TECNICAS DE CONTEO

Técnica de MultiplicaciónTécnica de PermutaciónTécnica de Combinación

Definición.Son formas de facilitar el conteo y

organización de datos.

Encontrar el numero de arreglos posibles de objetos en un conjunto o conjuntos

Principio FundamentalSi en una primera decisión se puede hacer

de “n” formas diferentes y una segunda decisión en “m” formas diferentes entonces las dos decisiones se pueden hacer en “n” por “m” o sea “nm” formas diferentes en el orden dado.

Ej.- Cuantas palabras de 4 letras (sin significado) se puede formar con las letras de la palabra verónica, sin usar mas de una vez cada una de las letras,

8 x 7 x 6 x 5 = 1680

Técnica de MultiplicaciónLa técnica de la multiplicación: Si hay m

formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas {principio fundamental}

• En términos de fórmula • Número total de arreglos = m x n • Esto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o: • Número total de arreglos = m x n x o

Ejemplo Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas

las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?

Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).

Número total de arreglos = 3 x 2

Técnica de Permutación Como vimos anteriormente la técnica de la multiplicación es

aplicada para encontrar el número posible de arreglos para dos o más grupos. La técnica de la permutación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos donde hay solo u grupo de objetos.

La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es:

Donde: nPr es el número de permutaciones posible n es el número total de objetos r es el número de objetos utilizados en un mismo momento

𝑛𝑃𝑟=𝑛 !

(𝑛−𝑟 )!

Permutaciones LinealesEl total de permutaciones de un conjunto de

objetos tomados todos a la vez, se obtiene razonando en forma similar del principio fundamental de contar.

NPn = n!

Ej .- Cuantas palabras de cinco letras se pueden formar con la palabra libro aplique permutaciones.

5P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Permutaciones de objetos diferentes tomados parte a la vez.

Una permutación de “n” objetos diferentes tomados de “r” en “r” es también una ordenación de “r” entre los “n “ objetos.

Ej.- Cuantas palabras de tres letras se pueden formar con las letras de la palabra libro.

𝑛𝑃𝑟=𝑛 !

(𝑛−𝑟 )!

𝑛𝑃𝑟=𝑛!

(𝑛−𝑟 )!=

5 !(5−3 )!

=5𝑥 4 𝑥 3𝑥 2𝑥1

2 𝑥1=60

Permutaciones: formado de gruposDe los que n1 son iguales, n2 son iguales, n3 son iguales,

etc. Tomados todos a la vez.

Ej.- El 25 de diciembre se quiere hacer una repartición de regalos que consiste en cuatro bicis iguales, tres pelotas iguales, dos muñecas iguales, ¿de cuantas maneras se pueden repartir estos regalos?

Ej,- Cuantas palabras se puede formar con la palabra TENNESSE

𝑛 !𝑛1 !𝑛2 !𝑛3 !…

= 1260

EjemploSuponga que hay ocho tipos de computadoras pero solo

tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles?

Digamos que las maneras de acomodarlas se pueden repetir entonces el problema se resolvería de esta manera: n P r = n! = 8! = 8x8x8x7x6x5x4x3x2x1 = 512 La formula pasaría a ser :

𝑛𝑃𝑟=𝑛 !

(𝑛−𝑟 )!=

8 !(8−3 )!

=8 𝑥7 𝑥6 𝑥5 𝑥 4 𝑥3 𝑥2 𝑥1

5 !=336

𝑛𝑟

Técnica de CombinaciónEn una permutación, el orden de los objetos de

cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación; En otras palabras una combinación es una selección de r o n objetos donde el orden no se tiene en cuenta

La fórmula de combinación es:

𝑛𝐶𝑟=𝑛!

𝑟 ! (𝑛−𝑟 )!

Principio que establece que todos los posibles resultados en una situación dada se pueden encontrar multiplicando el número de formas en la que puede suceder cada evento.

Por ejemplo, si podemos viajar de San Francisco a Chicago de 3 formas y después de Chicago a Nueva York en 2 formas, entonces podemos ir de San Francisco a Nueva York en 3×2, o 6 formas.

Combinación:Ejemplo: Un restaurante tiene 6 postres

diferentes. Encuentre el numero de formas en las que un cliente pueda escoger 2 de los postres.

!)!(

!

!

),(),(

rrn

n

r

rnPrnC

15!2!4!4*5*6

!2!4!6

)2,6( C

Ejemplo Ej. Se desean formar equipos de dos personas para la exposición de un

proyecto de un total de cuatro estudiantes Gabriel, Melchor, Wendy y Verónica, de cuantas maneras se pueden formar y comprobar si:

a) se pide una ordenación

GMGWGV

MGMWMV

WGWMWV

VGVMVW

b)se pide una selección

GMGWGV

WVMWMV

𝑛𝑃𝑟=𝑛 !

(𝑛−𝑟 )!=

4 !(4−2 ) !

=4 𝑥3 𝑥2 𝑥1

(2𝑥1)=12

𝑛𝐶𝑟=𝑛!

𝑟 ! (𝑛−𝑟 )!=

4 !2 ! (4−2 )!

=4 𝑥3 𝑥2 𝑥12! (2 )!

=6

Principio AditivoSi se desea llevar a efecto una actividad, la cuál

tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada  a cabo de:

                       M + N + .........+ W  maneras o formas

Ejemplo Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado

que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución: M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General

Electric M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

Pruebas Ordenadas Se le llama prueba ordenada al hecho de seleccionar r objetos de entre n

objetos contenidos en una urna uno tras otro. Una prueba ordenada puede ser llevada a efecto de dos maneras:

Con sustitución (con reemplazo).- En este caso se procede a seleccionar el primer objeto de entre los n que hay, se observa de qué tipo es y se procede a regresarlo a la urna, luego se  selecciona el siguiente objeto, lo anterior se repite hasta que se han extraído los r objetos de la prueba, por tanto el número de pruebas ordenadas de con sustitución se obtiene:

            Número total de pruebas ordenadas con sustitución = n x n x n x .........x n = nr

Hay n maneras de seleccionar el primer objeto, luego al seleccionar el segundo objeto, dado que se ha regresado a la urna el primer objeto, también se tendrán n objetos y así sucesivamente.

  Sin sustitución (sin reemplazo).- En este caso se procede a seleccionar el

primer objeto, el cual no es regresado a la urna, luego se selecciona el segundo objeto, lo anterior se repite hasta completar los r objetos de la prueba, por lo que el número total de pruebas ordenadas sin  sustitución se obtiene:

          Número total de pruebas ordenadas sin sustitución = n(n-1)(n-2).........(n-r +1) = nPr

Hay n maneras de seleccionar el primer objeto, luego al seleccionar el segundo objeto, hay n –1  maneras, dado que el primer objeto no se regresa a la urna, luego cuando se extrae el r-ésimo objeto, hay (n –r +1) de que sea seleccionado.

Particiones ordenadasSe le llama partición ordenada al hecho de

repartir n objetos en células de una cantidad de x1 objetos, x2 objetos,......y xk objetos. Ejemplo.

¿Cuántas maneras hay de repartir 10 libros diferentes entre tres alumnos, si al primero le daremos 2, al segundo 3 y el resto al tercer alumno?

Solución:Lo primero que debemos hacer es seleccionar 2 librosde los 10 que se tienen para el primer alumno, esto es;                         10C2 = 10! / (10 – 2)!2! = 10! / 8!2! = 45 maneras de seleccionar los libros Luego se seleccionan 3 libros de los 8 que quedan para el segundo alumno;                          8C3 = 8! / (8 – 3)!3! = 8! / 5!3! = 56 maneras

 Y por último se procederá a seleccionar cinco libros de los cinco que quedan para el tercer alumno, lo que se muestra a continuación;                          5C5 = 5! / (5 –5)!5! = 5! / 0!5! = 1 manera Por tanto el número total de particiones ordenadas en células de 2, 3 y 5 elementos se determina:                                  10C2*8C3*5C5 = (10! / (10 – 2)!2!)*(8! / (8 – 3)!3!)*(5! / (5 – 5)!5!) = 10! /2!3!5!  

Diagrama de Árbol Para la construcción de un diagrama en árbol se

partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.

En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

Diagrama de Árbol

El principio básico o fundamental de conteo se puede utilizar para determinar los posibles resultados cuando hay dos o más características que pueden variar.

Ejemplo: El helado puede venir en un cono o una tasa y los sabores son chocolate, fresa y vainilla.

/ tasa de chocolate / / tasa <-- tasa de fresa / \ / \ tasa de vainilla

< 

\ / cono de chocolate \ / \ cono <-- cono de fresa \ \ cono de vainilla

Resolución:Para determinar la cantidad total de resultados,

multiplica la cantidad de posibilidades de la primera característica por la cantidad de posibilidades de la segunda característica. En el ejemplo anterior, multiplica 3 por 2 para obtener 6 posibles resultados.

Si hay más de dos resultados, continúa multiplicando las posibilidades para determinar el total de resultados.

¿¿ Probabilidad ??

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

La probabilidad mide el elemento de aleatoriedad que se encuentra asociado a la ocurrencia de determinados eventos. El objetivo aquí es contar los distintos arreglos de  los puntos en un espacio muestral sin que se tenga que anotar cada uno de ellos.