Règims Financers. Exercicis solucionats 1
RÈGIMS FINANCERS. EXERCICIS SOLUCIONATS
1. Per disposar d’aquí a nou mesos de 10.500 €, quants diners s’haurien d’ingressar avui en
un compte bancari al 2% anual en interès simple vençut?
Solució:
Les dades de l’exercici són:
• C' 10.500 €=
• =i 0,02
• t 9 / 2 anys=
L’esquema de l’operació és:
C C 10.500
0 9/12 anys
De l’expressió que caracteritza el règim financer d’interès simple vençut s’obté:
( )−
− = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =
11 9
C C' 1 i t 10.500 1 0,02 10.000 €12
Règims Financers. Exercicis solucionats 2
2. Si fa set mesos es van ingressar 15.000 € en un compte bancari que avui té un saldo de
15.131,25 €, a quin tant anual d’interès simple vençut s’ha pactat l’operació?
Solució:
Les dades de l’exercici són:
• C 15.000 €=
• C' 15.131,25 €=
• t 7 /12 anys=
L’esquema de l’operació és:
15.000 15.131,25
0 7/12 anys
De l’expressió que caracteritza el règim financer d’interès simple vençut s’obté:
− −= = =⋅ ⋅
C' C 15.131,25 15.000i 0,015 anual
7C t 15.00012
Règims Financers. Exercicis solucionats 3
3. Calculeu el líquid resultant del descompte de dos efectes comercials de nominal 2.500 € i
3.000 €, que vencen respectivament d’aquí a tres i sis mesos, si es descompten al 4 %
anual en descompte comercial.
Solució:
Les dades de l’exercici són:
• =312
C' 2.500 €
• =612
C' 3.000 €
• =d 0,04
L’esquema de l’operació és:
C C 2.500 3.000
0 3/12 6/12 anys
Si s’aplica directament l’expressió que caracteritza el règim financer de descompte comercial
s’obté:
3 6C 2.500 1 0,04 3.000 1 0,04
12 12
2.475 2.940 5.415 €
= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =
= + =
Règims Financers. Exercicis solucionats 4
4. Calculeu el venciment d’un efecte de nominal 5.000 € que avui té un valor descomptat, al
3,5% anual en descompte comercial, de 4.956,25 €.
Solució:
Les dades de l’exercici són:
• C 4.956,25 €=
• =C' 5.000 €
• =d 0,035
L’esquema de l’operació és:
C 4.956,25 5.000
0 t anys
De l’expressió que caracteritza el règim financer de descompte comercial s’obté:
− −= = = =⋅ ⋅
C' C 5.000 4.956,25 3t 0,25 anys
C' d 5.000 0,035 12
Règims Financers. Exercicis solucionats 5
5. Donat un tant efectiu d’interès compost del 2% semestral, calculeu els següents tants
d’interès compost equivalents:
(a) 1I
(b) 4i
Solució:
Dos tants efectius són equivalents, ∼m m'I I si verifiquen:
m mm m(1 I ) (1 I ) ′
′+ = +
és a dir:
m
mm mI (1 I ) 1′
′ = + −
(a) = ∼2 1I 0,02 I
( )= + − = + − =221 2I (1 I ) 1 1 0,02 1 0,0404
(b) = ∼2 4I 0,02 i
( )= + − = + − =2 14 2
4 2I (1 I ) 1 1 0,02 1 0,009950
= ⋅ =4 4i 4 I 0,039802
Règims Financers. Exercicis solucionats 6
6. A quin tant anual amb periodificació mensual d’interès compost es va pactar una operació
que es va iniciar fa tres anys amb una imposició de 36.000 € i que té un saldo actual de
40.279,54 €?
Solució:
Les dades de l’exercici són:
• =C 36.000 €
• =C' 40.279,54 €
• 1
p m 1212
= ⇒ =
• =t 3 anys
• = ⋅ =n t m 36 mesos
L’esquema de l’operació és:
0 1/12 2/12 3/12 .......................................... 35/12 3 anys
C C1 C2 C3 ....................................... C35 C’= C36
De l’expressió que caracteritza el règim financer d’interès compost a tant constant i vençut
s’obté:
⋅ − − = = = =
11 m t 36
m 12
C' 40.279,541 1
C 36.000i 0,0375 i
1p12
Règims Financers. Exercicis solucionats 7
7. Fa nou mesos es van ingressar 18.000 € en un compte bancari i en fa cinc, 9.000 €.
Calculeu el saldo acumulat avui si s’ha aplicat un 3 % efectiu anual d’interès compost.
Solució:
Les dades de l’exercici són:
• =0C 18.000 €
• =412
C 9.000 €
• = ⇒ =p 1 m 1
• =1I 0,03
L’esquema de l’operació és:
18.000 9.000 C’
0 4/12 9/12 anys
Si s’aplica directament l’expressió que caracteritza el règim financer d’interès compost a tant
constant i vençut s’obté:
( ) ( )= ⋅ + + ⋅ + =9 5
12 12C' 18.000 1 0,03 9.000 1 0,03 27.515,03 €
o, alternativament:
18.000 9.000 C’
0 4/12 9/12 anys
( ) ( ) = ⋅ + + ⋅ + =
4 512 12C' 18.000 1 0,03 9.000 1 0,03 27.515,03 €
Règims Financers. Exercicis solucionats 8
8. Calculeu la quantia final resultant d’una imposició de 14.000 € durant quatre anys, sota
règim financer d’interès compost a tant variable, si els tants nominals aplicats es
capitalitzen trimestralment i per als dos primers anys és del 3,5%, per a l’any i mig següent
és del 3,25%, i per a la resta del termini és del 3%.
Solució:
Les dades de l’exercici són:
• =C 14.000 €
• =t 4 anys
• = ⇒ =1p m 4
4
• = ⋅ =n t m 16 trimestres
• = ⇒ = ='
' ' 44 4
ii 0,035 I 0,004375
4
• = ⇒ = =''
'' '' 44 4
ii 0,0325 I 0,008125
4
• = ⇒ = ='''
''' ''' 44 4
ii 0,03 I 0,0075
4
L’esquema de l’operació és:
0 1/4 2/4 .............. 8/4 9/4 ........ .... 14/4 15/4 4 anys
'4
'4
i 0,035
I 0,00875
=
=
''4
''4
i 0,0325
I 0,008125
=
=
'''4
'''4
i 0,03
I 0,0075
=
=
C C1 C2 ................. . C8 C9 ................ C14 C15 C16
Si s’aplica l’expressió que caracteritza el règim financer d’interès compost a tant variable s’obté:
Règims Financers. Exercicis solucionats 9
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
= = =
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + =
=
∏ ∏ ∏n 16 16
s s sm 4 4
s 1 s 1 s 1
8 6 2
1C' C 1 i p 14.000 1 i 14.000 1 I
4
14.000 1 0,00875 1 0,008125 1 0,0075
15.994,57 €
9. Fa quatre anys es va obrir un compte bancari amb una imposició de 6.000 € i fa dos anys
s’hi van ingressar 2.000 € més. Els tipus d’interès compost aplicats han estat: un 3% anual
capitalitzable semestralment els dos primers anys i un 3,5% anual capitalitzable
mensualment la resta del termini.
(a) Calculeu el saldo acumulat avui en el compte.
(b) Plantegeu l’equació que permeti determinar la TAE de l’operació.
Solució:
Les dades de l’exercici són:
• =0C 6.000 €
• =2C 2.000 €
• t 4 anys=
• = ⇒ = ='
' ' 22 2
ii 0,035 I 0,0175
2
• = ⇒ = =''
'' '' 1212 12
ii 0,03 I 0,0025
12
L’esquema de l’operació és:
Règims Financers. Exercicis solucionats 10
0 2 4 anys
'2
'2
i 0,035
I 0,0175
=
=
''12
''12
i 0,03
I 0,0025
=
=
6.000 2.000 C’
(a) El saldo acumulat en el compte bancari, C' , es pot obtenir si s’aplica l’expressió que
caracteritza el règim financer d’interès compost a tant variable:
( ) ( ) ( )= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + =
=
4 24 24C' 6.000 1 0,0175 1 0,0025 2.000 1 0,0025
8.951,83 €
o, alternativament:
( )( ) ( )= ⋅ + + ⋅ + =
=
4 24C' 6.000 1 0,0175 2.000 1 0,0025
8.951,83 €
(b) L’equació que permet determinar la TAE ( *1I ) del compte bancari és:
( ) ( )= ⋅ + + ⋅ +4 2* *
1 18.951,83 6.000 1 I 2.000 1 I
Règims Financers. Exercicis solucionats 11
10. Fa setze mesos es va obrir un compte bancari amb una imposició de 5.000 € i vuit, nou i
catorze mesos després es van ingressar 3.000 €, 2.000 € i 5.000 € respectivament. Els
tants d’interès compost aplicats han estat: un 2,5 % anual capitalitzable mensualment els
vuit primers mesos, un 3 % anual capitalitzable trimestralment els sis mesos següents i un
4 % anual capitalitzable quadrimestralment la resta del termini.
(a) Calculeu el saldo acumulat avui en el compte.
(b) Plantegeu l’equació que permeti determinar la TAE de l’operació.
Solució:
Les dades de l’exercici són:
• =0C 5.000 €
• =8C 3.000 €
• =9C 2.000 €
• =14C 14.000 €
• = ⇒ = ='
' ' 1212 12
ii 0,025 I 0,002083
12
• = ⇒ = =''
'' '' 44 4
ii 0,03 I 0,0075
4
• = ⇒ = ='''
''' ''' 33 3
ii 0,04 I 0,013333
3
L’esquema de l’operació és:
0 8 9 14 16 mesos
'12
'12
i 0,025
I 0,002083
=
=
''4
''4
i 0,03
I 0,0075
=
=
'''3
'''3
i 0,04
I 0,01333
=
=
5.000 3.000 2.000 4.000 C’
Règims Financers. Exercicis solucionats 12
(a) El saldo acumulat en el compte bancari, C' , es pot obtenir aplicant l’expressió que
caracteritza el règim financer d’interès compost a tant variable:
( ) ( )
( ) ( )
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + +
+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + +
+ ⋅ + =
8 2 0,5
52 0,5 0,53
0,5
C' 5.000 1 0,002083 1 0,0075 (1 0,01333)
3.000 1 0,0075 (1 0,01333) 2.000 1 0,0075 (1 0,01333)
4.000 (1 0,01333) 14.240,17 €
o, alternativament,
( )( ) ( )( ) ( ) = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
=
518 0,53 3C' 5.000 1,002083 3.000 1,0075 2.000 1,0075 4.000 (1,01333)
14.240,17 €
(b) L’equació que permet determinar la TAE ( *1I ) del compte bancari és:
( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +16 8 6 2
* * * *12 12 12 121 1 1 114.240,17 5.000 1 I 3.000 1 I 2.000 1 I 4.000 1 I
Règims Financers. Exercicis solucionats 13
11. Calculeu el valor descomptat d’un efecte comercial de nominal 30.000 € que venç d’aquí a
un any i mig si es descompta en règim financer de descompte compost a tant constant al
3,5 % anual amb periodificació mensual.
Solució:
Les dades de l’exercici són:
• =C' 30.000 €
• =d 0,035
• = ⇒ =1p m 12
12
• =t 1,5 anys
L’esquema de l’operació és:
0 1,5 anys
C C’ = 30.000 €
Si s’aplica l’expressió que caracteritza el règim financer de descompte compost s’obté:
( ) ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =
18m t 1
C C' 1 d p 30.000 1 0,035 28.463,44 €12
Règims Financers. Exercicis solucionats 14
12. Calculeu la TAE del descompte d’un efecte comercial de nominal 5.000 € que venç
d’aquí a sis mesos i es descompta en règim financer de descompte compost al 5 %
anual amb període de descompte mensual.
Solució:
Les dades de l’exercici són:
• =C' 5.000 €
• 1
t anys2
=
• =12d 0,05
• = ⇒ =1p m 12
12
L’esquema de l’operació és:
0 1/2 anys
C C’ = 5.000 €
El càlcul de la TAE es pot fer de dues maneres:
Una manera és a partir del valor descomptat, si es planteja l’equació en règim financer d’interès
compost. El valor descomptat s’obté a partir de l’expressió que caracteritza el règim financer de
descompte compost:
= ⋅ − ⋅ =
61
C 5.000 1 0,05 4.876,29 €12
Règims Financers. Exercicis solucionats 15
Si es coneixen el valor descomptat, C , i el nominal de l’efecte, C ' , la TAE, *1I , s’obté de la
relació entre C i C ' plantejada sota règim financer d’interès compost al tant *1I :
= ⋅ +6* 12
15.000 4.876,29 (1 I )
=*1I 0,05138
Una altra manera d’obtenir la TAE és per mitjà dels tants efectius d’interès i de descompte
equivalents:
−+ = −m mm m(1 I ) (1 D )
En aquest exercici:
−+ = −* 1 121 12(1 I ) (1 D )
en què,
−
− = − − = − ⋅ − =
12* 121 12
1I (1 D ) 1 1 0,05 1 0,05138
12
Règims Financers. Exercicis solucionats 16
13. Sigui una cartera formada per tres efectes comercials de nominals 3.000 €, 4.000 € i
2.000 € que vencen d’aquí a cinc, nou i dotze mesos respectivament. Els efectes es
descompten en règim financer de descompte compost: l’efecte de nominal 3.000 €, a un
tant nominal del 5,5%, amb període de descompte mensual; l’efecte de nominal 4.000 €, a
un tant nominal del 6%, amb període de descompte trimestral; i l’efecte de nominal 2.000 €,
a un tant nominal del 6,5%, amb període de descompte anual.
(a) Calculeu el valor descomptat dels tres efectes comercials.
(b) Plantegeu l’equació que permeti determinar la TAE de l’operació.
Solució:
Les dades de l’exercici són:
• =5C 3.000 € =12d 0,055
• =9C 4.000 € =4d 0,06
• =12C 2.000 € =1d 0,065
L’esquema de l’operació és:
0 5 9 12 m esos
C 3.000 4.000 2.000
(a) Si s’aplica l’expressió que caracteritza el règim financer de descompte compost s’obté:
( ) = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − =
5 311 1
C 3.000 1 0,055 4.000 1 0,06 2.000 1 0,065 8.642,55 €12 4
(b) L’equació que permet determinar la TAE ( *1I ) és:
( ) ( ) ( )− − −= ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +
5 9 1* * *12 121 1 18.642,55 3.000 1 I 4.000 1 I 2.000 1 I
Règims Financers. Exercicis solucionats 17
14. Una empresa d’alimentació analitza la possibilitat d’ampliar la secció d’envasat. L’ampliació
es finançarà, en part, mitjançant els recursos propis següents:
� En un compte bancari en què es van ingressar fa cinc anys 30.000 €, fa dos anys i mig
36.000 € i fa nou mesos 20.000 €, els tants d’interès compost aplicats han estat: un 4%
anual capitalitzable trimestralment els tres primers anys i un 3% anual amb
periodificació mensual la resta del termini.
� En una cartera d’efectes comercials de nominal 18.000 €, 24.000 € i 12.000 € que
vencen respectivament d’aquí a nou, quinze i divuit mesos, els efectes amb venciment
superior a l’any es descompten al 3% efectiu semestral de descompte compost i els
efectes amb venciment inferior a l’any, al 5% anual de descompte comercial.
(a) Respecte del compte a tant variable:
(a.1) Calculeu el saldo acumulat.
(a.2) Plantegeu l’equació que permeti determinar la TAE de l’operació.
(b) Respecte de la cartera d’efectes comercials:
(b.1) Trobeu el líquid total resultant del descompte dels tres efectes comercials.
(b.2) Si l’efecte comercial amb venciment inferior a l’any es descomptés en interès simple
vençut, a quin tant anual d’interès s’hauria de descomptar per obtenir el mateix resultat?
Solució:
(a) Respecte del compte a tant variable:
Les dades del compte són:
• =0C 30.000 €
• =2,5C 36.000 €
• =4,25C 20.000 €
• =14C 14.000 €
• = ⇒ = ='
' ' 44 4
ii 0,04 I 0,01
4
• = ⇒ = =''
'' '' 1212 12
ii 0,03 I 0,0025
12
Règims Financers. Exercicis solucionats 18
L’esquema de l’operació és:
0 2,5 3 4,25 5 anys
'4
'4
i 0,04
I 0,01
=
=
''12
''12
i 0,03
I 0,0025
=
=
30.000 36.000 20.000 C’
(a.1) El saldo acumulat en el compte bancari, C' , s’obté si s’aplica l’expressió que caracteritza
règim financer d’interès compost a tant variable:
( )( ) ( )( )10 2 15 9C' 30.000 1 0,01 36.000 1 0,01 (1 0,0025) 20.000 (1 0,001333)
95.338,50 €
= ⋅ + + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + =
=
(a.2) L’equació que permet determinar la TAE ( *1I ) del compte bancari és:
( ) ( ) ( )95 2,5* * * 121 1 195.338,50 30.000 1 I 36.000 1 I 20.000 1 I= ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +
(b) Respecte de la cartera d’efectes comercials:
Les dades de la cartera d’efectes són:
• 9C 18.000 €= ; d 0,05 en descompte comercial=
• 15C 24.000 €= ; 2D 0,03 en descompte compost=
• 18C 12.000 €= ; 2D 0,03 en descompte compost=
Règims Financers. Exercicis solucionats 19
L’esquema de l’operació és:
0 9 15 18 m esos
C 18.000 24.000 12.000
(b.1) Per calcular el líquid total de la cartera, C , s’apliquen les expressions que caracteritzen el
règim financer de descompte comercial, per al primer efecte comercial, i el règim de descompte
compost, per als dos últims efectes comercials:
( ) ( )2,5 39C 18.000 1 0,05 24.000 1 0,03 12.000 1 0,03 50.517,38 €
12 = ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ − =
(b.2) Per calcular el tant nominal d’interès simple vençut equivalent a un tant nominal de
descompte comercial donat, per a un termini en concret, cal aplicar l’expressió següent:
di
1 d t=
− ⋅
En aquest exercici les dades són:
• d 0,05=
• 9
t anys12
=
Si se substitueix en l’expressió anterior resulta:
0,05i 0,051948
91 0,05
12
= =− ⋅
Règims Financers. Exercicis solucionats 20
15. Una empresa de transport de mercaderies renova la flota de camionetes a un cost de
150.000 € que es finança amb el descompte de dos efectes comercials, el saldo de dos
comptes bancaris i la resta en efectiu.
Efecte 1. Nominal 1.100 €, venciment d’aquí a un any. El descompte es duu a terme en
règim financer de descompte compost a un tant efectiu de descompte semestral del 3%.
Efecte 2. Nominal 5.000 €, venciment d’aquí a sis mesos. L’efecte es descompta en règim
financer de descompte comercial al 8% anual.
El compte bancari A es va obrir fa cinc anys, amb una imposició de 25.000 € en el moment
que es va obrir i una altra de 6.000 € fa tres anys. El tipus d’interès aplicat ha estat un 2%
efectiu semestral.
El compte bancari B es va obrir fa sis anys, amb una imposició de 5.000 € en el moment que
es va obrir i una altra de 4.000 € fa tres meses. Els tipus d’interès compost aplicats han
estat: un 1,5% efectiu semestral durant els tres primers anys i un tant anual capitalitzable
trimestralment del 3 % durant els tres últims anys.
(a) Calculeu el valor descomptat de l’efecte 1 i de l’efecte 2.
(b) Calculeu el saldo del compte bancari A i del compte bancari B.
(c) Calculeu l’efectiu que ha de satisfer l’empresa.
(d) Calculeu la TAE dels descomptes dels dos efectes comercials.
(e) Calculeu la TAE del compte bancari A i plantegeu l’equació que permet determinar la
TAE en el compte bancari B.
Solució:
(a) Les dades de l’efecte 1 són:
• ′ =C 1.100 €
• =2D 0,03
• =m 2
Règims Financers. Exercicis solucionats 21
L’esquema de l’operació és:
0 1 any
C C’=1.100 €
Si s’aplica l’expressió que permet calcular el valor descomptat en règim financer de descompte
compost s’obté:
( )= ⋅ − =2C 1.100 1 0,03 1.035 €
Les dades de l’efecte 2 són:
• C' 5.000 €=
• =d 0,08
• t 1/ 2 any=
L’esquema de l’operació és:
0 1/2 any
C C’=5.000 €
Si s’aplica l’expressió que permet calcular el valor descomptat en règim financer de descompte
comercial s’obté:
= ⋅ − ⋅ =
1C 5.000 1 0,08 4.800 €
2
Règims Financers. Exercicis solucionats 22
(b) Les dades del compte bancari A són:
• =0C 25.000 €
• =2C 9.000 €
• = ⇒ =p 2 m 2
• =2I 0,02
L’esquema de l’operació és:
25.000 6.000 C’
0 2 5 anys
Si s’aplica directament l’expressió que caracteritza el règim financer d’interès compost a tant
constant i vençut s’obté:
( ) ( )10 6C' 25.000 1 0,02 9.000 1 0,02 40.610,32 €= ⋅ + + ⋅ + =
Les dades del compte bancari B són:
• =0C 5.000 €
• =3C 4.000 €
• =t 6 anys
• ='2I 0,015
• = ⇒ = =''
'' '' 44 4
ii 0,03 I 0,0075
4
L’esquema de l’operació és:
0 3 6 anys
'2I 0,015=
''4
''4
i 0,03
I 0,0075
=
=
5.000 4.000 C’
Règims Financers. Exercicis solucionats 23
Si s’aplica el règim financer d’interès compost a tant variable, s’obté:
( ) ( ) ( )6 12 12C' 5.000 1 0,015 1 0,0075 4.000 1 0,0075 10.355.30 €= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + =
(c) L’efectiu que ha de satisfer l’empresa és:
( )Efectiu 150.000 1.035 4.800 40.610,32 10.355,30 93.199,38= − + + + =
(d) Si es coneixen el valor descomptat, C , i el nominal de l’efecte, C' , la TAE, *1I , de l’efecte 1 i
de l’efecte 2 s’obté de la relació entre C i C' , plantejada sota règim financer d’interès
compost al tant *1I :
La TAE de l’efecte 1 és:
= ⋅ + * 111.100 1.035 (1 I )
=*1I 0,06280
La TAE de l’efecte 2 és:
= ⋅ +1* 2
15.000 4.800 (1 I )
=*1I 0,085069
(e) La TAE en el compte bancari A, com que és una operació pactada en règim financer
d’interès compost a tant constant, pot calcular-se per mitjà dels tants efectius d’interès
equivalents:
=∼1 2I I 0.05
( )+ = +1 21 21 I (1 I )
( )1 2 21 11 I (1 0,05) I (1 0,05) 1 0,1025+ = + = + − =
L’equació que permet determinar la TAE ( *1I ) en el compte bancari B és:
( ) ( )= ⋅ + + ⋅ +5 3* *
1 110.355,30 5.000 1 I 4.000 1 I