Sistemas de
Ecuaciones Lineales
I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas
Matemáticasde
2º de Bachillerato
Por Javier Carroquino CaZas Catedrático de matemáticas
del I.E.S. Siete Colinas
Ceuta 2004
Sistemas de
Ecuaciones Lineales
Javier Carroquino Cañas
Matemáticas de 2º de bachillerato–•–
Ciencias de la Naturaleza y la SaludTecnología
Sistemas De
Ecuaciones LinealesPor
Javier Carroquino CañasCatedrático de matemáticas
I.E.S. Siete Colinas (Ceuta)Departamento de Matemáticas
Ceuta 2004
© Javier Carroquino CañasI.E.S. Siete Colinas (Departamento de Matemáticas)Sistemas de Ecuaciones Lineales
Depósito Legal : CE & 45 & 2004
ISBN : 84&688&6799&3
Número de Registro :
Ceuta 2004
Prólogo
E n ocasiones, encontrar la solución a un problemareal, en el que la matemática juega un papelimportante para llegar a ella, se reduce a la
resolución de una ecuación o de un sistema de dosecuaciones o de tres, etc, siendo esto la culminación detodo un proceso en el que dicho problema real (o parte deeste) ha quedado “reducido” a un sistema de ecuaciones.
Es por ello, por lo que la matemática debe afrontarel estudio de métodos que nos permitan resolver sistemasde ecuaciones, esto es, encontrar los valores que debentomar las incógnitas para que todas las igualdades de queconsta dicho sistema sean verdaderas.
Veremos en este tema distintos métodos deresolución de sistemas de ecuaciones lineales (o de primergrado), dando por supuesto que el alumno conoce losdistintos métodos de resolución de ecuaciones y sistemasde dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (reducción,igualación y sustitución).
Concluyamos diciendo que estos métodos son deaplicación en numerosos problemas relacionados con elestudio de espacio, la arquitectura, la construcción demáquinas y grandes estructuras, la economía, etc.
Cada método explicado en este cuaderno iráacompañado de uno o más ejemplos con el objetivofacilitar la comprensión por parte del alumno.
Matemáticas de 2º de bachillerato Sistemas de Ecuaciones LinealesI
Índice
Página
1.Conceptos previos ..................................... 11.1.Ecuación lineal................................. 1
Ejemplo 1..................................... 11.2.Incógnitas de una ecuación...................... 1
Ejemplo 2 .................................... 2Ejemplo 3..................................... 2
1.3.Coeficientes de una ecuación ................... 2Ejemplo 4...................................... 2
1.4.Término independiente de una ecuación ........... 2Ejemplo 5....................................... 2
1.5.Solución de una ecuación ........................ 2Ejemplo 6....................................... 3Ejemplo 7....................................... 3
1.6.Resolución de una ecuación....................... 32.Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes reales.. 4
Ejemplo 8............................................ 5Ejemplo 9............................................ 5
3.Solución de un sistema................................... 54.Discusión de un sistema.................................. 65.Resolución de un sistema................................. 6
Ejemplo 10 .......................................... 66.Expresión de un sistema en forma matricial............... 7
Ejemplo 11 .......................................... 8Ejemplo 12 .......................................... 9Ejemplo 13 .......................................... 9Ejemplo 14 .......................................... 11Ejemplo 15 .......................................... 11Ejemplo 16 .......................................... 12
7.Matriz ampliada de un sistema ........................... 12Ejemplo 17 .......................................... 13
8.Sistemas equivalentes ................................... 13Ejemplo 18 .......................................... 13
9.Clasificación de los sistemas respecto de sus soluciones .1410.Propiedades de los sistemas ........................... 15
Propiedad I ......................................... 15Ejemplo 19 ..................................... 15Ejemplo 20 ..................................... 15Ejemplo 21 ..................................... 18
Propiedad II ........................................ 18Ejemplo 22 ..................................... 18
Propiedad III ....................................... 19Ejemplo 23 ..................................... 20
11.Resolución de un sistema. Métodos de resolución......... 2112.Método de la matriz inversa para resolver un sistema ... 21
Ejemplo 24 .......................................... 22Ejemplo 25 .......................................... 23Ejemplo 26 .......................................... 24
13.Método de Gauss para la resolución de un sistema ....... 25Ejemplo 27 .......................................... 26
Matemáticas de 2º de bachillerato Sistemas de Ecuaciones LinealesII
Página
Ejemplo 28 .......................................... 27Ejemplo 29 .......................................... 29
14.Método de Gauss para la resolución de un sistema ............ 29Ejemplo 30 .......................................... 30Ejemplo 31 .......................................... 31
15.Método de Cramer para la resolución de un sistema ...... 3215.1.Sistema de Cramer .............................. 32
Ejemplo 32 ..................................... 33Ejemplo 33 ..................................... 33Ejemplo 34 ..................................... 34Ejemplo 35 ..................................... 36Ejemplo 36 ..................................... 37Ejemplo 37 ..................................... 37
16.Teorema de Rouché ...................................... 3916.1.Observaciones y consec. del teorema de Rouché .. 42
Ejemplo 38 ..................................... 42Ejemplo 39 ..................................... 43Ejemplo 40 ..................................... 44Ejemplo 41 ..................................... 45Ejemplo 42 ..................................... 47Ejemplo 43 ..................................... 49Ejemplo 44 ..................................... 50Ejemplo 45 ..................................... 54
17.Sistemas homogéneos .................................... 54Ejemplo 46 .......................................... 5517.1.Propiedades de los sistemas homogéneos ......... 55
Propiedad I .................................... 55 Propiedad II.................................... 55Propiedad III .................................. 56 Propiedad IV. .................................. 56
17.2.Forma de discutir un sistema homogéneo ......... 57Ejemplo 47 ..................................... 57Ejemplo 48 ..................................... 58
18.Los conjuntos ú2,ú3,ú4,ÿÿ,ún ............................ 5918.1.El conjunto ú2 ................................. 59
Ejemplo 49 .................................... 6018.2.El conjunto ú3 ................................. 60
Ejemplo 50 ..................................... 6018.3.El conjunto ú4 ................................. 60
Ejemplo 51 ..................................... 6018.4.El conjunto ún ................................. 60
19.El conjunto de las soluciones de un sistema ........... 61Ejemplo 52 .......................................... 62Ejemplo 53 .......................................... 62Ejemplo 54 .......................................... 62Ejemplo 55 .......................................... 63
20.Formas implícita y paramétrica de un subconjunto de ún.. 63Ejemplo 56 .......................................... 64
21.Eliminación de parámetros ............................. 65Ejemplo 57 .......................................... 65Ejemplo 58 .......................................... 66Ejemplo 59 .......................................... 67Ejemplo 60 .......................................... 68
Matemáticas de 2º de bachillerato Sistemas de Ecuaciones LinealesIII
Página
Ejercicios resueltos ..................................... 70Ejercicio nº 1 ...................................... 70Ejercicio nº 2 ...................................... 71Ejercicio nº 3 ...................................... 71Ejercicio nº 4 ...................................... 72Ejercicio nº 5 ...................................... 73Ejercicio nº 6 ...................................... 73Ejercicio nº 7 ...................................... 74Ejercicio nº 8 ...................................... 77Ejercicio nº 9 ...................................... 79
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 1 Sistemas de Ecuaciones Lineales
a x a x a x a x cn n1 1 2 2 3 3+ + + + =LL
325
11 0 73 121 2 3 4 5x x x x x+ − − ′ + = −π
a a a a a c1 2 3 4 5325
11 0 73 12= = = − = − ′ = = −; ; ; ; ;π
Antes del estudio de este tema, el alumno debe afrontar previamente el desarrolladobajo el título “Matrices y determinantes” perteneciente a esta colección deapuntes de matemáticas para 2º de bachillerato (modalidad Ciencias de la
Naturaleza y Salud o Científico Tecnológico).Hay que suponer que el alumno conoce y maneja distintos conceptos previos, tales como
“ecuación”, “sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas”, métodos deresolución de “sustitución”, “igualación” y “reducción”, “solución de una ecuación” ,etc.
Veremos en este tema distintos métodos de resolución de ecuaciones lineales (o de primergrado), tales como Gauss, Matricial, Cramer, Rouche, así como la interpretación y significadoque tiene, en algunos casos, la solución o soluciones de un sistema. Finalicemos diciendo queen este caso nos dedicaremos a ecuaciones con coeficientes reales.
1.Conceptos previos.-
En el estudio de los distintos métodos de resolución de un sistema de ecuaciones,aparecen unos términos que el alumno debe conocer y que recordamos en este apartado.
1.1.Ecuación lineal.-Se llama ecuación lineal o ecuación de primer grado a una expresión algebraica
de la siguiente forma:
en la que a1, a2, a3, ....., an y c son números conocidos, mientras que x1, x2, x3, ...., xnson números desconocidos
Ejemplo 1.-
es una ecuación lineal. En este caso es:
1.2.Incógnitas de una ecuación.-Hemos visto que en una ecuación lineal hay números conocidos y números
desconocidos. A los números conocidos se les denomina incógnitas de la ecuación.Por tanto, en la ecuación lasa x a x a x a x cn n1 1 2 2 3 3+ + + + =LL
incógnitas son x1, x2, x3, ...., xn , es decir, es una ecuación con n incógnitas.
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 2 Sistemas de Ecuaciones Lineales
325
11 0 73 121 2 3 4 5x x x x x+ − − ′ + = −π
a a a a a1 2 3 4 5325
11 0 73= = = − = − ′ =; ; ; ; π
Ejemplo 2.-Consideremos la ecuación del ejemplo 1.
Se trata de una ecuación lineal con cinco incógnitas: x1, x2, x3, x4, x5
Generalmente, si el número de incógnitas de una ecuación lineal es n = 3, suelenemplearse las letras x , y, z.
Ejemplo 3.-La ecuación lineal tiene tres incógnitas, que son: x , y , z.x y z− + =5 9En este caso a1 = 1 ; a2 = -1 ; a3 = 5 ; c = 9
1.3.Coeficientes de una ecuación.-Los números (generalmente conocidos) que “van” multiplicando a las incógnitas
se denominan coeficientes de la ecuación o coeficientes de las incógnitas. Es decir, en la ecuación losa x a x a x a x cn n1 1 2 2 3 3+ + + + =LL
coeficientes son los números reales a1, a2, a3, ....., an.
Ejemplo 4.-
Consideremos la ecuación 325
11 0 73 121 2 3 4 5x x x x x+ − − ′ + = −π
En este caso los coeficientes son :
1.4.Término independiente de una ecuación.-Es el número real que no multiplica a ninguna de las incógnitas.En la ecuación , el términoa x a x a x a x cn n1 1 2 2 3 3+ + + + =LL
independiente es c. El término independiente puede aparecer a cualquier lado de laigualdad, es decir, a la izquierda o a la derecha. Consideraremos como el valor de ccuando se encuentra aislado a un lado de la igualdad.
Ejemplo 5.-En la ecuación , el término independiente es c = &45,9 7 3 45 0x y z− + + =
ya que la ecuación es .9 7 3 45x y z− + = −
1.5.Solución de una ecuación.-Es el conjunto de números reales que al sustituirlos por las incógnitas, convierten
la igualdad en una identidad, esto es, hacen que la igualdad sea verdadera.
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales
2 8 2 2 8 2 8⋅ − − + ⋅ = ⋅ + − ⋅ =α α α α( )
Es decir: es una ecuación.a x a x a x a x cn n1 1 2 2 3 3+ + + + =LL
Supongamos que sustituimos la incógnitas x1, x2, x3, ...., xn por los valoressiguientes: α1, α2, α3, ...., αn, es decir, x1=α1, x2 =α2, x3 =α3, ...., xn=αn , de talmodo que la igualdad esa a a a cn n1 1 2 2 3 3⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =α α α αLL
verdadera.Pues bien, en este caso se dice que el conjunto de números {α1, α2, α3, ...., αn}es una solución de la ecuación.La solución de la ecuación puede expresarse de distintas formas:Una forma: x1=α1, x2 =α2, x3 = α3, ...., xn= αn es solución de la ecuación.Otra forma: S = {α1, α2, α3, ...., αn} es solución de la ecuación.Otra forma: es solución de la ecuación.
rKs n= ( , , , , )α α α α1 2 3
Ejemplo 6.-Dada la ecuación , una solución es S = { 7, &3, &23 } ya que4 5 20x y z− + =
si sustituimos en la ecuación los valores x = 7 ; y = &3 ; z = &23 tenemos que laigualdad 4·7&5·(&3) & 23 = 20 es verdadera.
Por tanto:x = 7 ; y = &3 ; z = &23 es una solución de la ecuación
Puede expresarse: o también S = { 7, &3, &23 }.rs = − −( , , )7 3 23
A una ecuación lineal le puede ocurrir uno de los siguientes apartados:L Que no tenga solución.L Que tenga una única solución.L Que tenga infinitas soluciones.
Ejemplo 7.-R La ecuación lineal con tres incógnitas no tiene solución0 0 0 3x y z+ + =
ya que no existen tres números reales α1, α2 , α3 que verifique la igualdad. 0 0 0 31 2 3α α α+ + =
R La ecuación (ecuación con una incógnita) tiene una única54 108x =solución: x = 2. Nótese que cualquier otro número distinto de x = 2 no verifica laigualdad.
R La ecuación tiene infinitas soluciones. Veamos:2 8x y− = es una solución, ya que 2 · 0 &(&8) = 8
rs1 0 8= −( , ) es otra solución, ya que 2 · 1 &(&6) = 8
rs2 1 6= −( , ) es otra solución, ya que 2 · (&1) &(&10) = 8
rs3 1 10= − −( , )Observa que cualquier par (α , &8 + 2α) es una solución. En efecto:
1.6.Resolución de una ecuación.-Resolver una ecuación consiste en emplear un método que nos permita encontrar
la o las soluciones (si las tiene) de esa ecuación.
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):( ):( ):
( ):
123
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
a x a x a x a x ca x a x a x a x ca x a x a x a x c
m a x a x a x a x c
S
n n
n n
n n
m m m mn n m
+ + + + =+ + + + =+ + + + =
+ + + + =
LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
{ }a coni mj nij
11
≤ ≤≤ ≤
{ } { }Incognitas x independientes cj j n i i m& : &, , ,...., , , ,....,= =1 2 3 1 2 3Terminos
2.Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes reales.-
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto formado por mecuaciones lineales, cada una de ellas con las mismas n incógnitas.
En forma genérica (es decir, sin concretar) se escribe:
Siendo:S S el nombre que le hemos dados al sistema.S (1) , (2), (3) , ...... , (m) la numeración de las ecuaciones que identifica a cada una de
ellas.S m = número de ecuaciones.S x1 , x2 , x3 , .... , xn son las incógnitas (en este caso n).S n = número de incógnitas.S a11 , a12 , a13 , ....., a1n Son los coeficiente de las ecuaciones.
a21 , a22 , a23 , .... , a2n Se trata de números reales.a31 , a32 , a33 , .... , a3n Nótese que aij representa al coeficiente de la þþþþþþþþþþþþþþ ecuación i , incógnita xj.am1 , am2 , am3 , .... , amn
S c1 , c2 , c3 , .... , cm son los términos independientes.
Una forma abreviada e expresar el sistema S de m ecuaciones con n incógnitas sería:
Nótese en la expresión anterior como queda perfectamente determinado el número deecuaciones m y el de incógnitas n.
Podemos expresar los coeficientes de las ecuaciones abreviadamente del siguiente modo:
Lo mismo podemos hacer con las incógnitas y los términos independientes:
El tamaño o dimensión de un sistema viene dado por el número de ecuaciones y deincógnitas. Convenimos en decir que un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es dedimensión m×n (m por n).
( ): , , ,....,i a x c siendo i mij j ij
n= =
=∑
11 2 3
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 5 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):i a x c con iij j ij
= ≤ ≤=∑
1
41 3
( ): , , ,....,i a x c siendo i mij j ij
n= =
=∑
11 2 3
( ):( ):( ):
123
11 1 12 2 13 3 14 4 1
21 1 22 2 23 3 24 4 2
31 1 32 2 33 3 34 4 3
a x a x a x a x ca x a x a x a x ca x a x a x a x c
S+ + + =+ + + =+ + + =
( ):
( ):
( ):
1 2 5 8
2 6
3 3 11
1 2 3
1 232 3
54 1 2 3
x x x
x x x
x x x
S
− + =
− + + = −
− + =
1 2 5
1 1
3 1
32
45
, ,
, ,
, ,
.
−
−
−
son los coeficientes
Ejemplo 8.-Un sistema genérico (es decir, sin determinar o concretar) de tres ecuaciones con cuatro
incógnitas expresado abreviadamente es:
Si queremos expresarlo en forma desarrollada, será:
Ejemplo 9.-Un sistema concreto de dimensión 3×3 es:
En este caso: x1 , x2 , x3 son las incógnitas.8, &6, 11 son los términos independientes.
3.Solución de un sistema.-
Supongamos un sistema de orden (dimensión) m×n, es decir:
Supongamos que s1 , s2 , s3, .... , sn son n números reales que al ser substituidos por lasn incógnitas, es decir, x1 = s1 , x2 = s2 , x3 = s3, .... , xn = sn , en las m ecuaciones del sistema,dichas ecuaciones se convierten en identidades (es decir, las igualdades son verdaderas). En estecaso se dice que los n números s1 , s2 , s3, .... , sn constituyen una solución de ese sistema.
Una solución puede expresarse de distintos modos: s = {s1 , s2 , s3, .... , sn } es decir, un conjunto de n números reales. es decir, un vector (se llama así) del conjunto únrs s s s sn= ( , , ,...., )1 2 3 x1 = s1 , x2 = s2 , x3 = s3, .... , xn = sn es una solución del sistema.
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 6 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ): , , ,....,i a s c siendo i mij j ij
n= =
=∑
11 2 3
( ): & , , ,....,i a r c para i mij j ij
n≠ =
=∑
11 2 3algun
( ): , , ,....,i a s c siendo i mij j ij
n= =
=∑
11 2 3
( ): , , ,....,i a s c siendo i mij j ij
n= =
=∑
11 2 3
A un sistema S de dimensión m×n le puede ocurrir alguno de los apartados siguientes: Que tenga solución única. Esto significa que únicamente existe un conjunto de
n números S1= { s1 , s2 , s3, .... , sn } que verifican las m ecuaciones del sistema.Es decir:
Cualquier otro conjunto S2= { r1 , r2 , r3, .... , rn } no verifica alguna (al menos)de las m ecuaciones. Es decir:
Que tenga infinitas soluciones. En este caso existen infinitos conjuntos de nnúmeros que verifican las m ecuaciones (es decir, la m igualdades).Existen infinitos tal que:
rs s s s sn= ( , , ,...., )1 2 3
Que no tenga solución. En este caso no existe un vector rs s s s sn= ( , , ,...., )1 2 3
que verifique las m igualdades. Es decir:
ò (s1, s2, s3, ...., sn)0 ún *
4.Discusión de un sistema.-
Discusión o discutir un sistema es utilizar un método para averiguar si ese sistema tienesolución (una o infinitas) o no tiene solución. Como es lógico, la información para decidir si unsistema tiene o no solución y si este es única o no, se obtiene del propio sistema. Veremos en estetema como se obtiene.
5.Resolución de un sistema.-
Resolución o resolver un sistema es emplear un método para encontrar la o las solucionesde dicho sistema (en caso de que tenga). Generalmente, la resolución se hace después de ladiscusión, aunque es posible lo contrario, es decir, que al intentar resolver el sistema nosencontremos con que no tiene solución, o si la tiene, esta es única.
En este tema veremos distintos métodos de resolución de sistemas.
Ejemplo 10.-
P Queremos saber si es solución del sistema S.rs = −( , , )2 1 3
P Queremos saber si es solución del sistema Srr = −( , , )5 2 5
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 7 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):( ):( ):( ):
1 2 2 4 262 3 3 23 4 3 214 3 4 6 7
x y zx y zx y zx y z
S
+ + =− + + = −
− − =− − = −
( ): ( )( ): ( )( ): ( )( ): ( )
1 2 5 2 2 4 5 10 4 20 262 3 5 2 3 5 15 2 15 23 4 5 3 2 5 20 6 5 214 3 5 4 2 6 5 15 8 30 7
⋅ + ⋅ − + ⋅ = − + =− ⋅ + − + ⋅ = − − + = −
⋅ − ⋅ − − = + − =⋅ − ⋅ − − ⋅ = + − = −
Se verifican las cuatro igualdades
( ):( ):( ):
( ):
123
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
a x a x a x a x ca x a x a x a x ca x a x a x a x c
m a x a x a x a x c
S
n n
n n
n n
m m m mn n m
+ + + + =+ + + + =+ + + + =
+ + + + =
LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
a a a aa a a aa a a a
a a a a
xxx
x
ccc
c
Sistema S
n
n
n
m m m mn n m
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
1
2
3
1
2
3
L
L
L
M M M M M
L
M M
⋅
=
siendo :
Veamos:c Substituimos x = 2 ; y = &1 ; z = 3 en las tres ecuaciones:
No se verifica la igualdad (1).( ): ( )1 2 2 2 1 4 3 14 26⋅ + ⋅ − + ⋅ = ≠Por tanto, no es solución del sistema S (no hace falta seguir)
rs = −( , , )2 1 3c Substituimos x = 5 ; y = &2 ; z = 5 en las cuatro ecuaciones:
Por tanto, es una solución del sistema S.rr = −( , , )5 2 5
6.Expresión de un sistema en forma matricial.-
Consideremos un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, es decir:
Este sistema se puede expresar utilizando matrices, su producto e igualdad, del siguientemodo:
A la izquierda de la igualdad tenemos un producto de una matriz de orden m×n por otramatriz columna de orden n×1. El resultado de este producto es otra matriz de orden m×1.
Obsérvese que la matriz m×n es una matriz que tiene los coeficientes del sistemaordenados tal y como aparecen en dicho sistema, la matriz n×1 es la de las incógnitas y la matrizm×1 corresponde a los términos independientes.
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 8 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ) ( ) ( )a x c siendoi mj nij j i⋅ ===
1 2 31 2 3, , ,....,, , ,....,
( ):( ):1 4 3 52 2 7 8
x y zx y z S
− + =+ + =
4 3 12 1 7
58
−
⋅
=
xyz
A
a a a aa a a aa a a a
a a a a
X
xxx
x
C
ccc
c
n
n
n
m m m mn n m
=
=
=
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
1
2
3
1
2
3
L
L
L
M M M M M
L
M M
; ;
A es la matriz de los coeficientes
Xxyz
es la matriz de las incognitas
C es la matriz de los independientes
=−
=
=
4 3 12 1 7
58
& .
& .terminos
Pongamos nombre a las matrices:
) A es la matriz de los coeficientes. Su orden es m×n) X es la matriz de las incógnitas. Es de orden n×1, con n = nº de incógnitas) Y es la matriz de los coeficientes. Su orden es m×1, com m = nº de ecuaciones.
En forma abreviada se expresa: A X C⋅ =También se puede expresarse : siendo O la matriz cero de orden m×1A X C O⋅ − =
Para la expresión matricial de un sistema, también podemos emplear la forma abreviada:
Ejemplo 11.-Sea el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas siguiente:
Vamos a expresarlo en forma matricial:
En este caso:
Abreviadamente es A X C⋅ =
Supongamos que es una ecuación de orden m×n y A X C⋅ = rKs n= ( , , , , )α α α α1 2 3
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 9 Sistemas de Ecuaciones Lineales
2 1 61 4 58 0 3
702
1
2
3
− −
−
⋅
=−
xxx
3 2 22 1 5
129
−−
⋅
=
xyz
3 2 22 1 5
543
129
−−
⋅
−
=
debemos ver si esta igualdad es verdad o falsa.
3 2 22 1 5
543
15 8 610 4 15
129 5 4 3
−−
⋅
−
=− −
+ +
=
= = = −
la igualdad es verdadx y z es solucion
.; ; &
a a a aa a a aa a a a
a a a a
ccc
c
n
n
n
m m m mn n m
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
1
2
3
1
2
3
L
L
L
M M M M M
L
M M
⋅
=
ααα
α
es una solución del sistema. Esto significa que se verifica la siguiente igualdad matricial:
Ejemplo 12.-Un sistema viene dado por su expresión matricial siguiente:
Vamos a expresarlo mediante sus ecuaciones.
( ):( ):( ):
. & .1 2 6 72 4 5 03 8 3 2
1 2 3
1 2 3
1 3
x x xx x xx x
S Sistema de tres ecuaciones con tres incognitas− − =
+ + =− = −
Ejemplo 13.-Sea el sistema de orden 2×3 expresado en forma matricial, siguiente:
Queremos saber si x = 5 ; y = 4 ; z = &3 es una solución del sistema.Veamos:
En la expresión matricial substituimos la matriz de las incógnitas X por 543−
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 10 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( )A B B At t t⋅ = ⋅
( )A X C Igualdad matricial
A X C La traspuesta de la izquierda es igual a la de la derecha
X A C Hemos aplicado la propiedad mencionada
t t
t t t
⋅ =
⋅ =
⋅ = .
X A C siendo
X x de orden n
A b de orden n m Siendo b
C c de orden m
at t t
tj j n
tji j n
i mji
ti i m
ij⋅ =
= ×
= ×
= ×
==
==
=
( )
( ) .
( )
, , ,....,
, , ,....,, , ,....,
, , ,....,
1 2 3
1 2 31 2 3
1 2 3
1
1
( ) ( )x x x x
a a a aa a a aa a a a
a a a a
c c c cn
m
m
m
n n n mn
m1 2 3
11 21 31 1
12 22 32 2
13 23 33 3
1 2 3
1 2 3L
K
K
K
L L L L L
K
K⋅
=
Veamos otra forma de expresar un sistema en forma matricial:9 Sea el sistema un sistema de orden m×n expresado en forma matricial.A X C⋅ =
Siendo:
( )( )( )
A a matriz de los coeficientes m n
X x matriz de lasincognitas n
C c matriz de independientes m
ij i mj n
j j n
i i m
= ×
= ×
= ×
==
=
=
1 2 31 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1
, , ,....,, , ,....,
, , ,....,
, , ,....,
( )
& ( )
& ( )terminos
9 Recordemos la siguiente propiedad del producto de matrices:
Es decir: “La traspuesta de un producto de dos matrices es igual al producto de lastraspuestas de las matrices, pero conmutando ambas”
9 Apliquemos esta propiedad a la expresión matricial del sistema:
9 Tenemos, por tanto:
9 En forma desarrollada será:
Observa como b11 = a11 ; b12 = a21 ; b13 = a31 ; .... ; b1m = am1 ; .... etc.
9 Conclusión:A X C
X A CFormas matriciales de un sistemat t t
⋅ =
⋅ =
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 11 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):( ):( ):
1 4 3 5 82 3 5 2 93 3 6 9 7
1 2 3 4
1 2 3 4
1 3 4
x x x xx x x xx x x
S− − + =− + − = −
+ + =
4 3 5 11 3 5 23 0 6 9
89
7
1
2
3
4
− −− −
⋅
= −
xxxx
( ) ( )x x x x1 2 3 4
4 1 33 3 05 5 6
1 2 9
8 9 7⋅− −−
−
= −
( ) ( )S x y z: ⋅ −−
=71 0
30
12
45
125
( ) :
( ):&
( ) :
( ):
1 7
2 3 0
1 7
2 0 3 0
45
125
12
45
125
12
x y z
x zS o tambien
x y z
x y zS
− + =
− =
− + =
+ − =
Ejemplo 14.-Consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas:
Vamos a expresarlo matricialmente de la forma A · X = C :
Vamos a expresarlo matricialmente de la forma X A Ct t t⋅ = :
Nótese que: A M X M C M
A M X M C Mt t t
∈ ∈ ∈
∈ ∈ ∈
× × ×
× × ×
3 4 4 1 3 1
4 3 1 4 1 3
; ;
; ;
Ejemplo 15.-Dado el sistema S expresado en forma matricial, queremos expresarlo en forma
desarrollada por sus ecuaciones y en la otra forma matricial:
Veamos:‘ Mediante sus ecuaciones (dos ecuaciones con dos incógnitas):
Obsérvese como las incógnitas con coeficiente 0 pueden escribirse u omitir su escritura,sin olvidar su presencia.
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 12 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sxyz
:7 1
0 3 0
45
12
125−
−
⋅
=
( ):( ):( ):
( ):
123
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
a x a x a x a x ca x a x a x a x ca x a x a x a x c
m a x a x a x a x c
S
n n
n n
n n
m m m mn n m
+ + + + =+ + + + =+ + + + =
+ + + + =
LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
( ) ( )x y z ⋅−
−
=2 43 16 2
4 8
( ) ( ) ( )02 43 16 2
0 2 3 6 4 0 1 2 4 8143
53
143
53
143
53
− ⋅−
−
= ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − − =( )
A
a a a a ca a a a ca a a a c
a a a a c
M
n
n
n
m m m mn m
m n*
( )=
∈ × +
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
1 2 3
1
L
L
L
L L L L L L
L
‘ Expresemos el sistema mediante la otra forma matricial:
Ejemplo 16.-Dado el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas:
averiguar si la matriz es solución del sistema.( )S1143
530= −
Veamos:
Por tanto, la matriz es solución del sistema.( )S1143
530= −
7.Matriz ampliada de un sistema.-
Consideremos un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, es decir:
Si a la matriz de los coeficientes (A) le añadimos otra columna (última columna) con lostérminos independiente ( elementos ci ), obtenemos otra matriz de orden m×(n+1). Dicha matrizse denomina matriz ampliada del sistema S. La expresaremos de la forma A* , B*, etc., segúnla matriz de los coeficientes sea A , B , etc.
Es decir:
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 13 Sistemas de Ecuaciones Lineales
A M* =−
− −−
∈ ×
2 1 3 1 141 3 0 5 63 1 1 0 17
3 5
( ):( ):1 8 12 282 15 12 45 2
x yx y
S+ =− =
( ):( ):1 8 12 282 23 45 3
x yx
S+ =
=
Ejemplo 17.-
Sea el sistema Sx x x xx x x
x x x:
( ):( ):( ):
1 2 3 142 3 5 63 3 17
1 2 2 4
1 2 4
1 2 3
+ − + =− + = −
+ − =
La matriz ampliada es:
Nótese que la matriz de los coeficientes es de orden 3×4.
8.Sistemas equivalentes.-
Dos sistemas de ecuaciones lineales S1 y S2 se dice que son equivalentes si tienen lasmismas soluciones, es decir, cualquier solución de S1 es solución de S2 y cualquier solución deS2 lo es de S1.
Se expresa S1 ] S2 o también S1 S2 ≡Para que dos sistemas sean equivalentes debe ocurrir que tengan el mismo número de
incógnitas, aunque pueden tener distinto número de ecuaciones.
Ejemplo 18.-
Sea el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.Sx yx y1
1 2 3 72 5 4 15
:( ) :( ):
+ =− =
Vamos a resolverlo por el método de reducción. Veamos:R Multiplicamos (1) por 4 y (2) por 3 :
Observa que lo que tenemos es otro sistema S2 distinto del original S1, ya que loscoeficientes y términos independientes no coinciden.
R Pues bien, los sistemas S1 y S2 son equivalentes, es decir, tienen las mismassoluciones. Eso significa que si encontramos la o las soluciones de S2 tendremoslas de S1. Por tanto: S1 S2.≡
R Sumemos las dos ecuaciones de S2 (obtenemos otra ecuación) y consideremosesta y la (1) de S2 . Tendremos otro sistema S3 :
R Pues bien, los sistemas S1, S2 y S3 tiene la o las mismas soluciones, es decir, son
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 14 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):
( ):
1 8 12 28
27323
4
x y
xS
+ =
=
x substituimos en y
y y y
= ⋅ + =
= − = =
7323
1 87323
12 28
12 2858423
126023
523
( ):
; ;
equivalentes: S1 S2 S3≡ ≡R En el sistema S3 despejamos x en la segunda ecuación y consideramos la
ecuación (1) de S3.
Hemos obtenido otro sistema S4 que es distinto de los anteriores pero equivalentea ellos, es decir, S1 S2 S3 S4≡ ≡ ≡
R Como S4 tiene la o las mismas soluciones que S1 (que el que queríamos resolver)y nos resulta fácil resolverlo, lo hacemos:
Es decir, es la solución del sistema S4x y= =7323
523
;
R Como S1 S4 , la solución de S4 es la solución de S1.≡Por tanto:
es la solución del sistema S1
En general, cuando resolvemos un sistema, vamos construyendo otros sistemasequivalentes a él que resultan más manejables y fáciles, hasta llegar a uno lo suficientementesencillo que nos permita obtener la solución (si las tiene) de forma inmediata. Este proceso serealiza empleando un método que se denomina método de resolución de sistemas. Existendiversos métodos que veremos seguidamente.
Es decir:S S sistema que queremos resolver.S El método nos lleva a S S1 S2 S3 ÿ S k≡ ≡ ≡ ≡ ≡S S k es un sistema tan sencillo que nos da la (o las) soluciones de forma inmediata.
Si no tuviese solución, también se aprecia con facilidad. Las soluciones de S kson las mismas que las de S.
9.Clasificación de los sistemas respectos de sus soluciones.-
Los sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas, según tengan o no solución ysegún el número de estas sea finito o infinito, los clasificamos del siguiente modo que recogemosen el siguiente cuadrante:
x y= =7323
523
;
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 15 Sistemas de Ecuaciones Lineales
SISTEMA m nCOMPATIBLE
DETERMINADO tiene solucion unicaINDETERMINADO tiene soluciones
INCOMPATIBLEtiene solucion
no tiene solucion
×
:
( & & )( )( & )
( & )
infinitas
Sx y zx y z1
1 4 5 3 72 2 5 9:
( ):( ):
+ − =− + =
10.Propiedades de los sistemas.-
Dado un sistema S, el objetivo que se persigue generalmente es encontrar su o sussoluciones, es decir, resolver el sistema. Para ello, vamos a dar una serie de propiedades quetienen los sistemas y que nos permitirán alcanzar dicho objetivo.
Propiedad I.- Si en un sistema S hay una ecuación que es combinación lineal de otra u otrasecuaciones, podemos suprimirla y obtenemos otro sistema S1 que es equivalentea S. La ventaja que tiene S1 sobre S es que tiene una ecuación menos. NOTA: Una ecuación es combinación lineal de otra u otras, si se obtiene de ellasal multiplicarlas por un número y sumándolas o restándolas.
Ejemplo 19.-
Sea el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.Sx y zx y zx y z
:( ):( ):( ):
1 4 5 3 72 2 5 93 8 10 6 14
+ − =− + =+ − =
Obsérvese que la tercera ecuación es la primera multiplicada por 2, es decir, (1)es el doble de (3). La tercera ecuación es múltiple de la primera. Lo expresamos (3) = 2·(1). Si suprimimos la tercera ecuación obtenemos el siguiente sistema:
Pues bien, resulta que (Son equivalentes) y por tanto tiene la misma oS S≡ 1mismas soluciones.
Ejemplo 20.-
Sea el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.Sx y zx y zx z
:( ):( ):( ):
1 2 3 4 82 2 53 11 1
+ − =+ + =
− =
Observamos que la ecuación (3) es el doble de la ecuación (1) menos el triple dela ecuación (2), es decir : (3) = 2·(1) &3·(2).Esto significa que la tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras.Eliminando la ecuación (3) obtenemos otros sistema S1 equivalente a S, es decir,un sistema con las mismas soluciones y con una ecuación menos (más fácil).
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 16 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sx y zx y z1
1 2 3 4 82 2 5
:( ):( ):
+ − =+ + =
( ):( ):( ):
( ):( ): ( )
123
1 1
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
1 2
a x a x a x a x ca x a x a x a x ca x a x a x a x c
k a x a x a x a x ck
n n
n n
n n
k k k kn n k
+ + + + =+ + + + =+ + + + =
+ + + + =+ ⋅ +
LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
λ λ ⋅ + ⋅ + + ⋅ =
+ + + + =
+( ) ( ) ( )
( ):
2 33 1
1 1 2 2 3 3
λ λLL
LLLLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
k k
m m m mn n m
k c
m a x a x a x a x c
S
( ) ( ) ( )λ λ λ λ λ λ1 11 1 1 2 21 1 2 1 1 1 1 2 2⋅ + + + ⋅ + + + + ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + + ⋅a x a x a x a x a x a x c c cn n n n k k kn n k kL L L L L
λ λ λ λ λ λ λ λ λ1 11 1 1 1 2 21 1 2 2 1 1 1 1 2 2a x a x a x a x a x a x c c cn n n n k k k kn n k k+ + + + + + + + + = ⋅ + ⋅ + + ⋅L L L L L
( ) ( ) ( )λ λ λ λ λ λ λ λ λ1 11 1 1 1 12 2 2 1 1 1 1 2 2a a x a a x a a x c c ck k k k n k kn n k k+ + + + + + + + + = ⋅ + ⋅ + + ⋅L L L L L
Siendo S S≡ 1
Demostración
Imaginemos un sistema S de m ecuaciones con n incógnitas y supongamos que laecuación (k+1) es combinación lineal de la k primeras, es decir, de (1), (2), (3), ... , (k&1), (k):
Aclaremos la ecuación (k+1):
Nótese que c c c ck k k+ = ⋅ + ⋅ + + ⋅1 1 1 2 2λ λ λL
Quitando paréntesis:
Sacando como factores comunes a x1 , x2 , x3 , .... , xn :
Esta última igualdad es la ecuación (k+1) del sistema S.Supongamos que eliminamos la ecuación (k+1) del sistema S. Tendremos otro sistema
S1 que tiene m&1 ecuaciones, es decir, las mismas que S excepto la ecuación (k+1).Pues bien, aseguramos que el sistema S1 es equivalente al sistema S (S1 S), esto es,⇔
ambos tienen la misma o las mismas soluciones. Vamos a demostrarlo:û Supongamos que es una solución cualquiera de S. Si
rKs s s s sn= ( , , , , )1 2 3
demostramos que es también una solución de S1, habremosr
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3demostrado que las soluciones de S lo son de S1, esto es, S S1 ⇒En efecto:
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 17 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ) ( ) ( )λ λ λ λ λ λ1 11 1 1 2 21 1 2 1 1 1 1 2 2⋅ + + + ⋅ + + + + ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + + ⋅a x a x a x a x a x a x c c cn n n n k k kn n k kL L L L L
( ) ( ) ( )λ λ λ λ λ λ1 11 1 1 2 21 1 2 1 1 1 1 2 2
1 2
⋅ + + + ⋅ + + + + ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + + ⋅a s a s a s a s a s a s c c cn n
c
n n
c
k k kn n
c
k k
k
L1 244 344
L1 2444 3444
L L1 2444 3444
L
( ):( ):
( ):( ): ( ) ( ) ( ) ( )
12
2
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
2 1 1 2 2 2 2 3 3 2
a s a s a s a s ca s a s a s a s c
k a s a s a s a s ck a s a s a s a s
n n
n n
k k k kn n k
k k k k n n
+ + + + =+ + + + =
+ + + + =+ + + + + =+ + + +
L
L
LLLLLLLLLLLLLLLLLLL
L
L c
m a s a s a s a s c
S
k
m m m mn n m
+
+ + + + =
2
1 1 2 2 3 3
1
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
L( ):
solución de S verifica lasr
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3 ⇒r
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3
ecuaciones (1) , (2) , (3) , ÿ , (k) , (k+1) , þ , (m) verifica⇒r
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3las m&1 ecuaciones (1) , (2) , (3) , ÿ , (k) , (k+2) , þ , (m) del sistema S1 ⇒
es también solución del sistema S1r
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3
Por tanto: S S1 ( cualquier solución de S lo es de S1 ).⇒
û Ahora nos preguntamos: ¿Toda solución de S1 lo es de S ? Vamos a demostrar que sí.Supongamos que es una solución cualquiera de S1. Tenemos
rKs s s s sn= ( , , , , )1 2 3
que demostrar que también lo es de S. Veamos:
solución de S1 verifica las m&1r
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3 ⇒r
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3
ecuaciones (1) , (2) , (3) , ÿ , (k) , (k+2) , þ , (m) de S1 ⇒r
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3verifica todas las ecuaciones de S, excepto la (k+1).
Si somos capaces de demostrar que también verifica lar
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3
ecuación (k+1) de S, habremos demostrado que también esr
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3solución del sistema S.
Veamos:Como es solución de S1 , podemos poner:
rKs s s s sn= ( , , , , )1 2 3
Anteriormente vimos que la ecuación (k+1) la poníamos de la forma:
Substituimos x1 = s1 ; x2 = s2 ; x3 = s3 ; þþ ; xn = sn en la ecuación (k+1):
Obsérvese que tenemos la identidad : λ λ λ λ λ λ1 1 2 2 1 1 2 2⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅c c c c c ck k k kL L
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 18 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sx yx y1
1 3 5 92 2 3 7:
( ):( ):
+ =− − = −
Para x e y tenemos Sverifica
verificaverifica
= = −⋅ + ⋅ − = − =
− ⋅ − ⋅ − = − + = −− ⋅ − ⋅ − = − + = −
8 31 3 8 5 3 24 15 9 12 2 8 3 3 16 9 7 23 2 8 2 3 16 6 10 3
:( ): ( ) ( )( ): ( ) ( )( ): ( ) ( )
( )
( )
1 6 10 18
2 6 9 21
2
3 2
×
×
→ + =
→ − − = −
x y
x yS
Por tanto, se verifica la ecuación (k+1), es decir, es tambiénr
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3solución del sistema S. Hemos demostrado así que S1 S⇒
Conclusión final: S S1 (ambos sistemas son equivalentes)⇔
Ejemplo 21.-
Sea el sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas Sx yx yx y
:( ):( ):( ):
1 3 5 92 2 3 73 2 2 10
+ =− − = −− − = −
Observamos que la ecuación (3) es combinación lineal de las ecuaciones (1) y (2).En este caso es (3) = 2·(1) + 4·(2).Según la propiedad anterior, podemos eliminar la ecuación (3) y obtenemos otro sistemaS1 con una ecuación menos:
Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.Vamos a resolverlo por el método de reducción.
Hemos obtenido otro sistema S2 que esequivalente a S y a S1, es decir: S]S1]S2
Sumando (1) y (2) en S2 : y = &3Substituyendo en (1) de S2 : 6x & 30 = 18 ; 6x = 48 ; x = 8Es decir: es la única solución de S2. También es la única solución de S1
rs = −( , )8 3y la única solución de S. No olvidemos que el objetivo era encontrar la solución de S. Comprobemos:
Propiedad II.- Para resolver un sistema S, debemos eliminar aquellas ecuaciones que seancombinación lineal de las demás y realizamos sucesivas transformaciones quenos llevan a obtener sistemas equivalentes a S, hasta conseguir una losuficientemente sencilla que nos permita encontrar la o las soluciones.Veamos un ejemplo:
Ejemplo 22.-
Queremos resolver el sistema . Actuamos del siguiente modo:Sx yx y:
( ):( ):1 4 3 92 5 7 10
+ =− =
L Multiplicamos (1) por 5 y (2) por &4:
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 19 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):( ):( ):
( ):
123
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
a x a x a x a x ca x a x a x a x ca x a x a x a x c
m a x a x a x a x c
S
n n
n n
n n
m m m mn n m
+ + + + =+ + + + =+ + + + =
+ + + + =
LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
A
a a a a ca a a a ca a a a c
a a a a c
M
n
n
n
m m m mn m
m n*
( )=
∈ × +
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
1 2 3
1
L
L
L
L L L L L L
L
Sx y
x y1
5
4
1 20 15 45
2 20 28 40:
( )
( ) ( )
×
× −
→ + =
→ − + = −
Sx yx y
y2
1 20 15 452 20 28 403 43 5
:( ):( ):( ):
+ =− + = −
=
Sx y
y31 20 15 452 43 5
:( ):( ):
+ ==
Siendo S ] S1
L En el sistema S1 sumamos las ecuaciones (1) y (2) y obtenemos una nueva ecuación (3),es decir, (3) = (1) + (2). El nuevo sistema S2 es equivalente a S y S1.
Siendo S ] S1 ] S2
L En el sistema S2 apreciamos que la ecuación (2) es combinación lineal de la (1)y la (3), ya que (2) = (3) & (1). Si eliminamos (2) obtenemos otro sistemaequivalente a S2 y, por tanto, equivalente a S y S1.
Siendo S ] S1 ] S2 ] S3
L El sistema S3 es fácil de resolver. Lo hacemos:Despejamos “y” en la ecuación (2): y = 5
43
Substituimos en (1): y = 543 20 15 45 205
431830
4318386x x x+ ⋅ = = =; ;
Es decir, es la única solución del sistema S3.( )rs = 18386
543,
Conclusión: La solución del sistema S es
Propiedad III.- Con esta propiedad aprenderemos a saber si una ecuación de un sistema escombinación lineal de otra u otras ecuaciones. Veamos:P Sea S un sistema de m ecuaciones con n incógnitas:
P Consideremos su matriz ampliada :
x y= =18386
543;
Obsérvese que cadafila de la matriz A* secorresponde con unaecuación de S.Es decir, la fila (k) secorresponde con laecuación (k).
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 20 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Una ecuacion k de Ses combinacion linealdeotras ecuaciones
La fila k de la matriz A escombinacion lineal de las otras filascorrespondientes a esas ecuaciones
& ( )&
( )&
.
*
⇔
( ):( ):( ):( ):
*
1234
11 1 12 2 13 3 14 4 15 5 1
21 1 22 2 23 3 24 4 25 5 2
31 1 32 2 33 3 34 4 35 5 3
41 1 42 2 43 3 44 4 45 4
11 12 13 14 15 1
21 22 23
a x a x a x a x a x ca x a x a x a x a x ca x a x a x a x a x ca x a x a x a x a x c
S A
a a a a a ca a a
n
+ + + + =+ + + + =+ + + + =+ + + + =
=a a c
a a a a a ca a a a a c
24 25 2
31 32 33 34 35 3
41 42 43 44 45 5
( ):( ):( ):
*123
11 1 12 2 13 3 14 4 15 5 1
21 1 22 2 23 3 24 4 25 5 2
41 1 42 2 43 3 44 4 45 4
1
11 12 13 14 15 1
21 22 23 24 25 2
41 42 43 44 45 4
a x a x a x a x a x ca x a x a x a x a x ca x a x a x a x a x c
S Ba a a a a ca a a a a ca a a a a cn
+ + + + =+ + + + =+ + + + =
=
Ma aa a2
11 12
21 220= ≠
Ma aa a2
11 12
21 220= ≠
P Queremos saber si una ecuación de S es combinación lineal de otras ecuaciones.Pues bien:
P Por tanto, operando con matrices podemos averiguar si una ecuación escombinación lineal de otras. Si ocurre esto, podemos eliminar esaecuación y obtenemos un sistema equivalente con una ecuación menos,cuya matriz ampliada también tendrá una fila menos.
NOTA: Ver tema de matrices y determinantes para recordar como se decide sobre si una fila de una matriz es combinación lineal de otras.
Ejemplo 23.-Imaginemos un sistema de 4 ecuaciones con 5 incógnitas y su matriz ampliada:
Supongamos que ocurre lo siguiente:
, es decir, el menor principal de orden 2 es igual a 0, y además:
a a aa a aa a a
a a aa a aa a a
a a aa a aa a a
a a ca a ca a c
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12 14
21 22 24
31 32 34
11 12 15
21 22 25
31 32 35
11 12 1
21 22 2
31 32 3
0 0 0 0= = = =; ; ;
Entonces podemos asegurar que la tercera fila de la matriz A* es combinación lineal delas dos primeras y, por tanto, la tercera ecuación de S es combinación lineal de las dosprimeras ecuaciones. Si eliminamos esa ecuación, obtenemos:
Los sistemas S y S1 son equivalentes.Supongamos que ahora ocurre que la fila (3) de S1 es combinación lineal de las filas (1)y (3), es decir, ocurre que:
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 21 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):( ):
*12
11 1 12 2 13 3 14 4 15 5 1
21 1 22 2 23 3 24 4 25 5 22
11 12 13 14 15 1
21 22 23 24 25 2
a x a x a x a x a x ca x a x a x a x a x c
S Da a a a a ca a a a a c
+ + + + =+ + + + =
=
y además:
a a aa a aa a a
a a aa a aa a a
a a aa a aa a a
a a ca a ca a c
11 12 13
21 22 23
41 42 43
11 12 14
21 22 24
41 42 44
11 12 15
21 22 25
41 42 45
11 12 1
21 22 2
41 42 4
0 0 0 0= = = =; ; ;
Entonces podemos asegurar que la tercera fila de la matriz B* es combinación lineal delas dos primeras y, por tanto, la tercera ecuación de S1 es combinación lineal de las dosprimeras ecuaciones. Si eliminamos esa ecuación del sistema S1, obtenemos:
Los sistemas S , S1 y S2 son equivalentes., es decir: S ] S1 ] S2
Así sucesivamente hasta que no encontremos ninguna ecuación combinación lineal delas demás. En este caso se dice que todas las ecuaciones (y todas las filas de la matrizampliada) son linealmente independientes.Si en el caso que nos ocupa, ninguna de las dos filas de la matriz D* fuese combinaciónlineal de la otra, tendremos que Rango D* = 2 y más concretamente:
Rango A* = Rango B* = Rango D* = 2 = = nº de filas de A* linealmente independientes =
= nº de ecuaciones de S linealmente independientes.
11.Resolución de un sistema. Métodos de resolución.-
Cuando planteamos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, generalmentese pretende conseguir dos objetivos, uno es saber si ese sistema tiene solución (es compatible)o no tiene solución (es incompatible). En el caso que sea compatible, debemos encontrar la o lassoluciones, es decir, los valores que hacen verdaderas las m ecuaciones del sistema.
El proceso de averiguar si un sistema es o no compatible, se llama discusión del sistemay al proceso de buscar y encontrar la o las soluciones, resolución o resolver. Para resolver unsistema existen diversos métodos que nos permiten llegar a la solución. Estos métodos se basanen las propiedades vistas anteriormente o en las de las matrices y determinantes. Veremosalgunos de ellos, aunque el alumno recuerde los métodos de resolución para sistemas de dosecuaciones con dos incógnitas: Reducción, Sustitución e Igualación. Es posible que conozcael método de Gauss para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas e inclusosistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.
12.Método de la matriz inversa para resolver un sistema.-
Este método es válido cuando el sistema original o un equivalente a él tiene el mismonúmero de ecuaciones que de incógnitas (la matriz de los coeficientes es cuadrada) y además,dicha matriz tiene inversa.
Veamos:4 Imagina un sistema S (o un equivalente a él) tal que en forma matricial es A·X = C,
siendo A una matriz cuadrada de orden n (n = nº ecuaciones = nº de incógnitas).
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 22 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sx yx y
en forma matricialxy
:4 5 93 5
4 53 1
95
− =+ = −
−
⋅
=
−
AA
A AA A
−−= ⋅
= ⋅
−
=
1 11 21
12 22
119
519
319
419
1 119
1 53 4
A A
A A11
212
3
213
224
1 1 1 1 3 3
1 5 5 1 4 4
= − ⋅ = = − ⋅ = −
= − ⋅ − = = − ⋅ =
( ) ; ( ) ;
( ) ( ) ; ( )
X A C= ⋅ =
⋅
−
=
−−
=
−−
−
− −1
119
519
319
419
919
2519
2719
2019
16194719
95
4 Resolver este sistema consiste en encontrar la matriz X.4 Supongamos que la matriz A tiene inversa y la hallamos, es decir, obtenemos A&1 4 Recordando las operaciones con matrices, tendremos:
A&1 ·(A·X) = A&1 ·C(A&1 ·A)·X = A&1 ·C
I·X = A&1 ·C
Como A&1 y C son matricesconocidas, obtenemos la matriz de las incógnitas X.Nótese com es necesaria la existencia de la matriz inversa de A.Recuérdese que A&1 existe si y sólo sí * A*…0.
Ejemplo 24.-Sea el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas siguiente:
Observa que:Ø nº de ecuaciones = nº de incógnitas = 2
Ù4 53 1
4 15 19 04 53 1
1−= + = ≠
−
−
, ,es decir existe
Podemos asegurar que este sistema puede resolverse por el método de la matriz inversa.Hallemos la inversa de la matriz de los coeficientes (matriz A):
Ya que:
Despejamos la matriz X :
La solución del sistema es :
Nota: Se recomienda resolver este sistema por el método de reducción para que elalumno compruebe el resultado.
X = A&1 ·C
x y=−
=−16
1947
19;
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 23 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sx y zx y zx y z
siendo A la matriz de los coeficientes: .− + =+ − = −− + =
=−
−−
3 4 53 5 62 4 6
1 3 43 1 52 4 1
AA
A A AA A AA A A
−
−
−
−=
=−
− −− −− −
=
111 21 31
12 22 32
13 23 33
1936
1336
1136
1336
736
1736
1436
236
1036
1 136
19 13 1113 7 1714 2 10
X =
⋅ −
=
=
=
−
−
−
− −
− −
− −
−
−
−
−
−
−
1936
1336
1136
1336
736
1736
1436
236
1036
95 78 6636
65 42 10236
70 12 6036
493679
362
36
493679
361
18
56
6
A A A
A A A
A A A
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 54 1
193 52 1
133 12 4
14
3 44 1 13
1 42 1 7
1 32 4 2
3 41 5 11
1 43 5 17
1 33 1 10
=−
−= − = −
−= − =
−= −
= −−−
= − = = − = −−−
= −
=−
−= = −
−= =
−=
; ;
; ;
; ;
− − ⋅ + ⋅ = = =
⋅ − − ⋅ = = = −
⋅ − ⋅ − = = =
− − − + −
− − − − + −
− − − + −
4936
7936
118
49 237 836
18036
4936
7936
118
147 79 1036
21636
4936
7936
118
98 316 236
21636
3 4 5
3 5 6
2 4 6
Ejemplo 25.-Resolvamos el sistema:
Veamos si se puede resolver matricialmente:± nº de ecuaciones = nº de incógnitas = 2
± A =−
−−
= − + − − + = − ≠1 3 43 1 52 4 1
1 48 30 8 20 9 36 0
Es posible resolverlo matricialmente.Resolvemos. Para ello necesitamos hallar la matriz inversa de A (recordar tema dematrices y determinantes).
Ya que:
Resolvemos la ecuación matricial A·X = C :A&1·A·X = A&1·C ; I·X = A&1 ·C ; X = A&1·C
Por tanto, la solución del sistema es
Comprobemos:
x y z=−
=−
=−49
3679
361
18; ;
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 24 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sx yx yx y
En forma matricialxy:
8 2 73 5 52 12 3
8 23 52 12
753
+ =− =
− − =
−− −
⋅
=
Matriz ampliada A: * = −− −
8 2 73 5 52 12 3
Sx yx y
con S S y B como matriz coeficientes1 18 2 73 5 5
8 23 5
:+ =− =
⇔ =−
8 23 5
1 00 1
40 106 10
5 00 2
46 06 10
5 20 2
138 0138 230
15 60 46
138 00 230
15 615 40
1 00 1
12 1 2
12
2 1
11
138
21
230
52
323
15138
6138
15230
40230
−
→
−
→
−
→
− −
→
→
⋅⋅ +
⋅⋅ −
+⋅⋅
FF F F
FF
F FFF
( )
M Rango A o
A
2
8 23 5 40 6 46 0 2 3
8 2 73 5 52 12 3
120 252 20 70 480 18 0
=−
= − − = − ≠ ⇒ =
= −− −
= − − − − + − =
*
*
B despues de simplificar− =
1
546
123
346
423
&
xy
x y solucion de S
=
⋅
=
++
=
⇒ = =
546
123
346
423
3546
523
2146
2023
45466146
4546
6146
75
; ( & )
Ejemplo 26.-Queremos resolver el sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas siguiente:
Veamos si podemos resolverlo matricialmente:
Veamos si alguna fila de A* es combinación lineal de las otras:
De loanterior se deduce que la tercera fila de A* es combinación lineal de las dos primeras(ver tema “Matrices y determinantes”), o lo que es lo mismo, la tercera ecuación de S escombinación lineal de las dos primeras.Eliminando la tercera ecuación de S obtenemos otro sistema S1 equivalente a S.
Observamos que el sistema S1 puede resolverse matricialmente ya que *M2*=*B*…0Resolvamos S1 matricialmente. Para ello debemos encontrar B&1. Lo haremos portransformaciones de líneas (ver tema “Matrices y determinantes”).
Por tanto:
Resolvemos la ecuación matricial:
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 25 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):( ):( ):
( ):
123
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
a x a x a x a x ca x a x a x a x ca x a x a x a x c
n a x a x a x a x c
S Sistema de orden n
n n
n n
n n
n n n nn n n
+ + + + =+ + + + =+ + + + =
+ + + + =
×
LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
n.
( ):( ):( ):
( ):
.
123
11 1 12 2 13 3 1 1
22 2 23 3 2 2
33 3 3 3
b x b x b x b x db x b x b x d
b x b x d
n b x d
S Sistema de orden n n
n n
n n
n n
nn n n
+ + + + =+ + + =
+ + =
=
′ ×
LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLLL
a a a aa a a aa a a a
a a a a
xxx
x
ccc
c
Abreviadamente A X C
n
n
n
n n n nn n n
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
1
2
3
1
2
3
L
L
L
M M M M M
L
M M
⋅
=
⋅ =:
b b b bb b b
b b
b
xxx
x
ddd
d
Abreviadamente B X D
n
n
n
nn n n
11 12 13 1
22 23 2
33 3
1
2
3
1
2
3
00 0
0 0 0
L
L
L
M M M M M
L
M M
⋅
=
⋅ =:
13.Método de Gauss para la resolución de un sistema.-
Este método se suele emplear cuando el número de ecuaciones es igual al número deincógnitas, aunque es válido para cualquier sistema. En esta ocasión lo veremos para el caso enque nº de ecuaciones = nº de incógnitas.
Veamos:S Supongamos un sistema de n ecuaciones con n incógnitas:
Matricialmente es:
S Mediante sucesivas transformaciones en el sistema S debemos llegar a obtener otrosistema S´ que sea equivalente a S y tenga la siguiente forma:
En forma matricial es:
Obsérvese que en el sistema S´ todos los coeficientes que hay por debajo de la diagonalprincipal de la matriz B son iguales a 0, es decir, la matriz B es una matriz triangular.Recordemos que debe ser S ]S´.
S Una vez conseguido el sistema S´ (equivalente a S), podemos resolverlo fácilmente.Veamos como:
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 26 Sistemas de Ecuaciones Lineales
SA x yB x y1
1
1
20 15 2520 8 36:
::
+ = −− =
SA x yB y
S S S22
21 2
20 15 2523 61
:::
+ = −− =
⇔ ⇔
A x x x x x2 20 1561
2325 20 25
91523
2034023
34023 20
1723
: ; ; ; ;+ ⋅−
= − = − + = =⋅
=
Î Despejamos xn en la última ecuación: . Ya tenemos el valor de xn.xdbn
n
nn=
Ï La penúltima ecuación (n-1) es: b x b x dn n n n n n n( )( ) ( )− − − − −+ =1 1 1 1 1
Substituimos y obtenemos el valor de xdbn
n
nn= x
d bdb
bn
n n nn
nn
n n−
− −
− −=
− ⋅
1
1 1
1 1
( )
( )( )
Ya hemos encontrado los valores para las incógnitas xn y xn-1.
Ð La ecuación (n-2) es: b x b x b x dn n n n n n n n n n( )( ) ( )( ) ( )− − − − − − − −+ + =2 2 2 2 1 1 2 2
Substituyendo los valores obtenidos para xn y xn-1 en la ecuación (n.2) ydespejando xn-2 obtenemos el valor de la incógnita xn-2.
Ð Siguiendo el proceso para las ecuaciones (n-3) , (n-4) ,...., (3) , (2) , (1), llegamosa obtener los valores de x1 , x2 , x3 , ... , xn-1 , xn.
S Pued darse el caso en que la última ecuación del sistema S´ sea: 0 0x d con dn n n= ≠En este caso, no existe ningún valor posible para xn , es decir, el sistema no tienesolución (es incompatible).
Ejemplo 27.-
Vamos a resolver por el método de Gauss el sistema SA x yB x y:
::
4 3 55 2 9
+ = −− =
Veamos:L Multiplico la primera ecuación por 5 y la segunda por 4. Obtengo otro sistema
S1
S ] S1
’ A la segunda ecuación de S1 le resto la primera. Obtengo S2
’ Despejamos la incógnita y en la ecuación B2 : y =−6123
’ Substituimos el valor de y en la ecuación A2 y despejamos x :
Conclusión : La solución del sistema S es :x y= =
−1723
6123
;
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 27 Sistemas de Ecuaciones Lineales
S
x b x b x b x b x dx b x b x b x d
x b x b x d
x b x dx d
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n n
n n
:
( )
( )
( )
( )
1 12 2 13 3 1 1 1 1 1
2 22 3 2 1 1 2 2
3 3 1 1 3 3
1 1 1
+ + + + + =+ + + + =
+ + + =
+ ==
− −
− −
− −
− − −
L
L
L
LLLLLLLLLLLLLLLLLLL
SA x y zB x y zC x y z
::::
+ − =− + =+ − = −
4 2 83 5 102 3 2 6
Re :solvemos S
C z
B y y
A x x4
421629
41413
1113
21629
2782377
42782377
21629
192298 4 2
→ =
→ = + ⋅ → =
→ = − ⋅ + ⋅ → = −
S Una forma mas “elegante” de encontrar la solución es llegar a un sistema de Sequivalente al dado cuya expresión sea:
De este modo tenemos el valor de xn ( xn = dn) en la última ecuación y “subiendo” en lasecuaciones vamos obteniendo los valores de xn&1 ; xn&2 ; þ ; x2 ; x1, siendo loscoeficientes de los x1 , x2 , x3 , ... , xn&1 , xn iguales a 1.
Ejemplo 28.-Resolver por el método de Gauss el sistema:
Veamos:
4 Construimos el sistema : SA AB B AC C A
1
1
1
1
32
:== −= −
SA x y zB y zC y z
1
1
1
1
4 2 813 11 145 2 22
::::
+ − =− + = −− + = −
4 Construimos el sistema : S
A A
B B
C C2
2 1
21
13 1
21
5 1
:
=
=
=
−
−
S
A x y z
B y z
C y z2
2
21113
1413
225
225
4 2 8
:
:
:
:
+ − =
− =
− =
4 Construimos el sistema : SA AB BC C B
3
3 2
3 2
3 2 2
:=== −
S
A x y z
B y z
C z3
3
31113
1413
32965
21665
4 2 8
:
:
:
:
+ − =
− =
=
4 Construimos el sistema : SA AB B
C C4
4 3
4 3
46529 3
:==
=
S
A x y z
B y z
C z4
4
41113
1413
421629
4 2 8
:
:
:
:
+ − =
− =
=
Como se verifica que y estamos en condiciones de resolver S4 :S S S S S⇔ ⇔ ⇔ ⇔1 2 3 4
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 28 Sistemas de Ecuaciones Lineales
S
x b x b x b x b x dx b x b x b x d
x b x b x d
x b x dx d
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n n
n n
:
( )
( )
( )
( )
1 12 2 13 3 1 1 1 1 1
2 22 3 2 1 1 2 2
3 3 1 1 3 3
1 1 1
+ + + + + =+ + + + =
+ + + =
+ ==
− −
− −
− −
− − −
L
L
L
LLLLLLLLLLLLLLLLLLL
a a a aa a a aa a a a
a a a a
ccc
c
n
n
n
n n n nn n
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
1
2
3
L
L
L
L L L L L
L
L
10 10 0 1
0 0 0 1
12 13 1
23 2
3
1
2
3
b b bb b
b
ddd
d
n
n
n
n
L
L
L
L L L L L
L
L
Por tanto, la solución del sistema S es :
El proceso anterior puede realizarse de un modo más reducido utilizando únicamente loscoeficientes de las ecuaciones, esto es, sin poner las incógnitas y utilizando expresiones de tipomatricial de tal modo que vamos realizando transformaciones de líneas hasta alcanzar una matriztriangular con todo los términos que están debajo de la diagonal principal iguales a cero.
Es decir:K Partimos de una matriz del tipo:
K Realizando transformaciones en filas (equivalentes a las transformaciones que hacíamosen las ecuaciones), llegamos a una matriz del tipo:
Es decir, los términos de la diagonal principal son iguales a 1 y los que están por debajode ella son iguales a 0.
K La matriz anterior es equivalente al sistema:
el cual se resuelve como explicamos anteriormente.K La línea vertical que ponemos en las matrices es simplemente para separar los
coeficientes de las incógnitas (parte izquierda de la igualdad) de los términosindependiente (parte derecha de la igualdad).
K Para realizar las transformaciones de filas en las matrices, emplearemos la siguienteterminología:
x y z= − = =19229
2782377
21629
; ;
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 29 Sistemas de Ecuaciones Lineales
F F A la fila i le sumo la fila k a la ecuacion i le sumo la ecuacion kF F A la fila i le resto la fila k a la ecuacion i le resto la ecuacion kF La fila i la multiplico por la ecuacion i la multiplico porF F A la fila i le sumo o resto el producto de la fila k por etc
i k
i k
i
i k
+−⋅± ⋅
: ( & & ): ( & & ): ( )
: ( .)α α αα α
2 5 33 1 43 2 5
95
4
2 5 33 1 40 3 1
95
9
6 15 96 2 80 3 1
27109
6 15 90 13 170 3 1
27379
6 15 90 39
3 212 2 1
23
32
313
−
−−
→−
−−
→−
−−
→−
−−
−
→ −−
−⋅⋅ −
⋅ −⋅
F FFF F F
FF
( )
510 39 13
27111117
6 15 90 39 510 0 38
27111228
10 10 0 1 6
3 2
116
21
39
31
38
52
32
1713
923713
−
→−−−
→ −−
−
+
⋅⋅⋅−F F
FFF
S
A x y z
B y zC z
ya tenemos que z1
152
32
92
11713
3713
1 66:
:
::
+ − =
− == −
= −
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 29.-
Resolver por el método de Gauss el sistema Sx y zx y zx y z
:2 5 3 93 4 53 2 5 4
+ − =+ + = −− + =
Veamos:
La última expresión (la última matriz) es equivalente al sistema :
Substituimos z = &6 en la ecuación B1 : y y y− ⋅ − = = − = −1713
3713
3713
102136 5( ) ; ;
Substituimos z = &6 e y = &5 en A1 : x x x+ ⋅ − − ⋅ − = = + − =52
32
92
92
2525 6 9 8( ) ( ) ; ;
Por tanto: es la solución del sistema S.x = 8 ; y = &5 ; z = &6
14.Método de Gauss-Jordan para la resolución de un sistema.-
El método de Gauss-Jordan es una mejora del método de Gauss visto anteriormente. Eneste caso el objetivo es llegar a una matiz en la que la diagonal principal sean todos 1 y losdemás elementos sean 0 (nos referimos a la matriz de los coeficientes). Es decir:
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 30 Sistemas de Ecuaciones Lineales
a a a aa a a aa a a a
a a a a
ccc
c
n
n
n
n n n nn n
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
1
2
3
L
L
L
L L L L L
L
L
1 0 0 00 1 0 00 0 1 0
0 0 0 1
1
2
3
L
L
L
L L L L L
L
L
ddd
dn
x dx d
x dn n
1 1
2 2
==
=M
S
A x x x xB x x x xC x x x xD x x x x
:
::::
2 4 43 2 3 5
3 2 22 3 5 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
− + − =+ − + = −− + − =+ − + = −
L Partiendo del sistema:
L Queremos llegar a :
L Expresión que equivale a la solución del sistema, es decir:
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 30.-Resolvamos por el método de Gauss-Jordan el sistema :
Veamos:
2 1 4 11 3 2 33 2 1 11 2 3 5
45
24
2 1 4 11 3 2 30 11 7 100 1 1 2
45
171
2 1 4 10 7 8 70 11 7 100 1 1 2
414
171
3 24 2 2 1
132
− −−
− −−
−
−
→
− −−
− −− −
−
→
− −−
− −− −
−
− ⋅− ⋅ −
−F FF F F F
F F43 4
4 234
11
756
2 0 5 30 7 8 70 0 18 320 1 1 2
31461
2 0 5 30 7 8 70 0 18 320 0 15 21
31467
2 0 5 30 7 8 70 0 90 1600 0 90 126
314
3042
F F
F FFF F
− ⋅
⋅ +⋅⋅
→
−−
−− −
−
→
−−
−−
−
−
→
−−
−−
−
−
4 3+ → F
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 31 Sistemas de Ecuaciones Lineales
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0
1L
L L L L L
L
L L L L L
L
L
L
d
k
d
con k
n
≠
Sx y zx y zx y z
:2 4 3 63 2 33 14 10 15
− + =+ − = −
− + =
2 0 5 30 7 8 70 0 90 1600 0 0 34
314
3012
36 0 90 540 7 8 70 0 90 1600 0 0 34
5414
3012
36 0 0 1060 7 8 70 0 90 1600 0 0 34
2414
3012
36
1 1 3
217
3190
41
3418
−−
−−
−
−
→
−−
−−
−
−
→−
−−
−
−
→ ⋅ −
⋅⋅⋅−F F F
FFF
0 0 1060 1 10 0 10 0 0 1
242
36 0 0 00 1 00 0 1 00 0 0 1
24 36 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
87
169
136
17
87
4017
49516
17
106
228176451
49516
17
2 4
3169 4
1 4
287 3
−−
−
→ − −
→
−−
−+ ⋅
− ⋅+ ⋅
F FF F
F FF F F
S
x
x
x
x
solucion del sistema S
1136
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
19516451
49516
17
1
11951
26451
34951
46
17
⋅ →
−−
⇒
= −
= −
=
=
: & .
Puede ocurrir que al intentar resolver el sistema por el método de Gauss o Gauss-Jordan,nos encontremos con una fila en la que todos los elementos son ceros, excepto el términoindependiente, es decir:
Dicha fila se interpreta como la ecuación , la0 0 0 01 2x x x k con kn+ + + = ≠L ( )cual puede apreciarse que no tiene ninguna solución, esto es, no existen valores para los xi quehagan verdadera esa igualdad. Por tanto, en este caso, el sistema no tiene solución.
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 31.-Resolvamos por el método de Gauss-Jordan el sistema:
Veamos:
2 4 33 2 13 14 10
63
15
2 4 33 2 10 16 11
63
18
6 12 96 4 20 16 11
186
18
3 212 2 1
32
−−
−−
→−
−−
−
→−
−−
−
→−⋅⋅ −F F
FF F F
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 32 Sistemas de Ecuaciones Lineales
6 12 90 16 110 16 11
1824
18
6 12 90 16 110 0 0
18246
0 0 0 63 2
−−
−−
→−
− −−
⇒ + + = −+F F x y z
Ninguna terna de valores x, y, z verifican esta ecuación. Por tanto, el sistema S esincompatible, es decir, no tiene solución.
15.Método de Cramer para la resolución de un sistema.-
El método de Cramer se aplica para la resolución de cierto tipo de sistemas de ecuacioneslineales. Antes de aplicar el método veremos en qué casos es aplicable.
15.1.Sistema de Cramer.-Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es de Cramer, si el número de ecuaciones
es igual al número de incógnitas y el determinante de la matriz de los coeficientes (que será unamatriz cuadrada) es distinto de cero.
Es decir:( ):( ):
( ):
º º
12
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
a x a x a x a x ca x a x a x a x c
n a x a x a x a x c
S n ecuaciones n incognitas n
n n
n n
n n n nn n n
+ + + + =+ + + + =
+ + + + =
= =
L
L
LLLLLLLLLLLLLLLLL
L
con como matriz de los coeficientes.A
a a aa a a
a a a
n
n
n n nn
=
11 12 1
21 22 2
1 2
L
L
L L L L
L
Pues bien:
Recordemos (ver tema “Matrices y Determinantes”) que si el determinante de una matrizcuadrada es distinto de cero, entonces el rango de esa matriz es igual al número de filas (y decolumnas). Es decir:
*A*…0 ] Rango A = n
Por tanto:
No olvidar que un sistema para ser de Cramer debe cumplir como primera condición queel número de ecuaciones sea igual al número de incógnitas.
S es sistema de Cramer ]*A*…0
S es sistema de Cramer ] *A*…0 ] Rango A = n
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 33 Sistemas de Ecuaciones Lineales
A =−
−= − − − + + = − =
1 4 32 4 21 16 7
28 96 8 12 32 56 116 116 0
Ejemplo 32.-
El sistema no es de Cramer porque:S
x x x x x
x x x x xx x
:
− + + − − =
+ + − + =+ = −
1 2 3 4 5
154 2 3 4 5
2 4
3 4 2 9
3 5 07 5 4
número de ecuaciones = 3 … 5 = número de incógnitas.
Ejemplo 33.-
Veamos si el sistema es de Cramer:Sx y zx y zx y z
:− + =+ + = −− + =
4 3 62 4 2 3
16 7 21número de ecuaciones = número de incógnitas = 3
Puede ser de Cramer.
Consideremos la matriz de los coeficientes: A =−
−
1 4 32 4 21 16 7
Entonces: S es sistema de Cramer ]*A*…0Hallemos el determinante de la matriz A (lo hacemos por la regla de Sarrus):
Conclusiones: El sistema S no es de CramerRangoA…3Una fila de la matriz A es combinación lineal de las otras dos.Una ecuación de S es combinación lineal de las otras dos.
Ejemplo 34.-
Veamos si el sistema es de Cramer:Sx y zx y zx y z
:2 4 15
3 5 62 4
− + =+ − =
− + + = −
número de ecuaciones = número de incógnitas = 3Puede ser de Cramer.
Consideremos la matriz de los coeficientes: A =−
−−
2 4 11 3 51 1 2
Entonces: S es sistema de Cramer ]*A*…0Hallemos el determinante de la matriz A (lo hacemos por la regla de Sarrus):* A* = 12 + 1 &20 + 3 + 10 + 8 = 22 … 0 Y S es de CramerTambién se deduce que RangoA = 3 = nº ecuaciones = nº incógnitas.
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 34 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):( ):
( ):
12
0
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
11 12 1
21 22 2
1 2
a x a x a x ca x a x a x c
n a x a x a x c
S con A
a a aa a a
a a a
n n
n n
n n nn n n
n
n
n n nn
+ + + =+ + + =
+ + + =
= ≠
L
L
LLLLLLLLLLLLLL
L
L
L
L L L L
L
a a aa a a
a a a
xx
x
cc
c
n
n
n n nn n n
11 12 1
21 22 2
1 2
1
2
1
2
L
L
L L L L
L
M M
⋅
=
xx
x
cc
cA
A A AA A A
A A A
cc
cn
AA
AA
AA
AA
AA
AA
AA
AA
AA n
n
n
n n nn n
n
n
n n nn
1
2
1
2
11 21 1
12 22 2
1 2
1
2
11 21 1
12 22 2
1 2
1M
L
L
L L L L
L
M
L
L
L L L L
L
M
=
⋅
=
⋅
xc A c A c A c A
A
c A
A
xc A c A c A c A
A
c A
A
xc A c A c A c A
A
c A
n ni i
i
n
n ni i
i
n
nn n n n nn
i ini
n
11 11 2 21 3 31 1
11
21 12 2 22 3 32 2
21
1 1 2 2 3 3 1
=⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
=⋅
=⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
=⋅
=⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
=⋅
=
=
=
∑
∑
∑
L
L
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
L
A
15.2.Resolución de un sistema de Cramer. Regla de Cramer.-Quede claro que un sistema de Cramer puede resolverse por el método de Gauss. Otro
método para resolver este tipo de sistemas es el método o regla de Cramer. Veamos:Supongamos un sistema de Cramer de n ecuaciones con n incógnitas:
Resolver este sistema consiste en encontrar los n valores x1 , x2 , x3 ÿÿ , xn que hacenverdaderas las n igualdades.
Expresemos el sistema matricialmente: A·X = C
Como A es una matriz cuadrada y *A*…0, podemos asegurar que existe A&1.Estosignifica que podemos resolver el sistema matricialmente, es decir, despejar X :
X = A&1· CEn forma desarrollada:
Operando matricialmente deducimos que:
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 35 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Fijémonos en el numerador de x1: c A c A c A c An n1 11 2 21 3 31 1⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅LResulta que coincide con el siguiente determinante:
D
c a a ac a a ac a a a
c a a a
Desarrollando por columna c D
n
n
n
n n n nn
i ii
n
1
1 12 13 1
2 22 23 2
3 32 33 3
2 3
11
1= = = ⋅=∑
L
L
L
L L L L L
L
Ahora bien, observa que ,D A D A D A D An n11 11 21 21 31 31 1 1= = = =; ; ; ;LL
siendo los adjuntos de los elementos de la primera columna de laA A A An11 21 31 1; ; ; ;LLmatriz de los coeficientes A.
Del mismo modo resulta que el numerador de x2 : , coincide con elc Ai ii
n⋅
=∑ 2
1determinante:
D
a c a aa c a aa c a a
a c a a
Desarrollando por columna c D
n
n
n
n n n nn
i ii
n
2
11 1 13 1
21 2 23 2
31 3 33 3
1 3
21
2= = = ⋅=∑
L
L
L
L L L L L
L
Ahora bien, observa que ,D A D A D A D An n12 12 22 22 32 32 2 2= = = =; ; ; ;LL
siendo los adjuntos de los elementos de la segunda columna deA A A An12 22 32 2; ; ; ;LL
la matriz de los coeficientes A.
Igualmente, el numerador de x3 : , coincide con el determinante :c Ai ii
n⋅
=∑ 3
1
D
a a c aa a c aa a c a
a a c a
Desarrollando por columna c D
n
n
n
n n n nn
i ii
n
3
11 12 1 1
21 22 2 2
31 32 3 3
1 2
31
3= = = ⋅=∑
L
L
L
L L L L L
L
Ahora bien, observa que ,D A D A D A D An n13 13 23 23 33 33 3 3= = = =; ; ; ;LL
siendo los adjuntos de los elementos de la tercera columna de laA A A An13 23 33 3; ; ; ;LL
matriz de los coeficientes A.
Así sucesivamente hasta llegara que el numerador de xn : , coincide con:c Ai ini
n⋅
=∑
1
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 36 Sistemas de Ecuaciones Lineales
n ecuaciones n deincognitas
AS es de Cramer
º º &
.
= =
=−
= + = ≠
⇒
26 53 4
24 15 39 0
xA
yA
=
−−
=−
=−
= − =−
=− −
=−
= −
8 59 4 32 45
3913
3913
6 83 9 54 24
3978
392;
D
a a a ca a a ca a a c
a a a c
Desarrollando por columna n c Dn
n n n n
i ini
n= = = ⋅
=∑
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
1
L
L
L
L L L L L
L
Ahora bien, observa que ,D A D A D A D An n n n n n nn nn1 1 2 2 3 3= = = =; ; ; ;LL
siendo los adjuntos de los elementos de la última columna de laA A A An n n nn1 2 3; ; ; ;LL
matriz de los coeficientes A.
En resumidas cuentas: “La solución del sistema podemos obtenerla aplicando lassiguientes fórmula para cada una de las incógnitas”
D1 se obtiene de substituir la columna 1 de A por la matriz de los términos independientesxD
A11=
D2 se obtiene de substituir la columna 2 de A por la matriz de los términos independientesxD
A22=
D3 se obtiene de substituir la columna 3 de A por la matriz de los términos independientesxD
A33=
þþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþ
Dn se obtiene de substituir la columna n de A por la matriz de los términos independientesxD
Ann=
Obsérvese como es imprescindible la condición de que * A *…0.
Ejemplo 35.-
Sea el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Sx yx y
:6 5 83 4 9
− =+ = −
Intentemos resolverlo por el método de Cramer.Veamos:
Podemos resolver por dicho método:
Por tanto, el sistema tiene como única solución x y= − = −
13
2;
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 37 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sx y zx z
y zsiendo A:
− + = −+ =
− + = −
=−
−
3 54 2 8
5 3 6
1 3 14 0 20 5 3
xA
yA
zA
=
− −
− −=
− + − − += =
=
−
−=
− + − + += =
=
− −
− −=
+ + − + −= =
5 3 18 0 26 5 3 0 40 36 0 50 72
261826
913
1 5 14 8 20 6 3 24 24 0 0 12 60
267226
3613
1 3 54 0 80 5 6 0 100 0 0 40 72
266826
3413
S
x x xx x
x x xx x
En este caso A: .
1 2 4
2 3
1 3 4
1 4
2 14 2
2 02 3 4
1 1 0 20 1 4 02 0 1 12 0 0 3
− + =− = −+ − =
+ =
=
−−
−
Ejemplo 36.-Consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
Queremos saber si es de Cramer y, encaso afirmativo, resolverlo por este método.Veamos:Î nº de ecuaciones = nº de incógnitas = 2 Y Puede ser de Cramer.
Ï A =−
−= − + − + + = ≠
1 3 14 0 20 5 3
0 20 0 0 10 36 26 0
Conclusión: El sistema S es de Cramer.Resolvamos:
Conclusión: La única solución del sistema S es x y z= = =913
3613
3413; ;
Ejemplo 37.-Resolvamos el sistema:
Observamos que nº de ecuaciones = nº de incógnitas = 4, es decir, puede ser de Cramer.
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 38 Sistemas de Ecuaciones Lineales
S :
531
5031
23831
5 50 7631
3131
1
5031
42831
50 11231
6231
2
2531
2831
3831
10 28 3831
031
0
2531
33831
10 11431
12431
4
− + ⋅ =− +
= =
− ⋅ =−
=−
= −
⋅ + − =+ −
= =
⋅ + ⋅ =+
= =
Hallemos el determinante de A:
}A A
F FF F
=
−−
−=
−−
−−
= ⋅ =−
−−
= − + − = ≠
− ⋅− ⋅
1 1 0 20 1 4 02 0 1 12 0 0 3
1 1 0 20 1 4 00 2 1 50 2 0 1
11 4 02 1 52 0 1
1 40 8 31 0
3 14 1
22
11
Por tanto, el sistema S es de Cramer.Para resolverlo, necesitamos hallar los determinantes *B* , *D* , *E* y *F* :
}
}
B B
D D
C CC C
C CC C
=
−− −
−=
− − −−−
= ⋅ =− −
−−
= + − =
=− −
−=
− −− −
−
= ⋅ =− −− −
+− ⋅
−− ⋅
1 1 0 22 1 4 0
0 0 1 14 0 0 3
1 0 0 02 1 4 4
0 0 1 14 4 0 5
11 4 4
0 1 14 0 5
5 16 16 5
1 1 0 20 2 4 02 0 1 12 4 0 3
1 0 0 00 2 4 02 2 1 52 2 0 1
12 4 02 1
2 14 1
2 14 1
2
11
2
11
}
}
52 0 1
2 40 8 50
1 1 1 20 1 2 02 0 0 12 0 4 3
1 1 1 00 1 0 02 0 0 52 0 4 1
11 1 02 0 52 4 1
10 20 2 28
1 1 0 10 1 4 22 0 1 02 0 0 4
1 1 0 10 1 4 22 0 1 42 0 0 0
2 2 1
3 2
4 1
2
22
2
415
−= + + =
=
−−
−=
− −
−−
= ⋅ =−
−−
= + − =
=
−− −
=
− −− −
−= ⋅ = ⋅ −
+ ⋅
− ⋅
E E
F F
C C
C C
( ) .ϕ41 21 0 1
1 4 20 1 4
38= − ⋅− −
− −−
=
Por tanto:
xB
Ax
D
Ax
E
Ax
F
A1 2 3 4531
5031
2831
3831
= = = = = = = =; ; ;
La solución del sistema es:
Comprobemos:
x x x x1 2 3 4531
5031
2831
3831
= = = =; ; ;
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 39 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):( ):( ):
( ):
123
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
a x a x a x a x ca x a x a x a x ca x a x a x a x c
m a x a x a x a x c
S Sistema de orden m
n n
n n
n n
m m m mn n m
+ + + + =+ + + + =+ + + + =
+ + + + =
×
LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
n.
A
a a a aa a a aa a a a
a a a a
es la matriz de los coeficientes
A
a a a a ca a a a ca a a a c
a a a a c
es la
n
n
n
m m m mn
n
n
n
m m m mn m
=
=
∗
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
1 2 3
L
L
L
L L L L L
L
L
L
L
L L L L L L
L
.
matriz ampliada.
a a a aa a a aa a a a
a a a a
xxx
x
ccc
c
Abreviadamente A X C
n
n
n
m m m mn n m
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
1
2
3
1
2
3
L
L
L
M M M M M
L
M M
⋅
=
⋅ =:
16.Teorema de Rouché.-
Consideremos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
Matricialmente es:
Recordemos:
El teorema de Rouché dice lo siguiente:
Es decir:
Nota: Recuérdese que el rango de una matriz es igual al número de filas (o decolumnas) linealmente independientes.
La condición necesaria y suficiente para que un sistema S de m ecuacionescon n incógnitas sea compatible (tenga solución) es que el rango de lamatriz de los coeficientes sea igual al rango de la matriz ampliada.
S es compatible Rango A Rango A⇔ = ∗
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 40 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):( ):( ):
( ):
123
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
a s a s a s a s ca s a s a s a s ca s a s a s a s c
m a s a s a s a s c
se verifican las m igualdades
n n
n n
n n
m m m mn n m
+ + + + =+ + + + =+ + + + =
+ + + + =
LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
. ⇒
( ):( ):( ):
( ):
123
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
1
a x a x a x a x ca x a x a x a x ca x a x a x a x c
r a x a x a x a x c
Ssistema de r
n n
n n
n n
r r r rn n r
+ + + + =+ + + + =+ + + + =
+ + + + =
LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
ecuaciones conn incognitas equivalente a S& .
cc
c
es combinacion lineal de
aa
a
aa
a
aa
a
aa
am m m m
n
n
mn
1
2
11
21
1
12
22
2
13
23
3
1
2
M M M MKK
M& , , , , ⇒
M
a a a aa a a aa a a a
a a a a
ytodos los menores de orden rformados por M y las demasfilas son iguales a cero
r
r
r
r
r r r rr
r= ≠+
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
01
L
L
L
L L L L L
L
&
.
Demostración: Demostremos que: S compatible Y Rango A = Rango A*
S compatible Y S tiene solución Y › tal que:r
Ks s s s sn= ( , , , , )1 2 3
Y La última columna de A* es combinación lineal de las otras n, es decir:
Y Si en la matriz A* eliminamos la última columna, obtenemos otra matriz (A) que tiene el mismo rango Y Rango A* = Rango A c.q.d.
Demostremos que: Rango A = Rango A* Y S compatibleSi Rango A = Rango A* = r ( r # m y r # n) Y En las matrices A y A* existen unmenor en cada una que es de orden r y con valor …0, siendo todos los menores de ordensuperior (orden > r) iguales a 0. Y (supongamos, por comodidad, que el menor de ordenr distinto de cero es el principal Mr ):
Y Las filas r+1, r+2, r+3, .... , m de la matriz A* son combinación lineal de las r primeras Y Las ecuaciones (r+1) , (r+2) , (r+3) , .... , (m) del sistema S son combinación lineal de las r primeras Y Si eliminamos las ecuaciones (r+1) , (r+2) , (r+3) , .... , (m) del sistema S, obtenemos otro sistema S1 equivalente al anterior :
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 41 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):( ):( ):
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
123
11 1 12 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1
21 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2
31 1 32 2 3 3 3 1 1 3 2
a x a x a x c a x a x a xa x a x a x c a x a x a xa x a x a x c a x a
r r r r r r n n
r r r r r r n n
r r r r r
+ + + = − − − −+ + + = − − − −+ + + = − −
+ + + +
+ + + +
+ + +
L L
L L
L x a x
r a x a x a x c a x a x a x
Sr n n
r r rr r r r r r r r r rn n
+
+ + + +
− −
+ + + = − − − −
2 3
1 1 2 2 1 1 2 2
1L
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
L L( ): ( ) ( )
( ):( ):( ):
( ):
& .
123
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
31 1 32 2 3 3
1 1 2 2
2
a x a x a x ka x a x a x ka x a x a x k
r a x a x a x k
S sistema de r ecuaciones con r incognitas
r r
r r
r r
r r rr r r
+ + + =+ + + =+ + + =
+ + + =
L
L
L
LLLLLLLLLLLLLL
L
Determinante dela Matrizde los coeficientes de S
M
a a a aa a a aa a a a
a a a a
r
r
r
r
r r r rr
2
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
0
= = ≠
L
L
L
L L L L L
L
Vamos a llamar incógnitas principales a x1 , x2 , x3 , ÿ , xr e incógnitas no principales osecundarias a xr+1 , xr+2 , xr+3 , ÿ , xn . Todas las incógnitas secundarias, con sus coeficientes,las pasamos al segundo miembro de cada ecuación, es decir:
No olvidar que S1 es equivalente a S, es decir, tiene las mismas soluciones.
Damos a las incógnitas secundarias valores arbitrarios, es decir, les damos los valores quequeramos. Supongamos que:xr+1= sr+1 ; xr+2 = sr+2 ; xr+3 = sr+3 ; ÿ ; xn = sn (sr+1 , sr+2 , sr+3 , ÿ , sn son números)
Entonces, el sistema S1 quedará (le llamamos S2 )
siendo k1 , k2 , k3 , ÿ , kr números.
El sistema S2 , de r ecuaciones con r incógnitas (x1 , x2 , x3 , ÿ , xr) es de Cramer ya queel número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas y además la matriz de loscoeficientes es distinta de cero, ya que:
De lo anterior deducimos que el sistema S2 tiene solución, es decir:x1 = s1 ; x2 = s2 ; x3 = s3 ; ÿ ; xr = sr (s1, s2, s3, ÿ , sr son números)
verifican las r igualdades del sistema S2 y, por tanto, verifican las r igualdades de sistemaS1 (equivalente a S), lo cual significa que los n valores:
x1 = s1 ; x2 = s2 ; x3 = s3 ; ÿ ; xr = sr ; xr+1= sr+1 ; xr+2 = sr+2 ; xr+3 = sr+3 ; ÿ ; xn = snson una solución del sistema S1 y, por tanto, también forman una solución de S. Es decir,el sistema S tiene solución. c.q.d.
Conclusión:
S es compatible Rango A Rango A⇔ = ∗
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 42 Sistemas de Ecuaciones Lineales
16.1.Observaciones y consecuencias del teorema de Rouché.-
Tras la demostración del teorema de Rouché, debemos realizar las siguientesobservaciones:
Î Hemos visto que una solución del sistema S sería ( )rK Ks s s s s s s sr r r n= + +1 2 3 1 2, , , , , , , ,
donde sr+1 , sr+2 , sr+3 , ÿ , sn son valores arbitrarios (valores elegidos por nosotros) dadosa las variables xr+1 , xr+2 , xr+3 , ÿ , xn , mientras que los valores s1, s2, s3, ÿ , sr seobtiene posteriormente al resolver el sistema S2.
Ï Si damos otros valores distintos de los anteriores a las incógnitas no principales, es decir:xr+1= tr+1 ; xr+2 = tr+2 ; xr+3 = tr+3 ; ÿ ; xn = tn
obtendremos nuevos valores para las incógnitas principales, esto es:x1 = t1 ; x2 = t2 ; x3 = t3 ; ÿ ; xr = tr
siendo otra solución del sistema S.( )rK Kt t t t t t t tr r r n= + +1 2 3 1 2, , , , , , , ,
Ð De la observación anterior deducimos que un sistema puede tener ner infinitassoluciones, ya que para cada conjunto de valores posibles para xr+1 , xr+2 , xr+3 , ÿ , xn(que son infinitos), obtenemos un conjunto de valores para x1 , x2 , x3 , ÿ , xr y, por tanto,una solución del sistema S.
Ð Hemos llamado incógnitas principales a x1 , x2 , x3 , ÿ , xr , es decir, a las r primeras.En general no siempre es así. Las incógnitas principales son r (r = Rango A = Rango A*),pero pueden ser, por ejemplo, x3 , x5 , x6 , x9 (En el caso que r = 4), siendo el restoincógnitas secundarias. En cualquier caso, el determinante de la matriz de los coeficientesque corresponda al sistema que hemos llamado S2 debe ser distinto de cero.
Conclusión final:Supongamos un sistema S de m ecuaciones con n incógnitas. Sean A y A* las matrices de
los coeficientes y ampliada. La discusión de S consiste se resume en el siguiente cuadro:
Discusion de SRango A Rango A S es compatible
Rango A Rango A r n S es compatible
Rango A Rango A n S es compatible
Rango A Rango A S es incompatible
&= ⇒
= = < ⇒
= = ⇒
≠ ⇒
∗∗
∗
∗
indeterminado
determinado
Nota: Compréndase que Rango A = Rango A* = r>n no puede ocurrir ya que el rango de unamatriz debe ser menor que el número de filas (m) y que el número de columnas (n).
Recuérdese que: Compatible determinado ] Tiene solución única Compatible indeterminado ] Tiene infinitas soluciones Incompatible ] No tiene solución.
Ejemplo 38.-
Discutir el sistema Sx y z
x y zx y z
:3 2 9
2 3 37 10 9 12
− − =+ + =
− + + = −
Veamos:Se trata de averiguar si es compatible (determinado o indeterminado) o incompatible.
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 43 Sistemas de Ecuaciones Lineales
A A=− −
−
=− −
− −
∗3 2 11 2 37 10 9
3 2 1 91 2 3 37 10 9 12
A A son las matricesde coeficientes y ampliada=− −
−
=− −
− −
∗3 2 11 2 37 10 9
3 2 1 91 2 3 37 10 9 21
&
*
Unicamente debemos hallar un determinante
3 -2 91 2 3-7 10 -12
= − + + + − − = ≠ ⇒ =72 90 42 126 90 24 72 0 3Rango A
3 -2 91 2 3-7 10 -21
= − + + + − − = ⇒ =126 90 42 126 90 42 0 2Rango A*
Construyamos las matrices de los coeficientes (A) y ampliada (A* ):
Hallemos el rango de la matriz A (ver tema “Matrices y determinantes”):Rango A o o
M Rango A o
Rango A
=
=−
= + = ≠ ⇒ =
− −
−= − + − − + = − =
⇒ =
1 2 3
3 21 2 6 2 8 0 2 3
3 2 11 2 37 10 9
54 10 42 14 90 18 114 114 02
2
Hallemos el rango de la matriz A* :
Por tanto, Rango A … Rango A* , es decir, el sistema es incompatible (no tiene solución)
Ejemplo 39.-
Discutir el sistema Sx y z
x y zx y z
:3 2 9
2 3 37 10 9 21
− − =+ + =
− + + = −
Veamos:
Rango A = 2 (ver ejemplo 38)Para hallar el rango de la matriz A* sólo necesitamos hallar un determinante:
Por tanto, Rango A = Rango A* = 2 < 3 = nº de incógnitasConclusión: El sistema S es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones).
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 44 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sx y zx y z
S S1 1
3 2 92 3 3
:− − =+ + =
⇔
Sx y zx y z
sistema de ecuaciones con incognitas1
3 2 92 3 3
2 2: & .− = ++ = −
B y B matriz de los coeficientes y ampliada=− −
=
− −
3 2 11 2 3
3 2 1 91 2 3 3
* .
M2
3 21 2
6 2 8 0=−
= + = ≠
x
zz z z z
z
y
zz z z z
z
=
+ −−
− =+ + −
=−
= −
=
+−− =
− − −=
−= −
9 23 3 2
3 21 2
18 2 6 68
24 48
312
3 91 3 3
3 21 2
9 9 98
0 108
54
Ejemplo 40.-Resolver el sistema del ejemplo 39 y encontrar tres soluciones concretas.
Veamos:
Sx y z
x y zx y z
:3 2 9
2 3 37 10 9 12
− − =+ + =
− + + = −
4 Como el rango de A* es igual a 2 y su menor principal de orden 2 es distinto de 0,deducimos que la tercer fila de A* es combinación lineal de las dos primeras (ver tema“Matrices y determinantes”), es decir, la tercera ecuación de S es combinación linealde las dos primeras. Eliminando esa ecuación, obtenemos el sistema S1 equivalente a S.
Nótese que S1 es un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas (no es de Cramer). Lassoluciones de S1 coinciden con las de S.En este caso:
4 Número de incógnitas principales = Rango A = Rango A* = 2Número de incógnitas secundarias = 1Elegimos como incógnitas principales a x e y. La incógnita secundaria es z.Para poder elegir las incógnitas principales es necesario que el menor de Bcorrespondiente a ellas sea distinto de cero. En este caso es:
4 En el sistema S1 pasamos la incógnita secundaria al otro miembro y la tratamos comosi fuese una constante:
Nótese que el sistema S1 es de Cramer ya que el determinante de la matriz de loscoeficientes es distinto de cero.
4 Resolvemos el sistema S1 por el método de Cramer:
Sabemos que S es un sistema compatible indeterminado,es decir, tiene infinitas soluciones. Vamos a determinarlastodas y a encontrar tres de ellas.
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 45 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( )zx
ys seria una solucion de S y S= ⇒
= −
= −
⇒ = − −λ
λλ
λ λ λ3
312
54
12
54 1
r , , & & .
Conjunto solucion de S
x
yz
se llama parametro& &
= −
= −=
∀ ∈
3 12
54
λλ
λλ λR
para x y z s es una solucionpara x y z s es otra solucion
para x y z s es otra solucion
λλλ
= ⇒ = = = ⇒ == ⇒ = = − = ⇒ = −
= ⇒ = = − = ⇒ = −
0 3 0 0 3 0 04 1 5 4 1 5 4
1 1 152
54
52
54
; ; ( , , ) & .; ; ( , , ) & .
; ; ( , , ) &
r
r
r
A A=−
−− − −
=−
− −− − −
1 1 1 12 1 3 24 5 11 4
1 1 1 1 42 1 3 2 14 5 11 4 11
; *
M Rango A o2
1 12 1 1 2 3 0 2 3
1 1 12 1 34 5 11
11 10 12 4 15 22 01 1 12 1 24 5 4
4 10 8 4 10 82 0
=−
= − − = − ≠ ⇒ =
−−
− −= − − + − + = −
− −= + − − − + =;
Para cada valor que demos a z obtenemos x e y, de tal modo que la terna obtenida es unasolución de S1, es decir:
4 El conjunto de las soluciones se expresa de la forma:
Para cada valor que demos a λ obtenemos una solución de S (infinitas soluciones).4 Obtengamos tres soluciones concretas:
Ejemplo 41.-
Discutir y resolver el sistema Sx x x xx x x xx x x x
:1 2 3 4
1 2 2 4
1 2 3 4
42 3 2 14 5 11 4 11
+ − + =− + + = −
− + − − =
Discusión:n de ecuacionesn deincognitas
El sistema no es de CramerEl sistema no es compatible
ºº &
==
⇒
34 determinado
Hallemos los rangos de las matrices de los coeficientes (A) y ampliada (A* ):
Hallemos Rango A. Es evidente que Rango A = 1 o 2 o 3.
Por tanto, Rango A = 2
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 46 Sistemas de Ecuaciones Lineales
1 1 42 1 14 5 11
11 40 4 16 5 22 0 2− −−
= − + + − + − = ⇒ =Rango A*
Sx x x xx x x x
S S11 2 3 4
1 2 2 41
42 3 2 1
:+ − + =− + + = −
⇔
Sx x x xx x x x sistema de ecuaciones con incognitas11 2 3 4
1 2 2 4
42 1 3 2 2 2: &
+ = + −− = − − −
xx x x x x x x x
xx x x x x x
x xx x
M
x xx x
M
1
4 11 3 2 1 3 4 3 4 3 4 3 4
2
1 42 1 3 2 3 4 3 4 3 3
3 4
3 4
2
3 4
3 4
2
4 1 3 23
3 2 33
3 2 33
1 3 2 8 2 23
9 53
9 53
= =− − + + + +
−=
− + +−
=− −
= =− − − − − +
−=
− −−
=+
+ −− − − −
+ −− − −
x
x
xx
Esta resion se llamaecuaciones parametricasdel conjunto solucion
1
2
3
4
3 2 33
9 53
=− −
=+
==
α β
α
αβ
exp&
&
3 2 33
9 53
− − +
α β αα β, , ,
Hallemos Rango A*. Es evidente que Rango A*= 2 o 3.No es necesario hacer de nuevo los determinantes anteriores. Sólo debemos hacer uno.
Conclusión: Rango A = Rango A* = 2 < 4 = nº incógnitasEl sistema S es compatible indeterminado (infinitas soluciones).
Otras conclusiones:a) La tercera fila de la matriz A* es combinación lineal de las dos primeras.b) La tercera ecuación de S es combinación lineal de las dos primeras.c) Si eliminamos la tercera ecuación obtenemos otro sistema S1 equivalente a S.
Resolución:Eliminamos la tercera ecuación de S :
Número de incógnitas principales = Rango A= Rango A* =2 ( x1 , x2 )Número de incógnitas secundarias = 2 (x3 , x4 ). Se consideran como números.
Pasamos las incógnitas secundarias al miembro derecho de las igualdades:
El sistema S1 es de Cramer. Lo resolvemos por este método:
En este caso tenemos dos parámetros x3 = α y x4 = βEl conjunto de las infinitas soluciones se expresa:
Otra forma de expresar el conjunto solución es:
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 47 Sistemas de Ecuaciones Lineales
αβαβαβ
==
⇒
==
⇒
==
⇒
00
1 3 0 0
01 0 3 0 1
10 1 01
3143
( , , , ) &
( , , , ) &
( , , , ) &
es una solucion
esotra solucion
es otra solucion
A mm
m m m
m m m m
mmm
=−
− −−
= − − + + − − − − − =
− + − = − + =
=± −
=±
=±
===
3 5 11 2 25 2 1
6 2 25 50 10 3 2 5 0
3 36 81 0 12 27 0
12 144 1082
12 362
12 62
93
2
2 2
1
2
( )
;
Para cada par de valores α y β obtenemos una solución.Busquemos algunas soluciones de S1 y, por tanto, de S.
Ejemplo 42.-
Consideremos el sistema . Se pide:Sx y zx y m zx m y z
:( ):( ): ( )( ): ( )
1 3 5 72 2 2 53 5 2 17
+ − =− + − =+ − + =
a) ¿Para qué valores de m el sistema S es incompatible?b) ¿Para qué valores de m el sistema S es compatible determinado?c) ¿Para qué valores de m el sistema S es compatible indeterminado?
Veamos:
A mm
A mm
siendoA matriz coeficientes
A matriz ampliada=
−− −−
=−
− −−
=
=
3 5 11 2 25 2 1
3 5 1 71 2 2 55 2 1 17
; **
S es compatible ] Rango A = Rango A* Hallemos el rango de la matriz A. Sabemos que Rango A = 1 o 2 o 3.Rango A = 3 ] *A*…0Busquemos los valores de m que hacen que *A*= 0
Conclusiones:
Î ¡Ojo! Esta expresión no se puede simplificar.A m m= − + −3 36 812
Ï *A*= 0 ] m = 3 o m = 9Ð Si m … 3 y m … 9 el sistema S es de Cramer, ya que *A*… 0. Además es compatible
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 48 Sistemas de Ecuaciones Lineales
A A=−
−
=−
−
3 5 11 2 15 1 1
3 5 1 71 2 1 55 1 1 17
; *
M Rango A2
3 51 2
6 5 11 0 2=−
= − − = − ≠ ⇒ =
3 5 11 2 15 1 1
0 3
3 5 71 2 55 1 17
102 7 125 70 15 85 0
−− = = =
− = − + + + − − =
A recordemos que es el caso en que m( )
determinado.å Si m = 3 o m = 9 el sistema no es de Cramer. No es compatible determinado, pero
puede ser compatible indeterminado.
En definitiva:
Veamos lo que ocurre con S cuando m = 3 :
m Sx y zx y zx y z
sistema de ecuaciones con incognitas= ⇒+ − =− + =+ + =
31 3 5 72 2 53 5 17
3 3:( ):( ):( ):
&
En este caso:
S es compatible ] Rango A = Rango A* Hallemos el rango de A. Está claro que Rango A= 1 o 2. No olvidar que *A*= 0 porque m = 3.
Hallemos el rango de A*
Está claro que Rango A* = 2 o 3
Por tanto, Rango A* =2
Conclusiones cuando m = 3 :ì Rango A = Rango A* = 2 < 3 = nº de incógnitas.Ù El sistema S es compatible indeterminado.Ú La tercer fila de A* es combinación lineal de las dos primeras. La tercera ecuación de S
es combinación lineal de las dos primeras. Si la eliminamos, obtenemos otro sistemaequivalente a S.
En definitiva:
b) El sistema S es compatible determinado cuando m … 3 y m … 9.
c) El sistema S es compatible indeterminado cuando m = 3
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 49 Sistemas de Ecuaciones Lineales
A A=−
−
=−
−
3 5 11 2 75 7 1
3 5 1 71 2 7 55 7 1 17
; *
M Rango A2
3 51 2
6 5 11 0 2=−
= − − = − ≠ ⇒ =
3 5 11 2 75 7 1
0 9
73 5 71 2 55 1 17
102 49 125 70 105 85 0
−− = = =
− = − + + + − − ≠
A recordemos que es el caso en que m( )
Veamos lo que ocurre con S cuando m = 9 :
m Sx y zx y zx y z
sistema de ecuaciones con incognitas= ⇒+ − =− + =+ + =
91 3 5 72 2 7 53 5 7 17
3 3:( ):( ):( ):
&
En este caso:
S es compatible ] Rango A = Rango A* Hallemos el rango de A. Está claro que Rango A= 1 o 2. No olvidar que *A*= 0 porque m = 9.
Hallemos el rango de A*
Está claro que Rango A* = 2 o 3
Por tanto, Rango A* =3Conclusiones cuando m = 9 :â Rango A … Rango A* ã El sistema S es incompatible.
En definitiva:
Ejemplo 43.-Resolver el sistema del ejemplo anterior para el caso “compatible indeterminado”
Veamos:
m Sx y zx y zx y z
= ⇒+ − =− + =+ + =
31 3 5 72 2 53 5 17
:( ):( ):( ):
compatible indeterminado
Vimos que la tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras. Eliminamos
a) El sistema S es incompatible cuando m = 9
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 50 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sx y zx y z
Sistema de ecuacionescon incognitasEs de Cramer1
1 3 5 72 2 5
2 2:
( ):( ):
&+ = +− = −
x
zz z z z
z
y
zz z z z
z
=
+− −
−
=− − − +
− −=
− +−
= −
=
+−
−
=− − −
− −=
−−
= − +
7 55 2
3 51 2
14 2 25 56 5
39 311
3911
311
3 71 53 51 2
15 3 76 5
8 411
811
411
( )λ = ⇒ = = − = ⇒ = −0 0 03911
811
3911
811x y z s es una solucion; ; , , &
r
esa ecuación y obtenemos un sistema S1 equivalente al anterior:
Sx y zx y z
Sistema de ecuacionescon incognitas11 3 5 72 2 5
2 3:( ):( ):
&+ − =− + =
número de incógnitas principales = Rango A = Rango A* = 2 ( x e y)número de incógnitas secundarias = 1 ( z )
Pasamos la incógnita secundaria al miembro derecho de la igualdad y la tratamos comouna constante:
Resolvemos por el método de Cramer:
Por tanto, las soluciones del sistema S (equivalente a S1) tiene la forma:
( )Soluciones de S
x
yz
o tambien s: & , ,
= −
= − +=
= − − + ∀ ∈
3911
311
811
411
3911
311
811
411
λλ
λλ λ λ λr R
Para cada valor de λ obtenemos una solución de S. Por ejemplo:
Ejemplo 44.-
Discutir y resolver el sistema según los valores de mSm x y z
y m zx m y z
:( ): ( )( ): ( )( ): ( )
1 2 5 2 82 3 63 3 4 6 10
+ − + =− + + = −
+ − − =
Veamos:Se trata de averiguar para que valores de m el sistema es compatible, es incompatible y
resolverlo en los casos en que sea compatible.) Discusión (estudiar la compatibilidad o incompatibilidad de S ) :
S es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas y, por tanto, puede ser de Cramer.Construyamos las matrices de los coeficientes y ampliada:
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 51 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Am
mm
Am
mm
=+ −
− +− −
=+ −
− + −− −
2 5 20 1 33 4 6
2 5 2 80 1 3 63 4 6 10
; *
Am
mm
m m m m m
m m m m m m
m m m m m m m m m
m m m
m m m
=+ −
− +− −
= + − + + − + ⋅ − ⋅ + =
+ − − + − + − − ⋅ + =
+ − − + − + + + − − − − =
− − + − =
+ − + =
2 5 20 1 33 4 6
6 2 15 3 6 3 4 2 0
6 12 15 45 6 3 4 12 2 0
6 12 15 45 6 2 3 6 4 8 12 24 0
5 3 0
5 3
2
3 2 2 2
3 2
3 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
0 ( & & )ecuacion de tercer grado con una incognita
S es compatible determinado (y de Cramer) ] Rango A = Rango A* = 3 = nº de incógnitasS es compatible indeterminado ] Rango A = Rango A* = r < 3 = nº de incógnitasS es incompatible determinado ] Rango A … Rango A*
Analicemos el rango de la matriz A según los valores de m :Rango A = 3 ] *A*…0
Veamos para que valores de m es *A* = 0
Para resolver esta ecuación, busquemos si tiene alguna solución entera, es decir, si hay algunaraíz entera del polinomio p m m m m( ) = + − +3 2 5 3Recordemos: Si el polinomio anterior tiene alguna raíz entera (solución de la ecuación), debe
estar entre los divisores del término independiente (3)Posibles raíces enteras de p(m) = divisores de 3 = 1, &1, 3, &3Probemos con m = 1 : p(1) = 13 + 12 &5 ·1 + 3 = 1 + 1 & 5 + 3 = 0Ya tenemos que m = 1 es una solución de la ecuación m m m3 2 5 3 0+ − + =Recordemos el “teorema del resto” de la división de polinomios :
“Si x = a es una raíz de un polinomio p(x), la división p(x) : x&a es exacta”En nuestro caso, la división es exacta.m m m m3 2 5 3 1+ − + −:Efectuamos esta división:
1 1 &5 3
1 1 2 &3
1 2 &3 0Cociente: c(m) = m2 + 2m & 3 Resto: r = 0Por tanto: m m m m m m
dividendo divisor cociente
3 2 25 3 1 2 3+ − + = − ⋅ + −1 244 344 123 1 244 344( ) ( )
Hallemos los valores que anulan al polinomio cociente, para factorizarlo:
m m mmm
22
1
22 3 0
2 2 4 1 32
2 162
2 42
13+ − = ⇒ =
− ± − ⋅ ⋅ −=
− ±=
− ±=
== −
( )
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 52 Sistemas de Ecuaciones Lineales
3 50 1
3 0 2−−
= − ≠ ⇒ =Rango A
Deducimos que m m m m2 2 3 1 3+ − = − ⋅ +( ) ( )
En definitiva: ( )p m m m m m m m m m( ) ( ) ( ) ( )= + − + = − ⋅ + − = − ⋅ +3 2 2 25 3 1 2 3 1 3Conclusiones:± m m m m o m3 2 5 3 0 1 3+ − + = ⇔ = = −
± A m o m= ⇔ = = −0 1 3± S no es de Cramer ] m = 1 o m = &3
±
Veamos el caso en que m = 1 :
m Sx y z
y zx y z
Sistema que sabemos no es compatible o= ⇒− + =− + = −− − =
11 3 5 2 82 4 63 3 3 6 10
:( ):( ):( ):
determinad
Construyamos las matrices de los coeficientes y ampliada:
A A=−−− −
=−− −− −
3 5 20 1 43 3 6
3 5 2 80 1 4 63 3 6 10
; *
S compatible ] Rango A = Rango A*
Hallemos el rango de A : Sabemos que Rango A = 1 o 2 (recuerda que para m =1 *A* = 0 )
Hallemos el rango de A* : Sabemos que Rango A* = 2 o 3 (ya que Rango A* $Rango A )3 5 20 1 43 3 6
03 5 80 1 63 3 10
30 90 24 54 30 0−−− −
= =−− −−
= − + + − = ≠A ;
Por tanto: Rango A* = 3Conclusiones:Ø Rango A … Rango A* (cuando m = 1)
Ù Si m = 1 Y S es incompatible
Veamos el caso en que m = &3 :
m Sx y z
yx y z
Sistema que sabemos no es compatible o= − ⇒− − + =
− = −− − =
31 5 2 82 63 3 7 6 10
:( ):( ):( ):
determinad
Construyamos las matrices de los coeficientes y ampliada:
Si m …1 y m …&3 Y S es compatible determinado (de Cramer)
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 53 Sistemas de Ecuaciones Lineales
A A S compatible Rango A Rango A=− −
−− −
=− −
− −− −
⇔ =1 5 2
0 1 03 7 6
1 5 2 80 1 0 63 7 6 10
; * *
Hallemos el rango de la matriz A: Rango A = 1 o 2 (ya que *A*= 0 por ser m = &3 )
M Rango A2
1 50 1
1 0 2=− −
−= ≠ ⇒ =
Hallemos el rango de la matriz A*: Rango A* = 1 o 2 o 3
M A no hace falta hacerlo ya que m
Rango A
21 5
0 1 1 01 5 2
0 1 03 7 6
0 3
1 5 80 1 63 7 10
10 90 24 42 0 3
=− −
−= ≠ =
− −−− −
= = −
− −− −− −
= − + + + ≠ ⇒ =
; ( , )
*
Conclusiones:L Cuando m = &3 es Rango A … Rango A*
L Si m = &3 entonces S es incompatible
De todo lo anterior se deduce que el sistema dado S, tiene solución única (compatibledeterminado) para cualquier valor que demos a m distinto de &3 y 1.
) Resolución : Veamos como sería la solución del sistema para cualquier valor de mdistinto de &3 y 1.Resolvemos por el método de Cramer (ya que en este caso el sistema es de Cramer).
x
mm
mm
m
m m m mm m m
m mm m m
y
mm
mm
m
m m
=
−− − +
− −
+ −− +− −
=− − − + + − − + +
− − + −=
− − +− − + −
=
+− +
−
+ −− +− −
=+ + + +
8 5 26 1 3
10 4 6
2 5 20 2 33 4 6
48 12 4 50 3 20 8 4 3 1805 3
8 54 2425 3
2 8 20 6 33 10 6
2 5 20 2 33 4 6
36 2 24 3 36
3 2
2
3 2( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) − + +− − + −
=− + +− − + −
=
+ −− −−
+ −− +− −
=− + + + + − +
− − + −=
− +− − + −
10 3 25 3
10 10 1205 3
2 5 80 1 63 4 10
2 5 20 2 33 4 6
10 2 90 24 6 4 25 3
6 22 465 3
3 2
2
3 2
3 2
2
3 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
m mm m m
m mm m m
z
m
m
mm
m
m m mm m m
m mm m m
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 54 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):( ):( ):
( ):
&
1 02 03 0
0
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
1 1 2 2 3 3
a x a x a x a xa x a x a x a xa x a x a x a x
m a x a x a x a x
S Sistema de orden m
n n
n n
n n
m m m mn n
+ + + + =+ + + + =+ + + + =
+ + + + =
LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
homgeneo × n.
Por tanto:
Si m y m Solucion unica de S
xm m
m m m
ym m
m m m
zm m
m m m
≠ − ≠ ⇒
=+ −
+ − +
=− −
+ − +
=− + −
+ − +
3 1
8 54 2425 3
10 10 1205 3
6 22 465 3
2
3 2
2
3 2
2
3 2
&
Ejemplo 45.-Queremos resolver el sistema del ejemplo anterior para el caso en que m = 2.
Veamos:
Solución : m Sx y z
y zx y z
= ⇒− + =
− + = −− − =
21 4 5 2 82 5 63 3 2 6 10
:( ):( ):( ):
x
y
z
=+ −
+ − += −
=− −
=−
= −
=− + −
= −
32 108 2428 4 10 3
1025
40 20 1205
1005
20
24 44 465
265
Comprobemos:
( )
( )S:
( ): ( )
( ):
( ): ( )
1 4 5 20 2 100 8
2 20 5 20 26 6
3 3 2 20 6 40 10
1025
265
4085
525
408 500 525
405
265
1025
265
3065
1565
306 200 1565
505
⋅ − ⋅ − + ⋅ − = − + − = = =
+ ⋅ = − = −
⋅ − ⋅ − − ⋅ = + + = = =
− − + −
−
− − − − + +
17.Sistemas homogéneos.-
Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas se dice que es homogéneo si los términosindependientes de las m ecuaciones son ceros.
Es decir:
En este caso:
A
a a a aa a a aa a a a
a a a a
es la matriz de los coeficientes
n
n
n
n n n nn
=
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
L
L
L
L L L L L
L
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 55 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):( ):( ):
( ):
(
1 0 0 0 0 02 0 0 0 0 03 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
11 12 2 13 1
21 22 23 2
31 32 2 33 3
1 2 3
a a a aa a a aa a a a
m a a a a
S se verifican las m
n
n
n
m m m mn
⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =
⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =
LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
igualdades)
5 2 0
6 4 0
3 2 0
1 2 3
129 2 3 4
15 1 2
23 3 4
x x x
x x x x
x x x x
S
− + =
+ − + =
− + − =
A
a a a aa a a aa a a a
a a a a
es la matriz de ampliada
n
n
n
n n n nn
* =
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
000
0
L
L
L
L L L L L
L
L
Matricialmente:
{
a a a aa a a aa a a a
a a a a
xxx
x
siendo A de orden m n
n
n
n
n n n nn
matriz m m
n
n m
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
1
2
3
1 1
000
0
1
L
L
L
L L L L L
L1 244444 344444
L
123
L
⋅
=
× +
× × ×
* ( )
Ejemplo 46.-Un sistema homogéneo de 3 ecuaciones con 4 incógnitas sería:
17.1.Propiedades de los sistemas homogéneos .-De los sistema homogéneos destacamos las siguientes propiedades:
Propiedad I.- Si S es un sistema homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas, una solucióndel sistema es x1 = 0 ; x2 = 0 ; x3 = 0 ; þþ ; xn = 0 En efecto:
Propiedad II.-Todo sistema homogéneo es compatible (tiene solución).En efecto, es una consecuencia de la propiedad anterior, ya que dando el valor0 a todas las incógnitas obtenemos una solución del sistema.Apréciese también que aplicando el teorema de Rouché llegamos a que S escompatible, es decir:
S es compatible ] Rango A = Rango A*
En efecto, la matriz A* tiene una columna (la última) con todos los elementos 0,
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 56 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( )rK
LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
s solucion de S
a a a aa a a aa a a a
a a a a
n
n n
n n
n n
m m m mn n
= ⇒
+ + + + =+ + + + =+ + + + =
+ + + + =
α α α α
α α α αα α α αα α α α
α α α α
1 2 3
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
1 1 2 2 3 3
000
0
, , , , &
( )( )
a k a k a k a k k a a a a k
a k a k a k a k k a a a a k
a k a k
n n n n
n n n n
11 1 12 2 13 3 1 11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2 21 1 22 2 23 3 2
31 1 32
0 0
0 0
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ =
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ =
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
α α α α α α α α
α α α α α α α α
α α
L L
L L
( )2 33 3 3 31 1 32 2 33 3 3
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2
0 0+ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ =
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ +
a k a k k a a a a k
a k a k a k a k k a a a
n n n n
m m m mn n m m
α α α α α α
α α α α α α
L L
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
L ( )m mn na k3 3 0 0⋅ + + ⋅ = ⋅ =
α αL
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )S
a s t a s t a s t a s t
a s t a s t a s t a s t
a s t a s t a s
n n n
n n n
:
( )
( )11 1 1 12 2 2 13 3 3 1
21 1 1 22 2 2 23 3 3 2
31 1 1 32 2 2 33 3
1
2
⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ =
⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ =
⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
α β α β α β α β
α β α β α β α β
α β α β α
LL
LL
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ =
⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ =
β α β
α β α β α β α β
t a s t
a s t a s t a s t a s t m
n n n
m m m mn n n
3 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3
3LL
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
( )
( )
por lo que si eliminamos esa columna obtenemos otra matriz que tiene el mismorango (ver tema “Matrices y determinantes”). La matriz que se obtiene esprecisamente A, por lo que Rango A = Rango A*, esto es, el sistema S escompatible.
Propiedad III.- Si S es un sistema homogéneo y x1 = α1 ; x2 = α2 ; x3 = α3 ; þþ ; xn = αn esuna solución de S, entonces, para cualquier k0ú se verifica que :
x1 = k·α1 ; x2 =k· α2 ; x3 = k·α3 ; þþ ; xn = k·αntambién es una solución de S.En efecto:
Veamos que si k0ú, es solución de S.( )rKt k k k k n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅α α α α1 2 3, , , ,
Observamos que se verifican las m ecuaciones, es decir, es solución de S.rt
Propiedad IV.- Supongamos que x1 = s1 ; x2 = s2 ; x3 = s3 ; þþ ; xn = sn es una solución delsistema homogéneo S y x1 = t1 ; x2 = t2 ; x3 = t3 ; þþ ; xn = tn es otra solución.Si α y β son dos números reales cualesquiera (α,β 0ú), entonces:
x1 = α·s1 + β·t1 ; x2 = α·s2 + β·t2 ; x3 = α·s3 + β·t3 ; þþ ; xn = α·sn + β·tnes también una solución del sistema S.En efecto, vamos a demostrar que substituyendo las incógnitas por los valoresx1 = α·s1 + β·t1 ; x2 = α·s2 + β·t2 ; x3 = α·s3 + β·t3 ; þþ ; xn = α·sn + β·tnse verifican todas las igualdades:
Desarrollemos las expresiones (1) , (2), (3), ÿÿ, (m) :
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 57 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):( ):( ):
( ):
&
1 02 03 0
0
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
1 1 2 2 3 3
a x a x a x a xa x a x a x a xa x a x a x a x
m a x a x a x a x
S Sistema de orden m
n n
n n
n n
m m m mn n
+ + + + =+ + + + =+ + + + =
+ + + + =
LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
homgeneo × n.
4 9 07 13 0
2 2x yx y
S sistema de ecuaciones con incognitas− =+ =
&
A
a a a aa a a aa a a a
a a a a
y A
a a a aa a a aa a a a
a a a a
n
n
n
n n n nn
n
n
n
n n n nn
=
=
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
000
0
L
L
L
L L L L L
L
L
L
L
L L L L L
L
L
*
( )
( )( )
( )
11
1
11 1 11 1 12 2 12 2 1 1
11 1 12 2 1 11 1 12 2 1
11 1 12 2 1 11 1 12 2
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
a s a t a s a t a s a ta s a s a s a t a t a t
a s a s a s a t a t
n n n n
n n n n
n n
α β α β α βα α α β β β
α β
L
L L
L ( )+ + ⋅ = ⋅ + ⋅ == ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ + ⋅ + +
L
L
L L
L
a ta s a t a s a t a s a ta s a s a s a t a t a t
a s a s a
n n
n n n n
n n n n
1
21 1 21 1 22 2 22 2 2 2
21 1 22 2 2 21 1 22 2 2
21 1 22 2 2
0 0 022
2
α βα β α β α βα α α β β β
α
( )( )
( ) ( ) ( )n n n n
m m m m mn n mn n
m m
s a t a t a t
m a s a t a s a t a s a tm a s a s
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ =
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +
β α β
α β α β α βα α
21 1 22 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
0 0 0L
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
L( )( )
( ) ( )L L
L L
+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ =
a s a t a t a t
m a s a s a s a t a t a tmn n m m mn n
m m mn n m m mn n
α β β β
α β α β1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 0( )
Es decir, los valores x1 = α·s1 + β·t1 ; x2 = α·s2 + β·t2 ; x3 = α·s3 + β·t3 ; þþ ; xn = α·sn + β·tnverifican la m las igualdades, por lo que constituyen una solución del sistema S.
17.2.Forma de discutir un sistema homogéneo.-Supongamos un sistema S homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas:
Las matrices de los coeficientes y ampliada serán:
Hemos visto como evidente que Rango A = Rango A*. Esto nos asegura que el sistema S es compatible. Ahora debemos averiguar si es
compatible determinado o compatible indeterminado. Para averiguarlo utilizamos el criterio de Rouché:
L Si Rango A = Rango A* = n = nº de incógnitas , entonces S es compatible determinadoL Si Rango A = Rango A* = r < nº de incógnitas, entonces S es compatible indeterminado
Ejemplo 47.-Queremos discutir y resolver el sistema homogéneo siguiente:
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 58 Sistemas de Ecuaciones Lineales
A Rango A=−
−= + = ≠ ⇒ =
4 97 13
4 97 13
52 63 115 0 2;
Sx y zx y z
sistema de ecuaciones con incognitas15 2 02 4 0
2 3: & .+ + =− + =
A A Rango A Rango A= −− −
= −− −
=5 1 22 4 11 9 0
5 1 22 4 11 9 0
000
; ;* *
A Rango A o
M Rango A Rango A
= −− −
= − − − + − = ⇒ =
=−
= − − = − ⇒ = ⇒ =
5 1 22 4 11 9 0
0 36 1 8 45 0 0 1 2
5 12 4 20 2 22 2 22
*
Veamos:nº de ecuaciones = nº de incógnitas = 2 Y El sistema S puede ser de Cramer.Hallemos el rango de la matriz de los coeficiente:
R ango A = 2 = nº de incógnitas Y S es Cramer Y S es compatible determinadoComo S tiene solución única, esta es:
Ejemplo 48.-
Discutir y resolver el sistema Sx y zx y zx y
:5 2 02 4 0
9 0
+ + =− + =
− − =
Veamos:Se trata de un sistema homogéneo de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
Hallemos el rango de la matriz A : Rango A = 1 o 2 o 3
Por tanto:
Resolvemos:De lo anterior deducimos que la tercera fila de A* es combinación lineal de las dos
primeras, es decir, la tercera ecuación de S es combinación lineal de las dos primeras. Eliminadoesta ecuación obtenemos otro sistema S1 que es equivalente a S.
número de incógnitas principales = Rango A = 2 ( x , y )número de incógnitas secundarias = 1 ( z )
x = 0 ; y = 0
Rango A = Rango A* = 2 < 3 = nº de incógnitas Y S es compatible indeterminado
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 59 Sistemas de Ecuaciones Lineales
x
zz z z
z y
zz z z
z=
−− −
−
=+
−= − =
−−
−
=− +
−=
2 14
5 12 4
822
5 225 12 4
5 422
922
122;
Sx y zx y z
Sx y zx y z1 1
5 0 22 4 0
5 22 4
: ; :+ = −− = −
+ = −− = −
{ }R R R R× = = ∈2 ( , ) ,x y x y
u x y o u x y= =( , ) ( , )r
Pasamos la incógnita secundaria a la derecha de las igualdades y la tratamos como unaconstante:
Ahora podemos considerar que el sistema S1 es de Cramer. Resolvemos por este método:
Por tanto, las infinitas soluciones del sistema vienen dadas por:
Una solución concreta será: λ = ⇒ = − = =1 1922
122x y z; ;
Otra solución: λ = ⇒ = − = =22 9 1 22x y z; ;
18.Los conjuntos ú2, ú3, ú4 ,þþ, ún .-
P Sea ú el conjunto de los números reales. Recuerda que ú está formado por la unión delos números racionales ( Q ) e irracionales ( ø), es decir: ú= Q c ø.
P Supongamos dos números reales cualesquiera x e y, es decir, x,y 0ú.P A la expresión (x,y) se le llama “par ordenado”. El elemento x se llama “primera
componente del par” y al elemento y “segunda componente del par”.P Si en lugar de dos número reales tenemos tres: x, y, z 0ú, definimos la expresión (x,y,z)
como “terna ordenada”. En este caso, x es la “primera componente”, y es la “segundacomponente” y z es la “tercera componente”.
P Del mismo modo obtendríamos las expresiones (x,y,z,t), (x1,x2,x3,x5) etc.P En general (x1,x2,x3,ÿ,xn) se denomina “n-tupla ordenada”
18.1.El conjunto ú2.-Se define el producto cartesiano ú×ú como el conjunto formado por todos los pares
ordenados tales que ambas componentes son números reales. También se expresa ú×ú= ú2 Es decir:
A los elementos de ú2 se les denominan vectores y se expresan con letras minúsculas y,generalmente, con una “flecha” en la parte superior. Es decir:
x y z= − = = ∀ ∈922
122λ λ λ λ; ; R
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 60 Sistemas de Ecuaciones Lineales
{ }R R R R R× × = = ∈3 ( , , ) , ,x y z x y z
{ }R R R R R R× × × = = ∈4 ( , , , ) , , ,x y z t x y z t
u x y z o u x y z= =( , , ) ( , , )r
u x y z t o u x y z t= =( , , , ) ( , , , )r
Ejemplo 49.-( )
( )ru porque y
porque
= − ∈ ∈ − ∈
− ∉ ∈ − ∉
217
3 2 217
3
4 2 4
13 13
13 13
,
,
R R R
R R, pero Rπ π
18.2.El conjunto ú3.-Se define el producto cartesiano ú×ú×ú como el conjunto formado por todas las ternas
ordenadas tales que las tres componentes son números reales. También se expresa ú× ú×ú= ú2 Es decir:
A los elementos de ú3 se les denominan vectores y se expresan con letras minúsculas y,generalmente, con una “flecha” en la parte superior. Es decir:
Ejemplo 50.-( )
( )ru L porque L
tg porque tg
= ∈ ∈ ∈ ∈
− ∉ ∉
519
4 3 519
4
23
2
53 4 53 4
9 7
, , ,
, ,
R R R , R
R Rπ π
18.3.El conjunto ú4.-Se define el producto cartesiano ú×ú×ú×ú como el conjunto formado por todas las
4-tuplas ordenadas tales que las cuatro componentes son números reales. También se expresa ú× ú×ú×ú= ú4 Es decir:
A los elementos de ú4 se les denominan vectores y se expresan con letras minúsculas y,generalmente, con una “flecha” en la parte superior. Es decir:
Ejemplo 51.-( )( )
r
ru porque
o porque
= ′ − ∈ ∈ ′ ∈ ∈ − ∈
= ∈ ∈
519
4 519
4
5 43 8 9 5 43 8 9
0 0 0 0 0
, , , ,
, , ,
R R R , R , R
R R
18.4.El conjunto ún.-Se define el producto cartesiano ú×ú×ú×þþ×ú (n factores) como el conjunto formado
por todas las n-tuplas ordenadas tales que todas las componentes son números reales.
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 61 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( )X matriz columna o X matriz fila
n
tn=
=
αα
α
α α α
1
21 2M
L
x x x xn n1 1 2 2 3 3= = = =α α α α; ; ; ;LL
( )rKKs n
n= ∈α α α α1 2 3, , , , R
{ }R R R R R R× × × × = = ∈L1 244 344 K Kn factortes
nn nx x x x x x x x( , , , , ) , , , ,1 2 3 1 2 3
S a x c i m m ecuaciones y n incognitasij j ij
n: , , , , ( & )=
=
=∑
11 2 3K
S a c i m m igualdadesij j ij
n: , , , , ( )α =
=
=∑
11 2 3 K
u x x x x o u x x x xn n= =( , , , , ) ( , , , , )1 2 3 1 2 3Kr
K
También se expresa ú×ú×ú×þþ×ú= ún Es decir:
A los elementos de ún se les denominan vectores y se expresan con letras minúsculas y,generalmente, con una “flecha” en la parte superior. Es decir:
19.El conjunto de las soluciones de un sistema .-
S Supongamos un sistema S de m ecuaciones con n incógnitas.S Hemos visto que una solución del sistema puede expresarse de alguna de las siguientes
formas:R Como una matriz:
R Igualando las incógnita a cada valor:
R Como un vector de ún :
S Las soluciones de un sistema S de m ecuaciones con n incógnitas forman un subconjuntodel conjunto ún (observa que n es el número de incógnitas). A ese subconjunto lellamaremos con una letra mayúscula, por ejemplo C. Por tanto C dún.En general:
Conjunto solución = C = ( ){ }rK Ks n n= ∈ ⊂α α α α α α α α1 2 3 1 2 3, , , , , , , , R Rn
siendo:
R Si S es incompatible, entonces C = `R Si S es compatible determinado (solución única), entonces C es un conjunto
formado por un único elemento, es decir, C = { (α1 , α2 , α3 , ÿ , αn ) }dún
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 62 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Conjunto solucion de S
x
yz
se llama parametro& &
= −
= −=
∀ ∈
3 12
54
λλ
λλ λR
R Si S es compatible indeterminado (infinitas soluciones), entonces C es unconjunto formado por infinitos elementos (infinitos vectores de ún ).
Ejemplo 52.-
Consideremos el sistema (visto en el ejemplo 38, pag 42)Sx y z
x y zx y z
:3 2 9
2 3 37 10 9 12
− − =+ + =
− + + = −
Este sistema es incompatible (ver ejemplo 38), es decir, no tiene solución.
Significa que ò(α1, α2,α3) 0ú3 S :3 2 9
2 3 37 10 9 12
1 2 3
1 2 3
1 2 3
α α αα α αα α α
− − =+ + =
− + + = −
Es decir: Conjunto solución de S = C = `
Ejemplo 53.-
Consideremos el sistema (ver ejemplo 37, pag.37)S
x x xx x
x x xx x
:
1 2 4
2 3
1 3 4
1 4
2 14 2
2 02 3 4
− + =− = −+ − =
+ =
Vimos (ver ejemplo 37) que S de Cramer y, por tanto, compatible determinado.La solución es x x x x1
531 2
5031 3
2831 4
3831= = = =; ; ;
El conjunto solución está formado por un único vector de ú4, es decir:
Conjunto solución de S = C = ( ){ }rs = ⊂531
5031
2831
3831
4, , , R
Ejemplo 54.-
Consideremos el sistema (ver ejemplos 39 y 40, pag.43)Sx y z
x y zx y z
:3 2 9
2 3 37 10 9 21
− − =+ + =
− + + = −
Vimos (ver ejemplo 39) que S compatible indeterminado (infinitas soluciones).Vimos (ver ejemplo 40) que el conjunto solución de S depende de un único parámetro.
La expresión anterior significa que para cada valor que demos a λ obtenemos unasolución del sistema.El conjunto formado por las infinitas soluciones de S puede expresarse del modo:
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 63 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ){ }C s= = − − ∈ ⊂r 3 12
54
4λ λ λ λ, , R R
( ):( ):( ):
( ):
(*)
123
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
a x a x a x a x ca x a x a x a x ca x a x a x a x c
m a x a x a x a x c
S
n n
n n
n n
m m m mn n n
+ + + + =+ + + + =+ + + + =
+ + + + =
LL
LL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
x
x
xx
Esta se llamaecuaciones parametricasdel conjunto solucion
1
2
3
4
3 2 33
9 53
=− −
=+
==
α β
α
αβ
expresion&
&
C R R= =− − +
∈
⊂ s , , , r 3 2 33
9 53
4α β αα β α β,
Por ejemplo, para λ =&4 obtenemos la solución ( )5 5 4, , − ∈ C
Ejemplo 55.-
Consideremos el sistema (ver ejemplo 41)Sx x x xx x x xx x x x
:1 2 3 4
1 2 2 4
1 2 3 4
42 3 2 14 5 11 4 11
+ − + =− + + = −
− + − − =
Vimos (ver ejemplo 41) que S es compatible indeterminado (infinitas soluciones) y queel número de incógnitas principales es 2 (elegimos x1 y x2 ). El número de incógnitassecundarias (parámetros) es 2 (x3 y x4).
Vimos (ejemplo 41, página 46) que el conjunto solución está dado mediante lasecuaciones paramétricas:
Para cadapar de valores que demos a los parámetros α y β obtenemos una solución del sistema. En estecaso se dice que el conjunto solución depende de dos parámetros.
La forma de expresar el conjunto solución como un subconjunto de ú4 es :
Por ejemplo, para α = &1 ; β = &1 obtenemos: ( )ru C R= − − ∈ ⊂83
43
41 1, , ,
20.Formas implícita y paramétrica de un subconjunto de ún.-
En realidad, la expresión :
representa al conjunto de vectores que verifican las mr
Ks x x x x Rnn= ∈( , , , , )1 2 3
ecuaciones, es decir, representa al subconjunto de ún solución del sistema, esto es, C dún.
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 64 Sistemas de Ecuaciones Lineales
( ):( ):1 5 2 32 10 4 6
x yx y− = −− = −
5 2 3x y− = −
( )rK Ks x x x x C R a x c para i m m igualdadesn
nij j i
j
n= ∈ ⊂ ⇔ = =
=∑1 2 3
11 2 3, , , , , , , , ( )
5 3 23 2
535
25
x y xy
x y= − + =− +
= − +; ;
xy
siendo R Es la forma parametrica de C= − +=
∈35
25 λ
λλ
Por tanto:
Pues bien: La expresión (*) se dice que es la forma implícita del conjunto C dún,es decir, el conjunto C está dado mediante sus ecuaciones implícitas.
Supongamos que resolvemos el sistema S y obtenemos la solución expresada por susecuaciones paramétricas (con uno o más parámetros). Dichas ecuaciones paramétricasrepresentan al conjunto C dún mediante una expresión distinta a (*).
Pues bien: Esta expresión se denomina forma paramétrica del conjunto C dún, esdecir, el conjunto C está dado mediante sus ecuaciones paramétricas.
Ejemplo 56.-Consideremos el subconjunto de C dú2 formado por todos los vectores tales
rs x y= ( , )que verifican las dos ecuaciones siguientes:
Tenemos determinado el subconjunto C mediante sus ecuaciones implícitas.Supongamos que deseamos determinar el subconjunto C mediante sus ecuaciones
paramétricas. Para ello debemos resolver el sistema dado por las ecuaciones (1) y (2).Si ese sistema no tuviese solución (sistema incompatible), estamos en que C = `, si el
sistema tiene solución única (sistema compatible determinado) el conjunto C estará formado porun único elemento y si el sistema tuviese infinitas soluciones (compatible indeterminado), nosencontramos con que los elementos de C están determinados por uno o más parámetros.
Resolvamos el sistema:Observamos que la segunda ecuación el múltiplo de la primera. Podemos eliminar esa
ecuación y obtenemos otro sistema equivalente:
En forma matricial: ( ) ( ) ( ) ( )5 2 3 5 2 5 2 3−
= − = − = − −
xy
siendo A y A*
Rango A = Rango A* = 1 < 2 = nº de incógnitas Y Sistema es compatible indeterminadoNúmero de incógnitas principales = 1 (x) Número de incógnitas secundarias = 1 (y)
Por tanto, el conjunto solución lo forman todos los vectores de ú2 tales que:rs x y= ( , )
Conjunto solución ( ){ }C s R R= = − + ∈ ⊂r 35
25
2λ λ λ,
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 65 Sistemas de Ecuaciones Lineales
ru x y C R tal quexy
= ∈ ⇔ ∃ ∈= − +=
( , ) λλ
λ
35
25
xy
siendo R Es la forma parametrica de C= − +=
∈35
25 λ
λλ
25
35λ
λ= +=
xy
tiene solucion en este caso x e y figuran comonumeros& ( & )
( ) ( )25
35
25
25
35
1 1 1
⋅ =
+
=
= =
+
λ λ
xy
siendo A X Ax
y; ; *
21.Eliminación de parámetros.-
9 Imaginemos un subconjunto C de ún consistente en las infinitas soluciones de un sistemaS de m ecuaciones con n incógnitas.
9 Supongamos que el conjunto C viene determinado en forma paramétrica, es decir,mediante sus ecuaciones paramétricas (por uno o más parámetros), esto es, conocemosesas ecuaciones.
9 Supongamos que pretendemos encontrar la forma implícita de C , es decir, encontrar lasecuaciones implícitas que determinan al conjunto C , dicho de otro modo, encontrar lasecuaciones del sistema S.
9 En definitiva, conocida la solución de un sistema S, queremos encontrar ese sistema.
Pues bien: El proceso anterior es posible y se denomina “eliminación de parámetros”
Veamos un ejemplo que explique el proceso.
Ejemplo 57.-Consideremos el subconjunto de C dú2 del ejemplo 56 que viene determinado por las
ecuaciones paramétricas que obtuvimos al resolver el sistema dado en dicho ejemplo:
Recordemos que para cada valor que demos al parámetro λ obtenemos un elemento delconjunto C dú2.
Pues bien, pretendemos que a partir de las ecuaciones paramétricas de C obtener lasecuaciones implícitas, es decir, a partir de la solución de S, obtener las ecuaciones de S.
Veamos:P Imaginemos un vector
ru x y R= ∈( , ) .2
Puede ocurrir que , es decir, que sea soluciónr ru x y C o que u x y C= ∈ = ∉( , ) ( , ) ru
o que no sea solución del sistema S.P Supongamos que , es decir, es solución de S.
ru x y C= ∈( , ) ru
P El punto anterior significa que el sistema de 2 ecuaciones con una incógnita (λ)siguiente:
En forma matricial es ( A es la matriz de coeficientes, X la de incógnitas y A* ampliada):
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 66 Sistemas de Ecuaciones Lineales
25
35
25
35 2
5351
01
0x
yDesarrollando
xy
y x+
=+
= − − =. :
x
yz
R
=
= − +=
∀ ∈
711
13111
λλ
λλ
ru x y z C R
x
yz
el sistema
x
yz
es compatible
Rango Rangox
yz
Rangox
yz
ya que Rango
= ∈ ⇔ ∃ ∈
=
= − +=
⇔
=
= +=
⇔
= +
⇔ +
=
=
( , , )
( )
λλ
λλ
λλ
λ
711
1311
7111311
7111311
7111311
7111311
7111311
1 1
11
11
11
11
Rangox
yz
xy
y
xz
y x
z x
x yx z
7111311
7111311
711
711
711
1311
711
11
11
0
10
0
0
13 7 711 7 0+
= ⇒
+=
=
⇒+ − =
− =
⇒
− + = −− + =
P Para que el sistema mencionado en el punto anterior tenga solución, debe ocurrir que:Rango A = Rango A*
Como (es evidente) que Rango A = 1, debe ser también que Rango A* = 1.P Para que Rango A* = 1, es necesario que *A** = 0, es decir:
Operando: 2 5 3 5 2 3y x x y− = − = −;
Conclusión: ru x y C x y= ∈ ⇔ − = −( , ) 5 2 3La forma implícita del conjunto C es
Observación: Viendo el ejemplo nº 56, apreciamos como era una de las ecuaciones dadas.La otra ecuación la habíamos eliminado por ser combinación lineal de esta.
Ejemplo 58.-Un subconjunto C dú3 viene dado por las siguientes ecuaciones paramétricas:
Queremos obtener las ecuaciones implícitas de C .
Veamos:Supongamos un vector . Puede ocurrir que
ru x y z R= ∈( , , ) 3 r ru C o u C∈ ∉
Ahora bien:
5 2 3x y− = −
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 67 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sx yx z
:13 7 711 7 0
− =− =
Paraxyz
u Cλ = ⇒===
⇒ = ∈1171211
7 12 11r ( , , )
xyz
R= − += + −= − +
∀ ∈2 3 41 34 2
α βα βα β
α β,
El conjunto C , expresado mediante sus ecuaciones implícitas es:
Hagamos alguna comprobación:
Veamos que verifica las ecuaciones de S : ru
13 7 7 12 91 84 711 7 7 11 77 77 0
⋅ − ⋅ = − =⋅ − ⋅ = − =
Ejemplo 59.-Un subconjunto C de ú3 viene determinado por sus ecuaciones paramétricas siguientes:
Se pide:a) Encuentra dos vectores que pertenezcan al conjunto C .b) Expresa el conjunto C por sus ecuaciones implícitas (elimina los parámetros).c) Comprueba que los vectores hallados en el apartado a) verifican la forma
implícita.
Veamos:
a) La forma paramétrica depende de dos parámetros. Dando valores a estos obtenemosvectores de C .
αβ
αβ
==
⇒
===
⇒ = ∈==
⇒
== −=
⇒ = − ∈00
214
2 1 401
62
66 2 6
xyz
u Cxyz
v Cr r( , , ) ( , , )
b) Supongamos un vector ru x y z R= ∈( , , ) 3
ru x y z C Rxyz
El sistema Sx
yz
es compatible
Rango Rangoxyz
Nota A
= ∈ ⇔ ∃ ∈= − += + −= − +
⇔− + = −
− = −− + = −
⇔
−−
−
=− −
− −− −
=−
−−
( , , ) ,
:
α βα β
α βα β
α βα βα β
2 3 41 34 2
3 4 23 12 4
3 41 31 2
3 4 21 3 11 2 4
3 41 31 2
=− −
− −− −
Axyz
*3 4 2
1 3 11 2 4
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 68 Sistemas de Ecuaciones Lineales
M Rango A2
3 41 3
9 4 5 0 2=−
−= − = ≠ ⇒ =
ru C verdadv C verdad
= ∈ ⇔ − ⋅ − ⋅ = − − = −= − ∈ ⇔ − ⋅ − − ⋅ = + − = −
( , , )( , , ) ( )2 1 4 2 2 1 5 4 2 2 20 206 2 6 6 2 2 5 6 6 4 30 20
Para y z x xPor to s C
= = ⇒ − − = − ⇒ = −= − ∈
0 0 0 0 20 2020 0 0
;tan ( , , )r
x
x
x
x
123
212
34
353
434
12
2 2
5
= − + +
= −
= −
= − + −
α βα
α βα β
Hallemos el rango de A: Rango A = 1 o 2.
Deducimos que:
ru x y z C Rango ALa tercera fila de A es combinacionlineal de las dos primeras
= ∈ ⇔ = ⇔
( , , )&
.*
*
2
Por tanto, debe ser:
− −− −
− −= − + − − − − − + − − − =
3 4 21 3 11 2 4
0 9 4 2 2 4 1 3 2 6 1 4 4 0xyz
es decir z x y x y z: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Desarrollando: − + + − =x y z2 5 20 0
Cambiando de signo: x y z o tambien x y z− − + = − − = −2 5 20 0 2 5 20&
Es decir: ru x y z C x y z= ∈ ⇔ + + =( , , ) 2 5 20
La forma implícita de C es : Observa que se trata de una sola ecuaciónx y z− − = −2 5 20
c) Veamos que verifica la ecuación implícita de C .r ru y v= = −( , , ) ( , , )2 1 4 6 2 6
NOTA: Otra forma de encontrar vectores de C es dar valores a y y a z para queencontrar posteriormente el valor de x. De esta modo obtenemos un vector de C .
Dadas las ecuaciones paramétricas que determinan a un conjunto C de ún, al pasar a laforma implícita nos encontremos con unas ecuaciones (un sistema S ), pero es posible quesiguiendo un proceso distinto en este paso de las paramétricas a las implícitas nos encontremoscon otro sistema S´ distinto del anterior. En cualquier caso, aclaramos que ambos sistemas S yS´ son equivalentes, es decir, tiene las mismas soluciones y, por tanto, representan al mismosubconjunto C .
Ejemplo 60.-
Un conjunto C de ú4 viene dado por las ecuaciones parámetricas :
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 69 Sistemas de Ecuaciones Lineales
2 6 6 33 2 45 3 33 2 20 4
4 2
2 63 05 33 2
2 6 6 33 0 2 45 3 33 2 20 4
1
2
3
4
1
2
3
4
α βαα βα β
+ = += −
− =− = +
⇔
−−
=
+−
−− +
xx
xx
de ecuaciones con incognitas es compatible
Rango Rango
xx
xx
A A
&
*124 34 1 2444 3444
2 6 6 33 0 2 45 3 3
02 6 6 33 0 2 43 2 20 4
01
2
3
1
2
4
+−
−=
+−
− +=
xx
xy
xxx
− − + − + − − = + + − =− − + − + − − − = + + + =
54 27 60 120 12 24 54 0 27 144 54 18 036 18 36 72 8 16 360 72 0 18 88 72 352 0
1 2 2 3 1 2 3
1 2 2 4 1 2 4
x x x x x x xx x x x x x x
;;
Forma implicita de Cx x xx x x
&3 16 6 29 44 36 176
1 2 3
1 2 4
+ + =+ + = −
3 6 2 64 2 33 5 34 20 3 2
1
2
3
4
xxxx
= − + += −= −= − + −
α βα
α βα β
Queremos expresar el conjunto C mediante sus ecuaciones implícitas.
Veamos:L Eliminamos los denominadores en las ecuaciones paramétricas (este paso es optativo, lo
hacemos para evitar las fracciones).
Lru x x x x C R
xxxx
El sistema= ∈ ⇔ ∃ ∈
= − + += −= −= − + −
⇔( , , , ) ,1 2 3 4
1
2
3
4
3 6 2 64 2 33 5 34 20 3 2
α β
α βα
α βα β
L Hallemos el rango de A : M Rango A2
2 63 0
18 0 2= = − ≠ ⇒ =
Como debe ser Rango A* = 2, deducimos que las filas 3ª y 4ª de la matriz A* soncombinación lineal de las dos primeras, es decir los determinantes formados por M 2 yesas filas deben ser iguales a cero (ver tema sobre matrices y determinates), es decir:
Operando, obtenemos la forma implícita del conjunto C :
L Simplificando obtenemos la forma implícita de C
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 70 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sx y zx y zx y z
:2 5 2 33 2 34 9 4 9
− + = −+ − =+ − =
Sx y zx y z siendo S S′
− + = −+ − =
′ ⇔:6 15 6 90 19 8 15
Sx y zx y z siendo S S′
− = − −+ = +
′ ⇔:6 15 9 60 19 15 8
2 5 23 2 14 9 4
339
2 5 23 2 10 19 8
33
15
6 15 66 4 20 19 8
96
15
6 15 60 19 80 19 8
91515
6 15 60 19
3 112 2 1
3 2
232
−−−
−
→ −
−−
−
→−
−−
−
→
−−−
−
→−
− ⋅⋅⋅ −
−
F FFF F F
F F −−
⇒
+ + =
80 0 0
9150
0 0 0 0La tercera fila equivale ala ecuacion x y z&
6 150 19
9 615 8
10 1
1 00 1
116
21
19 152 2
52
32
1519
819
919
119
1519
819
919
119
1519
819
− − −+
→
− − −+
→
++
⇒
= +
= +
⋅⋅ + ⋅z
zzz
zz
x z
y z
FF F F
Solucion del sistema S
x
yz
R
= +
= +=
∀ ∈
919
119
1519
819
λλ
λλ
Ejercicio nº 1.-Resolver por el método de Gauss-Jordan el sistema siguiente:
Solución:
Lo anterior significa que la tercera ecuación del sistema S es combinación lineal de lasdos primeras, esto es, podemos eliminarla y obtenemos el sistema S ´:
Consideramos Incognitas x yIncognitas z actua como cons te
& ,& ( tan )
principalessecundarias
Resolvemos por el método de Gauss-Jordan:
Llamando z = λ (parámetro) :
Para ( )λ = ⇒ =1 11019
2319
rs es una solucion, , &
Ejercicios resueltos
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 71 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Solucion de S
xxxx
R& : , ,
1
2
3
4
7 5 2 9
=== − − + +=
∀ ∈
αβ
α β γγ
α β γ
Ejercicio nº 2.-Resolver el “sistema” S x x x x: 5 2 9 71 2 3 4− + − = −
Solución:Se trata de un “sistema” de una ecuación con cuatro incógnitas.Resolvemos por el método de Rouché:
( )( )
Matriz de los coeficientes A
Matriz ampliada AS compatible Rango A Rango A
= − −
= − − −
⇔ =
5 2 1 9
5 2 1 9 7**
Rango A = Rango A* = 1 < 4 = nº de incógnitas Y S es compatible indeterminado
n de incognitas principales Rango A Rango A elegimos xn de incognitas undarias x x x
º & ( )º & sec ( , , )
*= = ==
13
3
1 2 4
Despejando: S x x x x: 3 1 2 47 5 2 9= − − + +Llamado (parámetros):x x x1 2 4= = =α β γ; ;
Una solución : αβγ
===
⇒ = = = =
001
0 0 2 11 2 3 4x x x x; ; ;
Ejercicio nº 3.-
Dado el sistema , determinar para qué valores de m :Sm x y z
x y zx y z
:+ − =− + =+ − = −
12 1
3 4 2 3a) No tiene solución.b) Tiene solución única.c) Tiene infinitas soluciones.
Solución:S es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Puede ser un sistema de Cramer.
Tenemos:
Am
matriz de coeficientes Am
matriz ampliada=−
−−
=−
−− −
1 11 2 13 4 2
1 1 11 2 1 13 4 2 3
. *
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 72 Sistemas de Ecuaciones Lineales
mm m imposible
1 11 2 13 4 2
0 4 4 3 6 4 2 0 5 0−
−−
= ⇔ − + − − + = ⇔ − = ( )
xA
y
m
Am m m
z
m
Am m m
=
−−
− −=
− − + − +−
= −
=
−
− −=
− + + + + +−
= −+
=
−−
=+ + + − +
−= −
+
1 1 11 2 13 4 2 4 4 3 6 4 2
515
1 11 1 13 3 2 2 3 3 3 3 2
511
5
1 11 2 13 4 3 6 4 3 6 4 3
52 16
5
U Si Rango A = Rango A* = 3 = nº de incógnitas Y S tiene solución única (es de Cramer)U Si Rango A = Rango A* = r < 3 = nº de incógnitas Y S tiene infinitas soluciones.U Si Rango A … Rango A* Y S no tiene solución.Analicemos cada caso: U Rango A = 3 ] *A*…0 (en este caso el sistema es de Cramer).
Veamos qué valores de m hacen que *A* = 0 :
Es decir, para cualquier valor que tome m, el determinante de A es igual a &5. Estosignifica que el sistema S es de Cramer (tiene solución única) para cualquier valor de m.
Contestamos a las preguntas:
Ejercicio nº 4.-Resolver el sistema del ejercicio anterior.
Solución:Hemos visto que el sistema es de Cramer ( y por tanto tiene solución únca), para
cualquier valor que demos a m. Resolvemos por el método de Cramer:
Para m = 2 tendremos la solución x y z= − = − = −15
135 4; ;
a) En ningún caso el sistema S no tiene solución, es decir, òm0ú * S no tenga soluciónb) En todos los casos S tiene solución única, es decir, œm0ú, S tiene solución.c) En ningún caso S tiene infinitas soluciones, es decir, òm0ú * S sea incompatible.
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 73 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Am m
m m matriz de los coeficientes Am m m
m m m matriz ampliada=− −
+
=
− −+ −
1 11
1 11 1
*
S es compatible Rango A Rango A⇔ = *
x
m mm m
mm m m m
mm m
m
y
m mm m
mm m m
mm
m
=
−− +
−=
+ − + −−
=+ −
−
=
−−
−=
− + −−
=− +
−
11 1
12 1
12 3 1
11
11
2 11
2 11
2 2 2
2 2
Ejercicio nº 5.-
Dado el sistema , determinar para qué valores de m:Sm x m y m
m x m y m:
( ) ( )( )
− + − =+ + = −
1 11 1
a) Es incompatible.b) Es compatible determinado.c) Es compatible indeterminado.
Solución:
Aplicamos el método de Rouché:
Analicemos el rango de A :
Rang A Am m
m m m m m m m m m m= ⇔ ≠ ⇔− −
+= − + − − = − − + = − ≠2 0
1 11 1 1 1 1 1 02 2( ) ( ) ( )
Por tanto : * A *= 0 ] m = 1 Si m … 1 el sistema es de Cramer y compatible determinado.
Conclusión: b) Si m … 1 el sistema es compatible determinado.
Veamos qué ocurre si m = 1 :
A Rango A
A Rango ARango A Rango A S es incompatible
=
⇒ =
=
⇒ =
⇒ ≠ ⇒
0 01 2 1
0 0 11 2 0 2* *
*
Conclusión: a) Si m = 1 el sistema es incompatible.
Conclusión: c) En ningún caso el sistema es compatible indeterminado.
Ejercicio nº 6.-Resolver el sistema del ejercicio anterior para el caso m … 1
Solución:
Por el método de Cramer:
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 74 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Am
mm
Am
mm
matrices de coeficientes y ampliada=+
=+
1 1 11 21 2
1 1 1 31 2 41 2 2
; *
Rango A A= ⇔ ≠3 0
Am
mm
m m m m m m m m=+
= + + + − − − − = − − + =1 1 1
1 21 2
4 4 2 2 6 03 2 3 2
m m m
m m mm
o
m m mmm
3 2
2
2 1
2
6 0
6 00
6 01 1 24
21 52
23
+ − =
+ − = ⇒=
+ − = ⇒ =− ± +
=− ±
=== −
( )
Ejercicio nº 7.-
Discutir y resolver el sistema según los valores de m.Sm x y z
x y mzx m y z
:( )+ + + =
+ + =+ + =
1 32 4
2 2Solución:
S es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Puede ser de Cramer.
9 Rango A = Rango A* = 3 = nº de incógnitas Y S es de Cramer (compatible determin.)9 Rango A = Rango A* = r < 3 Y S es compatible indeterminado.9 Rango A … Rango A* Y S es incompatible.Analicemos los rangos:
Veamos que valores de m hacen que *A*= 0 :
Resolvamos la ecuación :− − + =m m m3 2 6 0
Conclusiones:L Si m = 0 o m = 2 o m = &3 Y *A*= 0 Y Rango A … 3L Si m … 0 o m … 2 o m … &3 Y *A*… 0 Y Rango A = 3
Resolvamos para este caso, es decir, cuando m … 0 o m … 2 o m … &3 :
A m m m polinomio de grado cuyas raices sonmmm
= − − + →== −=
3 21
2
3
6 32
30
Si m … 0 o m … 2 o m … &3, el sistema es compatible determinado.
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 75 Sistemas de Ecuaciones Lineales
x
mm
Am m mm m m
m mm m m
m mm m m m
y
mm
Am m m m
m m mm m
m m m
= =+ + − − −
− − +=
− +− − +
=− −
− − +=
+
=
+
=+ + + − − − −
− − +=
− +− − +
3 1 14 22 2 12 4 2 4 3 8
2 33 6
2 33 2
2 33
3
1 3 11 41 2 2 8 8 2 3 4 2 2 6
2 32 9
2 3
2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )=
− −− − +
=−
− +
=
+
=+ + + − − − −
− − +=
− +− − +
=− −
− − +=
−− +
m mm m m
mm m
z
m
m
Am m m m
m m mm m
m m mm m
m m mm
m m
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 92 3
2 92 3
1 1 31 2 41 2 4 4 3 4 6 4 4 2
2 34 3
2 34 32 3
4 32 3
2 2
x y zx y siendo
x e yz
+ + =+ =
32 4
incognitas principalesincognitas secundarias
&
&
Factorizando ese polinomio: A m m m m m m= − − + = − − +3 2 6 2 3( ) ( )Resolvemos por el método de Cramer:
Discutamos y resolvamos el sistema cuando m = 0:
mx y zx yx z
A A= ⇒+ + =+ =
+ =
=
=
03
2 42 2
1 1 11 2 01 0 2
1 1 1 31 2 0 41 0 2 2
*
Como sabemos que *A* = 0 (por ser m = 0) , entonces Rango A = 1 o 2
M Rango A2
1 11 2
2 1 1 0 2= = − = ≠ ⇒ =
Rango A* = 2 o 3 1 1 11 2 01 0 2
0 3 1 2
1 1 31 2 41 0 2
0 3 1 2
=
=
( ª ª ª )
( ª ª ª )
observa que la fila es el doble de la menos la
observa que la fila es el doble de la menos la
Por tanto Rango A* = 2Conclusión:
Resolvamos para este caso ( m = 0 ):De lo anterior deducimos que la tercera ecuación del sistema es combinación lineal de
las dos primeras. Eliminamos esa ecuación y obtenemos un sistema equivalente:
m = 0 Y Rango A = Rango A* = 2 < 3 = nº incógnitas Y S es compatibleindeterminado
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 76 Sistemas de Ecuaciones Lineales
x yx y
siendo A+ = −+ =
= =3
2 41 11 2
1λ
Consideramos z = λ (parámetro) y la pasamos al miembro izquierdo, tratándola como constante:
Resolvemos por el método de Cramer (el sistema anterior es de Cramer):
xA
yA
=
−
=− −
= − =
−
=− +
= +
3 14 2 6 2 4
12 2
1 31 4 4 3
11
λλ
λ
λλ
λ;
Conclusión:
Discutamos y resolvamos el sistema cuando m = 2 :3 3
2 2 42 2 2
3 1 11 2 21 2 2
3 1 1 31 2 2 41 2 2 2
x y zx y zx y z
siendo A y A+ + =
+ + =+ + =
=
=
*
Como * A * = 0 (al ser m = 2) , tenemos que Rango A = 1 o 2.
M Rango A2
3 11 2
5 0 2= = ≠ ⇒ =
Hallemos Rango A* . Sabemos que Rango A* = 2 o 3
3 1 11 2 21 2 2
03 1 31 2 41 2 2
12 6 4 6 24 2 10 0 3= = + + − − − = − ≠ ⇒ =
por tener dos filas iguales
Rango A
1 244 344
; *
Por tanto, Rango A … Rango A* Y Sistema incompatible.Conclusión:
Discutamos y resolvamos el sistema cuando m = &3 :
− + + =+ − =− + =
=−
−−
=−
−−
2 32 3 43 2 2
2 1 11 2 31 3 2
2 1 1 31 2 3 41 3 2 2
x y zx y zx y z
siendo A y A*
Como * A * = 0 (al ser m = &3) , tenemos que Rango A = 1 o 2.
M Rango A2
2 11 2
5 0 2=−
= − ≠ ⇒ =
Hallemos Rango A* . Sabemos que Rango A* = 2 o 3
Si m = 0 , el conjunto solución del sistema es { }C s R R= = − + ∈ ⊂r ( , , )2 2 1 3λ λ λ λ
Si m = 2 , el sistema es incompatible
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 77 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Aa
aa
Aa a a
a a aa a a
=
=− +
− +− +
1 11 11 1
1 1 1 21 1 1 21 1 1 2
2
3;
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
*
aa
aa a es una ecuacion de tercer grado
1 11 11 1
3 2 03= − + = ← & .
para x a es solucion= ⇒ − ⋅ + = ⇒ =1 1 3 1 2 0 13 &
−
−= − − + − − − = − ≠ ⇒ =
2 1 31 2 41 3 2
8 9 4 6 24 2 45 0 3Rango A*
Por tanto, Rango A … Rango A* Y Sistema incompatible.Conclusión:
Ejercicio nº 8.-
Dado el sistema , se pide:S
a x y z a a
x a y z a a
x y a z a a
:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
+ + = − +
+ + = − +
+ + = − +
1 2
1 2
1 2
2
3
a) Comprobar que es compatible para todo valor de a.b) Resolver para el caso a = &2.
Solución:a) Las matrices de coeficientes y ampliada son:
Se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Puede ser de Cramer.S es de Cramer ] * A *…0
Hallemos * A * y veamos para qué valores de a se hace cero:
Veamos si esa ecuación tiene soluciones enteras. Caso de tenerlas, deben estar entrelos divisores del término independiente, es decir, entre los divisores de 2 (1, &1, 2, &2):
De lo anterior deducimos que la división a3 & 3 a + 2 : a &1 es exacta. Por Ruffini:
1 0 &3 2
1 1 1 &2
1 1 &2 0Por tanto: * A * = a3 & 3 a + 2 = (a &1) (a2 + a &2)Resolviendo la ecuación a2 + a &2 = 0 obtenemos a1=1 y a2 = &2.Por tanto a2 + a &2 = (a &1) (a + 2), es decir, * A * = a3 & 3 a + 2 = (a &1)2 (a + 2)
Si m = &3 , el sistema es incompatible
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 78 Sistemas de Ecuaciones Lineales
En definitiva:
a o a A El sistema no es de Cramer
a y a A El sistema es de Cramer compatible
= = − ⇒ = ⇒
≠ ≠ − ⇒ ≠ ⇒
1 2 0
1 2 0 ( )determinadoYa sabemos que el sistema es compatible siempre que a … 1 y a …&2.Veamos qué ocurre cuando a = 1 :
Sx y zx y zx y z
sistema: &
+ + =+ + =+ + =
000
homogeneo y, por tanto compatible.
Ya sabemos que cuando a = 1 el sistema es compatible.Veamos qué ocurre cuando a = &2 :
Sx y z
x y zx y z
sistema: &
− + + =− + =+ − =
2 02 0
2 0homogeneo y, por tanto compatible.
Ya sabemos que cuando a = &2 el sistema es compatible.
Conclusión: œa 0ú , el sistema S es compatible
b) Resolvemos para a = &2 :
A A Es evidente que Rango A Rango A=−
−−
=−
−−
=2 1 1
1 2 11 1 2
2 1 1 01 2 1 01 1 2 0
; * *
Sabemos que Rango A = 1 o 2 (ya que para a = &2 es *A*= 0)
M Rango A Rango A2
2 11 2
3 0 2 2=−
−= ≠ ⇒ = ⇒ =*
Rango A = Rango A* = 2 < 3 = nº de incógnitas Y S es compatible indeterminado.Resolvamos:
De lo anterior se deduce que la tercera ecuación es combinación lineal de las dosprimeras. Eliminamos esa ecuación y obtenemos un sistema equivalente:
Sx y z
x y z sistema: &− + + =
− + =
2 02 0 homogeneo y, por tanto compatible.
número de incógnitas principales = Rango A = 2 (elegimos x e y)número de incógnitas no principales = 1 (z) 6 z es el parámetro.Pasamos el parámetro al miembro derecho y lo tratamos como una constante:
Sx y z
x y z sistema de Cramer A: .− + = −
− = −
=−
−=
22
2 11 2 3
x
zz z z
z y
zz z z
z=
−− −
=+
= =
− −−
=+
=
12
32
3
21
32
3;
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 79 Sistemas de Ecuaciones Lineales
xxxxx
1
2
3
4
5
3 31 2
2 31
= − += − + −= −= − −= +
α βα β
α ββ
α
rs x x x x x C R
xxxxx
= ∈ ⇔ ∃ ∈
= − += − + −= −= − −= +
( , , , , ) ,1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
3 31 2
2 31
α β
α βα β
α ββ
α
S
xx
xx
x
siendo A y A
xx
xxx
: *
− + = −− = +
− =− = +
= −
=
−−−−
=
− −− +−− +
−
α βα β
α ββ
α
3 32 1
3 21
1 32 11 10 31 0
1 3 32 1 11 10 3 21 0 1
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Llamando z = λ:
{ }
xyz
R es la solucion de S cuando a
Conjunto solucion C s R R
===
∀ ∈ = −
= = = ∈ ⊂
λλλ
λ
λ λ λ λ
2
3& ( , , )r
Ejercicio nº 9.-Eliminar los parámetros en la siguiente expresión:
Solución:La expresión anterior representa a un subconjunto C del conjunto ú5. Buscamos las
ecuaciones implícitas que determinan a ese subconjunto.
La expresión anterior equivale a decir que el siguiente sistema de 5 ecuaciones con dosincógnitas (α y β) es compatible (tiene solución):
El sistema S tiene solución sí y sólo sí Rango A = Rango A*. Pero Rango A = 1 o 2
M Rango A2
1 32 1
1 6 5 0 2=−
−= − = − ≠ ⇒ =
Por tanto, debe ser Rango A* = 2Para que Rango A* = 2 debe ocurrir que todos los menores de orden 3 de la matriz A*
formados a partir de M2 y las filas 3, 4 y 5, deben ser iguales a cero.Es decir:
Matemáticas de 2º de bachillerato Página 80 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Para y
xxxxx
α β= = − ⇒
= −====
2 1
24313
1
2
3
4
5
− −− +−
= ⇒ − + + + + − − − − = ⇒ − + =
− −− +− +
= ⇒ + − + − − − − = ⇒ + + =
− −− +
−= ⇒ −
1 3 32 1 11 1
0 2 6 3 3 3 1 6 0 2 5 5
1 3 32 1 10 3 2
0 2 6 18 3 3 6 12 0 6 3 5 5
1 3 32 1 11 0 1
0
1
2
3
3 1 2 1 2 3 1 2 3
1
2
4
4 1 2 4 1 2 4
1
2
5
5
xx
xx x x x x x x x x
xxx
x x x x x x x
xxx
x 1 3 3 3 6 6 0 3 5 52 1 5 1 2 5+ + + − − + = ⇒ + − = −x x x x x x
Por tanto, la forma implícita del subconjunto C es:
Forma implicita de Cx x xx x x
x x x
& :1 2 5
1 2 4
1 2 5
2 5 56 3 5 5
3 5 5
− + =+ + =
+ − = −
Hagamos una comprobación:
Comprobemos que estos valores verifican las ecuaciones implícitas:− − ⋅ + ⋅ = − − + =
⋅ − + ⋅ + ⋅ = − + + =− + ⋅ − ⋅ = − + − = −
2 2 4 5 3 2 8 15 56 2 3 4 5 1 12 12 5 5
2 3 4 5 3 2 12 15 5( ) .Se verifican las tres ecuaciones