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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA Facultad de Ingeniera Civil DAE Resistencia de Materiales I / EC-121 I Seminario 02
J. Condori Uribe Torsin, Ley de Hooke Generalizada
1. Un tubo circular de radio interior 1r y radio exterior
2r est sometido a un par
producido por fuerzas P=900 lb. Los pares P tienen su lnea de accin a b=5.5in
desde el exterior del tubo. Si el esfuerzo cortante permisible es de 6300psi y el
radio interior es 1
1.2r in Cul es el 2r mnimo permisible?
max 2
4 4 4
2 1 2
2 2
2 2
4
2
4
2 2 2
4 2
2 2
, (1)
2.0736 (2)2 2
El par de torsin es ( )* 2 1800(5.5 ) (3)
Ecuaciones (2) y (3) en ecuacin (1):
1800 5.5 26300=
2.0736
2.0736 0.1819 5.5
0.1819 1.
p
p
Trr r
I
I r r r
T P b r r
r r
r
r r r
r r
2
2
00045 2.0736 0
1.40
r
r in
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA Facultad de Ingeniera Civil DAE Resistencia de Materiales I / EC-121 I Seminario 02
J. Condori Uribe Torsin, Ley de Hooke Generalizada
2. Un alambre de dimetro d=4mm y longitud L gira dentro de un tubo flexible
para abrir o cerrar un interruptor desde un lugar apartado. En forma manual se
le aplica un par T en el extremo B, haciendo girar as el alambre dentro del
tubo. En el otro extremo A, el giro del alambre acciona una manija que abre o
cierra el interruptor.
Para accionar el interruptor se requiere un par To=0.20 N-m. La rigidez a la
torsin del tubo combinada con la friccin entre el tubo y el alambre induce un
par distribuido de intensidad constante igual a t=0.04 N.m/m (par por unidad
de distancia) que acta a todo lo largo del alambre.
a) Si el esfuerzo cortante admisible en el alambre es 30adm
Mpa , Cul es la
longitud mxima Lmax admisible del alambre?
b) Si la longitud del alambre es L=4.0m y el mdulo de elasticidad del alambre
al cortante es G=15Gpa, Cul es el ngulo de torsin (en grados) entre
los extremos del alambre?
0
:
4
0,20
0.040
Datos
d mm
T N m
t N m m
a) Longitud mxima admisible del alambre:
max
max
0
04 4
30
?
(1)
0.20 0.04 [ ] (2)
0.004(3)
32 32
adm
p
L
p
MPa
L
Tr
I
T T tdx T tL
T T tL L N m
dI
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA Facultad de Ingeniera Civil DAE Resistencia de Materiales I / EC-121 I Seminario 02
J. Condori Uribe Torsin, Ley de Hooke Generalizada
6
4
3 6
Ecuaciones (2) y (3) en ecuacin (1):
0.20 0.04 0.00430 10
20.004 32
0.004 30 10 0.20 0.0416
0.3709 0.20 0.04
4.42
L
L
L
L m
b) ngulo de torsin:
0
4.0
15GPa
=?
(4)T t
L m
G
2
4 4 40 0
2
9 4
- El ngulo de torsin debido a la friccin:
( )(5)
( )
32 32 16(6)
reemplazando valores...
16(0.04)40.8488
15 10 0.004
- El ngulo de torsin debido al tor
pL L
t
t
T x dxd
GI x
tx t tLdx xdx
G d G d G d
rad
0
0
0
9 4
que T :
0.20(4) 322.1220
15 10 0.004
En la ecuacin (4):
=0.8488+2.1220 =2.97rad=170.218
p
T
T L
GI
rad
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA Facultad de Ingeniera Civil DAE Resistencia de Materiales I / EC-121 I Seminario 02
J. Condori Uribe Torsin, Ley de Hooke Generalizada
3. El eje compuesto mostrado en la figura se fabrica por contraccin ajustando el
tubo de acero sobre un ncleo de latn de manera que ambos actan como una
barra slida en torsin. Los dimetros son 1
40d mm (exterior para el ncleo del
latn) y 2
50d mm (para el mango de acero). El mdulo de elasticidad al
cortante del acero es 80GPaaG y del latn es 36GPa
lG
Los esfuerzos cortantes permisibles del latn y el acero son
48MPa, 80MPal a . Determinar el par mximo permisible
maxT que puede
aplicarse al eje.
: Re :
,
Reemplazando las relaciones fuerza-desplazamiento en las ecuaciones
de compatibilidad y luego resolviendo con la ecuacin de eq
a la l a l a l
a pa l pl
Equilibrio Compatibilidad laciones F d
T L TLT T T
G I G I
4 4 7 4
2 1
4 7 4
1
max
uilibrio
para cada par, se tiene:
( ) 3.6226 1032
2.5133 1032
a pa
aa pa l pl
l pl
la pa l pl
pa
pl
p
G IT T
G I G I
G IT T
G I G I
I d d m
I d m
Tr
I
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA Facultad de Ingeniera Civil DAE Resistencia de Materiales I / EC-121 I Seminario 02
J. Condori Uribe Torsin, Ley de Hooke Generalizada
Acero:
( )6 2
69 7 9 7
( ) 92
( )
80 102
80 10 280 10 3.6226 10 36 10 2.5133 10
80 101521.15
a a pa
pa a pa l pl
a
a
T G I d
I G I G I
Td
T N m
Latn:
( )6 1
69 7 9 7
( ) 91
( )
max ( ) ( ) ( )
48 102
48 10 236 10 3.6226 10 80 10 2.5133 10
36 102535
min , 1521.15
l l pl
pl a pa l pl
l
a
l a a
T G I d
I G I G I
Td
T N m
T T T T N m
4. [UNI/2011-II]Un eje de acero (Ga=80Gpa) de L=4.0m est compuesto en la
mitad de su longitud por una camisa de latn (Gb=40 Gpa) que se liga con
firmeza con el acero. Los dimetros exteriores del eje y la camisa con 1
70d mm
y 2
90d mm respectivamente.
a) Calcule el par admisible T1 que se puede aplicar a los extremos del eje para
que el ngulo de torsin entre sus extremos se limite a 8.
b) Calcule el par admisible T2 para que el esfuerzo cortante en el latn sea
cuanto mucho 70MPa.b
c) Determinar el par admisible T3 para que el esfuerzo cortante en el acero no
pase de 110MPa.s
d) Cul es el par mximo permisible Tmax para satisfacer las 3 condiciones
anteriores?
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J. Condori Uribe Torsin, Ley de Hooke Generalizada
Solucin (a):
1
44 412 1
1
...(1)
2 2,
32 32
2
: : Re :
2 2...(2) ,
AB BCp
b s
AB ps pbb pb s ps
s
BCs ps
b s
b s b s b sb pb s ps
b pb s ps
b sb pb s ps
TL
GI
T L T L dI I d d
G I G I
T L
G I
Equilibrio Compatibilidad laciones F d
T L T LT T T
G I G I
G I G IT T T T
G I G I G
b pb s psI G I
1 1
1
1
1
9
9
6 4
2 2 2 2
2 1...(3)
2
2 ...(4)2
:
80 10
40 10
2.3572 10
4.
s s ps
s ps s ps b pb s ps s ps s ps
s ps b pb
s ps b pb s ps
s ps b pb s ps
s ps b pb
s
b
ps
pb
T L T L L T LG IT
G I G I G I G I G I G I
G I G ILT
G I G I G I
G I G I G IT
L G I G I
Teniendo
G Pa
G Pa
I m
I
6 4
1
0841 10
8 8180
8571.84 N-m
m
rad
T
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J. Condori Uribe Torsin, Ley de Hooke Generalizada
Solucin (b):
max
2max 2
2 max2
2
Tomamos T de la solucin de la parte (a):
2
2
13686.56N-m
b
p
b
b pb
b pb s ps pb
pb b pb s ps
b pb
T r
I
G I dTG I G I I
I G I G IT
d G I
T
Solucin (c):
3
3 1max
31
3
2
2
7408.34 N-m
s
ps
s ps
T T
T d
I
T Id
T
Solucin (d):
max min 1 2 3
max
( , , )
7408.34
T T T T T
T N m
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J. Condori Uribe Torsin, Ley de Hooke Generalizada
5. [UNI/2012-I]Un cubo de aluminio de
10cm de arista est comprimido en
dos direcciones perpendiculares por el
dispositivo que se muestra. Calcular el
esfuerzo de compresin y la
disminucin de volumen del cubo.
Considere:
5 20.40, 8 10E Kg cm .
3 4
1 2
2
2
2
Del equilibrio:
1800 2
1800
Area de una cara del cubo: A=100cm
1800 218 2
100
25.46
Usando la Ley de Hooke Generalizada
para el esfuerzo plano:
1
1
x y
x x y
y y x
z x
F F Kg
F F Kg
Kg cm
Kg cm
E
E
E
y
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J. Condori Uribe Torsin, Ley de Hooke Generalizada
0
5
5
5 3
0
2 3
Dilatacin:
1
11 2
11 2 0.40 2 25.46
8 101.273 10
1.273 10 10
1.273 10
x y z
x y y x x y
x y
VeV
eE
eE
e
e
V V e
V cm
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J. Condori Uribe Torsin, Ley de Hooke Generalizada
6. [UNI/2012-I]El sistema mostrado tiene como holguras en cada direccin las
fracciones indicadas de sus respectivas deformaciones libres (cuando acta slo
las 60 t). Calcular los esfuerzos que se generan en las paredes as como la
variacin porcentual de su volumen.
(En deformacin libre) .........(1)
,
.........(2)
zz z
x z y z
x
y
P P
ab E abE
P
abEP
abE
(1) y (2) son deformaciones unitarias libres. Las deformaciones libres totales son:
.......(3 )
.......(3 )
.......(3 )
x x
y y
x z
Pa a
bEP
b baEPc
c cabE
Las holguras para las direcciones x y y seran:
P
c
a
VISTA EN ELEVACIN
a
VISTA EN PLANTA
b
/3
/2
x
z
x
y
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J. Condori Uribe Torsin, Ley de Hooke Generalizada
........(4 )
2 2
........(4 )3 3
xx
y
y
Ph a
bEP
h baE
y las deformaciones unitarias en el estado triaxial restringido seran:
........(5 )
2 2
........(5 )3 3
x zx
y zy
h Pa
a abE Eh P
ab abE E
Considerando las ecuaciones para un estado triaxial de esfuerzos:
1
1...........(6)
1
x x y z
y y x z
z z x y
E
E
E
11 1 2
1 ......(7)1 1 2
11 1 2
x x y z
y y x z
z z x y
E
E
E
1 2 .......(8)x y z x y zO
Ve eV E
...........(9)O
V eV
La deformacin en la direccin z para el estado restringido estara dado por la
Ec(6c).
z sera el mismo que la condicin libre ya que estamos considerando pequeas
deformaciones (el rea inicial puede tomarse igual al rea final).
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Haciendo (5)=(6):
1
2 21
3 3
22
3
zx y z z x y z
zy x z z y x z
z x y
z y x
E E
E E
Resolviendo el sistema de ecuaciones
2
2
3 4........(10)
6 1
3 4........(11)
6 1
y z
x z
Reemplazando las ecuaciones (10) y (11) en las ecuaciones (8) y (9):
2 2
2
2
1 2 3 4 3 4
6 1 6 1
1 2 1 27 6 6 1
6 1 16 1
2 16 ................(12)
61
z z
z
z z
z
eE
eE E
eE
Tambin podramos usar las ecuaciones (5a), (5b) y (8), pero antes tendramos que
calcular z. Entonces, de la Ec(6c) y (10) y (11):
2
2
2 2
2 2 2
2
2 3
2
3 4 3 41
6 1 6 1
16 1 3 4 3 4
6 1
6 13 7............(13)
6 1
z z z z
zz
zz
E
E
E
Ahora (5a), (5b) y (13) en (8):
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J. Condori Uribe Torsin, Ley de Hooke Generalizada
2 3
2
3 2
2
6 13 7
2 3 6 1
2 13 5 6..........(14)
6 1
z z z
z
eE E E
eE
Las ecuaciones (14) y (12) nos dan, entonces, los mismos resultados.
Esfuerzos: Ecs. (11) y (10)
2
2
2
2
2
3 4 0.4 0.4 50182.54 kg/cm ( )
10 106 1 0.4
3 0.4 4 0.4 50206.35 kg/cm ( )
10 106 1 0.4
50 /100 500 kg/cm ( )
x
y
z
C
C
C
Variacin del volumen:
3 3
2
Usando la ecuacin (12) o (14):
e=0.3556
En la Ec(9):
500.3556 10 0.222cm ( )
800 10
z
O
E
V eV C