Date post: | 12-Jan-2015 |
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Sistemas Digitales, Clase N°8
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Circuitos de Conmutación
Los circuitos de conmutación están formados por compuertas lógicas, que implementan las operaciones lógicas (and, or y not).
Sus variables de entrada y su función de salida son valores lógicos representados por “ceros” y “unos”.
A continuación algunos ejemplos de circuitos de conmutación.
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Compuertas Básicas
A B Z A B Z A Z
0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 1 1 0
1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
A N D
AB
ZAB
Z A Z
O R N O T
Sistemas Digitales, Clase N°8
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Compuertas Adicionales
N A N DAB
ZAB
ZAB
Z
N O R X O R
A B Z A B Z A B Z
0 0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 0 1 0 0 1 1
1 0 1 1 0 0 1 0 1
1 1 0 1 1 0 1 1 0
Sistemas Digitales, Clase N°8
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Minimización de funciones
• En general al minimizar un sistema digital para su implementación con compuertas se obtiene menor:– costo, – número de componentes– consumo de potencia,– espacio físico,– tiempo de respuesta.
• Técnicas:– Minimización Algebraica,– Minimización a través de Mapas de Karnaugh,
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Minimización Algebraica
• Usa los teoremas del álgebra de Boole, para minimizar la función.
• No existe una técnica o método que indique cuales teoremas usar, en general se recomienda:– Expresar la función en forma de Suma de
Productos o Productos de Sumas.– Utilizar los teoremas del álgebra, para eliminar
variables, duplicando términos que puedan agruparse.
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Minimización Algebraica
)(
:3
)1()(
:2
)(
:1
)(:
bcaz
paso
bacaz
cbabbcaz
cbacbabacbaz
paso
cbabacbaz
cabacbaz
paso
cabacbazejemplo
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Minimización Algebraica
ZA
A
B
C
ABC
ZB
A
C
Implementación original:
Implementación minimizada:
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Minimización por Mapas de Karnaugh
• Un mapa de Karnaugh es una representación gráfica de la tabla de verdad de una función de conmutación.
Para n variables, hay celdas en el mapa.
Ejemplo: 2 variables:
n2
X Y M inter
0 0 010 1
1 0 231 1
0
1
2
3
0 1
X
Y
0
1
X
Y
yx yx
yx xy
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Minimización por Mapas de Karnaugh
• Para 3 variables:X Y Z M inter
0 0 0 010 0 1
0 1 0 20 1 11 0 0 4
51 0 11 1 0 6
71 1 1
0
1
2
3
6
7
4
5
00 01 11 10
X Y
Z
0
1
X
Y
Z
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Minimización por Mapas de Karnaugh
• Para 4 Variables:
0
1
3
2
4
5
7
6
12
13
15
14
8
9
11
10
00 01 11 10
W X
Y Z
00
01
11
10
W
X
Z
Y
W X Y Z M inter
0 0 0 0 010 0 0 1
0 0 1 0 20 0 1 10 1 0 0 4
151 1 1 1
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Minimización por Mapas de Karnaugh
• En las coordenadas se anotan los valores de las variables según el código Gray,
• Coloque los valores”1” en las celdas correspondientes a los mintérminos de la función, complete el resto de las celdas por un “0”.
• En general cada celda del mapa está cubierta por un CERO o un UNO,
Ejemplo: Obtener el mapa de la función
00 01 11 10
0
1
)7,5,2,1(),,( zyxf0 1 0 0
1 0 1 1
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Minimización por Mapas de Karnaugh
Definición: Dos celdas son adyacentes si difieren solo en una variable, o sea en un bit.
Ejemplos:n=3 n=4
Cada celda tiene 3 celdas adyacentes
cada celda tiene 4 celdas adyacentes
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Minimización por Mapas de Karnaugh
Dos celdas adyacentes se pueden agrupar aplicando:
Ejemplo:
del mapa se obtiene la función:
bbaba
0000
0110
cbaacbcbacbadcbaf )(),,,(
ba ba ab ba
c
c
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Minimización por Mapas de Karnaugh
Definición: Subcubo: es la colección de celdas y cada celda adyacente a “n” celdas de la
colección.
Ejemplos:
OBS: Las variables que aparecen con complemento y sin complementos se eliminan.
n2
0 0 0 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0 0 0 0
242 nn
0 1 1 0
0 0 1 0
ba ba ab ba
dc
dc
cd
dc bddcbaf ),,,(
abcbcbaf ),,(
cc
ba ba ab ba
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Minimización por Mapas de KarnaughEl subcubo cubre las celdas. Cada subcubo puede ser expresado por
un producto de m-n variables.
Ejemplo:
» m=4 (numero de variables)
» n=3
» Se eliminan tres variables
n2
0 0 1 1
0 0 1 1
0 0 1 1
0 0 1 1
ba baba ab
dc
dc
cd
dc
adcbaf ),,,(
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Minimización por Mapas de Karnaugh
• Una función puede ser expresada como la suma de los términos que corresponden a los subcubos necesarios para cubrir todos los unos del mapa. Si en un subcubo se agrupan “unos” el resultado será una función expresada como Suma de Productos.
• Una función puede ser expresada como el productos de los términos que corresponden a los subcubos necesarios para cubrir todos los ceros del mapa. Si en un subcubo se agrupan los “ceros” el resultado será una función expresada como Productos de Sumas.
• Una función es mínima cuando los unos son cubiertos con el mínimo número de subcubos (mínimo números de términos) y además cada subcubo es lo más grande posible (mínimo número de literales).
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Minimización por Mapas de Karnaugh
• Ejemplos:
1
1 1 1
00 01 11 10
X Y
0
X
Y
Z1
Z0
1
2
3
6
7
4
5
00 01 11 10
X Y
0
1
X
Y
Z
0 1 0 0
1 0 1 1
Z
X Y Z F
0 0 0 010 0 1
0 1 0 100 1 1
1 0 0 011 0 1
1 1 0 011 1 1
X Z
Y Z
X Y Z
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Minimización por Mapas de Karnaugh
11
0000 0101 1111 1010X YX Y
ZZ
XX
YY
11 11
111 11
XY
00
11 ZZ
Z X Z·
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Minimización por Mapas de Karnaugh
W X0
1
3
2
4
5
7
6
12
13
15
14
8
9
11
10
00 01 11 10
W X
Y Z
00 1
1 1
1 1
1
01
11
10
W
X
Y
Z
00 01 11 10
W X
Y Z
00 1
1 1
1 1
1
01
11
10
W
X
Y
Z
F( = (5 ,7,12,13,14,15)mW,X,Y,Z)
X Z
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Minimización por Mapas de Karnaugh
0
1
3
2
4
5
7
6
12
13
15
14
8
9
11
10
00 01 11 10
W X W X
Y Z Y Z
00
1 1 1
111
1
01
11
10
W W
X X
Y Y
Z Z
00 01 11 10
00
1 1 1
11 1
1
01
10
F(W ,X,Y,Z) = (1,2,3,5,7,11,13)m
11
X . Y . Z
X . Y. Z
W . X . Y
W . Z
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Minimización por Mapas de Karnaugh
Ejemplo: En el siguiente mapa de Karnaugh obtenga la función mínima:
• a) agrupando “unos”• b) agrupando “ceros”• Demuestre que la función que la función resultante en ambos
casos es la misma. » Solución: agrupando “unos” tenemos:
00
bcacabf ab
1110
0100c 10110100
1
0
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Minimización por Mapas de Karnaugh
» Solución: agrupando “ceros” tenemos:
)()()( cbcabaf
OBS:
Al agrupar “ceros” la función mínima resultante es un Producto de Sumas.
1110
0100c 10110100
1
0
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Minimización por Mapas de Karnaugh
acbcabf
acbcbabf
acbcabcabf
bcacabcacbcabcababf
cbbcacabaf
cbcabaf
)1(
)()(
)()()(
Por lo tanto queda demostrado que la función mínima resultante es la misma.
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Minimización por Mapas de Karnaugh
Tarea:
Utilizando Mapas de Karnaugh, determine las expresiones mínimas en “Sumas de Productos” y Productos de Sumas” de las siguientes funciones:
)14,13,12,10,7,6,4,0(),,,()
)14,13,12,11,10,8,7,4,3(),,,()
zwyxfb
zwyxfa