Solución de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss - Jordan
x1 + x2 + 2x3 = 9
2x1 + 4x2 - 3x3 = 1
3x1 + 6x2 - 5x3 = 0
• Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
• Se obtiene su representación matricial de la forma
A X = B
Matriz de coeficientes Vector de variables Vector de resultados (términos independientes)
A
1 1 2
2 4 3
3 6 5
X
x1
x2
x3
B
9
1
0
x1 + x2 + 2x3 = 9
2x1 + 4x2 - 3x3 = 1
3x1 + 6x2 - 5x3 = 0
• Comenzamos representando el sistema en la forma de MATRIZ AMPLIADA
A
1 1 2
2 4 3
3 6 5
9
1
0
• Hay que llegar a la forma de la matriz IDENTIDAD. • Asegurarse de que el valor pivote (en la posición i=1 y j=1) sea
1. • Si no es 1, entonces dividir todo el renglón pivote entre
el valor del pivote
A
1 1 2
2 4 3
3 6 5
9
1
0
1 renglón pivote
valor del pivote
• Hay que llegar a la forma de la matriz IDENTIDAD. • Hay que hacer que los valores en esa columna que están
debajo del valor pivote (en este caso la columna 1) sean 0. • Se suma el renglón que queremos hacer 0 (en este caso
renglón 2) con el renglón pivote (en este caso renglón 1) multiplicado por el coeficiente negativo (en este caso -2)del valor en esa columna del renglón a hacer 0 (el renglón 2) el resultado se coloca en el renglón a hacer 0 (el renglón 2)
A
1 1 2
2 4 3
3 6 5
9
1
0
1 renglón pivote
valor del pivote
renglón a hacer 0 (R2)
Coeficiente en la columna
R1 * (-)(2) ----> 1(-2) 1(-2) 2(-2) | 9(-2) R2 ----> 2 4 - 3 | 1 _______________________________________________ R2 ----> 0 2 -7 | -17
A
1 1 2
0 2 7
3 6 5
9
17
0
1 renglón pivote
valor del pivote
nuevo renglón (R2)
• Hacer lo mismo para el resto de los renglones. • Hay que hacer que los valores en esa columna que están
debajo del valor pivote (en este caso la columna 1) sean 0. • Se suma el renglón que queremos hacer 0 (en este caso
renglón 3) con el renglón pivote (en este caso renglón 1) multiplicado por el coeficiente negativo (en este caso -3)del valor en esa columna del renglón a hacer 0 (el renglón 3) el resultado se coloca en el renglón a hacer 0 (el renglón 3)
A
1 1 2
0 2 7
3 6 5
9
17
0
1 renglón pivote
valor del pivote
renglón a hacer 0 (R3)
Coeficiente en la columna
R1 * (-)(3) ----> 1(-3) 1(-3) 2(-3) | 9(-3) R3 ----> 3 6 - 5 | 0 _______________________________________________ R3 ----> 0 3 -11 | -27
A
1 1 2
0 2 7
0 3 11
9
17
27
1 renglón pivote
valor del pivote
nuevo renglón (R3)
A
1 1 2
0 2 7
0 3 11
9
17
27
• Repetir el proceso para cada valor pivote. • Ahora seguimos con valor pivote (i= 2 j= 2) • Hacer 1 el valor pivote • Hacer 0 cada valor en la columna debajo de el valor
pivote con la operación correspondiente
1
renglón pivote
valor del pivote
2
R2 / (2) ----> 0 / (2) 2 / (2) -7 / (2) | -17 / (2) _______________________________________________ R2 ----> 0 1 -3.5 | -8.5
A
1 1 2
0 1 3.5
0 3 11
9
8.5
27
1
valor del pivote
1 renglón pivote
A
1 1 2
0 1 3.5
0 3 11
9
8.5
27
1
renglón pivote
valor del pivote
1 renglón a hacer 0 (R3)
Coeficiente en la columna
A
1 1 2
0 1 3.5
0 0 0.5
9
8.5
1.5
1
renglón pivote
valor del pivote
1 nuevo renglón (R3)
R2 * (-)(3) ----> 0(-3) 1(-3) -3.5(-3) | -8.5(-3) R3 ----> 0 3 -11 | -27 _______________________________________________ R3 ----> 0 0 -0.5 | -1.5
• Repetir el proceso para cada valor pivote. • Ahora seguimos con valor pivote (i= 3 j= 3) • Hacer 1 el valor pivote • Hacer 0 cada valor en la columna arriba de el valor
pivote con la operación correspondiente
A
1 1 2
0 1 3.5
0 0 0.5
9
8.5
1.5
1
renglón pivote
valor del pivote
1
-0.5
A
1 1 2
0 1 3.5
0 0 1
9
8.5
3
1
valor del pivote
1
renglón pivote 1
R3 /(-0.5) ----> 0/(-0.5) 0/(-0.5) -0.5/(-0.5) | -1.5 (-0.5) _____________________________________________ R3 ----> 0 0 1 | 3
A
1 1 2
0 1 3.5
0 0 1
9
8.5
3
1
valor del pivote
1
renglón pivote 1
renglón a hacer 0 (R2)
Coeficiente en la columna
3
2
9
100
010
211
A
1
valor del pivote
1
renglón pivote 1
R3 * (-)(-3.5) ----> 0(3.5) 0(3.5) -1(3.5) | 3(3.5) R2 ----> 0 1 -3.5 | -8.5 _______________________________________________ R2 ----> 0 1 0 | 2
nuevo renglón (R2)
3
2
9
100
010
211
A
1
valor del pivote
1
renglón pivote 1
renglón a hacer 0 (R1)
Coeficiente en la columna
3
2
3
100
010
011
A
1
valor del pivote
1
renglón pivote 1
R3 * (-)(2) ----> 0(-2) 0(-2) -1(-2) | 3(-2) R1 ----> 1 1 2 | 9 _______________________________________________ R1 ----> 1 1 0 | 3
Nuevo renglón (R1)
3
2
3
100
010
011
A
1
valor del pivote
1 renglón pivote
1
3
2
3
100
010
011
A
1
valor del pivote
1 renglón pivote
1
renglón a hacer 0 (R1)
Coeficiente en la columna
3
2
1
100
010
001
A
1
valor del pivote
1 renglón pivote
1
R2 * (-)(1) ----> 0(-1) 1(-1) 0(-1) | 2(-1) R1 ----> 1 1 0 | 3 _______________________________________________ R1 ----> 1 0 0 | 1
Nuevo renglón (R1)
• La solución al sistema de ecuaciones:
3
2
1
X
3
2
1
x
x
x
x1 + x2 + 2x3 = 9
2x1 + 4x2 - 3x3 = 1
3x1 + 6x2 - 5x3 = 0
3
2
1
100
010
001
A