TRABAJO FIN DE ESTUDIOS
Técnicas motivacionales para la asignatura deMatemáticas
Jaime Martín Fernández Cestau
MÁSTER UNIVERSITARIO EN PROFESORADO DE ESO, BACHILLERATO, FPY ENSEÑANZA DE IDIOMAS
Tutor: Roberto Castellanos FonsecaFacultad de Letras y de la Educación
Curso 2010-2011
MATEMÁTICAS
© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2012
publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]
Técnicas motivacionales para la asignatura de Matemáticas, trabajo final deestudios
de Jaime Martín Fernández Cestau, dirigido por Roberto Castellanos Fonseca (publicadopor la Universidad de La Rioja), se difunde bajo una Licencia
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Máster en Profesorado de la Universidad de La Rioja
Técnicas motivacionales
para la asignatura de
Matemáticas
Proyecto Fin de Máster
Jaime M. Fernández Cestau
2010/2011
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………………….. 3
MARCO TEÓRICO………………………………………………………………………………….4
Teorías sobre el aprendizaje ………………………………………………………………....5
Perspectiva Pedagógica ………………………………………………………………….….….8
Perspectiva Psicológica ……………………………………………………………………..…11
Perspectiva Sociológica …………………………………………………………………..…...13
UNIDAD DIDÁCTICA 3º E.S.O: SUCESOS ALEATORIOS Y PROBABILIDAD………………………………………………………………………………….14
Eje Organizador………………………………………………………………………………………….14
Objetivos……………………………………………………………………………………………………15
Contenidos………………………………………………………………………………………………...16
Competencias Básicas………………………………………………………………………………..18
Actividades…………………………………………………………………………………………………19
De Iniciación y Motivación…………………………………………………………….....19
De Desarrollo y Aprendizaje………………………………………………………..……21
De Refuerzo y Ampliación…………………………………………………………….....23
De Resumen y Síntesis……………………………………………………………………..26
De Evaluación……………………………………………………………………………………28
Recursos materiales…………………………………………………………………………………29
Metodología……………………………………………………………………………………………30
Educación en valores e interdisciplinariedad……………………………………………32
Criterios de evaluación…………………………………………………………………………….33
1
PROYECTO DE INNOVACIÓN………………………………………………………………34
Objetivos e Iniciación Educativa…………………………………………………………………………..36
Metodología………………………………………………………………………………………………………..41
Realización de Juegos y experimentos probabilísticos………………………………….42
Los inicios de la probabilidad. Fermat y Pascal……………………………………….……..45
Lectura de textos divulgativos y debate posterior…………………………………….….49
Metodología de trabajo para el profesor……………………………………………………...51
Metodología de trabajo para el alumno…………………………………………………..……52
Evaluación………………………………………………………………………………………………………….53
REFLEXIONES FINALES………………………………………………………………………60
REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………….61
2
INTRODUCCIÓN
Este proyecto pretende aportar técnicas más o menos novedosas para aumentar el
interés de los alumnos hacia la asignatura de matemáticas. Con las ideas explicadas se
pretende trabajar más competencias básicas y en mayor profundidad que sólo
ciñéndonos al método clásico de enseñanza. No obstante, no es un método sustitutivo
de la idea clásica del proceso de enseñanza‐aprendizaje, sino que explicamos unas
técnicas que pueden sumarse a las tradicionales para mejorar dicho proceso.
Para realizar la defensa, este proyecto se ha dividido en tres partes.
En la primera de ellas, se realiza un estudio del marco teórico en el que se basará,
atendiendo a criterios pedagógicos, psicológicos y sociológicos. A continuación, se
reproduce una unidad didáctica correspondiente a la Educación Secundaria Obligatoria
para terminar con el proyecto de innovación que consiste en unas técnicas que pueden
sumarse a la unidad didáctica del apartado anterior para una mejora del método de
enseñanza.
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MARCO TEÓRICO
A la hora de planificar y ejecutar una unidad didáctica o toda una programación
de aula a un grupo de alumnos, afrontamos una decisión difícil de tomar. Y es que
existen varias teorías pedagógicas y, seamos o no conscientes de su existencia, nuestra
manera de impartir clases se acercará en mayor o menor medida a una de ellas.
Como es lógico, un docente estará mejor preparado para su labor en el aula si
conoce los diferentes enfoques desde los que se puede estructurar la enseñanza,
siendo a su vez capaz de realizar un análisis crítico a los mismo. Esta capacidad le
permitirá elegir el enfoque que mejor se ajuste a las características de su alumnado en
cada momento, teniendo en cuenta el contexto educativo en el que se encuentre.
Este proyecto intenta aumentar la motivación que sienten los alumnos por la
asignatura de matemáticas. La falta de motivación es, en nuestra opinión, la principal
razón de los casos de fracaso escolar que se dan en nuestros centros de estudio, por lo
que intentaremos explicar cómo afrontar este problema, concretando nuestro modelo
a la unidad didáctica de Sucesos Aleatorios y Probabilidad de 3º E.S.O.
Para evaluar el modelo tanto sociológico, como pedagógico y psicológico del
alumnado, se tomará en cuenta los grupos de 3º A y 3º B del IES Duques de Nájera, por
ser en los que se impartió la unidad didáctica correspondiente durante el periodo de
prácticas correspondientes al Máster en Profesorado de la Universidad de La Rioja.
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Teorías sobre el aprendizaje
Aunque las creencias acerca de la enseñanza en matemáticas que cada uno
tenemos influyen, como es lógico, en nuestra manera de impartir clase a un grupo de
alumnos, podemos hablar, principalmente, de dos diferentes teorías sobre el
aprendizaje: la teoría conductista o de absorción y la teoría constructivista.
Modelo conductista
La teoría de la absorción, como su propio nombre indica, se basa en la
memorización de conceptos. El conocimiento es adquirido por almacenamiento de
información aislada entre sí. Esta teoría se basa en la repetición de procesos
mecánicos y por un aprendizaje acumulativo.
El día a día en el aula, suele ser una sucesión de clases magistrales por parte del
profesor, donde la participación del alumnado es escasa. Además, en la evaluación se
premia la respuesta correcta y no el camino que se ha seguido para llegar a esa
conclusión.
Por último, cabe destacar, que el libro de texto es un arma muy poderosa para
los seguidores de esta teoría, ya que funciona como saber oficial y como organizador
de las unidades didácticas a impartir.
Críticas al modelo
Los críticos a esta teoría argumentan que prima el individualismo y la pasividad
del alumno. Se prefiere una mecánica y rápida, que un proceso lógico‐argumentativo
para llegar a una conclusión. Además, como se basa en la acumulación de conceptos,
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en ocasiones es complicado diferenciar aprendizaje con simple memorización y, por
tanto, el alumno puede responder mecánicamente a algunas preguntas sin que haya
una comprensión real del conocimiento implicado en su solución. Por último, cabe
señalar, que esta teoría concibe la enseñanza como una ciencia aplicada y al docente
como un portador de conocimientos especiales sobre ella, dando excesiva relevancia al
libro de texto, como si fuera del libro no hubiera cosas que mereciesen la pena ser
aprendidas.
Modelo constructivista
El constructivismo expone que el individuo es una construcción propia que se
va produciendo día a día por la interacción del ambiente y de sus disposiciones
internas. Según esta teoría, la enseñanza no es solamente una transmisión de
conocimientos, sino que es una organización de métodos de apoyo que permitan a los
alumnos construir su propio saber. Por tanto, trata a alumno como alguien que tiene
comprensión y medios suficientes para abordar situaciones novedosas. Es lógico
pensar por lo ya expuesto, que un buen ambiente para el proceso de enseñanza‐
aprendizaje será aquel en el que exista una interacción dinámica entre los alumnos y
los profesores, siendo esencial la existencia de actividades dentro de esa relación que
den la oportunidad al alumnado de crear su propia verdad. Se pretende que el nuevo
conocimiento se adquiera pensando, construyendo, creando relaciones con un
conocimiento previo, a ser posible incentivando la curiosidad del alumnado y
proponiendo retos interesantes. Como esta teoría asume que cada individuo construye
su conocimiento de manera diferente, la atención a la diversidad es un elemento
esencial que disminuye el impacto del libro de texto. A la hora de evaluar se tiene más
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en cuenta el camino recorrido que la solución a la que se llegue, valorando así la
argumentación y el pensamiento.
Críticas al modelo
Los críticos a esta teoría, argumentan que presupone la autonomía del alumno
y su voluntad por aprender y minimiza el papel del esfuerzo y la memoria en el
aprendizaje, vaciando de contenido significativo los aprendizajes y reduciéndolos a
sólo procedimientos. También, se le achaca que su fruto no es inmediato ni sencillo de
medir, y que el contemplar cada alumno como un mundo es difícil de llevar a cabo sin
invertir una enorme cantidad de tiempo y recursos de los que raramente se suele
disponer, o sin fomentar la disgregación en el aula. Pese a que en los últimos años se
ha intentado la implantación de esta teoría de aprendizaje en varios países europeos,
recientemente está en entredicho a raíz de importantes críticas que ha sufrido por
parte de varios pedagogos que han llevado a que por ejemplo el Reino Unido haya
desterrado este modelo de sus sistemas de enseñanza.
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PERSPECTIVA PEDAGÓGICA
Como ya hemos dicho, los grupos en los que impartimos la unidad didáctica de
Sucesos Aleatorios y Probabilidad en el IES Duques de Nájera fueron 3º A y 3º B. En la
memoria de prácticas de mi estancia en este centro, había un apartado donde se
describía a cada uno de los grupos en los que impartí clase. Así pues, recopilamos
aquella información, para describir pedagógicamente los grupos de 3º A y de 3º B.
3º A – E.S.O.
El grupo de 3º A de E.S.O. está formado por 31 alumnos, de los cuales 18 son
chicos y 13 chicas. De los 31 estudiantes, 6 se encuentran repitiendo curso.
En general, es un grupo donde impartir clase es una tarea complicada. Si
decíamos que en el grupo anterior había tres alumnos que interrumpían las
explicaciones, molestaban a sus compañeros y no mostraban mucho respeto por las
normas cívicas que se deben seguir en un aula, en este grupo, ese número de alumnos
que dificultan el proceso de enseñanza‐aprendizaje es bastante superior. En torno a un
tercio de los alumnos, o no siguen las explicaciones, o hablan continuamente con el
compañero, o interrumpen haciendo comentarios jocosos, o combinan las actuaciones
anteriores.
Pese a todo, es un grupo de alumnos capaz de absorber con facilidad nuevos
conocimientos y creo que con un poco más de atención en las explicaciones de clase y
potenciando la confianza en ellos mismos se reduciría el alto nivel de suspensos que
obtienen en sus calificaciones. Durante el tiempo que impartí la unidad didáctica que
se explicará más adelante en esta memoria, contestaban bien a las cuestiones que les
lanzaba y realizaban preguntas desafiantes e inteligentes.
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No obstante, el número de alumnos que han dejado de trabajar en clase es
preocupante y, de hecho, en los exámenes que realizaron durante mi estancia en el
instituto, siempre había seis o siete alumnos que optaban por no contestar a ninguna
pregunta.
De todas formas, así como decíamos que un tercio de los alumnos son bastante
alborotadores, también hay varios alumnos realmente interesados por la asignatura,
que estudian, se esfuerzan y tienen inquietudes para con las matemáticas. Cuando les
fotocopié el artículo publicado en El País titulado “El ‘anumerismo’ también es
incultura”, algunos de estos alumnos reconocieron haberlo leído y me preguntaron
cuestiones, que quizás escapaban al nivel matemático adecuado para su edad, pero
que demostraban su interés por las matemáticas.
3º B – E.S.O.
Este grupo, a principio de curso, estaba formado por 30 alumnos, pero a lo largo del
mismo cuatro alumnos cambiaron de centro de estudios y un alumno se incorporó
durante mi sexta semana en el instituto. Así pues, ahora mismo son un grupo de 27
alumnos, de los cuales 3 están repitiendo curso. Hay un número de alumnas que
duplica al de alumnos (y con ese dato el lector podrá, fácilmente, saber el número
exacto de chicos y de chicas). En el grupo hay tres alumnos inmigrantes y, como ya
venía observando en experiencias anteriores en un aula, el respeto que muestran
estos alumnos por sus profesores es magnífico.
Es un grupo que, a diferencia de sus compañeros de curso, muestra un
comportamiento intachable. Siempre atentos, muestran mucho interés por la
asignatura, y realizan preguntas inteligentes y con sentido.
No obstante, pese a que es un grupo trabajador, no tienen la misma facilidad
para absorber conocimientos como el grupo anterior, pero subsanan ese problema con
su esfuerzo, entrega y ganas de aprender. Este esfuerzo al que hacemos referencia
hace que el porcentaje de aprobados en esta clase sea superior que en la otra, siendo
las pruebas a las que se enfrentan, en muchos casos idénticas.
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Como única pega que se le puede poner a este grupo de 3º E.S.O. es que son un
poco dependientes de la figura del profesor en su aprendizaje. No es algo muy
preocupante a su edad, pero en ocasiones lanzaban preguntas antes de que mi tutora
o yo mismo hubiésemos terminado la explicación. Siempre es de agradecer la
participación en clase, pero creo que antes de preguntar una cuestión hay que esperar
a escuchar la explicación entera, por si en ella se halla respuesta a la misma.
Pero, como decíamos, es un grupo magnífico, donde dar clase se convierte en
una tarea mucho más sencilla gracias a su comportamiento, su interés y su motivación.
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PERSPECTIVA PSICOLÓGICA
Los grupos a los que impartimos docencia, como ya hemos dicho, pertenecen a
grupos de tercero de ESO, por lo que nos encontramos mayoritariamente con alumnos
de entre catorce y quince años. Esto provoca un desajuste de los chicos y las chicas
pertenecientes a los grupos, ya que mientras que los primeros se encuentran
finalizando en su mayoría la fase de adolescencia temprana, las segundas ya habrán
alcanzado la adolescencia media.
Teniendo en cuenta este hecho, es importante que conozcamos las
características más relevantes de estas dos etapas, que hemos obtenido del material
didáctico que recibimos a lo largo del máster en el que nos encontramos:
Adolescencia temprana:
Durante la adolescencia temprana los cambios físicos provocan desconcierto y
es usual que se produzca decepción, disgusto y sentimiento de rechazo por el nuevo
aspecto físico. A nivel afectivo, la vitalidad y la energía favorecen la inclinación
entusiasta por casi todo y la conducta apasionada, pero también el desequilibrio
emocional y la aparición de reacciones emocionales primarias como son la inquietud,
la ira o el miedo. Socialmente tienden a distanciarse de la familia y a abrirse al mundo
que hay fuera de ella, y es normal que aparezcan malos modales y faltas de respeto.
La respuesta educativa recomendada incluye el establecimiento de normas y
límites e intentar entender el fenómeno de la pubertad y aceptar al adolescente tal
como es. Se debe mantener la serenidad y no dramatizar, y objetivar las nuevas
conductas viéndolas como manifestaciones normales del desarrollo evolutivo, además
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de dar un trato diferenciado en función del sexo, tipo de carácter, edad, aptitudes e
intereses y escuchar lo que tenga que decir, creando un ambiente de adaptación a sí
mismo y a la realidad en la que vive.
Adolescencia media:
Durante la adolescencia media, por el contrario, los cambios psíquicos son más
profundos: se produce el descubrimiento del yo, el adolescente se observa y analiza a
sí mismo. Esta etapa se caracteriza por la introspección y el autoconocimiento al
advertir la diferencia entre lo que es y lo que quisiera ser, además de ser capaz de
autoevaluar su pensamiento, formular hipótesis y contrastarlas con la realidad para
deducir sus consecuencias. Nace además el sentido del deber, favorecido por la
evolución moral y por el hecho de que las normas ya no sean vistas como algo
coercitivo, sino como valores a respetar.
En esta etapa, la respuesta educativa debe basarse en la aceptación del
adolescente, animándole a que actúe con sus propias conductas, sin sustituirlo en la
forma de decisiones y valorando esos comportamientos y sus soluciones. También hay
que exigir que afronten las consecuencias de sus actos, debe acostumbrarse a pensar y
a informarse antes de decidir mediante la participación en situaciones en las que tenga
que valerse por sí mismo, además de aprender a sustituir la confrontación por el
diálogo y la negociación.
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PERSPECTIVA SOCIOLÓGICA
También explicamos en la memoria de prácticas correspondiente a la estancia
en el centro, cómo era el contexto socio‐económico‐cultural del alumnado.
Pudimos trazar, por los resultados de la encuesta, un perfil medio del
alumnado. El alumno medio vive en una familia de clase media compuesta por cuatro
miembros, ambos padres tienen estudios medios (aunque hay un porcentaje
significativo con estudios universitarios), trabajan y van de viaje con sus hijos. Poseen
vivienda en propiedad, equipada con biblioteca y medios informáticos.
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UNIDAD DIDÁCTICA 3º ESO:
SUCESOS ALEATORIOS. PROBABILIDAD
EJE ORGANIZADOR
El lenguaje cotidiano está lleno de expresiones que hacen referencia al lenguaje
probabilístico: “por suerte”, “es previsible que”, “casi seguro que”… El análisis de las
condiciones que deben darse en una situación cercana a los alumnos para que sea
factible cuantificar las diferentes posibilidades que pueden surgir es una buena manera
de presentar los contenidos de la unidad. Los alumnos se sorprenden de que contextos
en los que interviene el azar sean susceptibles de tratamiento matemático por
asignación de la correspondiente probabilidad. Con ello adquieren una mayor
capacidad de abstracción, incorporan a su lenguaje habitual los términos y
propiedades del cálculo de probabilidades y pueden adoptar actitudes críticas ante
determinados fenómenos en los que interviene el azar.
Las posibles dificultades de los contenidos planteados en la unidad son
fundamentalmente de tipo conceptual, ya que los procedimientos incorporan
operaciones aritméticas muy sencillas y los conocimientos previos no van más allá de
un relativo dominio de las operaciones con fracciones, de los porcentajes y de las
propiedades de la proporcionalidad numérica. Por ello insistiremos en cada momento
en los conceptos clave, analizando su significado en cada actividad que se proponga,
para facilitar su comprensión.
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OBJETIVOS
Distinguir experiencias deterministas de experiencias aleatorias.
Reconocer sucesos elementales, los sucesos seguro e imposible, y el suceso
contrario de otro dado en un experimento aleatorio.
Valorar cuantitativamente la probabilidad de que ocurran determinados sucesos.
Asignar probabilidades a sucesos asociados a experimentos aleatorios.
Reconocer sucesos equiprobables y, en su caso, aplicar la regla de Laplace para
calcular su probabilidad.
Aplicar las propiedades para determinar la probabilidad del suceso contrario, de la
unión de dos sucesos, compatibles o incompatibles, y de otros casos sencillos.
Utilizar el lenguaje propio de la probabilidad para describir la posibilidad de que
ocurra un determinado suceso.
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CONTENIDOS
Conceptos
Experimento aleatorio.
Espacio muestral.
Sucesos elemental y compuesto.
Sucesos seguro, imposible, contrario.
Espacio de sucesos. Unión e intersección.
Sucesos compatibles e incompatibles.
Frecuencias absoluta y relativa de un suceso.
Probabilidad de un suceso.
Regla de Laplace.
Propiedades de la probabilidad.
Sucesos compatibles e incompatibles. Probabilidad de la unión de sucesos.
Experimentos compuestos.
Sucesos dependientes e independientes.
Probabilidad experimental
Números aleatorios y simulación
Procedimientos
Obtención del espacio muestral, de los sucesos elementales, del suceso seguro y del suceso imposible de un experimento aleatorio.
Cálculo de operaciones con sucesos.
Detección de sucesos compatibles, incompatibles y contrarios.
Utilización de la regla de Laplace para determinar la probabilidad de un suceso.
Utilización de las propiedades del cálculo de probabilidades para determinar la probabilidad de un suceso.
Asignación de probabilidades a la unión de dos sucesos, compatibles o incompatibles.
Asignación de probabilidades a sucesos aleatorios en experimentos compuestos.
Cálculo de la probabilidad de la intersección de dos sucesos, dependientes o independientes.
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Actitudes
Reconocimiento de la aplicación del cálculo de probabilidades cuando se tienen que predecir resultados de fenómenos relacionados con situaciones cotidianas.
Interés por describir de forma precisa y con el lenguaje adecuado los resultados de un experimento aleatorio.
Valoración crítica de la información recibida sobre experiencias en las que interviene el azar.
Valoración positiva del trabajo en equipo al planificar y desarrollar actividades relacionadas con el cálculo de probabilidades.
Valoración de la matemática como un instrumento necesario en el conocimiento y desarrollo de otras áreas del pensamiento humano.
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COMPETENCIAS BÁSICAS
- Analizar las características de un experimento para determinar si los sucesos son
aleatorios o no. (C2)
- A partir del conocimiento de la probabilidad de un suceso comprender la mecánica
de los juegos de azar. (C2, C3)
- Relacionar el cálculo de probabilidades con la predicción de ciertos fenómenos
habituales como el clima, las enfermedades, las tendencias de moda…. (C2, C3, C6)
- Conocer el lenguaje específico del cálculo de probabilidades para analizar
correctamente los sucesos aleatorios. (C2, C4)
- Tener sentido crítico ante las informaciones que recibimos diariamente y que
contienen términos probabilísticos. (C2, C4, C5, C8)
C2: Competencia Matemática.
C3: Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico.
C4: Tratamiento de la información y competencia digital.
C5: Competencia social y ciudadana.
C6: Competencia cultural y artística.
C8: Autonomía e iniciativa personal.
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ACTIVIDADES
Actividades de iniciación y motivación
Las actividades de iniciación y motivación se llevarán a cabo de manera
espaciada entre las sesiones de la unidad didáctica, como ya hemos explicado en la
metodología. No obstante, la mayoría de ellas se plantearán en la primera sesión para
captar la atención del alumnado.
Actividades
1.‐ Dos señores han apostado 4 euros cada uno a un juego que consiste en lanzar una
moneda y cada vez que sale cara el primero de ellos gana una partida y, por el
contrario, si sale cruz es el otro señor el que gana una partida. Habían pactado que el
primero que ganara 10 partidas sería el ganador del juego y, por tanto, se llevaría todo
el dinero, pero el juego se interrumpe cuando el primero de los dos señores lleva 8
partidas ganadas y el segundo 7. ¿Cómo deben repartirse el dinero?
2.‐ El Caballero de Meré escribió una carta a los matemáticos Pascal y Fermat
preguntándoles a cerca de la siguiente cuestión: Si lanzamos un dado cuatro veces,
¿debo apostar a que no saldrá ningún seis o por el contrario, a que si saldrá algún seis
en alguna de las tiradas?
3.‐ Demuestra que la probabilidad de que dos personas asistentes a una comida en la
que hay 23 comensales cumplan años el mismo día del año es superior al 50%.
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4.‐ Un verdugo aficionado al juego le explica a un preso un juego del que dependerá su
vida. El verdugo pone a disposición del preso dos urnas vacías y posteriormente 5
bolas blancas y 5 negras. El preso debe colocar las bolas dentro de las urnas de tal
manera que, primero haciendo una selección al azar entre las dos urnas y luego
introduciendo la mano y sacando una bola al azar de la urna seleccionada, si obtiene
una bola blanca salvará su vida mientras que por el contrario, si la bola extraída es
negra será condenado a muerte. ¿Cómo debe el preso organizar las bolas en las urnas
para que sus posibilidades de supervivencia sean mayores?
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Actividades de desarrollo y aprendizaje
Las actividades de desarrollo son la base de la unidad, pues ejercitan los
contenidos de la misma. La selección de las actividades se ha realizado en función al
tipo de conocimiento trabajado y en lo atractivas que pueden resultarles a los
alumnos.
Actividades
1.‐ Indica cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios:
Número de personas que suben a un autobús en una parada.
Aplicar el teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo.
Conocer el ganador de la Liga de Campeones.
Calcular la raíz cuadrada de un número.
2.‐ Se lanza un dado cúbico. Indica el espacio muestral. Indica también los sucesos
elementales que forman cada uno de estos sucesos.
Sacar un múltiplo de 3.
Sacar un número menor que cuatro.
Sacar un cero.
Sacar un número primo mayor que 3.
Sacar un número menor que 7.
3.‐Sonia tiene 2 pantalones de deporte, 4 camisetas y 3 pares de zapatillas. ¿De
cuántas maneras se puede vestir para hacer ejercicio?
4.‐En una urna hay 30 bolas numeradas del 1 al 30. Se extrae una bola al azar. Calcula
la probabilidad de que la bola extraída:
Sea un número par.
Sea un número que termina en 0.
Sea un múltiplo de 5.
No sea múltiplo de 3.
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5.‐Se lanza un dado al aire y se consideran estos sucesos:
A=”sacar un número par”.
B=”sacar menos que 3”.
C=”sacar un cinco”.
Forma los siguientes sucesos y halla su probabilidad
A U B
B Λ C
Ᾱ U B U C A U B Λ C
B Λ Ᾱ
6.‐Una bolsa contiene 4 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes. Se extraen, sin devolución, 2
bolas de la bolsa. Calcula la probabilidad de estos sucesos.
Se extraen las dos rojas.
No se extrae ninguna bola verde.
Se extraen dos bolas del mismo color.
Se extraen dos bolas de distinto color considerando que ha habido
devolución a la urna de la bola extraída.
7.‐ ¿De cuántas formas diferentes se pueden rellenar los quince partidos de una
quiniela con 1, X, 2?
8.‐ En una bolsa hay seis monedas de 50 céntimos, 4 de un euro y 5 de dos euros.
Sacamos una moneda al azar y, sin devolverla a la bolsa, sacamos una segunda
moneda. Calcula la probabilidad de sacar en total:
Cuatro euros.
Más de un euro.
Menos de cuatro euros.
9.‐ En una nevera hay 6 tomates verdes, 4 tomates rojos, 3 limones y 5 naranjas.
Sacamos una pieza al azar. Halla la probabilidad de:
Sacar un tomate verde
No sacar un tomate
Sabiendo que es un tomate, que sea rojo.
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Actividades de refuerzo y ampliación
Responden a las medidas de atención a la diversidad que hay que poner en
práctica a la hora de explicar una unidad didáctica. No todos los alumnos tienen la
misma facilidad y con este tipo de actividades habrá que conseguir motivar a los
alumnos que adquieren conocimientos con facilidad y a la vez potenciar las aptitudes
de los alumnos que hayan tenido más dificultados con los conceptos explicados.
Actividades de refuerzo
1.‐ Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas y se consideran los
sucesos:
A=”sacar una copa”.
B=”sacar un rey”.
C=”sacar una carta menor que cinco”.
Determina estos sucesos y calcula sus probabilidades:
A U B, A U C y B U C.
A Λ B, A Λ C y B Λ C
A U B U C y A Λ B Λ C
El suceso contrario de C
El suceso contrario de la unión de los sucesos A y B.
La unión del suceso contrario de A y del suceso contrario de C.
2.‐ Se extrae una bola de una bolsa que contiene 4 bolas blancas, 5 rojas y 2 negras.
¿Cuál es la probabilidad de que no sea negra?
3.‐ Calcula la probabilidad de obtener un as o un oro al extraer una carta de una baraja
española.
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4.‐ ¿Cuál es la probabilidad de que elegida una ficha de dominó al azar, la suma de sus
puntos sea 12?¿Y de que sea 5?¿Y de que no aparezca el 6 en ninguno de los dos
cuadrados?
5.‐ Se lanza una moneda tres veces. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
Sacar 3 cruces.
Obtener al menos una cara.
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Actividades de ampliación
1.‐ En una lotería primitiva se extraen de un bombo bolas numeradas del 1 al 49. Se
extrae la primera bola.
¿Es más probable que acabe en 5 que en 10?
¿Es más probable que sea un número par o que sea menor que 24?
¿Es más probable que sea un número de dos cifras que empiece por tres o que
sea un número múltiplo de tres?
2.‐ Sean A y B dos sucesos tales que P(A)=0.3 y P(B)=0.2. ¿Es posible que P(A U B)=0.6?
3.‐ Calcula la probabilidad del suceso A, sabiendo que 2*P(A) + P(Ᾱ)=1,4.
4.‐ Si A y B son dos sucesos tales que P(A)=2/3, P(B)=1/2 y P(Ᾱ Λ B)=1/5, calcula P(A U B).
5.‐ Lanzamos dos dardos sobre una diana de forma cuadrada que tiene dibujada su
circunferencia inscrita. Cuando el dardo entra dentro de la circunferencia obtenemos
un punto, y si entra en el cuadrado pero no en la circunferencia obtenemos dos
puntos. Calcula la probabilidad de obtener tres puntos.
Cabe señalar que las actividades que incluimos como de motivación, encajan
también en el perfil de ampliación. Al fin y al cabo, la labor fundamental de las
actividades de ampliación es la de motivar a los alumnos con mayor facilidades a la
hora de absorber los conocimientos de la unidad didáctica.
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Actividades de resumen y síntesis
Son las actividades cuya función es la de potenciar el aprendizaje adquirido a lo
largo de la unidad didáctica. La selección de estas actividades debe cubrir todos los
contenidos expuestos y los objetivos marcados en esta unidad.
Actividades
1.‐ Se lanza un dado. Determina la probabilidad de que haya salido un 2, sabiendo que
ha salido un número menor que cinco.
2.‐ En un garaje hay 4 coches de la marca A, de los cuales 2 son negros, y 6 coches de la
marca B, de los cuales 4 son negros. Calcula la probabilidad de que al elegir un coche al
azar:
Sea de la marca A
Sea negro
Sea negro de la marca A
Sea de la marca B, pero no negro
Sabiendo que es negro, sea de la marca B.
Sabiendo que es de la marca A, sea negro.
3.‐ Un bombo tiene 3 bolas numeradas del 1 al 3 y un segundo bombo tiene 5 bolas
numeradas del 1 al 5. Se saca una bola del primer bombo y, a continuación, una bola
del segundo. Calcula la probabilidad de que salga:
El número 34.
Un número mayor que 15.
Un número menor que 30.
4.‐ Calcula la probabilidad de obtener un as o un oro al extraer una carta de una baraja
española.
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5.‐ Una urna contiene 8 bolas rojas, 5 verdes y 9 azules. Determina la probabilidad de
que al extraer una bola al azar:
Sea verde.
Sea roja o azul.
6.‐ Expresa el espacio muestral y el espacio de sucesos asociado a cada uno de estos
experimentos aleatorios:
Se lanza una moneda y se anota el resultado de su cara superior.
Se lanza un dado de quinielas que tiene tres caras con un 1, dos con una X y una
con un 2, y se anota el resultado de la cara superior.
Se extrae, sin mirar, una bola de una urna que contiene ocho bolas numeradas
del 1 al 8.
7.‐ Se lanza un dado con las caras numeradas del 1 al 6 y se anota el número de la cara
superior. Determina estos tres sucesos y sus contrarios.
A=”salir impar”, B=”salir número menor que 4” y C=”salir número mayor que
8”.
Se extrae una carta de una baraja española, y se lanza un dado tetraédrico y una
moneda. ¿Cuántos resultados diferentes podemos obtener?
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Actividades de evaluación
Un modelo de prueba para medir los conocimientos adquiridos por los alumnos a lo
largo de la unidad didáctica sería el siguiente:
Actividad 1(1,5 puntos): Indica cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios.
1. El resultado de un partido de baloncesto
2. El lanzamiento de un dado.
3. El cálculo del área de la superficie de un triángulo.
4. El precio de una llamada de teléfono.
Actividad 2(1,5 puntos): En un experimento aleatorio que consiste en sacar una carta de una
baraja española, se consideran los siguientes sucesos:
A=”sacar un rey”, B=”sacar una copa” y C=”sacar un número menor que 3”.
Determina estos sucesos y calcula sus probabilidades:
El contrario de C
A U B
B Λ C
A Λ C
Actividad 3(1,5 puntos): Una pareja tiene tres hijos. Halla la probabilidad de estos sucesos:
Los tres son chicos
El mayor es chico y los otros dos chicas
El segundo es chico
Sabiendo que uno de ellos es chico, que el mayor sea chica.
Actividad 4(1,5 puntos): Si A y B son dos sucesos tales que P(B)=0.4, P(Ᾱ)=0.3 y P(A Λ B)=0.2, calcula P(A U B).
Actividad 5(2,5 puntos): Considera los números de 5 cifras.
¿Cuántos son capicúas?
¿Cuántos son impares?
¿Cuántos tienen las cinco cifras distintas?
¿Cuántos son pares, capicúas y mayores que 50000?
Actividad 6(1,5 puntos): En una caja hay un número desconocido de bolas blancas y una bola
negra. Se extraen de la caja simultáneamente dos bolas al azar, sin reemplazamiento. Si la
probabilidad de que ambas sean blancas es 0,5, calcula el número de bolas blancas que hay en
la caja.
28
RECURSOS MATERIALES
Libro de texto.
Pizarra y tizas.
Urnas y pelotas de pimpón blancas y negras.
Artículo de El País: El ‘anumerismo’ también es incultura añadido en el anexo II.
Ordenador y proyector de video.
29
METODOLOGÍA
En la primera sesión, lo primero que hacemos es dictarles los dos problemas
históricos con los que algunos historiadores opinan que nació la probabilidad y que
están explicados en la sección de actividades de motivación dentro de esta misma
unidad didáctica. Les explicamos que una vez estudiada esta unidad, podrán ser capaz
de resolverlos.
A lo largo de las seis primeras sesiones, alternaremos las explicaciones de los
contenidos ya expuestos, con la resolución de las actividades de iniciación y
motivación y las actividades de desarrollo y aprendizaje. En una de esas sesiones,
mandamos a un tercio de nuestro alumnado realizar una pequeña biografía de Laplace,
a otro tercio de Fermat y al último tercio de Pascal.
Aprovechando que una de esas sesiones estaba programada para un día que
era viernes, ocupamos la última media hora realizando el ejercicio del verdugo y el
preso (explicado en la sección de actividades de refuerzo y motivación), resolviendo los
dos problemas históricos planteados, leyendo las biografías de los tres matemáticos ya
citados, y leyendo y comentando el artículo de El País añadido en el anexo II.
La séptima sesión va destinada a realizar las actividades de resumen y síntesis.
Además, se utiliza el ordenador y el proyector para visualizar una escena de la serie de
televisión Numbers, en la que aparece el problema de Monty Hall, que en el artículo de
El País, lo titulan Saber y Ganar.
Por último, en la última sesión se terminan las actividades de refuerzo y
ampliación para las que no hemos tenido tiempo en sesiones anteriores y se realiza
30
una batería de preguntas cortas con el objetivo de que los conceptos teóricos
aprendidos se aprendan mejor.
31
EDUCACIÓN EN VALORES E INTERDISCIPLINARIEDAD
Recurso matemático
El aprendizaje de los contenidos expuestos, supone adquirir herramientas muy
utilizadas en otras ciencias y ramas del conocimiento como pueden ser la física, la
química, la biología, la psicología, la medicina, la economía…etc.
Nociones históricas
Al estudiar esta unidad didáctica, los alumnos conocen la figura de tres
matemáticos ilustres como son Laplace, Fermat y Pascal, pudiéndolos localizar en el
tiempo y al realizar sus biografías, conocer un poco del convulso periodo de la historia
francesa en el que le tocó vivir al primero de ellos.
32
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
1. Distinguir experimentos aleatorios de los que no lo son. Obtener el espacio
muestral utilizando técnicas de recuento y, en su caso, describir los sucesos
elementales que conforman un suceso.
2. Realizar operaciones con sucesos.
3. Asignar probabilidades a un suceso basándose en la regla de Laplace y en las
propiedades del cálculo de probabilidades.
4. Determinar la probabilidad de sucesos en experimentos compuestos para casos
sencillos.
5. Distinguir cuándo dos sucesos son dependientes o independientes, y asignar
probabilidades a sucesos en ambos casos.
33
PROYECTO DE INNOVACIÓN
Es frecuente encontrarse ante grupos de alumnos que han perdido la
motivación por la asignatura de matemáticas. Son muchos los estudiantes que
consideran las matemáticas como un ente cerrado, estático, aburrido y sin utilidad
práctica, lejos de mi creencia de que las matemáticas son una ciencia y un arte cuya
presencia se nota en la mayoría de ramas del conocimiento humano, siendo a su vez
una ciencia en continuo cambio y/o ampliación.
La idea para la realización de este trabajo de innovación me surgió recordando
una experiencia que tuve con un alumno durante mi periodo de prácticas en el IES
Duques de Nájera. Este alumno opinaba que en matemáticas no había nada nuevo que
descubrir y que no servían para nada. Su segunda afirmación fui refutándola durante
las siguientes jornadas lectivas con problemas de la vida cotidiana que se resolvían con
matemáticas, más concretamente con resultados probabilísticos ya que esa era la
unidad didáctica en la que nos encontrábamos. Para hacerle ver lo equivocada de su
primera afirmación le mandé buscar la biografía de Kurt Gödel y más concretamente
que leyera acerca de sus dos teoremas de incompletitud. Mostrar a este alumno que
se puede demostrar matemáticamente que existen problemas expresados en lenguaje
matemático que no se pueden demostrar con matemáticas me pareció una bonita
manera de hacerle ver su error.
Por eso mismo, en este trabajo de innovación la historia de las matemáticas
juega un papel importante, porque, en mi opinión, a menudo la asignatura de
matemáticas se reduce a aprender fórmulas, hacer ejercicios y realizar problemas, sin
34
entrar a valorar el porqué de las cosas ni el cómo surgieron, cuestiones que me
parecen fundamentales para un buen aprendizaje de cualquier conocimiento.
A parte de la historia de las matemáticas, usamos otras dos herramientas
principales para intentar aumentar la motivación de los alumnos. Uno es el empleo de
juegos, siempre que sea posible, para cubrir los contenidos conceptuales, actitudinales
y procedimentales de la unidad didáctica. El otro es la lectura de algunos textos
divulgativos, con lo que intentaremos aumentar la participación y fomentar el interés
por el tema que nos ocupa.
35
OBJETIVOS E INTENCIÓN EDUCATIVA
Como hemos comentado en la introducción de este proyecto de innovación, lo
que buscamos con él es aumentar la motivación de los alumnos en la asignatura de
matemáticas.
Este ambicioso objetivo, lo intentaremos cumplir mediante el uso de tres
técnicas principales: juegos donde aparezcan contenidos de la unidad didáctica,
análisis del surgimiento de la probabilidad e interpretación de los matemáticos que
aparecen más fuertemente ligados al inicio de esta rama de las matemáticas, y lectura
y posterior debate en torno a determinados textos divulgativos que sean ricos en
cuanto a conclusiones extraíbles de ellos y que, obviamente, sean apropiados para el
nivel de 3º E.S.O. que es el que nos ocupa.
Uso de juegos :
El uso de juegos como elemento para el proceso de enseñanza‐aprendizaje es
un recurso con el que buscaremos una mayor atención por parte del alumnado al
desarrollo de la clase. A menudo, las matemáticas se ven en desigualdad de
condiciones frente a otras asignaturas científicas como son la física, la química o la
biología debido a que en la ciencia que nos ocupa no se suelen hacer trabajos de
laboratorio y eso reduce la motivación del alumnado. Los juegos nos permiten
igualarnos a esas materias a las que hacíamos referencia anteriormente.
Si tomamos un problema y pedimos a los alumnos que busquen una solución
por medio de los canales tradicionales (bolígrafo y papel) obtendremos, en general,
36
peores resultados que si presentamos ese mismo problema como un juego ya que el
aprendizaje se realizará de una manera más atractiva para el alumno.
En ese sentido, podemos, como profesores, aprovecharnos de la
competitividad que tienen los alumnos entre sí a estas edades, y fomentar así una sana
competitividad por obtener la solución a un problema. Además, los juegos en los que
interviene el azar son una importante medida de atención a la diversidad ya que en
ocasiones alumnos que tradicionalmente obtienen malos resultados pueden ganar a
los que destacan en la asignatura.
Es importante, bajo nuestro punto de vista, realizar los experimentos en clase
ya que, por la unidad didáctica en la que nos encontramos, van a ser juegos donde no
se gane seguro, sino que el objetivo será tener las mayores probabilidades de ganar.
Esto nos inicia en la teoría de la decisión y hará ver a los alumnos que una buena
decisión nos puede llevar a una derrota y una mala decisión nos puede llevar a la
victoria. Es fundamental que esta idea cale en las mentes del alumnado porque es un
principio básico de la probabilidad.
No obstante, el uso de juegos o la realización de experimentos no deben ser
tomados como una receta mágica contra la falta de motivación del alumnado y no
debemos, por tanto, abusar de su uso. Pero combinar las explicaciones con la
resolución de problemas y la realización de experimentos en su justa medida, hará que
el alumno aprenda mientras se divierte.
37
Análisis del inicio de la probabilidad :
Creemos que cuando se estudia una teoría o una rama del conocimiento es
importante saber cómo esta surgió. No es necesaria una explicación detallada de los
inicios de la probabilidad moderna, pero es interesante que los alumnos adquieran
conocimientos históricos básicos de las matemáticas ya que así se muestra el aspecto
humano de las mismas. Además, dar una idea de los inicios de la probabilidad nos
permite dar una idea de lo dinámicas que son las matemáticas y también establecer
una relación interdisciplinar entre nuestra materia y otras que estudian nuestros
alumnos. Así, por ejemplo, se puede mencionar la Revolución Francesa al hablar de la
ley de Laplace y al comentar la relación que hubo entre este matemático y Napoleón
Bonaparte se huye de esa idea preconcebida y falsa que nuestros alumnos pueden
tener de que las matemáticas están totalmente alejadas del resto de materias que
estudian.
No obstante, la explicación histórica del inicio de la probabilidad no será el eje
transversal de este punto, sino que lo que buscaremos será que nuestros alumnos se
pongan en la piel de los considerados padres de la probabilidad: Fermat y Pascal. Lo
que se pretende es, a parte de desentrañar los dos problemas del caballero de Meré,
explicar el modo de actuar de Fermat con otros matemáticos de la época. Como éste
tenía por afición enviar cartas a otros pensadores coetáneos suyos, retándoles a que
resolvieran problemas para los que él ya tenía la solución, intentaremos motivar a
nuestros alumnos de la misma manera, alternando ellos el papel de retador (Fermat) y
retado (Pascal).
38
Lectura de textos divulgativos y debates posteriores:
En general, el tiempo ajustado y la necesidad de cumplir con un programa dado
en ese tiempo hace complicado que en clases de matemáticas se puedan dar
discusiones acerca de determinados temas, conceptos o problemas. Los alumnos
pueden tener la idea preconcebida de que en matemáticas no hay debate, sino que
hay problemas y soluciones, acertadas o erróneas, a esos problemas. Lo que se
pretende con la incorporación de estos textos divulgativos al desarrollo de la unidad
didáctica de probabilidad es que el alumnado deje de pensar que su opinión no cuenta
frente a la opinión del profesor y que piensen sobre los conceptos adquiridos de una
manera más pura que utilizándolos para la resolución de actividades y problemas.
Creemos que la comprensión de los textos aquí seleccionados o de otros que
los alumnos hayan podido encontrar, hará mucho más fuerte la asimilación de
conceptos por parte del alumnado, y además permitirá un enriquecimiento personal,
no sólo de los alumnos, sino también del profesor al escuchar y valorar las opiniones
del resto de participantes en el debate.
Además, se intenta fomentar otra idea que consideramos de vital importancia,
que es que los alumnos sepan “hablar en matemáticas”, incrementando así su
capacidad lingüística, dado que deberán entender textos matemáticos y saber
expresar sus propias ideas de manera oral para que otros compañeros puedan
asimilarlas.
Por último, pero no por ello menos importante, la probabilidad es una rama de
las matemáticas que está muy presente en nuestro día a día. Es muy común, que
veamos un telediario o abramos un periódico y nos aborden con porcentajes y cifras
39
que tienen su origen en datos estadísticos. Con la incorporación de estos textos se
intenta que los alumnos adopten un mayor cumplimiento de competencias básicas
como son el tratamiento de información, fomentando una predisposición crítica ante
cualquier información que reciban haciendo con ello que estén mejor formados como
ciudadanos. No se pretende realizar una crítica gratuita al trabajo de otros gremios,
pero sí estar alerta ante el posible mal uso, por desconocimiento o con alevosía, de las
matemáticas en general y de la probabilidad en particular por algunos individuos que
se dedican a determinadas profesiones.
Además, con todo esto, se fomenta la lectura a una generación nacida ya en la
era digital.
40
METODOLOGÍA
El modelo que se presenta en este trabajo concibe el proceso de enseñanza‐
aprendizaje como una interacción fluida entre los alumnos y entre los alumnos y el
profesor a través de determinadas actividades que en principio serán diseñadas por el
docente, todo ello para alcanzar los objetivos marcados en una unidad didáctica de
una manera más amena y divertida que con el método tradicional.
La búsqueda de este objetivo se realiza mediante el intento de incrementar la
motivación que los alumnos tienen por la asignatura de matemáticas, ya que opinamos
que el proceso de aprendizaje es mucho más fluido si los alumnos están interesados en
el tema a estudiar, y eso llevará a una mayor motivación del docente para realizar de
una manera óptima su labor educativa.
Como ya hemos comentado con anterioridad, pero creemos que es importante
remarcarlo, no es un modelo sustitutivo al método tradicional de enseñanza, sino que
en este trabajo pretendemos dar armas a los docentes para aumentar la motivación de
los alumnos. Si todas las clases de la asignatura de matemáticas se convierten en la
realización de actividades como las que mostraremos más adelante, probablemente
las técnicas que aquí se presentan para aumentar la motivación del alumnado
perderán su potencia y propósito.
No vamos a ser, por tanto, muy estrictos en lo que a la metodología se refiere,
sino que plantearemos técnicas que el futuro docente puede implementar a su antojo
en función del contexto educativo en el que se encuentre.
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Ya hemos explicado en el apartado anterior, que intentaremos buscar ese
aumento de la motivación por la asignatura de matemáticas en nuestros alumnos con
tres técnicas.
1. REALIZACIÓN DE JUEGOS Y EXPERIMENTOS PROBABILÍSTICOS
La realización de experimentos y el uso de los juegos matemáticos puede ser
enfocada de diversas maneras. El docente que lleve a la práctica esta técnica de
motivación tendrá que valorar, en función de las características de su alumnado, cómo
realizar la organización de estos juegos.
En mi caso, durante mi estancia de prácticas en el I.E.S. Duques de Nájera
contaba con dos cursos de 3º E.S.O. Para la realización de los experimentos y juegos en
el grupo de 3º A, opté porque la mayoría de los experimentos fuesen realizados en la
mesa del profesor y los alumnos saliesen al frente de la clase para probar sus
estrategias frente a los problemas propuestos. En cambio, en las clases con el grupo de
3º B, los alumnos se distribuyeron en parejas o en grupos de varios estudiantes
(dependiendo del juego) y yo, como docente en prácticas, me iba desplazando por los
distintos grupos aconsejando y escuchando sus ideas.
Esta variedad de estrategias se debía al mal comportamiento que en general
mostraban los alumnos del grupo A, por lo que temía que una clase planteada en el
grupo A con la misma organización que en el grupo B se convirtiera en un caos
absoluto. No obstante, nos inclinamos a pensar que el modelo de organización del
grupo B es mejor para la labor que nos ocupa.
42
JUEGO 1: LA CARRERA DE F1
Este es un juego pensado para cuatro jugadores, por lo que organizaremos a los
alumnos en grupos de cuatro. No obstante, no hay inconveniente en que algún grupo sea de
3 ó 5 estudiantes. Es un juego que cubre varios de los objetivos programados para la unidad
didáctica explicada en este trabajo.
Dado un tablero como el que se muestra, dos dados cúbicos y cuatro fichas de coches
de carreras, cada jugador elegirá un número de los que hay en el tablero teniendo en
cuenta que cada vez que se tire el dado y la suma de lo obtenido en ambos dados sea
ese número, la ficha que haya en ese número avanzará una casilla. Gana el jugador
que primero llegue a la meta.
12 META
7 META
13 META
1 META
6 META
2 META
9 META
4 META
10 META
3 META
8 META
11 META
5 META
43
JUEGO 2: TRES DADOS DIFERENTES
Este es un juego para dos jugadores y, al igual que el anterior, es un juego
donde la estrategia es fundamental. También cubre varios de los objetivos que hemos
marcado para la unidad didáctica.
Tenemos tres dados de distinto color: el rojo tiene en sus caras los números 2, 4 y 9,
los tres duplicados; el azul los números 3, 5 y 7, también duplicados, y el blanco los
números 1, 6 y 8, repetidos los tres como en los otros dos dados. El juego, para dos
jugadores, consiste en elegir un dado cada uno y luego tirar los dados elegidos
ganando el que obtenga mayor puntuación.
JUEGO 3: LOS TRES PISTOLEROS
Este es un juego para tres jugadores en el que los alumnos tienen que descubrir
cuál es la estrategia ganadora para su “supervivencia”. Cada alumno en cada grupo de
tres se pondrá en la piel de un pistolero y decidirá su estrategia para vivir. El juego se
modeliza con un dado cúbico. A acierta si obtiene un 5 o un 6, B acierta si obtiene un 3,
un 4, un 5 o un 6 y C acierta siempre.
Tres pistoleros A, B y C se retan en un duelo a tres bandas. Han decidido que como A
es el menos hábil con la pistola ya que acierta una de cada tres veces sea el primero
en disparar. B, que acierta dos de cada tres veces, será el segundo en disparar a no
ser que haya muerto cuando llegue su turno y C que es un hábil tirador y acierta
siempre será el último en caso de llegar su turno. El duelo termina cuando sólo
quede un pistolero vivo.
44
2. LOS INICIOS DE LA PROBABILIDAD. FERMAT Y PASCAL.
Con esta técnica motivacional pretendemos que los alumnos vean el aspecto
humano de las matemáticas y con ello incrementar sus ganas por aprender. Además, el
desarrollo histórico ayuda a ordenar los temas en el currículo y, es posible, que los
alumnos sientan bienestar al realizar la comprensión de conceptos y no sólo mediante
problemas y actividades.
Es interesante en el tema que nos ocupa, que los alumnos entiendan que el
inicio de la teoría de la probabilidad es la primera vez en la historia de la humanidad en
la que se hicieron predicciones acerca del futuro con verdadera base científica aunque
esas predicciones eran sólo referidas a cómo terminarían determinados juegos de azar.
Y es que los juegos de azar siempre han sido muy populares. Ya desde la
Antigüedad se conocen representaciones preciosas de juegos de dados. Con frecuencia
se jugaba por dinero, y con frecuencia entre victorias y derrotas se desenvolvía una
reñida pugna.
En el siglo XVII surgió la siguiente pregunta: si un juego consistente en varias
rondas se interrumpe antes de tiempo, ¿cómo se reparten las apuestas? Esta cuestión
la planteó Antoine Gombaud, conocido como el Caballero de Méré, en el año 1654, y
para ello se topó con la persona idónea, Blaise Pascal, el cual debatió ese interrogante
durante un célebre intercambio epistolar con Pierre de Fermat, en el curso del cual se
establecieron las bases de la teoría de la probabilidad.
45
Una vez contado el inicio de la probabilidad, nos parece importante contar
algunas anécdotas sobre el tema que, creemos, hará que aumente la atención de los
alumnos hacia el profesor.
Así, se puede contar que el matemático italiano Girolamo Cardano ya había
intentado un siglo antes dar solución a este problema basándose en los aciertos que
llevaba cada uno de los jugadores.
También se puede contar que tanto Fermat como Pascal “aparecen” en la
película española “La habitación de Fermat”, intentando fomentar así el gusto del
alumno por otras artes.
Y por último, es importante decir que el matemático Pierre de Fermat se
divertía en su tiempo resolviendo problemas y retando por correspondencia a otros
matemáticos (principalmente ingleses) a que los resolvieran.
Esta última anécdota es importante porque nos introduce en lo que hemos
llamado el juego del retador contra el retado. Organizando a los alumnos por parejas,
daremos a cada uno de ellos un problema de los que se mostraran a continuación. Así,
para el problema que le ha sido asignado el alumno tomará el papel de Fermat o
retador, mientras que el otro alumno será Pascal o el matemático retado. Cada alumno
tiene que resolver dos problemas, el que le han asignado para no ser cazado por su
compañero si este consigue la solución, y el que le han asignado a su compañero para
ser capaz de dar una solución al problema con el que le han retado.
Estos problemas pueden quedar pendientes como trabajo para el alumno fuera
del aula y así estos pueden disponer de más tiempo para su resolución que el que
46
tendrían en clase. No obstante, es importante que los alumnos luego intenten explicar
sus soluciones al resto de la clase, ya que un objetivo de estas técnicas es el
enriquecimiento de la capacidad lingüística en matemáticas de los estudiantes.
A continuación, mostramos tres parejas de problemas que pueden servir como
ejemplos para la realización de este juego, aunque sería ideal que los alumnos,
motivados por esta técnica de trabajo, inventaran o buscaran sus propios problemas
para retar a sus compañeros.
PAREJA NÚMERO 1: LOS PROBLEMAS DEL CABALLERO DE MÉRÉ
a) ¿Es o no ventajoso jugar apostando cantidades iguales a que, por lo menos,
aparece un seis en cuatro tiradas de un dado?
b) Dos personas se juegan 10 euros cada uno a un juego que consiste en lanzar
una moneda, anotándose un punto el primer jugador en caso de salir cara, y
haciendo lo propio el segundo jugador al salir cruz. El juego debe terminar
cuando uno de los dos llegue a los 10 puntos, pero, por diversas causas, se
interrumpe al llevar el primer jugador 8 puntos y el segundo 7. ¿Cómo deben
repartirse el dinero?
PAREJA NÚMERO 2: DE APUESTAS Y ANIVERSARIOS
a) Un jugador apuesta siempre a par o impar en una ruleta ( si acierta gana una
cantidad igual a lo apostado y si pierde se queda sin lo apostado) y decide
jugar de la siguiente forma: empieza con 100 euros y decide apostar 10 veces
47
una cantidad de 10 euros cada vez. Si el resultado es que gana en cinco de las
ocasiones, ¿tendrá más, menos o el mismo dinero con el que empezó?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en una fiesta que reúne a 23 personas, al
menos dos de ellas cumplan años el mismo día del año?
PAREJA NÚMERO 3: EL PRISIONERO Y EL CONCURSO
a) En el Castillo de If, un preso condenado a muerte puede salvar su vida
jugando a un juego de azar. El verdugo ofrece al reo dos urnas y 12 bolas, 6 de
ellas blancas y 6 rojas. El preso ha de organizar las bolas en las urnas a su
antojo, sabiendo que, con los ojos vendados, tendrá que elegir primero una
urna y luego obtener una bola de esa urna. Si el preso obtiene una bola blanca
salva la vida mientras que si obtiene una roja será ejecutado. ¿Cómo ha de
ordenar las bolas en las urnas?
b) En un concurso de televisión, un concursante se enfrenta a un reto de
elección. Tiene que elegir entre tres puertas sabiendo que detrás de dos de
ellas hay una calabaza y detrás de la otra puerta hay un millón de euros. Una
vez hecha su elección, el presentador elimina una de las puertas que no ha
elegido el concursante y dónde no se encuentra el premio, y le ofrece al
concursante la posibilidad de volver a elegir entre las dos puertas restantes.
¿Hay alguna estrategia que le permita al concursante incrementar sus
posibilidades de llevarse el dinero?
48
3. LECTURA DE TEXTOS DIVULGATIVOS Y DEBATE POSTERIOR
Con esta técnica motivacional se pretende que el alumno pase a tener un rol
diferente al que tiene asignado en el transcurso de una clase impartida de manera
tradicional.
Además, se intenta buscar la motivación del alumnado mediante textos que
relaten hechos curiosos que fomenten las ganas del estudiante por seguir
aprendiendo.
Aunque consideramos que la elección de los textos debe ser llevada a cabo por
un docente ya que es una labor que quizás escape al conocimiento del alumno,
fomentamos que el profesor intervenga lo menos posible en el debate posterior a la
lectura del texto, ejerciendo el rol de moderador o de guía en caso de ser necesario.
No obstante, como, por su edad, los alumnos pueden mostrar cierto rechazo a
expresar sus ideas en público por miedo a un fallo, hemos preparado un cuestionario
básico sobre el texto titulado “Casualidades” de John Allen Paulos, el cual se encuentra
entre los documentos anexos a este trabajo.
49
CUESTIONARIO GUÍA PARA EL TEXTO “CASUALIDADES” DE JOHN ALLEN PAULOS
¿Has sido protagonista en alguna ocasión de una casualidad como la que
comenta el autor que le ocurrió al encontrarse con ese individuo de
Seattle?
¿Te ha convencido el autor al argumentar que esas casualidades no son
tan fascinantes como en principio creíamos?
¿Qué opinas sobre el resultado de saber la probabilidad de que al
menos dos personas de un grupo de 23 cumplan años el mismo día del
año? ¿Te lo esperabas? En caso negativo, ¿por qué crees que no
esperabas ese resultado?
¿Crees que un mayor conocimiento matemático te hace menos
vulnerable a ser engañado por “televangelistas, curanderos, etc” como
opina el autor?
¿Estás en desacuerdo con alguna de las ideas que presenta el autor en el
texto?
Otras observaciones
50
Metodología de trabajo del profesor:
En esta técnica de trabajo, el profesor tiene tres roles principales:
El primero de ellos será plantear y organizar los juegos, recopilar problemas
para el juego de retador contra retado y buscar y seleccionar los textos divulgativos
acorde con el tema estudiado y con el nivel de los alumnos. Es un rol, no obstante, que
puede ser ejercido por determinados alumnos. Es más, si un alumno busca juegos para
realizar en clase, inventa o selecciona problemas para retar a sus compañeros e,
incluso, lee textos sobre el tema e invita a la clase a debatir sobre ellos, sabremos que
con ese alumno habremos conseguido nuestro objetivo de motivación.
El segundo rol principal del profesor es guiar a los alumnos en las actividades
propuestas, ya sea dando pistas en la búsqueda de estrategias ganadoras para los
juegos y problemas como realizando preguntas a la clase para fomentar la
participación de los estudiantes en los debates.
El tercero de sus roles va ligado al proceso de evaluación. Y es que el docente
deberá recopilar datos sobre la participación de sus alumnos en los debates, sobre su
esfuerzo por resolver los problemas y por encontrar estrategias ganadoras a los juegos
planteados para que el proceso de evaluación sea completo. Deberá también, como es
obvio, estudiar las soluciones que plantean los alumnos y resolver las cuestiones que
hagan surgir dudas en ellos.
51
Metodología de trabajo del alumno:
Los alumnos deberán, ya sea en grupo o individualmente dependiendo del
contexto en el que nos encontremos, resolver las propuestas del profesor. En caso de
que surgiesen bloqueos, deberán hacer partícipe de ello al docente para tratar de
reconducir tal situación. Para que las técnicas explicadas tengan éxito, es fundamental
que el alumno se involucre en ellas, facilitando el desarrollo de las clases. Por último,
los alumnos deberán evaluar el proceso de aprendizaje experimentado así como la
actuación docente del profesor.
52
EVALUACIÓN
El proceso de evaluación es una parte fundamental de cualquier proceso de
enseñanza‐aprendizaje. En líneas generales, es usado por el alumno para reorientar su
programación de estudio, y en ese sentido es un arma muy poderosa en manos de un
buen docente que quiera fomentar un aprendizaje más ambicioso o un cambio en las
conductas de su alumnado.
El método que hemos presentado, como ya hemos dicho, no es un método
sustitutivo de la manera tradicional de impartir clases, pero sí que creemos que es un
buen complemento a esta estrategia pedagógica con el fin de motivar a los alumnos.
No obstante, por diversas presiones, y aunque es una lástima, el alumno, en general,
dará más importancia a lo que le suponga un mayor beneficio en la nota final, y esto
hay que tenerlo en cuenta a la hora de programar nuestro sistema de evaluación
utilizando el proyecto de innovación ya explicado.
Por tanto, programaremos nuestro sistema de evaluación teniendo muy en
cuenta la participación del alumno en las diversas actividades motivacionales que
hemos explicado en el apartado de metodología. No tendría sentido de otra forma ya
que el sistema que hemos ideado se basa en el trabajo diario y en la actitud del
alumno frente a la asignatura de matemáticas.
En la unidad didáctica en la que hemos implantado nuestro proyecto de
innovación no es especialmente importante realizar una evaluación diagnóstica que
mida los conocimientos previos del alumnado, ya que estos se reducen al manejo de
53
los quebrados y sus operaciones, conceptos que son exigibles a un alumno que curse la
asignatura de matemáticas de 3º ESO.
La evaluación que vamos a llevar a cabo en esta unidad didáctica será
formativa, sumativa y continua.
Será formativa porque lo que queremos averiguar es si los objetivos de la
enseñanza están siendo alcanzados. No tiene sentido una evaluación formativa como
proceso no continuo ya que el docente debe ir adecuando las actividades a las
aptitudes que los alumnos vayan adquiriendo. Por tanto, la participación en los
debates, la entrega de las memorias de los experimentos, la buena respuesta a las
actividades de retador vs. retado, y, en general, la participación y buena actitud en las
clases será muy tenida en cuenta y valdrá un 35% de la nota asignada a los alumnos en
esta unidad didáctica. El otro 65% de la nota dependerá de un examen final, en el que
habrá actividades y problemas de una dificultad similar a los realizados en clase, por lo
que los alumnos que hayan seguido diariamente la asignatura no deberían tener
excesivas dificultades. Además, el hecho de que ese examen no equivalga a la nota
final total, hará que el alumnado se sienta más relajado a la hora de realizarlo, ya que
es frecuente encontrarse con alumnos que dominan los conceptos pero que el día del
examen, por nervios, presión u otros problemas, no lo demuestran. Por lo ya
explicado, queda claro que será una evaluación sumativa, ya que es necesario una
calificación numérica para juzgar el conocimiento adquirido por los alumnos, pero esta
calificación también reflejará su esfuerzo y su actitud en la asignatura.
Para medir el grado de satisfacción tanto del alumnado como de los docentes
hacia la incorporación de estas técnicas descritas en el proceso de enseñanza‐
54
aprendizaje, hemos realizado unos cuestionarios que tienen como objetivo detectar las
carencias y reforzar los puntos fuertes que existen en el sistema.
55
EVALUACIÓN: CUESTIONARIO PARA EL ALUMNO
¿Qué te ha parecido el hecho de realizar experimentos y juegos en las clases?
¿Qué ventajas y qué inconvenientes ves en esta forma de resolver problemas,
frente a la manera tradicional de hacerlo?
¿Crees que tu aprendizaje se ha visto reducido frente a otras unidades
didácticas explicadas por métodos más tradicionales, o por el contrario has
asimilado mejor los conceptos que en esta unidad se explicaban?
¿Crees que te ha sido útil conocer el origen de la probabilidad? ¿Te ha
resultado interesante el juego de retador vs. retado?
56
¿Te han resultado interesantes los textos seleccionados por el profesor para la
realización de los posteriores debates?
¿Crees que los debates posteriores a la lectura de los textos, te han ayudado a
entenderlos mejor?
Escribe otras observaciones que quieras hacer:
57
EVALUACIÓN: CUESTIONARIO PARA EL PROFESOR
¿Crees que la respuesta del alumnado ha sido positiva ante las técnicas
implementadas en el desarrollo de la unidad didáctica?
¿Te ha resultado excesivamente costoso preparar los experimentos y los textos
teniendo en cuenta la aceptación que han despertado en el alumno?
¿Crees que los alumnos han asimilado mejor los conceptos que con métodos
empleados en anteriores ocasiones, o por el contrario no ha habido diferencia
o el aprendizaje ha sido peor?
¿Has notado un cambio de actitud para mejor de los alumnos frente a las
matemáticas?
58
¿Crees que el sistema de evaluación es equilibrado y refleja bien tanto las
actitudes como las aptitudes del alumno?
¿Han mejorado los resultados obtenidos por los alumnos frente a sus
calificaciones en otras unidades didácticas?
Escribe otras observaciones que quieras hacer:
59
REFLEXIONES FINALES
Pese a que algunas de las técnicas explicadas en el proyecto de innovación no
las hemos llevado a la práctica, podemos prever algunos posibles puntos fuertes y
débiles que pudieran producirse.
Si los alumnos consideran que se han divertido aprendiendo, si consideran que
han aprendido más que con el método tradicional de enseñanza, si las lecciones les
han resultado más interesantes y si, en definitiva, se ha producido un fenómeno de
mayor aprendizaje unido a mayor diversión por parte del alumnado, estas técnicas
habrán tenido el resultado que esperábamos.
No obstante, hay que tener en cuenta algunas dificultades que pudieran surgir,
como es la ralentización del ritmo del profesor, que puede ocasionarle un desajuste en
su programación de aula. También es posible que el grupo de alumnos se volviera más
difícil de controlar, por lo que el docente tiene que interpretar en cada contexto qué
técnicas de las aquí explicadas son adecuadas y cómo llevarlas a cabo. Por último, la
selección de problemas y textos requiere un mayor esfuerzo por parte del docente.
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REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA
Material recibido durante el curso 2010‐2011 del Máster en Profesorado de la
Universidad de La Rioja
Material recibido por el I.E.S. Duques de Nájera durante el periodo de prácticas
del Máster en Profesorado de la Universidad de La Rioja en el curso 2010‐2011.
José R. Vizmanos, Máximo Anzola, Manuél Bellón y Juan Carlos Hervás. Libro Esfera
para Matemáticas 3º E.S.O. Editorial SM.
Jordi Deulofeu. Prisioneros con dilemas y estrategias dominantes. Editorial RBA.
Enigmas y juegos de ingenio. Para romperte la cabeza. Traducción de Emilio
Muñiz.
Michael Blastland y Andrew Dilnot. El tigre que no está. Un paseo por la jungla
de la estadística. Colección Noema.
Albrecht Beutelspacher. Matemáticas: 101 preguntas fundamentales. Alianza
editorial.
John Allen Paulos. El hombre anumérico. Tusquets Editores S.A.
John Allen Paulos. Más allá de los números. Meditaciones de un matemático.
Tusquets Editores S.A.
Simon Singh, El enigma de Fermat.
Otros títulos que pueden encontrarse en http://www.librosmaravillosos.com/
61
62
ANEXOS
Coincidencias
Las coincidencias nos fascinan. Parece como si nos obligaran a buscarles un significado. Sin embargo, más a menudo de 10 que alguna gente piensa, son completamente esperables y no precisan una explicación especial. Seguramente no se puede extraer ninguna conclusión cósmica del hecho de que hace poco y por pura casualidad me encontrara a alguien en Seatt1e cuyo padre había jugado en el mismo equipo de béisbol del instituto de Chicago que el mío, y cuya hija tiene la misma edad y se llama igual que la mía. Por improbable que fuera este suceso particular (como lo son siempre los sucesos particulares), es muy probable que algún suceso de esta clase tan vagamente defmida se produzca de vez en cuando.
Concretando más, puede demostrarse, por ejemplo, que si dos extraños se sientan juntos en un avión, más del 99 O/o de las veces estarán unidos de alguna manera por dos o menos intermediarios. (La relación con el compañero de curso de mi padre era más sorprendente. Sólo había un intermediario, mi padre, y contenía otros elementos.) Quizá, por ejemplo, .e1 primo de uno de los pasajeros conozca al dentista del otro. La mayoría de las veces la gente no descubre estas relaciones porque en una conversación casual nadie suele hacer un repaso de sus aproximadamente 1500 conocidos ni de los conocidos de .sus conocidos. (Imagino que al popularizarse cada vez más los ordenadores de sobremesa podrían comparar sus respectivas bases de datos personales y también los de las personas conocidas. Quizás intercambiar bases de datos podría convertirse pronto en algo tan corriente como dejar la tarjeta de presentación. Tejiendo una red electrónica. Infernal.)
Sin embargo, hay una tendencia a buscar conocidos comunes. Tales conexiones se descubren pues con una frecuencia su-
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ficiente, de modo que los chillidos de sorpresa que siguen a esos descubrimientos son injustificados. Igual de poco convincente es el sueño «profético» que tradicionalmente sale a la luz después de que se haya producido algún desastre natural. Si tenemos en cuenta que Estados Unidos tiene quinientos millones de horas de sueño cada noche -2 horas por noche por 250 millones de personas- es perfectamente esperable.
O consideremos también el famoso problema del cumpleaños en teoría de la probabilidad. Habría que reunir 367 personas (una más que los días de un año bisiesto) para estar seguros de que al menos dos de ellas celebran el cumpleaños en el mismo día. Pero si se quiere tener sólo una probabilidad del 50 % de que esto ocurra basta con reunir 23 personas. En otras palabras, si imaginamos una escuela con. miles de clases, cada una de las cuales tiene 23 alumnos, entonces aproximadamente la mitad de las clases tiene dos estudiantes que nacieron el mismo día. No hay que perder ni un minuto en tratar de explicar el significado de estas u otras coiI)cidencias. Simplemente ocurren.
Un ejemplo un poco distinto es el del editor de un boletín bursátil que manda 64 000 cartas en las que ensalza las posibilidades de su base de datos, sus contactos y sus sofisticados modelos econométricos. En 32 000 de estas cartas predice una alza de determinado índice bursátil para la semana siguiente, y en las 32 000 restantes predice una baja del mismo índice. Ocurra lo que ocurra, manda una segunda carta, pero sólo a los 32 000 que recibieron una «predicción» correcta. En 16000 de ellas predice una alza para la semana siguiente y en 16 000 una baja. y otra vez, ocurra lo que ocurra, habrá enviado dos predicciones correctas consecutivas a 16000 personas. Iterando este procedimiento de concentrarse exclusivamente en la lista reducida de personas que han recibido sólo predicciones acertadas, puede crear en ellos la ilusión de que sabe de qué va la cosa. Al fm y al cabo, las 1 000 personas que habrán recibido 6 predicciones acertadas y ninguna equivocada (por coincidencia) tienen buenos motivos para desembolsar los 1 000 dólares que les pide el editor del boletín: quieren seguir recibiendo estas declaraciones «proféticas» .
Repito que una cuestión importante que hay que tener en cuenta al hablar de las coincidencias es la distinción entre cla-
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ses genéricas de sucesos y sucesos concretos. En muchas ocasiones la realización de un suceso particular es algo bastante raro -que a determinada persona le toque la lotería o que me llegue una determinada mano de bridge- mientras que el resultado genérico -que a alguien le toque la lotería o que salga esa mano de bridge- no tiene nada de extraordinario. Volvamos al problema del cumpleaños. Si sólo pedimos que 2 personas cumplan años el mismo día sin precisar cuál es este día particular, entonces bastan 23 personas para que el suceso tenga una probabilidad de 1/2. Por contra, hacen falta 253 personas para tener probabilidad 1/2 de que una de ellas tenga una fecha de cumpleaños determinada, el 4 de julio, pongamos por caso. Los sucesos concretos explicitados de antemano son, por supuesto, muy dificiles de predecir. Así pues, no es sorprendente que las predicciones de los televangelistas, curanderos, etc. suelan ser vagas y amorfas (hasta que se han producido los sucesos en cuestión, claro está, pues en ese instante los pronosticadores suelen afrrmar que precisamente esos resultados son los que habían predicho).
Esto me recuerda el llamado efecto Jeane Dixon, por el cual las pocas predicciones acertadas (ya sea de los psíquicos, de los boletines bursátiles de pacotilla o de quien sea) se anuncian a bombo y platillo, mientras que las aproximadamente 9 800 predicciones fallidas hechas anualmente son óportunamente ignoradas. Se trata de un fenómeno muy general que contribuye a la tendencia que tenemos todos a dar a las coincidencias más importancia de la que en realidad merecen. Nos olvidamos de> todas las premoniciones fallidas de desastres que hayamos tenido y recordamos vívidamente las que parecen acertadas. Cualquier de nuestros conocidos ha oído hablar de ejemplos de telepatía; el número incomparablemente mayor de veces en los que no se ha producido es demasiado banal para ser tenido en cuenta.
Hasta nuestra biología parece conspirar para que las coincidencias parezcan más significativas de lo que realmente son. Como el mundo natural de rocas, plantas y ríos no parece ofrecer muchas pruebas de coincidencias superfluas, el hombre primitivo tenía que ser muy sensible a todas las anomalías y sucesos improbables imaginables a medida que iba construyendo la ciencia y su progenitor, el «sentido común». Al fm y al cabo, las coincidencias «son» a veces muy importantes y significativas. Sin embargo, en nuestro complicado y, en gran parte, artificial mundo
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de hoy, la plétora de relaciones entre nosotros parece haber sobreestimulado la tendencia innata de mucha gente a notar la coincidencia y 10 improbable, y les lleva a postular causas y fuerzas allí donde no hay nada. La gente conoce más nombres (además de los de los familiares~ los de compañeros de trabajo y la gente famosa), fechas (desde artículos periodísticos hasta citas personales y programas), direcciones (ya sea de direcciones reales o números de teléfono, números de despacho, etc.) yorganizaciones y acrónimos (desde el FBI al IMF, del SIDA al ASEAN) que en ningún otro momento del pasado. Por tanto, aunque sea muy dificil de cuantificar, el ritmo al que se producen las coincidencias probablemente ha aumentado en el último siglo. Y, a pesar de todo, no tiene mucho sentido buscar una explicación a la mayoría de ellas.
En realidad, la coincidencia más asombrosamente increíble que se pueda imaginar es la falta absoluta de coincidencias~
[Breves deducciones de los enunciados del cumpleaños (véase también la entrada sobre Probabilidad): (1) La probabilidad de que 2 personas tengan distinto cumpleaños es 364/365; la de que 3 personas tengan distinto cumpleaños es (364/365 x 363/365); la de que 4 personas (364/365 x 363/365 X 362/365); la de que 23 (364/365 x 363/365 x 362/365 x ... x 344/365 x 343/365), producto que resulta ser igual a 1/2. Por tanto, la probabilidad complementaria de que por 10 menos dos personas tengan el mismo cumpleaños es también 1/2 (1 menos el producto anterior). (2) La probabilidad de que alguien no cumpla los años el 4 de julio es 364/365; la probabilidad de que de 2 personas ninguna cumpla años el 4 de julio es (363/365)2; la probabilidad con 3 personas es (363/365)3, y con 253 personas es (363/365)253, que resulta ser 1/2. Por tanto, la probabilidad complementaria de que al menos una de las 253 personas cumpla años el 4 de julio es también 1/2, 1--(363/365)253.]
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Probabilidad
Todo el mundo tiene una idea intuitiva de la probabilidad. A veces tan primitiva como la del barbero que una vez me contaba su estrategia para la lotería: «Tal como yo 10 veo, puedo ganar o perder, mis posibilidades son pues mitad y mitad». Sin embargo, a pesar de que hay muchos aspectos mal comprendidos (véase la entrada sobre Coincidencias), las aftrmaciones viscerales de la gente relativas a la probabilidad suelen ser considerablemente más sofisticadas. Soltamos fácilmente frases como «la probabilidad de que salga cara», «la probabilidad de que Marta se case con Jorge» y «la probabilidad de que llueva mañana durante el partido», y la mayoría parece tener claro su significado. Sólo si preguntamos qué es efectivamente la probabilidad nos encontramos totalmente desconcertados y perplejos.
La pregunta no es fácil de contestar, aunque se haya dado una serie de respuestas tentativas. Algunos han con~bido la probabilidad como una relación lógica, como si sólo con echar una mirada a un dado, apreciar su simetría y emplear métodos lógi-
. cos, se pudiera decidir que la probabilidad de que salga 5 ha de ser 1/6. Otros han sugerido que la probabilidad es simplemente una cuestión de creencia subjetiva, nada más que una expresión de una opinión personal. Según otros, la clave del análisis es la frecuencia relativa, y la probabilidad de un suceso sería una manera abreviada de indicar el porcentaje de veces que se produce a largo plazo, aunque no suelan explicar qué significa «a largo plazo».
Hay aún otras variantes y otras versiones, pero ninguna de ellas es universalmente convincente. La historia ha acabado finalmente así: los matemáticos se han retirado y se han declarado victoriosos al mismo tiempo. Han observado que, como cualquier defmición razonable de probabilidad ha de tener ciertas
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propiedades formales, la probabilidad se defme como aquello que tenga precisamente dichas propiedades. No es muy gratificante filosóficamente hablando, pero al menos es matemáticamente liberador.
N ótese que esto es parecido a 10 que ocurrió en geometría con las rectas y los puntos. Euclides dio unas defmiciones vacías de estos conceptos que en realidad nunca usó, mientras que otras aproximaciones más modernas a la geometría del plano, siendo axiomáticas, defmen los puntos y las rectas como cualquier cosa que cumpla las propiedades indicadas por los axiomas. El matemático ruso A.N. Kolmogorov es el padre de esta formulación abstracta de la teoría de la probabilidad. En vez de describir su elegantemente escueto formalismo, presentaré algunas propiedades y teoremas fundamentales, la mayoría de los cuales son conocidos desde que, en sus orígenes en el siglo XVD, la teoría de la probabilidad iba de la mano de los juegos de azar.
Para empezar, la probabilidad es un número comprendido entre O y 1. El O indica imposibilidad, el 1, certeza, y los valores intermedios, grados intermedios de probabilidad. Equivalentemente, podemos tomar el dominio de valores entre el O % Y el 100 %. Si dos o más sucesos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra alguno de ellos se obtiene sumando sus probabilidades individuales. As~ la probabilidad de que un terrestre elegido al azar sea chino, indio o norteamericano es aproximadamente del 45 o/o (25 o/o de que sea chino más el 15 %
de que sea indio más el 5 % de que sea norteamericano). . Dados dos sucesos arbitrarios (con tres o más sucesos valen
fórmulas análogas), la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos es algo más dificil de obtener: primero se suman las probabilidades individuales y luego se resta del resultado la probabilidad de que ocurran ambos a la vez. Si en un gran edificio de apartamentos de Nueva York el 62 o/o de los inquilinos lee The New York Review oi Books, el 24 % lee el National Inquirer y el 7 % lee ambas revistas, la probabilidad de que un inquilino tomado al azar lea al menos una de dichas revistas es del 79 % (62 % + 24°/0-7 %). La probabilidad de que un suceso no se produzca es el 100 % menos la probabilidad de que sí se produzca. Por tanto, una probabilidad del 79 % de leer una de las revistas al menos significa una probabilidad del 21 % de no leer ninguna de ellas.
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El concepto de independencia tiene una importancia crucial en la teoría de la probabilidad. Se dice que dos sucesos son independientes si el hecho de que se produzca uno de ellos no influye sobre la probabilidad de que se produzca el otro. Si lanzamos dos veces una moneda al aire, cada tirada es independiente de la otra. Si tiramos un par de dados, 10 que sale en uno es independiente de 10 que sale en el otro. Si escogemos dos personas del listín telefónico, la altura de una es independiente de la de la otra.
Calcular la probabilidad de que se produzcan dos sucesos independientes es cosa fácil: basta simplemente con multiplicar sus probabilidades respectivas. Así, la probabilidad de que salgan dos caras es 1/4 (1/2 x 1/2). La probabilidad de que al tirar dos dados salga 2, esto es, (1,1), es 1/36 (1/6 x 1/6), mientras que la de que salga 7 es 6/36, pues hay seis maneras mutuamente excluyentes de que los números que salgan en los dos dados sumen 7 [(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)] y cada una de ellas tiene una probabilidad de 1/36 (1/6 x 1/6). La probabilidad de que dos personas tomadas al azar de un listín telefónico midan más de 2 metros se obtiene elevando al cuadrado la probabilidad de que una sola persona escogida por el mismo procedimiento mida más de 2 metros.
Esta regla del producto de la probabilidad puede generalizarse y aplicarse en sucesiones de sucesos. La probabilidad de sacar un 3 con un dado cuatro veces consecutivas es de (1/6)4; la de que, al tirar una moneda, salga cara seis veces seguidas es de (1/2)6; la de que alguien sobreviva a tres disparos en la ruleta rusa es de (5/6)3. Si tomamos un libro que sea juzgado positivamente sólo por ellO % de sus lectores (y el 90 o/o 10 encuentre abominable) y 10 sometemos a una docena de críticos, la probabilidad de que todos y cada uno de ellos hagan críticas negativas es (0,9)12, o 0,28, y por tanto, la probabilidad de que el libro guste al menos a uno de los doce es 1 - 0,28, o 0,72. Así, incluso con un «mal» libro, la posibilidad de recoger unas cuantas críticas favorables aumenta con el número de críticos, 10 cual, unido al esmero en extractar lo más conveniente de críticas poco entusiastas, nos da una explicación de los «estilo ágil y directo», «increíble fuerza», ... en las sobrecubiertas de los libros.
Naturalmente, ocurre a menudo que los sucesos no son. independientes; el hecho de que se produzca uno hace que el otro
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sea más o menos probable. Si hemos sacado un 6 con el primer dado, la probabilidad de que la suma de las caras de los dos dados sea 10, 11 o 12 es mayor que si no conociéramos dicho resultado. Si sabemos que una persona mide más de 2 metros, disminuye la probabilidad de que pese menos de 60 kilos. Si en un cierto vecindario hay un gran número de Mercedes, probablemente habrá pocas personas sin hogar en él. Estos pares de sucesos son todos dependientes.
Lo que nos interesa determinar en tales casos es la probabilidad condicional de que ocurra o haya ocurrido uno de los sucesos sabiendo que el otro se producirá o se ha producido ya. La probabilidad condicional de que la suma de los dados sea 10, 11 o 12 habiendo salido 6 en el primer dado es 1/2. Hay seis posibilidades igualmente probables [(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)] y tres de ellas suman 10 o más. Y me atreviría a decir que la probabilidad condicional de que uno pese menos de 60 kilos sabiendo que mide más de 2 metros no excede el 5 0/0, considerablemente menos que la probabilidad de que una persona tomada al azar pese menos de 60 kilos.
Al tratar con probabilidades condicionales hay que ser muy cuidadoso. Nótese, por ejemplo, que la probabilidad condicional de que uno hable español sabiendo que tiene nacionalidad española es aproximadamente del 95 0/0, mientras que la probabilidad condicional de que uno sea ciudadano español sabiendo que habla español no es mucho más del 10 %. O considérese la escena siguiente, que es una aclaración de otra sacada de mi libro El hombre anumérico sobre la que he recibido un gran número de cartas. Se sabe que en cierto vecindario curiosamente «normal» de los años cincuenta vive una familia de cuatro personas en cada casa: el padre, la madre y dos hijos. Uno escoge una casa al azar, toca el timbre y abre una chica. (Supondremos que en los años cincuenta, la chica de la casa, si la hay, es la que siempre abre la puerta.) Suponiendo lo dicho, ¿cuál es la probabilidad condicional de que esta familia tenga un hijo y una hija? La respuesta, que quizá pueda sorprender, no es 1/2 sino 2/3. Hay tres posibilidades igualmente probables -el mayor es chico y la menor, chica; la mayor es chica y el menor, chico; y las dos son chicas- y en dos de ellas hay un hijo en la familia. La cuarta posibilidad -dos chicos- queda descartada por la sencilla razón de que nos ha abierto una chica.
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El recuento de probabilidades de sucesos complejos no es, en general, dificil si nos dan las probabilidades de los sucesos simples que los constituyen. Podemos usar los axiomas de Kolmogorov (probabilidad de sucesos mutuamente excluyentes, sucesos independientes, etc.), descomponer los sucesos complejos en subsucesos mutuamente excluyentes y calcular. O, si esto resulta demasiado complicado, podemos simular la situación con un ordenador y determinar empíricamente la respuesta (véase la entrada sobre El método de simulación de Montecarlo).
La asignación de probabilidades a los sucesos elementales es, sin embargo, una tarea considerablemente más ardua. Existe el problema de que las percepciones de la gente acerca de la delincuencia o de la enfermedad, por ejemplo, se han formado más a partir de las escenas dramáticas de los telediarios que de las mismas estadísticas sobre delincuencia o salud. Sumemos las probabilidades de que cualquiera de los cinco mil millones y pico de habitantes del mundo le mate a usted. El resultado, tristemente alto en Estados Unidos, todavía es menor que la probabilidad de que usted se suicide. O bien considere que, dado un habitante medio de Estados Unidos, es un cuarto de millón de veces más probable que muera de una enfermedad cardíaca que de botulismo, intoxicación mortal por ingerir conservas en mal estado. No hace falta decir que un asesinato o un caso de botulismo son fácilmente noticiables, mientras que el suicidio y los ataques de corazón no 10 son (a menos que se trate, naturalmente, de un personaje famoso). El problema no es meramente académico. La incapacidad de tasar los riesgos que nos acechan y de ponerlos en una perspectiva global lleva generalmente. a una ansiedad personal paralizante e infundada o a demandas inasequibles y económicamente prohibitivas de un entorno libre de riesgos.
Y, sin embargo, incluso cuando calculamos y estimamos probabilidades en la más ideal de las situaciones, permanece la cuestión ftlosófica: ¿qué es la probabilidad?
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