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8/11/2019 SEGUNDA DE FINITOS.docx
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SEGUNDA PRCTICA
(TRACCIN CON DEFORMACIN TRMICA)
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
De la siguiente placa triangular de espesor constante, t=150mm. Calcular:
Los esfuerzos en cada elemento finito y la reaccin en el apoyo, con un incremento de
temperatura de 80C. Utilizar n elementos finitos.
Sabiendo que:
P=30000 N
T (espesor) = 150 mm
E = 3.0x105N/mm2
= 8.0 gr-f/cm3= 7,848x10-5
N/mm3
= 11x10-6 C-1
t = 80
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SOLUCIN:
1. MODELADO DEL CUERPO REAL
Consideramos seis elementos finitos de longitud de 250, 250, 250, 250, 500 y 500 mm
desde la base hasta la punta.
El ancho de cada elemento lo calculamos tomando el punto medio de cada elemento
finito:
mmb
mmb
mmb
mmb
mmb
mmb
1502
)0300(
4502
300600
6752
600750
8252
)750900(
9752
9001050
11252
10501200
6
5
4
3
2
1
Luego:
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e
NODOS GDL
le (mm) Ae (mm2)
(1)
Primer nodo
(2)
Segundo nodo1 2
1 1 2 Q1 Q2 250 168750
2 2 3 Q2 Q3 250 146250
3 3 4 Q3 Q4 250 123750
4 4 5 Q4 Q5 250 101250
5 5 6 Q5 Q6 500 67500
6 6 7 Q6 Q7 500 22500
1. GRADOS DE LIBERTAD NODALES.- (GDL)
(VECTOR DESPLAZAMIENTO)
En el siguiente grfico se muestran los vectores
desplazamientos nodales globales
El vector de desplazamiento ser:
mm
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
7
6
5
4
3
2
0
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Donde Q1= 0 debido a que la placa esta empotrada y los dems desplazamientos son
incgnitas donde procederemos a calcularlos.
2. VECTOR CARGA
Analizando las fuerzas en cada elemento finito:
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Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:
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Entonces, el vector carga se expresara de la siguiente manera
[
]
[
]
MATRIZ DE RIGIDEZ
A continuacin pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que est determinada por la
siguiente ecuacin:
( )
( )
( )[
]
( )[
]
( )[
]
( )[
]
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Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad obtenemos:
[
]
[
]
Finalmente:
[
]
ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO
La ecuacin de rigidez est determinada por la siguiente ecuacin:
QKF
ii
Lo que con nuestros valores calculados tenemos:
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[
]
7
6
5
4
3
2
0
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:
mmQ
mmQ
mmQ
mmQ
mmQ
mmQ
(-5)x10^175972
(-5)x10^131975
(-5)^87980.2x10
(-5)x10^65984
(-5)x10^43988.5
(-5)x10^8.21993
7
6
5
4
3
2
Y para obtener la reaccin en el empotramiento resolviendo obtenemos:
NR 44125.81
ESFUERZOS
Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuacin:
TEQ
Q
l
E e
i
i
e
e
)(
111
Dnde:
TE e)( = (3*105*11*10-6)*80=264
2mm
N
Donde obtenemos lo siguiente:
21
1
5
1 0744.02640.219938
011
250
103
mm
Nx
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22
2
5
2 0.0636-2640.439885
0.21993811
250
103
mm
Nx
2
3
3
5
3 -0,0542640.65984
0.43988511
250
103
mm
Nx
24
3
5
4 0456.02640.879802
0.6598411
250
103
mm
Nx
25
3
5
5 -0.03122641.31975
0.87980211
500
103
mm
Nx
263
5
6 -0.0182641.75972
1.3197511500103
mmNx
RESULTADOS
Finalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:
N44125.8R1
21 2317.0
mm
N
22 0.2712-
mm
N
23 -0.2972
mm
N
24 3412.0
mm
N
25 -0.0312
mm
N
26 -0.018 mm
N
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DIAGRAMA DE FLUJO
INICIO
Leer datos de entrada
E, f, t, , P, m, n
Calcula l y h para cada
elemento
Fuerzas en cada elemento
P=zeros(1,n+m+1);
Para: n y m
Fuerza en el centro:
P(n+1)=-30000;
Vector fuerza msica:
Peso=-f*0.5.*A.*L
A=t.*h;
Para el rea
Vector fuerza por deformacin trmica
Ft=-(x*t*E).*A;
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FIN
Calculo de esfuerzos:
=(E.*diff(Q))./L'-E*x*dt
R=kglobal*Q-F'
Ecuacin matricial
F = K . Q
Calculo de la matriz de rigidez
kele=E.*A./L;
k=k +(a(i)*E/(h/n))*x
Nodos
n+m+1
Imprime Reaccin,
desplazamientos y
esfuerzos
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DIGITACIN EN MATLAB
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RESULTADOS OBTENIDOS EN MATLAB:
Ingrese el N de elementos finitos de la primera parte (n):4
Ingrese el N de elementos finitos de la segunda parte (m):2
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CONCLUSIONES
A medida que se toma mayor nmero de elementos finitos mejor ser el
resultado encontrado el error va a ser mnimo conforme tomamos ms
elementos finitos.
El aumento de temperatura hace cambiar notablemente el valor deformacin por
ende de los esfuerzos en 1000 veces ms, por tanto es muy necesario hacer un
estudio con anlisis con elementos finitos a una pieza mecnica si este va a
trabajar a constantes cambios de temperatura.
Al comparar la reaccin hallada analticamente con que la que el Matlab se
encuentra un error, aunque es pequeo, podra influir en luego en errores
futuros, este error es muy probablemente producido por error en los
clculos y el uso de aproximaciones decimales.
Cuando solo haba traccin en el cuerpo, se poda notar fcilmente que los
desplazamientos eran negativos, ya que la traccin estaba en contra del
sistema de referencia, pero ahora al haber un incremento de temperatura,
los desplazamientos son positivos, esto significa que el efecto de
temperatura gana en desplazamiento al efecto de traccin en el cuerpo y en
cada elemento.
Aun as, los esfuerzos son negativos, debido a que de todos modos el
efecto de traccin produce un esfuerzo en contra del eje de referencia.
BIBLIOGRAFA
CHANDRUPATLA, T. Introduccin al Estudio de los ElementosFinitos en Ingeniera, Prentice Hall, 1999
ZIENKIEWCTZ, O. The Finite Element Method, New Cord, MacGrawHill, 1977.
LIVESLEY, R. Finite Element: An Introduction for Engineers,Cambridge, Great Britain, Cambridge University Press, 1983.
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UNIVERSIDAD NACIONAL
DE INGENIERIA
Facultad de Ingeniera Mecnica
Laboratorio N 2
TRACCION CON DEFORMACION TERMICA
Curso: Calculo por Elementos Finitos
Profesor: Ing. Ronald Cueva
Estudiante: Nombres y Apellidos codigo
Seccin C
UNI 2 14 II