vecindad de x tenga interseccion
no vacia con A.
Limite:
Sea 𝑓: 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 , donde A es conjunto abierto, sea 𝑥𝑜 un punto en A o en la
frontera de A, y sea 𝑉 una vecindad de 𝑏 ∈ ℝ𝑚, decimos que 𝑓 esta eventualemente
en 𝑉 conforme 𝑥 tiende a 𝑥𝑜 , si existe una vecindad 𝑈 de 𝑥𝑜 tal que 𝑥 ≠ 𝑥𝑜 , 𝑥 ∈ U
y entonces 𝑥 ∈ A implica 𝑓(𝑥) ∈ V.
En los simbolos, decimos que 𝑓(𝑥) tiende a 𝑏.
lim𝑥→𝑥𝑜
𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑜 𝑓(𝑥) → 𝑏, cuando 𝑥 → 𝑥𝑜
En una terminologia simple, decimos que 𝑓(𝑥) esta cercca de 𝑏, si 𝑥 tiende a 𝑥𝑜 .
Si 𝑥 → 𝑥𝑜 no implica 𝑓(𝑥) → 𝑏, con 𝑏 un numero particular, entonces decimos
que el limite no existe.
Teorema: Unicidad de los limites.
Si lim𝑥→𝑥𝑜
𝑓(𝑥) = 𝑏1 y lim𝑥→𝑥𝑜
𝑓(𝑥) = 𝑏2 ⇒ 𝑏1 = 𝑏2
Teorema: Sean 𝑓: 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 , 𝑔: 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚, xo un elemento de A o un
punto frontera de A, 𝑏 ∈ ℝ𝑚 y 𝑐 ∈ ℝ, entonces:
i) Si lim𝑥→𝑥𝑜𝑓(𝑥) = 𝑏 , entonces lim𝑥→𝑥𝑜
𝑐𝑓(𝑥) = 𝑐𝑏 , donde 𝑐𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚 esta
defina por 𝑥 → 𝑐(𝑓(𝑥)).
ii) Si lim𝑥→𝑥𝑜𝑓(𝑥) = 𝑏1 y lim𝑥→𝑥𝑜
𝑔(𝑥) = 𝑏2 , entonces lim𝑥→𝑥𝑜(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑏1 +
𝑏2 , donde (𝑓 + 𝑔): A → ℝ𝑚 esta definida por 𝑥 → 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥).
iii) Si 𝑚 = 1, lim𝑥→𝑥𝑜𝑓(𝑥) = 𝑏1 y lim𝑥→𝑥𝑜
𝑔(𝑥) = 𝑏2, entonces
lim𝑥→𝑥𝑜(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑏1𝑏2, donde (𝑓𝑔): 𝐴 → ℝ esta defina por 𝑥 → 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥).
iv) Si 𝑚 = 1, lim𝑥→𝑥𝑜𝑓(𝑥) = b ≠ 0 y 𝑓(𝑥) ≠ 0 ∀x ∈ 𝐴, entonces
lim𝑥→𝑥𝑜
1
𝑓(𝑥)=
1
𝑏, donde
1
𝑓: 𝐴 → ℝ esta defina por 𝑥 →
1
𝑓(𝑥).
v) Si 𝑓(𝑥) = (𝑓1(𝑥), ⋯ , 𝑓𝑚(𝑥)) donde 𝑓𝑖: 𝐴 → ℝ , 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚 , son las funciones
componentes de 𝑓, entonces lim𝑥→𝑥𝑜𝑓(𝑥) = 𝑏, si y solo si lim𝑥→𝑥𝑜
𝑓𝑖(𝑥) = bi
para cada 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚.
Teorema: Sean 𝑔: 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 , 𝑓: 𝐵 ⊂ ℝ𝑚 → ℝ𝑝, suponer que 𝑔(𝐴) ⊂ 𝐵 , de
manera que 𝑓 𝑜 𝑔 = (𝑓(𝑔)) esta definida en A. Si 𝑔 es continua en 𝑥𝑜 ∈ 𝐴 y 𝑓
es continua en 𝑦𝑜 = 𝑔(𝑥𝑜), entonces 𝑓 𝑜 𝑔 es continua en 𝑥𝑜 .
Teorema: Sean 𝑓: 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ una funcion dada, entonces 𝑓 es continua en
𝑥𝑜 ∈ 𝐴 si y solo si:
∀ε > 0 ∂δ > 0 |( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ‖𝑥 − 𝑥𝑜‖ < δ) ⟹ ‖𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥𝑜)‖ < 휀
Tecnicas para verificar la existencia del limite:
Verificar la coincidencia de los limites iterados: Sea 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ2 → ℝ, llamaremos
como limites iterados a:
lim(𝑥,𝑦)→(𝑥,0)
𝑓(𝑥, 𝑦) lim(𝑥,𝑦)→(0,𝑦)
𝑓(𝑥, 𝑦)
i) Si son distintos: No existe limite.
ii) Si son iguales:
a) Verificar utilizando 𝑦 = 𝑘𝑥 e 𝑦 = 𝑥𝑚 .
b) Utilizar coordenadas polares:
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑒 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛(𝜃)
Si el limite calculado no es dependiente de 𝑟 , sino de 𝜃 ,
entonces el limite no existe.
Y si el limite convertido en polares admite un valor definido,
entonces el limite si existe y admite ese valor dado.
c) Verificar por definicion.
Continuidad:
Sea 𝑥0 ∈ 𝐷, sea 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ una funcion y 𝐷 un conjunto abierto, diremos que 𝑓
es continua en 𝑥0 si:
lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)
Utilizando esta propiedad, podemos definir:
Sea 𝑓, 𝑔 funciones continuas en 𝑥0 ∈ 𝐷 con 𝑓, 𝑔: 𝐷 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ, entonces:
a) 𝑓 ± 𝑔 tambien es continua en 𝑥0.
b) 𝑓 ∙ 𝑔 tambien es continua en 𝑥0.
c) 𝑓/𝑔 tambien es continua en 𝑥0, si 𝑔(𝑥0) ≠ 0.
a-3) Diferenciacion:
Derivada parcial:
Sean 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 un conjunto abierto y 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ una funcion con valores reales,
entonces definiremos la derivada parcial de 𝑓 respecto a 𝑗 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑥 como:
𝑓𝑥𝑗(𝑥1, ⋯ 𝑥𝑗 , ⋯ 𝑥𝑛) =
∂𝑓
∂𝑥𝑗(𝑥1, ⋯ 𝑥𝑗 , ⋯ 𝑥𝑛) = lim
→0
𝑓(𝑥1, ⋯ 𝑥𝑗 + , ⋯ 𝑥𝑛) − 𝑓(𝑥1, ⋯ 𝑥𝑗 , ⋯ 𝑥𝑛)
= lim
→0
𝑓(�⃗� + ∙ 𝑒𝑗) − 𝑓(�⃗�)
Es lo mismo que derivar una funcion pero tomando las otras variables como
constantes.
Diferenciabilidad:
Sea 𝑓: ℝ2 → ℝ, decimos que 𝑓 es diferenciable en (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜), si existen 𝛿𝑓(𝑥𝑜,𝑦𝑜)
𝛿𝑥 y
𝛿𝑓(𝑥𝑜,𝑦𝑜)
𝛿𝑦 y satisface la siguiente ecuacion, cuando (𝑥, 𝑦) → (𝑥𝑜, 𝑦𝑜):
lim(𝑥,𝑦)→(𝑥𝑜,𝑦𝑜)
𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥𝑜 , 𝑦𝑜) − [𝜕𝑓𝜕𝑥
(𝑥𝑜, 𝑦𝑜)] (𝑥 − 𝑥𝑜) − [𝜕𝑓𝜕𝑦
(𝑥𝑜, 𝑦𝑜)] (𝑦 − 𝑦𝑜)
‖(𝑥, 𝑦) − (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜)‖= 0
Esta propiedad puede ser simplificada de la siguiente manera:
Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ tal que ∂f
∂x y
∂f
∂y son continuas en (𝑥0, 𝑦0) ,
entonces 𝑓 es diferenciable.
Y si 𝑓 es diferenciable, entonces 𝑓 es continua.
En resumen:
Derivadas parciales continuas ⇒ Diferenciable ⇒ Continua
No continua ⇒ No Diferenciable
Plano tangente en 3D:
Sean ∂𝑓
∂𝑥𝑗= 𝑓𝑥𝑗 continuas ∀𝑗 ∈ ℕ , sea 𝑡 el vector tangente a la curva C de 𝑓
parametrizados, definiremos el plano tangente al punto 𝑃(𝑥𝑜 , 𝑦𝑜, 𝑧𝑜) como:
𝑧 = 𝑓(𝑥𝑜 , 𝑦𝑜) + [𝜕𝑓
𝜕𝑥(𝑥𝑜 , 𝑦𝑜)] (𝑥 − 𝑥𝑜) + [
𝜕𝑓
𝜕𝑦(𝑥𝑜 , 𝑦𝑜)] (𝑦 − 𝑦𝑜) = ∇𝑓(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) ∙ (𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0) = 0
Propiedades de la derivada:
Regla de la cadena: Sea 𝑓: ℝ2 → ℝ con 𝑓 = 𝑓(𝑢, 𝑣), 𝑢 = 𝑢(𝑥), 𝑣 = 𝑣(𝑥):
𝜕𝑓
𝜕𝑥=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡+
𝜕𝑓
𝜕𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑥= 𝛻𝑓 ⋅ [
𝜕𝑢
𝜕𝑥,𝛿𝑣
𝛿𝑥]
Regla del multiplo constante:
Sea 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚, diferenciable en 𝑥𝑜 , y sea 𝑐 un numero real, entonces
(𝑥) = 𝑐𝑓(𝑥) es diferenciable en 𝑥𝑜 y:
𝐷(𝑥𝑜) = 𝑐𝐷𝑓(𝑥𝑜) (Igualdad de matrices).
Regla de la suma:
Sean 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 y 𝑔: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 diferenciable en 𝑥𝑜 , entonces
(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) es diferenciable en 𝑥𝑜 y:
𝐷(𝑥𝑜) = 𝐷𝑓(𝑥𝑜) + 𝐷𝑔(𝑥𝑜) (Suma de matrices).
Regla del producto:
Sean 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ y 𝑔: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ iferenciable en 𝑥𝑜 , y sea (𝑥) =
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), entonces : 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ es diferenciable en 𝑥𝑜 y:
𝐷(𝑥𝑜) = 𝐷𝑓(𝑥𝑜)𝑔(𝑥𝑜) + 𝑓(𝑥𝑜)𝐷𝑔(𝑥𝑜)
Regla del cuociente:
Sean 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ y 𝑔: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ diferenciable en 𝑥𝑜 , y sea (𝑥) =
𝑓(𝑥)/ 𝑔(𝑥), entonces : 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ es diferenciable en 𝑥𝑜 y:
𝐷(𝑥𝑜) =𝐷𝑓(𝑥𝑜)𝑔(𝑥𝑜) − 𝑓(𝑥𝑜)𝐷𝑔(𝑥𝑜)
,𝑔(𝑥𝑜)-2
Regla de la cadena:
Sean 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 y 𝑉 ⊂ ℝ𝑚 abiertos con 𝑔: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 y 𝑓: 𝑉 ⊂ ℝ𝑚 → ℝ𝑝
funciones dadas que 𝑔 manda a 𝑈 en 𝑉 con (𝑓 𝑜 𝑔) definida. Si 𝑔 es
diferenciable en 𝑥𝑜 y 𝑓 diferenciable en 𝑦𝑜 = 𝑔(𝑥𝑜) , entonces (𝑓 𝑜 𝑔) es
diferenciable en 𝑥𝑜y:
𝐷(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥𝑜) = 𝐷 .𝑓(𝑔(𝑥𝑜))/ = 𝐷𝑓(𝑥𝑜)𝐷𝑔(𝑥𝑜)
Gradiente: Se define como un vector compuesto por las derivadas parciales de las
variables de una funcion 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ.
𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓) = ∇𝑓 = [𝜕𝑓
𝜕𝑥1
(𝑥0), ⋯ ,𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛
(𝑥0)]
Propiedad: Sea 𝑓: ℝ3 → ℝ una funcion de clase ∁1 y (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0) un punto de la
superficie de nivel 𝑆 dado por 𝑓(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0) = 𝑘 con 𝑘 constante, entonces
∇𝑓(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) es normal a la superficie 𝑆 en el punto (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0).
∇𝑓 ⊥ 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ⇒ ∇𝑓: Vector normal al plano tangente.
Calcular Hiperplano tangente de 𝑓 en (x1o, 𝑥2𝑜, ⋯ , 𝑥𝑛𝑜), usando de gradiente:
Sea ∇𝑓(x1o, 𝑥2𝑜, ⋯ , 𝑥𝑛𝑜) = (𝑎1, ⋯ , 𝑎𝑛), se define el hiperplano tangente de
𝑓 en (x1o, 𝑥2𝑜 , ⋯ , 𝑥𝑛𝑜), como:
𝜋: ∇𝑓(x1o, 𝑥2𝑜, ⋯ , 𝑥𝑛𝑜) ⋅ (
𝑥1𝑜 − 𝑎1
⋮𝑥𝑛𝑜 − 𝑎𝑛
) = 0
Calcular la recta normal a la superficie 𝑓 en (x0, 𝑦0, 𝑧0), usando gradiente:
Sea ∇𝑓(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) = (𝑎, 𝑏, 𝑐), la recta normal a la superficie es:
𝑥 − 𝑥0
𝑎=
𝑦 − 𝑦0
𝑏=
𝑧 − 𝑧0
𝑐
Derivada direccional:
Sea 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ3 → ℝ , se define la derivada de 𝑓 en la direccion �̂� en el punto 𝑥0
como:
d
dx𝑓(𝑥0 + 𝑡�̂�)|
𝑡=0= 𝐷𝑣𝑓(𝑥0) = ∇𝑓(𝑥0) ⋅ �̂� = 𝑓𝑥 ∙ 𝑣1 + 𝑓𝑦 ∙ 𝑣2 + 𝑓𝑥 ∙ 𝑣3, si este existe.
Teorema: Si ∇𝑓 ≠ 0 , esto siempre apunta en la direccion en la cual 𝑓 crece mas
rapidamente. Y esto hace que la derivada tome su maximo valor cuando ∇𝑓 ∥ �̂�.
Teorema de Clairaut:
Sea (𝑎, 𝑏) un punto contenido en un disco 𝐷, si 𝑓 es una funcion de clase ∁2,
entonces:
𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥
donde:
𝑓𝑥𝑦 =𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥=
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥 𝑓𝑦𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
Maximos y minimos:
Maximo: Sea 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ una funcion, sea 𝑥0 ∈ 𝐷 un punto, diremos que 𝑥0
es un maximo de 𝑓 en 𝐷, si:
𝑓(𝑥0) ≥ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷
Maximo local: Diremos que 𝑥0 es una maximo local de 𝐷 , si existe
𝐷𝑟(𝑥0) ⊆ D tal que:
𝑓(𝑥0) ≥ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑟(𝑥0) y para algun 𝑟 ∈ ℝ
Minimo: Sea 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ una funcion, sea 𝑥0 ∈ 𝐷 un punto, diremos que 𝑥0
es un maximo de 𝑓 en 𝐷, si:
𝑓(𝑥0) ≤ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷
Minimo local: Diremos que 𝑥0 es una minimo local de 𝐷 , si existe
𝐷𝑟(𝑥0) ⊆ D tal que:
𝑓(𝑥0) ≤ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑟(𝑥0) y para algun 𝑟 ∈ ℝ
Propiedad: Si 𝑓 posee un maximo o un minimo en x0, entonces ∇𝑓(𝑥0) = 0⃗⃗.
Matriz Hessiana: Sea 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ una funcion con derivadas parciales hasta
3er orden, sea hi los errores de la derivada y sea x0 un punto critico, se tiene que:
𝑓(𝑥0 + ) − 𝑓(𝑥0) = 𝑇𝐻(𝑓(𝑥0))
donde, para ℝ2: = (1
2) y 𝐻 = (
𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑥𝑦
𝑓𝑦𝑥 𝑓𝑦𝑦)
Forma cuadratica de la matriz Hessiana:
Minimo local Maximo local Punto silla
∇𝑓(𝑃0) = 0⃗⃗ 𝑓𝑥𝑥(𝑃0) > 0
(𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦)2
)(𝑃0) > 0
∇𝑓(𝑃0) = 0⃗⃗ 𝑓𝑥𝑥(𝑃0) < 0
.𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦)2
/ (𝑃0) > 0
.𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦)2
/ (𝑃0) < 0
Conjunto acotado: Sea 𝐷 ⊆ ℝ𝑛, diremos que Sea 𝐷 es un conjunto acotado, si
existe un disco o una bola 𝐵𝑟(𝑥0) con 𝑥0 ∈ 𝐷 tal que 𝐷 ⊆ 𝐵𝑟(𝑥0).
Teorema del maximo: Sea 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ una funcion continua con 𝐷 un
conjunto cerrado y acotado, esta funcion siempre admite maximo y minimo.
Buscar maximos y minimos:
i) Analizar en el interior de D, los maximos y los mminimos,
buscando puntos criticos (∇𝑓 = 0) y luego, revisar H.
ii) Buscar en la frontera de D. Para esto, tenemos que parametrizar
la frontera en una variable.
Metodo de Lagrange:
Sea 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ una funcion de clase ∁2 y S: *𝑔(𝑥) = 𝑐 una
superficie o curva de nivel, sea 𝑥0 ∈ 𝐷 un punto tal que 𝑔(𝑥0) = c, con
∇𝑔(𝑥0) ≠ 0⃗⃗.
Si 𝑓|𝑆 (𝑓 restringida en 𝑆) posee un maximo o un minimo local en 𝑥0 ,
entonces se tiene que:
∇𝑓(𝑥0) = 𝜆∇𝑔(𝑥0)
donde: 𝜆: Multiplicador de Lagrange.
𝑥0: Punto critico.
Teorema: Si 𝑓|𝑆 posee un maximo o un minimo en 𝑥0 , ∇𝑓(𝑥0) es
perpendicular al S en 𝑥0.
TFIs:
Teorema de la funcion implicita:
Sean:
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣) = 0 𝑦 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣) = 0
Si:
|𝜕(𝐹, 𝐺)
𝜕(𝑢, 𝑣)| = det (
𝐹𝑢 𝐹𝑣
𝐺𝑢 𝐺𝑣) ≠ 0
Se tiene que:
𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦)
Teorema de la funcion inversa:
Sea 𝐹: ℝ𝑛 → ℝn, si det (𝐽𝐹)(𝑃0) ≠ 0, ∂F−1 en el punto 𝑃0 ∈ ℝ𝑛 y para este caso:
𝐽𝐹−1(𝑃0) = (𝐽𝐹(𝑃0))−1
B) Integrales multiples
a-1) Integrales dobles:
Sea 𝑅 = ,𝑎, 𝑏- × ,𝑐, 𝑑- un conjunto en ℝ2 , para este rectangulo R, consideraremos una
particion::
𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏
𝑐 = 𝑦0 < 𝑦1 < ⋯ < 𝑦𝑛−1 < 𝑦𝑛 = 𝑑
De este modo, generando los sub-rectangulos:
𝑅𝑖𝑗 = ,𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1- × [𝑦𝑗 , 𝑦𝑗+1] = ∆𝑥𝑖 × ∆𝑦j
Sea 𝑓: ℝ2 → ℝ una funcion continua y sea 𝑐𝑖𝑗 ∈ 𝑅𝑖𝑗 :
lim(𝑚,𝑛)→∞
∑ ∑ 𝑓(𝑥𝑖𝑗∗ , 𝑦𝑖𝑗
∗ )(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)(𝑦𝑗+1 − 𝑦𝑗)
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
= lim(𝑚,𝑛)→∞
∑ 𝑓(𝑐𝑖𝑗)∆𝑥𝑖∆𝑦𝑗
𝑛,𝑚
𝑗,𝑖=1
Y esta suma de Riemann, lo expresaremos de la siguiente manera:
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
,𝑎,𝑏-×,𝑐,𝑑-
= ∬ 𝑑𝐴
𝑅
Propiedad:
i) ∬ 𝑘𝑓𝑑𝐴
𝑅= 𝑘 ∬ 𝑓𝑑𝐴
𝑅
ii) Si 𝑅 = 𝑅1 ∪ 𝑅2: ∬ 𝑓𝑑𝐴
𝑅= ∬ 𝑓𝑑𝐴
𝑅1+ ∬ 𝑓𝑑𝐴
𝑅2,
iii) ∬ (𝑓 + 𝑔)𝑑𝐴 =
𝑅∬ 𝑓𝑑𝐴
𝑅+ ∬ 𝑔𝑑𝐴
𝑅
iv) ∬ (𝑓 + 𝑔)𝑑𝐴 =
𝑅
v) Si 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑔(𝑥, 𝑦) para (𝑥, 𝑦) ∈ R, entonces: ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ≤
𝑅∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
Teorema: Sea 𝑓 una funcion continua en 𝑅 = ,𝑎, 𝑏- × ,𝑐, 𝑑-, entonces diremos que la
funcion es integrable. Dicho de otra manera:
∂ ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
Teorema de Fubini: Sea 𝑓 una funcion continua sobre 𝑅 = ,𝑎, 𝑏- × ,𝑐, 𝑑-, entonces:
∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑
𝑐
𝑏
𝑎
𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑏
𝑎
𝑑
𝑐
𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
Integrales dobles sobre regiones generales:
I) Region del tipo I:
Un conjunto 𝐷 ⊆ ℝ2, se dira del tipo I si:
𝐷 ≔ *(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑦 𝑔1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2(𝑥)+ con 𝑔1 y 𝑔2 continuas,
Sobre este tipo de regiones, denotaremos:
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑔2(𝑥)
𝑔1(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑦𝑑𝑥
II) Region del tipo II:
Un conjunto 𝐷 ⊆ ℝ3, se dira del tipo II si:
𝐷 ≔ *(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 𝑦 1(𝑥) ≤ 𝑥 ≤ 2(𝑥)+ con 1 y 2 continuas,
Sobre este tipo de regiones, denotaremos:
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)2(𝑥)
1(𝑥)
𝑑
𝑐
𝑑𝑥𝑑𝑦
III) Region del tipo III:
Un conjunto 𝐷 ⊆ ℝ2, se dira del tipo III, si es del tipo I o del tipo II.
Cambio de variables en polares: Sea 𝑓 una funcion continua en un rectangulo polar R
dado por 0 ≤ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 y 𝛼 ≤ 𝑐 ≤ 𝛽, donde 0 ≤ 𝑏 − 𝛼 ≤ 2𝜋, tenderemos:
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑎
𝐷
= ∬ 𝑓(𝑟 cos(𝜃) , 𝑟 𝑠𝑖𝑛(𝜃)) ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝐷
Aplicacion de las integrales dobles:
a) Masa: Sea 𝐷 ⊆ ℝ2 una region con densidad puntual 𝜌(𝑥, 𝑦), la masa de D sera:
𝑚(𝐷) = ∬ 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
b) Momento: Se definen los momentos de D respecto a los ejes x e y como:
𝑀𝑥 = ∬ 𝑦𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
𝑀𝑦 = ∬ 𝑥𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
c) Centro de masa:
(�̅�, �̅�) = (𝑀𝑦
𝑚,𝑀𝑥
𝑚) = (
∬ 𝑥𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
∬ 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
,∬ 𝑦𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
∬ 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
)
d) Momento de inercia:
𝐼𝑥 = ∬ 𝑦2𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
𝐼𝑦 = ∬ 𝑥2𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
Momento polar de inercia: Es el momento de inercia calculado respecto al
origen.
𝐼𝑂 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 = ∬(𝑥2 + 𝑦2)𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
Teorema de Steiner:
𝐼𝐸𝑃 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑚𝑑2
donde: 𝐼𝐸𝑃 : Momento de inercia de un punto con eje paralelo al centroide.
𝐼𝐶𝑀 : Momento de inercia calculado respecto al centro de masa.
𝑚: Masa del objeto.
𝑑: Distancia entre los ejes paralelos.
a-2) Integrales triples:
Sea B una caja en 3D que tiene la siguiente forma:
𝐵 = *(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝑟 ≤ 𝑧 ≤ 𝑠+
De esta manera, podemos extraer las sub-cajas de la caja B:
𝐵𝑖𝑗𝑘 = ,𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1- × [𝑦𝑗 , 𝑦𝑗+1] × ,𝑧𝑘 , 𝑧𝑘+1- = ∆𝑥𝑖 × ∆𝑦j × ∆𝑧𝑘
Sea 𝑓: ℝ → ℝ una funcion continua y sea 𝑐𝑖𝑗𝑘 ∈ 𝑅𝑖𝑗𝑘 :
lim(𝑙,𝑚,𝑛)→∞
∑ ∑ ∑ 𝑓(𝑥𝑖𝑗𝑘∗ , 𝑦𝑖𝑗𝑘
∗ , 𝑧𝑖𝑗𝑘∗ )(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)(𝑦𝑗+1 − 𝑦𝑗)
𝑛
𝑘=1
(𝑧𝑘+1 − 𝑧𝑘)
𝑚
𝑗=1
𝑙
𝑖=1
= lim(𝑙,𝑚,𝑛)→∞
∑ 𝑓(𝑐𝑖𝑗𝑘)∆𝑥𝑖∆𝑦𝑗
𝑙,𝑚,𝑛
𝑖,𝑗,𝑘=1
∆𝑧𝑘
Y esta suma de Riemann, lo expresaremos de la siguiente manera:
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
,𝑎,𝑏-×,𝑐,𝑑-×,𝑟,𝑠-
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝐵
𝑑𝑉
Teorema de Fubini: Sea 𝑓 una funcion continua sobre 𝐵 = ,𝑎, 𝑏- × ,𝑐, 𝑑- × ,𝑟, 𝑠-, entonces:
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
,𝑎,𝑏-×,𝑐,𝑑-×,𝑟,𝑠-
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑏
𝑎
𝑑
𝑐
𝑠
𝑟
= ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝐵
𝑑𝑉
Cambio de variables en cilindricas:
Dado (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3, podemos aplicar el siguiente cambio de variables:
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = {𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝜃)
𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(𝜃)𝑧 = 𝑧
𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟 ∈ ℝ+
𝜃 ∈ ,0,2𝜋-𝑧 ∈ ℝ
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
𝐵
= ∭ 𝑓(𝑟 cos(𝜃) , 𝑟 𝑠𝑖𝑛(𝜃) , 𝑧) ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧
𝐵
Cambio de variables en esfericas:
Dado (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3, podemos aplicar el siguiente cambio de variables:
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = {
𝑥 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛(𝜙) 𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛(𝜙) 𝑠𝑖𝑛(𝜃)
𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠(𝜙)𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑟 ∈ ℝ+
𝜃 ∈ ,0,2𝜋-
𝜙 ∈ ,0,2𝜋-
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
𝐵
= ∭ 𝑓(𝑟 𝑠𝑖𝑛(𝜙) 𝑐𝑜𝑠(𝜃) , 𝑟 𝑠𝑖𝑛(𝜙) 𝑠𝑖𝑛(𝜃) , 𝑟 𝑐𝑜𝑠(𝜙)) ∙ 𝑟2 𝑠𝑖𝑛(𝜙) ∙ 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝜙
𝐵
Integrales triples sobre regiones generales:
I) Region del tipo I:
Un conjunto 𝐸 ⊆ ℝ3, se dira del tipo I si:
𝐸 = *(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2(𝑥), 𝑢1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑢2(𝑥, 𝑦)+
con 𝑔1, 𝑔2, 𝑢1 y 𝑢2 continuas,
Sobre este tipo de regiones, denotaremos:
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
𝐵
= ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑢2(𝑥)
𝑢1(𝑥)
𝑔2(𝑥)
𝑔1(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
II) Region del tipo II:
Un conjunto 𝐸 ⊆ ℝ3, se dira del tipo II si:
𝐸 = *(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝑎 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏, 1(𝑥) ≤ 𝑥 ≤ 2(𝑥), 𝑢1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑢2(𝑥, 𝑦)+
con 1, 2, 𝑢1 y 𝑢2 continuas,
Sobre este tipo de regiones, denotaremos:
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
𝐵
= ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑢2(𝑥)
𝑢1(𝑥)
2(𝑥)
1(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
III) Region del tipo III:
Un conjunto 𝐸 ⊆ ℝ3, se dira del tipo III, si es del tipo I o del tipo II.