Date post: | 10-Jul-2016 |
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2Sesión 7: PDD – Producción e Inventarios
LOGRO DE LA SESIÓN
• Los estudiantes al finalizar la sesión
tendrán las competencias para resolver
problemas de decisión de producción e
inventarios mediante el uso de
programación dinámica determinística.
PROGRAMACIÓN DINÁMICA DE LA PRODUCCIÓN E INVENTARIOS
• Se descompone el tiempo en N períodos.
• Demanda conocida, se debe satisfacer a tiempo (Inventario + Producción)
• Capacidad de producción limitada.
• Costos de producción (fijos y variables).
• Capacidad limitada de almacenamiento, costos asociados.
• Niveles de inventario inicial y final conocidos.
• ¿Cuántas unidades se deben producir en cada período?
• Minimizar el CT de satisfacer las demandas a tiempo.
CASO 1: PRODUCCIÓN E INVENTARIOS
Se tiene una empresa que fabrica máquinas de afeitar eléctricas, con las siguientes
características:
• La demanda para los próximos 6 meses se ha pronosticado en 200, 300, 400, 500,
600 y 200 unidades respectivamente.
• El costo de producción es de $25 por unidad.
• El costo de almacenamiento es de $0.20 por unidad-mes.
• La producción se hace en lotes de 100.
• La capacidad máxima de producción es de 800 unidades.
• La capacidad máxima de almacenamiento es de 600 unidades.
• No se cuenta con inventario inicial.
• El inventario final, en el sexto mes, debe ser 0 unidades con el fin de reducir costos.
Determinar el plan de producción para los próximos 6 meses que minimice los costos
totales.
CASO 1: PRODUCCIÓN E INVENTARIOS
Variables de Decisión:
xi : Cantidad (cientos) de máquinas a producir el mes i
Variables de Estado:
yi : Inventario de máquinas (cientos) al inicio del mes i
i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
1 2 3
y1 y2 y3 y7
x1 x2 x6
f1(x1,y1) f2(x2,y2) f6(x6,y6)
y6
…
CASO 1: PRODUCCIÓN E INVENTARIOS
Condiciones de borde:
y1 = 0 y7 = 0
Parámetros:
di: demanda de cientos de máquinas durante el mes i
d1 = 2 d2 = 3 d3 = 4 d4 = 5 d5 = 6 d6 = 2
1 2 3
y1 y2 y3 y7
x1 x2 x6
f1(x1,y1) f2(x2,y2) f6(x6,y6)
y6
…
CASO 1: PRODUCCIÓN E INVENTARIOS
Reglas de transformación:
IF = II + Producción – demanda
yi + 1 = yi + xi – di ≥ 0
y7 = y6 + x6 – 2 ≥ 0 y6 = y5 + x5 – 6 ≥ 0 y5 = y4 + x4 – 5 ≥ 0
y4 = y3 + x3 – 4 ≥ 0 y3 = y2 + x2 – 3 ≥ 0 y2 = y1 + x1 – 2 ≥ 0
1 2 3
y1 y2 y3 y7
x1 x2 x6
f1(x1,y1) f2(x2,y2) f6(x6,y6)
y6
…
CASO 1: PRODUCCIÓN E INVENTARIOS
Funciones de retorno:
fi(xi, yi) = costos de producción + costos de almacenamiento
fi(xi, yi) = 25xi + 0.2(yi + xi – di) para: i= 1, 2, 3, 4, 5, 6
Funciones recursivas:
F6(Y6) = mín {25x6 + 0.2(y6 + x6 – 2)}
F5(Y5) = mín {25x5 + 0.2(y5 + x5 – 6) + F6(Y6)}
F4(Y4) = mín {25x4 + 0.2(y4 + x4 – 5) + F5(Y5)}
F3(Y3) = mín {25x3 + 0.2(y3 + x3 – 4) + F4(Y4)}
F2(Y2) = mín {25x2 + 0.2(y2 + x2 – 3) + F3(Y3)}
F1(Y1) = mín {25x1 + 0.2(y1 + x1 – 2) + F2(Y2)}
CASO 1: PRODUCCIÓN E INVENTARIOS
• Etapa 6: y6 + x6 – 2 ≥ 0, d6= 2
X6
Y60 1 2 F6(Y6) X6
0 NP NP[ (25 * 2) + 0.2 * (0
+ 2 - 2) ]= 5050 2
1 NP[ (25 * 1) + 0.2 * (1
+ 1 - 2) ] = 25NP 25 1
2[ (25 * 0) + 0.2 * (2
+ 0 - 2) ] = 0NP NP 0 0
CASO 1: PRODUCCIÓN E INVENTARIOS
• Etapa 5: 6 ≤ y5 + x5 ≤ 8, d5 = 6
X5
Y50 1 2 3 4 5 6 7 8 F5(Y5) X5
0 NP NP NP NP NP NP
[ (25 * 6) +
0.2 * (0 + 6 -
6) ] + 50 =
200
[ (25 * 7) +
0.2 * (0 + 7 -
6) ] + 25 =
200.2
[ (25 * 8) +
0.2 * (0 + 8 -
6) ] + 0 =
200.4
200 6
1 NP NP NP NP NP
[ (25 * 5) +
0.2 * (1 + 5 -
6) ] + 50 =
175
[ (25 * 6) +
0.2 * (1 + 6 -
6) ] + 25 =
175.2
[ (25 * 7) +
0.2 * (1 + 7 -
6) ] + 0 =
175.4
NP 175 5
2 NP NP NP NP
[ (25 * 4) +
0.2 * (2 + 4 -
6) ] + 50 =
150
[ (25 * 5) +
0.2 * (2 + 5 -
6) ] + 25 =
150.2
[ (25 * 6) +
0.2 * (2 + 6 -
6) ] + 0 =
175.4
NP NP 150 4
3 NP NP NP
[ (25 * 3) +
0.2 * (3 + 3 -
6) ] + 50 =
125
[ (25 * 4) +
0.2 * (3 + 4 -
6) ] + 25 =
125.2
[ (25 * 5) +
0.2 * (3 + 5 -
6) ] + 0 =
125.4
NP NP NP 125 3
4 NP NP
[ (25 * 2) +
0.2 * (4 + 2 -
6) ] + 50 =
100
[ (25 * 3) +
0.2 * (4 + 3 -
6) ] + 25 =
100.2
[ (25 * 4) +
0.2 * (4 + 4 -
6) ] + 0 =
100.4
NP NP NP NP 100 2
5 NP
[ (25 * 1) +
0.2 * (5 + 1 -
6) ] + 50 = 75
[ (25 * 2) +
0.2 * (5 + 2 -
6) ] + 25 =
75.2
[ (25 * 3) +
0.2 * (5 + 3 -
6) ] + 0 =
75.4
NP NP NP NP NP 75 1
6[ (25 * 0) +
0.2 * (6 + 0 -
6) ] + 50 = 50
[ (25 * 6) +
0.2 * (1 + 6 -
6) ] + 25 =
175.2
[ (25 * 7) +
0.2 * (1 + 7 -
6) ] + 0 =
175.4
NP NP NP NP NP NP 50 0
CASO 1: PRODUCCIÓN E INVENTARIOS
• Etapa 4: 5 ≤ y4 + x4 ≤ 11, d4 = 5
X4
Y40 1 2 3 4 5 6 7 8 F4(Y4) X4
0 NP NP NP NP NP
[ (25 * 5) +
0.2 * (0 + 5 -
5) ] + 200 =
325
[ (25 * 6) +
0.2 * (0 + 6 -
5) ] + 175 =
325.2
[ (25 * 7) +
0.2 * (0 + 7 -
5) ] + 150 =
325.4
[ (25 * 8) +
0.2 * (0 + 8 -
5) ] + 125 =
325.6
325 5
1 NP NP NP NP
[ (25 * 4) +
0.2 * (1 + 4 -
5) ] + 200 =
300
[ (25 * 5) +
0.2 * (1 + 5 -
5) ] + 175 =
300.2
[ (25 * 6) +
0.2 * (1 + 6 -
5) ] + 150 =
300.4
[ (25 * 7) +
0.2 * (1 + 7 -
5) ] + 125 =
300.6
[ (25 * 8) +
0.2 * (1 + 8 -
5) ] + 100 =
300.8
300 4
2 NP NP NP
[ (25 * 3) +
0.2 * (2 + 3 -
5) ] + 200 =
275
[ (25 * 4) +
0.2 * (2 + 4 -
5) ] + 175 =
275.2
[ (25 * 5) +
0.2 * (2 + 5 -
5) ] + 150 =
275.4
[ (25 * 6) +
0.2 * (2 + 6 -
5) ] + 125 =
275.6
[ (25 * 7) +
0.2 * (2 + 7 -
5) ] + 100 =
275.8
[ (25 * 8) +
0.2 * (2 + 8 -
5) ] + 75 =
276
275 3
3 NP NP
[ (25 * 2) +
0.2 * (3 + 2 -
5) ] + 200 =
250
[ (25 * 3) +
0.2 * (3 + 3 -
5) ] + 175 =
250.2
[ (25 * 4) +
0.2 * (3 + 4 -
5) ] + 150 =
250.4
[ (25 * 5) +
0.2 * (3 + 5 -
5) ] + 125 =
250.6
[ (25 * 6) +
0.2 * (3 + 6 -
5) ] + 100 =
250.8
[ (25 * 7) +
0.2 * (3 + 7 -
5) ] + 75 =
251
[ (25 * 8) +
0.2 * (3 + 8 -
5) ] + 50 =
251.2
250 2
4 NP
[ (25 * 1) +
0.2 * (4 + 1 -
5) ] + 200 =
225
[ (25 * 2) +
0.2 * (4 + 2 -
5) ] + 175 =
225.2
[ (25 * 3) +
0.2 * (4 + 3 -
5) ] + 150 =
225.4
[ (25 * 4) +
0.2 * (4 + 4 -
5) ] + 125 =
225.6
[ (25 * 5) +
0.2 * (4 + 5 -
5) ] + 100 =
225.8
[ (25 * 6) +
0.2 * (4 + 6 -
5) ] + 75 =
226
[ (25 * 7) +
0.2 * (4 + 7 -
5) ] + 50 =
226.2
NP 225 1
5
[ (25 * 0) +
0.2 * (5 + 0 -
5) ] + 200 =
200
[ (25 * 1) +
0.2 * (5 + 1 -
5) ] + 175 =
200.2
[ (25 * 2) +
0.2 * (5 + 2 -
5) ] + 150 =
200.4
[ (25 * 3) +
0.2 * (5 + 3 -
5) ] + 125 =
200.6
[ (25 * 4) +
0.2 * (5 + 4 -
5) ] + 100 =
200.8
[ (25 * 5) +
0.2 * (5 + 5 -
5) ] + 75 =
201
[ (25 * 6) +
0.2 * (5 + 6 -
5) ] + 50 =
201.2
NP NP 200 0
6
[ (25 * 0) +
0.2 * (6 + 0 -
5) ] + 175 =
175.2
[ (25 * 1) +
0.2 * (6 + 1 -
5) ] + 150 =
175.4
[ (25 * 2) +
0.2 * (6 + 2 -
5) ] + 125 =
175.6
[ (25 * 3) +
0.2 * (6 + 3 -
5) ] + 100 =
175.8
[ (25 * 4) +
0.2 * (6 + 4 -
5) ] + 75 =
176
[ (25 * 5) +
0.2 * (6 + 5 -
5) ] + 50 =
176.2
NP NP NP 175.2 0
CASO 1: PRODUCCIÓN E INVENTARIOS
• Etapa 3: 4 ≤ y3 + x3 ≤ 10, d3 = 4
X3
Y30 1 2 3 4 5 6 7 8 F3(Y3) X3
0 NP NP NP NP
[ (25 * 4) +
0.2 * (0 + 4 -
4) ] + 325 =
425
[ (25 * 5) +
0.2 * (0 + 5 -
4) ] + 300 =
425.2
[ (25 * 6) +
0.2 * (0 + 6 -
4) ] + 275 =
425.4
[ (25 * 7) +
0.2 * (0 + 7 -
4) ] + 250 =
425.6
[ (25 * 8) +
0.2 * (0 + 8 -
4) ] + 225 =
425.8
425 4
1 NP NP NP
[ (25 * 3) +
0.2 * (1 + 3 -
4) ] + 325 =
400
[ (25 * 4) +
0.2 * (1 + 4 -
4) ] + 300 =
400.2
[ (25 * 5) +
0.2 * (1 + 5 -
4) ] + 275 =
400.4
[ (25 * 6) +
0.2 * (1 + 6 -
4) ] + 250 =
400.6
[ (25 * 7) +
0.2 * (1 + 7 -
4) ] + 225 =
400.8
[ (25 * 8) +
0.2 * (1 + 8 -
4) ] + 200 =
401
400 3
2 NP NP
[ (25 * 2) +
0.2 * (2 + 2 -
4) ] + 325 =
375
[ (25 * 3) +
0.2 * (2 + 3 -
4) ] + 300 =
375.2
[ (25 * 4) +
0.2 * (2 + 4 -
4) ] + 275 =
375.4
[ (25 * 5) +
0.2 * (2 + 5 -
4) ] + 250 =
375.6
[ (25 * 6) +
0.2 * (2 + 6 -
4) ] + 225 =
375.8
[ (25 * 7) +
0.2 * (2 + 7 -
4) ] + 200 =
376
[ (25 * 8) +
0.2 * (2 + 8 -
4) ] + 175.2 =
376.4
375 2
3 NP
[ (25 * 1) +
0.2 * (3 + 1 -
4) ] + 325 =
350
[ (25 * 2) +
0.2 * (3 + 2 -
4) ] + 300 =
350.2
[ (25 * 3) +
0.2 * (3 + 3 -
4) ] + 275 =
350.4
[ (25 * 4) +
0.2 * (3 + 4 -
4) ] + 250 =
350.6
[ (25 * 5) +
0.2 * (3 + 5 -
4) ] + 225 =
350.8
[ (25 * 6) +
0.2 * (3 + 6 -
4) ] + 200 =
351
[ (25 * 7) +
0.2 * (3 + 7 -
4) ] + 175.2 =
351.4
NP 350 1
4
[ (25 * 0) +
0.2 * (4 + 0 -
4) ] + 325 =
325
[ (25 * 1) +
0.2 * (4 + 1 -
4) ] + 300 =
325.2
[ (25 * 2) +
0.2 * (4 + 2 -
4) ] + 275 =
325.4
[ (25 * 3) +
0.2 * (4 + 3 -
4) ] + 250 =
325.6
[ (25 * 4) +
0.2 * (4 + 4 -
4) ] + 225 =
325.8
[ (25 * 5) +
0.2 * (4 + 5 -
4) ] + 200 =
326
[ (25 * 6) +
0.2 * (4 + 6 -
4) ] + 175.2 =
326.4
NP NP 325 0
5
[ (25 * 0) +
0.2 * (5 + 0 -
4) ] + 300 =
300.2
[ (25 * 1) +
0.2 * (5 + 1 -
4) ] + 275 =
300.4
[ (25 * 2) +
0.2 * (5 + 2 -
4) ] + 250 =
300.6
[ (25 * 3) +
0.2 * (5 + 3 -
4) ] + 225 =
300.8
[ (25 * 4) +
0.2 * (5 + 4 -
4) ] + 200 =
301
[ (25 * 5) +
0.2 * (5 + 5 -
4) ] + 175.2 =
301.4
NP NP NP 300.2 0
6
[ (25 * 0) +
0.2 * (6 + 0 -
4) ] + 275 =
275.4
[ (25 * 1) +
0.2 * (6 + 1 -
4) ] + 250 =
275.6
[ (25 * 2) +
0.2 * (6 + 2 -
4) ] + 225 =
275.8
[ (25 * 3) +
0.2 * (6 + 3 -
4) ] + 200 =
276
[ (25 * 4) +
0.2 * (6 + 4 -
4) ] + 275.2 =
276.4
NP NP NP NP 275.4 0
CASO 1: PRODUCCIÓN E INVENTARIOS
• Etapa 2: 3 ≤ y2 + x2 ≤ 9, d2 = 3
X2
Y20 1 2 3 4 5 6 7 8 F2(Y2) X2
0 NP NP NP
[ (25 * 3) +
0.2 * (0 + 3 -
3) ] + 425 =
500
[ (25 * 4) +
0.2 * (0 + 4 -
3) ] + 400 =
500.2
[ (25 * 5) +
0.2 * (0 + 5 -
3) ] + 375 =
500.4
[ (25 * 6) +
0.2 * (0 + 6 -
3) ] + 350 =
500.6
[ (25 * 7) +
0.2 * (0 + 7 -
3) ] + 325 =
500.8
[ (25 * 8) +
0.2 * (0 + 8 -
3) ] + 300.2 =
501.2
500 3
1 NP NP
[ (25 * 2) +
0.2 * (1 + 2 -
3) ] + 425 =
475
[ (25 * 3) +
0.2 * (1 + 3 -
3) ] + 400 =
475.2
[ (25 * 4) +
0.2 * (1 + 4 -
3) ] + 375 =
475.4
[ (25 * 5) +
0.2 * (1 + 5 -
3) ] + 350 =
475.6
[ (25 * 6) +
0.2 * (1 + 6 -
3) ] + 325 =
475.8
[ (25 * 7) +
0.2 * (1 + 7 -
3) ] + 300.2 =
476.2
[ (25 * 8) +
0.2 * (1 + 8 -
3) ] + 275.4 =
476.6
475 2
2 NP
[ (25 * 1) +
0.2 * (2 + 1 -
3) ] + 425 =
450
[ (25 * 2) +
0.2 * (2 + 2 -
3) ] + 400 =
450.2
[ (25 * 3) +
0.2 * (2 + 3 -
3) ] + 375 =
450.4
[ (25 * 4) +
0.2 * (2 + 4 -
3) ] + 350 =
450.6
[ (25 * 5) +
0.2 * (2 + 5 -
3) ] + 325 =
450.8
[ (25 * 6) +
0.2 * (2 + 6 -
3) ] + 300.2 =
451.2
[ (25 * 7) +
0.2 * (2 + 7 -
3) ] + 275.4 =
451.6
NP 450 1
3
[ (25 * 0) +
0.2 * (3 + 0 -
3) ] + 425 =
425
[ (25 * 1) +
0.2 * (3 + 1 -
3) ] + 400 =
425.2
[ (25 * 2) +
0.2 * (3 + 2 -
3) ] + 375 =
425.4
[ (25 * 3) +
0.2 * (3 + 3 -
3) ] + 350 =
425.6
[ (25 * 4) +
0.2 * (3 + 4 -
3) ] + 325 =
425.8
[ (25 * 5) +
0.2 * (3 + 5 -
3) ] + 300.2 =
426.2
[ (25 * 6) +
0.2 * (3 + 6 -
3) ] + 275.4 =
426.6
NP NP 425 0
4
[ (25 * 0) +
0.2 * (4 + 0 -
3) ] + 400 =
400.2
[ (25 * 1) +
0.2 * (4 + 1 -
3) ] + 375 =
400.4
[ (25 * 2) +
0.2 * (4 + 2 -
3) ] + 350 =
400.6
[ (25 * 3) +
0.2 * (4 + 3 -
3) ] + 325 =
400.8
[ (25 * 4) +
0.2 * (4 + 4 -
3) ] + 300.2 =
401.2
[ (25 * 5) +
0.2 * (4 + 5 -
3) ] + 275.4 =
401.6
NP NP NP 400.2 0
5
[ (25 * 0) +
0.2 * (5 + 0 -
3) ] + 375 =
375.4
[ (25 * 1) +
0.2 * (5 + 1 -
3) ] + 350 =
375.6
[ (25 * 2) +
0.2 * (5 + 2 -
3) ] + 325 =
375.8
[ (25 * 3) +
0.2 * (5 + 3 -
3) ] + 300.2 =
376.2
[ (25 * 4) +
0.2 * (5 + 4 -
3) ] + 275.4 =
376.6
NP NP NP NP 375.4 0
6
[ (25 * 0) +
0.2 * (6 + 0 -
3) ]+ 350 =
350.6
[ (25 * 1) +
0.2 * (6 + 1 -
3) ] + 325 =
350.8
[ (25 * 2) +
0.2 * (6 + 2 -
3) ] + 300.2 =
351.2
[ (25 * 3) +
0.2 * (6 + 3 -
3) ] + 275.4 =
351.6
NP NP NP NP NP 350.6 0
CASO 1: PRODUCCIÓN E INVENTARIOS
• Etapa 1: 2 ≤ x1 ≤ 8, d1 = 2
Plan óptimo de producción:
x1 = 2 y2 = 0
x2 = 3 y3 = 0
x3 = 4 y4 = 0
x4 = 5 y5 = 0
x5 = 6 y6 = 0
x6 = 2 y7 = 0
X1
Y10 1 2 3 4 5 6 F1 ( Y1) X1
0
[ (25 * 2) +
0.2 * (0 + 2 -
2) ] + 500 =
550
[ (25 * 3) +
0.2 * (0 + 3 -
2) ] + 475 =
550.2
[ (25 * 4) +
0.2 * (0 + 4 -
2) ] + 450 =
550.4
[ (25 * 5) +
0.2 * (0 + 5 -
2) ] + 425 =
550.6
[ (25 * 6) +
0.2 * (0 + 6 -
2) ] + 400.2 =
551
[ (25 * 7) +
0.2 * (0 + 7 -
2) ] + 375.4 =
551.4
[ (25 * 8) +
0.2 * (0 + 8 -
2) ] + 350.6 =
551.8
550 2
Mes II Prod di IF
1 0 200 200 0
2 0 300 300 0
3 0 400 400 0
4 0 500 500 0
5 0 600 600 0
6 0 200 200 0
PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO …
PROBLEMA 1:
Se tiene una empresa que fabrica máquinas de afeitar eléctricas, con las siguientes
características:
• La demanda para los próximos 6 meses se ha pronosticado en 300, 200, 300, 200,
300 y 400 unidades respectivamente.
• El costo de producción es de $50 por unidad.
• El costo de almacenamiento es de $0.50 por unidad-mes.
• La producción se hace en lotes de 100.
• La capacidad máxima de producción es de 500 unidades.
• La capacidad máxima de almacenamiento es de 400 unidades.
• Se cuenta con inventario inicial de 100 unidades.
• El inventario final, en el sexto mes, debe ser 0 unidades con el fin de reducir costos.
Determinar el plan de producción para los próximos 6 meses que minimice los costos
totales.
BIBLIOGRAFÍA
N° CÓDIGO AUTOR TITULOEDICIÓN,AÑO DE
PUBLICACIÓN,EDITORIAL
1658.4034
TAHATaha, Hamdy Investigación de Operaciones
9na. Ed., Pearson
Educación, México D.F.,
México, 2012.
2658.4034
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Investigación de Operaciones:
Aplicaciones y Algoritmos
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