Date post: | 22-Nov-2014 |
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d =d(P1,P2)=
URP - PEB Resumen Nº 09
GEOMETRÍA ANALÍTICA
1 PLANO CARTESIANO
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 4.1. TEOREMA 1 (DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Teorema 1. Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano. La distancia entre los puntos P1 y
P2 está dada por:
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO
Teorema 2. Sean A(x1,y1) y B(x2, y2) dos
puntos en el plano. Si P(x, y) divide al
segmento en la razón r = >0, entonces
.
CONSECUENCIAS
1) Punto medio de un segmento
Si M(x, y) es el punto medio del segmento de extremos A(x1, y1) y B(x2, y2), entonces
2) Baricentro de un triángulo
Si A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) son los vértices de un triángulo, el baricentro G(x,y) del
triángulo ABC es
2 LA RECTA
PENDIENTE DE UNA RECTA
Si es el ángulo de inclinación formado por la parte positiva del eje x y la recta L de manera que
, la pendiente de la recta L se define como
m = tg
Si L es una recta no paralela al eje “y” y P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) son dos puntos distintos
sobre ella, entonces m será
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tg =
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(1)
Por triángulos semejantes se puede mostrar fácilmente que si P’1 (x’1, y’1) y P’2 ( x2’, y2’) son otros
2 puntos también distintos sobre L, entonces:
o sea que, para una recta dada, el número m definido por la ecuación (1) es independiente de la
selección P1 y P2, y por consiguiente, dicha ecuación asocia a cada recta no paralela al eje “y”
un solo número m que recibe el nombre de pendiente de la recta.
ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
El ángulo cuya medida es , considerada en el sentido contrario al giro de las agujas del reloj,
desde la recta L1, de pendiente m1, a la recta L2 de pendiente m2, se puede obtener a partir de la
expresión:
m1m2 1
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Teorema 3. Dadas dos rectas no verticales L1 y L2, de pendientes m1 y m2 respectivamente.
ECUACIONES DE LA RECTA
Teorema 4. La recta que pasa por el punto dado P1 (x1 , y1) y tiene la pendiente dada m tiene por
ecuación
Teorema 5. La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b tiene por ecuación
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L1 L2 m1 . m2 = 1
L1 // L2 m1 = m2
y = mx + b
y y1 = m(x x1)
2
y
x
L1
O
L2
1
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Teorema 6. La recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) tiene por ecuación
Teorema 7. La recta que pasa por los puntos (a, 0) y (0, b) con a 0 y b 0,
respectivamente, tiene por ecuación
Forma general de la ecuación de una recta.
La forma general de la ecuación de una recta es Ax + By + C = 0
en donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Teorema 8. Dadas la recta L: Ax + By + C = 0 y P(x1, y1) un punto exterior a L. La distancia d
del punto P(x1, y1) a la recta L, está dada por:
ÁREA DE UN TRIÁNGULOTeorema 9. Si P(x1, y1), Q(x2, y2) y R(x3, y3) son los vértices de un triángulo, su área está dado
por
Forma practica
Considerando los puntos P(x1, y1), Q(x2, y2) y R(x3, y3) en el sentido contrario al giro de las agujas
del reloj, tenemos en forma practica el área
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xO
P(x, y)
y
C(h, k)
r
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Área = , donde
3 LA CIRCUNFERENCIA
Definición. Sea C un punto de R² y r número real positivo; se llama circunferencia al conjunto de
puntos P tales que d(P, C) = r.
ECUACIÓN ORDINARIA La circunferencia de centro C(h, k) y radio r, tiene por ecuación
C:
ECUACIÓN CANÓNICA La circunferencia de centro en el origen y radio r>0, tiene por ecuación
ECUACIÓN GENERAL
C: x² + y² + Dx + Ey + F = 0
C:
Existe circunferencia, si D² + E² 4F > 0
C
ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE
Teorema 10. La ecuación de la recta tangente a la circunferencia C:(x h)² +(y k)² = r², que pasa
por el punto P(x1, y1) C es
Donde es pendiente de LT
CONDICIÓN DE TANGENCIA
Teorema 11. La ecuación de la circunferencia C y una recta tangente LT a C forman un sistema de ecuaciones
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( x h )² + ( y k)² = r²
x² + y² = r²
LT: y y1 = mT (x x1)
xO
P(x1, y1)
y
C
LT
C(h, k)
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que lleva a la ecuación cuadrática . Se cumple que
=b² 4ac = 0 (condición de tangencia)
4. LA PARÁBOLA
Definición. Sean D una recta y F un punto fijo en
el plano con F D. Una parábola P con foco F y
directriz D es el conjunto de puntos P del plano que
equidistan de D y F. Es decir
P = { PR² / d(P, D) = d( P; F) }
Elementos de la parábola
F : foco
D : directriz
E : eje focal
V : vértice
: cuerda
: cuerda focal
: lado recto
: radio focal
ECUACIONES Teorema 18. La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje, el eje X es
En donde el foco es el punto F(p, 0) y la ecuación de la directriz es D: x = p.
i) Si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha
ii) Si p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda.
Si el eje de una parábola coincide con el eje “Y” y el vértice esta en el origen, su ecuación es
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x = - p
O F(p,0)
D
X
YP(x,y)N
y² = 4px
y = - p
O
F(0,p)
D
X
Y
P(x,y)
N
x² = 4py
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En donde el foco es el punto F(0, p) y la ecuación de la directriz es D: y = p.
i) Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba.
ii) Si p < 0 la parábola se abre hacia abajo.
Teorema 19. La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al eje X, es de la forma
siendo |p| la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice.
i) Si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha
ii) Si p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda.
Si el vértice es el punto (h, k) y el eje de la parábola es paralelo al eje Y, su ecuación es de la
forma
i) Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba.
ii) Si p < 0 la parábola se abre hacia abajo.
CONDICIÓN DE TANGENCIA
Teorema 20. La ecuación de la parábola P y una recta tangente LT a P forman un sistema de ecuaciones que lleva a la ecuación cuadrática . Se cumple que
=b² 4ac = 0 (condición de tangencia)
Teorema 21. La tangente a la parábola y² = 4px en cualquier punto P1(x1, y1) de la curva tiene
por ecuación
Teorema 22. La tangente de pendiente m a la parábola y² = 4px tiene por ecuación
PARABOLA DE EJE INCLINADO
Dada la directriz
D: Ax +By + C = 0
La ecuación de la parábola es
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(y k)² = 4p (x h)
( x h )² = 4p( y k )
y1y = 2p( x + x1 )
y = mx + , m 0
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P: d(P, D) = d( P; F)
P: =
5. LA ELIPSE
Definición. Es el conjunto de puntos de un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre constante, mayor que la distancia entre los puntos fijos. Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.
Si d(F’, F) = 2c,
P elipse E d(P,F’) + d(P, F) = 2a
donde 2a es una constante con a > c
Elementos de la elipse
l : eje focal (recta que pasa por los focos F’ y F)
V’ y V : vértices (puntos de intersección de la elipse y el eje focal)
: eje mayorC : centro (punto medio del segmento que une
los focos)
l’ : eje normal (recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal)
A’ y A : puntos de intersección de la elipse y el eje normal.
: eje menor
: Cuerda (segmento que une dos puntos de la elipse).
: Cuerda focal (cuerda que pasa por uno de los focos).
: Lado recto (cuerda focal perpendicular al eje focal).
La elipse tiene dos lados rectos.
Para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor y b la del semieje menor. a, b y c están
ligados por la relación a² = b² + c².
D y D’ : directrices
Distancia de la directriz al centro de E
d(D’,C) = d(D,C) =
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La longitud de cada lado recto es .
La excentricidad está dada por e = .
ECUACIONES
Teorema 12. La ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal al eje X, distancia focal
igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es:
Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de los focos sean (0, c) y (0, c), la ecuación de la elipse es:
Teorema 13. La ecuación de la elipse de centro el punto (h, k) y eje focal paralelo al eje x, está
dada por la segunda forma ordinaria
Si eje focal es paralelo al eje “Y”, su ecuación está dada por la segunda forma ordinaria
Teorema 14. Si los coeficientes A y C son del mismo signo, la
ecuación
Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0
Representa una elipse de ejes paralelos a los coordenados, o bien un punto, o no representa
ningún lugar geométrico real.
CONDICIÓN DE TANGENCIA
Teorema 15. La ecuación de la elipse E y una recta tangente LT a E forman un sistema de ecuaciones que lleva a la ecuación cuadrática . Se cumple que
=b² 4ac = 0 (condición de tangencia)
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Teorema 16. La ecuación de la recta tangente a la elipse E : en el punto
E es LT : .
Teorema 17. La tangente de pendiente m a la elipse E: , tiene por ecuación y =
mx
ELIPSE DE EJE INCLINADO
La ecuación de la elipse es
E: d(P,F’) + d(P,F) = 2a
E: + =2a
6. ECUACIONES CUADRÁTICAS
Teorema 23. Dada la ecuación general de segundo grado
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Sea el discriminante: = B2 – 4AC, entonces
Si < 0, la ecuación representa una ELIPSE
Si = 0, la ecuación representa una PARABOLA
Si > 0, la ecuación representa una HIPÉRBOLA
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