Fakulteta za matematiko in fiziko Jadranska 19 1000 Ljubljana
SEMINARSKA:
FIBONACCIJEVO ZAPOREDJE
PRI PREDMETU KOMUNICIRANJE
V MATEMATIKI
Pripravila: Mihaela Kosič
Mentor: prof. dr. Tomaž Pisanski
Seminarska naloga: Fibonaccijevo zaporedje Stran 2
Leonardo Pisano-Fibonacci
Je živel med 12. in 13. stol. v Pisi, Italija. Bil je utemeljitelj
Fibonaccijevega zaporedja in Zlatega reza, ki se še danes uporablja v
arhitekturi. Bil je eden prvih v zgodovini, ki so uvedli arabske številke.
Trdil je, da je celotna narava matematično urejena. Njena kaotičnost in
neurejenost je samo iluzija, ki zavaja nevedneže. Zlati rez je tako kot
Fibonaccijevo zaporedje v naravi povsod prisoten.
Fibonaccijeva števila se v rastlinskem svetu pojavljajo zelo pogosto in z
izredno natančnostjo. Raziskovalci so pokazali, da se kar na 92% vseh
rastlin, ki vsebujejo spirale, kažejo Fibonaccijevo zaporedje.
Fibonaccijevo zaporedje najdemo v razporeditvi listov rastlin, v številu
cvetnih listov ipd. Taka razporeditev vsakemu listu omogoča maksimalen
izkoristek prostora in obenem tudi optimalno možnost za fotosintezo,
semenom pa, da njihova razporeditev zavzame minimalen prostor, kar
lahko opazimo tudi pri spiralasti razporeditvi semen sončnice.
Seminarska naloga: Fibonaccijevo zaporedje Stran 3
Fibonaccijeva števila, ki določajo Fibonaccijevo zaporedje, so v
matematiki rekurzivno določena z naslednjimi enačbami:
Kar da Fibonaccijeva števila:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,…
Seminarska naloga: Fibonaccijevo zaporedje Stran 4
Razmerje med Fibonaccijevimi števili
in zlatim rezom
Zlato razmerje je število, katerega decimalni del ni končen, in nima
periode.
Poglejmo si povezavo med zlatim razmerjem in enostavnimi števili iz
Fibonaccijevega zaporedja.
S kalkulatorjem si izračunajmo ulomke zaporednih Fibonaccijevih števil :
1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.66, 8/5=1.6, 13/8=1.625, 21/13=1.6153, … .
Ugotovimo lahko, da se z večanjem zaporednih Fibonaccijevih števil v
ulomku, vrednosti ulomkov približujejo zlatemu razmerju:
Seminarska naloga: Fibonaccijevo zaporedje Stran 5
Računanje Fibonaccijevih števil
(členov zaporedja)
Za majhne vrednosti n, torej za računanje majhnih členov
zaporedja uporabimo naslednjo formulo:
Primer: izračunajmo 20. člen zaporedja:
Računanje Fibonaccijevih števil z računanjem potenc števila zlatega reza
ni preveč praktično, razen za majhne vrednosti n, ker se bodo
zaokrožitvene napake povečale in števila s tekočo vejico po navadi niso
dovolj natančna.
Neposredna rekurzivna uporaba določitve Fibonaccijevega
zaporedja ni preveč priročna, ker moramo računati preveč
vrednosti zaporedoma (razen če programski jezik dovoljuje
shrambo predhodnih vrednosti funkcije). Zato po navadi računamo
Fibonaccijeva števila od spodaj navzgor. Začnemo z vrednostma 1
in 1, potem pa izmenoma zamenjujemo prvo število z drugim,
drugo število pa z vsoto prejšnjih dveh.
Seminarska naloga: Fibonaccijevo zaporedje Stran 6
Za velike vrednosti n in če uporabimo programski jezik z možnostjo
računanja velikih števil, je hitrejša pot računanja Fibonaccijevih
števil z naslednjo matrično enačbo:
ki namesto potenciranja uporablja kvadriranje.
Primer: izračunajmo 40. člen zaporedja s pomočjo Matlaba-a
Definiramo si matriko A
>> A=[1 1; 1 0]
A =
1 1
1 0
Sedaj matriko A damo na potenco 40 in dobimo:
>> A^40
ans =
165580141 102334155
102334155 63245986
* 40 člen zaporedja
* 39 člen zaporedja
* 41 člen zaporedja
Seminarska naloga: Fibonaccijevo zaporedje Stran 7
Fibonaccijeva števila v Pascalovem trikotniku
Kaj je Pascalov trikotnik?
Pascalov trikotnik je trikotnik sestavljen iz števil. Na vrhu je eno samo
število in sicer število 1, v drugi vrstici sta dve števili in tako v vsaki
naslednji eno število več. Vsa leva skrajna in desna skrajna števila so
enice. Vsa preostala števila pa dobimo tako, da seštejemo števili nad
iskanim številom. Pascalov trikotnik se nadaljuje navzdol poljubno daleč.
Kje najdemo Fibonaccijeva števila v Pascalovem trikotniku?
Fibonaccijeva števila v
Pascalovem trikotniku najdemo
kot vsoto diagonalnih členov.
Ker pa je Pascalov trikotnik
simetričen, so Fibonaccijeva
števila kot vsota členov po
diagonalah na levi in desni
strani trikotnika.
Seminarska naloga: Fibonaccijevo zaporedje Stran 8
Do pitagorejske trojice s pomočjo Fibonaccijevih števil
1. Primer
Vzamemo 4 zaporedne člene Fibonaccijevega zaporedja: 1, 2, 3, 5
2. Primer
Vzamemo 4 zaporedne člene Fibonaccijevega zaporedja: 8, 13, 21, 34
Seminarska naloga: Fibonaccijevo zaporedje Stran 9
Pretvarjanje milj v kilometre s pomočjo Fibonaccijevih števil
Zanimiva uporaba Fibonaccijevega zaporedja je pri pretvarjanju milj v
kilometre.
Na primer, če bi radi vedeli koliko kilometrov je 5 milj, vzamemo
Fibonaccijevo število (5) in poiščemo naslednje (8). 5 milj je približno 8
kilometrov.
8 milj je 13 kilometrov,
13 milj je 21 kilometrov,
21 milj je 34 kilometrov,
.
.
.
To deluje ker je pretvorbeni količnik med miljami in kilometri približno
enak φ (zlati sredini).
Seminarska naloga: Fibonaccijevo zaporedje Stran 10
Fibonaccijev kot
3/8 * 360°= 135°
5/13 * 360°=138,46°
8/21 * 360°=137,14°
13/34 * 360°=137,65°
21/55 * 360°=137,45°
.
.
Kot s približkom 137,5° se imenuje Fibonaccijev kot, dobimo ga kot
° če poženemo k preko meja.
• Razporeditev listov okoli stebla za fibonaccijev kot (137,5 )
• Za optimalen izkoristek sončne svetlobe in minimalno prekrivanje drugih listov (filotaksija).
Seminarska naloga: Fibonaccijevo zaporedje Stran 11
Fibonaccijeva številapri rožah
1
2
3
5
8
13
21
Storž
Seminarska naloga: Fibonaccijevo zaporedje Stran 12
čebele
Poleg števila parov zajcev je znan primer tudi število čebel pri
idealiziranemu razmnoževanju, če upoštevamo da:
• se iz neoplojenega jajčeca izvali samec,
• se iz jajčeca, ki ga oplodi samec, izvali samica.
Samec bo tako vedno imel enega starša, samica pa dva. Če analiziramo
število prednikov kateregakoli samca (1), bo ta imel vedno enega starša,
tj. samico (1). Slednja ima dva starša, samca in samico (2), ta samec pa
bo prav tako imel enega starša in samica dva starša, kar da število 3.
generacija čebela trot skupaj
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 2
4 2 1 3
5 3 2 5
6 5 3 8
7 8 5 13
8 13 8 21