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8/13/2019 Sesin 3 calculo I
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Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivasAlgebra de funcionesFunciones compuestas
Sesion 3Funciones: Continuacion
Frank Didier Suarez Motato
Departamento de Matem aticasUniversidad del Valle
20 de febrero de 2014
Frank Didier Su arez Motato Funciones: Continuaci on . . . . . .
8/13/2019 Sesin 3 calculo I
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Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivasAlgebra de funcionesFunciones compuestas
Deniciones:
Una funci on f es par si cumple la condicion f (x) = f (x) paratodo x D f .Una funci on f es impar si cumple la condicion f (x) = f (x)para todo x D f .
Frank Didier Su arez Motato Funciones: Continuaci on . . . . . .
8/13/2019 Sesin 3 calculo I
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Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivasAlgebra de funcionesFunciones compuestas
Deniciones:
Una funci on f es par si cumple la condicion f (x) = f (x) paratodo x D f .Una funci on f es impar si cumple la condicion f (x) = f (x)para todo x D f .
Frank Didier Su arez Motato Funciones: Continuaci on . . . . . .
8/13/2019 Sesin 3 calculo I
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F i i
8/13/2019 Sesin 3 calculo I
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Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivasAlgebra de funcionesFunciones compuestas
Deniciones:
Una funci on f es creciente en un intervalo I si para todox1 , x2 I tal que x1 < x 2 se cumple que f (x1 ) < f (x2 ).Una funci on f es decreciente en un intervalo I si para todox1 , x2 I tal que x1 < x 2 se cumple que f (x1 ) > f (x2 ).
Frank Didier Su arez Motato Funciones: Continuaci on . . . . . .
F i i
8/13/2019 Sesin 3 calculo I
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Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivasAlgebra de funcionesFunciones compuestas
Deniciones:
Una funci on f es creciente en un intervalo I si para todox1 , x2 I tal que x1 < x 2 se cumple que f (x1 ) < f (x2 ).Una funci on f es decreciente en un intervalo I si para todox1 , x2 I tal que x1 < x 2 se cumple que f (x1 ) > f (x2 ).
Frank Didier Su arez Motato Funciones: Continuaci on . . . . . .
Funciones pares e impares
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Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivasAlgebra de funcionesFunciones compuestas
Deniciones:
Una funci on f es creciente en un intervalo I si para todox1 , x2 I tal que x1 < x 2 se cumple que f (x1 ) < f (x2 ).Una funci on f es decreciente en un intervalo I si para todox1 , x2 I tal que x1 < x 2 se cumple que f (x1 ) > f (x2 ).
Frank Didier Su arez Motato Funciones: Continuaci on . . . . . .
Funciones pares e impares
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Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivasAlgebra de funcionesFunciones compuestas
Deniciones:
Una funci on f es inyectiva o uno a uno, si cada elemento y R f es imagen de un unico elemento x D f . Simbolicamente;para todo x1 , x2
D f , x1
= x2 = f (x1 )
= f (x2 )
De manera equivalente, f es inyectiva si:
para todo x1 , x2 D f , f (x1 ) = f (x2 ) = x1 = x2
Una funci on f : A = B es sobreyectiva, si cada elemento y Bes imagen de alg un elemento x A. Es decir, si el rango de f coincide con el codominio B (R f = B ).
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Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivasAlgebra de funcionesFunciones compuestas
Deniciones:
Una funci on f es inyectiva o uno a uno, si cada elemento y R f es imagen de un unico elemento x D f . Simbolicamente;para todo x1 , x2
D f , x1
= x2 = f (x1 )
= f (x2 )
De manera equivalente, f es inyectiva si:
para todo x1 , x2 D f , f (x1 ) = f (x2 ) = x1 = x2
Una funci on f : A = B es sobreyectiva, si cada elemento y Bes imagen de alg un elemento x A. Es decir, si el rango de f coincide con el codominio B (R f = B ).
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Funciones pares e impares
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p pFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivasAlgebra de funcionesFunciones compuestas
Ejercicios
Determine si la funcion f (x) = 1x
es inyectiva, sobreyectiva,ambas o ninguna. Haga la gr aca usando tabulaci on.
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Funciones pares e impares
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p pFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivasAlgebra de funcionesFunciones compuestas
graca de f (x ) = 1x
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Funciones pares e imparesF i i d i
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Funciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivasAlgebra de funcionesFunciones compuestas
graca de f (x ) = 2 x 3 4
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Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientes
8/13/2019 Sesin 3 calculo I
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Funciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivasAlgebra de funcionesFunciones compuestas
Determine si la funcion f (x) = 4
x2 es inyectiva, sobreyectiva,ambas o ninguna. Haga la gr aca usando tabulaci on.
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Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientes
8/13/2019 Sesin 3 calculo I
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Funciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivasAlgebra de funcionesFunciones compuestas
graca de f (x ) = 4 x 2
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Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientes
8/13/2019 Sesin 3 calculo I
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Funciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivasAlgebra de funcionesFunciones compuestas
Algebra de funciones
Sean f y g dos funciones, entonces:1 La funci on suma, denotada por f + g se dene como:
(f + g)(x) = f (x) + g(x), D f + g = D f Dg
2
La funci on resta, denotada por f g se dene como:(f g)(x) = f (x) g(x), D f g = D f D g
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Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientes
8/13/2019 Sesin 3 calculo I
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u c o es c ec e tes y dec ec e tesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivasAlgebra de funcionesFunciones compuestas
Algebra de funciones
Sean f y g dos funciones, entonces:1 La funci on suma, denotada por f + g se dene como:
(f + g)(x) = f (x) + g(x), D f + g = D f Dg
2
La funci on resta, denotada por f g se dene como:(f g)(x) = f (x) g(x), D f g = D f D g
3 La funci on producto denotada por f g se dene como:(f g)(x) = f (x) g(x), D f
g = D f D g
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Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientes
8/13/2019 Sesin 3 calculo I
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yFunciones inyectivas y funciones sobreyectivasAlgebra de funcionesFunciones compuestas
Algebra de funciones
Sean f y g dos funciones, entonces:1 La funci on suma, denotada por f + g se dene como:
(f + g)(x) = f (x) + g(x), D f + g = D f Dg
2 La funci on resta, denotada por f
g se dene como:
(f g)(x) = f (x) g(x), D f g = D f D g
3 La funci on producto denotada por f g se dene como:(f g)(x) = f (x) g(x), D f
g = D f D g4 La funci on suma denotada por f /g se dene como:
(f /g )(x) = f (x)
g(x), D f /g = D f
D g
|g(x)
= 0
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Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientes
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Funciones inyectivas y funciones sobreyectivasAlgebra de funcionesFunciones compuestas
Algebra de funciones
Sean f y g dos funciones, entonces:1 La funci on suma, denotada por f + g se dene como:
(f + g)(x) = f (x) + g(x), D f + g = D f Dg
2 La funci on resta, denotada por f
g se dene como:
(f g)(x) = f (x) g(x), D f g = D f D g
3 La funci on producto denotada por f g se dene como:(f g)(x) = f (x) g(x), D f
g = D f D g4 La funci on suma denotada por f /g se dene como:
(f /g )(x) = f (x)
g(x), D f /g = D f
D g
|g(x) = 0
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Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesF i i ti f i b ti
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Funciones inyectivas y funciones sobreyectivasAlgebra de funcionesFunciones compuestas
Ejercicios
Dadas las funciones f (x) = x2
25 y g(x) = 4
x, Halle:1 f + g con su respectivo dominio.
2 f /g con su respectivo dominio.
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Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
8/13/2019 Sesin 3 calculo I
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Funciones inyectivas y funciones sobreyectivasAlgebra de funcionesFunciones compuestas
Funciones Compuestas
Sean f y g dos funciones y D = {x D f |f (x) g(x)}. Si D = ,entonces la funcion h denida comoh(x) = g f (x) , para todo x D
Se llama funci on compuesta de f y g. Se denota por g f y se lee f compuesta g. El conjunto D es el dominio de dicha funci on y sedenota por Df g .
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Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
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Funciones inyectivas y funciones sobreyectivasAlgebra de funcionesFunciones compuestas
Ejercicios sobre funciones compuestas
1 Sean f (x) = x2 16 y g(x) = x.1 Encuentre ( f g)( x ) y el dominio de f g.
2 Halle (g f )( x ) y el dominio de g f .
Frank Didier Su arez Motato Funciones: Continuaci on . . . . . .
Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
8/13/2019 Sesin 3 calculo I
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Funciones inyectivas y funciones sobreyectivasAlgebra de funcionesFunciones compuestas
Ejercicios sobre funciones compuestas
1 Sean f (x) = x2 16 y g(x) = x.1 Encuentre ( f g)( x ) y el dominio de f g.
2 Halle (g f )( x ) y el dominio de g f .
2 Si f (x) = 3 x y g(x) = x + 21 Halle ( f g)( x ) y el dominio de f g.
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Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
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y y yAlgebra de funcionesFunciones compuestas
Ejercicios sobre funciones compuestas
1 Sean f (x) = x2 16 y g(x) = x.1 Encuentre ( f g)( x ) y el dominio de f g.
2 Halle (g f )( x ) y el dominio de g f .
2 Si f (x) = 3 x y g(x) = x + 21 Halle ( f g)( x ) y el dominio de f g.
2 Halle (g f )( x ) y el dominio de g f .
Frank Didier Su arez Motato Funciones: Continuaci on . . . . . .
Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
8/13/2019 Sesin 3 calculo I
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y y yAlgebra de funcionesFunciones compuestas
Ejercicios sobre funciones compuestas
1 Sean f (x) = x2 16 y g(x) = x.1 Encuentre ( f g)( x ) y el dominio de f g.
2 Halle (g f )( x ) y el dominio de g f .
2 Si f (x) = 3 x y g(x) = x + 21 Halle ( f g)( x ) y el dominio de f g.
2 Halle (g f )( x ) y el dominio de g f .
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