Autor:Luis CaraballoC.I: 24,695,744 Código: 47

Porlamar, Junio del 2014

Se llama Retículo a un conjunto R, entre cuyos elementos se han definidodos operaciones, llamadas Unión el intersección, y representadas por los símbolos È y Çrespectivamente, tales que si A y B son dos elementos arbitrarios de R, A È B y A Ç Bexisten, son únicos y pertenecen a R

Retículo

Ejemplos:

• Si X es un conjunto totalmente ordenado, entonces X es unretículo.• El conjunto ordenado (N,|) es un retículo. En este caso setiene que x˅y = mcm(x,y) mientras que x˄y = mcd(x,y).

• Si V es un K-espacio vectorial, el conjunto de los subespaciosvectoriales de V es un retículo, con el orden dado por la inclusión.Aquí, dado dos subespacios vectoriales V1 y V2 se tiene que V1˅V2 =V1+V2 mientras que V1˄V2 = V1∩V2.

• El conjunto representado por eldiagrama de Hasse de la figura 5,es un retículo. Se tiene, por ejemplo: c˅d = f, c˄d = a, b˅c = f, b˄c =0, c˅e = 1, c˄e = 0.

Retículo

Asociatividad. Para tres elementos cualesquiera, A, B, C, de R se cumple que: A È (B È C) = (A È B) È C ý A Ç (B ÇC) = (A Ç B) Ç C

Conmutatividad. Para dos elementos cualesquiera A, B, de R se cumple que: A È B = B È A ý A Ç B = B Ç A

Idempotencia. Para todo elemento A de R se verifica que: A È A = A ý A Ç A = A

Ley de Simplificación. Si A y B son elementos arbitrarios de R se verifica que: (A È B) Ç A = A ý (A Ç B) È A = A

De acuerdo con esta definición se puede comprobar que el conjunto de las partes de un conjunto R(U) es un retículo.

Se cumple también la siguiente propiedad:Si A y B son elementos de un retículo R, se verifica que: A B = B <=> A B = A

Propiedades de Retículo

Un diagrama de Hasse es un representación de un conjuntoparcialmente ordenado finito. La representación se hace mediante ungrafo, o sea un diagrama que consta de nodos y aristas. Supongamosque tenemos una relación R en A que es relación de orden.Primeramente sabemos que es reflexiva, anti simétrica y transitiva.Formamos el grafo con los elementos de A, estos son los nodos, y lasaristas son conexiones entre nodos relacionados, en este caso es ungrafo dirigido. La primera condición es que si dos elementos estánrelacionados, digamos (a,b) ∈ R entonces dibujamos b a un nivelsuperior de a.

Un diagrama de Hasse elimina la necesidad de representarlazos, puesto que se tiene que la relación parcialmente ordenada esreflexiva.

Puesto que la transitividad también está implicada, se puedeprescindir de mostrar líneas entre elementos que tengan un elementointermedio relacionado, pues se sobrentienden.Con estos diagramas las relaciones de orden son muy fácil derepresentar y sobretodo de entender.

Diagrama de Hasse

Ejemplo A:

Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6,10, 12, 15, 20, 30, 60} (todos los divisoresde 60). Este conjunto está ordenadoparcialmente por la relación dedivisibilidad (D60,|). Su diagrama deHasse puede ser representado comosigue:

Ejemplo Diagrama de Hasse

Ejemplo B:

Los diagramas de Hasse son útilespara darse cuenta de si dos c.p.o.’sson isomorfos o no. Por ejemplo elc.p.o. Tiene el siguiente diagrama:

Los diagramas de Hasse son útiles para darse cuenta de si dos c.p.o.’s son isomorfos o no. Por ejemplo el c.p.o. Tiene el siguiente diagrama:

Lo que hace evidente el isomorfismo con ({1, 2, 3, 6}, |).

Definición : Sea X un conjunto, y ≤ una relación binaria en X. Se dice que ≤ es una relación deorden si se verifican las siguientes propiedades:

Reflexiva: x ≤ x para todo x ∈ X.

Antisimétrica: Si x ≤ y e y ≤ x entonces x = y.

Transitiva: Si x ≤ y e y ≤ z entonces x ≤ z.

Si X es un conjunto en el que tenemos definida una relación de orden ≤, se dice que (X, ≤) esun conjunto ordenado (o, si está claro cual es la relación ≤ se dice simplemente que X es un conjunto

ordenado).

Si ≤ es una relación de orden en X que satisface la propiedad adicional de que dados x, y ∈ Xentonces x ≤ y ó y ≤ x, se dice entonces que ≤ es una relación de orden total, y que (X, ≤) (o X) es unconjunto totalmente ordenado (en ocasiones, para destacar que (X, ≤) es una relación de orden, pero queno es total se dice que ≤ es una relación de orden parcial y que (X, ≤) es un conjunto parcialmenteordenado).

Conjunto Ordenados

1. El conjunto de los números naturales, con el orden natural (m ≤ n si existe k ∈ N tal que n = m+k)

es un conjunto totalmente ordenado. De la misma forma, también lo son (Z, ≤), (Q, ≤) y (R, ≤).

2. Dado un conjunto X, entonces P(X), con el orden dado por la inclusión es un conjunto ordenado.

Si X tiene más de un elemento, este orden no es total, pues dados x, y ∈ X distintos se tiene que

{x} 6⊆ {y} y {y} 6⊆ {x}. 3. En el conjunto de los números naturales, la relación de divisibilidad es una

relación de orden que no es total. Sin embargo, en el conjunto de los números enteros esta relación no

es de orden pues no es antisimétrica, ya que 2| − 2, −2|2 y sin embargo 2 6= −2. 4. Para cualquier número natural n consideramos el conjunto D(n) = {m ∈ N : m|n} Entonces (D(n), |) es un conjunto (parcialmente) ordenado.

Ejemplo de Conjunto Ordenados

Es una función que preserva la estructura entredos estructuras matemáticas relevantes. La noción dehomomorfismo se estudia abstractamente en el álgebrauniversal, y ése es el punto de vista tomado en esteartículo. Una noción más general de morfismo se estudiaabstractamente en la teoría de las categorías

Homomorfismo

Ejemplo de homomorfismo

Comprobamos si f es un homomorfismo:

∀x,y∈G:f(x∗y)a∗(x∗y)∗a−1(1)←→−a∗x∗y∗a−1(1)←→−a∗x∗e∗y∗a−1=

=a∗x∗a−1∗a∗y∗a−1=(a∗x∗a−1)∗(a∗y∗a−1)=f(x)∗f(y)

En (1) hemos aplicado la propiedad asociativa y en (2) la definición deelemento neutro. Con todo ello hemos demostrado que la aplicación eshomomorfismo. Para que sea isomorfismo se ha de tener:

∀x∈Kerf:f(x)=e;a∗x∗a−1=e

Operando con a por la derecha:

a∗x∗a−1∗a→e∗a=a=a∗x

Operando con a−1 por la izquierda en el último resultado:

a−1∗a=a−1∗a∗x→e=e∗x→e=x

Y, por lo tanto, la aplicación dada si es isomorfismo.