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7/23/2019 Segunda Practica de Ana. Mate. II
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERA
Escuela Académica Profesioal de I!eier"a Ci#il$H#ca
SEGUNDA PR%CTICA DE AN%LISIS &ATE&%TICO II
'INTEGRALES INDEFINIDAS(1. MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN
a¿∫( x2−3 x+2)dx
x2+7 x+12
¿∫( ( x−6 ) ( x+3 )+20 )dx
( x+3 ) ( x+4 )
¿∫( ( x−6 ) ( x+3 ))dx
( x+3) ( x+4 ) +∫
(20 ) dx
( x+3 ) ( x+4 )
1− 10
x+4
(¿)dx+20∫ dx
( x+3 ) ( x+4 )
¿∫¿
¿ x−10ln| x+4|+c1+20ln ¿ x2+7 x+12∨+c2
¿ x−10ln| x+4|+20ln ¿ x2+7 x+12∨+c;endondec1+c2=c
b¿∫ ( x−4)dx
x2
+5 x−6
¿∫ ( x−1−3 ) dx
( x+6 )( x−1)
¿∫ ( x−1) dx
( x+6 )( x−1)−∫ 3dx
( x+6 )( x−1)
¿∫ dx
x+6−3∫ dx
( x+6 )( x−1)
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¿ ln| x+6|+c1−3 ln|( x+6 ) ( x−1 )|+c
2;endonde c
1+c
2=c
c ¿∫ ( x+3 ) dx
x2+7 x+12
¿∫ ( x+3 )dx
( x+3 ) ( x+4 )
¿∫ dx( x+4 )
¿ ln| x+4|+c
d1¿∫
(3 x+1
2)dx
x2+3 x−10
Solución:
∫(3 x+
1
2 )dx
x2+3 x−10
= ∫ ( 29
14
x+5+
13
14
x−2)dx =
29
14∫ dx
x+5+13
14∫ dx
x−2 =
29
14∫ d ( x+5)
x+5 +
13
14∫ d ( x−2)
x−2
=29
14 ln| x+5|+ 13
14 ln| x−2|+¿ c
d2¿∫ xdx
x2−4
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∫ xdx
x2−4
=∫ xdx
( x+2 ) ( x+2 )
¿1
2∫ ( x+2+ x−2 ) dx
( x+2 ) ( x−2 )
¿1
2∫ ( x+2 ) dx
( x+2 ) ( x−2 )+1
2∫ ( x−2 ) dx
( x+2 ) ( x−2 )
¿1
2∫
dx
( x−2 )+1
2∫
dx
( x+2 )
¿1
2∫ d ( x−2 )
( x−2 ) +
1
2∫ d ( x+2 )
( x+2 )
| x−2|+¿ 12 ln| x+2|
¿ 1
2ln ¿
e¿∫( x2+2 x ) dx
x2−9
∫( x2+2 x )dx
x2−9
=∫ ( x2+2 x )dx
( x+3 ) ( x−3 )
¿∫ x2dx
( x+3 ) ( x−3 )+2∫ xdx
( x+3 ) ( x−3 )
¿∫ x2dx
( x+3 ) ( x−3 )+∫
( x+3+ x−3 )dx
( x+3 ) ( x−3 )
¿∫ x2dx
( x+3 ) ( x−3 )+∫
( x+3 ) dx
( x+3 ) ( x−3)+∫
( x−3 ) dx
( x+3 ) ( x−3 )
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¿∫ x2dx
( x+3 ) ( x−3 )+∫ dx
( x−3 )+∫ dx
( x+3 )
¿∫ x2dx
x2−9
+ ln| x−3|+C 1+ ln| x+3|+C 2
¿∫( x2+9−9 )dx
x2−9
+ ln| x−3|+C 1+ ln| x+3|+C 2
¿∫( x2−9 )dx
x2−9 +9∫
dx
x2−9 +ln| x−3|+C 1+ln| x+3|+C 2
¿∫dx+9
2∫ d (2 x )
x2−9
+ ln| x−3|+C 1+ln| x+3|+C 2
¿ x+C 1+9
2∫ d ( x2−9 )
x2−9
+ ln| x−3|+C 2+ ln| x+3|+C 3
¿ x+C 1+ 9
2 ln| x2−9|+C 2+ln| x−3|+C 3+ ln| x+3|+C 4
⟹∫( x2+2 x )dx
x2−9
= x+ 9
2ln| x2−9|+ln| x−3|+ ln| x+3|+C;dondeC =C 1+C 2+C 3+C 4
( )2
2
2
) 9
x x dx
f x
+
−∫
( ) ( ) ( )22 2
2 2 2 2
:
2 3 32 2 33
9 9 9 9
solución
x x dx x x dx x x dx
x x x x
+ − ++ + − = = +− − − −∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )
2
3 13
3 3 9
x x dx dx
x x x
+ −= +
+ − −
∫ ∫
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( )
( )
2 2
13
3 3
x dx dx
x x
−= +
− −∫ ∫
2 2
21 3
3 3
dxdx
x x
= + + ÷− − ∫ ∫
2 22 3
3 3
dx dxdx
x x= + +
− −∫ ∫ ∫
( ) 2 232 33 3
d x dx dxdx x x
−= + +− −∫ ∫ ∫
( )1 2 3
1 32ln 3 3 ln
2 3 3
x x c x c c
x
−= + + − + + + ÷ ÷ +
1 32ln 3 ln
2 3
x x x c
x
−= + − + +
+
1 2 3: Donde c c c c+ + =
g¿∫( x2+ x+1 )
x3+8
dx
∫ ( x2+ x+1)( x−2 ) ( x2+2 x+4 )
dx
Numerador
Solución : x2+ x+1→x=
−1∓ √ −3
2
Denominador
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Solución : x2+2 x+4 →x=
−2∓√ −12
2
Como√ −3∈ ∁
Como√ −12∈∁
∫( x2+ x+1)
x3+8
dx=∄( Numeros reales)
h¿∫ (5− x )dx
x2+9 x−22
¿−∫ ( x−2−3)dx
( x−2)( x+11)
¿3∫ dx( x−2 )( x+11)
−∫ ( x−2)dx( x−2 )( x+11)
¿− 3
13∫( ( x−2 )−( x+11))dx
( x−2 )( x+11) −∫ dx
x+11
¿ 3
13∫ ( x+11)dx
( x−2 )( x+11)−
3
13∫ ( x−2 ) dx
( x−2 )( x+11)−∫ dx
x+11
¿ 3
13∫ dx
( x−2 )−
16
13∫ dx
( x+11)
¿ 3
13∫ d ( x−2)
( x−2 ) −
16
13∫ d ( x+11)
( x+11)
¿ 3
13 ln| x−2|+c
1−
16
13 ln| x+11|+c
2
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¿ 3
13 ln| x−2|−16
13 ln| x+11|+c ;endonde c
1+c
2=c
( x+10 )
x2+13 x+30
¿
dx=∫ ( x+10 )
( x+3 ) ( x+10 ) dx
i¿∫¿
¿1
2
∫ 2 x+20
( x+3 ) ( x+10 )
dx=1
2
∫ x+3+ x+10+7
( x+3 ) ( x+10 )
dx
¿1
2∫ x+3
( x+3 ) ( x+10 ) dx+
1
2∫ x+10
( x+3 ) ( x+10 ) dx+
1
2∫ 7
( x+3 ) ( x+10 ) dx
¿1
2∫ dx
x+10+1
2∫ dx
x+3+1
2∫ ( x+10 )−( x+3 )
( x+3 ) ( x+10 ) dx
¿1
2∫d ( x+3 ) x+3 +¿
1
2∫ x+10
( x+3 )( x+10) dx−1
2∫ x+3
( x+3 )( x+10) dx
¿1
2∫
d ( x+10) x+10
+1
2∫ ¿
¿1
2 ln ( x+10)+
1
2∫ ln ( x+3)+ 1
2∫ d ( x+3)
x+3 −
1
2∫ d ( x+10)
x+10 +c= ln ( x+3 )+c
2
( 6))10 24
x dx j x x
−− +∫
( ) ( )2 2 2 2
(2 10) 2 2 101 (2 12) 1 1 2
2 10 24 2 10 24 2 10 24 10 24
x dx x dx x dx dx
x x x x x x x x
− − − −= = − − + − + − + − +
∫ ∫ ∫ ∫
( )2
(derivando el denominador :
10 24 2 10 x x u x dx du− + = = − =
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( )
( ) ( ) ( )
1 22 2 2
2 101 2 1 1 1 5 12 ln 2 ln
2 2 10 2 2 2(1) 5 15 1 5 1
x du dx du dx xu c c
u x u x x x
− − −− = − = + − + − − +
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫
2 2
1 2 1 2
2
2
1 6 1 1 6ln 10 24 ln ln 10 24 ln (Donde: c +c =c)
2 4 2 2 4
( 6) 1 1 6ln 10 24 ln
10 24 2 2 4
x x x x c c x x c
x x
x dx x x x c
x x x
− −− + + − + = − + − + − − − −
∴ = − + − +− + −∫
k ¿∫ (3 x+5 )dx
9 x2+30 x+20
¿∫ (3 x+5 ) dx
(3 x+5 ) (3 x+5 )
¿
∫
dx
(3 x+5 )
¿∫ dx
(√ 3 x )2+ (√ 5 )2
¿2√ 3 x .( 1√ 5 )( tan−1(√ 3 x√ 5 ))+c
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2. MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS
a¿∫ ( x−7) dx
x
2
−3 x+8
¿ 12∫ (2 x−14) dx
x2−3 x+8
¿1
2∫ (2 x−3−11 ) dx
x2−3 x+8
¿1
2∫d ( x2−3 x+8)
x2−3 x+8 −
11
2 ∫ dx
x2−3 x+8
¿1
2 ln| x2−3 x+8|+c
1−
11
2 ∫
d ( x−3
2)
( x−3
2)2
+(√ 232 )
2
¿ 12 ln| x2−3 x+8|+c1− 11
√ 23arctan
( x−
3
2√ 232 )
+c2
¿1
2 ln| x2−3 x+8|− 11
√ 23arctan (2 x−3
√ 23 )+c ;endondec1+c
2=c
b¿∫ (4 x+5 ) dx
3 x2−2 x+5
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solucion:
¿4∫ ( x ) dx
3 x2∓52 x
+5∫ dx
3 x2−2 x+5
¿2
3∫
(2 x−2
3+2
3 )dx
x2−
2
3 x+
5
3
+5
3∫ dx
x2−
2
3 x+
5
3
¿2
3∫ (2 x−
23 )dx
x2−
2
3 x+
5
3
+4
3∫ dx
x2−
2
3 x+
5
3
+5
3∫ dx
x2−
2
3 x+
5
3
¿2
3 ln| x2−
2
3 x+
5
3|+ 2
√ 14tan
−1( 3 x−1
√ 14 )+ 5
√ 14tan
−1( 3 x−1
√ 14 )
¿
2
3 ln
| x
2
−
2
3 x+
5
3
|+ 7
√ 14tan
−1
(3 x−1
√ 14 )+C
d ¿∫ (3 x−1)dx
5 x2+4 x+7
Solución:
∫ (3 x−1 ) dx
5 x2+4 x+7
=∫3
10(10 x−4)−11
5
5 x2+4 x+7
dx =3
10∫ (10 x−4 ) dx
5 x2+4 x+7
−11
5∫ dx
5 x2+4 x+7
¿ 3
10 ln|5 x
2+4 x+7|−11
25∫
d x
x2+
4
5 x+
7
5
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=
3
10 ln|5 x
2+4 x+7|−11
25∫ dn
( x+2
5 )2
+(√31
25 )2
=
3
10 ln|5 x
2+4 x+7|− 11
5√ 31tan
−1(5 x+2
√ 31 )+c
e¿∫ ( x−7 )dx
x2−3 x+8
∫ ( x−7 )dx x
2−3 x+8=∫ xdx
x2−3 x+8
−7∫ dx x
2−3 x+8
¿1
2∫ (2 x−3+3 ) dx
x2−3 x+8
−7∫ dx
x2−3 x+8
¿ 12∫ (2 x−3 ) dx
x2−3 x+8
+ 3
2∫ dx
x2−3 x+8
−7∫ dx
x2−3 x+8
¿1
2∫ d (2 x−3 )
x2−3 x+8
+( 32−7)∫ dx
x2−3 x+8
¿1
2 ln| x2−3 x+8|−11
2∫ dx
x2−3 x+8
¿1
2 ln| x2−3 x+8|−11
2∫ dx
( x−
3
2
)
2
+23
4
¿1
2 ln| x2−3 x+8|−11
2∫ dx
( x−3
2 )2
+(√ 23
4 )2
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¿1
2 ln| x2−3 x+8|−
11
2
[ 1
√23
4
tan−1
( x−
3
2
√23
4 )]¿ 12 ln| x2−3 x+8|− 11
√ 23tan
−1(2 x−3
√ 23 )
f ¿∫ ( x−2 ) dx6 x
2+5 x+12
∫ ( x−2 ) dx
6 x2+5 x+12
=∫ xdx
6 x2+5 x+12
−2∫ dx
6 x2+5 x+12
¿ 112∫ (12 x+5−5 ) dx
6 x2+5 x+12
−2∫ dx
6 x2+5 x+12
¿ 112∫ (12 x+5 ) dx
6 x2+5 x+12
− 5
12∫ dx
6 x2+5 x+12
−2∫ dx
6 x2+5 x+12
¿ 1
12∫ d (6 x
2+5 x+12)6 x
2+5 x+12−( 512 +2)∫
dx
6 x2+5 x+12
¿ 1
12∫ d (6 x
2+5 x+12)6 x
2+5 x+12−
29
12∫ dx
6 x2+5 x+12
¿ ln|6 x2+5 x+12|+C 1−
29
72∫ dx
x2+
5
6 x+2
¿ ln|6 x2+5 x+12|+C 1−
29
72∫ dx
( x+ 5
12 )2
− 25
144+2
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¿ ln|6 x2+5 x+12|+C 1−
29
72∫ dx
( x+
5
12 )2
+
√263
144
2
¿ ln|6 x2+5 x+12|+C 1−
29
72 [ 12√ 263tan
−1( 12 x+5
√ 263 )]+C 2
⟹∫ ( x−2 ) dx
6 x2+5 x+12
=ln|6 x2+5 x+12|−29
6 [ 1
√ 263tan
−1( 12 x+5
√ 263 )]+C;donde :C =C 1+C 2
2
3
4)
2 3 7
x
g x x
+ ÷ − +∫
( ) ( )2 2 2
:
3 14 3 4 3 3 31
4 442 3 7 2 3 7 2 3 7
solución
x x dx x dx
x x x x x x
+ + ÷ − + +
= =− + − + − +∫ ∫ ∫
( ) ( )2 2
4 3 3 31
4 42 3 7 2 3 7
x dx dx
x x x x
− += +
− + − +∫ ∫
( ) ( )2
22
2 3 7 3 31
4 42 3 7 3 7
2 2
x x dx
x x
x x
− + += +
− +− +
∫ ∫
( ) ( )2
2 22
2 3 7 3 31
4 82 3 7 3 53
4 4
x x dx
x x x
− + += +
− + − + ÷ ÷
∫ ∫
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( )2 1 2
4 33 31 1
4ln 2 3 74 8 53 53
4 4
x
x x c arctg c
− ÷+
÷= − + + + + ÷ ÷
2
12
ln 2 3 7 3 3 4 4 3
4 4 8 53 53
x x c xarctg c
− + + −= + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
2ln 2 3 7 3 3 4 3
4 2 53 53
x x x
arctg c
− + + −= + + ÷ ÷ ÷ ÷
h¿∫3 x+
2
5
5
6 x2+
4
5 x+
6
7
dx
Solución:
∫3 x+
2
5
5
6 x2+
4
5 x+
6
7
dx=210
210∫
3 x+2
5
5
6 x2+
4
5 x+
6
7
dx
630
∫
x
175 x2
+168 x+180dx+84
∫
dx
175 x2
+168 x+180
630
350∫ d (175 x
2+168 x+180)175 x
2+168 x+180−
105840
350 ∫ dx
175 x2+168 x+180
+¿
+84∫ dx
175 x2+168 x+180
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630
350∫ d (175 x
2+168 x+180)175
x
2
+168
x+180
−76440
25 ∫ dx
175 x
2
+168
x+180
63
35∫ d (175 x
2+168 x+180 )175 x
2+168 x+180−76440
4375 ∫ dx
x2+
168
175 x+
180
175
63
35∫ d (175 x
2+168 x+180)175 x
2+168 x+180−
76440
4375∫ dx
( x−168
350 )2
+(√276
625 )2
63
35 ln|175 x
2+168 x+180|−¿
−76440
4375
[
1
2 ( 1
√276
625 ) ln|( x−
168
350 )−(√ 276
625 )( x−168
350 )+(√276
625 )|]+C
i¿∫ (3 x+
5
4 )dx
4 x2+√ 5 x−2
¿∫ (
3
8(8 x+√ 5 )+10−3√ 5
8
)dx
4 x2+√ 5 x−2
¿3
8∫
(8 x+√ 5 ) dx
4 x2+√ 5 x−2
+10−3√ 5
8 ∫ dx
4 x2+√ 5 x−2
¿3
8∫ d (4 x
2+√ 5 x−2)
4 x2+√ 5 x−2
+10−3√ 5
8 ∫
d ( x+ √ 58 )
4
(( x+
√ 58
)
2
−(
√ 378 )
2
)
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¿3
8 ln∨4 x2
+√ 5 x−2∨+10−3√ 5
32 ∫
d ( x+ √ 58 )
(( x+ √ 58 )
2
−( √ 378 )
2
)
¿3
8 ln|4 x
2+√ 5 x−2|+c1+10−3√ 5
8
1
√ 37ln| x+ √ 5
8 −√ 37
8
x+ √ 58 −√ 37
8|+c
2
¿ 38 ln|4 x
2+√ 5 x−2|+ 10−3 √ 58√ 37
ln|8 x+√ 5−√ 378 x+√ 5+√ 37|+c;endondec
1+c
2=c
j ¿∫ (5 x−
7
2 )3 x
2−4
5 x−3
dx
¿1
3∫
(5 x−7
2 ) x
2− 4
15 x−1
dx=1
3∫
5
2 (2 x+ 4
15 )−2
3−
7
2
x2−
4
15 x−1
dx
¿1
3∫
5
2 (2 x+ 4
15 )−2
3−
7
2
x2−
4
15
x−1
dx=1
3∫
5
2 (2 x+ 4
15 )−2
3−
7
2
x2−
4
15
x−1
dx
¿5
6∫
2 x+ 4
15
x2− 4
15 x−1
dx−25
18∫ dx
x2− 4
15 x−1
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¿5
6∫
d ( x2− 4
15 x−1)
x2−
4
15 x−1
−25
18∫ dx
( x− 4
30 )2
−(√ 91630 )2
¿5
6 ln ( x2−
4
15 x−1)+c
1−
25
18 ( 15
√ 916 ) ln( x− 4
30−√ 916
30
x− 4
30+√ 916
30)+c
2
¿5
6 ln ( x2−
4
15 x−1)−
75
6 (√ 916 )ln(
30 x−4−√ 91630 x−4+√ 916 )+c ;dondec=c
1+c
2
16
4)
73 6 9
4
x dx
K
x
− ÷
+ −∫
2
:
16
(6 ) 14
7 7 743 6 9 3 6 9 3 6 9
4 4 4
solucion
x dx x dx dx
x x x x
− ÷ = −
+ − + − + −∫ ∫ ∫
2
143 6 3 6
24 18
7 77 43 6 9 3 6 9
4 4
x dxdx
x x x
+ − ÷ = −+ − + −∫ ∫
2 2 2
143 6
24 24 1 18.3 6
7 7 77 7 4 43 6 9 3 6 9 3 6 9
4 4 4
x dxdx dx
x x x x x x
+ ÷ = − −
+ − + − + −∫ ∫ ∫
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2
2 2
73 6 9
24 72 6 14
7 77 7 43 6 9 3 6 9
4 4
d xdx
x x x x
+ − ÷ = − + ÷ ÷ + − + −∫ ∫
2
1
2
24 7 288 6 7 43 6 9 .
7 4 28 7 12 6 36
7 7
dx Ln x C
x
+= + − + − ÷ ÷
+ −∫ ∫
2
1 2 2
24 7 288 6 7
3 6 97 4 49 6 6 6 13
7 7
dx
Ln x C
x
+= + − + − ÷ ÷
+ − ÷ ÷
∫ ∫
2
1
6 6 6 1324 7 288 6 7 1 7 73 6 9 .7 4 49 6 6 6 136 13
27 77
x
Ln x C Ln
x
+ − ÷ + ÷= + − + − ÷ ÷ ÷ + + ÷ ÷
∫
2
1 2
24 7 288 6 7 7 6 6 6 133 6 9
7 4 84 13 7 6 6 6 13
x Ln x C Ln C
x
+ + −= + − + − + ÷ ÷ ÷ ÷+ +
∫
224 7 288 6 7 7 6 6 6 133 6 9
7 4 84 13 7 6 6 6 13
x Ln x Ln C
x
+ + −= + − + + ÷ ÷ ÷ ÷+ +
∫
l)
∫ +−
−
11558
3
3
115
2 x x
dx x
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21
2
21
2
21
2
221
2
21
2
2
1
2
2
1
2
22
2
22
222
:69445406
69445406ln
69443
8858001155
8
3ln
3
20
6
69445406
6
69445406
ln69443
8858001155
8
3ln
3
20
6
6944
6
540
6
6944
6
540
ln
6
69442
1
9
8858001155
8
3ln
3
20
6
6944
6
5409
8858001155
8
3ln
3
20
36
6944
6
5409
885800
11558
3
ln3
20
3
88
3
5409
8858001155
8
3ln
3
20
3
88
3
540
8
33
1151001155
8
3ln
3
20
11558
33
11
3
5100
11558
3
11558
3
3
20
11558
33
11
11558
3
55554
3
3
20
11558
33
11
11558
351155
8
3
3
115
C C C dondeC x
x x x
C x
x
C x x
C
x
x
C x x
x
dxC x x
x
dx
C x x
x x
dxC x x
x x
dxC x x
x x
dx
x x
x xd
x x
dx
x x
dx x
x x
dx
x x
xdx
x x
dx x
+=++−−−−
++−
++−
−−−
+++−
++−
−−
−
+++−
−
−
−+++−
−
−
−+++−
+−
−+++−
+−
−+++−
+−
−+
+−
+−
+−−
+−
+
−
+−−
+−=
+−
−
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
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n¿∫ ( x+ √ 3
2 )3
11 x
2−√ 2 x+6
dx
¿∫ ( x+ √ 3
2 )3
11
( x
2−11 √ 23
x+22
)
dx
¿11
3∫
( x+ √ 32 )
( x−11 √ 26 )
2
+(√275
18 )2 dx
¿11
3∫
( x+ √ 32 )
( x−11 √ 26 )
2
+(√27518 )
2 dx
¿11
3∫
( 2 x+√ 32 )( x−11
√ 26 )
2
+(√275
18 )2 dx
¿ 113 ∫
1
2
(2 x+√ 3 )
( x−11 √ 26 )
2
+(√275
18 )2 dx
¿11
6∫
(2 x+√ 3 )
( x−11 √ 26 )
2
+(√275
18 )2 dx
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¿11
6 ∫ 2 x
( x−11 √
2
6 )2
+(√275
18 )2 d x+
11
6 ∫ √ 3
( x−11√
2
6 )2
+(√275
18 )2 dx
¿11
6∫
[(2 x−11 √ 23 )−11
√ 23 ]
( x−11 √ 26 )
2
+(√275
18 )2 dx+
11√ 36 ∫ dx
( x−11 √ 26 )
2
+(√ 275
18 )2
¿ 116 ∫ (
2 x−11 √ 2
3
)( x−11 √ 26 )
2
+(√275
18 )2 dx+11
6 ∫ (11
√ 2
3
)( x−11 √ 26 )
2
+(√ 275
18 )2 dx+ 11√ 3
6 ∫ dx
( x−11 √ 26 )
2
+(√275
18 )2
¿11
6∫
d ( x2−11√ 23
x+22)( x2−11
√ 23
x+22) +
121√ 218 ∫ dx
( x−11 √ 26 )
2
+(√275
18 )2+11√ 36 ∫ dx
( x−11√ 26 )
2
+(√275
18 )2
¿ 116 ln| x
2−11 √ 23
x+22|+c1+ 121
3√ 275tan
−1
(6√ 18 x−66
6 √ 275 )+c2+ 11√ 546√ 275
tan−1
(6 √ 18 x−66
6 √ 275 )+c3
c=c1+c
2+c
3
¿11
6 ln| x2−11
√ 23
x+22|+ tan−1(6√ 18 x−66
6√ 275 )[ 1213√ 275+11√ 546√ 275 ]+c
¿11
6
ln
| x
2−11 √ 2
3
x+22
|+ tan
−1
(6√ 18 x−66
6√ 275 )(126√ 275+33√ 14850
4950
)+c
ñ¿∫ (√ 5 x+
4
9 )√ 53
x2−
3
5 x−4
dx
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¿3
2∫ (2√ 5 x
3 −
3
5+ 8
27+3
5
)√ 53
x2−
3
5 x−4
dx ¿3
2∫ (2 √ 5 x
3 −
3
5
)√ 53
x2−
3
5 x−4
dx+121
135∫ dx√ 53
x2−
3
5 x−4
¿3
2∫
d(√ 53 x2−
3
5 x−4)
√ 53
x2−
3
5 x−4
+121
135∫ dx
√ 53
x2−
3
5 x−4
¿ 32 ln
|√ 53
x2−35
x−4
|+121135∫ dx
√ 53
x2−3
5 x−4
¿3
2 ln|√ 53 x
2−3
5 x−4|+ 121
135. 3
√ 5∫ dx
x2−
9
5√ 5 x−
3
√ 5
¿3
2
ln
|√ 5
3
x2−
3
5
x−4
|+
363
135√ 5∫
dx
( x− 9
10√ 5 )2
−(√ 81√ 5+6000
500√ 5 )2
¿3
2ln|√ 53 x
2−3
5 x−4|+ 363
135√ 5.
1
2√ 81√ 5+6000
500√ 5
ln ( x− 9
10√ 5−√ 81√ 5+6000
500√ 5
x− 9
10√ 5+√ 81√ 5+6000
500√ 5)+c
o¿∫( √ 12 x−11
2
x2
√ 3−√ 7 x+2 )dx
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¿∫( 2√ 3 x−11
2
x2√ 33 −√ 7 x+2 )dx
¿3∫( 2√ 3 x−3√ 7−11
2 +3√ 7
x2√ 3−3√ 7 x+6
)dx
¿3∫( 2√ 3 x−3√ 7 x
2√ 3−3√ 7 x+6 )dx+(3√ 7−11
2 )∫( dx
x2√ 3−3√ 7 x+6 )
¿3 ln ( x2√ 3−3√ 7 x+6)+(3√ 7−11
2 )∫( dx
x2√ 3−3√ 7 x+6 )
¿3 ln ( x2√ 3−3√ 7 x+6)+(3√ 7−11
2 )( 1√ 3 )∫
( dx
X 2
−3√ 7 x
√ 3 +2√ 3
)¿3 ln ( x2√ 3−3√ 7 x+6)+(3√ 7−11
2 )( 1√ 3 )∫( dx
( X −3√ 72√ 3 )
2
+(√ 21+8√ 34 )
2 )
¿3 ln ( x2√ 3−3√ 7 x+6)+(3√ 7−112 )(
1√ 3 )(
1
√ 21+8 √ 34
. tan−1
( X −
3√ 7
2√ 3
√ 21+8 √ 34 ))
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3. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES
2). tan3
xa x dx
÷ ∫
2 2
3
:
Sea: = tan3
1 d = ec d! " dv=
3 3
v= #3
$%licando la %ro%iedad de m&todo de inte'racion %or %arte:
dv
Solución
x
x x dx
x
µ
µ
µ
÷
÷
=∫ v vdu µ − ∫
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3 32 2
32 2
2 2
2 2
1tan tan ec d!
3 3 3 3 3 31
tan ec3 3 9 3
la inte'ral: ec3
ea: = ec3
x x x x x x dx
x x x x x dx
x Hallando x x dx
x x
= ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
= ÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
∫ ∫
∫
∫
22 2 2
" dv=!d!
2 d= ec tan +2! ec d! " v=
3 3 3 3 2
x x x x x
÷ ÷ ÷ ÷
3 4 22 2 2 21 2
tan ec ec tan +2! ec d!3 3 9 2 3 2 3 3 3 3
x x x x x x x x x
= ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ∫
3 42 4 2 21 1 1
tan ec + ec tan d!+ ! ec3 3 9 2 3 27 3 3 9 3
x x x x x x x x dx
= ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
∫ ∫
*allando la inte'ral:
4 2ec tan d! =3 3
x x x
÷ ÷ ∫
4 2ea:= dv=ec tan3 3
x x x dx
÷ ÷
3 23d=4 d! v= tan
2 3
x x
÷
3 42 4 2 2 3 2
3 42 4 2
eem%la,ando e tiene:
1 1 2 1tan ec + tan tan d!+ ! ec
3 3 9 2 3 18 3 9 3 9 3
1 1tan ec + tan ta
3 3 9 2 3 18 3 3
x x x x x x x x x dx
x x x x x x x
= ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
= + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
∫ ∫
2 3
1
2n ec +- tan d!
3 3 9 3
x x x Ln x
− ÷ ÷ ÷ ∫
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2 3
3 2
2
allando la inte'ral:
tan d!3
olcion:
ea: =! " dv=tan d!3
d=3! d! v=3tan3
x x
x
x x
÷
÷
− ÷
∫
( )
( )
3 2
3 2 3
43 2
2
! 3tan 3tan 3! d!3 3
= ! 3tan 9 tan 3 !3 3
3!= ! 3tan 9 tan +- .
3 3 4
x x
x x
x x x x dx dx
x x x x dx
− − ÷ ÷ ÷ ÷
− − + ÷ ÷ ÷ − − + ÷ ÷ ÷
∫ ∫ ∫
∫
3 42 4 2
43 2
1 2
eem%la,ando e tiene:
1 1
tan ec + tan tan ec3 3 9 2 3 18 3 3 3 3
2 3!+- ! 3tan 9 tan +-
9 3 3 4
x x x x x x x x
x Ln
x x x x dx
= + − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
− − + ÷ ÷ ÷ ∫
3 42 2 4 2
1
43
2
3 42
1 13 tan = tan ec + tan tan ec +-
3 3 3 9 2 3 18 3 3 3 3
2 2! ! 3tan +- .
9 3 12
1= tan ec
3 9 27 2 3
x x x x x x x x x x dx x Ln
x x
x x x x
+ − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
− − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
∫
4 2
1
43
2
1 1+ tan tan ec +-
54 3 9 3 3 3
2 ! ! 3tan +- .
27 3 18
x x x x x Ln
x x
+ −÷ ÷ ÷ ÷
− − ÷ ÷
3 42 2 4 2
43
1 2
1 1 1 tan tan ec + tan tan ec +
3 3 9 27 2 3 54 3 9 3 3 3
2 ! ! 3tan +-. " donde - +- .
27 3 18
x x x x x x x x x x dx x Ln
x x C
= + − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
− − = ÷ ÷
∫
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2) co ( ) ( )4 3
x xb sen dx∫
1 co1 1 12
( ) co( ) ( ) ( ) co( ) ( )2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3
x
x x x x x x x sen dx sen sen dx sen dx sen dx
+ ÷ ÷ ÷ = + = + ÷ ÷ ÷
∫ ∫ ∫ ∫
3 1 5( ) ( ) ( ) ( )
2 3 3 4 6 6
:
x x x x sen d sen sen dx
sea
+ − ÷ ∫ ∫
1
1
( ) ( ) co( )3 3 3
3co( ) co( )0
2 3 3
u
x x xdv sen d v
x x I
=
= ⇒ = −
= − + ÷ ∫
1
1
3co( )
2 3
1 5 1( ) ( )
4 6 4 6
x I
x x I sen dx sen dx
= −
= + −∫ ∫
2
:
1 5( )
4 6
1 0
sea
x I sen dx
u du
=
= ⇒ =
∫
2
5 6 5 5 6 5( ) ( ) ( ) co( )
6 5 6 6 5 6
1 6 5 6 5 3 51( co( )) co( )0 co( )
4 5 6 5 6 10 6
x x x xdv sen dx dv sen d v
x x x I
= ⇒ = ⇒ = −
− = − + = ÷ ∫
3
1= ( )
4 6
:
1 0
x I sen dx
sea
u du= ⇒ =
∫
3
( ) 6 ( ) ( ) 6co( )6 6 6 6
1 3
6co( )1 6 co( )0 co( )4 6 6 2 6
x x x xdv sen dx dv sen d v
x x x
I
= = = ⇒ = −
= − + = − ÷ ∫
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2
:
3 3 5 3co ( ) ( ) co( ) co( ) co( )4 3 2 3 10 6 2 6
volviendo
x x x x x sen dx c= − − − +∫
c ¿∫sin2( 3 x
2 )cos(5 x
3 )dx
u=sin2(3 x
2 )
du=3sin( 3 x2 )cos(5 x
3 )dx
dv=cos(5 x
3 )dx
v=3
5
sin
(5 x
8
)¿ sin2( 3 x
2 )(35 )sin (5 x
3 )−∫ 3
5 sin ( 5 x3 )3(sin(3 x2 ))cos( 3 x
2 )
¿sin2( 3 x
2 )(3
5 )sin (5 x
3 )−1
2∫ 9
5 sin ( 5 x3 )2(sin (3 x
2 ))cos(3 x
2 )
¿sin2
(3 x2 )(
3
5 )sin (5 x3 )−
9
10∫ sin(
5 x3 ) (sin (3 x ) )
¿sin2( 3 x
2 )(3
5 )sin (5 x
3 )− 2
20∫ 2sin (5 x
3 )(sin (3 x) )
¿sin2( 3 x
2 )(3
5 )sin (5 x
3 )− 9
20∫ cos( 14 x
3 )−cos(14 x
5 )
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¿sin2( 3 x
2 )(3
5 )sin (5 x
3 )− 9
20∫ 3
14 cos (14 x
3 )−3
4 sin (4 x
3 )
d ¿∫ ( tan ( x ) )3 sec( 3 x
4 )dx
∫ ( tan ( x ) )3 sec (3 x
4 )dx=∫( sin ( x )cos ( x ) )
3
sec(3 x
4 )dx
¿∫ sec(3 x
4 )( sin ( x )cos ( x ) )
3
dx
¿∫ 1
cos(3 x
4 )( sin ( x )cos ( x ) )
3
dx
¿∫ (sin
( x ) )
3
dx
(cos ( x ))3 cos ( 3 x4 )
e¿∫ [ln( 3 x5 )]4
sin (2 x ) dx
Seau=3 x5
⇒∫ [ln( 3 x5 )]4
sin (2 x ) dx=∫ 5[sin( 10u
3 )] ( ln (u ) )4 du
Sea v=10u
3
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⇒∫5
[sin
(10
u3 )] (
ln (u ) )4
du=5
3∫ 3sin ( v ) (ln(3v
10 ))10
4
dv
¿1
2∫ sin (v )[ln( 103 )+ ln ( v )]
4
dv
¿1
2∫ sin (v )[ln( 103 v)]
4
dv
¿1
2∫ sin (v )[ln( 103 + ln (v ))]
4
dv
¿1
2∫ sin (v ) [ ln (3 )−ln (10 )+ ln ( v ) ]4dv
¿1
2∫ sin (v ) [ ln (3 )−ln (10 )+ ln ( v ) ]4dv
n!onces "or !eoremabinomial !enemoslo siguien!e
¿1
2∫ sin (v ) [ ln (v )−ln (10 ) ]4+4 ln (v )−[ ln (10 ) ]3 ln (3 )+6 ( ln ( v )−ln (10 ) )2 c+¿+4 [ ln (v )−ln (10) ] ( ln3 )3+( ln
f ¿ # =∫ x5e4 x
dx
$"licandoel m%!odo "or "ar!es!enemos.
sea:u= x5⇒ du=5 x
4dx
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& dv=e4 x
dx⇒v=e4 x
4
⇒ # = x5e4 x−∫ e
4 x
4 5 x
4dx
# = x5e4 x−
5
4∫ e
4 x x
4dx
si : # 1=∫ e
4 x x
4dx
sea:u= x4⇒du=4 x
3dx
& dv=e4 x
dx⇒v=e4 x
4
# 1= x
4 e4 x
4 −∫ e
4 x
4 4 x
3dx
# 1= x
4 e4 x
4 −∫ e
4 x x
3dx
si;# 2=∫ e
4 x x
3dx
sea ;u= x3⇒ du=3 x
2dx
dv=e4
x dx⇒ v= e
4 x
4
# 2= x
3 e4 x
4 −∫ e
4 x
4 3 x
2dx
# 2= x
3 e4 x
4 −
3
4∫ e
4 x x
2dx
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si : # 3=∫e
4 x x
2dx
sea:u= x2⇒du=2 xdx
& dv=e4 x
dx⇒v=e4 x
4
⇒ # 3=
e4 x
4 x
2−∫ e4 x
4 2 xdx
# 3=
e4 x
4 x
2−1
2∫ e
4 x xdx
si : # 4=
1
2∫e
4 x xdx
sea:u= x⇒du=dx & dv=e4 x
dx⇒ v=e4 x
4
e4 x
4 dx
x e
4 x
4 −∫¿
⇒ # 4=
1
2¿
# 4=
1
2( x
e4 x
4 −
1
16∫e
4 xd 4 x )
# 4=
1
2( x
e4 x
4 −
e4 x
16)+c
volviendo en:
# 3=
e4 x
4 x
2−1
2 ( x e4 x
4 −
e4 x
16 )+c
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en :
# 2=
x3e4 x
4 −
3e4 x
x2
16 +
3 xe4 x
32 −
3e4 x
64 +c
en :
# 1=
x4e4 x
4 −
x3e4 x
4 −
3e4 x
x2
16 +
3 xe4 x
32 −
3e4 x
64 +c
# = x5e4 x−
5
4 ( x4e4 x
4 −
x3e4 x
4 −
3e4 x
x2
16 +
3 xe4 x
32 −
3e4 x
64 )+c
⇒∫ x5e4 x
dx= x5e4 x−
5 x4e4 x
16 +
5 x3e4 x
16 +
15e4 x
x2
64 −
15 xe4 x
128 +
15e4 x
256 +c
g¿∫ x3sin (e4 x)dx
Solución:
Haciendo: n= e4 x⟹dn=4e
4 x
ln (n )=4
⟹ ∫ x3sin (e4 x ) dx=∫ x
3sin (n )
e4 x
dn =1
256∫ ln (n )3 sin (n )
n dn
Si: u= ln (n)3 sin (n ) ⟹ du=ln ( n )2
n [n ln (n ) cos (n )+3sin (n ) ] dn
dv=dn
n⟹ v=ln (n )
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⟹1
256∫ ln (n )3 sin (n )
n dn=
1
256 [ ln (n )4 sin ( n )−∫ ln (n )3 (n ln (n )cos ( n )+3sin (n ) )dn ]
∫ ln (n )3 sin (n )n
dn = ln (n )4 sin (n )−∫ ln (n )4cos (n ) dn−3∫ ln (n )3 sin (n )n
dn
4∫ ln (n )3 sin (n )n
dn = ln (n )4 sin (n )−∫ ln (n )4 cos (n ) dn
⟹ ∫ x3
sin (e4 x
) dx=
ln (e4 x)4 sin (e4 x )−4∫ ln ( e4 x )4cos (e4 x ) e4 xdx
256
Continuara
i¿∫√ x7'
3 xdx
n!oncesin!egrando∫√ x7'
3 xdx
Seau= x7
2∧dv='
3 xdx
du=7
2 x
5
2 dx∫ dv=∫'3 x
dx
du=7
2 √ x5
d xv='3 x
⟹ $"liando laformula siguien!e !enemoslo siguien!e :
∫ vdv=uv−∫ vdu
⟹∫ √ x7'
3 xdx='
3 x x
7
2−7
2∫'
3 x x
5
2 dx
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n!once s in!egrando 7
2∫'
3 x x
5
2 dx
Seau= x5
2∧dv='
3 xdx
du=5
2 x
3
2 dx∫ dv=∫'3 x
dx
du=5
2 √ x3
dx v='3 x
(enemos lo siguien!e
⟹∫ √ x7'
3 xdx='
3 x x
7
2−7
2'
3 x x
5
2+35
4 ∫ x
3
2 '3 x
dx
n!oncesin!egrando 35
4∫ x
3
2 '3 x
dx
Seau= x3
2∧dv='3 x
d x
du=3
2 x
1
2 dx∫ dv=∫'3 x
dx
du=3
2 √ x dx v='
3 x
(enemoslo siguien!e
⟹∫ √ x7'
3 xdx='
3 x x
7
2−7
2'
3 x x
5
2+35
4∫ x
3
2 '3 x
dx
⟹∫ √ x7'
3 xdx='
3 x x
7
2−7
2'
3 x x
5
2+35
4 '
3 x x
3
2−105
8 ∫'
3 x x
1
2 dx
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n!oncesin!egrando 35
4 ∫ x
3
2 '3 x
dx
Seau= x1
2∧dv='
3 xdx
du= dx
2√ x∫dv=∫'
3 xdx
du= dx
2√ xv='
3 x
(enemoslo siguien!e
⟹∫ √ x7'
3 xdx='
3 x x
7
2−7
2'
3 x x
5
2+35
4 '
3 x x
3
2−105
8 ∫'
3 x x
1
2 dx
∫√ x7'
3 xdx='
3 x x
7
2−7
2'
3 x x
5
2+35
4 '
3 x x
3
2−105
16 x
1
2 '3 x+
105
16∫'
3 x dx
√ x
n!oncesin!egrando 35
4 ∫ x
3
2 '3 x
dx
Seau='3 x∧dv=
dx
√ x
du='3 x
dx∫dv=∫ dx
√ x
du='3 x
dxv=2√ x
(enemoslo siguien!e
∫√ x7'
3 xdx='
3 x x
7
2−7
2'
3 x x
5
2+35
4 '
3 x x
3
2−105
16 x
1
2 '3 x+
105
8 '
3 x√ x−105
8 ∫ √ x '
3 xdx
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∫√ x7'
3 xdx='
3 x x
7
2−7
2'
3 x x
5
2+35
4 '
3 x x
3
2−105
16 x
1
2 '3 x+
105
8 '
3 x√ x−945
32 '
3 x x
3
2
j ¿∫ x5sinh ( x'
2 x)dx
n!oncesin!egrando∫ x5sinh ( x '
2 x ) dx
Seau= x5∧dv=sinh ( x '
2 x)dx
du=5 x4dx∫dv=∫sinh ( x '
2 x )dx
du=5 x4dxv=cosh ( x '
2 x )+c
⟹ $"liando laformula siguien!e !enemoslo siguien!e :
∫ vdv=uv−∫ vdu
⟹∫ x5sinh ( x'
2 x ) dx= x5cosh ( x '
2 x )+ x5C −5∫ (cosh ( x'
2 x )+C ) x4dx
¿ x5cosh ( x'
2 x )+ x5C −5∫ x
4cosh ( x'
2 x ) dx−5C ∫ x4dx
¿ x5cosh ( x'
2 x )+ x5C −5∫ x
4cosh ( x'
2 x ) dx−5 x
5
5 C
¿ x5cosh ( x'
2 x )−5∫ x4cosh ( x'
2 x )dx
n!oncesin!egrando∫ x4cosh ( x'
2 x )dx
Seau= x4∧dv=cosh ( x '
2 x )dx
du=4 x3dx∫ dv=∫ cosh ( x '
2 x ) dx
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du=4 x3dx v=sinh ( x '
2 x )+C 1
(enemoslo siguien!e
⟹∫ x5sinh ( x'
2 x ) dx= x5cosh ( x '
2 x )−5∫ x4cosh ( x '
2 x ) dx
¿ x5cosh ( x'
2 x )−5 [ x4sinh ( x'
2 x )+ x4C 1−4∫ (sinh ( x '
2 x )+C 1 ) x3dx ]
¿ x5cosh ( x'
2 x )−5 x4sinh ( x '
2 x )−5 x4C 1+20∫ x
3sinh ( x'
2 x ) dx+20C 1∫ x3dx
¿ x5cosh ( x'
2 x )−5 x4sinh ( x '
2 x )+20∫ x3sinh ( x'
2 x ) dx
⟹∫ x5sinh ( x'
2 x ) dx= x5cosh ( x '
2 x )−5 x4sinh ( x'
2 x )+20∫ x3sinh ( x '
2 x )dx
n!oncesin!egrando∫ x3sinh ( x '
2 x ) dx
Seau= x
3
∧dv=sinh ( x '
2 x
)dx
du=3 x2dx∫ dv=∫ sinh ( x'
2 x ) dx
du=3 x2dx v=cosh ( x'
2 x)+C 2
(enemoslo siguien!e
⟹∫ x5
sinh ( x'2 x
) dx= x5
cosh ( x '2 x
)−5 x4
sinh ( x'2 x
)+20∫ x3
sinh ( x '2 x
)dx
¿ x5cosh ( x'
2 x )−5 x4sinh ( x '
2 x )+20[ x3cosh ( x'
2 x)+ x3C 2−3∫ (cosh ( x '
2 x)+C 2 ) x2dx ]
¿ x5cosh ( x'
2 x )−5 x4sinh ( x '
2 x )+20 x3cosh ( x'
2 x )+20 x3C 2−60∫ x
2cosh ( x '
2 x ) dx−60C 2∫ x2dx
⟹∫ x5sinh ( x'
2 x ) dx
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¿ x5cosh ( x'
2 x )−5 x4sinh ( x '
2 x )+20 x3cosh ( x'
2 x )+20 x3C 2−¿
−60∫ x2cosh ( x '
2 x) dx−60C 2∫ x2dx
¿ x5cosh ( x'
2 x )−5 x4sinh ( x '
2 x )+20 x3cosh ( x'
2 x )−60∫ x2cosh ( x '
2 x )dx
n!oncesin!egrando∫ x2cosh ( x '
2 x)dx
Seau= x2∧dv=cosh ( x'
2 x )dx
du=2 xdx∫d v=∫cosh ( x'2 x) dx
du=2 xdx v=sinh ( x'2 x )+C 3
⟹∫ x5sinh ( x'
2 x ) dx
¿ x5cosh
( x'
2 x
)−5 x
4sinh
( x '
2 x
)+20
x
3cosh
( x'
2 x
)−¿
−60 [ x2sinh ( x'
2 x )+ x2C 3−2∫ (sinh ( x '
2 x )+C 3) xdx ]
¿ x5cosh ( x'
2 x )−5 x4sinh ( x '
2 x )+20 x3cosh ( x'
2 x )−60 x2sinh ( x'
2 x )−¿
−60 x2C 3+120∫ x sinh ( x'
2 x) dx+120C 3∫ xdx
⟹∫ x5sinh ( x'
2 x ) dx
¿ x5cosh ( x'
2 x )−5 x4sinh ( x '
2 x )+20 x3cosh ( x'
2 x )−¿
−60 x2sinh ( x'
2 x )+120∫ xsinh ( x '2 x) dx
Seau= x∧dv=sinh ( x '2 x) dx
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du=dx∫ dv=∫ sinh ( x'2 x ) dx
du=dx v=cosh ( x '2 x)+C 4
(enemoslo siguien!e
⟹∫ x5sinh ( x'
2 x ) dx
¿ x5cosh ( x'
2 x )−5 x4sinh ( x '
2 x )+20 x3cosh ( x'
2 x )−60 x2sinh ( x'
2 x )+¿
+120 [ x cosh ( x '2 x)+ xC 4−∫ (cosh ( x '
2 x )+C 4 )dx ]
¿ x5cosh ( x'
2 x )−5 x4sinh ( x '
2 x )+20 x3cosh ( x'
2 x )−60 x2sinh ( x'
2 x )
+120 xcosh ( x'2 x )+120 xC 4−120∫cosh ( x '
2 x)dx−120C 4∫dx
¿ x
5cosh ( x'
2 x )−5 x
4sinh ( x '
2 x )
+20 x3cosh ( x'
2 x )−60 x2sinh ( x'
2 x )+120 xcosh ( x '2 x)−¿
−120sinh ( x '2 x )+C 5
⟹∫ x5sinh ( x'
2 x ) dx
¿ x5
cosh ( x'2 x
)−5 x4
sinh ( x '2 x
)+¿
+20 x3cosh ( x'
2 x )−60 x2sinh ( x'
2 x )+120 xcosh ( x '2 x)−120sinh ( x'
2 x )+C 5
⟹∫ x5sinh ( x'
2 x ) dx
¿cosh ( x '2 x ) ( x5+20 x
3+120 x )−sinh ( x'2 x) (5 x
4+60 x2+120)+C 5
⟹∫ x5sinh ( x'
2 x ) dx
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¿ xcosh ( x'2 x ) ( x2−3 x+20) ( x2+3 x+6)−¿
−5sinh ( x '2 x ) ( x2− x+12) ( x2+ x+2)+C 5
( )5 3 5) ln ( 3 )m sen x dx∫
( ) ( ) ( )4 3 5 3 5 3 3 51 4ln ( 3 ) co ln ( 3 ) ln ( 3 )
5 5
sen x x sen x dx− + ∫
( ) ( ) ( ) ( )3 3 5 2 3 5 3 5 3 51 2ln ( 3 ) ln ( 3 ) co ln ( 3 ) ln ( 3 )
3 3
ahora
sen x dx sen x x sen x dx= − +∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 5 3 5 2 3 5 3 5 3 51 4 1 2ln ( 3 ) co ln ( 3 ) ln ( 3 ) co ln ( 3 ) ln ( 3 )
5 5 3 3 sen x x sen x x sen x dx
− + − + ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 5 3 5 2 3 5 3 5 3 51 4 8ln ( 3 ) co ln ( 3 ) ln ( 3 ) co ln ( 3 ) ln ( 3 )5 15 15
sen x x sen x x sen x dx− − + ∫
por parte a la :espresion ( )3 5ln ( 3 ) sen x dx∫
( ) ( )4
3 5 3 5 2 5
5 5
1 15ln ( 3 ) co ln ( 3 ) 3ln ( 3 )
( 3 ) 2 3
xu sen x du x x dx
x x= ⇒ =
( )3 5 2 5co ln ( 3 ) ln ( 3 )15
6
x xdx
x dv dx v x= ⇒ =
( ) ( ) ( )3 5 2 5
3 5 3 5co ln ( 3 ) ln ( 3 )8 8 8 15
ln ( 3 ) ln ( 3 )15 15 15 6
x x I sen x dx sen x x x dx
x= = −∫ ∫
( ) ( )3 5 3 5 2 58 4
ln ( 3 ) co ln ( 3 ) ln ( 3 )15 3 sen x x x x− ∫
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( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 3 5 4 3 5 3 5 2 3 5 3 51 4ln ( 3 ) ln ( 3 ) co ln ( 3 ) ln ( 3 ) co ln ( 3 )
5 15 sen x dx sen x x sen x x= − − +∫
( ) ( )3 5 3 5 2 58 4ln ( 3 ) co ln ( 3 ) ln ( 3 )
15 3 sen x x x x− ∫
n) ∫ senh4 [ ln5(4 x
2)]dx
1
2∫ xsenh4 [2 ln (2 x ) ]5
d [2 ln (2 x ) ]
sea: a=2 ln (2 x ) ⇒ x=e
a
2
2
¿ 1
4∫ senh
4(a5)ea
2 d a
¿ 1
4∫ senh
2(a5)[ cosh (2a5 )−1
2 ]ea
2 d a
¿1
8∫ senh
2(a5)cosh (2a5 ) e
a
2 da−1
8∫ senh
2(a5)ea
2 d a
$=1
8∫senh
2 (a5 ) ea
2 d a= 1
16 [∫cosh (2a
5 ) ea
2 d a−
∫e
a
2 d a
]
D=∫ea
2 d a=2ea
2 +c
=∫ cosh (2a5 ) e
a
2 d a
u=cosh (2a5 ) dv=e
a
2 da
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du=senh (2a5 ) d(2a
5) v=2ea
2
=∫ cosh (2a5 ) e
a
2 d a=2ea
2cosh (2a
5 ) -2 ∫ senh (2a5 )e
a
2 d (2a5)
u=ea
2 dv=∫ senh (2a5 )d (2a
5)
du=1
2 e
a
2 da v=cosh (2a5 )
=2ea
2cosh (2a5 )−2[e
a
2cosh (2a5 )−1
2∫ cosh (2a5 )e
a
2 d a]=∫ cosh (2a5 ) ea
2 da
=∫ cosh (2a5 ) e
a
2 d a=∫cosh (2a5 ) e
a
2 d a ⇒ = #n!egralCircular
Reemplazando D y E en A:
∴∫ senh4
[ ln5 (4 x2 ) ] dx=∫ senh4
[ ln5 (4 x2 ) ] dx+
2e
a
2
16 +c
no se "uedein!e grar "or es!e m%!odo
ñ) ∫cosh6 [ ln2 ( sen (3 x ) ) ] dx
¿∫ cosh4 [ ln2 ( sen (3 x ) ) ]cosh
2 [ln2 (sen (3 x ) ) ] dx
2ln2 ( sen (3 x ) )¿
cosh4 [ ln2 ( sen (3 x ) ) ]cosh ¿
¿1
2∫ cosh
4 [ ln2 ( sen (3 x ) ) ] dx+1
2∫¿
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2 ln2 ( sen (3 x ) )¿
2 ln2 ( sen (3 x ) )¿
cos h4 [ ln2 ( sen (3 x ) ) ]cosh ¿
cosh2 [ln2 (sen (3 x ) ) ] cosh ¿
¿1
4∫ cosh
2 [ln2 (sen (3 x ) ) ] dx+1
4∫ ¿
2 ln2 (sen (3 x ) )
¿
2 ln
2
(sen (3 x ) )¿2 ln
2 (sen (3 x ) )¿
cosh4 [ln2 (sen (3 x ) ) ] cosh ¿
cos h2 [ ln2 ( sen (3 x ) ) ] cosh ¿
1
4∫¿
cosh ¿
¿ 1
8
∫dx+1
8
∫¿
2 ln2 ( sen (3 x ) )¿
cosh ¿
sea $ : 1
8∫ ¿
u=cosh [2 ln2 ( sen (3 x )) ] dv=dx
du=senh [2 ln2 ( sen (3 x ) ) ]d [2 ln2 (sen (3 x ) ) ] v= x
2 ln2 ( sen (3 x ) )d [2 ln2 ( sen (3 x ) ) ]
xsenh ¿¿ x cosh [2 ln2 (sen (3 x ) ) ]−∫ ¿
u= x
2ln2 ( sen (3 x ) )d [2 ln2 ( sen (3 x ) ) ]
dv=senh ¿
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du=dx 2 ln
2 ( sen (3 x ) )v=cos h ¿
¿ xcosh [2 ln2 ( sen (3 x ) ) ]−¿
2 ln2 (sen (3 x ) )¿
cosh ¿
2 ln2 ( sen (3 x ) )+∫ ¿
x cosh ¿
Reemplazando en A:
2 ln2 ( sen (3 x ) )¿
cosh ¿
$ : 1
8∫ ¿
2 ln2 ( sen (3 x ) )¿
cosh ¿
2 ln2 (sen (3 x ) )+
∫¿
xcosh [2 ln2 (sen (3 x ) ) ]− x cosh ¿
¿1
8¿
2 ln2 ( sen (3 x ) )¿
2 ln2 ( sen (3 x ) )¿
cosh ¿
cosh ¿ $=
1
8∫ ¿
∴∫cosh6 [ ln2 ( sen (3 x) ) ]dx=∫ cosh
6 [ ln2 ( sen (3 x ) ) ] dx= *ain!egrales Circular
o¿∫ tan3 [ ln ( x2√ 3 x ) ] dx
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∫ tan3 [ ln ( x2√ 3 x ) ]dx=tan
2 [2√ 3 x ln ( x) ] tan [2√ 3 x ln ( x)] dx
∫ tan3 [ ln ( x2√ 3 x ) ]dx=sec
2 [2√ 3 x ln ( x )−1 ] tan [2√ 3 x ln ( x )] dx
∫ tan3 [ ln ( x2√ 3 x ) ]dx=sec
2 [2√ 3 x ln ( x ) ] tan [2√ 3 x ln ( x )]dx−∫ tan [2√ 3 x ln ( x )]dx
∫ tan3 [ ln ( x2√ 3 x ) ]dx=
sec2 [2√ 3 x ln ( x ) ] tan [2√ 3 x ln ( x)] dx [2√ 3 x ln ( x)]
2(√ 3 x
x +
ln ( x )
2√ 3 x )
a"licandoin!egrales "or "ar!es!enemos:
sea:u= 1
2(√ 3 x
x +
ln ( x )
2√ 3 x ) en!onces: du=
1
2 ( −5
2√ 3 x+−6 ln ( x)
2√ 3 x
(√ 3 x x +
ln ( x)
2√ 3 x )2 )
du=√ 3 x (24− ln ( x )) x (6+ln ( x))
2
dv=tan [2√ 3 x ln ( x )]dx!an [2√ 3 x ln ( x) ]3
v=tan
2 [2√ 3 x ln ( x)]2
x¿
6+ ln (¿2√ 3 x¿)=1
2∫
tan2 [2√ 3 x ln ( x ) ] √ 3 x (24−ln ( x) )
6+ ln ( x ) dx
4 ¿
¿ tan
2 [2√ 3 x ln ( x ) ]¿
caso ##
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sea: # .=tan2 [2√ 3 x ln ( x ) ] dx
# .=∫tan
2 [2√ 3 x ln ( x ) ]dxd [2√ 3 x ln ( x ) ]2+2ln ( x )
2√ 3 x
dx
a"licandoel me!ododein!egracion "or "er!es
x¿
¿2
√ 3 x2+2 ln ¿
¿
sea:u=1
¿
du=tan [2√ 3 x ln ( x )] dx!an [2√ 3 x ln ( x )]3
v=−lncos [2√ 3 x ln ( x )]
¿−lncos [2√ 3 x ln ( x ) ] .2√ 3 x
2+2 ln ( x) +∫
lncos [2√ 3 x ln ( x ) ] . ln ( x )(24−ln ( x ))
x (6+ ln ( x ))2
;con!inua+ ..
"¿∫cot4 [ln ( x5)] dx
¿∫ cot4 [5 ln ( x)] dx
haciendouna sus!i!ucióna5 ln ( x)=! , !enemos .
¿∫cot
4 [! ] e!
5 d!
5
¿1
5∫ cot
4 [ ! ] e!
5 d! ; !eniendoencuen!a -ue# =∫ cot4 [ ! ] e
!
5 d! a"licamosla in!egral "or "ar!es :
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sea
{u=cot
4 [ ! ]⇒du=4cot3 [! ] csc
2(! )d!
dv=e
!
5 d! ⇒v=5e
!
5
⇒ # =cot4 [! ]5e
!
5−∫5e!
5(4cot 3 [ ! ] csc2(! ))d!
sea: # 1=20∫e
!
5cot
3 [ ! ] csc2 ( ! )d! ; !ambiense ex"resade la siguen!e forma:
# 1=20
∫ e
!
5cot
[! ]cot
2
[! ] csc
2
( ! )d!
# 1=20∫ e
!
5cot [! ](csc
2 (! )−1)csc2 (! ) d!
# 1=20∫ e
!
5cot [! ] csc
4 ( ! ) d! −20∫e!
5cot [ ! ] csc
2 (! )d!
hallandolos valoresde losin!egralesencadacaso :
sea: # 2=20∫e
!
5cot [! ] csc
4 ( ! ) d!
⇒ # 2=20∫ e
!
5cos ( ! ) sen
−5(! )d!
a"licandoin!egrales "or "ar!es:
sea: { u
1=e
!
5⇒ du1=5
−1e
!
5 d!
d v1=cos ( ! ) sen−5 (! ) d! ⇒ v1=
sen−4(! )
−4
⇒ # 2=20((e
!
5 )( sen−4 ( ! )−4 )−∫( sen
−4 ( ! )−4 )5−1
e!
5 d! )
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# 2=20(−e
!
5 sen−4 (! )
4
+ 1
20∫sen
−4 ( ! ) e!
5d! )
sea: # a=∫ sen−4 ( ! ) e
!
5 d!
# a=∫csc4 (! )e
!
5 d!
# a=
∫csc
2(! )csc2(! )e
!
5 d!
(! )+1cot
2¿¿¿
# a=∫¿
# a=∫csc2(! )cot2 (! ) e
!
5 d! +∫csc2(! )e
!
5 d!
(! )+1cot
2¿¿¿
# a=∫¿
# a=∫cot2 (! ) cot2 ( ! ) e
!
5 d! +∫cot2 ( ! ) e
!
5 d! +∫csc2(! )e
!
5 d!
cot2 ( ! ) e
!
5 d! +¿∫ cs c2(! )e
!
5 d!
sea: # b=∫¿
(csc2 ( ! )−1)e
!
5d! +¿∫ csc2(! )e
!
5 d!
# b=∫ ¿
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csc2 ( ! ) e
!
5d! −∫e
!
5 dx+¿∫ csc2( ! )e
!
5 d!
# b=∫ ¿
# b=2∫ csc2 ( ! ) e
!
5 d! −∫e
!
5 dx
se a : # c=∫ csc2 (! ) e
!
5 d!
hallando "or "ar!es :
sea: {u=csc2 (! )⇒du=−2csc (! )csc ( ! )cot (! )d!
dv=e
!
5 d! ⇒ v=5 e
!
5
# c=csc2 ( ! )5e
!
5−∫5e!
5 (−2csc (! )csc (! )cot (! ))d!
# c=csc
2
( ! )5
e
!
5
+10
∫ e
!
5
csc
2
( ! )cot
(! )d!
sea: # d=∫e!
5 csc2 (! )cot ( ! )d!
con!inuar
-¿∫tanh
4
(ln
( x3
))dx
¿∫ tanh4 (3 ln ( x))dx
haciendouna sus!i!ucióna ;3 ln ( x )=! !enemos:
¿∫tanh
4 (! )e
!
3 d
3 !
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# =1
3∫ tanh
4 (! )e
!
3 d!
sea {u=tanh4 (! )⇒du=4 tanh
3 ( ! ) sech2(! )d!
dv=e
!
3 d! ⇒ v=3 e
!
3
# =e!
3tanh
4 (! )−1
3∫ 3e
!
3 (4 tanh3 ( ! ) sech
2(! ))d!
sea;# 1=4∫e
!
3tanh
3 (! ) sech2 (! ) d! ;!ambien seex"resade la siguien!eforma
# 1=4∫ e
!
3tanh ( ! ) tanh2 ( ! ) sech
2 ( ! ) d!
# 1=4∫ e
!
3tanh ( ! )(1−sech
2(! ))sech2 ( ! ) d!
# 1=4∫ e
!
3
tanh ( ! ) sech4
( ! ) d! −4∫ e
!
3
tanh ( ! ) sech2
(! )d!
22). ln tan
4
xr dx
÷
∫
2 22
22
2
ln tan tan
4 4ln tan4 1
ec2 4
x xd
x dx x
x
÷ ÷
= ÷ ÷
∫ ∫
2 2 2 22 2 21 1 2
: ec ec 2ec tan2 4 2 4 4 4 4
x x x x x sea u x du x dx
= ⇒ = + ÷ ÷ ÷ ÷
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2 22 21
ec 1 tan
2 4 4
x xdu x dx
= + ÷ ÷ ÷
22
22
ec4
1 tan2 4
x
xdu x dx
÷ = + ÷ ÷
2 22ln tan tan
4 4
x xdv d
= ÷ ÷
2 2 2 2 22tan ln tan 2 tan ln tan 2 tan
4 4 4 4 4
x x x x xv
⇒ = − + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
e :emplazando
2 2 2 2 2 22 21
ec tan ln tan 2 tan ln tan tan2 4 4 4 4 4 4
x x x x x x x
− +
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
22
2 2 2 2 2 22 2
ec4
tan ln tan 2 tan ln tan 2 tan 1 tan4 4 4 4 4 2 4
x
x x x x x x x dx
÷ − − + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
∫
s ¿∫ tan4⌊ ln ( 4√ x3 ) ⌋ dx
¿∫ tan4⌊3
4 ln ( x ) ⌋ dx
¿∫( x ) tan4
⌊3
4 ln ( x ) ⌋
x dx
¿∫ ( x ) tan4
⌊3
4 ln ( x ) ⌋ d ( ln ( x ))in!egrando "or "ar!es :
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u= x →du=dx;dv= tan4⌊3
4 ln ( x) ⌋ d (ln ( x ))
v=∫ tan4⌊ 3
4 ( ! ) ⌋ d (! ) ; ! = ln ( x) v=∫(1+sec
2( 34 ( ! )))2
d!
1+2sec2( 34 ( ! ))+sec
4
(¿(34 (! )))d!
¿∫¿
¿∫d! +2∫ sec2(34 ( ! ))d! +∫ sec
4( 34 ( ! ))d! =! +2(43 ) tan( 34 ( ! ))
+∫ sec2(34 ( ! )) sec
2( 34 ( ! ))d!
¿ ! +8
3 tan
(3
4 ( ! ))+∫ ⌊1+ tan
2
( 3
4 ( ! )) ⌋ sec2
( 3
4 (! ))d!
¿ ! + 8
3 tan ( 34 ( ! ))+∫ sec
2(34 ( ! ))d! +∫ tan2( 34 ( ! ))sec
2( 34 ( ! ))d!
¿ ! +8
3 tan ( 34 ( ! ))+ 4
3 tan( 34 ( ! ))+ 4
3∫ tan
2( 34 ( ! ))d(tan( 34 ( ! )))
¿ ! +4 tan(34 ( ! ))+ 4
9 tan
3((34 ( ! )))+c
∫ tan4⌊ ln ( 4√ x3 ) ⌋= x ⌈⌉
3) co*(2 ) xt e x dx∫
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3
(ea:
/ co*(2 )
x
e u dv x dx= =
3
3 3 3 3 3
13 ( co*(2 ) (2 )
2
1 1 1 3co*(2 ) (2 ) (2 )3 (2 ) (2 )
2 2 2 2
x
x x x x x
e dx du dv x dx v senh x
e x dx e senh x senh x e dx e senh x senh x e dx
= = = =
= − = −
∫ ∫
∫ ∫ ∫
3
:
(2 ) x
luego
senh x e dx
∫ 3
3
(2 )
1 3 (2 ) co*(2 )
2
x
x
u e dv senh x dx
du e dx dv senh x dx v x
= =
= = = =∫ ∫
3 3 3 3 31 1 1 3(2 ) co*(2 ) co*(2 )3 co*(2 ) co*(2 )
2 2 2 2
x x x x x senh x e dx e x x e dx e x x e dx= − = −∫ ∫ ∫
3 3 3
3 3 3 3
1 3 co*(2 ) (2 ) (2 )
2 2
1 3 1 3co*(2 ) (2 ) co*(2 ) co*(2 )
2 2 2 2
x x x
x x x x
e x dx e senh x senh x e dx
e x dx e senh x e x x e dx
= −
= − −
∫ ∫
∫ ∫
3 3 3 3
3 3 3 3
1 3 9co*(2 ) (2 ) co*(2 ) co*(2 )
2 4 4
9 1 3co*(2 ) co*(2 ) (2 ) co*(2 )
4 2 4
x x x x
x x x x
e x dx e senh x e x x e dx
e x dx x e dx e senh x e x
= − +
− = −
∫ ∫
∫ ∫
3 3 3
3 3 3 33
3 33
5 co*(2 ) 4 (2 ) 6 co*(2 )
4 8
4 (2 ) 6 co*(2 ) 6 co*(2 ) 4 (2 )co*(2 )
10 10
3 co*(2 ) 2 (2 )co*(2 )
5 5
x x x
x x x x x
x x x
e x dx e senh x e x
e senh x e x e x e senh xe x dx
e x e senh xe x dx
− −=
− −= =
−
= −
∫
∫
∫
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u¿∫ x4ln ( x3)dx
/=ln ( x3)dv= x4dx
d/=3 x
2
x3 dx∫ dv=∫ x
4dx
d/=3dx
x
v= x
5
5
∫ x4ln ( x3)dx=
ln ( x3 ) x5
5 −
3
5∫ x
4dx
∫ x4ln ( x3)dx=
ln ( x3 ) x5
5 −
3 x5
25
0 ¿∫ sec7( x)dx=∫ sec
7( x) .sec5( x)dx
Solución:
/=sec5( x)dv=sec
2( x)
d/=5 sec4 ( x) .sec ( x ) . tan ( x )dx v=tan( x )
∫ sec7( x)dx=sec
5 ( x ) . tan( x )−5∫ sec5 ( x) . tan2 ( x )dx
¿ sec5 ( x ) . tan ( x)−5∫ sec
5 ( x ) .(sec2 ( x )−1)dx
sec7 ( x ) dx+¿5∫ sec
5 ( x ) dx
¿ sec5 ( x ) . tan( x )−5∫ ¿
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6∫ sec7( x )dx=sec
5 ( x ) . tan ( x)+5∫ sec3 ( x ) .sec
2 ( x ) dx
Calculamo la e!unda inte!ral
∫ sec3 ( x ) .sec
2 ( x ) dx
/=sec3( x)dv=sec
2( x)
d/=3 sec2( x ).sec ( x ) . tan ( x ) dx v= tan( x)dx
∫ sec3( x) .sec
2 ( x ) dx=sec3( x) . tan( x )−3∫ sec
3( x ). tan2( x)dx
∫ sec3( x) .sec
2 ( x ) dx=sec3( x) . tan( x )−3∫ sec
3( x ). ( sec2( x)−1) dx
( x)−3∫ sec5 ( x ) dx+¿3∫ sec
3( x )dx
¿sec3( x ). tan¿
4
∫ sec
5
( x)dx=sec
3
( x) .tan
( x )+3
∫ sec ( x ) .sec
2
( x )dx
A"ora calculamo la tercera inte!ral
∫ sec ( x ) .sec2( x)dx
/=sec( x)dv=sec2( x)
d/=sec ( x ) . tan ( x ) dx v=tan ( x)dx
∫ sec3( x)dx=sec( x) . tan( x )−∫sec ( x ) . tan2( x)dx
¿sec( x ). tan( x)−∫ sec ( x ). ( sec2 ( x )−1)dx
¿sec( x ). tan( x)−∫ sec3( x )+∫ sec( x )dx
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( x )+¿ ln|sec ( x )+ tan ( x )|+c1
2
∫sec
3
( x)dx=
sec( x). tan
¿
∫ sec3( x)dx=
1
2sec ( x) . tan ( x )+ 1
2 ln|sec ( x )+ tan ( x )|+c
1
∴∫ sec5( x)dx=
1
4 sec
3( x) . tan ( x)+ 3
8 sec( x ). tan ( x )+3
8ln|sec ( x )+ tan ( x )|+c
2
∫ sec7 ( x ) dx=¿
¿1
6 sec
5( x) . tan ( x )+ 5
24 sec
3( x ). tan ( x )+ 15
48 sec( x) . tan ( x )+ 15
48ln|sec ( x )+ tan ( x )|+c
x¿∫ln [ tan ( x ) ]dx
cos ( x )
¿∫ln
(sin ( x)
cos ( x ) )cos ( x )
¿∫[ ln ( sin ( x ) )−ln (cos ( x ) ) ] dx
cos ( x )
¿∫ lnsin ( x ) dx
cos ( x ) −∫ lncos ( x ) dx
cos ( x )
⇒ Sea.$=∫ lnsin ( x ) dx
cos ( x ) ,1=∫ lncos ( x ) dx
cos ( x )
⇒hallamoslain!egracionde $
$=∫ lnsin ( x ) dx
cos ( x ) =∫ ln ( sin ( x ) ) sec ( x ) dx
⇒u=ln (sin ( x ) ),∫ v=∫ sec ( x ) dx
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du=cot ( x )dx,v= ln|sec ( x )+ tan ( x )|
⇒ $=ln (sin ( x ) ) ln|sec ( x )+ tan ( x )|−∫ ln|sec ( x )+ tan ( x )|cot ( x )dx
⇒hallamoslain!egracion de1
1=∫ lncos ( x ) dx
cos ( x ) =∫ ln (cos ( x )) sec ( x ) dx
⇒u=
ln
(cos
( x ) ) ,∫ v=∫ sec ( x ) dx
du=−tan ( x) dx,v= ln|sec ( x )+ tan ( x )|
⇒1= ln|sec ( x )+ tan ( x )|ln ( cos ( x ))+∫ ln|sec ( x )+ tan ( x )|tan ( x )dx
⇒ $+1= ln (sin ( x ) ) ln|sec ( x)+ tan ( x )|+ ln|sec ( x )+ tan ( x )|ln (cos ( x ) )+∫ ln|sec ( x )+tan ( x )|tan ( x ) dx−∫ l
Sabemos-ue
1
cos ( x)+sin ( x )cos ( x )
=1+sin ( x )cos ( x )
= cos ( x )1−sin ( x )
⇒∫ ln(1+sin ( x )cos ( x ) ) tan ( x )dx−¿
¿∫ ln (1+sin ( x ) ) tan ( x ) dx−∫ (cos ( x ) ) tan ( x ) dx−∫ ln (1+sin ( x ) )cot ( x ) dx
+∫ (cos ( x ) )cot ( x ) dx
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4. MÉTODO DE INTERACIÓN COMPLEJA
a¿∫ cos4 (2 x ) dx
SoluciónSa#emo $ue:
sen (ax )= eaxi−e
−axi
2 i ;cos (ax )= e
axi+e−axi
2
Reemplazando cos (2 x )= e2 xi+e
−2 xi
2
∫cos4
(2 x ) dx=∫(e
2 xi
+e
−2 xi
2 )4
dx
u!ili2ando el binomiodene0!on
(a+b )4=a4+4a
3b+6a
2b2+4 ab
3+b4
¿1
8∫ 1
2 (e(2 ix) 4+4 e(2 ix )3 e(−2 ix )+6e (2 ix )2 e (−2 ix )2+4e (2 ix )e (−2 ix )3+e(2 ix )4 )dx
e4 ix+e
−4 ix
¿
1
8∫1
2 [ (e8 ix
+e
−8 ix
)+4 (
¿+6 )
]dx
3eem"la2andoenfunciondel coseno:
¿1
8∫ (cos (8 x )+4 cos (4 x )+3 )dx
cos (8 x ) dx+¿4
8∫cos (4 x ) dx+
1
8∫ dx
¿1
8∫¿
¿ 1
64 sen (8 x )+ 4
32 sen (4 x )+ 1
8 x+C
b¿∫ sen6 (3 x ) dx
SoluciónSa#emo $ue:
sen (ax )= eaxi−e
−axi
2 i cos (ax )= e
axi+e−axi
2
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Reemplazando sen (3 x )= e3 xi−e
−3 xi
2 i
∫ sen6 (3 x) dx=∫( e
3 xi−e−3 xi
2i )6
dx
25i5
¿(2 i)¿
1
¿¿∫¿
u!ili2ando el binomiodene0!on
(a−b)6=a6−6a
5b+15a
4b
2−20a3b3+15a
2b
4−6ab5+b
6
sabiendo-uei6=−1
¿− 1
3216 s D #N(43$C#5N C567*8$ .∫ 1
2 i (e(3 ix)6−6e (3 ix ) 5e (−3 ix )+15e(3ix ) 4 e (−3 ix )2−
e12ix+e
−12ix
¿e
¿(¿6 ix+e
−6 ix¿)−20
+15¿(e18ix+e
−18 ix )−6¿
¿− 1
32∫ 1
2¿
3eem"la2andoenfunciondel seno :
¿− 1
32∫ (cos (18 x )−6sen (12 x)+15 sen (6 x )−10 )dx
cos (18 x )dx+¿ 6
32∫ cos (12 x ) dx−
15
32∫cos (6 x ) dx+
10
32
¿− 1
32∫ ¿
¿− 1
517 sen (18 x )+ 1
64 sen (12 x )− 15
192 sen (6 x)+ 5
16+C
c ¿∫cosh5 ( x )dx
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Solución
Sabemos que co sh ( x )=e
x+e− x
2 Reemplazando a la integral
∫cosh5 ( x) dx=∫( e
x+e− x
2 )5
dx
(a+b )5=a5+5a
4b+10a
3b2+10a
2b3+5a b
4+b5
¿ 116∫(
e5 x
+5e4 x
e− x
+15e3 x
e−2 x
+15 e2 x
e−3 x
+5e x
e−4 x
+e−5 x
2 )dx
3eem"la2andoel valorde cosh !enemos -ue:
¿ 1
16∫ (cosh (5 x )+5cosh (3 x )+10cosh ( x )) dx
¿ 116∫ cosh (5 x ) dx+ 5
16∫ cosh (3 x ) dx+ 1016∫ cosh ( x ) dx
¿senh (5 x )
80 +
5senh (3 x )48
+5 senh( x )
8 +C
d ¿∫ senh3
(√ 3 x ) dx
Solución
Sabemos que senh (√ 3 x )= e√ 3 x−e−√ 3 x
2 Reemplazando a la integral
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∫ senh3 (√ 3 x ) dx=∫( e√ 3 x−e−√ 3 x
2 )3
dx
(a+b )3=a3+3a
2b+3ab
2+b3
¿1
4∫( e3√ 3 x−3e2√ 3 x e−√ 3 x+3 e√ 3 x e−2√ 3 x−e−3√ 3 x
2 )dx
¿1
8∫ [ (e3√ 3 x−e−3√ 3 x )+3 (e√ 3 x−e−√ 3 x ) ] dx
3eem"la2andoel valorde senh!enemos -ue :
¿ 14∫ (senh (3 √ 3 x )+3 senh (√ 3 x ) )dx
¿ 1
4∫ senh (3√ 3 x) dx+
3
4∫ senh (√ 3 x ) dx
hallaremoshaciendo cambiode variable.
sea: x=! 2
en!onces,dx=2 !d!
∫ senh (3√ 3 x ) dx=2∫ !senh(33
2 ! )d! "or me!odo "or "ar!es :
sea:u=!→du=d!
dv=senh (33
2 ! )d! →v=cosh (3
32 ! )
3
3
2
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cosh (33
2 ! )
3
3
2
d!
!cosh (33
2 ! )
3
3
2
−∫ ¿
2∫ !senh(33
2 ! )d! =2¿
¿2( !cosh(3
3
2
! )3
3
2
− senh(3
3
2
! )33 )
Remplazando en la ecuación ori!inal%
∫ senh (3√ 3 x ) dx=2(√ xcosh (√ 33
x )√ 33
−senh (√ 33
x )33
)
haciendolo mismo "araelo!ro in!egral & rem"la2ando ,
¿√ x cosh (√ 33
x )2√ 33
−senh (√ 33
x )54
+√ 3 xcosh (√ 3 x )
2 −
senh(√ 3 x)
2 +c
e¿∫
cosh5
( x
).dx
&or de'nición:
cosh5 ( x )=( e
x+e− x
2 )5
cosh5 ( x )= 1
25∫ (e5 x+5e
4 xe− x+10e
3 xe−2 x+10e
2 xe−3 x+5e
xe−4 x+e
−5 x )d(
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¿ 1
25 [∫ (e5 x+e
−5 x )+5∫ (e3 x+e−3 x )+10∫ (e x+e
− x ) ]
¿ 1
25 [2∫ (e5 x+e
−5 x )2
+10∫(e3 x+e
−3 x )2
+20∫(e x+e
− x)2 ]
¿ 1
25 [2∫cos (5 x )+10∫cos (3 x )+20∫ cos ( x )]
¿
1
25
[2 sen(5 x)
5 +10
sen(3 x)3 +
20sen( x)]
sen (2 x ) cosh3(¿ x )dx
f ¿∫ ¿
Sa#emo $ue: e2 xi=cos (2 x )+sen (2 x ) i
cosh3 ( x )=( e
x+e− x
2 )3
cosh3 ( x )=( e
3 x+3e2 x
e− x+3e
xe−2 x+e
−3 x
2 )
cosh3 ( x )= 1
4 [cosh (3 x )+3cosh ( x)
]
sen (2 x ) cosh3(¿ x )dx=∫ [cos (2 x )+sen (2 x ) i ] . 14
[cosh (3 x )+3cosh ( x) ]dx
∫¿
¿1
4∫ [cos (2 x ) cosh (3 x )+sen (2 x ) cosh (3 x ) i+3cos (2 x ) cosh ( x )+3 sen (2 x ) cosh ( x) i ] dx
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¿1
4∫ [cos (2 x ) cosh (3 x )+3cos (2 x ) cosh ( x )+3cos (2 x )cosh ( x )+3sen (2 x ) cosh ( x )i ] dx
¿1
4∫ [cos (2 x ) cosh (3 x )+3cos (2 x ) cosh ( x ) ] dx+¿
+i 1
4∫ [sen (2 x ) cosh (3 x )+3 sen (2 x ) cosh ( x) ]dx
sen (2 x ) cosh3(¿ x )dx=i∫ [ sen (2 x ) cosh (3 x )+3 sen (2 x ) cosh ( x ) ]dx
∫¿
sen (2 x ) cosh (3 x )dx+¿ i3∫ sen (2 x ) cosh ( x ) dx
¿ i∫¿
e2 xi( e
3 x+e−3 x
2 )dx+¿ i3∫e2 xi ( e
x+e− x
2 )dx
¿ i∫¿
ℑ [e (2 i+3 ) x+e(2i−3 ) x ]dx+¿ i 3
2∫ℑ [e (2 i+1) x+e (2 i−1) x ] dx
¿ i 1
2∫¿
7rimera "ar!e :
1
2∫ℑ [e (2 i+3 ) x+e (2 i−3) x ]dx=
1
2∫e (2 i+3 ) x dx+
1
2∫e(2 i−3 ) x dx
¿ 1
2 (2 i+3 )∫ e( 2 i+3) x (2 i+3 )dx+
1
2 (2 i−3 )∫ e(2i−3 ) x (2 i−3 ) dx
¿ e
(2i+3) x
2 (2 i+3 )+
e(2 i−3 ) x
2 (2 i−3 )+c
¿e3 x
(cos (2 x )+sen (2 x ) i
)2 (2 i+3 ) +e−3 x
(cos (2 x )+sen (2 x )i
)2 (2 i−3 ) +c
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¿e3 x (2i−3 ) (cos (2 x )+sen (2 x ) i )+e
−3 x (2 i+3 ) (cos (2 x )+sen (2 x ) i )2 (−4
−9 )
¿e3 x (2cos (2 x )−3 sen(2 x ))i−e
3 x (2 sen (2 x )+3cos(2 x))+e−3 x (2cos (2 x )+3 sen(2 x)) i−e
−3 x (2 sen (2 x )
−26
¿2e
3 xcos (2 x )−3e
3 xsen (2 x )+2e
−3 xcos (2 x )+3 e
−3 xsen (2 x )
−26 +
2e3 x
sen (2 x )−3e3 xcos (2 x )+2e
−3 xsen (2 x )−3
26
{−2
13 cos (2 x ) [e3 x+e
−3 x
2 ]+ 3
13 sen(2 x )[e3 x−e
−3 x
2 ]}i+
{ 2
13 sen(2 x )[e3 x+e
−3 x
2 ]+ 3
13 cos(2 x )[e3 x−e
−3 x
2 ]}¿[−2
13 cos (2 x ) cosh (3 x )+ 3
13 sen (2 x ) senh(3 x )]i+[ 213 sen (2 x ) cosh (3 x )+ 3
13cos (2 x ) senh(3 x)]
Se!unda parte:
e(2 i+1) x dx+¿3
2 e( 2i−1 ) x dx
3
2∫ ℑ [e (2 i+1 ) x+e
(2 i−1) x ]dx=3
2∫¿
¿ 3
2 (2 i+3 )∫ e(2 i+1) x (2i+1 ) dx+
3
2 (2 i−1 )∫ e (2 i−1) x (2 i−1 ) dx
¿ 3e(2i+1) x
2 (2 i+1 )+ 3 e (2 i−1) x
2 (2 i−1 )+c
¿ 3e
xe2 xi
2 (2 i+1 )+3e
− xe2 x 1
2 (2 i−1 )
¿
3e x (2i−1) (cos (2 x )+sen (2 x ) i )
2 (2 i+1 ) (2 i−1 ) +
3 e− x (2i+1 ) (cos (2 x )+sen (2 x ) i )
2 (2i−1 ) (2 i+1 )
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¿3e
x [2cos (2 x ) i−2 sen (2 x)−cos (2 x)−sen (2 x ) i ]2 (−4
−1 )
+3e
− x [2cos (2 x ) i−2 sen (2 x )+cos (2 x )+sen (2 x ) i ]2 (−4
−1 )
¿−3e
x [ (2cos (2 x )−sen (2 x) ) i−(2 sen (2 x )+cos (2 x ) ) ]10
−3e
− x [ (2cos (2 x )+sen(2 x )) i−(2sen (2 x )−cos (2
10
¿−3
10 [ e x (2cos (2 x )−sen (2 x ) ) i−e
x (2 sen (2 x )+cos (2 x ) )+e− x (2cos (2 x )+sen(2 x)) i−e
− x (2 sen (2 x )−cos (
¿−3
10 {[2e
xcos (2 x )−e
xsen (2 x )+2e
− xcos (2 x )+e
− xsen (2 x )
]i−
[2e
xsen (2 x )+e
xcos (2 x )+2e
− xsen (2 x )−e
¿−3
5 {[2cos (2 x )( e x+e
− x
2 )−sen(2 x)( e x−e
− x
2 )]i} +
3
5 {[2 sen (2 x )( e x+e
− x
2 )+cos(2 x)( e x−e
− x
2 )]}¿−3
5 {[2cos (2 x ) cosh ( x)−sen(2 x)senh ( x)] i } +
3
5 {[2 sen (2 x )cosh ( x)+cos (2 x)senh( x)] }
3
2∫ ℑ [e (2 i+1 ) x+e (2 i−1) x ]dx=
−3
5 [2cos (2 x ) cosh ( x )−sen (2 x ) senh( x )]
sen (2 x ) cosh3(¿ x )dx
∫¿
¿1
4 [−2
13 cos (2 x ) cosh (3 x )+ 3
13 sen (2 x ) senh (3 x )−6
5 cos (2 x )cosh ( x )+ 3
5 sen (2 x) senh ( x)]
h¿∫ e4 xcosh
5 ( x )dx
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Solución
Sabemos-ue cosh (ax )=(eax+e
−ax)2 ; a=1
reem"la2andoa lain!egral .
¿∫ e4 x( e
x+e− x
2 )5
dx
¿∫ e4 x
(e
5 x
+5e
4 x
e
− x
+10e
3 x
e
−2 x
+10e
2 x
e
−3 x
+5e
x
e
−4 x
+e
−5 x
25 )
dx
¿ 1
16∫ e
4 x( e5 x+5e
3 x+10e x+10e
− x+5e−3 x+e
−5 x
2 )dx
¿ 1
16
∫ e4 x
((e5 x+e
−5 x )+5 (e3 x+e3 x )+10 (e x+e
− x)
2
)dx
¿ 1
16∫ e
4 x [cosh (5 x )+5cosh (3 x )+10cosh ( x) ]dx
¿ 1
16∫ e
4 xcosh (5 x ) dx+
5
16∫ e
4 xcosh (3 x)dx+
10
16∫e
4 xcosh ( x)dx
k ¿∫ √ 2 x cos2 ( x ) dx ;formula :
cos2 ( x )=( e
ix+e−ix
2 )2
cos2 ( x )=
e2 ix+e
−2 ix+24
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Escuela Académica Profesioal de I!eier"a Ci#il$H#ca
∫√ 2 x cos2 ( x ) dx=∫ √ 2 x ( e
2 ix+e−2 ix+2
4 )dx
∫√ 2 x cos2 ( x ) dx=
1
2∫√ 2 x ( e
2 ix+e−2 ix
2 )dx+∫√ 2 x dx
∫√ 2 x cos2 ( x ) dx=√ 2
2 ∫√ xcos (2 x ) dx+ √ 2
2 ∫ ( x )1/2dx
∫√ 2 x
cos2
( x ) dx=
√ 22 ∫ √ x
cos
(2 x ) dx+
√ 23 ∫ ( x )
3/2
s i;6 =∫√ xcos (2 x ) dx
#n!egrando!enemos
sea ; u=√ xcos (2 x ) dx
du=−2 sen (2 x ) dx;!ambien
v=∫√ xdx
v=
3
2 x
3 /2
⟹ 6 =3 x
3/2cos (2 x )2
+3∫ x3 /2
sen (2 x )dx
∫√ 2 x cos2 ( x ) dx=√ 2
2 ∫√ xcos (2 x ) dx+ √ 2
3 ∫ ( x )3/2
∫√ 2 x cos2
( x ) dx=√ 2
3 x3 /2
+3
2 x3/2
cos (2 x )+3∫ x3 /2
sen (2 x ) dx
∫√ 2 x cos2 ( x ) dx=√ 2
2 ∫√ xcos (2 x ) dx+ √ 2
3 ∫ ( x )3/2 sen (2 x ) dx
sea ; u=sen (2 x )
du=2cos (2 x ) dx;!ambien
v=∫ x3/ 2+1
dx
v=3
2 x
5/2
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∫√ 2 x cos2 ( x ) dx=
√ 23
x3 /2+3
2 x
3/2
cos (2 x )+ 6
5 x
5/2sen (2 x )−12
5 x
5 /2cos (2 x ) dx
∫√ 2 x cos2 ( x ) dx=
√ 23
x3 /2+
3
2 x
3/2
cos (2 x )+ 6
5 x
5/2sen (2 x )−12
5 x
5 /2cos (2 x ) dx
l¿∫√ sin ( x )cos2( x)dx
Se a#e $ue:
cos2 ( x )=1−sin
2( x)
¿∫√ sin ( x ) (1−sin2( x))dx
sin
1
2 ( x)dx−¿∫sin
5
2( x )dx
¿∫¿
sin( x )=( eix+e
−ix
2 i )5
sin( x )=( eix+e
−ix
2 i )5
= 1
32i [ (e5 ix+e
−5 ix )+5 (e3 ix+e−3 ix )+10(eix+e
−ix ) ]
¿ i
16 [ ( e5 ix+e−5 ix )+5 ( e
3 ix+e−3 ix
2 )+10( eix+e
−ix
2 )]¿
i
16 [cos(5 x )+5cos(3 x)+10cos ( x)]
∫√ sin ( x )cos2( x)dx=∫√ sin( x )dx−∫−i
16 [cos(5 x )+5cos(3 x)+10cos ( x)]
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¿∫√ sin( x)dx−1
4∫ [cos(5 x )+5cos(3 x )+10cos ( x) ]
1=¿∫√ sin( x )dx
# ¿
∫√ sin ( x )cos2( x)dx=∫√ sin( x )dx−1
4∫√ −i [cos(5 x)+5cos(3 x )+10cos( x )]
u=√ sin ( x)dx v=∫dx
du= cos( x)
2√ sin( x )dx v= x
∫√ sin ( x )cos2( x)dx= x √ sin ( x)dx−1
2∫ cos( x)
√ sin( x)dx−
1
4∫√ −i [cos(5 x)+5cos(3 x )+10cos( x )]
¿ x√ sin( x )dx−1
2∫ cos( x )
√ sin( x )dx−
1
4∫√ −i [cos(5 x )+5cos (3 x)+10cos ( x)]
( ) ( )2). co 3 tanm x x dx∫
( ) ( ) ( )3co 3 4co co x x x= −
( ) ( ) ( )3 24co co tan x x x dx= −
( ) ( ) ( )
( )
3 2
4 32 2
xi xi xi xi xi xi
xi xi
e e e e e e
e e
− − −
−
+ + − ÷ ÷ = − ÷ ÷ + ∫
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( ) ( )
( )
( )
2
3 2 2 31 33 3
2 2
xi xi
xi xi xi xi xi xi xi xi
xi xi
e ee e e e e e e e
e e
−− − − −
−
− = + + + − + ÷ + ∫
( ) ( )
( )
2
3 31 1 33
2 2 2
xi xi
xi xi xi xi
xi xi
e ee e e e
e e
−− −
−
− = + + + − ÷ + ∫
( ) ( )
( )
22 2
3 3
2 2
21
2 2
xi xi
xi xi
xi xi
e ee e
e e
−−
−
− + = + + + ∫
( ) ( )
( )
4 4 2 2 2 2
3 3
4 4 2 2 2 2
4 2 2 21
2 4 2 2 2
xi xi xi xi xi xi
xi xi
xi xi xi xi xi xi
e e e e e ee e
e e e e e e
− − −−
− − −
+ + + − − = + + + + + + ∫
( )4 4 2 2
3 3
4 4 2 2
1 4 2 4 4
2 4 2 4 4
xi xi xi xi xi xi
xi xi xi xi
e e e ee e
e e e e
− −−
− −
+ + + − − = +
+ + + + + ∫
( )4 4 2 2
3 3
4 4 2 2
1 4 4 6
2 4 4 6
xi xi xi xi xi xi
xi xi xi xi
e e e ee e
e e e e
− −−
− −
+ − − + = + + + + +
∫
7 5 3 7 5 3
4 4 2 2
1 4 4 6 4 4 6
2 4 4 6
xi xi xi xi xi xi xi xi xi xi
xi xi xi xi
e e e e e e e e e e
e e e e
− − − − −
− −
+ − − + + + − − + = ÷+ + + + ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
7 7 5 5 3 3
4 4
4 4 61
2 4 6
xi xi xi xi xi xi xi xi xi xi
xi xi xi xi
e e e e e e e e e e
e e e e
− − − − −
− −
+ + + − + − + + + ÷= ÷+ + + + ∫
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( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
:
co 7 co 2co 2co 5 3co 31
2 co 2co 2 3
reemplazando x x x x x
x x
+ − − + = ÷ ÷+ +
∫
3) ( ) xo e sen x dx∫
( )3
3 3 31( ) 3 3
2 8
ix ixix xi ix ixe e
sen x e e e ei i
−− − +⇒ = = − + − − ÷
3 33( ) 3
8 8
ix xi ix ix x x xe e e e
e sen x dx e dx e dxi i
− + += − + ÷
∫ ∫ ∫
3 3 3
4 2 4 2
ix xi ix ix x xi e e i e e
e dx e dx− − + +
− + ÷ ÷
∫ ∫
( ) ( )3
co(3 ) co( )4 4
x xi ie x dx e x dx− +∫ ∫
1int :egrando I
( )co(3 ) xe x dx∫
co(3 )u x=
3 (3 )
x x
du sen x dx
dv e dx v e dx
=
= ⇒ = ∫
2 xm e dx x t dx tdt ⇒ = ⇒ = ⇒ =∫
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2
2
x t
t
m e dx e tdt
m e tdt
u t du dt
= =
⇒ =⇒ = ⇒ =
∫ ∫
∫
( )
1
1
2 2 ( 1)
2 ( 1) 2 ( 1)
2 ( 1)co(3 ) 6 ( 1) (3 )
2 ( 1)co(3 ) 6 6 (3 )
t
t t t t
t x
x x
x x x
dv e dt
v e m te e dt e t
v e t e x
I e x x e x sen x dx
I e x x e xdx e sen x dx
=
= ∴ = − = −
⇒ = − = −
= − + −
= − + −
∫
∫ ∫ ∫
2
int :
2
x
t
egrando
k e xdx
t x tdt dx
k e tdt
=
= ⇒ =
=
∫
∫
2
int :
2
x
t
egrando
k e xdx
t x tdt dx
k e tdt
=
= ⇒ =
=
∫
∫
( )
( )
2 2 2 2 ( 1)
2 1
t t t t t
x
k te e tdt te e k e t
k e x
⇒ = − = − ⇒ = −
∴ = −
∫
( )
( )
1
1
2 ( 1)co(3 ) 12 1 6 (3 )
( 1) co(3 ) 23 1 (3 )
2 3
x x x
x x x
I e x x e x e sen x dx
ie x x i I ie x e sen x dx
⇒ = − + − −
−= + − −
∫
∫
( )
( )
1
1
2 ( 1)co(3 ) 12 1 6 (3 )
( 1) co(3 ) 23 1 (3 )
2 3
x x x
x x x
I e x x e x e sen x dx
ie x x i I ie x e sen x dx
⇒ = − + − −
−= + − −
∫
∫
2( 1) co(3 ) 3 ( 1) (3 ) co(3 )
2 3 4
x x x xi i ie x x ie x e sen x dx e x dx∴ − + − − −∫ ∫
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2
int :
co(3 )co( ) ( )
x
egrando
I e x dxu x du sen x dx
== ⇒ = −∫
..........int
2
2 :
x x
t
dv e dx v e dx egrando
x t tdt dx
v e tdt sea u t du dt
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ = ⇒ =
∫
∫
..........int
2
2 :
x x
t
dv e dx v e dx egrando
x t tdt dx
v e tdt sea u t du dt
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ = ⇒ =
∫
∫
( )
2
2 1 2 ( 1)
t
t t
t x
v e
v te e dt
v e t v e x
= ⇒ = −
= − ⇒ = −
∫
( )
( )
2
2
2 1 co( ) 2 ( 1) ( )
2 1 co( ) 2 ( ) ( )
x x
x x
I e x x e x sen x dx
I e x x e x sen x dx
= − + −
= − +
∫ ∫
2
2
x
x t
m e dx x t dx tdt
m e dx e tdt
⇒ = ⇒ = ⇒ =
= =
∫ ∫ ∫
2 t
t
m e tdt
u t du dt
dv e dt
⇒ =
⇒ = ⇒ =
=
∫
( )
1
1
2 2 ( 1)
2 ( 1) 2 ( 1)
2 ( 1)co(3 ) 6 ( 1) (3 )
2 ( 1)co(3 ) 6 6 (3 )
t t t t
t x
x x
x x x
v e m te e dt e t
v e t e x
I e x x e x sen x dx
I e x x e xdx e sen x dx
= ∴ = − = −
⇒ = − = −
= − + −
= − + −
∫
∫ ∫ ∫
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2
int :
2
x
t
egrando
k e xdxt x tdt dx
k e tdt
== ⇒ =
=
∫
∫
( )
( )
2 2 2 2 ( 1)
2 1
t t t t t
x
k te e tdt te e k e t
k e x
⇒ = − = − ⇒ = −
∴ = −
∫
( )
( )
1
1
2 ( 1)co(3 ) 12 1 6 (3 )
( 1) co(3 ) 23 1 (3 )
2 3
x x x
x x x
I e x x e x e sen x dx
ie x x i I ie x e sen x dx
⇒ = − + − −
−= + − −
∫
∫
2( 1) co(3 ) 3 ( 1) (3 ) co(3 )
2 3 4
int :
x x x xi i ie x x ie x e sen x dx e x dx
egrando
∴ − + − − −∫ ∫
2co(3 )
co( ) ( )
..........int
2
x
x x
I e x dx
u x du sen x dx
dv e dx v e dx egrando
x t tdt dx
=
= ⇒ = −
= ⇒ =
= ⇒ =
∫
∫
2 :
2
t
t
t t
v e tdt sea u t du dt
v e
v te e dt
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = −
∫
∫
( )
( )
( )
2
2
2 1 2 ( 1)
2 1 co( ) 2 ( 1) ( )
2 1 co( ) 2 ( ) ( )
t x
x x
x x
v e t v e x
I e x x e x sen x dx
I e x x e x sen x dx
= − ⇒ = −
= − + −
= − +
∫ ∫
co(3 )u x=
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3 (3 )
x x
du sen x dx
dv e dx v e dx
=
= ⇒ = ∫ :
2
2
x
x t
sea
m e dx x t dx tdt
m e dx e td
⇒ = ⇒ = ⇒ =
= =
∫ ∫ ∫
2 t
t
m e tdt
u t du dt dv e dt
⇒ =
⇒ = ⇒ ==
∫
( )2 2 ( 1)
2 ( 1) 2 ( 1)
t t t t
t x
v e m te e dt e t
v e t e x
= ∴ = − = −
⇒ = − = −
∫
1
1
2 ( 1)co(3 ) 6 ( 1) (3 )
2 ( 1)co(3 ) 6 6 (3 )
x x
x x x
I e x x e x sen x dx
I e x x e xdx e sen x dx
= − + −
= − + −
∫
∫ ∫
2
int :
2
x
t
egrando
k e xdx
t x tdt dx
k e tdt
=
= ⇒ =
=
∫
∫
( )( )
2 2 2 2 ( 1)
2 1
t t t t t
x
k te e tdt te e k e t
k e x
⇒ = − = − ⇒ = −
∴ = −∫
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( )
( )
1
1
2 ( 1)co(3 ) 12 1 6 (3 )
( 1) co(3 ) 23 1 (3 )
2 3
x x x
x x x
I e x x e x e sen x dx
ie x x i I ie x e sen x dx
⇒ = − + − −
−= + − −
∫
∫
( )
( )
1
1
2 ( 1)co(3 ) 12 1 6 (3 )
( 1) co(3 ) 23 1 (3 )
2 3
x x x
x x x
I e x x e x e sen x dx
ie x x i I ie x e sen x dx
⇒ = − + − −
−= + − −
∫
∫
( )( )
1
1
2 ( 1)co(3 ) 12 1 6 (3 )
( 1) co(3 ) 23 1 (3 )
2 3
x x x
x x x
I e x x e x e sen x dx
ie x x i I ie x e sen x dx
⇒ = − + − −
−= + − −
∫ ∫
2( 1) co(3 ) 3 ( 1) (3 ) co(3 )
2 3 4
int :
x x x xi i ie x x ie x e sen x dx e x dx
egrando
∴ − + − − −∫ ∫
2 co(3 )co( ) ( )
..........int
x
x x
I e x dxu x du sen x dx
dv e dx v e dx egrando
== ⇒ = −
= ⇒ =
∫
∫
2
2 :t
t
x t tdt dx
v e tdt sea u t du dt
v e
= ⇒ =
= ⇒ = ⇒ =
=∫
( )
2
2 1 2 ( 1)
t t
t x
v te e dt
v e t v e x
⇒ = −
= − ⇒ = −
∫
( )
( )
2
2
2 1 co( ) 2 ( 1) ( )
2 1 co( ) 2 ( ) ( )
x x
x x
I e x x e x sen x dx
I e x x e x sen x dx
= − + −
= − +
∫ ∫
co(3 )u x=
7/23/2019 Segunda Practica de Ana. Mate. II
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3 (3 )du sen x dx=
x xdv e dx v e dx= ⇒ = ∫
:
2 x
sea
m e dx x t dx tdt ⇒ = ⇒ = ⇒ =∫
2 x t
m e dx e tdt = =∫ ∫
2 t m e tdt ⇒ = ∫
u t du dt ⇒ = ⇒ =
t dv e dt =
( )2 2 ( 1)t t t t v e m te e dt e t = ∴ = − = −∫
2 ( 1) 2 ( 1)t xv e t e x⇒ = − = −
1 2 ( 1)co(3 ) 6 ( 1) (3 ) x x I e x x e x sen x dx= − + −∫
1 2 ( 1) co(3 ) 6 6 (3 ) x x x I e x x e xdx e sen x dx= − + −∫ ∫
2
int :
2
x
t
egrando
k e xdx
t x tdt dx
k e tdt
=
= ⇒ =
=
∫
∫
( )
( )
2 2 2 2 ( 1)
2 1
t t t t t
x
k te e tdt te e k e t
k e x
⇒ = − = − ⇒ = −
∴ = −
∫
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Escuela Académica Profesioal de I!eier"a Ci#il$H#ca
( )
( )
1
1
2 ( 1)co(3 ) 12 1 6 (3 )
( 1)co(3 ) 23 1 (3 )
2 3
x x x
x x x
I e x x e x e sen x dx
ie x x i I ie x e sen x dx
⇒ = − + − −
−= + − −
∫
∫
2( 1)co(3 ) 3 ( 1) (3 ) co(3 )
2 3 4
x x x xi i ie x x ie x e sen x dx e x dx∴ − + − − −∫ ∫
2
int :
co(3 )
co( ) ( )
..........int
2
2 :
x
x x
t
egrando
I e x dx
u x du sen x dx
dv e dx v e dx egrando
x t tdt dx
v e tdt sea u t du dt
=
= ⇒ = −= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ = ⇒ =
∫
∫
∫
2
t
t t
v e
v te e dt
=
⇒ = −
∫ ( )
( )2
2 1 2 ( 1)
2 1 co( ) 2 ( 1) ( )
t x
x x
v e t v e x
I e x x e x sen x dx
= − ⇒ = −
= − + −∫
( )
( )
2
2
2 1 co( ) 2 ( ) 2 ( )
2 1 co( ) 2 ( 1) 2 ( )
x x x
x x x
I e x x e x dx e sen x dx
I e x x e x dx e sen x dx
= − + −
= − + − −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
( )
3
2
2( ) ( 1)co(3 ) 3 ( 1) (3 ) ( )
2 3 4
21 co(3 ) 3 1 (3 ) 1 co( )
2 3 2
2 1 ( )2
x x x x
x x x x
x x
i i ie sen x dx e x x ie x e sen x dx I
i i ie x x ie x e sen x dx e x x
ie x e sen x dx
∴ = − + − − −
= − + − − − −
− − +
∫ ∫
∫
∫
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERA
Escuela Académica Profesioal de I!eier"a Ci#il$H#ca
( ) ( ) ( )1 co(3 ) 1 1 co( )2 2
2(3 )
3
x x x
x
i ie x x ie x e x x
ie sen x dx
= − − − − −
− ∫
( )
3int : (3 )
(3 )
3co(3 ) 2
2 2 2 ( 1)
x
x
t t t t
egrando I e sen x dx
u sen x v e dx
du x t x tdt dx
v e tdt v te e dt v e t
=
= =
= = =
= = − = −
∫ ∫
∫ ∫
( )1 xv e x= −
( ) ( ) ( ) ( )3 1 3 3 1 co 3 x x I e x sen x e x x dx∴ = − − −∫
( ) ( ) ( ) ( )1 3 3 3 co 3 x x xe x sen x e x dx e x dx= − − +∫ ∫
( ) ( )3 1 3 ( 1) 3 co(3 ) x x x I e x sen x e x e x dx= − − − + ∫
3 2( 1)co(3 ) ( 1)co( ) ( 1) (3 ) 2 ( 1)
2 3
x x x x xi ie sen dx e x x ie x x e x sen x ie x∴ = − − − − − + −∫
2 co(3 ) ( )2
x xii e x dx e sen x dx− −∫ ∫
4int :egrando I
4 ( ) x I e sen x dx= ∫
( ) co( )u sen x du x dx= ⇒ =
2 x x
dv e dx v e dx t x dx tdt = ⇒ = ⇒ = = =
∫
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Escuela Académica Profesioal de I!eier"a Ci#il$H#ca
2 2 ( 1)t t v e tdt e t = = −∫
( ) ( )4 2 1 ( ) 2 1 co( ) x x I e x sen x e x x dx= − − −∫
( ) ( )2 1 ( ) 2 2 co( ) x x xe x sen x e x e x dx− − +∫ ∫
( ) ( )4 2 1 ( ) 2 1 2 co( ) x x x I e x sen x e x e x dx= − − − + ∫
3 2( ) ( 1)co(3 ) ( 1) co( ) ( 1) (3 ) 2 ( 1)
2 3
x x x x xi ie sen x dx e x x ie x x e x sen x ie x∴ = − − − − − + −∫
( )1 co( ) 2 co(3 ) x x xie x i e x dx i e x dx− − − −∫ ∫
5) co ( ) x p e x dx∫
5
2
xi xi x e e
e dx− +
= ÷ ÷
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 3 2 2 3 4 51( )( ) 10 10 5
32
x xi xi xi xi xi xi xi xi xi xi
e e e e e e e e e e e dx− − − − − − = + + + + +
∫ 5 5 3 31
5 1016 2 2 2
xi xi xi xi xi xi x e e e e e e
e dx− − − + + +
= + + ÷ ÷ ÷ ÷ ∫
co(5 ) 5co(3 ) 10 co( )1
16
xe x x x dx + + = ∫
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Escuela Académica Profesioal de I!eier"a Ci#il$H#ca
1 5 5co(5 ) co(3 ) co( )
16 16 8
x x xe x dx e x dx e x dx= + +∫ ∫ ∫
1
2
3
:
co(5 )
co(3 )
co( )
x
x
x
sea
I e x dx
I e x dx
I e x dx
=
=
=
∫ ∫ ∫
1
1
5
int :
co(5 )
co(5 ) (5 )
x
i x
egrando I
I e x dx
e x isen x
=
= +
∫
co(5 ) co(5 ) (5 ) x x x
e x dx e x dx i e sen x dx= +∫ ∫ ∫
5 (1 5 )
2
(1 5 ) (1 5 )
co(5 ) co(5 )
: 2
2 2
x x
x i x x i
m i m i
e x dx e x dx
e e dx e dx sea x m dx mdm
e mdm e mdm
+
+ +
⇒ =
= == ⇒ =
= =
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
(1 5 )(1 5 )
:
1 5
m im i
sea u m du dm
edv e dm v
i
++
= ⇒ =
= ⇒ =+
( )
(1 5 ) (1 5 ) (1 5 )(1 5 )
2
22 2 (1 5 )
1 5 1 5 1 5 1 5
m i m i m im ime e me
dm e i dmi i i i
+ + ++ − = − + + + + +
∫ ∫
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
(1 5 ) (1 5 ) (1 5 )
2 2
(1 5 )
(1 5 ) (1 5 ) (1 5 )
2 2 210 241 5 1 5
(1 5 )
5 12
2 2 21 5 1 5 1 5
2 1 5 co(5 ) (5 ) 5 12 co(5 ) (5 )2
1 5 1 5 1 5 5 12 5 12
m i x i x i
x i
m i x i x i
e e eii i
x x x i
ei
me xe xe
i i i
xe i x isen x e i x isen x xe
i i i i i
+ + +
+
+ + +
−+ +
+
−
= − = − = −+ + +
− + + + = − = −+ + − − +
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( ) ( )2 1 5 co(5 ) (5 ) 5 12 co(5 ) (5 )
26 169(5 ) 5co(5 ) 13 co(5 ) 5 (5 )
13169
x x
x x
xe i x isen x e i x isen x
xe sen x x i xe x sen x
− + + + = −−
− + + =
( )5co(5 ) 12 (5 ) 5 (5 ) 12co(5 )
169
x xe x sen x i e sen x x + − −
13 (5 ) 65 co(5 ) 5 co(5 ) 12 (5 ) 13 co(5 ) 65 (5 ) 5 (5 ) 12 co(5 )
169
x x x x x x x x xe sen x xe x e x e sen x i xe x xe sen x e sen x e x − + + + + − +
=
( ) ( )(5 ) 13 12 co(5 ) 65 5
169
x xe sen x x e x x i + − − =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
co 5 13 12 in 5 65 5
169
co 5 13 12 in 5 65 5co 5169 169
x x
x x
x
e x x e x x
e x x e x xe x dx
+ + − = +
+ −⇒ = +∫
( )
( ) ( )
2
3
co 3
co 3 3
x
i x
IntegrandoI
e x dx
e x i en x
=
= +
∫
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
co 3 co 3 3
co 3 3
x x
x x
e x dx e x i en x dx
e x dx i e en x dx
⇒ = +
= +∫ ∫
∫ ∫
( ) ( )( )1 33
co 3 co 3 x x
x i x i x
e x dx e x dx
e e dx e +
=
=
∫ ∫ ∫ ∫
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( ) ( )
2
1 3 1 3
...
22 2
m i m i
Sea x m
dx mdme mdm e mdm
+ +
=
== =∫ ∫
( )
( )
( )( )
1 3
1 3
1 31 3
...
1 3
2 21 3 1 3
m i
m i
m im i
sea u m
du dm
dv e
ev
i
me ei i
+
+
++
==
=
=+
= −+ + ∫
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
1 31 3
2
1 3 1 3
2
1 3 1 3
2
2 21 3
1 3 1 3
2 2
1 3 1 3
2 2
1 3 1 3
m im i
m i m i
x i x i
mee i dm
i i
me e
i i
xe e
i i
++
+ +
+ +
= − ++ +
= −+ +
= −+ +
∫
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
3 32 1 3 2
1 3 1 3 6 8
2 1 3 co 3 3 2 co 3 3 6 8
10 6 8 6 8
x i x x i x
x x
xe i e e e
i i i
xe i x isen x e x isen x i
i i
−= −
+ − −
− + + += −
− +
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
3 32 1 3 2
1 3 1 3 6 8
2 1 3 co 3 3 2 co 3 3 6 8
10 6 8 6 8
x i x x i x
x x
xe i e e e
i i i
xe i x isen x e x isen x i
i i
−= −
+ − −
− + + += −
− +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 co 3 3 3co 3 3 3 2 6co 3 8co 3 6 3 8 3
10 100
x x xe x isen x x i sen x e x i x sen x sen x i+ − + + − +
= −−
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( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 co 3 3 3co 3 3 3 2 6co 3 8co 3 6 3 8 3
10 100
20 3 3co 3 20 co 3 3 3 4 3co 3 4 3 4 3 3 4 co 3
100 100
x x
x x x x
xe x isen x x i sen x e x i x sen x sen x i
xe sen x x i xe x sen x e x sen x i e sen x x
+ − + + − += −
−
− + + + − −= +
( ) ( ){ } ( ) ( )
( ) ( ) ( )
4 3 5 4 4 co 3 15 3 4 co 3 5 4 4 3 15 3
100 100
co 3 5 4 3 3 15 3co 3
25 25
x x x x
x x
x
e sen x x e x x e x x e sen x x
e x x e sen x xe x dx
+ − − + + − = +
+ − ⇒ = +∫
( )( ) ( )
3...
co
co
x
i x
Integrando I
e x dx
e x isen x= +∫
( ) ( ) ( )
( ) ( )
co co
co
x i x
i x x
e x dx e x isen x dx
e x dx i e sen x dx
⇒ = +
= +
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )( )1
co co x x
x i x i x
e x dx e x dx
e e dx e dx+
=
= =∫ ∫
∫ ∫
( ) ( )
2
1 1
...
2
2 2m i m i
Sea x m
dx mdm
e mdm e mdm+ +
==
= =∫ ∫
( )
( )
( )( ) ( )
( )
1
1
1 1
...
1
2
1 1
m i
m i
m i m i
Sea u m
du dm
dv e dm
ev
i
me edm
i i
+
+
+ +
==
=
=+
= −+ +∫
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Escuela Académica Profesioal de I!eier"a Ci#il$H#ca
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
11
2
1 1
2
1 1
2
2 11
1 12
1 1
2
1 1
m im i
m i m i
x i x i
mee i dm
i ime e
i i
xe e
i i
++
+ +
+ +
= − +
+ += −
+ +
= −+ +
∫
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
11
2
1 1
2
1 1
2
2 11
1 1
2
1 1
2
1 1
m im i
m i m i
x i x i
mee i dm
i i
me e
i i
xe e
i i
++
+ +
+ +
= − ++ +
= −+ +
= −+ +
∫
( )
( ) ( ) ( )
2 1 2
1 1 2 2
x xi x xi xe i e ie e
i i i i
−= −
+ −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 co 2 co
2 4
x x xe i x isen x ie x isen x − + + −−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 co 2 co co
2 2
x x x x xe x sen x xe sen x x e x e sen x
+ + − − = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 co co 2 co
2 2
x x x x xe sen x x e x xe x sen x e sen xi
− + + − = +
( ) ( ) ( ) 2 1
co co2
x
x xe sen x x
e x dx xe x − ⇒ = +∫
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Escuela Académica Profesioal de I!eier"a Ci#il$H#ca
( )
( ) ( ) ( ) ( )5
co 5 13 12 5 5 13 11co
16 169 169
x x
xe x x e sen x x
e x dx
+ − ⇒ = + ∫
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )co 3 5 4 3 3 5 1 2 15 5co
16 25 25 8 2
x x x
xe x x e sen x x e sen x x
xe x
+ − − + + + +
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )co 3 5 4 3 3 5 1 2 15 5co
16 25 25 8 2
x x x
xe x x e sen x x e sen x x
xe x
+ − − + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
co 5 13 12 5 5 13 1 co 3 5 4 3 3 5 1
2708 2708 80 80
5 co 5 2 1
8 16
x x x x
x x
e x x e sen x x e x x e sen x x
xe x e sen x x
+ − + −= + + +
−+ +
-¿∫e x
cosh
3
(√ x ) dx;cosh3
=
e√ x+e−√ x
2
∫e xcosh
3 (√ x ) dx=∫e x( e3√ x+3e2√ x e
x+3e√ x e−2√ x+e−3√ x
8 )dx
∫e xcosh
3 (√ x ) dx=1
4∫e
x
(
e3√ x+e−3√ x
2 +3( e√ x+e−√ x
2 ))dx
∫e xcosh
3 (√ x ) dx=1
4∫e
xcosh (3√ x )+ 3
4∫ e
xcosh (√ x ) dx
sea: √ x=m
x=m2
∫e
xcosh
3
(√ x ) dx=
1
4∫e
m2
(e3m+e
−3m
2
)2
mdm
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Escuela Académica Profesioal de I!eier"a Ci#il$H#ca
∫e xcosh
3 (√ x ) dx=1
4∫e
m2
e3m
.m+1
4∫e
m2
e−3m
.mdm
2) arc ( )d!u x sen x∫
ea: arc ( ) sen x t =
2 != en (t) d!=2en(t)co(t)dt
d!=en(2t)dt
⇒
eem%la,ando e tiene:
( ) ( ) ( )2
2 2arc ( ) (t) en(2t) dt x sen x sen t =∫ ∫
( ) ( ) ( )5 = 2 (t) co(t) dt sen t ∫
( ) ( )5
6
$*ora a%licando la %ro%iedad de inte'racion %or %arte:
ea: =t " dv= (t) co(t) dt
(t) d=dt v=
6
sen
sen
( ) ( ) ( )6 6
5 (t) (t)2 (t) co(t) dtt 2
6 6
$*ora %or m&todo de inte'racion com%lea
sen sen sen t dt
= +
∫ ∫
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66
e een(!)=
2eem%la,ando al inte'ral
(t) 1 e e2
6 6 2
ix ix
it it
i
sendt
i
−
−
÷
÷
∫
( )
( ) ( ) ( )( )
6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
66 6 4 4 2 2
tili,ando el inomio de eton
a = a 6a +15a 20a +15a 6a +
(t)t 1 1 1 e +e 6 e +e 15 e +e 20 dt
=2 6 6 32 2
it it it it it it sen − − − − + − ÷ ÷
∫
( )6 (t)t 1 1
co(6 ) 6co(4 ) 15co(2 ) 20 dt=2 6 6 32
sent t t
− + − ÷ ÷
∫
6 (t)t 1 1 1 15 1 15 1 =2 co(6 ) co(4 ) co(2 ) 20
6 6 32 32 6 32 6 32
sent dt t dt t dt t
− − − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ∫ ∫ ∫
6 (t)t 1 1 1 15 1 15 1 =2 (6 ) (6 ) (2 ) 20
6 36 32 128 12 32 6 32
sen sen t sen t sen t t
− − − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
e : arc ( )emplazando sen x t =
2 arc ( )d! x sen x∫
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6 ( arc ( ))arc ( ) 1 1 1 (6arc ( )) (6arc ( ))
6 36 32 128215 1 15 1
(2arc ( )) 20 arc ( ) .12 32 6 32
sen sen x sen x sen sen x sen sen x
sen sen x sen x C
− ÷ ÷ ÷ = − − + ÷ ÷ ÷ ÷
5.) ( )
Solcin:
! x arcsen x dx∫
2
ea: t= ( )
!= (t)
d!=2 (t) co(t)dt
arcsen x
sen
sen
5 11
eem%l,ando e tiene:
( ) 2 (t) co(t)dt x arcsen x dx sen t =∫ ∫
11
$*ora %or inte'racion %or %arte:
=t " dv= (t) co(t)dt sen
12 (t)d=dt " v=
12
sen
1211 12(t) 1
2 (t) co(t)dt (t)dt6 6
sen sen t t sen=∫ ∫
$*ora %or inte'racion com%lea:e e
en(!) =2
ix ix− ÷
1212 (t) 1 e e
dt6 6 2
ix ix sent
− = ÷
∫
( )12 12 11 10 2 9 3 8 4
tili,ando el inomio del eton:
a =a 12a +66 a 220a +489 a
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Escuela Académica Profesioal de I!eier"a Ci#il$H#ca
7 5 6 6 5 7 4 8 3 9 2 10 11 12 768 a +888 a 768a +489 a 220 a +66 a 12a +
( )12
12
11
eem%la,ando er tiene:
(t) 1 1 1 e e dt
6 6 2 2
ix ix sent
− = ÷ ∫
( )12 12 10 10 8 812
116 6 4 4 2 2
1e +e 12(e +e )+66(e +e )(t) 1 1
dt26 6 2
220(e +e )+489(e +e )768(e +e )888
i x ix i x ix ix ix
ix ix ix ix ix ix
sent
− − −
− − −
÷= ÷ ÷ ÷
∫
( )12 12 10 10 8 812
116 6 4 4 2 2
1e +e 12(e +e )+66(e +e )(t) 1 1
dt26 6 2
220(e +e )+489(e +e )768(e +e )888
i x ix i x ix ix ix
ix ix ix ix ix ix
sent
− − −
− − −
÷= ÷ ÷ ÷
∫
( )12 12 10 10 8 812
116 6 4 4 2 2
1
e +e 12(e +e )+66(e +e )(t) 1 1 dt26 6 2
220(e +e )+489(e +e )768(e +e )888
i x ix i x ix ix ix
ix ix ix ix ix ix
sent
− − −
− − −
÷= ÷ ÷ ÷
∫
12
11
co(12 )12co(10 )+66co(8 )(t) 1 1 dt
220co(6 )+489co(4 )768co(2 )8886 6 2
t t t sent
t t t
= ÷ ÷
∫
12
11 11 11
(t) 1 1 12 1 66 1 co(12 ) co(10 ) co(8 )dt
6 6 2 6 2 6 2
sent t dt t dt t
= + − ÷ ÷ ÷ ∫ ∫ ∫
11 11 11 11
220 1 489 1 768 1 888 1co(6 ) co(4 ) co(2 ) t
6 2 6 2 6 2 6 2t dt t dt t dt
+ + − − ÷ ÷ ÷ ÷ ∫ ∫ ∫
12
11 11 11
(t) 1 1 12 1 1 1 en(12t)+ (10 ) (8 )
6 72 2 60 2 88 2
sent sen t sen t
= − ÷ ÷ ÷
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11 11 11 11
220 1 489 1 768 1 888 1 en(6t) (4 ) (2 ) t +-.
36 2 6 2 6 2 6 2 sen t sen t
+ + + ÷ ÷ ÷ ÷
125
11
em%la,ando e tiene: t= ( )
( ( )) 1 1( ) ( ) en(12 ( ))+
6 72 2
arcsen x
sen arcsen x x arcsen x dx arcsen x arcsen x
= ÷ ∫
11 11 11
12 1 1 1 220 1(10 ( )) (8 ( ) ) en(6 ( ))
60 2 88 2 36 2 sen arcsen x sen arcsen x arcsen x
− + ÷ ÷ ÷
11 11 11
489 1 768 1 888 1 (4 ( )) (2 ( ) t +-
6 2 6 2 6 2 sen arcsen x sen arcsen x
+ + ÷ ÷ ÷
4.) arcco( )d! x x x∫
Solcin:
2
ea: arcco( )
!= co (t) d!=2co(t)en(t)dt
d!= en(2t)dt
x t =
⇒
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
44 2
9
eem%la,ando e tiene:
arcco( ) co (t) en(2t) dt
= 2 co (t) en(t) dt
$*ora a%licando la %ro%iedad de inte'racion %or %arte:
ea: =t
x x t
t
=∫ ∫ ∫
( ) ( )9
10
" dv= co (t) en(t) dt
co (t) d=dt v=
10
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( ) ( ) ( )10 10
9
1010
co (t)t co (t)2 co (t) en(t) dt 2
10 10 $*ora %or m&todo de inte'racion com%lea:
e +eco(!)=
2
eem%la,ando al inte'ral
co (t)t 1 e +e2
10 10 2
tili,
ix ix
it it
t dt
i
dt i
−
−
=
÷
÷
∫ ∫
∫ ando el inomio de eton
( )10 10 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 6 3 7 2 8 9 10a+ = a +10a +45a +120a +204a +240a +204a +120a +45a +10a +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1010 10 8 8 6 6 4 4
2 2
10
co (t)t 1 1 1 e +e 10 e +e 45 e +e 120 e +e
10 10 512 2=2
+204 e +e 240
co (t)t 1 1 co(10 ) 10co(8 ) 45co(6 ) 120co(4 )
=2 10 10 512
it it it it it it i t it
it it dt
t t t t
− − − −
−
+ + + ÷ ÷
+
+ + + ÷ ÷
∫
∫
10
+204co(2 ) 240
co (t)t 1 1 1 10 45 1 co(10 ) co(8 ) co(6)
10 10 512 10 512 10 512 =2
120 1 204 1co(4 ) co(2 )
10 512 10 512
t dt
t dt t dt dt
t dt t
+
− − − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
− ÷ ÷ ÷ ÷
∫ ∫ ∫
∫ 1 240
10 512dt
− ÷ ÷
∫
10co (t)t 2 1 2 10 45 2co(8 ) co(6)
5 10 512 10 512 10 512=
120 2 204 2 2 240co(4 ) co(2 )
10 512 10 512 10 512
t dt dt
t dt t dt
+ + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
∫ ∫
∫ ∫
10co (t)t 2 1 2 10 45 2(10 ) (8 ) (6 )
5 100 512 80 512 60 512
120 2 204 1 2 240(4 ) (2 )
40 512 10 512 10 512
sen t sen t sen t
sen t sen t
= + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
+ + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
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10
4
e : arcco( )
co ( arcco( )) arcco( ) 2 1arcco( )d! (10arcco( ))5 100 512
2 10 45 2(8arcco( )) (6arcco( ))
80 512 60 512
120 2
40 512
emplazando x t
x x x x sen x
sen x sen x
sen
=
= + ÷ ÷ + + + ÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷
∫
204 1 2 240(4arcco( )) (2arcco( )) arcco( ) .
10 512 10 512 x sen x x C
+ + + ÷ ÷ ÷ ÷
5. MÉTODO DE CAMBIO DE VARIABLE
( a.)2 4
dx
x− +∫
( ) ( )
2
2
Solcin:
Sea: t = 4
!=t 4 d!=2t dt
eem%la,ando e tiene:
2t dt t dt= 22 2
tili,ando el m&todo de decom%oicin:
t2 +2 dt t2 2 2 =2 2
2 t2 t2
= 2t4t
x
t t
dt dt
t
dt
+
− →
− −
−
∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )
2 4ln t2 +-.2
e'reando a orma ori'inal e tiene:
2 4 4ln 4 2 +-.)2 4
t
dx
x x x
= − −
= + + −− +
∫
∫
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b¿∫ x4 dx
4+√ 2− x
Solución:
Sea: 4+√ 2− x=u
√ 2− x=u−4
2− x=(u−4 )2
x=2−(u−4 )2
x=−u2+8u−14
dx=(−2u+8 ) du
dx=−(u−4 )du
Reemplazando en la inte!ral
∫ x
4 [−2 (u−4) ]du
4+√ (u−4 )2
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−∫ x4 (2u−8 ) du
u
Reoliendo el numerador del inte!rando:
x4 (2u−8 ) du
(−u2+8u−14 )4 (2u−8 )du
(u8−32u7+440u
6−3392u5+16024u
4−47488u3+86240u
2−87808u+38416) (2u−8 ) du
(2u9−72u
8+1136u7−10304u
6+59184u5−223168u
4+552384u3−865536u
2+779296u−307328 )
Diidiendo el numerador del inte!rando entre el denominador*u) y decomponiendo en uma de inte!rale
−∫ x4 (2u−8 ) du
u =−∫2u
8du+∫72u
7du−∫1136u
6du+∫ 10304u
5du−∫59184u
4du+∫223168u
3du−∫552384u
2du+∫ 865536udu−∫779296du+∫ 307
Aplicando la ormula a c,u de lo inte!rale: ∫undu=
un+ 1
n+1+c
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−∫ x4 (2u−8 ) du
u =−2(u
9
9 )+c1+72( u
8
8 )+c2−1136( u
7
7 )+c3+10304 (u
6
6 )+c4−59184(u
5
5 )+c5+223168(u
4
4 )+c6−552384 (u
3
3 )+c7+865536(u
2
2 )+c8−779296u+c
−∫ x4 (2u−8 ) duu
=−2(u9
9 )+c1+72(
u8
8 )+c2−1136(
u7
7 )+c3+10304 (
u6
6 )+c4−59184(
u5
5 )+c5+223168(
u4
4 )+c6−552384 (
u3
3 )+c7+865536(
u2
2 )+c8−779296u+c
!enemos :u=(4+√ 2− x )
∫ x4dx
4+√ 2− x=−∫ x
4 (2u−8 ) du
u
¿−2 (4+√ 2− x )9
9 +9 (4+√ 2− x )8−
1136 (4+√ 2− x )7
7 +
10304 (4+√ 2− x )6
6 −
59184 (4+√ 2− x )5
5 +55792 (4+√ 2− x )4−
552384 (4+√ 2− x )3
3 +432768 (4+√ 2− x )2−77
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donde :c=c1+c
2+c
3+c
4+c
5+c
6+c
7+c
8+c
9+c
10
c ¿∫ ( x−3 ) dx
x√ 2 x−1
9aciendosea! 2=2 x−1 : x=
! 2+12
;dx=1
2(2 !d! )=!d!
Remplazando
∫( !
2+12 −3)!d!
( ! 2+12 )!
∫( !
2+12 −3) !d!
(! 2
+12 )!
=∫( !
2+12 )d!
(! 2
+12 )
−3∫ d!
(! 2
+12 )
¿∫d! −6∫ d!
( ! 2+1 )
¿ ! +C 1−6 (arc!g ( ! )+C
2 )
¿√ 2 x−1+6arc!g (√ 2 x−1)+C
d ¿∫ (3 x+2 ) dx
x2√ 4 x+3
Sea x=1
! ; dx=
−d!
! 2
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−¿¿
∫ (3
! +2)(−d!
! 2 )
( 1! )2
√ 4
! +3
=¿
−¿¿−¿¿¿¿
¿(−1
3 )∫[ (6 ! +4 )+5 ]d!
√ 3 ! 2+4 !
=−1
3 ∫ (6 ! +4 )d!
√ 3! 2+4 !
−5
3∫ d!
√ 3 ! 2+4 !
¿−1
3∫ (3! 2
+4 ! )
−1
2
d (3! 2
+4 ! ) d! −5
3∫ d!
√ 3! 2+4 !
d!
√ 3 ! 2+4 ! =¿−
5
3∫ d!
√ ! √ 3 ! +4;sea3 ! +4=m
2; ! =
m2−4
3 ; d! =
2
3 mdm
−5
3 ∫¿
−5
3 ∫ 2
3
mdm
√ m2−4
3(m )
=−10
9 ∫ dm
1
√ 3 √ m2−4
=−10√ 3
9 ∫ dm
√ m2−4
¿−1
3∫ (3! 2+4 ! )
−1
2 d (3! 2+4 ! ) d! −10√ 3
9 ∫ dm
√ m2−22
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¿−1
3
( √ 3!
2+4 !
1
2
+C
)−
10√ 39
[arccosh
(
m
2
)+C
]¿−
2
3 (√3(1 x )2
+4
x )−10 √ 39 [arccosh (√ 3! +4
2 )]+C
¿−2
3
(√( 3
x2
)+4
x
)−
10√ 39
[arccosh
( √ 3
x+4
2
)]+C
e¿∫ xdx
x+√ x2−6 x+9
∫ xdx
x+√ x2−6 x+9=∫ xdx
x+√ ( x−3 )2
∫ xdx
x+√ x2−6 x+9=∫ xdx
2 x−3
hacemoscambiode variable
⟹ ! =2 x−3
! +3
2 = x
d!
2 =dx
⟹∫ xdx
x+√ x2−6 x+9=∫ (! +3 )
2 !
d!
2
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⟹∫ xdx
x+√
x2
−6 x+9
=1
4∫ ( ! +3 ) d!
!
⟹∫ xdx
x+√ x2−6 x+9=
1
4∫ d! +
3
4∫ d!
!
⟹∫ xdx
x+√ x2−6 x+9=
1
4 ! +C 1+
3
4 ln|! |+C 2
⟹
∫
xdx
x+√ x2−6 x+9
=2 x−3
4
+3
4
ln|2 x−3|+C;dondeC =C 1+C 2
f ¿∫ xdx
√ sin ( x )+1
hacemoscambiode variable
! 2=sin ( x )+1
sin ( x )=! 2−1
x=sin−1 (! 2−1)
d x= 2!d!
√ 2−( ! 2−1 )2
¿∫ sin−1 (! 2−1)2!d!
! √ 2−(! 2−1 )2
¿2∫ sin−1 (! 2−1) d!
√ 2−(! 2−1)2
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¿2∫sin−1 (! 2−1 )
(
1
√ 2−(! 2
−1 )
2
)d!
¿2∫sin−1 (! 2−1 )d (sin−1 (! 2−1 ))
¿2∫[sin−1 (! 2−1) ]
2
2 +c
¿ [sin−1 (! 2−1) ]2
+c
)co( ) 1
xdx g
x −∫
2 2 2
:
co( ) 1 co( ) 1 arcco( 1)
sea
x t x t x t − = = = + = = +
( )
2
22
:
2arcco( 1)
1 1
derivando
tdt x t dx
t
−= + = =
− +
( ) ( )
2 22 2
2 22 2
:
arcco( 1) arcco( 1)2 2 2 arcco( 1) (arcco( 1))
co( ) 1 1 1 1 1
reemplazando
xdx t tdt t dt t d t
x t t t
+ − += − = = + +
− − + − +∫ ∫ ∫ ∫
22 arcco( 1)co( ) 1
xdxt
x= +
−∫
h¿∫ x dx
√ ln ( x )+2
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Sea : ln ( x )+2=m2
x=em
2−2
dx=em
2−2 (m )dm
∫ xdx
√ ln ( x )+2
¿∫ e
m2−2
(em
2−2
)2mdmm
¿2∫ em
2−4dm
¿ 2
e4∫ e
2m2
2mdm
( )).
2 1
dxi
x sen x +∫
( ) ( )22 1 2 1 sen x t t sen x⇒ + = = +
( ) 22 1 sen x t = −
( ) ( )2 1
2co 2 22
arcsen t x dx tdt x
−= =
( )
( )co 2
co 2
dx xtdt dx dt
x t = → =
( ) ( )2 22 co 2 1 sen x x+ =
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( ) ( )2co 2 1 2 x sen x= −
( ) ( )2
2co 2 1 1 x t = − −
( ) ( ) ( )2
2
co 2 12 1
dx tdt
x arcsen t t x sen x=
−+∫ ∫
( ) ( ) 22 2
2
1 1 1
tdt
tarcsen t t
=− − −∫
( ) ( )2
2 2
1 2
1 1 1
tdt u dv
t arcsen t t
= =− − −
( )( )
( )( )
2
2 2
1
1
d arcsen t dt du dv
t arcsen t
−−= =
−∫ ∫
( )2ln 1v arcsen t = −
( ) ( ) ( )2
2
2
ln 1 11ln 1
arcsen t dt arcsen t
t t
− −− − ∫
( )( )( )
( )( ) ( )3
ln 2 ln 2 co 22 1
arcsen sen x arcsen sen x dx xt sen x
++ ∫
( )( )
( )
( )( ) ( )
( )( )3
ln 2 ln 2 co 2
2 1 2 1
arcsen sen x arcsen sen x x dx
sen x sen x
++ +
∫
.continuar"
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j ¿∫ x2dx
x+√
x2
−4 x
9acemoscambio devariable
Sea : x+√ x2−4 x=!
x= !
2! −4
x=
! 2
2 ( ! −2 )
d x=: &
: x
! 2
2 (! −2 )
d x=1
2 [ ( ! −2 ) 2 ! 2d! −!
2d!
( ! −2 )2 ]d x=
1
2 [2 ! (! −2 ) d!
( ! −2 )2 −
! 2d!
( ! −2 )2 ]d x=
1
2 [2 ! ( ! −2 ) d!
( ! −2)2 −
! 2d!
( ! −2 )2 ]
∫ x
2
dx x+√ x2−4 x
=∫ !
4
4 (! −2 )2 (1
! )( 2
! ! −2− !
2
(! −2)2 )d! 2
¿1
8∫ !
3
(! −2 )2 ( 2!
! −2−
! 2
( ! −2 )2 )d!
¿1
4∫ !
4
( ! −2 )3−
1
8∫ !
5
( ! −2)4 d!
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¿1
4∫ !
4
( ! −2
)
3−
1
8∫
{! 5 }u
{(! −2 )−4 }d!
v
¿1
4∫ !
4d!
( ! −2 )3−
1
8∫ −!
5
3 ( ! −2 )3+5
3∫ !
4
( ! −2 )3 d!
¿ 1
24∫ !
4d!
( ! −2 )3+ 1
24 [ ! 5
( ! −2 )3 ]
¿ 124∫ {!
4
}u {(! −2 )
−3
d! }v + 1
24 [ !
5
(! −2 )3 ]¿ 1
24∫ −!
4
2 ( ! −2 )2+2∫ !
3
( ! −2 )2 d! +
1
24∫ !
5
( ! −2 )3
¿ 1
−48∫ !
4
(! −2 )2+ 1
12∫ −!
3
! −2+3∫ !
2
! −2 d! +
1
24∫ !
5
( ! −2 )3
¿ 1
−48∫ !
4
( ! −2 )2−
1
12 [−! 3
! −2 ]+ 3
12∫ !
2
! −2d! +
1
24 [ ! 5
( ! −2 )3 ]
¿ 1
24∫ !
5
( ! −2 )3−
1
48
! 4
( ! −2 )2 −
1
12 [ ! 3
! −2 ]+ 1
4 [! +2+ 4
! −2 ]d!
¿
1
24∫ !
5
( ! −2 )3−
1
48
[ !
4
(! −2 )2
]−
1
12
[ !
3
! −2
]+1
4
[! 2
2
]+1
4 [2
! ]+
1
4 [4 ln
(! −2
) ]
¿ 1
24∫ !
5
( ! −2 )3−
1
48 [ ! 4
(! −2 )2 ]− 1
12 [ ! 3
! −2 ]+ 1
8[! 2 ]+1
2[ ! ]+ln (! −2 )+c
¿ 1
24∫
( x+√ x2−4 x )5
( x+√ x2−4 x )3−
1
48 [ ( x+√ x2−4 x )4
( x+√ x2−4 x−2)5 ]− 1
12 [ ( x+√ x2−4 x)3
( x+√ x2−4 x−2) ]+¿
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+18
[ ( x+√ x2−4 x )2 ]+ 1
2( x+√ x2−4 x )+ln ( x+√ x2−4 x−2)+c
¿∫√ 2+(sin ( x ) )2 cos ( x )dx
hacemoscambiode variable
⟹ sin ( x )=m
cos ( x ) dx=dm
dx= dm
cos ( x )
⟹∫√ 2+(sin ( x ) )2 cos ( x )dx=∫ √ 2+m2cos ( x ) dm
cos ( x )
⟹∫√ 2+(sin ( x ) )2
cos ( x )dx=∫ √ 2+m2dm
⟹∫√ 2+(sin ( x ) )2
cos ( x )dx=∫(2+m
2 ) dm
√ 2+m2
⟹∫√ 2+(sin ( x ) )2cos ( x )dx=∫ m2dm
√ 2+m2+2∫ dm
√ 2+m2
hacemo s cambiodevariable
⟹u=m∧dv= mdm
√ 2+m2
du=dm∫dv=∫ mdm
√ 2+m2
du=dm v=√ 2+m2
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⟹∫ √ 2+m2dm=m√ 2+m
2−∫√ 2+m2dm
⟹2∫√ 2+m2dm=m√ 2+m
2+2ln|m+√ 2+m2|+C
⟹∫ √ 2+m2dm=
1
2 m√ 2+m
2+ ln|m+√ 2+m2|
⟹∫√ 2+(sin ( x ) )2cos ( x )dx=1
2sin ( x )√ 2+( sin ( x ) )2+ ln|sin ( x )+√ 2+(sin ( x ) )2|
l¿∫√ 2+sen2 ( x ) sen ( x ) dx
sea: ! =√ 2+sen2 ( x )
! 2=2+sen
2 ( x )
sen2 ( x )=! 2−2
sen( x)=√ ! 2−2
x=arcsen (√ ! 2−2 )
dx= 1
√ 1−(√ ! 2−2 )2d(√ ! 2−2)
dx= 1
√ 1−(√ ! 2−2)2.
2!
2√ ! 2−2
d!
dx= !d!
(√ 3−! 2 ) (√ ! 2−2 )
En la inte!ral:
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∫√ 2+sen2 ( x ) sen ( x ) dx
∫ ! √ ! 2−2 . !d!
(√ 3−! 2 ) (√ ! 2−2)
∫ ! 2d!
(√ 3−! 2 )
Sea: √ 3−! 2=m
3−! 2=m
2
3−m2=!
2
! 2=3−m
2
! =√ 3−m2
d! = 1
2√ 3−m2
.(−2mdm)
d! =−mdm
√ 3−m2
En la inte!ral:
∫ ! 2
d! (√ 3−!
2 ) = ∫ (3−m2
)(m)
. −mdm
√ 3−m2=∫ (m
2
−3)dm
√ 3−m2
=−∫ √ 3−m2dm
−∫√ 3−m2dm=
1
2m√ (√ 3 )2−m
2−(√ 3 )2
2 arcsen( m√ 3 )=1
2m√ 3−m
2−3
2 arcsen( m√ 3 )
A"ora:
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2+sen2 ( x )
¿3−¿
m=√ 3−! 2=√ ¿
−∫√ 3−m2dm=
1
2m√ (√ 3 )2−m
2−(√ 3 )2
2 arcsen( m√ 3 )=1
2m√ 3−m
2−3
2 arcsen( m√ 3 )
−∫ √ 3−m2dm=
1
2
cos ( x )√ 3−cos ( x)2−3
2
arcsen
(cos ( x)
√ 3 ) ∫√ 2+sen
2 ( x ) sen ( x ) dx=∫√ 3−m2dm
¿3
2 arcsen(cos ( x )
√ 3 )−1
2cos ( x)√ 3−cos ( x )2
m¿∫√ x−2
x+2 d ( x )
¿∫ √ x−2
√ x+2d ( x)
¿∫ x−2
√ x2−4
d( x )
u= x2−4
x=√ u+4
d ( x )= d (u)
2√ u+4
¿∫ √ u+4
−2
2√ u√ u+4d (u)
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¿∫ √ u+42√ u√ u+4
d (u)−∫ 2
2√ u√ u+4d (u)
¿1
2∫ 1
√ ud(u)−∫ 1
√ u√ u+4d (u)
¿1
2∫ 1
√ ud(u)−∫ 1
√ u2+4 ud (u)
¿1
2
∫ 1
√ ud(u)−∫ 1
√ (u+2)2
−22
d (u)
¿√ u+c1−ln|u+2+√ u2+4 u|
¿√ x2−4+c1− ln| x2−2+ x√ x2−4|+c 2
¿√ x2−4±ln| x2−2+ x √ x2−4|+C
n¿∫ 5√3 x−4
2 x+1 d ( x )
¿∫5√ 3 x−4
5√ 2 x+1
¿∫ 3 x−4
5√ 2 x+15√ (3 x−4)4 d ( x)
u= 5√ 3 x−4
d (u )= 4 d( x )
55√ (3 x−4)4
x=u5+4
3
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¿∫5 (3 x−4 )
5√ (3 x−4 )4
3 x
5
√ 2 x+
15
√ 3 x−
4d (u)
¿∫ 5u5
5√ 2u
3 +
8
3(u5+4)
d (u)
¿5
5√ 35√ 2 ∫ u
5
5√ u5+4 (u5+4 )d (u)
¿5
5√ 35√ 2 ∫ u
5+4−4
5√ u5+4 (u5+4 )d (u)
¿5
5√ 35√ 2
(∫ u5+4
5√ u5+4 (u5+4 ) d (u )−∫ 4
5√ u5+4 (u5+4) d (u ))
¿5
5√ 35√ 2
(∫ 1
5
√ u5+4
d (u)−∫ 4
5
√ u5+4 (u5+4)
d (u ))
¿5
5√ 35√ 2
(∫ 1
5√ u5+4
d (u)−∫ 4
5√ u5+4 (u5+4) d (u ))
¿5
5√ 35
√ 2(5 (u5+4 )
4
5
4 +
5
(u5+4 )1/5)
¿5 5√ 35
√ 2(5 (3 x )4 /5
4 +
5
(3 x )1/5)
( )
( )
3
2 6 5).
x x dxo
x x x
+
−∫
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( )
( )
3
2 6 5
30 x x dx
hallando mcm
x x x
+= =
−∫ 30 29: 30 sea x z dx z dz = =
( )
( )( )
( )
( )
( )
3 10 15 29 39 44
60 5 6 65 662 6 5
:
3030
reemplazando
x x dx z z z dz z z dz
z z z z z x x x
+ + += =
− −−∫ ∫ ∫
( )
( )
( )
( )
5 5
26 27 26 27
1 130 30
z dz z dz
z z z z
+ += =
− −∫ ∫
( )( )
5
26
130 int
1
z dz #plicando el m$todo de egarción de
z z
+= ⇒
−∫
: fracciones parciales
( )( ) ( )
5
1
26 26 25 24 23
130 ......................
11
z dz K # % C D &
z z z z z z z z
+= = + + + + +
−−∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 2 3 26
11 1 1 1 1 .......................... z # z %z z Cz z Dz z K z + = − + − + − + − + +
2 2 3 3 4 ................................. # #z %z %z Cz Cz Dz Dz − + − + − + − +
int formando ecuaciones de egraciones
11" 1" 1" 1" ................. 1 # % C D K = = = = =
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( )( ) ( )
5
26 26 25 24 23
:
1 1 1 1 1 1 130 30 .....................11
'eemplazando
z dz z z z z z z z z
+ = = + + + + + ÷ ÷−− ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
25 24 23 22
30 ..........................ln ln 125 24 23 22
z z z z z z C
− − − − = + + + + + − + ÷− − − −
30 30
:reemplazando
x z z x= ⇒ =
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
25 24 23 2230 30 30 30
30 3030 ..........................ln ln 125 24 23 22
x x x x x x C
− − − − ÷= + + + + + − + ÷− − − − ÷
-¿∫√√ sen( x)−2
sen ( x )+2dx
Solución:
∫√√ sen( x )−2
sen ( x )+2dx = ∫( sen ( x )−2
sen ( x )+2 )1
4 dx
Si: u= √ sen ( x )−2
sen ( x )+2d(
u2 sen ( x )+2u2=sen ( x )−2
u2sen ( x )−sen ( x )=−2u
2−2
sen ( x )=2(u2+1)
1−u2
sen−1
*()
(2 (u2+1)
(1−u2))=( d(=
√1−(
2
(u2+1)
(1−u2))2
du
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d(=
√(1−u
2)2−4 (u2+1 )2
(1−u2
)2 du=
√1+u
4−2u2−4 (u4+2u
2+1)
(1−u2
)2
du =
√ 1+u4−2u
2−4u4−8u
2−4
(1−u2 )2 du
d(=√ −3−3u
4−10u2
(1−u2 )
du
d(=u
1
2 (1−u2 )
√ −(3u4+10u
2+3)du
r ¿∫ √√ tan ( x )+1tan ( x )−1
dx
S.: u=tan ( x )+1
tan ( x )−1
utan*()-*u-/)=u+/
0an*() *u+/)=u+/
0an*()=u+1u−1
(= tan−1(
u+1u−1
) d(=
1
1+(u+1u−1
)2 du
∫4√ u %
1
( u+1u−1 )2
du= ∫ u
1
4
1+ u
2+2u+1u2−2u++1
du= ∫
u1
4 (u−1 )2
2 (u2+1) du
S.: = u2
+1 u= √ v−1
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d=1
2√ v−1du
∫8√ v−1 (√ v−1−1 )2
2v (2√ v−1 ) dv =
∫8√ v−1 (v−2√ v−1 )
4 v √ v−1dv=∫ (
8√ v−1 ( v )
4 √ v−1−
28√ v−1 (√ v−1 )4v √ v−1 )dv
¿ 1
4∫
8√ v−1
√ v−1 dv−1
2∫
8√ v−1
v dv
Si:1=-/=1+/
d=d1
0+1¿¿
0
1
8 ¿1
4∫
8√ v−1
√ v−1dv−
1
2∫
8√ v−1
v dv=
1
4∫0
−34 d0−
1
2∫ ¿
0+1¿¿
0
1
8 ¿
¿05
8−1
2∫ ¿
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∫√√ tan ( x )−2
tan ( x )−1dx =*
tan ( x )−2
tan ( x )−1
tan ( x )−2
tan ( x )−1
tan ( x )−2
tan ( x )−1
¿¿5
4−1
2∫ ¿
1
4 (( tan ( x )−2
tan ( x )−1)2
+1)−1
d (¿+1)
2
42
4)
4
xt
x
+−∫
24
2
4
4
xu
x
+=
−
( )
4 2 4 2
4
4
4 4
4 1
1
u x u x
u x
u
− = +
+=
−
( )
4 3
24 4
8 1
1 1
u udx du
u u
− − ÷= ÷ ÷ ÷+ −
( )( )
( )( )
3 4 4 4
2 24 4
1 18 8
1 1
uu u du u u du
u u
− −⇒ − = −
− −∫ ∫
4
4
1
1
v u
v u
= −
+ = ( )3
4 1
dvdu
v
=+
( )
( )
( )1#4
2 3 3
1 12 2
4 1
v v v dvdv
v vv
+ + ÷ ÷⇒ − = − ÷ ÷ ÷ ÷+ ∫ ∫
! v= 2! v= ( )2dv ! d!=
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( )
( )
3
4 4
.8
1 1
z z dz
z z
÷⇒ − ÷− − ∫
( )3
4 1
z dz dv
z =
− ( )
345
4ln 1
1
z v z v
z = − ⇒ =
−
( ) ( )( )
4 4 4
2 24 4
1 4 3 1
1 1
z z z z z du dz
z z
− − + − + −= =
− −
( ) ( ) ( )
( )( )
3 34 45 5
24 4
2 1ln 1 ln 1
1 1
z z z z dz
z z
+ ÷− + − ÷ ÷− − ∫
( )
( )
4
3 7 3.)
x x dx
x x x
+
−∫
( )
( )( )
( )
4 1#4 1#2
3 1#7 1#33 7 3
Solcin:
x x dx x x dx
x x x x x x
+ +=
−−∫ ∫
2
1 1 ea: != d!= dt
t t ⇒
eem%la,ando e tiene:
( )
( ) ( )( )
1#4 1#2
5 3
23 1#7 1#3 7 3
1 1
1d =
1 1 1
t t t t t dt
t t t
t t t
+ ÷ ÷ ÷ ÷ + ÷ − − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
∫ ∫
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( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
3 2 2
4 4 23
1 1
1 1 1
t t t dt dt dt
t t t t
+ += = =
− − −∫ ∫ ∫
( )( )2
1 1ln .
2 11
dt t C
t t
−= +
+−∫
( )( )2
1eem%la,ando:t=
1
11ln .
121 1
x
dt x C t
x
−= +− +
∫
x¿∫√ 3√ 4√ 3 X +52 X −3
d ( x)
¿∫√ 3√ 4√( 3 X +52 X −3 )
29
d( x)
19
4 X −6=(
24−3
2
19
( 24−
3
2
=4 X −6
19
( 24−3
2
+6=4 X
19+6( 24−9
( 24−
3
2
=4 X
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6( 24+10
( 24
−3
2
=4 X
3( 24+5
2( 24−3
= X
dx=(2(
24−3 )72( 23−(3(
24+3 )48( 23
(2( 24−3 )2
dx=(−216( 23−240(
23
(2( 24−3 )2 )d!
dx=( −456( 23
(2( 24−3)2 )d!
¿∫( (−456)(
23d!
(2( 24
−3 )
2
¿−456
4 ∫(
( 24
d!
(2( 24−3 )2
¿−456
4 ∫(
( 24
d!
(2( 24−3
2 )2
du=d! v= −1
24(( 24−
3
2)
¿−114 [ −(
24(( 24−
3
2 )+ 1
24∫ d!
( 24−(√3
2 )2 ]
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¿ 19
( 4((
24−3
2 )−
19
4
( 1
2√3
2 )ln
|(
12−
√3
2
( 12+√3
2 |¿
1924√ 3 x+3
2 x−3
4( −19
2 (2 x−3 ) )−
19
8√3
2
ln|√ 3 x+32 x−3
−√3
2
√ 3 x+32 x−3
+√3
2|
¿
24√ 3 x+32 x−3
2 (2 x−3)−
19
8 (√3
2 )ln|√
3 x+3
2 x−3−√3
2
√ 3 x+32 x−3
+√3
2| +c
5. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
a¿∫ ( x+3 ) dx
x2
√ 4− x2
sen<= x
2 x=2sen<
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Escuela Académica Profesioal de I!eier"a Ci#il$H#ca
dx=2cos<d<
∫ (sen<+3 )2cos<d<
sen2<√ 4−sen
2<
∫ (2sen<+3 )2cos< d<
(2 sen< )2√ 4−4 sen2<
∫ (2 sen<+3 ) 2cos<d<
(2sen< )22cos<
∫ (2 sen<+3 ) d<
4 sen2<
1
4∫ (2 sen<+3 ) d<
sen2<
1
4∫
2sen<d<
sen2
<
+3
4∫
d<
sen2
<
2
4∫ d<
sen<+3
4∫ csc
2<.d<
1
2∫ csc<d<+
3
4∫ csc
2<.d<
1
2 ln
|csc<−c!g<|−
3
4 c!g<+C
1
2 ln|2 x−√ 4− x
2
x |−3
4
x
√ 4− x2+C
1
2 ln|2−√ 4− x
2
x |− 3 x
4√ 4− x2+C
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b¿∫ x6dx
( x2
−5
)
3=∫ x
6dx
√ ( x2
−5 )
6 x=√ 5 sec (< )
dx=√ 5sec (< ) !g(<)d<
∫ x6dx
( x2−5)3=∫
(√ 5 sec (< ) )6√ 5 sec (< ) !g(<)d<
( (√ 5 sec (< ) )2−5)3
=√ 5∫ sec7.<.d<
tan5<
√ 5∫ csc5<.sec
2<d<
Sea: u=csc5< dv=sec
2<d<
du=−5csc5< .co!<d<v=!g<
√ 5∫ csc5<.sec
2<d<=√ 5 [csc
5<!g<+5∫ !g< . csc
5<.co!<d< ]
¿√ 5 csc5<!g<+5√ 5
∫csc
5<d<
¿√ 5 csc5<!g<+5√ 5∫csc
3<.csc
2<d<
¿√ 5 csc5<!g<+5√ 5∫csc
3< . [1+c!g
2< ] d<
¿√ 5 csc5<!g<+5√ 5∫csc
3<d<+5√ 5∫csc
3<.c!g<.d<
&rimera parte:
∫csc3<d<
Sea: csc<=m
<=arccsc (m)⇒
d<= −dm
m√ m2−1
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⇒ ∫csc
3<d<=∫m
3 −dm
m
√ m
2−1
=−∫m . mdm
√ m
2−1
Sea: u=mdu=dm
dv= mdm
√ m2−1
v=√ m2−1
−∫m. mdm
√ m2−1
=−[m√ m2−1−∫ √ m2−1dm ]
−∫ m2dm
√ m2−1=−m√ m2−1+∫ √ m2−1dm
−∫ m2dm
√ m2−1=−m√ m2−1+∫ m
2−1
√ m2−1dm
−2∫ m2dm
√ m2
−1
=−m√ m2−1−∫ dm
√ m2
−1
−∫ m2dm
√ m2−1=−m√ m2−1
2 −
ln (m+√ m2−1)2
∫csc3<d<=−∫ m
2dm
√ m2−1=−1
2 [m√ m2−1+ ln (m+√ m2−1)]
¿−12 [ csc<√ csc<
2−1+ln (csc<+√ csc<2−1 )]
¿−1
2 [csc< . c!g<+ ln (csc<+c!g<) ]
Se!unda parte:
∫csc3<.c!g<.d<=∫ csc
2<.csc<c!g<.d<
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Sea: u=csc2< du=−2csc
2<c!g<
dv=csc<c!g<.d< v=−csc<
∫csc3<.c!g<.d<=−csc
3<−2∫ csc
3< c!g<d<
3∫ csc3<.c!g<.d<=−csc
3<
∫csc3<.c!g<.d<=
−csc3<
3
∴∫ x6dx
( x2−5)3=√ 5csc
5<!g<+5√ 5∫ csc
3<d<+5√ 5∫ csc
3<.c!g<.d<
¿√ 5 csc5<!g<+5√ 5 {−1
2 [csc< . c!g<+ ln ( csc<+c!g<) ]}+5√ 5 [−csc
3<
3 ]
¿√ 5 ( x√ x2−5 )
5
(√ x
2
−5√ 5 )−
5√ 52 ( x√ x2−5 )( √ 5√ x2−5 )−
5√ 52 ln
| x
√ x2−5+ √ 5√ x2−5|
−5√ 53 [ x√ x2−5 ]
3
¿ x
5
( x2−5 )2−
25
2 ( x
x2−5 )−5√ 5
2 ln( x+√ 5
√ x2−5 )−5√ 53
x3
(√ x2−5)3+c
c ¿∫ ( x+3 )dx
x2√ 4− x
2sen<=
x
2 x=2 sen<
dx=2cos<d<
∫ (sen<+3 )2cos<d<
sen2<√ 4−sen
2<
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∫ (2 sen<+3 )2cos<d<
(2 sen<
)
2
√ 4
−4 sen
2<
∫ (2 sen<+3 ) 2cos<d<
(2sen< )22cos<
∫ (2 sen<+3 ) d<
4 sen2<
1
4∫(2 sen<+3 ) d<
sen2<
1
4∫ 2sen<d<
sen2<
+3
4∫ d<
sen2<
2
4∫ d<
sen<+3
4∫ csc
2<.d<
1
2∫ csc<d<+3
4∫ csc2<.d<
1
2 ln|csc<−c!g<|−3
4 c!g<+C
1
2 ln|2 x−√ 4− x
2
x |−3
4
x
√ 4− x2+C
1
2 ln|2−√ 4− x
2
x |− 3 x
4√ 4− x2+C
d) ∫ e5 x
dx
x2√ 4− x2 x=2 sen<
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∫ e5 (2sen<) (2cos<d< )
(2
sen< )
2
√ 4
−(2
sen< )
2dx=2cos<d<
∫ e10 sen< (2cos<d< )
4 sen2<√ 4−4 sen
2<
∫ e10 sen<
cos<d<
2sen2< .2√ cos2<
∫ e
10 sen<cos
<d<4 sen
2< .cos<
1
4∫ e
10sen<d<
sen2<
1
4∫ csc
2< .e
10 sen<d<
e¿∫ √ 3− x2dx
3√ 3− x2
x=√ 3 sen<
∫(3−(√ 3 sen< )2 )
1
2√ 3cos< dx
(3−(√ 3 sen< )2)
1
3
dx=√ 3cos<d<
∫(3−(√ 3 sen< )2)
1
2√ 3cos< dx
(3−(√ 3 sen< )2)
1
3
∫(3−3 sen2< )
1
2 √ 3cos< dx
(3−3 sen2< )
1
3
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∫
√ 3 (1−sen2< )1
2√ 3cos< dx
3√ 3(1−sen2< )
13
33
√ 3∫
(cos2< )1
2cos< dx
(cos2 < )1
3
33√ 3∫ cos
2<dx
cos
2
3
<
3
3√ 3 [ (cos < )4
3 +2
4
3+1
+c ]3
3
√ 3
[3 (cos< )
7
3
7 +c
]9 ( cos< )
7
3
73√ 3
+c
9
7 3
√ 3 ( √ 3− x2
√ 3 )7
3
+c
i¿∫ x2√ x2+4 x+6dx
¿∫ x2√ ( x+2 )
2
+2dx
¿∫ x2√ ( x+2 )
2
+2dx
¿∫ (√ 2tan (< )−2)2√ 2 sec (< ) .√ 2 sec2 (< )d<
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¿∫ (2tan2 (< )−4√ 2tan (< )+4 ) .2 sec3 (< )d<
¿∫ (4 sec3 (< ) . tan2 (< ) )d< - ∫ (8√ 2sec
3 (< ) . tan2 (< ) )d<+∫8 sec3 (< ) d<
¿ 4 sec
4 (< )4
−8√ 2 sec
4 (< )4
+8∫ (1+ tan2 (< ) ). sec(< )d<
¿sec4 (< )−2√ 2 sec
4 (< )+8∫ sec (< ) d<+8∫ tan2 (< ).sec (< ) d<
¿sec4 (< )−2√ 2 sec
4 (< )+8 ln|sec (< )+ tan (< )|+8 tan3
(< )3 +c
¿( √ x2+4 x+6
√ 2 )4
−2√ 2( √ x2+4 x+6√ 2 )
4
+8ln|√ x2+4 x+6+ x+2
√ 2 |+ 8
3 ( x+2
√ 2 )3
+c
k .∫3
√ [1+ tan ( x ) ]4
dx
∫3√ [1+[ tan ( x ) ]
2 ]4
dx=∫ (1+[ tan ( x ) ]2 ) 3√ 1+ [ tan ( x ) ]
2
dx
⇒∫ sec (< ) sec(< )2
3 d<=∫ [sec (< ) ]8
3
∫ [ sec (< ) ]8
3=∫ (1+[ tan (< ) ]2 ) [sec (< ) ]
2
3 d<
∫ [ sec (< ) ]8
3=∫ sec (< )2
3 d<+∫ [ tan (< ) ]2 [sec (< ) ]2
3 d<
[sec (< ) ]2
3 d<+¿∫ [( sec (< ) )2−1] [sec (< ) ]2
3 d<
∫ [sec (< ) ]8
3=∫¿
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[sec (< ) ]2
3 d<+¿∫ [sec (< ) ]8
3 d<−∫ [sec (< ) ]2
3d<
¿∫ ¿
∫ [ sec (< ) ]8
3=3 [ sec (< ) ]
2
3
2 +
2
5∫ [sec (< ) ]
2
3 d<
¿3
2 [√ 1+[ tan ( x ) ]
2 ]2
3tan ( x )+ 2
5∫ [1+ [ tan ( x ) ]
2 ]1
3dx
l∫3
√ [ sec ( x ) ]2−1dx
∫3
√ [sec ( x ) ]2−1dx=∫ [ tan ( x ) ]8
3dx
∫ [tan
( x ) ]
8
3
dx=
3 [ tan ( x ) ]5
3 dx
5 −∫ [tan
( x ) ]
2
3
dx
n!oncesin!egrando "or "ar!es !enemoslo siguien!e
Seau=[ tan ( x ) ]2
3 , dv=dx
du=2 [sec ( x ) ]2dx
33
√ tan
( x
)
, x=v
⇒∫ [ tan ( x ) ]8
3 dx=3 [ tan ( x ) ]
5
3 dx
5 − x [ tan ( x ) ]
2
3+2
3∫ x
[ sec ( x ) ]2
dx3√ tan ( x )
ñ¿∫ x.dx3√ (3+ x2)4
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x . dx3
√ (3
+ x
2
)
4=¿∫ √ 3 tan(<). dx
3
√ (3
+3 tan
2
(<))
4
∫ ¿
¿∫ √ 3tan (<).√ 3 sec2(<)
3√ 3(1+ tan2(<))4
d<
¿∫ 3 tan(<). sec2(<)
3√ 34. [ sec
2(<) ]4
3❑
d<
¿ 33√ 34∫ tan(<) .sec
2(<)
[sec(<)]8
3❑
d<
¿ 3
3
3
4
∫ tan(<).sec2(<) . [sec(<)]
−8
3 d<
¿3−13 ∫ tan(<). sec(<)[ sec(<)]
−53 d<
¿3−1
3 sec
−5
3+1(<)
−2
3
¿3
−1
3 sec
−2
3 (<)
−2
3
¿3
−1
3.3
−2 sec
−2
3 (<)
¿ 3
2
3
−2.
1
3√ sec (<)2
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¿−
3√ 32
2 .
1
3
√( √ 3+ x
2
√ 3 )2
¿−
3√ 32
2 .
3
√ 3 1
3
√ (√ 3+ x2)2
¿−3
2 .
1
3
√ (√ 3+ x2 )2+c
o¿∫ cos ( x)dx√ cos2 ( x )−2
sea ;cos2 ( x)=!
⇒∫ cos ( x )dx
√ cos2 ( x )−2
¿−1
2∫ √ ! d!
√ ! −2(√ ! √ ! −1)
¿−1
2∫ d!
√ ! 2−3! +2
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1
2
¿¿¿2
(! −3
2)2
−¿
√ ¿d! ¿
¿−1
2∫¿
=sandoel!ercer casodel m%!ododela sus!i!ución! rigonom%!rica endonde;
x=asec ( ! )enes!e casoseria; ! −3
2=
1
2sec (∝)
1
2
¿¿¿2
(1
2 sec (∝))
2
−¿
√ ¿tan (∝)sec (∝)d∝
¿
¿−1
2∫ ¿
¿−∫ tan (∝)sec (∝)d∝tan (∝)
¿−∫ sec (∝)d∝
¿−ln∨sec (∝)+ tan (∝)∨+c
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( )
( )3
25
4)
5
x dx p
x
+
−∫
5 ( )
5 ec( ) tan( )
x Sec
dx d
θ
θ θ θ
=
=
( ) ( )3#5 3#5
2 2
( 5 ec( ) 4) 5 ec( ) tan( ) ( 5 ec( ) 4) 5 ec( ) tan( )
5ec ( ) 5 5 tan ( )
d d θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ
+ + ÷= ÷−
∫ ∫
( )( )
1#5
6# 55 5
5 ( 5 ec( ) 4)ec( ) tan( ) 5( 5 ec( ) 4)ec( ) tan( )
125 125tan( )
d d
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ
− + ÷ = + ÷
∫ ∫
( ) ( )1#5 1#5
5
55 ec( )ec( ) tan( ) 4 ec( ) tan( )
125d θ θ θ θ θ θ
− − + ∫ ∫
( ) ( ) ( )2 1#5 1#5
5 5
5 4 5ec( ) tan( ) ec( ) tan( )
125 125d d θ θ θ θ θ θ
− −+∫ ∫
( )4#5
1#5
5 5
25 tan( ) 4 5ec( ) tan( )
4125 125d
θ θ θ θ
− + ÷ ÷
∫
2 45) (6 )
xdx
( x−∫
6 ( )
6 co( )
x Sen
dx d
θ
θ θ
=
=
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( )( ) ( )( )4# 54 2
25
6 ( ) 6 co( ) 6 ( ) co( )
6 co( )6 6 ( )
sen d sen d
Sen
θ θ θ θ θ θ
θ θ
=
−∫ ∫
3#5
5 4
6( ) co( )
6 sen d θ θ θ −∫
2#5 2#5
5 5 54 4 4
6 5co( ) 15co( )
6 2 6 6
d θ θ θ − −= ÷ ÷
∫
2#52
5 4
15 6
66
xC
− −+ ÷ ÷
r ¿∫3
√ (1+ x2 )2 dx=∫ (1+ x2 )2
3 dx
Sea tan (< )= x
dx=[ sec (< ) ]2d<
⇒∫ (1+ x2 )2
3 dx=∫ [sec (< ) ]2
[ sec (< ) ]2
3 d<
∫ (1+ x2
)
2
3
dx=∫ [sec (< ) ]
2
3
(1+[ tan ( x ) ]2
)d<
∫ [ sec (< ) ]2
3 d<+∫ [ sec (< ) ]2
3 [ tan ( x ) ]2
∫ [sec (< ) ]2
3
tan4 (< )
d<+∫ [ sec (< ) ]2
3 [ tan ( x ) ]2
tan4 (< )
d<
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∫ [ sec (< ) ]2
3 ( tan (< ))−4
d<+∫ [sec (< ) ]2
3 [ tan ( x ) ]−2
d<
s ¿∫6
√ (4− x2 )5 x x
2−4dx=∫
(4− x2 )5
6
x2−4
dx
∫6
√ (4− x2 )5 x dx
x2−4
=∫6
√ (22− x2 )5 xdx
x2−4
x=2sin (< )=¿dx=2cos (< )d<
∫6
√ (4− x2 )5 x dx
x2−4
=∫6
√ (4−4sin2 (< ) )5.2sin (< ) .2cos (< )d<
4sin2 (< )−4
sin
6
√ 45 (1−sin2 (< ) )
5
.4sin (< ) .cos (<)d<
4(¿¿ 2 (< )−1)¿∫¿
¿∫6√ 45 6√ cos10(<)
−cos2 (< )
=−6√ 45∫ cos (< )5/3sin (< )
cos (<) d<=−
6√ 45∫ cos (< )2/3 sin (< )d<
¿6√ 45∫−s∈(< )cos (< )
2
3 d<=6√ 45
. cos (< )
5
3
5
3
=3
6√ 45
5 (cos (< ) )
5
3
¿3
6√ 45
5 ( √ 4− x2
2 )5 /3
+k
! ¿∫ 6√ (5−sin( x ))3 dx
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a"licandoel m%!odode sus!i!ución !rigonom%!rica!enemos :
¿∫√ 5−sin( x )dx 1
sea: sin ( x )=(√ 5sin(m))2
(√ 5sin(m))2
¿∫√ 5−(√ 5sin(m))2
dx √ 1−(√ 5sin(m))4
x
¿∫√ 5−5sin2(m)dx & ademas; dx=
2√ 5 si n(m)cos(m)dm
√ 1−(√ 5sin (m))4 x
¿∫√ 5cos (m)2√ 5sin(m)cos(m)dm
√ 1−(√ 5sin(m))4
¿∫ 10sin(m)cos(m)cos(m)dm
√ 1
−(√ 5sin
(m))
4
¿5∫sin(2m)d sin(m)
√ 1−(√ 5sin(m))4
u¿∫ 6√ (4− x2)5
Solución:
∫6
√ (22− x2 )5
S.= 2 cos (! ) d( = -2 sen (! )
∫6√ (4− x
2)5=∫ 6√ (4−cos2 ( ! ))5 d(= ∫ 6√ 45(1−cos
2 (! ))5 d(
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERA
Escuela Académica Profesioal de I!eier"a Ci#il$H#ca
=6√ 45∫ 6√ (1−cos
2 ( ! ))5
dx =6√ 45∫ 6√ sen
6( x) .6√ sen
4( x)dx
=6√ 45∫ sen ( x )
6√ sen4 ( x )dx =
6√ 45∫ sen ( x ) sen2
3 ( x ) dx
Sea: u= sen2
3 ( x ) du=2
3 √ sen ( x ) d(
d=en*() d(=-co*()
6
√ 45
∫ sen ( x ) sen
2
3
( x ) dx=¿ -6
√ 45
sen
2
3 ( x ) cos( x) +
6
√ 4
5
∫2
3 √ sen ( x ) .cos
( x ) d(
= -6√ 45
sen2
3 ( x ) cos( x) +2
3
6√ 45∫√ sen ( x ) .cos( x )d(
Sea: u= √ sen ( x ) du=1
2√ sen( x) d(
d= cos
( x) d(= sen( x)
2 2 6√45∫√ ( ) ( )