Solución de la Ecuación de Schrödinger para el
Oscilador Armónico
Díaz Ortiz Mario
Figueroa Villanueva Catalina
García Beleño Jeniffer
Hernández Flandes Atzin
INTRODUCCIÓN
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Osc
ilad
or
arm
ónic
oEstudio de sistemas con pequeñas oscilaciones en torno a
una posición de equilibrio
Estudio de oscilaciones de los átomos en moléculas diatómicas H2 o HCl
Tiene una solución analítica sencilla de la ecuación de Shcröedinger
Sistema físico de importancia en el estudio de vibraciones de moléculas, átomos, o iones en red cristalina
IMPORTANCIA DEL OSCILADOR ARMÓNICO
3
Energía en una molécula
Traslacional
Partícula en caja
tridimensional
Rotacional
Rotor rígido de dos partículas
Vibracional
Oscilador armónico
Electrónica
OSCILADOR ARMÓNICO UNIDIMENSIONAL
• Tratamiento clásico:
a) Una masa unida a una pared por medio
de un resorte ideal que se rige por la ley de
Hooke.
b) Está sometido a una fuerza
recuperadora, que tiende a devolverlo al
punto de equilibrio estable.
F = - k (x)
4
TRATAMIENTO CLÁSICO
5
6
TRATAMIENTO CLÁSICO
TRATAMIENTO CUÁNTICO
7
8
• La ecuación (1) queda:
[−ђ2
2𝑚
𝜕2
𝜕𝑥2+ 2𝜋2𝑚𝑣2𝑥2] Ѱ(x) = EѰ(x) (2)
Al multiplicar (2) por −2𝑚/ℏ2:
𝑑2Ψ
𝑑𝑥2+
2𝑚𝐸
ℏ2−
2𝜋
ℏ
2𝑥2 Ψ(x) = 0 (3)
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• Si se definen:
𝛼 =2𝜋𝑣𝑚
ђy 𝛽 =
2𝑚𝐸
ђ2
Entonces la ecuación (3) queda:
𝜕2Ѱ 𝑥
𝜕𝑥2+ 𝛽 − 𝛼2𝑥2 Ѱ 𝑥 = 0 (4)
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• Por conveniencia se define la variable
adimensional u como:
𝑢 = 𝛼𝑥 =2𝜋𝑚
2𝜋ℏ
𝐾
𝑚
1/2 1/2
𝑥 =(𝐾𝑚)1/4
ℏ1/2𝑥
Con: 𝑑Ψ
𝑑𝑥=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑Ψ
𝑑𝑢= 𝛼
𝑑Ψ
𝑑𝑢
Y:𝑑2Ψ
𝑑𝑥2=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑢
𝑑Ψ
𝑑𝑥= 𝛼
𝑑2Ψ
𝑑𝑢2
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De tal manera que la ecuación (4) resulta en:
𝛼𝑑2Ψ
𝑑𝑢2+ 𝛽 − 𝛼𝑢2 Ψ = 0
o
𝑑2Ψ
𝑑𝑢2+
𝛽
𝛼− 𝑢2 Ψ = 0 (5)
12
• Para cualquier valor finito de energía total, E, 𝛽/2 resulta
despreciable con respecto a 𝑢2 cuando 𝑢 ⟶ ∞, entonces la
ecuación anterior queda:
𝑑2Ψ
𝑑𝑢2= 𝑢2Ψ
La solución general para esta ecuación diferencial es:
Ψ = 𝐴𝑒−𝑢2/2 + 𝐵𝑒𝑢
2/2 cuando 𝑢 ⟶ ∞
Se tiene: Ψ(u) = 𝐴𝑒−𝑢2/2
13
Se deberán buscar soluciones para:
𝑑2Ψ
𝑑𝑢2+
𝛽
𝛼− 𝑢2 Ψ = 0 (5)
Que se puedan escribir de la forma:
Ψ 𝑢 = 𝐴𝑒−𝑢2/2𝐻(𝑢)
Por lo que (5) se transforma en:
𝑑2𝐻
𝑑𝑢2− 2𝑢
𝑑𝐻
𝑑𝑢+
𝛽
𝛼− 1 𝐻 = 0
Que se resuelve por la técnica de series de potencias
14
0
1
2
3
15
Tabla1. Polinomios de Hermite y funciones de onda para el oscilador armónico n=0,1,2,3
𝐸𝑛 = ℏ𝜔 𝑛 +1
2(4) 𝑛 = 0, 1, 2…
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ENERGÍA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO
ENERGÍA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO
17
Fig. 2. Funciones de onda para los primeros cuatro autoestados, n = 0 a 3.
18
ENERGÍA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO
𝜆 =2𝐸
(ℏ𝜔)
𝐸𝑛 =1
22𝑛 + 1 ℏ𝜔 = 𝑛 +
1
2ℏ𝜔 = 𝑛 +
1
2ℎ𝑣 (5)
Energía
del
punto
cero
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ENERGÍA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO
Fig. 3 Desde el punto de vista clásico Fig. 4 Desde el punto de vista cuántico
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ENERGÍA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO
Fig. 5. Se muestran las densidades de probabilidad
espacial de la partícula para los diferentes
autoestados.
Ejercicios
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22
23
CONCLUSIONES
Todo sistema que se rige por la ley clásica de Hooke, puede
considerarse como oscilador armónico, ya que por medio de esta
se logró tratar el sistema tanto clásica como cuánticamente,
obteniendo así la ecuación general del oscilador armónico
cuántico. Esta ecuación se usa para hallar constante de fuerza,
energía total de un sistema y para determinar la frecuencia
vibracional de una molécula diatómica. Por lo que a partir del
oscilador armónico se puede obtener información acerca de
movimiento, propiedades y estados de los átomos.
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BIBLIOGRAFÍA
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http://www.lawebdefisica.com/dicc/oscil/. Oscilador armónico simple.].
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cuantica.blogspot.com/2009/08/oscilador-armonico-simple-solucion_11.html>>.
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