Pontificia Universidad Catolica dechile

Series de tiempo

Proyecto

Autor:Paul ESCAPIL-INCHAUSPE

10 de diciembre de 2014

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Indice

1 Introduccion del problema 4

1.1.Prologo 4

1.2.Presentacion de los datos 41.2.1.Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2.Faltantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Resumen y preparacion de los datos 6

2.1.Analisis de los regresores 6

2.2.Modelamiento del vector IMACEC 7

3 Analisis estadstico 8

3.1.Regresion con IMACEC 83.1.1.Busqueda del j apropiado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.2.Construccion de la serie a modelar . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2.Modelo LINEAL 10

3.3.Modelo ARMAX 113.3.1.Deteminacion de los parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3.2.Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4.Modelo SARIMA 143.4.1.El modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4.2.Analisis del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.5.Mas alla 163.5.1.ARMA(1, 1)12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5.2.ARMA(1, 1)23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Comparacion de los modelos 18

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5 Conclusion 18

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Parte 1

Introduccion del problema

1.1. Prologo

En este proyecto, vamos a analizar la serie del Stock Publico de Billetes(Millones de piezas) del Banco Central de Chile. Para poder modelar laserie, la idea es usar el IMACEC como regresor. El IMACEC (IndicadorMensual de Actividad Economica) es un ndice representativo de laactividad economica de Chile. Muestra el comportamiento de la economaen un periodo de corto plazo (generalmente mensual).El periodo de observacion es de enero de 1985 hasta marzo de 2012.

1.2. Presentacion de los datos

1.2.1. Parametros

La base de datos continene las observaciones siguientes:

Ano 2 {1985, ..., 2014} Mes 2 {1, ..., 12} Tiempo: T iempoi = Anoi +Mesi/12 , 8i IMACEC : NAs ! A rellenar despues IMACEC(1986=100)=IM1 : IMACEC tal que I = IMACEC1986 =100 con I el promedio del valor para el ano 1986.

IMACEC(1996=100)=IM2: Lo mismo con el ano 1996 IMACEC(2003=100)=IM3: ... IMACEC(2008=100)=IM4: ...

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1.2.2. Faltantes

No tenemos los datos para cada mes del periodo 1985-2014.Resumen de lo que tenemos:

Periodo Stock1000 IM1 IM2 IM3 IM41985 x1986-1995 x x1996 x x x1997-2002 x x2003 x x x2004-2007 x x2008-ene2012 x x xfeb2012-mar2012 x xabr2012-sept2014 x

Notas :

Para el ano 1985, no tenemos ningun dato de regresor. Vamos a vercomo manejar este problema. 2 soluciones:! Hacer el modelo sin 1985! Predecir el IMACEC para 1985 y usar la prediccion para el modelofinal.

Vamos a elegir la solucion 1, que parece mas relevante.

Nos falta el valor del Stock de Billetes entre abril de 2012 y septiembrede 2014. Eso es lo que vamos a tratar de predecir.

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Parte 2

Resumen y preparacion de losdatos

2.1. Analisis de los regresores

Queremos poder explotar los 4 vectores de regresores cuyo grafico aparecemas abajo.

Figura 1: plot de los IMis

El IM1 se ve bien regular. El R2 de la regresion lineal de cada IMi en funciondel Tiempo comprueba eso:

Vector analizado R2

IM1 0,952IM2 0,7696IM3 0,8359IM4 0,8048

Entonces, vamos a construir el vector IMACEC a partir de IM1.

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2.2. Modelamiento del vector IMACEC

IMACEC IM1 Ahora, calculamos r el promedio de IM1 para el ano de coincidencia(1986).

IMACEC IM2 r/100 Repitemos la operacion hasta obtener el IMACEC final. Por fin, encontramos el vector IMACEC siguiente:

Figura 2: IMACEC

Este vector va a ser nuestro regresor. Ahora podemos empezar el tra-bajo de modelamiento...

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Parte 3

Analisis estadstico

3.1. Regresion con IMACEC

En esa parte, vamos a tratar de usar el regresor IMACEC para encontraruna serie que sea mas estacionaria.

Buscamos un modelo tipo:

Stockt = IMACECtj + + t con j a definir

As, podremos definir la serie {Zt}:Zt = Stockt IMACECtj

3.1.1. Busqueda del j apropiado

Vamos a estudiar varios modelos con valores de j diferentes. Encontramoslos resultados siguientes:

Figura 3: Analisis de los modelos con j de 0 hasta 4

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El modelo con j = 2 gana segun los criterios AIC y BIC, tiene un S2

bastante bajo y un R2 alto. Para elegir entre los modelos 0 y 2, confiamosen los criterios AIC y BIC.

3.1.2. Construccion de la serie a modelar

Vamos a trabajar con el modelo siguiente:

Stockt = IMACECt2 + + t

Zt = Stockt IMACECt2 En cada modelo que sigue, vamos a usar los parametros de regresion de

esa manera.

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3.2. Modelo LINEAL

Empezamos con un modelo lineal clasico. Vamos a mostrar directamentelos resultados:

Figura 4: Modelo Lineal

Coeficientes:

Coeficiente Valor S2

0.3240 0.0015

Notas:Los residuos no tienen nada que ver con un ruido blanco.

Los valores-p del Box-Ljung son malos (logico)...Hay que tomar en cuenta la estructura de correlacion.

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Figura 5: Residuos

3.3. Modelo ARMAX

En esa seccion, vamos a aumentar la complejidad del modelo. Vamosa hacer una regresion y usar un modelo ARIMA para aprovechar de laestructura de dependencia de la serie.

3.3.1. Deteminacion de los parametros

Modificando los valores de (p, d, q), vemos que hay que poner p = 1 yd = 1. Para el q, vamos a comparar varios modelos. Los mas interesantesson los con q 2 {4, 5, 6, 7}

Ademas, chequeamos los p-values y elegimos trabajar con un q = 5

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Figura 6: AIC y S2 con varios valores de q

3.3.2. Resultados

Coeficientes:

Coeficiente Valor S2

0.0602 0.0116AR1 -0.9975 0.0032MA1 0.7653 0.0571MA2 -0.4743 0.0710MA3 0.1787 0.0766MA4 0.2175 0.0777MA5 -0.2144 0.0686

Vemos que quedan rezagos para los multiples de 6 y en 10. Graficamente,el modelo se ve mas preciso y con una variabilidad de prediccion menor(en comparacion con el modelo lineal). Ademas se nota el mejoramiento delos valores.p de Box-Ljung. El coeficiente 1 vale 1... Parece raro pero estemodelo era el mejor de lejos, as que no prestamos atencion a este fenomeno.

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Figura 7: Modelo ARMAX

Figura 8: Estructura del error

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3.4. Modelo SARIMA

3.4.1. El modelo

Despues de jugar con los coeficientes, elegimos el modelo SARIMA(1, 1, 5)(1, 1, 1)12.Aun aparece un rezago en 10. Habra que poner una MA(10) mas.

Resultados:

Figura 9: Modelo SARIMA

Figura 10: Estructura del error

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Coeficientes:

Coeficiente Valor S2

0.0497 0.0115AR1 -0.3811 0.02977MA1 0.2224 0.2970MA2 -0.0305 0.0757MA3 0.1194 0.0606MA4 0.091 0.0836MA5 -0.910 0.0884SAR1 0.2308 0.1006SMA1 -0.8347 0.0706

3.4.2. Analisis del error

En comparacion con los residuos que obtuvimos hasta ahora, tenemosuna mejoracion significante. Pero, hay que hacer algo con el rezago en 10..Los valores-p de Box-Ljung son muy buenos.

Figura 11: Normalidad del error

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3.5. Mas alla

3.5.1. ARMA(1, 1)12

Ponemos una ARMA(1, 1)12 a los residuos del modelo SARIMA.

Figura 12: Resultados

Figura 13: Normalidad del error

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3.5.2. ARMA(1, 1)23

Para acabar con todo, ponemos una ARMA(1, 1)23. As, podemos con-siderar que no quedan rezagos. Lo interesante de estos modelos finales va aver si vale la pena hacer un trabajo preciso (segun varios criterios).

Figura 14: Resultados

Figura 15: Normalidad del error

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Parte 4

Comparacion de los modelos

Para terminar el proyecto, vamos a hacer una comparacion de los mode-los que estudiamos:

Modelo S2 logL AIC ShapiroModelo lineal 45.9 -1042.96 2089.93 0.432ARMAX(1, 1, 5) 5.753 -714.1 1444.2 5.412e-07SARIMA(1, 1, 5)(1, 1, 1)12 2.492 -536.64 1093.27 1.706e-11SARIMA(1, 1, 5)(1, 1, 1)12,10 2.248 -564.46 1134.92 3.592e-10SARIMA(1, 1, 5)(1, 1, 1)12,10,23 2.341 -545.59 1097.17 2.484e-08

Notas:

Shapiro representa el valor p del residuo. Vemos que el modelo SARIMA(1, 1, 5)(1, 1, 1)12 es muy eficiente. La diferencia de escala de los S2 entre el modelo lineal y los demases muy grande. Esto nos prueba lo potente que son los modelos AR-MA,SARIMA,...

Parte 5

Conclusion

Estudiamos varios modelos, sacamos el mas adaptado. Hicimos las pre-dicciones del valor del stock con intervalos de confianza. Falta la prediccionde los valores pasados.

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