Suce Siones

Sucesiones Introduccion Convergencia y divergencia Sucesiones monotonas

Contenido:

1 Sucesiones

Introduccion

Convergencia y divergencia

Sucesiones monotonas

AAL Sucesiones y series 1/42


Contenido:

1 Sucesiones

Introduccion





Anteriormente ha encontrado sucesiones, por ejemplo:

2; 4; 6; 8; 10

forman una sucesion. Esta sucesion se denomina nita porque

tiene un ultimo elemento.



Si un conjunto de numeros que forman una sucesion no tiene un

ultimo numero, se dice que la sucesion innita. Por ejemplo,

1

3

;

2

5

;

3

7

;

4

9

; : : :

es una sucesion innita. Los tres puntos indican que no hay un

ultimo numero y que el patron observado se repite.

En adelante cuando se diga sucesion debe entenderse sucesion

innita.



Matematicamente una sucesion es una funcion cuyo dominio

consta de los enteros positivos. Por ejemplo, considere la funcion

p que dobla cada entero positivo; es decir, p (n) = 2n o bien

f2; 4; 6; 8; : : : g



Definicion

Una sucesion

a

es una funcion cuyo dominio es el conjunto

f1; 2; 3; 4; : : : ; n ; : : : g

de todos los numeros enteros positivos. Los elementos del

contradominio de una sucesion se llaman terminos de la sucesion

y el numero que corresponde a n se llama termino n-esimo.

a

Muchas veces se utiliza el smbolo N para representar al conjunto de

numeros enteros positivos, es decir:

N = f1; 2; 3; : : : g

para decir que n es un entero positivo se utiliza el smbolo n 2 N.



Ejemplo

Sea q la sucesion que transforma cada entero positivo en su

recproco

1

n

. En este caso podemos escribir q (n) =

1

n

, n 2 N. Los

terminos de la sucesion q son{1;

1

2

;

1

3

;

1

4

; : : :

}el termino n-esimo es

1

n

.



Ejemplo

Sea f la funcion denida por

f (n) =

n

2n + 1

n 2 N. Entonces f es una sucesion y

f (1) =

1

3

, f (2) =

2

5

, f (3) =

3

7

as sucesivamente. Los terminos de la sucesion son

1

3

;

2

5

;

3

7

; : : : o

bien: {1

3

;

2

5

;

3

7

; : : :

}



Aunque una sucesion es una funcion, la notacion que se emplea es

distinta a la que se usa para funciones. Para funciones se emplea

f (x) para denotar el numero al cual corresponde x bajo la funcion

f .

Para las sucesiones se emplea la notacion de subndice f

n

(se lee f

sub n) para el termino n-esimo. As la sucesion q anterior se

escribe q

n

=

1

n

y no q (n) =

1

n

.

De la misma forma, se escribe f

n

=

n

2n + 1

y no f (n) =

n

2n + 1

.



Otra diferencia es que se acostumbra a denotar una sucesion p

con fp

n

g. Esta notacion es util cuando el termino n-esimo

esta dado por una formula. Por ejemplo, la sucesion q anterior

puede escribirse como

{1

n

}y la sucesion f como

{n

2n + 1

}.



Existe otra forma de determinar los terminos de una sucesion

fp

n

g que consiste en especicar el primer termino y luego dar una

regla que permita encontrar el n-esimo termino, si ya se han

encontrado ciertos terminos anteriores. Esta manera de denir

una sucesion se conoce como denicion recurrente o denicion

recursiva.

Por ejemplo, si p

1

= 1, y p

n+1

= 3p

1

. Los primeros 5 terminos de

fp

n

g son 1, 3, 9, 27, 81.



Al ser una funcion, los puntos correspondientes a los terminos de

una sucesion pueden trazarse sobre una plano numerico, por

ejemplo, para

{n

2n + 1

}obtendremos



La representacion tradicional no es util en el caso de las

sucesiones por lo que se representan sobre una recta numerica:

Note que los terminos de la sucesion se acercan a

1

2

aunque

ninguno de ellos tiene valor

1

2

. Como podemos acercarnos tanto a

1

2

como deseemos (aumentando el valor de n) decimos que

1

2

es

el lmite de la sucesion.



Ejercicio

Exprese los primeros 10 terminos de cada una de las sucesiones

siguientes:

1.

{2n

3

+ 1

5n

3

+ n

2

}2.

{sin

(n

n + 1

)}3.

{2

n

3

n

}4. a0

= a

1

= 1, a

n+1

= a

n

+ a

n1

Esta sucesion fue descrita en

1202 en Europa por Leonardo de Pisa, matematico italiano

del siglo XIII tambien conocido como Fibonacci. Tiene

numerosas aplicaciones en ciencias de la computacion,

matematicas y teora de juegos.



Contenido:

1 Sucesiones

Introduccion





Definicion

Una sucession fa

n

g tiene el lmite L si para cualquier " > 0 existe

un numero N > 0 tal que si n 2 N y n > N entonces ja

n

Lj < "

y escribimos

lm

n!1

a

n

= L



Teorema

Si lm

x!1

f (x) = L, y f esta denida para todo entero positivo,

entonces tambien lm

n!1

f (n) = L, cuando n se restringe a los

enteros positivos.



Ejemplo

Calcule el lmite de la sucesion dada por

f (n) =

n

2n + 1



Solucion

En lugar de la sucesion consideraremos la funcion continua

f (x) =

x

2x + 1

de calculo diferencial sabemos que

lm

x!1

x

2x + 1

= lm

x!1

x

x

2x

x

+

1

x

= lm

x!1

1

2 +

1

x

=

1

2

Por tanto, de acuerdo con el teorema:

lm

n!1

f (n) =

1

2



Definicion

Si existe el lmite de una sucesion se dice que la sucesion

converge. En caso contrario se dice que la sucesion diverge.



La convergencia o divergencia de una sucesion fx

n

g solo depende

del \comportamiento nal"de los terminos. Con esto se quiere

decir que si m 2 N se omiten los primeros m terminos entonces la

sucesion restante fx

n+m

g converge solo si la sucesion original lo

hace, es decir,

lm

n!1

x

n

= lm

n!1

x

n+m



Ejemplo

Determine si la sucesion {4n

2

2n

2

+ 1

}es convergente o divergente.



Solucion

Se desea determinar si

{4n

2

2n

2

+1

}converge o no. Para ello

considere la funcion continua

f (x) =

4x

2

2x

2

+ 1

y calculemos el lmite cuando x !1

lm

x!1

4x

2

2x

2

+ 1

= lm

x!1

4x

2

x

2

2x

2

x

2

+

1

x

2

= lm

x!1

4

2 +

1

x

2

= 2

de aqu concluimos que

lm

n!1

4n

2

2n

2

+ 1

= 2

y por tanto la sucesion es convergente.



Ejemplo

Determinar si la sucesion

{(1)

n

+ 1

}es convergente o

divergente.



Solucion

Los elementos de esta sucesion son{0; 2; 0; 2; : : : ; (1)

n

+ 1; : : :

}. Ya que a

n

= 0 si n es impar,

y a

n

= 2, si n es par, la sucesion es divergente. Recuerde que si

un lmte existe, entonces es unico



Ejemplo

Determinar si la sucesion {n sin

(

n

)}es convergente o divergente.



Solucion 1/2

Deseamos determinar si lm

n!1

n sin

(

n

)existe. Sea

f (x) = x sin

(

x

)e investiguemos lm

x!1

x sin

(

x

). Podemos

escribir f (x) de la siguiente forma:

f (x) =

sin

x

1

x

y por tanto

lm

x!1

sin

x

1

x

nos indicara si la sucesion es convergente o divergente.



Solucion 2/2

Para resolver el lmite anterior vemos que

lm

x!1

sin

(

x

)= 0 y lm

x!1

1

x

= 0

por lo que podemos aplicar la regla de L'Hopital y obtener

lm

x!1

f (x) = lm

x!1

x

2

cos

(

x

)

1

x

2

= lm

x!1

cos

(

x

)=

por lo tanto lm

n!1

f (n) = cuando n es un entero positivo. As,

la sucesion dada es convergente y n sin

(

n

)converge a .



La convergencia o divergencia de algunas sucesiones pueden ser

determinadas por medio de lmites de funciones conocidas,

algunos de estos lmites son:

1. lmn!1

1

n

= 0, > 0

2. lmn!1

x

n

= 0, si jx j < 1

3. lmn!1

(ln (n))

a

n

b

= 0 para

a > 0, b > 0

4. lmn!1

n

1

n

=

n

p

n = 1

5. lmn!1

(1 +

a

n

)n

= e

a

para

todo real a.



Si tenemos mas de una sucesion algunas propiedades utiles son

las siguientes:

Teorema

Si fa

n

g y fb

n

g son sucesiones convergentes y c es una constante,

entonces

I

la sucesion constante fcg tiene a c como su lmite;

I

lm

n!1

ca

n

= c lm

n!1

a

n

I

lm

n!1

(a

n

b

n

) = lm

n!1

a

n

lm

n!1

b

n

I

lm

n!1

a

n

b

n

=

(lm

n!1

a

n

)(lm

n!1

b

n

)I

lm

n!1

a

n

b

n

=

lm

n!1

a

n

lm

n!1

b

n

si lm

n!1

b

n

6= 0, y todo b

n

6= 0.



Ejemplo

Demostrar que la sucesion{n

2

2n + 1

sin

(

n

)}es convergente y obtener el lmite de la misma.



Solucion 1/2

La sucesion {n

2

2n + 1

sin

(

n

)}puede escribirse como

n

2n + 1

n sin

(

n

)de donde

a

n

=

n

2n + 1

b

n

= n sin

(

n

)



Solucion 2/2

Es facil vericar que

lm

n!1

a

n

= lm

n!1

n

2n + 1

=

1

2

anteriormente vimos que

lm

n!1

b

n

= lm

n!1

n sin

(

n

)=

por lo que la sucesion

n

2

2n + 1

sin

(

n

)converge a

(1

2

) =

2

segun el inciso 3 del teorema 2.



Ejercicio

A continuacion se dan los primeros terminos de una sucesion

fx

n

g. Suponiendo que el patron natural indicado se mantiene, dar

una formula para n-esimo termino:

1. 5, 7, 9, 11, ...

2.1

2

,

1

4

,

1

8

,

1

16

, : : :

3.1

2

,

2

3

,

3

4

,

4

5

, : : :

4. 1, 4, 9, 16, : : :



Ejercicio

Enumerar los cinco primeros terminos de las siguientes

sucesiones:

1.

{x

1

= 1

x

n+1

= 3x

n

+ 1

2.

{y

1

= 2

y

n+1

=

1

2

(y

n

+

2

y

n

)3.

z

1

= 1

z

2

= 2

z

n

=

z

n+1

+z

n

z

n+1

z

n

4.

s

1

= 3

s

2

= 5

s

n+2

= s

n

+ s

n+1



Ejercicio

Calcule los lmites de las siguientes sucesiones:

1. lmn!1

ln

(n

3

)n

2. lmn!1

n

p

n

3. lmn!1

(1

2

)n

4. lmn!1

(4

1

2

n

)(3 +

1

5

n

)5. lmn!1

sin

2

(n)

2

n



Ejercicio

Para cada sucesion determine si converge o diverge. Si la sucesion

es convergente determine su lmite.

1.

{n

n + 1

n + 1

n

}2.

{n

2

n + 1

n

2

+ 1

n

}3.{cos

(n

2

)}4.

{n

2

+ 3n 2

5n

2

}5.{n

2

n

}6.

{(1)

n

n

+

1 + (1)

n

n

}7.

{3

n

+ (2)

n

3

n+1

+ (2)

n+1

}8.

{(1 +

2

n

)n

} AAL Sucesiones y series 37/42


Ejercicio

Una poblacion estable de 35000 pajaros vive en tres islas. Cada

a~no, el 10% de la poblacion de la isla A emigra a la isla B, 20%

de la poblacion de la isla B emigra a la isla C y 5% de la

poblacion de la isla C emigra a la isla A. Sean A

n

, B

n

y C

n

las

cantidades de aves que hay en el a~no n en las islas A, B y C,

respectivamente, antes de la emigracion

a

1. Muestre que

A

n+1

= 0:9A

n

+ 0:05C

n

B

n+1

= 0:1A

n

+ 0:80B

n

C

n+1

= 0:95C

n

+ 0:20B

n

2. Suponiendo que lmn!1

A

n

, lm

n!1

B

n

y lm

n!1

C

n

, existen, calcule

el numero de pajaros que habra en cada isla dentro de

muchos a~nos.

a

Tomado de [?]



Ejercicio

La famosa sucesion de Fibonacci se dene recurrentemente por

a

1

= 1

a

2

= 1

a

k+1

= a

k

+ a

k1

1. Encuentre los primeros diez terminos de la sucesion

2. Los terminos de la sucesion rk

=

a

k+1

a

k

se aproximan cada

vez mas a , la razon aurea. Calcule aproximadamente los

diez primeros terminos de esta sucesion.

3. Suponiendo que lmn!1

r

n

= , demuestre que

=

1 +

p

5

2



Contenido:

1 Sucesiones

Introduccion





Definicion

Una sucesion ff

n

g se dice creciente si

f

n

f

n+1

para todo n 1. Esto se indica escribiendo f

n

". Por otra parte si

se tiene

f

n

f

n+1

se dice que la sucesion es decreciente y se escribe f

n

#.

Definicion

Una sucesion es monotona si es creciente o decreciente.

Teorema (Bolzano-Weierstrass)

Una sucesion monotona acotada es convergente.



Ejercicio

Determine si la sucesion es monotona si es creciente o

decreciente:

1. an

=

1

3n + 5

2. an

=

n 2

n + 2

3. an

= 3 +

(1)

n

n

4. an

=

3n + 1

n + 1

5. an

=

(2n + 3)!

(n + 1)!

6. an

=

2

n

3

n

n!

7. an

= 2

2

n

1

2

n


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