Date post: | 05-Jul-2018 |
Category: |
Documents |
Upload: | aldi-eka-saputra-y |
View: | 227 times |
Download: | 0 times |
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 1/27
7/4/2012 SUGENG2010 1
METODE NUMERIK
JURUSAN TEKNIK SIPILFAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
Copyright 1996-98 © Dale Carnegie & Associates, Inc.
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 2/27
Kesalahan (ERROR):
Selisih antara
nilai perkiraan dengan
nilai eksak(nilai sesungguhnya)
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 3/27
Jika ã adalah nilai perkiraan (nilai pendekatan)
a adalah nilai eksak
Maka kesalahan atau error adalah :
ε= ã - aatau
ã = a + ε
nilai pendekatan = nilai eksak + kesalahan
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 4/27
sedangkan Kesalahan Relatif (εr )
adalahPerbandingan antara kesalahan terhadap nilai
eksak
εr = eksak nilai
error
a
aa
a
~
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 5/27
Contoh soal :
Pada saat mengukur panjang sebuah
jembatan dan sebuah paku masing-masing 9999cm dan 9cm,jika nilai
eksak masing-masing adalah 10000cm
dan 10cm,hitunglah kesalahan relatif
yang terjadi!
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 6/27
ε jembatan=10000 – 9999 =1cm
εpaku = 10
–
9 = 1 cm
maka :
εr jembatan =
εr paku =
%01.0
10000
1
%1010
1
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 7/27
Soal 2
Berdasarkan deret Maclaurin :
!n
x.........
!3
x
!2
xx1
n32ex =
Hitung e0,5,jika nilai eksak e0,5=1,648721271
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 8/27
Penyelesaian :
Jika kita melakukan pendekatan dengan hanya
menggunakan dua suku pertama maka:
ex=1+xe0,5=1+0,5 = 1,5
9,02%11,64872127
1,511,64872127εr
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 9/27
kar persamaan NonLinear
Pada matematika Rekayasa sering kali kita harus
menentukan akar-akar persamaan sebuah fungsi yangberbentuk f(x)=0,jika dilakukan pendekatan nilai x=smaka f(s)=0 dengan f adalah fungsi yang diberikandan s adalah nilai pendekatan.
Formula yang memberikan nilai-nilai eksak untukmenjawab masalah numerik akan terjadi jika
permasalahan yang ada adalah masalah sederhana.
Pada beberapa kondisi maka diperlukan metode iterasiagar didapatkan hasil pendekatan yang mendekatinilai eksak.
Jadi untuk menentukan nilai x tersebut diatasdilakukan tahap demi tahap mulai darix0,x1,x2,x3,x4……..
Yang perlu dicatat adalah persamaan harus disusunulang menjadi bentuk f(x) = 0
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 10/27
cara yang umum digunakan untuk memecahkan akar-
akar persamaan Non Linier adalah dengan
menggunakan metode :
Newton RaphsonModified Newton Raphson
Bisection
Secant
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 11/27
Bisection MethodAlgoritma penyelesaian:
• Tetapkan nilai awal xn dan x
n+1 dengan syarat
f(xn) x f(xn+1) < 0
• Hitung:
• Hitung harga f(xr ).Jika,
f(xr ) x f(xn) > 0 maka xn = xr
f(xr ) x f(xn) < 0 maka xn+1 = xr
• Hitung kesalahan
2
1 nnr
x x x
1
1
n
nn
x
x x
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 12/27
Contoh:
Carilah nilai x yang memenuhi persamaan tan x = 1/x
dengan metode bisection
Jawab:
Susun ulang persamaan menjadi x tan x – 1 = 0
Sehingga f(x) = x tan x – 1
Dicoba nilai awal : xn = 0,5 f(xn) = -0.72685
xn+1 = 1
f(xn+1) = 0,55741
x r = (0,5 + 1 ) / 2 = 0,75 f(xr ) = -0,3013
Karena f(xn) x f(x
r ) > 0 maka x
n = 0,75
Cek error:
Ulangi langkah di atas sampai error mendekati nol
25,01
75,011
n
nn
x
x x
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 13/27
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 14/27
Newton-Raphson Method
Algoritma penyelesaian:
• Tetapkan nilai awal x = xn
• Hitung:
• Cek kesalahan:
• Jika kesalahan > toleransi, ulangi langkah di atas
sampai dengan kesalahan dalam batas toleransi
)('
)(1
n
nnn
x f
x f x x
1
1
n
nn
x x x
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 15/27
Contoh Soal :
Tentukan besarnya akar positif dari persamaan berikut :
X3 + √3(x2) - 2x =2√3
JAWABAN :
Dengan menggunakan Formula Newton :
)(')( )(
)(
)1(n
n
nn
x f x f x x
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 16/27
f(x)= x3 + √3(x2) – 2x - 2√3 = 0
f’(x)= 3x2 + 2√3(x) - 2
coba x(0) = 1,7
f(x0) = 3,0545
f’(x0)= 12,559
46,1559,12
0545,37,1)('
)()0(
)0(0)1(
x f
x f x x
4,1452,942,046,1
)(')()1(
)1(
1)2(
x f x f x x
coba x(1) = 1,46
f(x1) = 0,42
f’(x1)= 9,452
coba x
(2)
= 1,4f(x2) = -0,125
f’(x2)= 8,73
4,173,8
)125,0(4,1)('
)()2(
)2(2)3(
x f
x f x x
karena x(2) = x(3) maka proses iterasi sudah selesai.
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 17/27
Jika dianggap bahwa akar persamaannya adalah x = 1,4, maka
jika disubtitusikan ke dalam persamaan semula :
f(x) = x3 + √3(x2) – 2x - 2√3 = 0f(1,4) = (1,4)3 + √3(1,4)2 – 2(1,4) - 2√3
f(1,4) = - 0,125 ~ 0
Catatan : tingkat ketelitian adalah satu angka di belakang koma
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 18/27
Demikian juga jika akan menyelesaikan dua buah persamaan dengan dua
variabel yang tidak diketahui :
f 1 (x1,x2) = 0f 2 (x1,x2) = 0
Maka dengan cara yang sama Metode Newton dapat ditulis sebagai berikut
1
)(
2
)(
11
)(
2
)(
11)(1
)1(1
),(),(
x
x x f x x f x x
nn
nn
nn
2
)(
2
)1(
12
)(
2
)1(
12)(
2
)1(
2),(
,(
x
x x f x x f x x
nn
nn
nn
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 19/27
2x1 – x2 = -3
x1 – 2x2 = -3
Solusi eksak : x1 = -1
x2= 1
f 1(x1,x2) = 2x1 – x2 + 3
f 2(x1,x2) = x1 – 2x2 + 3
2
32
2
32
2),(
2),(
)(2
)1(1)(
2)1(
2
)(
2
)(
1)(
1)1(
1
2
212
1
211
nnnn
nnnn
x x x x
x x x x
x
x x f
x
x x f
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 20/27
Untuk mencoba awal digunakan :
x1(0) = x2
(0) = 0 dan ω = 1,maka :
x1(1) = -(3/2),x2
(1) = (3/4)
x1(2) = -(9/8),x2
(2) = (15/16)
x1(3) = -(33/32),x2
(3) = (63/64), dst
Sehingga sampai didapat x1(n+1) = x1
(n) = -1
x2(n+1) = x2
(n) = 1 konvergen
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 21/27
Modified Newton-Raphson Method
Untuk sistem persamaan yang panjang,penghitungan nilai turuan yang terus menerus
akan menyebabkan proses hitungan dalamiterasi cukup lama.
Modifikasi metode Newton-Raphson dilakukandengan mengambil nilai turunan pada iterasi
pertama untuk digunakan pada setiap iterasiberikutnya
Misal diambil nilai awal x = x0 mak proses iterasi
menjadi:
)('
)(
0
1 x f
x f x x n
nn
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 22/27
Contoh:
Carilah nilai x yang memenuhi persamaan tan x = 1/x
dengan metode modified newton-raphson
Jawab:
Susun ulang persamaan menjadi x tan x – 1 = 0
Sehingga f(x) = x tan x – 1 dan f’(x) = tan x + x sec 2 x
Dicoba nilai awal : x0 = 1 f(x0) = 0,55741
f’(x0) = 4,98293
Proses iterasi selanjutnya menggunakan persamaan
98293,4
1tan1
nnnn
x x x x
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 23/27
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 24/27
Secant MethodAlgoritma penyelesaian:
• Tetapkan nilai awal xn-1
dan xn
• Hitung:
• Hitung kesalahan:
• Jika ε > toleransi, maka xn = xn+1 dan xn-1 = xn
ulangi langkah di atas sampai dengan akar persamaan x = xn
)()(
))((
1
11
nn
nnnnn
x f x f
x x x f x x
1
1
n
nn
x x x
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 25/27
Contoh:
Carilah nilai x yang memenuhi persamaan tan x = 1/x
dengan metode secant
Jawab:
Susun ulang persamaan menjadi x tan x – 1 = 0
Sehingga f(x) = x tan x – 1
Dicoba nilai awal : xn = 1 dan xn -1 =1,1
Proses iterasi selanjutnya menggunakan persamaan
1tan1tan1tan11
11
nnnn
nnnnnn
x x x x x x x x x x
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 26/27
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 27/27
stop