Secciones Cónicas
1 IntroducciónPara los antiguos geómetras griegos como Euclides (300 A.C.) y
Arquímides (287-212 A.C.), una sección cónica (parábola, elipse e hipérbola) era
una curva en el espacio, la cual resultaba de la intersección de un plano con un
cono de dos mantos o ramas, siempre y cuando el plano no pasara por el vértice
del con. En caso de que lo hiciera daba lugar a las llamadas cónicas degeneradas
(un punto (el vértice del cono), una recta (un generatriz del cono) o un par de
rectas que se intersecan (un par de generatrices)).
Los griegos en su tiempo se dedicaron con perseverancia al estudio de sus
propiedades geométricas. Sin embargo, es hasta inicios del siglo XVII (1637), con
el descubrimiento casi de manera independiente de la geometría analítica, por
parte de Descartes y Fermat, que se toma conciencia de su utilidad y pasan a
ocupar un lugar de privilegio, adicionalmente Kepler descubrió (y Newton explicó)
que las órbitas de los planetas y otros cuerpos en el sistema solar son secciones
cónicas.
La geometría analítica plana usa el algebra y el cálculo para estudiar las
propiedades de las curvas en el plano . Su idea fundamental es establecer una
correspondencia entre una ecuación 0);( yxF y su lugar geométrico. Una de
las ideas centrales de la geometría analítica es que dado un lugar geométrico o
una curva, sus propiedades pueden deducirse en forma algebraica o analítica a
partir de su ecuación .
En la figura 1 se muestran las secciones cónicas: parábola, elipse e
hipérbola, tal y como fueron definidas por los antiguos geómetras griegos.
Figura 1 Cónicas
2 Lugares geométricos El conjunto de todos los puntos en el plano cuyas coordenadas
satisfacen una propiedad, que puede estar dada por una ecuación ,
se conoce como lugar geométrico.
Ejemplo 1:
Compruebe que el conjunto de todos los puntos que
equidistan1 de los puntos y es la mediatriz del segmento de
recta que une a estos dos puntos. (Ver figura 2)
Figura 2 Cónicas
Solución El punto equidista de y si y sólo si
1 Encontrarse uno o más puntos, rectas, planos y sólidos a igual distancia de un punto determinado o entre sí.
Por lo tanto, el lugar geométrico es la recta cuya pendiente es
. La recta que pasa por lo puntos y tiene ecuación
por lo que su pendiente es ; con lo cual las dos rectas (1) y (2) son
perpendiculares. Si resolvemos las ecuaciones (1) y (2) simultáneamente,
determinamos que la intersección de estas rectas es, de hecho, el punto medio
del segmento que une los puntos y Esto se ilustra en la figura 3
que sigue.
Figura 3 Cónica
Ejemplo 2:
Determine el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al
punto es dos veces su distancia al punto .
Solución
Los puntos , y aparecen en la figura 4, junto con una curva que pasa
por y que representa el lugar geométrico buscado.
Figura 4 Puntos en el Plano
Según el enunciado se tiene que , con lo cual
podemos decir que
Desarrollando ambos binomios obtenemos la ecuación
Así, el lugar geométrico es un círculo con centro y radio .
Ver figura 5
Figura 5 Una Circunferencia
Ejemplo 3:
Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a la
recta es igual a la distancia al punto .
Solución
Los puntos , y la recta se muestran en la figura 6.
Figura 6
Como la distancia de a la recta es y la distancia de al
punto es
Tenemos que
El lugar geométrico es una parábola y se muestra en la figura 7.
Figura 7 Parábola
2.1 Ejercicios Propuestos1) Determine el lugar geométrico de los puntos que equidistan a los
puntos y .
2) Determine el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a la
recta es igual a la distancia al punto .
3) Determine el lugar geométrico de los puntos tales que su distancia
al punto es dos veces su distancia al punto
4) Determine el lugar geométrico de los puntos cuya suma de
distancias a los puntos y es .
5) Determine el lugar geométrico de los puntos tales que el producto
de sus distancias a dos puntos fijos y es
6) Determine el lugar geométrico de los puntos tales que su distancia
al punto es veces su distancia al punto . ¿Qué sucede
para valores de muy pequeños?. ¿Qué sucede para ? y ¿qué sucede
para valores de muy grandes?
7) Considere los puntos , y , los cuales forman un
triángulo equilátero. Determine el lugar geométrico de los puntos
tales que la suma de las distancias y es igual a la distancia
.
3 La Circunferencia
Definición
Una circunferencia es el conjunto de puntos en el plano que equidistan de un punto fijo (llamado centro) a una distancia fija (llamado radio)
Teorema
La forma canónica de una circunfería de radio y centro es
La forma general de una circunfería de radio y centro es
Su grafica es
Demostracion:
Sean y , tal que,
3.1 Ejemplos resueltos
Ejemplo 4:
Determine la ecuación de la circunferencia con centro en y que
pasa por el punto
Solución Respuesta:
Ejemplo 5:
Determine centro, radio y grafica de
Solución
Ejemplo 6:
Considere la circunferencia de ecuación .
Determinar en cada caso la ecuación de la recta que es tangente a la
circunferencia y que pasa por:
a)
b)
Solución a)
Completando cuadrado de binomio se podrá determinar el centro y radio
de la circunferencia, es decir
Con esto podemos decir que su centro es y su radio , además
podemos decir que el punto esta en la circunferencia pues si
determinamos su distancia
Por lo tanto
Ahora bien, sea la recta tangente a la circunferencia en el
punto , como entonces se debe cumplir que
Como debe ser perpendicular entonces la recta que pasa por el centro de
la circunferencia y el punto esta dada por
Como debe ser perpendicular entonces según teorema de
perpendicularidad se tiene que
Reemplazando en podemos determinar la ecuación de la recta
buscada, que corresponde a
Por lo tanto la recta buscada es
Gráficamente corresponde a
Solución b)
En este caso se tiene que es un punto que esta fuera de la
circunferencia pues .
Sea la recta que pasa por y es tangente a la
circunferencia.
Se tiene entonces
Además podemos decir que , es decir
Construyendo un sistema de ecuaciones con y podemos
determinar los valores para y
Luego resolviendo la segunda ecuación, tenemos
Con esto
Las rectas son
o
Gráficamente
3.2 Ejercicios propuestos1. En cada caso, obtener la ecuación de la circunferencia que tiene
1.1. Centro en y radio 41.2. Centro en y pasa por el origen del sistema de coordenadas1.3. Centro en y el extremo de un diámetro en el punto
2. En cada caso, hallar centro, radio y grafica de las siguientes circunferencias2.1.2.2.2.3.2.4.
3. Una cuerda de la circunferencia esta sobre la recta cuya ecuación es . Hallar la longitud de la cuerda.
4. Sea la circunferencia , determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto .
5. Sea la circunferencia y 5.1.Determine centro y radio de la circunferencia5.2.Decidir si el punto es interior o exterior de la circunferencia.5.3.Encontrar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia, que
pasa por y que tiene pendiente positiva.6. Sea la circunferencia y la recta
con 6.1.Determine centro y radio de la circunferencia6.2.determine el valor de de manera que sea tangente a en el
punto .6.3.Graficar en un mismo sistema de coordenadas a la recta y la
circunferencia.
4 La ParábolaAhora, vamos a deducir las ecuaciones de las secciones cónicas a partir de
su definición como lugares geométricos y no como la intersección de un cono con
un plano, como se hizo en la antigüedad. Ya conocemos que la gráfica de una
función cuadrática , es una parábola. Sin embargo, no
toda parábola es la gráfica de una función, como podemos concluir de la siguiente
definición.
Definición
Una parábola es el conjunto de puntos en el plano que equidistan de un punto fijo (llamado foco de la parábola) y de una recta fija (llamada la directriz de la parábola) que no contiene a (figura 8).
Figura 8
El punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice, la recta que
pasa por el foco y por el vértice se llama eje de la parábola. Se puede observar en
la figura 8 que una parábola es simétrica respecto a su eje.
4.1 Ecuación canónica de la parábola
4.1.1 Eje Focal de la parábola es Vertical
Teorema
La forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice y directriz es
Donde foco está a unidades (orientadas) del vértice
Demostracion
Sean punto cualquiera, su foco, punto
en la recta directriz ,
Con este resultado podemos resumir que
Se tiene que Caso 1 Apertura de la parábola hacia arriba.
Valor de Coordenadas del Foco Ecuación de la directriz
Y su grafica es
Se tiene que Caso 2 Apertura de la parábola hacia Abajo.
Valor de Coordenadas del Foco Ecuación de la directriz
Y su grafica es
4.1.2 Eje Focal de la parábola es Horizontal
Teorema
La forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice y directriz es
Donde foco está a unidades (orientadas) del vértice
Demostración: Ídem que la anterior
Con este resultado podemos resumir que si:
Se tiene que Caso 1 Apertura de la parábola hacia la derecha.
Valor de Coordenadas del Foco Ecuación de la directriz
Su grafica
Se tiene que Caso 2 Apertura de la parábola hacia la izquierda
Valor de Coordenadas del Foco Ecuación de la directriz
Su grafica
4.2 Ejemplos resueltos
Ejemplo 7:
Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la
directriz de la parábola cuya ecuación es
Solución
La gráfica se muestra en la figura
Ejemplo 8:
Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la
directriz de la parábola cuya ecuación es
Solución
La gráfica se muestra en la figura
Ejemplo 9:
Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la
directriz de la parábola cuya ecuación es
Solución
La gráfica se muestra en la figura
Ejemplo 10:
Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la
directriz de la parábola cuya ecuación es
Solución
La gráfica se muestra en la figura
Ejemplo 11:
Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la
directriz de la parábola cuya ecuación es
Solución
La gráfica se muestra en la figura
Ejemplo 12:
Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la
directriz de la parábola cuya ecuación es
Solución
La gráfica se muestra en la figura
Ejemplo 13:
Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la
directriz de la parábola cuya ecuación es
Solución
La gráfica se muestra en la figura
Ejemplo 14:
Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la
directriz de la parábola cuya ecuación es
Solución
La gráfica se muestra en la figura
Ejemplo 15:
Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la
directriz de la parábola cuya ecuación es
Solución
La gráfica se muestra en la figura
Ejemplo 16:
Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la
directriz de la parábola cuya ecuación es
Solución
Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado en a. De
la ecuación de la parábola tenemos que
De donde obtenemos que y el vértice , por lo tanto, la
parábola abre hacia la derecha y tiene el foco en , la recta directriz es
. La gráfica se muestra en la figura 9.
Figura 9
Ejemplo 17:
Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en
y foco en .
Solución
Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola es
vertical, además abre hacia abajo y , entonces la ecuación está dada por:
La directriz es .La gráfica se muestra en la figura 10.
Figura 10
Ejemplo 18:
Determinar el lugar geométrico de todos los puntos del plano tal que la
distancia:
a) Al punto es igual a la distancia a la recta
b) Al punto es igual a la distancia a la recta
Solución
Ejemplo 19:
Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el punto y recta
directriz 1 yx .
Solución
Observe que en este caso la recta directriz no es vertical ni horizontal por
lo que, el teorema no nos ayuda en nada y debemos recurrir a la definición
misma. Como el eje de la parábola es ortogonal a la directriz y debe pasar por el
vértice entonces debe tener ecuación . Para hallar el valor de debemos
resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales y calcular la distancia al
vértice.
Puesto que la solución es , entonces y el foco sería
Para hallar la ecuación de la parábola suponga que el punto esta
sobre ella, entonces para poder calcular la distancia de este punto a la directriz
debemos hallar la recta que pasa por este punto y es paralela al eje de la
parábola. Dicha recta tienen ecuación
Ahora debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con la
idea de calcular la distancia que buscamos
La solución de este sistema es
con lo cual la ecuación de la parábola es
Figura 4.
4.3 Propiedades de la parábola Una de las propiedades geométricas de la parábola más utilizada fue
descubierta por los griegos : un rayo, por ejemplo, de luz, que emane del foco, se
refleja en la parábola a lo largo de una trayectoria paralela al eje de la parábola,
sin importar cual sea el punto de reflexión. O recíprocamente, un rayo paralelo al
eje de la parábola y reflejado en ella pasa por el foco. Este hecho es útil en la
construcción de linternas, faros automotrices y faros buscadores, en los cuales el
reflector tiene una sección transversal parabólica y la fuente luminosa esta en el
foco. Igualmente, en los telescopios y receptores de radar, las señales de una
fuente remota entran paralelas al eje y se reflejan pasando por el foco, mediante
un reflector parabólico. La potente concentración que produce un reflector
parabólico grande, como el de un radiotelescopio, hace posible detectar y analizar
señales luminosas muy pequeñas.
4.3.1 Propiedad de reflexión
La propiedad de reflexión se muestra en la figura 11.
Figura 11
Teorema La tangente a una parábola en un punto forma ángulos iguales con :
La recta que pasa por y por el foco (ángulo de reflexión).
La recta que pasa por y es paralela al eje de la parábola (ángulo de incidencia).
4.4 Ejercicios propuestos1. Determine el vértice, el foco, la directriz y la grafica de cada una de las siguientes
parábolas1.1. 1.2.1.3. 1.4.1.5. 1.6.2. Hallar en cada caso, la ecuación canónica de la parábola de vértice en el
punto y:2.1. Foco en el punto 2.2. Foco en el punto 2.3. con Directriz la recta 2.4. con Directriz la recta 3. Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en y foco
en 4. Determine la ecuación canónica de la parábola que abre en la dirección
del eje y pasa por los puntos , , 5. Determine la ecuación canónica de la parábola 6. Determine la ecuación canónica de la parábola que abre en la dirección
del eje y pasa por los puntos , , Respuesta:
7. Determine la ecuación canónica de la parábola que tiene eje vertical y pasa por los puntos. , ,
8. Determine la ecuación canónica de la parábola que pasa por los puntos. , ,
9. Determine la ecuación canónica de la parábola con foco en y directriz .
10.Determine la ecuación canónica y el foco de la parábola que satisface simultáneamente las siguientes condiciones
10.1. vértice en . 10.2. contiene al punto 10.3. la distancia de a la directriz es 10. 11.Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en y
directriz . 12.Determinar el lugar geométrico de todos los puntos del plano tal que la
distancia:12.1. Al punto es igual a la distancia a la recta
Respuesta: 12.2. Al punto es igual a la distancia a la recta
Respuesta: 13.Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal
manera que su distancia s la recta es siempre igual al doble de su distancia del eje X. Ayuda la formula del calculo de la distancia de un punto a una recta es
14.Formar la ecuación de la parábola, sabiendo que:14.1. La ecuación de la directriz es y las coordenadas del vértice es
14.2. Su eje focal es paralelo al eje Y, y el vértice tiene coordenadas y la parábola pasa por el punto
5 La ElipseMás de mil años después de que los griegos definieran las secciones
cónicas, en la época del Renacimiento, el astrónomo polaco Nicholas Copérnicus
(1473 - 1543), en su obra : Sobre las revoluciones de las esferas celestes, sostenía
que todos los planetas, incluso la Tierra, giraban en órbitas circulares alrededor
del Sol.Aunque muchas de las afirmaciones de Copérnico no eran válidas la
controversia provocada por su teoría heliocéntrica empujó a los astrónomos a
buscar un modelo matemático que explicará los movimientos de los planetas y el
Sol. El primero en hallarlo fue el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571 -
1630).Kepler descubrió que los planetas giran alrededor del Sol en órbitas
elípticas, con el Sol colocado no en el centro sino en uno de los focos. El uso de las
elipses para explicar el movimiento de los planetas es tan sólo una de sus diversas
aplicaciones. Al igual que lo hicimos para la parábola vamos a definir la elipse
como un lugar geométrico de puntos. En este caso usando dos puntos focales en
vez de uno.
Definición
Una elipse es el conjunto de puntos (lugar geométrico) cuya suma de
distancias a dos puntos fijos y del plano (llamados focos) es constante.Llamaremos centro de la elipse, al punto medio entre los focos ( ver figura 12)
La recta que pasa por los focos, corta a la elipse en dos puntos llamados
vértices. La cuerda que une los vértices es el eje mayor de la elipse. La cuerda
perpendicular al eje mayor y que pasa por el centro se llama eje menor de la
elipse.
Figura 12 La Elipse
5.1 Forma canónica de la Elipse
5.1.1 Eje Focal Horizontal
Teorema
Sean , focos de una elipse, centro de la
elipse, y , , entonces la forma
canónica de la ecuación de una elipse esta dada por
Donde , y (ver figura 13)
La demostración de este teorema no es complicada, basta aplicar la
definición y la fórmula de distancia (figura 13), es decir.
Simplificando
Pero, y así obtenemos la ecuación canónica de la elipse
Figura 13 Elipse de eje focal Horizontal
5.1.2 Eje Focal vertical
Teorema
Sean , focos de una elipse, centro de la
elipse, y , , entonces la forma
canónica de la ecuación de una elipse esta dada por
Donde , y (ver figura 14)
Figura 14 Elipse de eje focal Horizontal
Observación:
De la figura 2, podemos deducir que (tomando
), es decir, es la constante a la que se refiere la definición.
Los focos están en el eje mayor a unidades del centro con ,
y el eje mayor es horizontal.
5.2 Elipse centrada e el Origen
5.2.1 Eje Focal HorizontalToda elipse centrada en el origen y de eje focal horizontal es
Con ,
5.2.2 Eje Focal VerticalToda elipse centrada en el origen y de eje focal horizontal es
Con ,
5.3 La excentricidad de una ElipseLa excentricidad es una medida de la "circularidad" de una elipse, entre
más cerca de cero más circular y entre más cerca de uno más alargada.
Definición (excentricidad) La excentricidad de una elipse está dada por el cociente
Observe que al estar situados los focos en el eje mayor entre el centro y
los vértices, siempre se tiene que
Es decir, las elipses tienen una excentricidad menor a uno. Para una elipse
casi circular, los focos están cerca del centro y es pequeño. Para una elipse
alargada los focos están cerca de los vértices y es casi .
Esto explica la dificultad de los astrónomos en detectar las órbitas
elípticas de los planetas, pues estas tienen los focos muy cerca de su centro, lo
cual las hace casi circulares. La siguiente tabla muestra la excentricidad de las
órbitas de los nueve planetas y la Luna.
Una de las propiedades geométricas más interesante de la elipse afirma
que: un rayo que emana de uno de los focos de la elipse y se refleja en ella pasa
por el otro foco; esta propiedad se conoce como la propiedad reflectora (figura
15)
Teorema (propiedad de reflexión)
La recta tangente a una elipse en un punto forma ángulos iguales con las rectas que pasan por y por alguno de los focos.
Figura 15 Propiedad Reflectora
5.4 Ejercicios ResueltosEjemplo 20:
Obtener la ecuación de la elipse cuyos focos son y y la
constante es igual a 6. Trazar su gráfica identificando los vértices, los focos, el
centro y la excentricidad.
Solución
Ejemplo 21:
Hallar la ecuación canónica de la elipse y trace su
gráfica identificando los vértices, los focos, el centro y la excentricidad.
Solución
Ejemplo 22:
Hallar la ecuación canónica de la elipse y
trrace su gráfica identificando los vértices, los focos, el centro y la excentricidad.
Solución
Ejemplo 23:
Hallar la ecuación canónica de la elipse y
trace su gráfica identificando los vértices, los focos, el centro y la excentricidad.
Solución
Ejemplo 24:
Representa una elipse
Solución
Ejemplo 25:
Hallar la ecuación canónica de la elipse cuyo centro es , uno de sus
focos es el diámetro mayor es 10, trace su gráfica identificando los vértices,
foco y la excentricidad.
Solución
Ejemplo 26:
Hallar la ecuación canónica de la elipse y
trazar su gráfica identificando los vértices, los focos, el centro y la excentricidad.
Solución
Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado de la
expresión en ambas variables.
De donde obtenemos que el centro es , el valor de
( es la longitud mayor, esto nos dice que la elipse es vertical), el
valor de y el valor de está dado por:
Y así, los focos están dados por , y los
vértices por y . Por último, la excentricidad es
La gráfica se muestra en la figura 16.
Figura 16
Ejemplo 27:
Hallar la ecuación canónica de la elipse con vértices en y y eje
menor de longitud .
Solución
Como la longitud del eje menor es de unidades, entonces . Como
los vértices están en y , entonces el centro está en , el eje mayor
de la elipse es vertical y .Con lo cual
Por último, la excentricidad es y la ecuación canónica es
Los focos están en , . La gráfica de la elipse se
muestra en la figura 17.
Figura 17
Ejemplo 28:
Determine la ecuación canónica de la elipse con ejes paralelos a los ejes
coordenados y que pasa por los puntos .
Solución
Suponga que el centro de la elipse es . Si la elipse tiene eje
horizontal su ecuación debe ser:
Caso 1 Si la elipse tiene eje horizontal su ecuación tiene la forma:
Evaluando cada uno de los puntos, obtenemos el siguiente sistema:
(1) Si
(2) Si
(3) Si
(4) Si
De (3) y (4) obtenemos (5)
De (1), (2) y (5) tenemos que
Lo cual es falso. Esto nos dice que no existe una elipse de eje horizontal
que pase por esos.
Caso 1 Si la elipse tiene eje es vertical, su ecuación tiene la forma:
Sustituyendo cada uno de los obtenemos el siguiente sistema:
(6) Si
(7) Si
(8) Si
(9) Si
De (6) y (7) tenemos (10)
De (8) y (9) tenemos (11)
De (6), (8), (10) y (11) tenemos y y .
Con lo cual la ecuación de la elipse es:
Y su grafica es
5.5 Ejercicios Propuestos1. Determinar la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse con centro
en , eje mayor horizontal y excentricidad .
2. Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse con centro
en , eje mayor horizontal y los puntos y están en la elipse.
3. Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse con centro
en y longitud de eje mayor de y longitud del eje menor .
4. Hallar la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse que tiene un
vértice y un foco en común con la parábola y que tiene su otro foco en el origen.
5. Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse cuya suma
de distancias a los es 16.
6. Encuentra el valor de la excentricidad y la clase de cónica representada por cada una de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
d)
7. Determine la ecuación canónica de la elipse con focos en y y eje mayor de longitud 10 (Nota: los focos de esta elipse no están en una recta vertical ni horizontal).
6 La HipérbolaLas hipérbolas aparecen en muchas situaciones reales, por ejemplo, un
avión que vuela a velocidad supersónica paralelamente a la superficie de la tierra,
deja una huella acústica hiperbólica sobre la superficie. La intersección de una
pared y el cono de luz que emana de una lámpara de mesa con pantalla
troncocónica, es una hipérbola.
La definición de la hipérbola como lugar geométrico es similar a la dada
para la elipse, como vemos en seguida
La recta que pasa por los focos corta a la hipérbola en dos puntos
llamados vértices. El segmento recto que une los vértices se llama eje transversal
y su punto medio es el centro de la hipérbola. Un hecho distintivo de la hipérbola
es que su gráfica tiene dos partes separadas, llamadas ramas.( ver figura 18 )
Figura 18 La Hipérbola
Definición
Una hipérbola es el conjunto de puntos para los que la diferencia de sus distancias a dos puntos distintos prefijados (llamados focos) es, en valor absoluto, una constante.
Teorema (ecuación canónica de la hipérbola)
La ecuación canónica de la hipérbola con centro en es
con eje transversal horizontal. Y
con eje transversal vertical. (ver figura 19 )
Los vértices están a una distancia de unidades del centro y los focos a
una distancia de unidades del centro. Además
Figura 19
Resumiendo:
Si el eje transversal de la hipérbola es horizontal entonces
El centro está en
Los vértices están en
Los focos están en .
Si el eje transversal de la hipérbola es vertical entonces
El centro está en
Los vértices están en .
Los focos están en .
Una ayuda importante para trazar la gráfica de una hipérbola son sus
asíntotas. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en su centro y
pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones 2a y 2b y centro en
.El segmento recto de longitud 2b que une se llama
eje conjugado de la hipérbola. El siguiente teorema identifica la ecuación de las
asíntotas.
Observación:
Las asíntotas de la hipérbola coinciden con las diagonales del rectángulo
de dimensiones y centro .Esto sugiere una forma simple de trazar
tales asíntotas.
6.1.1 Excentricidad de una hipérbola
Teorema (Asíntotas de una hipérbola)
Si la hipérbola tiene un eje transversal horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son
y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son
Definición (excentricidad de una hipérbola)
La excentricidad de una hipérbola está dada por el cociente
Si la excentricidad es grande los focos están cerca del centro y las ramas
de la hipérbola son casi rectas verticales. Si la excentricidad es cercana a uno los
focos están lejos del centro y la ramas de la hipérbola son más puntiagudas.
6.2 Propiedad de reflexión
La propiedad reflectora de la hipérbola afirma que un rayo de luz dirigido
a uno de los focos de una hipérbola se refleja hacia el otro foco (figura 20).
Teorema (propiedad de reflexión)
La tangente en un punto P de una hipérbola es la bisectriz del ángulo formado por lo segmentos que unen este punto con los focos.
Figura 20
6.3 Ejercicios resueltosEjemplo 29:
Trace la grafica de
Solución
Ejemplo 30:
Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las
asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es
Ejemplo 31:
Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las
asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es
Solución
Completando el cuadrado en ambas variables
Por tanto, el centro está en . El eje de la hipérbola es horizontal,
y
Los vértices están en , los focos en y
y la excentricidad es . La gráfica se muestra en la figura 3.
Su grafica es
Ejemplo 32:
Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en y
y asíntotas y . Además calcule los focos, la
excentricidad y trace la gráfica.
Solución
Por ser el centro el punto medio de los vértices sus coordenadas son
. Además, la hipérbola tiene eje transversal vertical y . Por otro
lado, por el teorema de las asíntotas.
Por tanto, la ecuación canónica es
El valor de está dado por
Los focos están en y y la excentricidad es
La gráfica se muestra en la figura 4.
Figura 5.
6.4 Ejercicios Propuestos1. Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la hipérbola tal que para
cualquier punto sobre ella la diferencia entre sus distancias a los puntos y
es .
2. Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la hipérbola con vértices
en y y asíntotas en .
3. Hallar el valor de de forma que la hipérbola sea tangente a la recta
.
4. Determine el tipo de cónica representada por la ecuación en los casos
1. Si
2. Si
3. Si
5. Determine la excentricidad de la cónica con ecuación 0
6. Determina el tipo de cónicas representado por las siguientes ecuaciones y escribe la forma ordinaria de cada una:
1.
2.
3.
4.
7 Ecuación de Segundo Grado
Como hemos visto la ecuación canónica de las secciones cónicas tiene la
forma:
donde y son constantes. Este tipo de ecuación se
conoce como ecuaciones de segundo grado en . Otra manera de introducir las
secciones cónicas es por medio de este tipo de ecuaciones, pues sus gráficas
corresponden, en general, con las secciones cónicas estudiadas.
Definición
Una ecuación de la forma
donde y son constantes, se conoce como ecuación de
segundo grado en .
Observación: la gráfica de este tipo de ecuaciones corresponde a una
sección cónica y la presencia del término mixto a se traduce en una rotación de
ejes. Tema que se sale de los objetivos del presente curso y no será tratado en
detalle, pero aún así, se presentará el teorema relacionado y un ejemplo.
Teorema (rotación de ejes)
La ecuación de segundo grado
puede reescribirse como
girando los ejes coordenados un ángulo , donde
Los coeficientes de la nueva ecuación se obtienen haciendo las
sustituciones:
Ejemplo 33:
Hallar la ecuación canónica de la cónica
y trazar su gráfica.
Solución
Primero debemos calcular el ángulo de rotación
Por tanto, el cambio de variable a realizar está dado por
Al sustituir en la ecuación original (2), obtenemos la ecuación canónica
deseada:
La gráfica de está elipse se muestra en la figura 21.
Figura 21
Ligada a la ecuación de segundo grado existe una cantidad conocida como
discriminante que es útil en la clasificación de cónicas.
El siguiente teorema nos permite clasificar las cónicas basándose en el
signo del discriminante.
Ejemplo 34:
Las gráficas de las siguientes ecuaciones de segundo grado corresponden
a cónicas no degeneradas. Clasifique cada cónica.
1.
2.
Definición (discriminante)
El discriminante de la ecuación de segundo grado (1) está dado por
Teorema (secciones cónicas) La gráfica de una ecuación de segundo grado
corresponde a, salvo casos degenerados, una sección cónica:
a.)
Si , la gráfica es una elipse. b.)
Si , la gráfica es una parábola. c.)
Si , la gráfica es una hipérbola.
3.
Solución
Como las ecuaciones corresponden a cónicas no degeneradas, se puede afirmar que
Como la cónica es una parábola
Como la cónica es una elipse
Como la gráfica es una hipérbola.
7.1 Ejercicios Propuestos
1.- Otra forma de definir las secciones cónicas es la siguiente:
Sea un punto fijo (llamado foco) y una recta fija (llamada directriz) en un plano. Sea un número positivo fijo (llamado excentricidad). El conjunto de todos los puntos del plano tales que
(es decir, el cociente de la distancia con respecto a y la distancia respecto a es igual a la constante ) es una sección cónica. Compruebe que la cónica es :
a.) una elipse si b.) una parábola si
c.) una hipérbola si
2.- ¿ Es la curva de ecuación , con una parábola?
3.- Determine la excentricidad de la cónica con ecuación:
8 Tabla de Contenidos1 Introducción.........................................................................................................................2
2 Lugares geométricos............................................................................................................3
2.1 Ejercicios Propuestos..................................................................................................7
3 La Circunferencia..................................................................................................................8
3.1 Ejemplos resueltos......................................................................................................9
3.2 Ejercicios propuestos................................................................................................13
4 La Parábola.........................................................................................................................14
4.1 Ecuación canónica de la parábola.............................................................................15
4.1.1 Eje Focal de la parábola es Vertical.......................................................................15
4.1.2 Eje Focal de la parábola es Horizontal..................................................................16
4.2 Ejemplos resueltos....................................................................................................17
4.3 Propiedades de la parábola.......................................................................................22
4.3.1 Propiedad de reflexión.........................................................................................23
4.4 Ejercicios propuestos................................................................................................24
5 La Elipse..............................................................................................................................26
5.1 Forma canónica de la Elipse......................................................................................27
5.1.1 Eje Focal Horizontal..............................................................................................27
5.1.2 Eje Focal vertical...................................................................................................28
5.2 Elipse centrada e el Origen.......................................................................................29
5.2.1 Eje Focal Horizontal.............................................................................................29
5.2.2 Eje Focal Vertical...................................................................................................29
5.3 La excentricidad de una Elipse..................................................................................29
5.4 Ejercicios Resueltos...................................................................................................30
5.5 Ejercicios Propuestos...............................................................................................35
6 La Hipérbola.......................................................................................................................37
6.1.1 Excentricidad de una hipérbola............................................................................40
6.2 Propiedad de reflexión..............................................................................................40
6.3 Ejercicios resueltos....................................................................................................41
6.4 Ejercicios Propuestos................................................................................................43
7 Ecuación de Segundo Grado...............................................................................................45
7.1 Ejercicios Propuestos..............................................................................................49
8 Tabla de Contenidos...........................................................................................................50