Sistema de Numeración

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos.

Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.

Se clasifica en:

 Sistema de numeración decimalSistema de numeración binarioSistema de numeración octalSistema de numeración hexadecimal

 Sistema de numeración decimal

El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal.

Por Ejemplo: 8245,97 se calcularía como:

8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos

8*103 + 2*102 + 4*101 + 5*100 + 9*10-1 + 7*10-2, es decir:

8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97

Por Ejemplo: 528

5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:5*102 + 2*101 + 8*100 o, lo que es lo mismo:500 + 20 + 8 = 528

8758 2437907 15 18 (0)

2

2218903

17 19 (1)

1094 09 14 (0)

2

5472

273 14 07 (1)

2

136 07 13 (1)

2

68 16 (0)

2

08 (0)

342

17 14 (0)

2

8 (1)

2

4 (0)2

2 (0)2

1 (0)

875810 = 10001000110110 2

018 09 (1)

Conversión de Números Decimales a Binario

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 08192 4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

2

4

16

32

512

8192

8758

Conversión de Números Binario a Decimales

10001000110110 2 = 875810

Conversión de Números Decimales a Octal y viceversa

589210 =X8

873629 52 (4)

8

892 16

118

5892

(0) 12 (4) 1

(3)

1340480=1*4=4

81=8*0=0

82=64*4=256

83=512*3=1536

84=4096*1=4096

5892

Conversión de Números Octal a Decimal

134048=589210

 Sistema De Numeración Binario

El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno.

Con

vers

ión

de N

úm

ero

s

Bin

ari

o a

Decim

al 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

1 0 1 1 1 0 1 1 0 1

8

14

32

64

128

512

74910

10111011012=X10

Conversión de Números Decimal a Binario

74910=10111011012

749 237414 09

2

218717

14

93 13

2

462

23

(1)(0)

07 (1) (1) 06

(0)

2

11 03 (1)

2

5(1)

2

2(1)2

1(0)

Conversión de Números Decimal a Hexadecimal Y Viceversa

173510=X16

1735 16108 0135 (07)

16

6 (12)

6C716=173510

6c7

6C716

160=1*7=7

161=16*12=192

162=256*6=1536

173510

 Sistema de numeración octal

En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.

Por Ejemplo: el número octal 2738 tiene un valor que se

calcula así:

2*83 + 7*82 + 3*81 = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 149610

2738 = 149610

• Conversión de números binarios a octales y viceversa

DECIMAL BINARIO OCTAL

0 000 0

1 001 1

2 010 2

3 011 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema binario. Por tanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas de numeración equivale a "expandir" cada dígito octal a tres dígitos binarios, o en "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal.

Conversión de Números Octal a Hexadecimal Y Viceversa

1103158=X16

110315 166894143 151 075 (11)

16

16430049

(014)

26 (10)

110 (14)

16

1

B E E A

1AEEB16=11031510

1 A EEB160=1*11=11

161=16*14=224

162=256*14=3584

163=4096*10=40960

1

164=65536*1=65536

1103158

Conversión de Números Decimal a Octal Y Viceversa

2356110=X8

2356182945

75 36 41 (1)

8

8368 54

65 (1)

46 (6)

48 (0)

8

5

560118= 2356110=

5601180=1*1=1

81=8*1=8

82=64*0=0

83=512*6=3072

84=4096*5=20480

235618

Sistema de numeración hexadecimal

En el sistema hexadecimal los números se representan

con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C,

D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F

representando las cantidades decima les 10, 11, 12, 13, 14

y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que

9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos

símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se

calcula mediante potencias de base 16.

1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160

  1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719

1A3F16 = 671910

Conversión de Números Hexadecimal a Decimal

1A3 F16 = X10

10 15

Conversión de Números Hexadecimal a Binario Y Viceversa

AF1716 = X2

101517250758

015 11 17 (1)

2

22537910 07 15 18 (0)

12689

06 08 09 (1)

2

6344 2

3172 03 14 04 (0)

2

158611 17 12 (0)

2

793 18 06 (0)

2

19 13 (1)

396 2

19819 16 (0)

2

99 18 (0)

2

49 19 (1)

2

24 09 (1)

2

12 04 (0)

05 13 17 19 (1)

2

62

3 (0) 2

1

(0)

(1)

12

110001100100011012= AF1716

1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1101 65536 32768 16384 8192 4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

13

128

1024

2048

32768

65536

101517AF1716 = 110001100100011012

A F 17

Conversión de números binarios a hexadecimales y

viceversaDECIMAL BINARIO HEXADECIM

AL

0 0000 0

1 0001 1

2 0010 2

3 0011 3

4 0100 4

5 0101 5

6 0110 6

7 0111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "contrayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios. Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el número binario 1010011100112 bastará con tomar grupos

de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal:  10102 = A16

01112 = 716

00112 = 316

y, por tanto: 1010011100112 = A7316

Operaciones con números binarios

Suma de Números Binarios

Las posibles combinaciones al sumar dos bit son:

0+0=00+1=11+0=11+1=0 base 1

2030

50

+011110 10100

110010 32 16 8 4 2 1

50

2010+

30

10100 101011110 16 8 4 2 1

30

Note que al sumar 1 + 1 es 102, es decir,

llevamos 1 a la siguiente posición de la izquierda Esto es equivalente, en el sistema decimal a sumar 9 + 1, que da 10: cero en la posición que estamos sumando y un 1 de acarreo a la siguiente posición.

Resta de Números Binarios

0 - 0 = 01 - 0 = 11 - 1 = 00 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1)La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 0 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en el sistema decimal, 2 - 1 = 1.

1011010 - 110101 100101 32 16 8 4 2 1

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Multiplicación de Números Binarios

Sirve para multiplicar números binarios.

Por Ejemplo:

101 * 1001 101 000 000 101

101101

+

División de Números Binarios

Sirve para dividir binarios.Ejemplos: 100010010 1101

010101- 0000

10001 -1101

01000- 0000

10000

- 1101

00111-0000

01110 -1101

00001