Date post: | 28-Jan-2016 |
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SEMINARIO - 1
SUCESIONES
LIMITES DE SUCESIONES
SUCESION CONVERGENTE .- Sucesión que tiene límite , siendo dicho límite un nº Real. Se escribe:
LaLim nn
SUCESION DIVERGENTE .- Sucesión que tiene límite infinito ( + Se escribe:
n
naLim
SUCESION OSCILANTE - Sucesión que no es convergente ni divergente ( Sucesión que no tiene límite)
EJEMPLOS:
eConvergent ; 01
n
Limn
Divergente ; )1(
nLimn
Divergente ; )1( 2
nLimn
Oscilante ; Existe No )1(
n
nLim
Las propiedades de los límites son válidas para sucesiones convergentes y divergentes , con la observación de que seán ciertas , cuando tengan sentido matemático , es decir siempre que no se produzcan INDETERMINACIONES.
Las INDETERMINACIONES son:
1 ; 0 ; ; 0. ; 0
0 ; ; 00
Pero el hecho de que aparezca una indeterminación a la hora de calcular un límite no significa que no se pueda calcular dicho límite; sino que para dicho cálculo habrá que elegir otros procedimientos.
CALCULO DE LÍMITES . Ahora vamos a ver una serie de procedimientos que se pueden aplicar para el cálculo de limites . Estos procedimientos sirven para resolver las Indeterminaciones
qpsic
bqpsi
qpsi
cncnc
bnbnbLim
qqq
ppp
n
0
0
110
110 0
) ó(
....
....
Se trata de una indeterminacion de la forma . Para resolverla se distinguen 3 casos , según sean los grados de los polinomios del numerador y denominador:
EJEMPLOS
2
1
132
24
132
24
024
132
3
3
2
3
3
2
nn
nnLim
nn
nnLim
nn
nnLim
n
n
n
EXPRESIONES IRRACIONALES :
BA :Forma
Se multiplica y divide la expresión inicial por su expresion “conjugada” BA
)A()A(
)()(
)A(
)A().A(
22
B
BA
B
BA
B
BB
111
222
obtiene) se , npor r denominadoy numerador dividiendo(
2
22
nnn
nnn
Lim
n
nn
n
nn
n
n
Lim
nnnn
nLim
nnnn
nnnnLim
nnnn
nnnnLim
nnnn
nnnnLim
nnnn
nnnnnnnnLim
nnnnLim
nn
nnn
nn
n
LISTA DE INFINITOS EQUIVALENTES
)( 2 Entonces Si )
. )...( Entonces Si )
... Entonces Si )1
10
01
10
StirlingFórmula Deπnn en!nC
LognpbnbnbLognB
nbbnbnbnA
n-n
ppp
pp
pp
LISTA DE INFINITESIMOS EQUIVALENTES
n-aLn(aaSiG
naaLn(aSiF
na
)Cos(aaSiE
na)(aArcaSiD
na)(aArcaSiC
naaTgaSiB
naaSenaSiA
nnn
nnn
nnn
nnn
nnn
nnn
nnn
Cuando , 1) , entonces , 1 )
Cuando , )1 , entonces , 0 )
Cuando , 2
1 , entonces , 0 )
Cuando , tg , entonces , 0 )
Cuando , sen , entonces , 0 )
Cuando , )( , entonces , 0 )
Cuando , )( , entonces , 0 )
2
INDETERMINACION 1
El limite es siempre de la forma ek y para calcular el valor de k se utiliza la fórmula:
k = lim EXP*(BASE - 1)
4
32
: SOL 41
64
1
232
1
)1(3321
1
332)1(
11
3
en
nLim
nnLim
n
nnnLim
n
nnLimBaseExpLimk
en
nLim
nn
nnn
kn
n
INDETERMINACIONES y
El limite es siempre de la forma ek y para calcular el valor de k se utiliza la fórmula:
k = lim EXP*(LnBASE)
2
44
0)(21
1
4
:SOL 22
4
)(21
)(4
)(21
)32()32(
)(21
1
)32(
enLn
nLnLim
nLn
nLnLimnLn
nLnLimk
enLim
n
nn
knLn
n
CRIETERIO de STOLZ
¡b ¡ b
limanbn
= liman+1 ¡ anbn+1 ¡ bn
NOTA: an+1 se obtiene sustituyendo en la fórmula de an la “n” por “n+1”
11111
221
2
1321 entonces 321
2131 entonces 23
nnnnn
nnnnn
nn
)(n.... bn....Si b
nn )(n)(nannaSi
CALCULAR:
2
1
12
22
122
)1(1
1)(1)1(
1...3121)1(11...3121
)(1
1...3121
______________________________________
03
2
3
2
)3...93()33...93(
)2...42()22...42( (stolz)
3...93
2...42
2
22
2
22
2222222
2
222
1
1
1
1
1
n
nnLim
nnn
nLim
nn
nnnLim
Stolzn
nLim
LimLim
LimLim
nn
n
n
n
nn
n
n
nnn
nnn
nn
n
n
CRITERIO DE LA RAIZ
Si an es una sucesión de terminos positivos tales que la
sucesión an+1 / an es convergente entonces:
n
n
n
nn
n a
aa LimLim 1
11
) .(
n
nRaizCritn LimLim
n
n
n
EJ:
CRITERIO DEL SANDWICH
Si an , bn y cn son tres sucesiones que satisfacen:
an bn cn
Si lim an =lim cn=L, entonces existe el lim bn y vale L
11
....2
1
1
1
el entonces , 11
como
1
1n.
1....
2
1
1
11n. : Tiene
1....
2
1
1
1
222
22
22222
222
nnnnLim
n
nLim
nn
nLimy
nnnnnnnSe
nnnnLim
n
nn
n