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8/20/2019 Sotelo Avila, Capitulo 4 y capitulo 8
1/39
CAPITULO 4
a) Planteamos una Bernoulli entre la boquilla y 4.60 m por encima de la misma, los puntos 1 y 2
12
2
22
2
2
11
1
22h
g
V Z
P
g
V Z
P +++=++
γ γ
Siendo el nivel de referencia el punto 1, entonces: P10! "10! P20
Sustituyendo en la #c. de Bernuolli:
( )
( ) ( )$1.%260.4
$1.%2
12 2
2
2V
+=
&e donde obtenemos: '2 (.)) m*se+
#l +asto en la boquilla esta dado por:
1 '1 -1 12 m*se+/π 0.02*4/ 0.0$% m)*se+
3 adems sabemos que 1 2, de donde '2 2 *-2 1 *-1
sm D D
V *)).(00(.0
4*
0$%.0222
==
=
π
Problema 2. 5n corro de a+ua es descar+ado por una boquilla, de 2. cm de
dimetro, en direcci7n vertical y ascendente! suponemos que el corro
permanece circular y que se desprecian las p8rdidas de ener+9a durante el
ascenso.
a/ alcular el dimetro de corro, en un punto de 4,60 m sobre la boquilla , si la
velocidad del a+ua al salir es de 12 m*se+.
b/ &eterminar la presi7n que debe de leerse en el man7metro ;, si el dimetroen la tuber9a es de 0.10 m y el desnivel Z 1 y se desprecia la
fricci7n con el aire, determinar la altura m?ima que alcan=ar y la ma+nitud dela velocidad en ese punto.
Problema 1. Por el interior de un +ran conducto circular de0.) m de dimetro fluye a+ua con velocidad que si+uen la
distribuci7n se@alada en la fi+ura, se+An la ley '0.022
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&espeEando el dimetro obtenemos: D2 = 0.032 mts.
b) Planteamos una Bernoulli entre la boquilla y 0.40 m por abaEo de ella, puntos 1 y 0
10
2
00
0
2
11
1
22h
g
V Z
P
g
V Z
P +++=++
γ γ
&onde: P1 0, "1
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12
2
22
2
2
11
1
22h
g
V Z
P
g
V Z
P +++=++γ γ
&onde: "1 "2! '2 0 ya que es una =ona de estancamiento y las h12 ≅ 0, por lo tanto nos queda la ecuaci7n de
la si+uiente manera:
Por otra parte obtenemos que la diferencia de presiones se calculara por la re+la de los man7metros, esto es de lasi+uiente manera:
P1 γ 1< γ +∆ H γ 2 P2P2 P1 γ 2
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alculando el rea del tubo:
22
0)1416.04
20.0m A ==
π
#valuando el +asto con los datos anteriores obtenemos que:
$.40.0)1426/ 0.2!3' m3/seg
Para conocer la presi7n en 2 planteamos una Bernoulli entre los puntos 2 y ).
2)
2
))
)
2
22
2
22h
g
V Z
P
g
V Z
P +++=++
γ γ
&onde: P) 0! ") 0! 01) ≅h
Sustituyendo:
( )( )
( )( )$1.%24.$
$1.%2
4.$4. 22
=+γ
B P
&e la #c. anterior botemos:
aguadecolumnademts P B .4.−=γ
#n la ecuacion anterior, salvo las cotas que son i+uales "1"2/, y las perdidas que son despreciables,aparentemente las dems variables son inc7+nitas, quedando nuestra ecuacion de la si+uiente manera:
g
V P Ep
g
V P
22
2
22
2
11 +=++γ γ
-ora, por otra parte las velocidades se pueden e?presar de la si+uiente manera
y la potencia de la bomba quedar9a de la si+uiente manera
y la diferencia de presiones la calculamos con la re+la de los man7metros
Problema #. Si la bomba
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P1H γ 1Hγ N+0.9/ < γ 2 P2
P2 P1 γ Hg 0.9 γ 1
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0.114 m)*se+
γ -ceite ((0 G+*m)
P1 0.6 G+*cm 600 G+*m
P2 0.) G+*cm )00 G+*m
Planteamos una Bernoulli entre los puntos 1 y 2, siendo '1 '2
12
2
22
2
2
11
1
22h
g
V Z
P
g
V Z
P +++=++γ γ
Sustituyendo valores:
1210.6((0
)00.1
((0
600h++=+
$.(( 10.64 H h12
h%&
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Sustituyendo encontramos:
= #4 mts. e col%m,a e ace*te.
Pot γ #p 0.160 m)*se+/(62 G+*m)/4 m/ 6$).6$ G+. m*se+.
Pot 6$).6$ * ( $(.($ '
Pot = 8"."8 C&
'? ' cos O'y ' sen O
22
' ( V V V +=
Planteamos una Bernoulli entre los puntos ) y 2
12
2
22
2
2
11
1
22h
g
V Z
P
g
V Z
P +++=++γ γ
Sustituyendo los datos y empleando las formulas del tiro parab7lico tenemos: P10! P20! "10
12
2
2
2
2
2
1
1
1
22h Et
g
V Z
P
g
V Z
P ++++=++
γ γ
ota: en el tiro parab7lico la componente de la velocidad en Q siempre es constante, por lo tanto! ' 1? '2?,resultando:
62
2
1 = g
V )
&espeEando obtenemos que '1y 2 + 6/1*2 10.$ m*se+
Ca velocidad en la boquilla es i+ual a:
'1y 'Boquilla sen O R 'Boquilla '1y * Sen β 10.$ * Sen 4> 1.)44 m*se+
Planteamos una Bernoulli de la boquilla asta un punto anterior a la bomba codo/.
1)
2
)
)
)
2
1
1
1
22 h g
V
Z
P
g
V
Z
P
+++=++ γ γ
&onde : P1 0! ") 0! 01) ≅h
Ca velocidad en la tuber9a es:
') 'Boquilla&Boquilla * &ubo/ 1.)44/ 0.10 * 0.20/ ).$) m*se+
Problema '. #l a+ua de un +ran dep7sito, como se muestra en
la fi+ura, tiene su superficie libre m arriba del tubo de salida.Se+An se muestra es bombeada y e?pulsada en forma de corro
libre mediante una boquilla. Para los datos proporcionados,
Lul es la potencia en caballos de vapor requerida por la
bombaM
&ado que la trayectoria del a+ua es movimiento de tiro
parab7lico usamos las componentes de la velocidad y las
cuales son e?presadas de la si+uiente manera: Di+ura del problema %
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( )
( )
( )
( )$1.%2
$).)
%1.%2
)44.1.1
2
)
2
+=+γ
P ! aguadecolumnademts
P .(.12) =
γ
Por Altimo planteamos una Bernoulli entre el dep7sito y un punto posterior a la bomba codo/.
4)
2
))
)
2
44
4
22h
g
V Z
P Ep
g
V Z
P +++=+++γ γ
#n donde: P4 0! '4 0! ") 0
( )
( )$1.%2
$).)(.12
2
+=+ Ep ! #p $. mts.
Pot 1000 G+*m)/ 0.12 m)/$.m/ 1020 G+
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g
V P
2).)
2
)) +=γ
-dems: P3 &) * 2 / γ esto es debido a que el punto se encuentra a la mitad de la altura del canal/.
&espeEando '):
).)2) g V =
') $.4 m*se+.
) $.4 m*se+. / 0.2% m2 / 2.44 m) * se+.
Cas descar+as difieren debido a que en el orificio se descar+a a la atm7sfera por lo cual la presi7n es cero,
mientras que en el otro punto, se descar+a sobre un canal donde se presenta una lamina que eEerce presi7n sobreel mismo.
-nali=ando el punto ) encontramos que:
( ) ' H g V += 2) , ( ) ' H g r Q += 22
)π
T+ualando +astos obtenemos:
H g r 222π ( ) ' H g r += 22
)π
( )
2
1
2
2
2
)
2
2
+
=+
= ' H
H
' H g
H g
r
r
2
1
2
2
2
)
1
1
+=
H
'r r
4
12
)
1
+
=
H
'
r r
Problema 11. &esprecindose todas las perdidas y los efectos de tensi7n superficial,dedA=case una ecuaci7n para la superficie del a+ua r del corro en t8rminos de /
;ediante el teorema de orricelli encontramos la velocidad en 2.
H g V 22 =
#l +asto en 2 es: H g r Q 222π =
Problema 12. #n la fi+ura N 6 m y .( m. alcAlese la
descar+a y las p8rdidas locales.
1/ Planteamos una ecuaci7n de Bernoulli entre los puntos 1 y 2,
para encontrar las p8rdidas que se producen en el orificio. Para
este motivo se coloco el tubo de pitot.
12
2
2
2
2
2
1
1
1
22 h g
V
Z
P
g
V
Z
P
+++=++ γ γ
Comrobac*+, co, = 0 obte,emos r3 = r2
Di+ura del problema 11
Di+ura del problem
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&onde: P1 0, '1 ≅ 0, "2 0, '2 0 y P2*γ .(
12(.6 h+= 12 6 .( 0.2 2 cms
2/ omo las perdidas en el orificio ya se conocen planteamos otra ecuaci7n de Bernoulli entre los puntos 1 y ),
para determinar la velocidad de salida considerando que las perdidas son de 2cm.
1)
2)
))
21
11
22h
g
V Z
P
g
V Z
P +++=++γ γ
&onde: P1 0, '1 ≅ 0, P) 0, ") 0
2.062
2
) −= g
V
') 10.62 m*se+.
10.62 m*se+./ 0.00 m2/ 0.0) m)*se+
$ = 0.0#3 m3/seg
Problema 12.1. Para el problema anterior las perdidas se suelen e?presar en t8rminos de un coeficiente G que se
utili=a en las perdidas locales. &etermine cual es el valor de este coeficiente.
Para encontrar el valor de G retomamos la ecuaci7n de Bernoulli entre los puntos 1 y ).
g
V *
g
V
226
2)
2) +=
Pero sabemos que las p8rdidas equivalen a 0.2 por lo que:
2.02
2
) = g
V *
&espeEando g
V
2
2
)y sustituyendo en la ecuaci7n de Bernoulli obtenemos:
* *
*
2.02.06 += ⇒ 5 = 0.0434"
Problema 12.2. Para el caso de orificios la velocidad real se suele e?presar en t8rminos de un coeficiente v:
H g C+V real 2= .a/ &etermine cual es el valor de v para el problema 12.
b/ &emuestre si:
a/ Para encontrar el coeficiente + partimos de la si+uiente #cuaci7n
H g C+V real 2=
Sustituyendo
10.62 + 62 g
112 −=
C+ *
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&e donde:
+ 0.%($$
b/ Para la determinaci7n y comprobaci7n de los valores de G y de v nos apoyamos en las ecuaciones 6.2,
16.16, 16.1(, del libro Nidrulica Ueneral de Sotelo -vila, y esto nos queda de la si+uiente manera.
g
V )
g
V Z )
22
2
22
2
111 +=++
omo la '2 no se conoce el valor se sustituye por '2 * -, con - b 3! quedando 22
2
222
22 ) , g
Q
g
V =
'- 16.1 ft*se+. 40 ft2/ 644 ft)*se+
Sustituyendo los valores en la ecuaci7n de Bernoulli tenemos:( ) ( )
2
2
2
2
2
2
102
644
2
1.16$4
) g )
g +=++
2
2
2
$.640.16
) ) +=
00$.640.16 22)
2 =+− ) )
Iesolviendo la ecuaci7n obtenemos las dos profundidades posibles del fluEo
62 = 2.14 -t
62 = 1#."' -t
.
Problema 13. #n un canal fluye a+ua, como se muestra en la
fi+ura. &espreciando las p8rdidas, determ9nese las dos profundidades posibles del fluEo 31 y 32.
Planteamos una ecuaci7n de Bernoulli entre los puntos 1 y 2.
12
2
22
2
2
11
1
22
h
g
V Z
P
g
V Z
P +++=++γ γ
&onde: P1 P2 0, 012 ≅h
Problema 14. Dluye a+ua a alta velocidad acia arriba del
plano indicado como se muestra en la fi+ura. &espreciando las p8rdidas, calcAlese las dos profundidades posibles del fluEo en la
secci7n 2
Planteamos una ecuaci7n de Bernoulli entre los puntos 1 y 2.
12
2
22
2
2
11
1
22h
g
V Z
P
g
V Z
P +++=++γ γ
04).0
10%($2.
111 2
=
−=⇒−=
*
* C+
*
Di+ura del problema 1)
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&onde: P1 P2 0, 012 ≅h
g
V ) Z
g
V )
22
2
222
2
11 ++=+
omo la '2 no se conoce el valor se sustituye por '2 * - quedando 22
2
22
2
22 ) , g Q
g V =
'- %.$06 m*se+. 0. m 2 m / %.$06 m)*se+
Sustituyendo en la ecuaci7n de Bernoulli obtenemos:
( ) ( )2
22
2
2
2
22
$06.%.2
2
$06.%.0
) g )
g ++=+
2
2
2
2).1.24.
) ) ++=
00$.640.16 2
2
)
2 =+− ) )
Iesolviendo la ecuaci7n obtenemos las dos profundidades posibles del fluEo
62 = 0."! mts.
62 = 2."4 mts.
&onde: P1 P2 0, 012 ≅h
g
V )
g
V Z )
22
2
22
2
111 +=++
omo la '2 no se conoce el valor se sustituye por '2 * - quedando 22
2
222
22 ) , g
Q
g
V =
'- 16.1 ft*se+. 40 ft2/ 644 ft)*se+
Sustituyendo los valores en la ecuaci7n de Bernoulli tenemos:
( ) ( )2
22
2
2
2
62
644
2
1.16$4
) g )
g +=++
Problema 1#. &espreciando todas las p8rdidas, determ9nese las dos
profundidades posibles del fluEo! cuando el canal se an+osta en la
ca9da a 6 ft de anco en la secci7n 2
Planteamos una ecuaci7n de Bernoulli entre los puntos 1 y 2.
12
2
22
2
2
11
1
22h
g
V Z
P
g
V Z
P +++=++γ γ
Di+ura del problema 14
Di+ura del problema 1
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2
2
2
1$00.16
) ) +=
01$00.16 22)
2 =+− ) )
Iesolviendo la ecuaci7n obtenemos las dos profundidades posibles del fluEo
62 = 3.84 -t
62 = 1#.28 -t
&onde: P1 0, P2 0, 12≅ 0 Cas presiones presentan valor cero ya que estamos trabaEando con puntos sobre la
superficie de un canal/
Pero sabemos que:2
2
22
2
22 ) , g
Q
g
V = y adems 32 "2
( ) ( )
( ) 22
2
2
2
12
12.1
2
0)02(.)
) g )
g +=+
0064.0(046.) 22)
2 =+− ) )
62 = 0.134 m
Ca fuer=a idrulica esta dada por: D γ 3 - Senθ
Sobre el muro se aplican dos fuer=as, una por cada cara.∑D Dp1 H Dp2 H Dmuro Dp1 γ ).(0 * 2/ 1 ).(0/ Sen%0> 6$4 G+. Sobre (
Dp2 γ 0.1)4 * 2/ 1 0.1)4/ Sen%0> $.%($ G+. Sobre (
∑D ϕ '2 '1/ Dmuro < Dp1 < Dp2 H ϕ '2 '1/
Dmuro
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Si planteamos una Bernoulli entre 0 y 1 o entre 0 y 2 podemos comprobar que '0 '1 '2.
'0 20, 0, 0/
'1 0, 0, 20/ 20 m*s/ π 0./*4 0.04 m)*se+
'2 0, 0,
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4
6
0 1064.)10.1
024.02.22Ie (
(+
DV ===
#l coeficiente de arrastre para este caso es & 1.2
AV
C - D2
20 ρ =
D 1.2/0.12(/J22.2/2 * 2K 0.024/ 0.%4 G+.*m
D 0.%4 G+.*m
Problema 1'. #n una cimenea cil9ndrica de 0.%2 m de dimetro, e?puesta a un viento con una velocidad de $Gm.*, determ9nese el momento fle?ionante en su base
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AV
C - D2
20 ρ =
D 1.2/0.12/J22.2/2 * 2K )/1/ 166) G+.
7 = 1!!3 5g.
&onde: P1 0, "1 0, '1 ≅ 0, P2 0, h12 0
24
22
2 0$26.0
2 Z
D
Q
g
V Ep +==
3 adems:
CV
Q
Pot Ep
%.0
1000
(12===
γ
Sustituyendo en la ecuaci7n de Bernoulli obtenemos:
214.0
0$26.0%.0 2
+=
Q
Q
$26) H 2 < 0.% 0
Iesolviendo el polinomio obtenemos 0.0%1 m)*se+
Iesolviendo solo para el eEe (
∑ D ϕ'2 < '1/ donde '1 ≅ 0
∑ D Dp1 H Dp2 H D& ϕ'2
&onde: Dp1 Dp2 0
D& ϕ*-2/ ϕ2*-2
( )
( ) 2
2
4
1.0
0%1.0
$1.%
1000
π = -D
Problema 21. 5na bomba e?trae a+ua de un recipiente como se muestra en
la fi+ura. Ca bomba a@ade, al fluEo 12 ', L ul es la fuer=a ori=ontalque desarrolla el fluEo sobre el soporte &M &espreciar las p8rdidas.
Planteamos una ecuaci7n de Bernoulli entre el recipiente y Boquilla. #ntre
los puntos 1 y 2.
12
2
22
2
2
11
1
22h
g
V Z
P
g
V Z
P +++=++γ γ
Di+ura del problema 21
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7D = 11".38 5g.
#l t8rmino de ener+9a de la turbina #/, se coloca al lado dereco de la ecuaci7n de Bernoulli, debido a que la
turbina le quita la ener+9a al a+ua, la cul se transforma en electricidad a trav8s de un +enerador el8ctrico.
&onde: "1 "2, '1 '2, P2 0, h12 ≅ 0
Sustituyendo
)0 #
Pot γ #
#n este problema se nos da el +asto en forma indirecta para el calculo de la potencia
∑D? 100 G+.
∑D?
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Por lo tanto:
( ) .6
4
1.0
106.022 seg
mV ==
π
P1 1 G+.*cm2 1?104 G+.*m2
( ).$.(06
4
)0.0101
2
4
111 *g ( A P - =
== π
D2 P2.-2 0, esto es debido a que P2 0, ya que el punto 2 se encuentra baEo la presi7n atmosf8rica.
∑D Dp1 H Dp2 H Dcodo H W
Dcodo < Dp1 Dp2 H ϕ'2 '1/ < W
Dcodo , 0, )).(4Sen4>/ 1, 0, 0/K
0, 11, 0/
7coo = 9"8".'5g: 911#5g: 0)
&onde: "1 0, "2 0, 12≅ 0
( ) ( )
6.1%
(4.))
6.1%
1
1000
101 22
2 −+= ( P
γ
P2 )410 G+.*m2
#l +asto esta dado por:( )
.11.424
4
61
)2
seg
mQ =
= π
Por lo tanto:
Problema 24. 5na tuber9a ori=ontal de 6 m de dimetro tiene
un codo reductor que conduce el a+ua a una tuber9a de 4 m. de
dimetro, unida a 4> de la anterior. Ca presi7n a la entrada delcodo es de 10 G+.*cm2 y la velocidad de 1 m*se+. &eterminar
las componentes de la fuer=a que an de soportar los anclaEes
del codo y el peso del l9quido dentro del mismo.
Para resolver este problema necesitamos conocer '1, P1, '2, P2,
por lo que planteamos una ecuaci7n de Bernoulli para
determinar P2:
12
2
22
2
2
11
1
22h
g V Z P
g V Z P +++=++ γ γ
( ) .(4.))
4
4
11.42422 seg
mV ==
π
Di+ura del problema 24
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19/39
( ).)%.2$2(4))
4
6101
2
1 *g ( - =
=
π
( ).$.6(116%
4
4)410
2
2 *g - =
=
π
Dcodo < Dp1 Dp2 H ϕ'2 '1/
Dcodo , 0, 6(116%.$Sen4>/ H
γ *+/424.11/J)).(4os4>, 0, )).(4Sen4>/ 1, 0, 0/K
Dcodo
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20/39
#l valor apro?imado de β es
β 1 H 2 1/*) 1.))
?ol%c*+, b) Ca velocidad media ', resulta de su definici7n, a saber:
∫ = 1
+rdr V 10
2
2π π
donde r I
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21/39
?ol%c*+, a) &e acuerdo con la ecuaci7n de continuidad se debe satisfacer que
+ 0 a + 1 a" 4d / H 2 + 1 d
a
d
++
21
01
−=
Ybviamente, la velocidad media en las secciones 1
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22/39
por lo tanto el valor apro?imado de α es: α )β < 2
5sando la ecuaci7n de la ener+9a con la ∑ hr 0/, aplicada entre las dos ecuaciones, se tiene a
y de aqu9 :
Dinalmente, de la ecuaci7n de la cantidad de movimiento, aplicada en la direcci7n del fluEo y al mismo ', setiene lo si+uiente:
sustituyendo el valor de p, calculado anteriormente, resulta
o bien
y con alfa )O < 2, se obtiene
Substituyendo aora O, calculado anteriormente, y aciendo las simplificaciones necesarias, se tiene finalmente
el empuEeZ
?ol%c*+, b) &e acuerdo con la definici7n indicada para el coeficiente de arrastre, 8ste vale
22
1)
$)
−
−=
a
d
a
d
β
g
+ p
g
+ po
22
2
0
2
0α
γ γ +=+
( )α ρ −+= 12
2
0
0
+ p p
( )0000
++a+ paa p - D −=−− β ρ
( ) ( )112
2
0
2
000 −=−−−− β ρ α ρ a+a
+a pa p - D
−−=− 21
22
0 α β ρ a+ - D
−=− β ρ
2
1
2
120 a+ - D
−
−=2
2
0
21
)1
)
2
a
d
a
d
d + - D ρ
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Si d4a ""5 0, esto es, si el anco a es muy +rande, entonces
)
4→C D d + - D
2
0)
2 ρ →
−
−=
22
1
)1
)
4
a
d
a
d
C D
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CAPITULO 8
Problema 1. -+ua a 10> es for=ada a fluir en un tubo capilar &0.$mm y (0m de lon+itud. Ca diferencia de presiones entre los e?tremos del tubo es de 0.02 G+*cm2. &eterminar la velocidad media, el +asto y el numero de
Ieynolds para ν 0.01)) cm2*se+.
#n este problema se maneEa un tubo ori=ontal de dimetro constante, implica que "1"2, por lo tanto '1'2.
12
2
22
2
2
11
1
22h
g
V Z
P
g
V Z
P +++=++γ γ
Por lo que respecta a calcular la velocidad, el problema consiste en seleccionar adecuadamente la formula para el
coeficiente de fricci7n, y como se nos da viscosidad se usara &arcy.
aora bien el coeficiente de friccion se calculara con f 64*I debido a que se supone que es un fluEo laminar es
decir con numero de Ieynolds menor de 2000. Por otra parte el I se calculara con la formula I '&/ * ν.
#ntonces sustituyendo en nuestra ecuaci7n de perdidas lo pasado tenemos que:
sustituyendo valores obtenemos
despeEando la velocidad no queda que es &=4.21094 m/s o bien 0.042 cm/s.
Por ultimo el +asto y el numero de Ieynolds se calculan con '0.042 cm*s.
Problema 2. 5n enfriador de aceite consiste de tubos de 1.2 cm de dimetro interior y ).6 m de lon+itud. #l
aceite, con un peso espec9fico de %00 G+*m ), es for=ado a una velocidad de 1.$) m*se+. #l coeficiente de
aguadecolumnademts
mkg m
kg P P
h 2.01000
200
)
221
12 ==
−=
γ
mts g
V
D
6 7 2.0
2
2
=
2
2
2
2
642.0
2
64
2.02
64
D g
+ 6V
g
V
D
6
VD
g
V
D
6
8r
==
=
ν
2.0/62.1%/10$.0
/(0/10)).1642)
6
=−−
(
V (
226.001)).0
/0$.0/042.0
.
*0002.0042.04
0$.0
)2
===
=
==
υ
π
VD 8r
scmV AQ
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viscosidad a la entrada es 0.2$ poises y, a la salida, de 1 poise! puede considerarse que dico coeficiente var9a
como una funci7n lineal de la lon+itud. &eterminar la potencia requerida para for=ar el aceite a trav8s de un
+rupo de 200 tubos semeEantes en paralelo.
Para empe=ar debemos convertir las unidades al sistema t8cnico:
2
.002$4.0
1.%$
2$.02$.0
m
seg *g po$ses === µ
2
..0101%).0
1.%$
11
m
seg *g po$se === µ
#stimaci7n de la densidad:
4
2
2
) ..(4).%1
*$1.%
*.%00
m
seg *g
seg m
m *g
g ===
γ ρ
alculamos las viscosidades cinemticas de entrada y salida ρ
µ ν =
.
10110$.)
(4).%1
002$4.0 2
seg
m ( Entrada
−==ν
.10111.1
(4).%1
0101%).0 2
4
seg
m (Sal$da
−==ν
Ybtenemos el coeficiente de fricci7n de entrada y de salida DV DV 8r 7
64
6464 ν
ν
===
&ebido a que la viscosidad va cambiando Eunto con la trayectoria, nos vemos obli+ados a usar diferenciales para
obtener las perdidas en el tubo, sin olvidar que g
V
D
6 7 h
2
2
= :
∫ ∫ ==6.)
0
26.)
0 2
/ g
V Dd6 6 g dhh 7
∫ +
=6.)
0
2
/62.1%/012.0
/$).1/061)2.00$(0).0d6
6h
h %.%1) mts
0$(0).0012.0$).1
10110$.)64
==−
( 7 Entrada
)10$4.
012.0$).1
10111.164 4
==− (
7 Sal$da
f + C/ 7 #ntrada H J 7 Salida
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- ' 1.22(2 ? 10
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&e donde f 0.02()Sustituyendo en &arcy:
( )m
g
seg m
m
mh 04.112
2
.*%%.1
1.0
)0002().0
2
==
Pot γ 0.0)) m)*se+./$00 G+*m)/112.04 m/ )164.01 G+ . m*se+.
Pot )164.01 G+. m*se+./1 Np * (6. G+. m *se+./ 41.)6 Np
Pot = 41.3!
Para el inciso b aplicamos el mismo procedimiento:
( ) ( )6.16066
.*000001$$.0
1.0.*%%.12
=== seg m
m seg m D+ 8r
υ
( )
1.2
6.16066lo+2
1 7
7 =
&e donde f 0.016)
( )m
g
seg m
m
mh 0$.6(
2
.*%%.1
1.0
)00016).0
2
==
Pot γ 0.0)) m)*se+./$00 G+*m)/6(.0$ m/ 1$%4.)4 G+.m*se+.
Pot = 24."! .
Problema #. &eterminar el dimetro de la tuber9a vertical necesaria para que fluya un l9quido, de viscosidad
cinemtica + 1. ? 10
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Problema !. alcular el +asto que fluye en el sistema indicado en la fi+ura, despreciando todas las p8rdidase?cepto las de fricci7n
62
642
== D g
V 6+h
#s necesario determinar el valor de + para poder obtener el valor de la ', y para ello conocemos lo si+uiente:
+ µ*ϕ y que ϕ γ *+
Sustituyendo valores:
ϕ $00*%.$1 $1. y adems µ 0.1 * %$.1 0.001Por lo que:
+ 0.001*$1. 0.0000122
Sustituyendo en la ecuaci7n de p8rdidas:( )( ) ( )
( )( ) 2006.062.1%
$.4000012.064 V h =
&espeEando: ' 1.1)2 m*se+.
Por lo que el +asto:
$ = 0.032 ls
Problema ". uando el +asto de a+ua en un tubo liso dado es de 114 lt*se+., el factor de fricci7n es 7 0.06
L u8 factor de fricci7n se esperar9a si el +asto aumenta a 6$4 lt*se+.
7 64 * r R I 64 * 7 64 * 0.06 106( \ 2000 ∴fluEo laminar
Si el +asto es seis veces mayor: 114 ? 6 6$4 lps
Podemos esperar que: r 6400, es decir, seis veces mayor que el ori+inal.
on el dia+rama de ;oody para tubos lisos:
f = 0.03#
. 12
2
22
2
2
11
1
22h
g V Z P
g V Z P +++=++ γ γ
#n donde: P1 P2 0, '1 '2 0, "2 0
Por lo que: 12 6
5sando la ecuaci7n de &arcy: g
V
D
6 7 h
2
2
=
Sabemos que: f 64 * r y adems r '.& * +
Sustituyendo en la ecuaci7n de &arcy obtenemos:Di+ura del problema 6
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Ytra manera de calcularlo es utili=ando la formula de Blasiss:
0).06400
)164.0)164.02.02.0
=== 8r
7
Problema 8. -+ua sale de un tubo ori=ontal nuevo fierro fundido/ de 0.)0m de diametro. Para determinar la
ma+nitud del +asto en la tuberia, dos manometros separados 610m, indican una diferencia de presion de 0.141V+*cm2. #stimar el +asto.
Para poder estimar el +asto, se tiene que las perdidas serian las si+uientes:
h 1.41m
-ora planteando la ecuacion de perdidas por Na=en Williams, se tiene el +asto si+uiente:
#n donde 1.41m, N1)0, &0.)0 y C610, por lo tanto el +asto seria $ = 0.0!02 m3/s.
Problema '. #l fluEo turbulento plenamente desarrollado en un tubo liso es con una velocidad media de 0.61m*se+. &eterminar la velocidad m?ima al centro del tubo con: a/ I1000. b/ I 10
a/ &ebido a que en este inciso nos encontramos con un fluEo laminar usaremos la si+uiente ecuacion e?puesta
con anterioridad:
2
/A0 +V =
Por lo tanto:
.*22.1.*61.022 seg m seg mV + /A0 === b/ Para este caso, dado el nAmero de Ieynolds, es necesario recurrir a la si+uiente formula:
1
r 1 6n
7 7
V
+ /A0 −++= $
.2
$
(.)1
y I
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1
1 1 6n
7 7
V
+ /A0 −++= $
.2$
(.)1
I 0, lo cual nos indica el lu+ar donde se presenta la velocidad m?ima ' v;-Q /, por lo que obtenemos
finalmente:
$(.)1 7
V
+ /A0 +=
donde:2
%.0
(4.
(.)
)2.1
+
∈−
=
8r D 6n
7
#l valor de ∈ se tom7 como cero, debido a que se esta trabaEando con un tubo liso.
7 0.0116
Sustituyendo:
$
0116.0(.)1
61.0+= /A0
+
&ma = 0.!'" m/seg
Problema 10. #n una prueba reali=ada con una tuber9a de 1cm de dimetro se a medido una diferencia
manometrica de )0mm, en un man7metro de mercurio conectado a dos anillos pie=ometricos, separados 0m.#l +asto era de )000 lt*min, esto equivale a 0.0 m)*s. Lul es el factor de fricci7n 7 M
Para dar soluci7n a este problema se tiene que la ecuaci7n de perdidas es la si+uiente:
donde C0m, &.1m, y la velocidad y las perdidas se calcular9an de la si+uiente manera:
omo el +asto es de 0.0 m)*s y el &.1m, se tiene que la velocidad seria '*- y esto seria i+ual a 2.$2m*s.
-ora, si sabemos que el peso especifico es i+ual a 1)600 V+*m), la presi7n del mercurio seria la si+uiente:
P 1)600 V+*m)/.)0m/ 4(60 V+*m2
por lo que se tiene que P*γ 4.(6m estas serian las perdidas.
sustituyendo y despeEando la ecuaci7n de perdidas que se planteo al principio del problema se tiene que
Problema 11. &eterminar la p8rdida de ener+9a que se produce en un tramo de 1000 m, al mantener una
velocidad de m*se+ en una tuber9a de 12 mm de dimetro, + 4 ? 10
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I ' & / * + m*se+ 0.012 m/ * 4 ? 10
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on el valor obtenido y la ru+osidad absoluta 0.1 mm/ del fierro +alvani=ado obtenemos el tama@o del
dimetro:
+−=
01%.010
1.2
(1.)
0001.0lo+2
01%.0
1 D
D = 0.18# m.
Problema 14. alcular el factor de fricci7n para el aire, a presi7n atmosf8rica y a 1 > , que fluye por una
tuber9a +alvani=ada de 1.2 m de dimetro, a velocidad de 2 m*se+.
Ca viscosidad cinemtica del a+ua a 1 > es 16 ? 10 6, la cual, es necesaria para la estimaci7n del nAmero deIeynolds.
( ) ( )1$(000
.*000016.0
2.1.*.22
=== seg m
m seg m
+
DV 8r
Ca ru+osidad absoluta presenta una ma+nitud de 0.1 mm, sustituyendo:
+
∈
−= 7 8r D 7 1.2
(1.)lo+2
1
( )
+−=
7 7 1$(00
1.2
2.1(1.)
0001.0lo+2
1
f = 0.013"
Problema 1#. alcular el dimetro de una tuber9a nueva, de fierro fundido, necesaria para transportar )00 lt*se+.de a+ua a 2 > , a un Vm. de lon+itud y con una perdida de ener+9a de 1.20 m.
Para este problema utili=aremos la ecuaci7n de Na=en
8/20/2019 Sotelo Avila, Capitulo 4 y capitulo 8
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Sustituyendo:
12 P1 P2/ * γ
Para resolver este problema nos apoyaremos en la equivalencia entre el dimetro y el radio idrulico: & 4 IN
&onde: mo9ado
ducto
P
A 1H
=
a/ Para solucionar este inciso calcularemos el rea y per9metro con los datos proporcionados.
-ducto 0.0m/ 0.0m/ 0.002 m2
PmoEado 4 0.0/ 0.2 m
Sustituyendo:
mm
m 1H 012.0
2.0
002.0 2== y & 4 0.012m/ 0.0 m
#stimaci7n del nAmero de Ieynolds:
( ) ( ) %1.6.*0002(%.0
0.0.*66.)2
=== seg m
m seg m
+
DV 8r
alculo del factor de fricci7n:
0%(6.0%1.6
6464===
8r 7
Sustituyendo en la ecuaci7n de &arcy para p8rdidas: g
V
D
6 7 h
2
2
12 =
( )m
g h 2).1))
2
66.)
0.0
1000%(6.0
2
12 ==
12 = 123.23
b/ Para este inciso s7lo cambiamos las ma+nitudes de los lados
-ducto 0.02m/ 0.1m/ 0.002 m2
PmoEado 2 0.02 H 0.1/ 0.2 m
Sustituyendo:
mm
m 1H 01.0
2.0
002.0 2== y & 4 0.01m/ 0.04 m
#l nAmero de Ieynolds:
( ) ( )().24
.*0002(%.0
04.0.*66.)2
=== seg m
m seg m
+
DV 8r
alculo del factor de fricci7n:
122.0().24
6464===
8r 7
Sustituyendo en la ecuaci7n de &arcy para perdidas: g
V
D
6 7 h
2
2
12 =
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( )m
g h 1$.20$
2
66.)
04.0
100122.0
2
12 ==
12 = 208.18 m
c/ #n este caso varia la forma en que se calcula el rea y per9metro, ya que se trata de un trin+ulo equiltero
-ducto 0.02m/ 0.1m/ 0.000)( m2 PmoEado ) 0.02/ 0.0( m
mm
m 1H 00.0
0(.0
000)(.0 2== y & 4 0.00m/ 0.02 m
#l nAmero de Ieynolds esta dado por:
( ) ( ))(.262
.*0002(%.0
02.0.*66.)2
=== seg m
m seg m
+
DV 8r
alculo del factor de fricci7n:
244.0
)(.262
6464===
8r
7
Sustituyendo en la ecuaci7n de &arcy para perdidas: g
V
D
6 7 h
2
2
12 =
( )m
g h ().$)2
2
66.)
02.0
100244.0
2
12 ==
12 = 832."3 m
Problema 1". 5tili=ando el dia+rama universal de ;oody dar respuesta a las si+uientes pre+untas: a/ L Para que
tipo de fluEo la p8rdida de fricci7n varia con el cuadrado de la velocidadM b/ L ul es el factor de fricci7n para
I e 10 en un tubo liso< para ∈*& 0.001 y para ∈*& 0.0001M c/ L Para qu8 ran+o del nAmero de Ieynolds,
es constante el factor de fricci7n, en un tubo de fierro fundido y de 12 mm de dimetroM d/ Suponiendo que laru+osidad absoluta de un tubo dado se incrementa en un periodo de ) a@os, a tres veces su valor inicial, L tendr9a
ello mayor efecto en la p8rdida en fluEo turbulento, para nAmeros de Ieynolds altos o baEosM e/ L Para qu8 tipo
de fluEo 7 depende Anicamente de I eM f/ L Para qu8 tipo de fluEo 7 depende Anicamente de I e y ∈*&M +/ Si el
factor de fricci7n es 0.06, para un tubo liso, L ul ser9a el factor de fricci7n para un tubo de ru+osidad relativa
∈*& 0.001, con el mismo nAmero de IeynoldsM / Co mismo para f 0.01.
a) T%rb%le,tob) T%bo l*so co, /D = 0.001⇒ - = 0.018# co, /D = 0.0001⇒ - = 0.022c) e !.8 10 #
) >o te,rEa ,*,g;, e-ecto: or tratarse e %, -l%o t%rb%le,to
e) Para -l%o lam*,ar t%rb%le,to ara t%bos l*sos-) Para el -l%o e, o e*ste) - = 0.02 seg;, el *agrama e @oo
Problema 18. -ire a 1F fluye en un conducto rectan+ular de 61? 122 cm, fabricado con una lamina de
aluminio liso a un +asto de 2(4 m)*min
a/ &eterminar la ca9da de presi7n en 100 mts.
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b/ &eterminar el dimetro necesario de un conducto cil9ndrico del mismo material para transportar este +asto
con las mismas perdidas.
Para la soluci7n se supone que el tubo es colocado ori=ontalmente, entonces se procede a plantear una ecuaci7nde Bernoulli entre los puntos 1 y 2, entre los cuales ay 100mts de lon+itud.
12
2
22
2
2
11
1
22h
g
V Z
P
g
V Z
P +++=++γ γ
donde: "1 "2, '1 '2
γ 21
12
p ph
−=
#n este problema el fluido es el aire y, por lo tanto, la Anica ecuaci7n de p8rdidas que podemos utili=ar es la de&arcy
g
V
1H
6 7
g
V
D
6 7
p ph
242
22
2112 ==
−=
γ
&onde debemos reempla=ar el dimetro por el radio idrulico IN/, & 4 IN.
-&ucto 1.22/ 0.61/ 0.(44 m2 Per9metro 2 1.22 H 0.61 / ).66 m
#l radio idrulico est definido como el cociente del rea y el per9metro moEado.
mm
m
PE1:/E;1<
A 1H D=C;< 21).0
66.)
(44.0 2===
4IN 0.$2
( ).*1).6
/60/(44.0
.*2(42
)
seg m seg m
m$nm
A
QV ===
Ca viscosidad cinemtica del aire a 1F es + 16 ? 10, se+An la tabla de la pa+ina 2) del Sotelo, el peso especifico del aire
a esa temperatura es de 1.22 G+*m), lo que nos quedar9a de la si+uiente manera,
P1 < P2 1.22 G+*m)/2.%$mts/ ).6 G+*m2
P1 9 P2 = 3.!# 5g/m2
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36/39
Para poder dar soluci7n al inciso b, se tiene lo si+uiente, el tubo esta ori=ontal, por lo tanto la diferencia de
presiones serian las perdidas, y si las perdidas se calculan por &arcy nos queda la si+uiente ecuaci7n,
omo se debe de tener el mismo +asto y las mismas perdidas tenemos que
&onde se conoce, el +asto, las perdidas, la lon+itud y el coeficiente de fricci7n seria,
Por ultimo sustituyendo y resolviendo para & obtenemos que,
D = 0.'4 mts
Problema 1'. -+ua fluye con un +asto de 1(.1 lps en un tubo ori=ontal de 10mm de dimetro, el cual se
ensanca asta un dimetro de )00mm. a/ #stimar la perdida la perdida de ener+ia entre dos tubos en el caso de
ampliaci7n brusca.
Para la soluci7n del inciso - de este problema, de la ecuaci7n de continuidad se despeEa la velocidad para
encontrarla.
por lo tanto la formula de las perdidas en la ampliaci7n seria la si+uiente:
esta sur+e de la ecuaci7n $.1( de la pa+ina 2%% del Sotelo -vila.
Por lo tanto nuestras perdidas serian:
seg m
D
Q
A
QV 242.0
/).0
/01(1.04422
====π π
g
V
D
Dh
21
2
2
2
2
1
2
2
−=
mh 026%.062.1%
/242.01
/1.0
/)1.0 22
2
2
=
−=
g
V
D
6 7
P P h
2
2
2112 =
−=
γ
2
12
/0$26.0
D
6Q 7 h =
2.0
2.0
4
)164.0
4)164.0
=
==⇒=
D
Q 7
D
QVD 81
81 7
υ π
υ π υ
2
2.0
12
4
)164.0/0$26.0
D
Q 6
D
Q
h
= υ π
( )
2
2.0
6
/6.4/100
1016
/6.44
)164.0/0$26.0
%$.2 D
D (
= π
8/20/2019 Sotelo Avila, Capitulo 4 y capitulo 8
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8/20/2019 Sotelo Avila, Capitulo 4 y capitulo 8
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CUACIO> D F>OULLI
Ca ecuaci7n de Bernoulli se desarrolla como una aplicaci7n particular de la tercera ley de e[ton sobre unatuber9a cil9ndrica, anali=ando las fuer=as que intervienen en el desli=amiento de a+ua en este se+mento del tubo.
-l acer un corte del tubo en la secci7n 1 y 2 debemos considerar las fuer=as de presi7n que actAan en las tapas
del cilindro adems, tenemos el peso del a+ua, en particular la componente del peso paralela al eEe del cilindro!
y por Altimo la fuer=a de ro=amiento del a+ua contra las paredes del cilindro, esto se muestra en la si+uientefi+ura:
#l anlisis dinmico de las fuer=as nos indican:
D1 D2 H Wsinθ < Df m a
D1 P1 - , D2 P2 -
Wsinθ 'ol. γ Sinθ - d6 γ Sinθ
dC Sinθ "1 "2WSinθ - γ "1 "2/
Df τ -c
τ : esfuer=o de ro=amiento
-c : es la rea donde el a+ua contacta con la pared del tubo
-c Per d6
Per Per9metro π &
Df τ Per d6
m W * + masa del a+ua Sustituyendo en 1/
P1 - P2 - H - γ "1 "2/ < τ Per d6 W*+ a
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Si multiplicamos por d6 la #c. 2 obtenemos el trabaEo para mover el bloque.
3 si dividimos entre el peso W - C γ , obtenemos el trabaEo por unidad de peso! trabaEo unitario.
( )
>
d6a g
>
d6 A
d6d6 Per
d6 A
d6 Z Z A
d6 A
d6 A P
d6 A
d6 A P
2121 =−−+−γ
τ
γ
γ
γ γ
( ) d6 g
a
A
d6 Per Z Z
P P
221
1 =−−+−γ
τ
γ γ
la aceleraci7n es:
t
V V
t
V a
∆−
=∆
∆= 12
y la velocidad es:
V
d6t
t
d6V =∆
∆= ,
omo la velocidad toma valores de '1 y '2 para un d62 tomamos la velocidad media:
' '1H'2/ * 2.Sustituyendo en 4/
( ) ( ) ( )
d6
V V V V
d6
V V V
d6
V V
V
d6
V V
t
V V a
22
21
221212121212 −=
+−=
−=
−=
∆−
=
Sustituyendo en )/
d6d6
V V
g
Per
A
d6 Z Z
P P
2
1
2
1
2
221
21 −=−−+−γ
τ
γ γ
#liminando variables, sustituyendo a -*Per IN radio idrulico/ y a+rupando las variables 1 a la i=quierda, 2
a la dereca tenemos:
γ
τ
γ γ
22
2
22
2
2
11
1
1H
d6
g
V Z
P
g
V Z
P +++=++
#l valor de τ lo podemos obtener de la ecuaci7n de arrastre:
g
V C
A
-
g
V AC - D D
2,
2
22
γ τ γ ===
g
V
1H
d6C 1H
d6
g
V C 1H
d6 D D
22
22
== γ γ γ τ
g
V
1H
d6C
g
V Z
P
g
V Z
P D
2
22
22
22
2
2
11
1 +++=++γ γ