SEMANA 528 de Septiembre al 2 de Octubre

1ª. PARTE: Potencia mecánica Trabajo mecánico

2ª PARTE: Elasticidad Deformación elástica

OBJETIVOS de la 1ª Parte:

Conocer y aplicar los conceptos de Trabajo y Potencia mecánicos

Comprender la relación entre Trabajo y Energía

TRABAJO

El trabajo se relaciona con la medición de la energía

El Trabajo se define como la fuerza aplicada a un objeto para desplazarlo una cierta distancia

Las unidades del trabajo se expresan en Joules (J)

TRABAJO = FUERZA x DISTANCIA

Siempre y cuando la fuerza esté en la dirección del desplazamiento

Trabajo desarrollado por una fuerza a un cierto ángulo

El trabajo que desarrolla una fuerza constante F, que forma con el desplazamiento d un ángulo α, está dado por:

α

F

d

T = F . d . cosα

El trabajo es una magnitud escalar

TRABAJO RESULTANTE

El trabajo total, T, realizado por la resultante de un sistema de fuerzas F1, F2, F3, …, etc., es igual a la suma (algebraica) de los trabajos T1, T2, T3, …etc., efectuados por cada una estas fuerzas, o sea,

T = T1 + T2 + T3 + …

EJEMPLO

Suponga que las fuerzas ejercidas por las hormigas sobre una hoja de una planta tienen las direcciones y sentidos de la figura de arriba y que la arrastran 2.0m en la dirección de F1 y F4. Además, suponga que las magnitudes son: F1=2.0x10-4N

F2=4.0x10-4N

F3=2.0x10-4N

F4=5.0x10-4N

F4

F2

F3

F1

¿Cuál es el trabajo realizado?

T1= (2.0x10-4)x(2.0)xcos0° = 4.0x10-4 J

T2= (4.0x10-4)x(2.0)xcos30° = 6.9x10-4 J

T3= (2.0x10-4)x(2.0)xcos90° = 0 J

T4= (5.0x10-4)x(2.0)xcos180° = -10x10-4 J

¿Cuál es el trabajo total realizado por las hormigas sobre la hoja?

T = T1+T2+T3+T4 = (4.0 + 6.9 - 10)x10-4 J

T = 0.9 x 10-4 J

POTENCIA(Rapidez de trabajo)

Si una fuerza realiza un trabajo ∆T durante un intervalo de tiempo ∆t, la potencia P de esta fuerza se define como:

o bien,

nrealizaciósuengastadotiempo

fuerzalaporrealizadotrabajoW =

t

TW

∆∆=

La unidad de la potencia es el watt: 1 W = 1 J/s

EJEMPLO 1 (de potencia) Una persona levanta un bloque de 10 kg en una máquina de

ejercicio de polea vertical, hasta una diferencia de altura de 1.5m, empleando un tiempo de ∆t=2s.

¿Cuál es el valor de la fuerza F, que la persona debe ejercer para que el bloque suba con velocidad constante (considere g=10m/s2)?

¿Cuál es el trabajo mecánico que debe realizar en esta operación?

F = P = mg = 10 x 10

F = 100 N

T = F.d. cos α = (100N) x (1.5m)x(cos0º) = 100x1.5x1

T = 150 J

¿Cuál es la potencia que desarrolla la persona?P = ∆T/∆t = (150J) / (2s) =75 J/s

P = 75 W

ENERGÍA

Una manera sencilla de comenzar el estudio de la energía es definiéndola como:

“La Energía es la capacidad de realizar un trabajo”

En el S.I. la unidad de la energía es el Joule (J)

ENERGÍA CINÉTICA

Cualquier cuerpo en movimiento tiene la capacidad de realizar un trabajo, y por lo tanto, un cuerpo móvil posee energía y se le representa como Ec

El trabajo de un cuerpo en movimiento es igual a la variación de su energía cinética

Entonces el trabajo de un cuerpo que pasa por un punto A con energía cinética EcA a otro punto B con energía cinética EcB es:

2

2

1mvEc =

cAcBAB EET −=

EJEMPLO Una bala de revolver, cuya masa es de 20g, tiene una

velocidad de 100m/s. Dicha bala da en el tronco de un árbol y penetra en él cierta distancia hasta que se detiene. ¿Cuál era la Ec de la bala antes de chocar con el árbol?

¿Qué trabajo realizó la bala al penetrar en el árbol?

Ec = (1/2)mv2 = (0.5)(0.02kg)(100m/s)2=(0.01)(10000)

Ec = 100J

T= ∆Ec = ECfinal – Ecinicial = 0 – 100

T = -100 JEl signo negativo se entiende porque la bala realizó un

trabajo en el árbol por lo que cedió su energía cinética

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL

La energía potencial gravitacional que posee un cuerpo con masa m puede calcularse como el trabajo que el peso de este cuerpo (mg) realizaría al caer desde esa posición al nivel de referencia dado (h). Entonces:

Cuando un cuerpo se desplaza desde un punto A hasta otro punto B, su peso realiza un trabajo igual a la diferencia entre las energías potenciales del cuerpo en esos puntos, entonces:

mghEp =

pBpAAB EET −=

EJEMPLO Un ejercicio de entrenamiento consiste en lanzar al aire una

pelota de ejercicio de masa 500g, para después cacharla y comenzar el ejercicio hasta haberla lanzado un total de 20 veces hasta una altura de 2m. ¿Cuál es el trabajo que realiza una persona en cada lanzada?

Se sabe que 1 caloría (cal) es igual a 4.1855 J. Entonces mencione cuantas calorías consumió esta persona durante el ejercicio.

El trabajo es la variación en la energía potencial gravitacional:

T = ∆Ep = mgh – 0 = (0.5kg)(9.8m/s2)(2m)

T = 9.8 J (en una lanzada)

Tomando en cuenta las 20 lanzadas entonces hay que multiplicar el resultado por 20, es decir: T = 20x9.8J

T=196 J

#cal = T/4.1855 =196/4.1855 por lo tanto #cal ≈ 46.83

Nota: un refresco azucarado contiene aproximadamente 7 kcal/g ( =7000cal/g)

EJEMPLO 2 (de potencia) Calcule la potencia de un corazón que late 70 veces por

minuto y bombea 72 cm3 de sangre en cada latido, contra una presión de 12 cm de mercurio (densidad del mercurio ρHg=13.6g/cm3 y considere g=9.8m/s2)

Para resolver este problema es necesario conocer lo que significa una presión de tantos cm de mercurio (Hg):Se usa la expresión mm de Hg ya que la presión puede expresarse sin necesidad de saber la superficie donde ejerce presión la columna de Hg. Veamos que:

A

FP =

Pero en este caso suponemos que la fuerza es la dada por la fuerza de gravedad sobre la columna de mercurio. Entonces FHg = mHg.g y si recordamos que la definición de una densidad volumétrica es ρ=m/V, entonces:

Hg

HgHg V

m=ρ

Ejemplo 2 (continúa)

Entonces al usar P y ρ, tenemos:

( )HgHgHg

HgHgHg

HgHg

Hg

HgHg

Hg

Hg

Hg

Hg

Hg

HgHg

ghP

ghV

m

V

ghm

Ah

ghm

h

h

A

gm

A

FP

ρ=

===== .

Ahora convirtamos todas las unidades al S.I.:

1cm3 = 10-6m3 y 1g/cm3 = 1 (10-3kg)/(10-6m3) = 103 kg/m3

Entonces usando la ecuación anterior para el mercurio (Hg), tenemos:

PHg= (13.6x103kg/m3)(9.8m/s2)(0.12m)

PHg = 15993.6 N/m2 (= 15993 Pa)

Ejemplo 2 (continúa)

Para el caso de la sangre bombeada por el corazón tenemos:

Pero como el corazón bombea la sangre contra la presión encontrada para el caso del mercurio (Hg), entonces Psangre= PHg.

Entonces Psangre = 15993.6 N/m2 y usando el resultado de la ecuación

anterior, tenemos que: EP,sangre = PsangreVsangre = (15993.6N/m2)(72cm3) = (15993.6N/m2)(72x10-6cm3)

EP,sangre ≈ 1.1515 J que es la energía que usa el corazón por cada latido

Pero el corazón late 70 veces, entonces la energía total ET = EP,sangre x70

ET ≈ 80.605 J

sangresangresangreP

sangre

sangreP

sangre

sangresangresangre

sangresangresangresangre

VPE

V

E

V

ghmgh

V

mghP

=∴

==

==

,

,ρ

Y como sabemos que el trabajo es T = ∆Ep , y considerando que al momento inicial el volumen bombeado era cero, entonces

T = EP,sangre – 0 ≈ 80.605 J

Luego entonces como W = ∆T/∆t y que el corazón bombea 70 veces por minuto, entonces

W = T/60s = (80.605/60)

W ≈ 1.34 watts/minuto

Ejemplo 2 (continúa)

Nota:

Entonces en un día (24horas = 24*60minutos=1440minutos) el corazón consume una energía de W = (1.34watts/minuto)(1440minutos) ≈ 1934.5 watts

Además, en una casa, un foco típico consume como máximo 100watts. Entonces el corazón usa una energía al día equivalente a (1934.5/100) = 19.3 focos

ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA Ley de Hooke:

La fuerza ejercida F por un resorte es directamente proporcional a su deformación ∆X. Si se define la constante elástica k, como una constante de proporcionalidad se puede encontrar que:

La energía potencial elástica se define como:

Cuando un cuerpo se desplaza desde un punto A hasta otro punto B, por la acción de la fuerza elástica ejercida por un resorte deformado (comprimido o estirado), el trabajo TAB que esta fuerza realiza sobre el cuerpo, es igual a la diferencia entre las energías potenciales elásticas en tales puntos, es decir:

XkF ∆=2

2

1kXEp =

pBpAAB EET −=

EJEMPLO Una persona estira lentamente un resorte de constante

elástica k=200N/m, desde su longitud inicial (sin deformación) de 50 cm, hasta que su longitud final de 60cm. Conforme el resorte se va deformando, la fuerza que ejerce sobre la

persona, ¿aumenta, disminuye o permanece constante?

¿Cuál es el valor de la fuerza que el muelle ejerce sobre la persona cuando alcanza la longitud de 60cm?

¿Cuál es el trabajo que realizó la persona para estirar el resorte hasta esta posición?

F = kX y mientras el resorte se deforma, X se incrementa, por lo que la fuerza aumentará

F = k∆X = (200N/m)(0.6-0.5m)=(200N/m)(0.1m)

F = 20 N

T = ∆Ep = (1/2)k∆X2 = (0.5)(200N/m)(0.1m)2 = (100N/m)(0.01m2) = 1 N.mT = 1 J

PRINCIPIO GENERAL DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

La energía se puede transformar de una clase a otra, pero no puede ser creada ni destruida.

De manera que la energía total es constante

CARACTERÍSTICAS

Si solamente fuerzas conservativas actúan sobre un cuerpo en movimiento, la suma de la energía cinética del mismo más su energía potencial, permanece constante en cualquier punto de la trayectoria

cp EEE +=

EJEMPLO Un deportista de snowboard se desliza desde un tobogán

con una altura de 50m. Si el peso de la persona junto con el trineo es 98kg-fuerza, calcule la velocidad que desarrollará al llegar al final del tobogán a la altura del piso.

Einicial = Efinal y como E = Ep + Ec, entonces: Einicial = Ep ya que el deportista parte del reposo y entonces v=0m/sEfinal = Ec ya que al nivel del piso h=0m

El peso mg del deportista+trineo=98NEinicial = mgh = (98N)(50m) = 4900 J

La masa del deportista+trineo=98N/g = 98/9.8 = 10kgEfinal = (1/2)mv2 = (0.5)(10kg)v2 = 5v2 J

Y como Einicial = Efinal , entonces:5v2 = 4900 ⇔ v2 = 4900/5 ⇔ v2=980 ⇔ v = √980v ≈ 31.3 m/s ≅ 112.7 km/h